Temperatur- und Niederfrequenzabhängigkeit der Leitfähigkeit von Corbino-Proben vor und nach dem Zusammenbruch des Quanten-Hall-Effekts

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1 Temperatur- und Niederfrequenzabhängigkeit der Leitfähigkeit von Corbino-Proben vor und nach dem Zusammenbruch des Quanten-Hall-Effekts Diplomarbeit von André Buß Professor Dr. Georg Nachtwei Institut für Technische Physik Technische Universität Carolo Wilhelmina zu Braunschweig Januar 2004

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3 Teilergebnisse dieser Arbeit wurden mit der Genehmigung der Gemeinsamen Naturwissenschaftlichen Fakultät, vertreten durch den Mentor, in folgenden Beiträgen vorab veröffentlicht: A. Buß, N.G. Kalugin, B.E. Sağol, C. Stellmach, A. Hirsch, G. Nachtwei und G. Hein, Relaxation oscillations in a quantum Hall device influenced by the dynamic breakdown hysteresis of the QHE, DPG Frühjahrstagung Poster HL 49.4 (2003). G. Nachtwei, N.G. Kalugin, B.E. Sağol, Ch. Stellmach und G. Hein, Function principle of a relaxation oscillator based on bistable quantum Hall device, Appl. Phys. Lett. 82, 2068 (2003). N.G. Kalugin, B.E. Sağol, A.Buß, A. Hirsch, C. Stellmach, G. Hein und G. Nachtwei, Relaxation oscillations and dynamical enhancement of the breakdown hysteresis in quantum Hall systems with Corbino geometry, Phys. Rev. B 68, (2003). A. Buß, G. Nachtwei, N.G. Kalugin, B.E. Sağol, C. Stellmach, A. Hirsch und G. Hein, Relaxation oscillations in a bistable quantum Hall system, Proceedings of the 13th International Conference on Nonequilibrium Carrier Dynamics in Semiconductors (HCIS-13) Modena, Italy (2003), to appear in Semicond. Sci. Technol. 3

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5 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 5 1 Einleitung 7 2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts Zweidimensionale Elektronensysteme Zustandsdichte zweidimensionaler Elektronengase Ladungstransport in zweidimensionalen Elektronengasen Shubnikov-de-Haas-Oszillationen Quanten-Hall-Effekt Der elektrische Zusammenbruch des QHE QUILLS-Modell Hot-Electron-Modell Apparaturen und Proben Kryostaten He -Kryostat Mischkryostat Meßgeräte Automatisierung Proben Impulsmessungen Versuchsaufbau Meßergebnisse und Diskussion Relaxationsoszillator basierend auf der Bistabilität einer Corbino-Probe Versuchsaufbau und Funktionsweise Spannungsabhängige Messungen Messungen und Auswerung Diskussion Magnetfeldabhängige Messungen Messungen und Auswertung Diskussion Zusammenfassung

6 Inhaltsverzeichnis 6 Frequenz- und temperaturabhängige Messungen der Leitfähigkeit Messungen der Hysterese in der I-V -Kennlinie beim Zusammenbruch des QHE Messungen und Auswertung Diskussion Messungen der Leitfähigkeit σ xx im subkritischen Bereich Messungen Diskussion der Frequenzabhängigkeit Diskussion der Temperaturabhängigkeit Zusammenfassung Résumeé 73 Abbildungsverzeichnis 75 Literatur 77 Danksagung 81 6

7 1 Einleitung Der Quanten-Hall-Effekt (QHE) in einem zweidimensionalen Elektronensystem (2DES) wurde 1980 von Klaus von Klitzing et al. entdeckt [1]. Für die Messungen wurden Halbleiter-Feld-Effekt-Transistoren aus Silizium-Metall-Oxid (MOSFETs) verwendet, welche Temperaturen von flüssigem Helium (T < 4, 2 K) sowie einem starken Magnetfeld ausgesetzt waren. Der QHE zeichnet sich durch eine Quantisierung des Hall-Widertsandes ρ xy aus, welcher Plateaus bei den Werten ρ xy = h/ie 2 ausbildet. Hierbei bezeichnet h das Plancksche Wirkungsquantum, e die elektrische Elementarladung und i die Anzahl der komplett gefüllten Landau-Niveaus (bei Aufhebung der Spinentartung). Eine weitere Beobachtung war das Verschwinden des longitudinalen Widerstandes ρ xx, das sich mit jedem ausgebildeten Plateau einstellte und somit einen verlustfreien Stromfluß repräsentierte. Die große Genauigkeit der Quantisierung, sowie deren Reproduzierbarkeit und Unabhängigkeit von der Probengeometrie führten dazu, daß der QHE heute weltweit als Referenzwiderstand Verwendung findet. Der Wert h wird nach dem Entdecker des QHE als von Klitzing-Konstante bezeichnet, welche dem Wert R K = h = 25812, 807 Ω entspricht. Klaus von Klitzing e 2 e 2 erhielt für die Entdeckung des QHE 1985 den Nobelpreis [2]. Bereits zwei Jahre nach der erstmaligen Beobachtung des QHE berichteten Tsui, Störmer und Gossard von einem quantisierten Hall-Plateau mit dem Wert ρ xy = 3h/e 2, wobei das spinaufgespaltene Landau-Niveau mit der niedrigsten Energie zu einem Drittel besetzt war [3]. Dies war die Entdeckung des Fraktionalen Quanten-Hall-Effekts (FQHE). Existierten zu dem von von Klitzing entdeckten Integralen QHE (IQHE) noch Berechnungen von Ando et al. [4], welche diesen Effekt teilweise vorhersagten, so gab es keine vorherigen Veröffentlichungen über die Existenz des FQHE. Tsui und Störmer, sowie Laughlin, der bereits 1983 eine Arbeit veröffentlichte, die versuchte den FQHE zu erklären [5], erhielten 1998 den Nobelpreis [6, 7, 8]. In Abb. 1.1(a) ist der typische Aufbau für eine QHE-Messung an einer Probe mit Hall-Bar-Geometrie skizziert. Die schattierten Oberflächen repräsentieren ohmsche Kontakte, welche mit dem 2DES unterhalb der Oberfläche eines GaAs-Kristalls verbunden sind. Während ein Strom I zwischen den Kontakten 1 und 4 fließt, werden an den Kontakten 5 und 6 die longitudinale Spannung V x und an den Kontakten 3 und 5 die Hall-Spannung V Hall als Funktion des Magnetfeldes aufgenommen. Für bestimmte Magnetfelder bilden sich im Hall-Widerstand ρ xy = V Hall /I Plateaus aus, und der longitudinale Widerstand ρ xx = (V x /I)/(w/l) verschwindet (s. Abb. 1.1(b)). 7

