Klausurspiel_Statistik (2) Forschungswege - Kristina Lucius

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1 Alle Zitate (Seitenzahlen in Klammern) sind entnommen aus: Mittag, H.-J. (2011). Statistik. Eine interdisziplinäre Einführung. Kurseinheit 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Studienbrief Hagen: FernUniversität. Kurseinheit 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik Kap. 10: Zufallsvorgänge und Wahrscheinlichkeiten 1A) Modelle der Wahrscheinlichkeitsrechnung erlauben es, den Verlauf zufallsabhängiger Prozesse abzuschätzen. B) Modelle der Wahrscheinlichkeitsrechnung erlauben, von Stichproben auf Grundgesamtheiten zu schließen. C) Ein Zufallsvorgang ist ein Prozess, der zu einem von mehreren, sich gegenseitig ausschließenden Ergebnissen führt. D) Das Ergebnis eines Zufallsprozesses ist vorab bekannt. E) Die möglichen Ergebnisse eines Zufallsvorganges heißen Omega-Ereignisse. Lösung: A (113), B (113), C (113) zu D) Welches Ergebnis eintritt, ist vorab nicht bekannt. (113) zu E) Die möglichen Ergebnisse eines Zufallsvorganges heißen Elementarereignisse. (113) 2A) Die Ergebnismenge ist die Menge Omega. B) Die Ergebnismenge enthält immer endlich viele Elemente. C) Eine Teilmenge von Omega heißt Teilereignis. D) Elementarereignisse sind Ereignisse, die nicht weiter zerlegbar sind. E) Das Komplementärereignis zu A ist das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn A nicht eintritt. Lösung: A (113), D (113), E (113) zu B) Die Ergebnismenge kann endlich oder auch unendlich viele Elemente enthalten. (113) zu C) Eine Teilmenge von Omega heißt Ereignis. (113) 3A) Das Komplementärereignis zum sicheren Ereignis ist das unsichere Ereignis. B) Die Schnittmenge von A und B ist ein Ereignis, das genau dann eintritt, wenn sowohl A als auch B eintritt. C) Disjunkte Ereignisse sind Ereignisse, deren Schnittmenge eine leere Menge ist. D) Tritt mindestens eines der beiden Ereignisse A oder B ein, spricht man von Vereinigungsmenge. E) In einem Venn-Diagramm repräsentiert das Rechteck die Teilmenge A oder B. Lösung: B (113), C (113f), D (114), E (114) zu A) Das Komplementärereignis zum sicheren Ereignis ist das unmögliche Ereignis. (113) zu E) In einem Venn-Diagramm repräsentiert das Rechteck die Ergebnismenge Omega. (114) 4A) Beim einfachen Münzwurf besteht die Ergebnismenge Omega aus zwei Elementen. B) Beim Würfeln mit einem Würfel sind die Augenzahlen die Elementarereignisse. C) Beim Würfeln mit zwei Würfeln umfasst Omega zwölf Elementarereignisse. D) Zufallsvorgänge, die unter kontrollierten Bedingungen ablaufen, nennt man Zufallsexperiment.

2 E) Die durchschnittlichen Außentemperaturen an Klausurorten im März oder September sind Ergebnisse von Zufallsprozessen, die unter kontrollierten Bedingungen zustande kommen. Lösung: A (114/Bsp. 10.1), B (114f/Bsp. 10.1), D (115) zu C) Beim Würfeln mit zwei Würfeln umfasst Omega 36 Elementarereignisse. (115/Bsp. 10.1) zu E) Die durchschnittlichen Außentemperaturen an Klausurorten im März oder September sind Ergebnisse von Zufallsprozessen, die unter nicht-kontrollierten Bedingungen zustande kommen. 5A) In der Statistik wird der Wahrscheinlichkeitsbegriff objektiv quantifiziert. B) Das Axiomensystem von Kolmogoroff legt Eigenschaften fest, die für relative Häufigkeiten gelten müssen. C) In einem Laplace-Experiment ist die Ergebnismenge endlich und die Wahrscheinlichkeiten für die n Elementarereignisse alle gleich groß. D) Die Bezeichnung günstiges Ereignis bedeutet: A ist eingetreten. E) Der Laplace-Ansatz eignet sich nur für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für Ereignisse beim Roulette. Lösung: A (116), C (117), D (117/Fußnote 3) zu B) Das Axiomensystem von Kolmogoroff legt Eigenschaften fest, die für Wahrscheinlichkeiten gelten müssen. (117) zu D) Der Laplace-Ansatz eignet sich für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für Ereignisse beim Würfeln, bei Münzwürfen und beim Roulette. (118/Bsp.10.2) 6A) Ein Zufallsexperiment kann man in der Praxis unendlich oft durchführen. B) Die Schätzgüte bei einem Zufallsexperiment verbessert sich tendenziell mit abnehmenden n. C) Wenn sich die relative Häufigkeit dem Grenzwert 0,5 annähert, ist von einer fairen Münze auszugehen. D) Kombinatorik befasst sich mit der Ermittlung der Anzahl von Möglichkeiten bei der Anordnung und Auswahl von Objekten. E) Das Urnenmodell wird für Zufallsvorgänge mit endlicher Ergebnismenge eingesetzt. Lösung: C (119), D (120), E (120) zu A) Ein Zufallsexperiment kann man in der Praxis nicht unendlich oft durchführen. (119) zu B) Die Schätzgüte bei einem Zufallsexperiment verbessert sich tendenziell mit zunehmendem n. (119) 7A) Wenn jede Stichprobe des Umfangs n mit gleicher Wahrscheinlichkeit realisiert wird, liegt eine einfache Zufallsstichprobe vor. B) Bei einer Stichprobenziehung mit Zurücklegen wird jedes Element der Stichprobe einzeln gezogen und nach der Ziehung wieder zurückgelegt. C) Ein n-facher Münzwurf lässt sich als eine Stichprobenziehung ohne Zurücklegen interpretieren. D) Ein Beispiel für eine Stichprobenziehung ohne Zurücklegen ist die Ziehung der Lottozahlen. E) Ist die Reihenfolge der Auswahl wesentlich, wird also die Anordnung berücksichtigt, liegt eine ungeordnete Auswahl vor. Lösung: A (120), B (120), D (120) zu C) Ein n-facher Münzwurf lässt sich als eine Stichprobenziehung mit Zurücklegen