8 1 Einleitung Abbildung 1.1: Der Quanten-Hall-Effekt. (a): Experimenteller Aufbau zu Messung des QHE an einer Probe mit Hall-Bar-Geometrie. Die ohmschen Kontakte (schattierte Flächen) sind mit dem 2DES in einem GaAs- Kristall verbunden. Der Strom fließt zwischen den Kontakten 1 und 4, während die Spannungen V x und V Hall als Funktion des Magnetfeldes aufgenommen werden. (b): Bei bestimmten Magnetfeldern bilden sich im Hall-Widerstand ρ xy = V Hall /I (durchgezogene Linie) Plateaus aus, und der longitudinale Widerstand ρ xx = (V x /I)/(w/l) (gestrichelte Linie) verschwindet. Bereits kurz nach Entdeckung des QHE wurde eine Vielzahl von Experimenten durchgeführt, welche die physikalischen Grenzen des Effekts untersuchten [9, 10]. Dabei wurde festgestellt, daß sowohl Probeneigenschaften wie Elektronendichte und Elektronenbeweglichkeit, aber auch die Probentemperatur und der Stromfluß durch das 2DES Einfluß auf die Ausprägung der Quanten-Hall- Plateaus haben. Mit steigender Temperatur wächst ρ xx, und ρ xy weicht von den Plateauwerten ab. Überschreitet der die Probe durchfließende Strom einen gewissen kritischen Wert I C, so ist ein abrupter Zusammenbruch des QHE zu beobachten. Bei diesem kritischen Wert steigt der longitudinale Widerstand ρ xx sprunghaft um mehrere Größenordnungen an, und ρ xy weist keine Plateaus mehr auf. Ein Verständnis über den Zusammenbruch des QHE zu erlangen ist sowohl für die Grundlagenforschung, als auch für die Meßtechnik von Interesse. In der Grundlagenforschung liegt das Hauptinteresse im Erlangen neuer Erkenntnisse über die im 2DES vor sich gehenden Prozesse beim Einsetzen der Dissipation. In der Meßtechnik wird mit bestmöglicher Genauigkeit der Referenzwiderstand bestimmt. Für diese Präzisionsmessungen sollte der Probenstrom so groß wie möglich sein, um die Genauigkeit zu verbessern, darf jedoch I C nicht überschreiten, was zu einem Zusammenbruch des QHE führen würde. Es existiert eine Reihe von Theorien, die versuchen den QHE zu erklären. Jedoch gelingt es keiner dieser Theorien alle experimentellen Ergebnisse, den QHE 8

9 betreffend, zu erklären. Ein detailiertes Gesamtbild über den Zusammenbruch des QHE erhält man in dem Artikel von Nachtwei [11]. Dieser informiert über die meisten Entwicklungen auf diesem Gebiet, die bis 1999 gemacht wurden. In dieser Diplomarbeit wurden unterschiedliche Messungen den Zusammenbruch des QHE betreffend durchgeführt, die als Ganzes betrachtet neue Einblicke über mikroskopische Prozesse innerhalb des 2DES zulassen. In Kapitel 2 werden die wichtigsten Grundlagen über das Zustandekommen des QHE sowie über dessen Zusammenbruch vorgestellt. Desweiteren werden einige Modelle erläutert, wobei das Hauptaugenmerk hierbei auf das in Abschnitt beschriebene Hot-Electron-Modell gerichtet sein wird. Im folgenden Kapitel 3 finden die unterschiedlichen für die Messungen verwendeten Apparaturen Erwähnung. Der Schwerpunkt liegt hier bei zwei unterschiedliche Typen von Kryostaten sowie bei den verwendeten Proben. Die in Kapitel 4 beschriebenen Impulsmessungen liefern Einblicke in das Tunnel- und Driftverhalten der Elektronen im 2DES, welche wiederum für spätere Diskussionen von Interesse sind. Dabei handelt es sich hier um eine kurze Meßreihe. Eine detailierte Arbeit über dieses Thema ist die Dissertation von Sağol [12]. In Kapitel 5 werden die Ergebnisse vorgestellt, die die Messungen an einer Oszillatorschaltung lieferten. Hierbei wurde das bistabile Verhalten einer Quanten-Hall(QH)-Probe mit Corbino-Geometrie im Bereich des Zusammenbruchs des QHE dazu benutzt, Relaxationsoszillationen zu erzeugen [13]. Die Auswertung dieser Messungen ergaben eine vergrößerte Hysterese in der Strom- Spannungs(I-V )-Kennlinie im Vergleich zu entsprechenden Gleichspannungs- (DC)-Messungen. Dadurch motiviert wurden weitere Wechselspannungs(AC)- Messungen durchgeführt, die einen weiteren Einblick in dieses offensichtlich frequenzabhängige Verhalten liefern sollten. Diese Messungen werden in Bezug auf ihre Frequenz- und Temperaturabhängigkeit in Kapitel 6 vorgestellt und diskutiert. Abschließend folgt in Kapitel 7 eine Zusammenfassung dieser Arbeit. 9

10 1 Einleitung 10

11 2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts Um den Quanten-Hall-Effekt (QHE) beobachten zu können, benötigt man ein zweidimensionales Elektronensystem (2DES), sehr niedrige Temperaturen sowie ein großes Magnetfeld. In diesem Kapitel sollen die wichtigsten Grundlagen eines 2DES in GaAs/AlGaAs-Heterostrukturen besprochen werden, welche für das Auftreten des QHE notwendig sind. Desweiteren werden einige Modelle vorgestellt, mittels derer sich nicht alle, jedoch wenigstens einige der experimentell beobachteten Vorgänge beim Zustandekommen bzw. beim Zusammenbruch des QHE erklären lassen. 2.1 Zweidimensionale Elektronensysteme Ein 2DES ist für die Beobachtung des QHE unabdingbar. Das 2DES trägt diesen Namen, weil die Elektronen in diesem System sich nur in zwei Dimensionen frei bewegen können. In der dritten Raumrichtung sind ihre möglichen Energiezustände quantisiert. 2DES lassen sich in unterschiedlichen Materialsystemen beobachten, z.b. an Halbleiter-Oxid-Übergängen [14] und Halbleiter- Heterostrukuren [15]. Einen detailierten Einblick in die elektronischen Eigenschaften von 2DES liefert der Artikel von Ando, Fowler und Stern [16]. Eine typische GaAs/AlGaAs-Heterostruktur ist in Abb. 2.1 dargestellt. Solche Heterostrukturen werden mittels Molekularstrahlepitaxie hergestellt. Dabei wird zuerst eine Pufferschicht, bestehend aus einem GaAs/AlGaAs-Supergitter, auf das semi-isolierende GaAs-Substrat aufgebracht. Über diese Pufferschicht kommt eine undotierte GaAs-Schicht, gefolgt von einer Schicht undotiertem AlGaAs. Auf diese Schicht wird eine siliziumdotierte AlGaAs-Schicht aufgewachsen, auf welche zuletzt noch eine dünne Schicht GaAs aufgebracht wird, die Oxidation vermeiden soll. Das 2DES bildet sich an der Grenze zwischen der 20 nm dicken AlGaAs-Schicht und der 1 µm dicken GaAs-Schicht aus. Dabei gelangen die von den Silizium-Donatoren zur Verfügung gestellten Elektronen durch die undotierte AlGaAs-Schicht in die GaAs-Schicht, wo sie in einem Potentialtopf festgehalten werden. Die undotierte AlGaAs-Schicht (sog. spacer ) trennt die Elektronen im Leitungsband des GaAs von den positiv geladenen Silizium-Atomen, was einen drastischen Anstieg der Elektronenbeweglichkeit zur Folge hat. Den Verlauf der Energiebänder erhält man durch selbstkonsistentes Lösen der Schrödinger- und der Poissongleichung. Für die beschriebene GaAs/AlGaAs- 11

12 2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts Abbildung 2.1: Eine typische GaAs/AlGaAs-Heterostruktur, sowie der Verlauf ihres Leitungsbandes. Die von den Silizium-Donatoren zur Verfügung gestellten Elektronen werden in dem Potentialtopf (s. Pfeil) im GaAs festgehalten. Die AlGaAs-Schicht trennt die Elektronen und Donatoren und senkt somit ihre Coulomb-Wechselwirkung. Dadurch wird die Beweglichkeit der Elektronen innerhalb des 2DES verbessert. Heterostruktur ist der Verlauf des Leitungsbandes in Abb. 2.1 skizziert. An dem Übergang von der GaAs-Schicht zu der undotierten AlGaAs-Schicht entsteht ein nahezu dreieckiger Potentialtopf, dessen effektive Dicke vergleichbar oder kleiner ist als die de-broglie-wellenlänge der Elektronen. Die Elektronenenergie wird dadurch in Subbänder Ez(i i = 0, 1, 2,...) quantisiert. Bei Temperaturen T < 4 K und kleiner Ladungsträgerdichte ist nur das unterste Subband mit Elektronen besetzt. Die Elektronen sind in dem Potentialtopf gefangen und somit ihrer Bewegungsfreiheit in z-richtung beraubt. In x- und y-richtung hingegen können sie sich frei bewegen. Ihre Gesamtenergie setzt sich damit aus Ez 0 und ihrer kinetischen Energie zusammen: E = E 0 z + 2 (k 2 x + k 2 y) 2m. (2.1) Hierbei sind k x und k y die Wellenvektorkomponenten im 2D-Impulsraum und m ist die effektive Elektronenmasse. Aufgrund der starken Asymmetrie des Potentialtopfes sind die Elektronen hauptsächlich im GaAs lokalisiert. Deswegen wird die effektive Masse der Elektronen in GaAs m = m 0 eingesetzt. 12

13 2.2 Zustandsdichte zweidimensionaler Elektronengase 2.2 Zustandsdichte zweidimensionaler Elektronengase Die komplette Beschreibung eines 2DES würde erfordern, daß die Wellenfunktionen und Energien aller Zustände bekannt sind, was für alle, bis auf einfache Systeme, eine schwer lösbare Aufgabe darstellt. Deswegen ist es in vielen Fällen angebracht, die Zustandsdichte D(E), welche einem Informationen über die Energieverteilung der Elektronen gibt, zur Beschreibung von Systemen heranzuziehen. Nach der Definition der Zustandsdichte beschreibt der Ausdruck D(E)δE die Anzahl der Zustände, deren Energie im Bereich von E und E + δe liegen [17]. In dem Fall, daß kein Magnetfeld anliegt, ist die Zustandsdichte bei parabolischer Dispersion (E k 2 ) für jedes Subband unabhängig von der Energie [18]: D(E) = n s E = m π 2. (2.2) Wenn mehrere Subbänder besetzt sind, leistet jedes Subband den gleichen Beitrag, so daß sich ein stufenförmiges Verhalten in der totalen Zustandsdichte ergibt. Das Anlegen eines einheitlichen Magnetfeldes senkrecht zur x-y-richtung des 2DES führt zu einer kompletten Quantisierung des Energiespektrums der Elektronen im 2DES [19,20]. Das System läßt sich bei Vernachlässigung der Elektron- Elektron-Wechselwirkung und des Spins durch die magnetfeldabhängige Schrödingergleichung beschreiben: ( ) 1 2m ( p + e A) 2 + V (z) Ψ j k (x, y, z) = E( k)ψ j k (x, y, z). (2.3) Unter Verwendung der Landau-Eichung mit A = (0, Bx, 0) ist das Vektorpotential unabhängig von y, wodurch die Wellenfunktion von der Form Ψ j, k (x, y, z) = φ j (z)ϕ k (x) exp(ik y y) (2.4) ist. Durch Separation des z-anteils und Einsetzen von Gl. 2.4 in Gl. 2.3, wobei p 2 x = 2 2 / x 2 gesetzt wird, erhält man die Schrödingergleichung in der x-y- Ebene für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator ) ( 2 2 2m x + m ωc 2 (x + k 2 y l 2 2 B) 2 ϕ k (x) = (E E j )ϕ k (x), (2.5) mit der Zyklotronfrequenz ω c = eb/m und magnetischen Länge l B = Durch das Lösen der Gl. 2.5 erhält man folgende Energien und Wellenfunktionen für die Elektronenbewegung in der x-y-richtung:. eb E E j = E n = (n + 1/2) ω c, (2.6) 13

14 2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts Abbildung 2.2: Zustandsdichte eines 2DES in einem Magnetfeld. (a) In einem Magnetfeld enstehen anstelle eines Fermi-Kreises Landau-Kreise, deren Schnittlinien mit dem Paraboloiden die Landau-Kreislinien bilden. (b) Aufgrund von auftretender Streuung haben die Landau-Niveaus die Form einer Gauss-Verteilung anstelle einer δ-funktion. (c) Jede Landau-Kreislinie besitzt die gleiche Anzahl an Elektronorbitalen. ( ) x + ky l 2 B Ψ(x, y) H n exp l B ( (x + k yl 2 B )2 2l 2 B ) exp(ik y y). (2.7) Hier ist n = 1, 2,... und H n sind die Hermitschen Polynome. Aufgrund der Unabhängigkeit der Elektronenenergie von k y sind Zustände mit gleichen n entartet, wobei der Entartungsgrad pro Flächenelement n L = 2 eb (mit Spinentartungsfaktor 2) entspricht. Die Zustandsdichte hat nicht mehr die oben h erwähnte Stufenform, es bildet sich stattdessen eine Reihe von δ-funktionen, die sogenannten Landau-Niveaus, bei den durch Gl. 2.6 gegebenen Energien aus (zuzüglich der in Kap. 2.1 erwähnten Subbandenergie Ez). i Streuprozesse führen zu einer Aufhebung der Entartung, wodurch die δ-funktionen eine Verbreiterung erfahren (s. Abb. 2.2(b)). Diese können als getrennt betrachtet werden, wenn ihre Halbwertsbreite Γ die Bedingung Γ < ω c erfüllt (s. Abb. 2.2(b)). Die komplette Quantisierung des 2DES im Magnetfeld führt dazu, daß im k-raum nicht mehr der ohne Magnetfeld vorliegende Fermi-Kreis, sondern eine Reihe von Landau-Kreisen vorzufinden ist. Die Schnittlinien dieser Landau-Kreise mit dem, der parabolischen Dispersion entsprechendem Paraboloiden ergeben die sogenannten Landau-Kreislinien [18] wie sie in den Abb. 2.2(a) und (c) zu sehen sind. 14

15 2.3 Ladungstransport in zweidimensionalen Elektronengasen Die Berücksichtigung des Spins der Elektronen führt dazu, daß der Elektronenenergie ein spinabhängiger Term hinzugefügt wird, so daß E n = (n + 1/2) ω c ± 1 2 g µ B B (2.8) gilt, wobei ± 1 2 der Quantenzahl des Elektronenspins entspricht, µ B = e /2 m 0 das Bohrsche Magneton und g der effektive Landé-Faktor ist. Die lineare Abhängigkeit dieses spinabhängigen Terms führt in der Regel dazu, daß bei niedrigen Magnetfeldern in einem zusammenhängenden Landau-Niveau beide Spins enthalten sind, mit zunehmendem Magnetfeld werden beide Spinzustände mehr und mehr getrennt, bis sich zwei komplett separierte Niveaus ergeben. Die Berücksichtigung des Elektronenspins hat eine Halbierung des Entartungsgrads der spinseparierten Landau-Niveaus zur Folge: n L = eb h. (2.9) Zusammen mit der Ladungsträgerdichte n s lässt sich daraus der sogenannte Füllfaktor ν bestimmen: ν = n s = hn s n L eb. (2.10) Der Füllfaktor gibt die Anzahl der gefüllten Landau-Niveaus an. 2.3 Ladungstransport in zweidimensionalen Elektronengasen Um die Transporteigenschaften eines 2DES im Magnetfeld zu untersuchen, werden meistens Proben mit der sogenannten Hall-Bar-Geometrie verwendet. In Abb. 2.3(a) ist ein solcher Meßaufbau inklusive der mit dem 2DES verbundenen ohmschen Kontakte 1-6 gezeigt. Das Anlegen eines elektrischen Feldes in x-richtung verursacht einen Stromfluß zwischen den Kontakten 1 und 4. Der longitudinale Spannungsabfall V x zwischen den Kontakten 5 und 6, sowie die Hallspannung V y zwischen den Kontakten 3 und 5 werden als Funktion des angelegten Magnetfeldes aufgenommen. Aus V x und V y lassen sich die spezifischen Widerstände ρ xx bzw. ρ xy bestimmen. Im klassischen Fall, d.h. bei kleinen Magnetfeldern, erhält man den 1879 von E.H. Hall entdeckten klassischen Hall-Effekt [21]. Hier weist der spezifische transversale Widerstand eine lineare Magnetfeldabhängigkeit auf, wohingegen der spezifische longitudinale Widerstand magnetfeldunabhängig ist: ρ xx = m n s e 2 τ = 1 n s eµ (2.11) ρ xy = B n s e. (2.12) 15

16 2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts Abbildung 2.3: Meßaufbau an Proben mit (a) Hall-Bar- und (b) Corbino-Geometrie. (a) Ein Strom I fließt von Kontakt 4 nach Kontakt 1. Der longitudinale Spannungsabfall V x sowie der transversale Spannungsabfall V y lassen sich an den Kontakten 5 und 6 bzw 3 und 5 ermitteln. (b) Die Spannung V 0 wird zwischen dem Source(Quell)-Kontakt und dem Drain(Abfluss)-Kontakt angelegt. Über einem seriellen Widerstand wird der Spannungsabfall V SD gemessen. Im Falle von Messungen an Proben mit Corbino-Geometrie (s. Abb. 2.3(b)) wird anstelle von ρ xx die Leitfähigkeit σ xx gemessen. Für ein 2DES lassen sich die Leitfähigkeit und der spezifische Widerstand als zweidimensionale Tensoren ˆσ bzw. ˆρ = ˆσ 1 formulieren: ˆσ = ( σ xx σ yx σ xy σ yy ˆρ = = ( ) ( = ρ xx ρ yx ρ xx ρ xy σ (ω c τ) 2 ρ xy ρ yy ρ xy ρ xx ( 1 ω c τ ω c τ 1 ) = ( σ xx σ xy σ xy σ xx ) (2.13) ) ( ) 1 σ xx σ xy = σxx 2 + σxy 2 σ xy σ xx ) ( ) 1 ω c τ = ρ 0, (2.14) ω c τ 1 wobei es sich bei σ 0 = n s e 2 τ/m = ρ 1 0 um die klassische Drude-Leitfähigkeit handelt und τ die Streuzeit ist [22]. 16

17 2.3 Ladungstransport in zweidimensionalen Elektronengasen Werden nun höhere Magnetfelder angelegt, so verlässt das 2DES dieses klassische Regime, was sich durch ein Abweichen des Hall-Widerstandes ρ xy von seiner Linearität und starken Oszillationen im longitudinalen Widerstand ρ xx bemerkbar macht. Diese starken Oszillationen nennt man den Shubnikov-de- Haas(SdH)-Effekt, welcher 1930 von Shubnikov und de Haas entdeckt wurde [23]. Bei einer weiteren Erhöhung des Magnetfeldes erreicht das 2DES den Bereich des Quanten-Hall-Effektes, in dem ρ xy Plateaus ausbildet und ρ xx gegen null geht. In Abb. 2.4 sind sowohl der klassische, als auch die beiden eben erwähnten Bereiche markiert, wobei es sich jedoch eher um Übergangsbereiche als um strenge Übergangspunkte handelt. Abbildung 2.4: Magnetotransportkurve mit drei wichtigen Bereichen. (a) Bei niedrigen Magnetfeldern wird der klassische Hall-Effekt beobachtet. (b) Bei höheren Magnetfeldern setzt quantenmechanisches Verhalten ein, welches sich deutlich durch die SdH-Oszillationen zeigt. (c) Im Quanten-Hall-Bereich bilden sich Plateaus in ρ xy aus, während ρ xx gegen null geht Shubnikov-de-Haas-Oszillationen Abb. 2.5 illustriert die Abhängigkeit der Zustandsdichte an der Fermi-Kante vom Magnetfeld. Unter der Voraussetzung klar voneinander getrennter Landau- Niveaus fällt die Zustandsdichte auf Null ab, wenn der Füllfaktor ν einer ganzen Zahl n entspricht. Maxima treten auf, wenn ν = n + 1 gilt. Dieses Verhalten 2 spiegelt sich direkt in der Messung von ρ xx wieder (s. Abb. 2.4). Das liegt daran, daß der longitudinale Ladungsträgertransport an der Fermi-Kante stattfindet, und bei verschwindender Zustandsdichte ebenfalls ρ xx bzw. σ xx gegen null gehen (i.a. gilt σ xy σ xx σ xx ρ xx (s. Gl. 2.14)). Mittels einer Messung von ρ xx 17

18 2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts Abbildung 2.5: Besetzung der Landau-Niveaus im Magnetfeld bei Spinentartung. Es ist hier die Veränderung der Elektronendichte an der Fermikante bei sich änderndem Magnetfeld zu beobachten. Die jeweils angelegten Magnetfelder entsprechen den Füllfaktoren ν = 4 (a), ν = 8 3 (b) und ν = 2 (c). bzw. σ xx läßt sich aus den SdH-Oszillationen die Elektronendichte n des 2DES bestimmen Quanten-Hall-Effekt Mit weiter zunehmendem Magnetfeld gelangt das 2DES in den Bereich des QHE. Die Minima der SdH-Oszillationen gehen gegen den Wert Null, während der longitudinale Widerstand ρ xy in dem Magnetfeldbereich der Minima von ρ xx Plateaus mit dem quantisierten Wert ρ xy = h 25812, 807 = Ω (2.15) ie2 i ausbildet, wobei i die Anzahl der komplett gefüllten Landau-Niveaus angibt (s. Abb. 1.1(b) und 2.4). Dieser quantisierte Wert lässt sich einfach berechnen: Wenn ein Landau-Niveau komplett gefüllt ist, wird der Füllfaktor ν ganzzahlig. Damit wird Gl zu n s = i eb h. (2.16) Dieses Ergebnis in Gl eingesetzt liefert Gl Ein Modell, welches ein mögliches Entstehen des QHE erklärt, ist das von Büttiker entwickelte Randkanalmodell, in dem ausschließlich ausgedehnte Randzustände für den Ladungstransport sorgen [24]. An den Probenrändern werden die Eigenenergien der Landau-Niveaus aufgrund des Randpotentials über die Fermi-Kante hinaus angehoben (s. Abb. 2.6(a)) [17]. An den Schnittpunkten der Fermi-Kante mit den Landau-Niveaus entstehen ausgedehnte Zustände, welche einen Ladungstransport zulassen. Die Elektronen, welche diese Randzustände besetzen, vollführen im quasi-klassischen Bild Zyklotronbewegungen, die durch die Kollision des Elektrons mit dem Rand eine effektive Driftbewegung zur Folge haben (s. Abb. 2.6(b)). In einer Hall-Probe bilden sich somit N Randzustände, gegeben durch die Anzahl der besetzten Landau-Niveaus. Die 18

19 2.3 Ladungstransport in zweidimensionalen Elektronengasen Abbildung 2.6: Randkanäle nach dem Modell von Büttiker. (a) Aufgrund des Randpotentials werden die Landau-Niveaus am Rand über die Fermikante angehoben. Die x-koordinate entspricht hier der Breite einer Probe mit Hall-Bar-Geometrie, wobei x = 0 die Probenmitte ist. (b) Quasiklassische Bewegung der Elektronen entlang der Probenkante (skipping orbits). Randzustände an den gegenüberliegenden Seiten sind voneinander getrennt und verlaufen in entgegengesetzten Richtungen (im Sinne der Driftbewegung der Zyklotronorbits). Betrachten wir die in Abb. 2.7 gezeigte Hall-Probe mit den Stromkontakten 1 und 4 sowie den Spannungskontakten 2, 3, 5 und 6. Wird ein negatives Potential V 1 am Kontakt 1 angelegt, fließt ein Strom von Kontakt 1 nach Kontakt 4. Die Fermi-Kante wird für die aus dem Kontakt 1 austretenden Elektronen um ev 1 angehoben, weswegen zusätzliche Elektronen in die Randzustände gelangen, und somit eine größere Anzahl an Elektronen Kontakt 1 verlassen als ihn erreichen (in Abb. 2.7 wird dies durch die unterschiedlichen Farben der Randzustände gekennzeichnet). Es gilt die Annahme, daß die Randzustände ohne Störung durch mögliche Streuzentren in der Probe verlaufen. Die Kontakte 2 und 3 liegen ebenfalls auf dem Niveau des Kontaktes 1 (V 1 = V 2 = V 3 ), desweitern gilt V 4 = 0 = V 5 = V 6. Aufgrund der Anordnung der Kontakte in Abb. 2.7 fließt durch jeden der oberen Kontakte ein Strom der Größe I = V 1 /ρ xy = (e 2 /h)v 1, womit sich ein totaler Strom von I ges = N(e 2 /h)v 1 einstellt. Damit ergibt sich der Hall-Widerstand zu (V 6 V 2 )/I ges = V 1 /I ges = (1/N)(e 2 /h), dem quantisierten Wert. Als longitudinalen Widerstand erhält man (V 2 V 3 )/I ges = 0. 19

20 2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts Abbildung 2.7: Die Ausbildung von Randzuständen in einer Hall-Probe. Eine zwischen den Kontakten 1 und 4 angelegte Spannung verursacht einen Elektronenfluß in den N Randkanälen (von denen hier nur einer eingezeichnet ist). Es soll jetzt das Wegfallen der zuvor gemachten Annahme, nach der keine Streuprozesse auftreten, betrachtet werden. Wenn ein Elektron von einem Randzustand in einen anderen streut, so hat dies nur Auswirkungen auf die Strombilanz, wenn sich diese beiden Randzustände in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten. Solch ein Streuprozeß ist jedoch aufgrund der, innerhalb der Probe zwischen den Landau-Niveaus liegenden, Fermi-Kante sehr unwahrscheinlich, was die Quantisierung unter diesem Gesichtspunkt sehr stabil macht. Jedoch liegt die Fermi-Kante, an die Bedingung einer konstanten Elektronendichte gebunden, über sehr große Magnetfeldbereiche innerhalb eines Landau-Niveaus. Somit lässt sich die Entstehung breiter Plateaus nur durch die Einbeziehung von Streuprozessen in die Argumentation nicht begründen. Genauso scheitert die einfache Herleitung des quantisierten Wertes ρ xy in Gl an den Plateaus, weil sie nur für genau die Magnetfeldwerte gültig ist, bei denen ein Landau- Niveau komplett gefüllt ist. Ein anderes Bild, welches die Plateaus begründen kann, erhält man, wenn zusätzlich zu den Streuprozessen Lokalisierung an den Streuern (Verunreinigungen, Gitterfehler,Donatoren) in die Betrachtung einfließen. Die zufällig im 2DES verteilten Streuzentren verursachen räumliche Energiefluktuationen in den Landau- Niveaus (s. Abb. 2.8(a)). Die durchschnittliche Größe der Fluktuationen entspricht der Verbreiterung der Landau-Niveaus, was in Abb. 2.8 durch die Verbindungslinien zwischen (a) und (b) dargestellt ist. In der Ausgangssituation sei jetzt nur das untere Landau-Niveau in Abb. 2.8 komplett gefüllt. Wird nun das angelegte Magnetfeld verkleinert, so hat dies eine Abnahme der Entartung der Landau-Niveaus zur Folge und das nächsthöhere Landau-Niveau wird, zunächst in den Minima der Energiefluktuationen, mit Elektronen besetzt. Diese Elektronen sind jedoch an den Fluktuationen lokalisiert (s. Abb. 2.8(c)) und können 20

21 2.3 Ladungstransport in zweidimensionalen Elektronengasen Abbildung 2.8: Einfluß der Streuzentren im 2DES. (a) Räumliche Energiefluktuationen verursacht durch Streuzentren. (b) Lokalisierte und delokalisierte Zustände. (c) Lokalisierte Zustände um einen Hügel bzw. ein Tal der Energiefluktuationen. somit nicht zum Ladungstransport beitragen, womit der Hall-Widerstand konstant bleibt. Es kann sich ein Plateau in ρ xy ausbilden Der elektrische Zusammenbruch des QHE Ein Zusammenbruch des QHE läßt sich sich zum einen durch eine Temperaturerhöhung erzielen, zum anderen läßt er sich aber auch elektrisch erreichen. Eine Erhöhung des Probenstroms führt zu einer Verkleinerung der Hall- Plateaus und der Minima in ρ xx bezüglich des Magnetfeldbereichs. Dies ist in Abb. 2.9(a) zu beobachten, in der die Werte ρ xy und ρ xx für zwei Probenströme von 5 µa bzw. 50 µa aufgetragen sind. Bei dem niedrigeren Probenstrom lassen sich ausgeprägte Minima in den SdH-Oszillationen und Plateaus in ρ xy beobachten. Bei dem höheren Probenstrom hingegen ist nur noch bei ν=2 ein, über einen sehr kleinen Magnetfeldbereich ausgedehntes, Minimum mit dem entsprechend kleinen Plateau in ρ xy zu sehen. Das der QHE nur noch bei ν=2 beobachtet wird liegt daran, daß der kritische Strom abhängig von der Energielücke E n B ist (s. Gl 2.8). Aufgrund des relativ kleinen effektiven Landé- Faktors g in GaAs/AlGaAs-Heterostrukturen ergibt sich eine entsprechend kleine Energielücke zwischen dem nullten (Spin=- 1 ) und dem ersten Landau-Niveau 2 (Spin=+ 1 ), womit die größte Energielücke bei ν=2 und nicht bei ν = 1 (bei 2 doppeltem Magnetfeld) vorzufinden ist. Der Zusammenbruch läßt sich ebenso in der I-V -Kennlinie beobachten (s. Abb. 2.9(b)). Ist der kritische Strom I c erreicht, so steigt der longitudinale Spannungsabfall V x um mehrere Größenordnungen an. 21

22 2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts Abbildung 2.9: Elektrisch herbeigeführter Zusammenbruch des QHE. (a) Anhand der SdH-Oszillationen läßt sich der Zusammenbruch durch ein verschwinden der Plateaus in ρ xy bei gleichzeitigem Abweichen der ρ xx - Werte von Null beobachten. Nur bei Füllfaktor ν=2 ist der QHE noch nicht zusammengebrochen.(b) Der Zusammenbruch läßt sich ebenso in der I V -Kennlinie beobachten. Bei einem kritischen Strom I c steigt der longitudinale Spannungsabfall V x um mehrere Größenordnungen an. Phänomenologisch betrachtet läßt sich der elektrisch herbeigeführte Zusammenbruch des QHE wie folgt beschreiben: Im Idealfall des QHE (T, I 0) erhält man im Bereich ganzzahliger Füllfaktoren die Tensorkomponenten ρ xx = 0 und ρ xy = h/ie 2. Da ein Stromfluß nur in x-richtung vorliegt, ergibt sich die Tensorrelation E = ˆρ j zu ) ( ) (jx ) ( Ex E y = 0 h ie 2 h ie = ( ) 0 h, (2.17) j ie 2 x womit sich die Dissipation (Verlustleistung) pro Flächenelement zu Null ergibt ( P = j E). Wie in Abb. 2.10(a) zu sehen ist, beträgt der Hall-Winkel Θ (Winkel A zwischen Hall-Feld und Stromrichtung) im Falle des QHE 90. Der Verlauf der Äquipotentiallinien zeigt jedoch, daß dies nur im Probeninneren zutrifft. In der Nähe der Stromkontakte ist der Hall-Winkel ungleich 90, was bedeutet das an den Probenrändern Dissipation auftritt. Diese sogenannten Hot Spots an den Probenrändern wurden experimentell von Klaß et al. beobachtet [25]. Im Falle des Zusammenbruchs ist das elektrische Feld in Stromflußrichtung E x 0 (ρ xx 0), somit ist Θ 90, und Dissipation tritt in der gesamten Probe auf (s. Abb. 2.10(b)). Bis heute wurden unterschiedliche Mechanismen und Modelle zur Erklärung des Zusammenbruchs des QHE vorgeschlagen, jedoch ist bisher kein Mechanismus oder Modell dazu in der Lage, alle experimentell beobachteten Vorgänge korrekt wiederzugeben [26, 27, 28, 29]. Im folgenden sollen zwei bisher vergleichsweise erfolgreiche Modelle vorgestellt werden. Zum einen wird auf das QUILLS-Modell 22

23 2.3 Ladungstransport in zweidimensionalen Elektronengasen Abbildung 2.10: Hall-Winkel in den Bereichen des QHE und des Zusammenbruchs. Die gestrichelten Linien stellen Äquipotentiallinien dar. (a) (QHE: j x < j c ) Der Hall-Winkel Θ beträgt 90. Dissipation tritt nur in Nähe der Stromkontakte auf. (b) (Zusammenbruch: j x > j c ) Der Hall-Winkel Θ ist kleiner als 90. Dissipation tritt in der gesamten Probe auf. [30] eingegangen, welches quasi-elastische Inter-Landau-Level Streuprozesse als für den Zusammenbruch des QHE verantwortlichen Prozeß sieht. Desweiteren soll das thermodynamische Hot-Electron-Modell [31] präsentiert werden QUILLS-Modell Das QUILLS(Quasi-elastische Inter-Landau-Level Streuprozesse)-Modell wurde 1986 von Eaves und Sheard vorgeschlagen [30]. Anhand dieses Modells wollten die Autoren Ergebnisse erklären, die kurz zuvor von Bliek et al. veröffentlicht wurden [32]. Bliek et al. untersuchten den Zusammenbruch des QHE an GaAs/AlGaAs-Proben mit schmaler Kanalbreite (w = 1 µm), an denen sie wesentlich höhere kritische Stromdichten beobachteten als zuvor von z.b. Cage et al. [33] und Ebert et al. [10] berichtet. Nach diesem Modell wird der Zusammenbruch des QHE durch Hall-Feld-induziertes Tunneln von Elektronen aus dem höchsten besetzten Landau-Niveau in das niedrigste unbesetzte Niveau verursacht. In Abb ist dieser Vorgang schematisch dargestellt. Die Landau-Niveaus sind aufgrund des Hall-Feldes verkippt, was zu einem Überlapp der Wellenfunktionen beider Landau-Niveaus führt. Das sich aus diesem Modell ergebende kritische Hall-Feld E c erfüllt die Proportionalitätsgleichung E c ω c /l B B 3/2, mit der magnetischen Länge l B = e/b. Qualitativ wurde dies von Kawaji et al. nachgewiesen [34], jedoch weichen die experimentell gemessenen E c um zwei Größenordnungen von den zu hohen theoretischen Werten ab. 23

24 2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts Abbildung 2.11: Schematische Darstellung eines quasi-elastischen Streuprozesses eines Elektrons vom gefüllten Landau-Niveau n in das unbesetzte Niveau n+1. Die sich überlappenden Wellenfunktionen entsprechen denen der beiden Landau-Niveaus unterhalb und oberhalb der Fermi-Energie Hot-Electron-Modell Ebert et al. haben 1983 ein Hot-Electron-Modell (HEM) zur qualitativen Interpretation ihrer Daten herangezogen [10,31]. Erste quantitative Vergleiche zwischen experimentellen Ergebnissen und theoretischen Berechnungen des HEM wurden 1985 von Komiyama et al. veröffentlicht [35]. Später befasste sich Nachtwei noch ausführlich mit der Ausarbeitung dieses Modells [11, 36]. Der Ausgangspunkt des HEM ist eine Gleichung für die Energie, bezogen auf Flächen- und Zeiteinheit, in der, die dem 2DES zugeführte Leistung pro Fläche p gain = σ xx E 2 r, (2.18) mit dem radialen elektrischen Feld in einer Corbino-Probe E r, und die Verlustleistung des 2DES pro Fläche p loss = ɛ(t el) ɛ(t L ) τ relax (2.19) gleichgesetzt werden. Gl beschreibt die Relaxation der Energie ɛ(t el ) bei erhöhter Elektronentemperatur T el zurück zur Energie ɛ(t L ) bei der Gittertemperatur T L. Man erhält so die Leistungsgleichung σ xx (T el )E 2 r = ɛ(t el) ɛ(t L ) τ relax = ɛ(t el, T L ) τ relax, (2.20) 24

25 2.3 Ladungstransport in zweidimensionalen Elektronengasen mit der zugehörigen Relaxationszeit τ relax. Die Relaxationszeit für Streuprozesse an Phononen ist in folgender Weise von der Elektronentemperatur abhängig: τ ep = 1, (2.21) C ep Tel 2 wobei C ep ein empirischer Parameter ist [35]. Spätere Untersuchungen ergaben, daß Streuung an Störstellen maßgeblich für den Zusammenbruch des QHE verantwortlich ist [37, 38]. Damit verbunden ist die Driftzeit zwischen zwei inelastischen Streuprozessen τ D : τ D = l D /v D = l D BG(r 1, r 2 )/V SD, (2.22) mit der inelastischen Streulänge l D, dem Magnetfeld B, der angelegten Spannung zwischen dem Source- und Drain-Kontakt der Corbino-Probe V SD und dem Geometriefaktor G(r 1, r 2 ) einer Corbino-Probe, wobei r 1 und r 2 die Radien der Kontakte beschreiben. Damit ergibt sich die totale Streurate 1/τ relax zu: 1 = = C ep T 2 V SD el + τ relax τ ep τ D l D BG(r 1, r 2 ). (2.23) Die Energie des 2DES in Abhängigkeit von der Temperatur läßt sich analytisch nur berechnen, wenn die Fermi-Energie E F bei einem ganzzahligen Füllfaktor ν liegt. Unter der Voraussetzung, daß eine konstante Hintergrundzustandsdichte lokalisierter Zustände D BG vorliegt, erhält man: ɛ(t el, T L ) = π2 k 2 B 6 D BG(T 2 el T 2 L). (2.24) Die Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit σ xx ist gegeben durch (s. [37]) σ xx (T el ) = σ 0 exp{ E/k B T el } + σ BG. (2.25) Der erste Term beschreibt hier die thermische Aktivierung (mit der Aktivierungslücke E = ω c /2). Der zweite Term ist die Hintergrundleitfähigkeit σ BG. Diese basiert auf Tunnelprozessen, welche durch thermisch assistierte und/oder elektrische Felder bedingte Delokalisierung ermöglicht werden [36, 37]. Ein Einsetzen der Gl und 2.24 in Gl ermöglicht, zusammen mit der Temperaturabhängigkeit von σ xx (T el ), das Aufstellen einer Gleichung, welche die Spannung V SD als Funktion der Elektronentemperatur angibt: V SD (T el ) = V Drift + 4 V Drift 2 + V elph 2, (2.26) mit dem Driftanteil V Drift (T el ) V Drift (T el ) = G(r 1, r 2 ) ɛ(t el, T L ) l D B σ xx (T el ) (2.27) 25

26 2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts und dem Elektron-Phonon-Wechselwirkungsanteil V elph (T el ) ( ) 1/2 V elph (T el ) = G(r 1, r 2 ) C ep Tel 2 ɛ(t el, T L ). (2.28) σ xx (T el ) Durch das Aufstellen der Umkehrfunktion von Gl erhält man die Elektronentemperatur als Funktion der angelegten Source-Drain-Spannung, welche einen S-förmigen Verlauf aufweist (s. Abb 2.13). Da die Leitfähigkeit σ xx mit der Elektronentemperatur T el wächst, entspricht die erhaltene Funktion einer S-förmigen I-V -Kennlinie [35]. Der Bereich des Kurvenverlaufs, in dem T el / V SD < 0 ( I SD / V SD < 0) gilt, ist instabil. Anhand dieses Ergebnisses läßt sich die Entstehung einer, experimentell häufig beobachteten, Hysterese in der I-V - Kennlinie erklären [10,11]. Einer Spannungserhöhung über den kritischen Punkt V max hinaus (s. Abb. 2.13(c)) folgt ein drastischer Sprung der Elektronentemperatur (in Abb. 2.13(c) springt T el von ca. 6 K auf ca. 38 K für σ BG = S). Dieser abrupte Anstieg von T el entspricht dem Sprung in der I-V -Kennlinie beim Zusammenbruch des QHE in Abb. 2.9(b). Wenn V SD > V max ist, und V SD dann verringert wird, erfolgt ein ähnlicher Sprung in der Elektronentemperatur, nur erfolgt dieser an der in Abb. 2.13(c) mit V min gekennzeichneten Stelle. Somit ergibt sich eine Hysterese in der I-V -Kennlinie. Die die Hysterese bestimmenden Werte V min und V max sind von den Parametern l D, D BG, C ep, B, G(r 1, r 2 ) und σ xx (T el ) abhängig. In Abb ist zu sehen, wie eine Variation der Paramter D BG, l D und σ BG den Verlauf der Funktion beeinflussen. Besonders zu betonen ist hier der starke Einfluß von σ BG auf den Wert von V max. Wenn σ xx (T ) als rein thermisch aktiviertes Verhalten angenommen wird (d.h. σ BG = 0), ergeben sich Werte für V max, die wesentlich größer sind als die experimentell gemessenen Werte. Durch die Inbezugnahme einer Hintergrundleitfähigkeit σ BG erhält man theoretische Werte für V max, die den experimentellen entsprechen (s. auch Kap. 6.1). Eine viel diskutierte Frage bleibt nach wie vor, um welche Art Ladungsträgertransport es sich bei der subkritischen Leitfähigkeit σ xx (vgl. Gl. 2.25) handelt. Eine Möglichkeit wäre, daß es sich bei der subkritischen Leitfähigkeit nur um thermisch aktivierte Inter-Landau-Niveau-Übergänge handelt. In diesem Fall würde die Leitfähigkeit der Form σ xx (T ) exp{ E/k B T } (2.29) entsprechen ( E entspricht der Energielücke ω c /2). Es besteht jedoch auch die Möglichkeit, daß zusätzlich Intra-Landau-Niveau-Übergänge, sogenanntes Hopping, das Zustandekommen der subkritischen Leitfähigkeit mitbewirken. Bei diesen Intra-Landau-Niveau-Übergängen handelt es sich um Tunnelprozesse zwischen lokalisierten Zuständen (s. Abb. 2.12). Es wurden unterschiedliche Versuche unternommen, experimentell ermittelte σ xx (T ) mit dem Hopping-Ansatz σ BG (T ) T m exp{ (T 0 /T ) α } (2.30) 26

27 2.3 Ladungstransport in zweidimensionalen Elektronengasen Abbildung 2.12: Tunnelprozesse zwischen lokalisierten Zuständen. Die durchgezogene Kurve repräsentiert ein Landau-Niveau inklusive Energiefluktuationen. Die Zustände unterhalb der Fermi-Kante (gestrichelte Linie) sind lokalisiert. Mögliche Tunnelprozesse von Elektronen zwischen zwei lokalisierten Zuständen sind angedeutet. zu beschreiben, wobei α=1/3 dem sogenannten Mott-Hopping entspricht [39]. Für m=1 und α=1/2 beschreibt Gl das sogenannte Variable-Range-Hopping (VRH), dessen Annahme bei der Modellierung experimenteller Daten meist wesentlich bessere Ergebnisse erzielt als die Anwendung des Mott-Hoppings [40,41]. Anzumerken wäre noch, daß für die Berechnungen von T el (V SD ) die Konstante C ep = 1, K 2 s 1 gesetzt wurde [35]. Desweiteren wurde der Geometriefaktor G(r 1, r 2 ) = r 2 r 1 gesetzt, was einem linearen Potentialverlauf entspricht, und nicht, wie für eine Corbino-Probe erwartet, einem 1/r-Profil. Dies erfolgte aufgrund der Tatsache, das Modellierungsversuche mit einem linearen Profil deutlich bessere Ergebnisse bezüglich des Experiments lieferten. Ähnliche Ergebnisse, den Potentialverlauf betreffend, wurden auch von Ahlswede et al. erzielt [42]. Ahlswede et al. beobachteten bei Untersuchungen des Potentialverlaufs in QH-Proben mit einem Rasterkraftmikroskop ein nahezu lineares Profil sowohl in Proben mit Hall-Bar- als auch in Proben mit Corbino-Geometrie. 27

28 2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts Abbildung 2.13: Elektronentemperatur T el als Funktion der Spannung V SD, für (a) unterschiedliche Hintergrundzustandsdichten D BG (l D = 10 µm, σ BG = S, n s =2, cm 2, T L =1,5 K); (b) verschiedene Streulängen l D (D BG = mev 1 cm 2 ); (c) für drei Werte von σ BG (D BG = mev 1 cm 2, l D = 10 µm). In (c) sind zusätzlich die kritischen Spannungswerte V min und V max, sowie die, durch die Differenz V max V min entstehende, Hysterese eingezeichnet. 28

29 3 Apparaturen und Proben Im folgenden sollen die verwendeten Meßgeräte und Apparate kurz vorgestellt und erläutert werden. Auf die genauen Schaltschemata für die unterschiedlichen Messungen wird in den jeweiligen Kapiteln eingegangen. 3.1 Kryostaten Um Transportmessungen an QH-Systemen durchführen zu können, benötigt man einen Magnetkryostaten, der es ermöglicht, bei tiefen Temperaturen (hier T 4,2 K), ein Magnetfeld anzulegen. Für die im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Messungen wurden zwei verschiedenen Apparaturen verwendet. Für Temperaturen im Bereich von 1,6 K bis 4,2 K wurde ein 4 He -Kryostat benutzt, für niedrigere Temperaturbereiche kam ein 3 He / 4 He -Mischkryostat (Universität Hannover, AG Prof. Haug) zum Einsatz He -Kryostat Der 4 He -Magnetkryostat (s. Abb. 3.1) besitzt ein sogenanntes Hauptbad, in welches das flüssige Helium eingefüllt wird. Zum einen wird über ein Nadelventil aus diesem Hauptbad Helium in die Meßkammer (VTI-variable temperature insert) weitergeleitet, zum anderen hält das flüssige Helium die supraleitende Magnetspule unterhalb ihrer kritischen Sprungtemperatur T C. Die Meßkammer ist an eine Pumpe angeschlossen, die es ermöglicht den Dampfdruck auf etwa 9 mbar abzusenken, was Temperaturen bis hinab zu 1,6 K entspricht. Mittels eines Probenhalters, einem sogenannten Meßspieß, wird die Probe so in die Meßkammer eingelassen, daß sich diese genau in der Mitte des Magneten befindet. Am oberen Ende des Probenhalters befinden sich elektrische Anschlüsse, die es gestatten, eine Spannung an die Probe anzulegen, bzw. den Stromfluß durch diese zu messen. Desweiteren ist in unmittelbarer Nähe der Probe eine Diode zur Temperaturmessung angebracht, welche auch am Kopf des Probenhalters beschaltet wird. Ebenfalls ein wichtiger Bestandteil des Kryostaten sind die beiden Vakuumkammern, die das Hauptbad von der Umgebung isolieren (OVC-outer vacuum case) und die Meßkammer vom Hauptbad trennen (IVC-inner vacuum case). Zur Vermeidung von Wärmeleitung werden diese beiden Kammern auf einen Druck von ca mbar (bei Raumtemperatur) abgepumpt. 29

30 3 Apparaturen und Proben Abbildung 3.1: Schematische Darstellung eines 4 He -Magnetkryostaten Mischkryostat Das Kühlprinzip eines Mischkryostaten (s. Abb. 3.2) ähnelt dem des 4 He Kryostaten insofern, als das auch hier ein Abpumpverfahren benutzt wird. Wesentlich ist hierbei das Auftreten einer Phasenseparation in 3 He / 4 He -Mischungen bei tiefen Temperaturen. Es bilden sich eine leichte 3 He -reiche sowie eine schwerere 3 He -arme Phase aus. Der Kühlmechanismus besteht in dem Übertritt von 3 He -Atomen aus der leichten in die schwere Phase, was aufgrund der unterschiedlichen Entropien der 3 He -Atome in den beiden Phasen zustande kommt. Es bedarf eines komplexen Kreislaufes, um diesen Kühlmechanismus kontinuierlich zu betreiben. Das Kreislaufsystem befindet sich in einem Vakuumbehälter, der wiederum in ein 4 He -Bad eingelassen ist. Wesentliche Bestandteile sind hier die Mischkammer, der Verdampfer und ein Gegenstromwärmetauscher. In der Mischkammer befindet sich das Phasengemisch. Der Verdampfer wird auf einer Temperatur von 0,7 K gehalten, wodurch aufgrund der unterschiedlichen Dampfdrücke von 3 He und 4 He bei dieser Temperatur fast ausschließlich 3 He abgepumpt wird, obwohl der 3 He -Anteil in der flüssigen Phase im Verdampfer weniger als 1% beträgt. Das 3 He wird nach dem Abpumpen in einer Stickstoffalle gereinigt und wieder in den Kryostaten geleitet, wobei es über den Wärmetauscher vorgekühlt wird, bevor es erneut in die Mischkammer gelangt. Mit diesem Verfahren ist es möglich Temperaturen von einigen mk zu erreichen [43]. 30

31 3.2 Meßgeräte Abbildung 3.2: Schematische Darstellung des 3 He / 4 He - Kreislaufes eines Mischkryostaten. Bei den zu 100% fehlenden Bestandteilen handelt es sich um 4 He. 3.2 Meßgeräte Für die Charakterisierungsmessungen, d.h. für die Messungen der Shubnikovde-Haas- Oszillationen und die Messungen der I-V -Kennlinien, wurden als Spannungsquelle ein Keithley 236 und als Voltmeter ein Keithley 2000 eingesetzt. Für die Wechselspannungsmessungen wurden zwei unterschiedliche AC-Generatoren verwendet. Bei den Messungen, die in Braunschweig durchgeführt wurden, wurde ein Leybold benutzt, bei den Messungen in Hannover stand ein HP3325A zur Verfügung. Das verwendete Oszilloskop zum Auslesen der am seriellen Widerstand abfallenden Spannung war ein Tektronix TDS3052. Bei dem Impulsgenerator für die Impulsmessungen handelte es sich um ein HP8133A. 31

32 3 Apparaturen und Proben 3.3 Automatisierung Alle Messungen wurden computerunterstützt mit selbstgeschriebenen Progammen unter LabView durchgeführt. Bei LabView handelt es sich um ein Programm, mit dem mittels einer graphischen Programmiersprache Meßprogramme geschrieben werden können. Diese Meßprogramme heißen hier VIs (Virtuelle Instrumente), da auf dem Monitor ein virtuelles Gerät dargestellt wird, an dem alle Einstellungen, die jeweilige Messung betreffend, vorgenommen werden können. Ein sogenanntes Blockdiagramm ermöglicht durch graphische Symbole, welche vorgegebene Alghorithmen repräsentieren, den Progammablauf festzulegen. Meßgeräte, die über eine Schnittstelle (GPIB/RS232) verfügen, können in LabView eingebunden werden. 3.4 Proben Die verwendeten Proben wurden mittels Molekularstrahlepitaxie am Max- Planck-Institut für Festkörperforschung in Stuttgart hergestellt und in der Physikalisch Technischen Bundesanstalt (PTB) in Braunschweig strukturiert und kontaktiert. Die Messungen wurden ausschließlich an Proben mit Corbinogeometrie (s. Abb. 3.3) durchgeführt. Der typische Aufbau der GaAs/AlGaAs Heterostruktur aus denen die verwendeten Proben gefertigt wurden ist in Abb. 2.1 dargestellt. Es wurden Proben aus zwei unterschiedlichen Wafermateriali- Abbildung 3.3: Skizze einer Corbino-Probe. Die, die Kanalbreite bestimmenden Radien sind angegeben. en, Wafer (a) und Wafer (b), verwendet, die sich in der Ladungsträgerdichte und Elektronenbeweglichkeit voneinander unterscheiden. Richtwerte für die Ladungsträgerdichte und die Elektronenbeweglichkeit der beiden Wafermaterialien sind in Tab. 3.1 angegeben. Die exakten Werte können bei ein und derselben Probe bei verschiedenen Abkühlzyklen geringfügig variieren. Wenn eine Probe zwischen zwei Messungen eine höhere Temperatur, von z.b. 50 K angenommen hat, kann man faktisch davon ausgehen, daß es sich um unterschiedliche Proben handelt. Die exakten Werte der Elektronendichte und -beweglichkeit wurden vor jeder Messung anhand der Shubnikov-de-Haas-Oszillationen bestimmt. Die 32

33 3.4 Proben Bestimmung der Elektronendichte erfordert eine Auftragung der Leitfähigkeit σ xx über 1/B. Dadurch ergeben sich Oszillationen mit einer Periode (1/B). Die Elektronendichte lässt sich mit diesem Wert zu n s = 2e h (1/B) (3.1) bestimmen. Mit bekannter Elektronendichte n s lässt sich auch die Elektronenbeweglichkeit wie folgt bestimmen: µ H = σ xx(b = 0). (3.2) n s e Auf den beiden Wafern wurden Corbinoproben mit unterschiedlichen Kanalbreiten strukturiert, wobei der Radius der Innenkontakte bei allen Proben 100 µm beträgt. Messungen wurden an je zwei Proben beider Wafer durchgeführt, wobei die Innenradii der Außenkontakte 150 µm, 200 µm bzw. 300 µm betragen, d.h. die Kanalbreiten haben Werte von 50 µm, 100 µm bzw. 200 µm. Die Kanalbreiten der jeweiligen Proben finden sich auch in Tab. 3.1 wieder. Wafer Probe n s [10 11 cm 2 ] µ H [10 5 cm 2 /Vs] Kanalbreite [µm ] 8447 (a) (a1) 2, (a) (a2) 2, (b) (b1) 4,8 1, (b) (b2) 4,8 1, Tabelle 3.1: Ladungsträgerdichte n s, Elektronenbeweglichkeit µ H der verwendeten Proben und Kanalbreite 33