3 interpretieren. (120) zu E) Ist die Reihenfolge der Auswahl wesentlich, wird also die Anordnung berücksichtigt, liegt eine geordnete Auswahl vor. (120) 8A) Die verschiedenen Anordnungen nennt man Mutationen der n Elemente. B) Für 0 ist die Fakultät durch 0! = 1 definiert. C) Wahrscheinlichkeiten, die mit Vorinformationen berechnet werden, nennt man bedingte Wahrscheinlichkeiten. D) Stochastisch unabhängig sind zwei zufällige Ereignisse, wenn das Eintreten eines Ereignisses kaum Einfluss auf das andere Ereignis hat. E) Beispiele für unabhängig sind die Ergebnisse zweier aufeinanderfolgender Roultettespiele oder Münzwürfe. Lösung: B (121/Fußnote 6), C (123f), E (125) zu A) Die verschiedenen Anordnungen nennt man Permutationen der n Elemente. (121) zu D) Stochastisch unabhängig sind zwei zufällige Ereignisse, wenn das Eintreten eines Ereignisses keinen Einfluss auf das andere Ereignis hat. (124) Kap. 11: Diskrete Zufallsvariablen 9A) Zählvariablen sind stets stetig. B) Als stetig gelten Zufallsvariablen, deren Anzahl der Ausprägungen nicht abzählbar ist. C) Empirische Verteilungen basieren auf Modellen. D) Theoretische Verteilungen sind Modelle, mit denen man die Realität näherungsweise abzubilden versucht. E) Besitzen alle Ausprägungen die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit, spricht man von diskreter Gleichverteilung. Lösung: (129), D (129), E (129) zu A) Zählvariablen sind stets diskret. (129) zu C) Empirische Verteilungen basieren auf Daten. (129) 10A) Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion kann nur negative Werte annehmen. B) Zur Beschreibung von diskreten Zufallsvariablen kann man anstelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion auch die theoretische Verteilungsfunktion heranziehen. C) Die Verteilungsfunktion ist eine monoton wachsende Treppenfunktion. D) Durch Aufsummieren relativer Häufigkeiten kommt man zu empirischen Verteilungsfunktionen. E) Nach der letzten Sprungstelle erreicht die Verteilungsfunktion den aufsummierten Wert aller Häufigkeiten. Lösung: B (130), C (131), D (131) zu A) Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion kann nur nicht-negative Werte annehmen. (130) zu E) Nach der letzten Sprungstelle erreicht die Verteilungsfunktion den Wert 1.

4 Zwischenauswertung: mögliche Punkte: 50 erreichte Punkte:... 11A) Die diskrete Gleichverteilung und die Bernoulli-Verteilung sind Spezialfälle einer diskreten Verteilung. B) Eine Zweipunkt-Verteilung liegt vor, wenn eine Zufallsvarable nur zwei Ausprägungen aufweist. C) Ein Bernoulli-Experiment ist ein statistisches Experiment, dessen Ausgang durch ein bernoulliverteiltes Merkmal beschrieben wird. D) Wird ein Bernoulli-Experiment wiederholt durchgeführt und sind die Einzelexperimente unabhängig voneinander, spricht man von unabhängigen Bernoulli-Experimenten. E) Wenn die Ausprägungen zu 1 und 0 umcodiert werden, wird eine Bernoulli-Verteilung auch 1:0- Verteilung genannt. Lösung: A (133), B (133), C (134) zu D) Wird ein Bernoulli-Experiment wiederholt durchgeführt und sind die Einzelexperimente unabhängig voneinander, spricht man von einer Bernoulli-Kette. (134) zu E) Wenn die Ausprägungen zu 1 und 0 umcodiert werden, wird eine Bernoulli-Verteilung auch Null-Eins-Verteilung genannt. 12A) Mit Lage- und Streuungsparametern kann die Variablilität eines Datensatzes ausgedrückt werden. B) Der Erwartungswert E (X) ist der Schwerpunkt ( = arithmetisches Mittel) der Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen. C) Die Varianz V (X) einer Zufallsvariablen ist der Erwartungswert der Wurzel aus der Differenz zwischen X und E (X). D) Für die Berechnung der Standardabweichung von X zieht man die Wurzel aus der Varianz (X). E) Der Mittelwert bezieht sich auf eine theoretische Verteilung. Lösung: A (135), B (135), D (136/Formel 11.10) zu C) Die Varianz V (X) einer Zufallsvariablen ist der Erwartungswert der quadrierten Differenz zwischen X und E (X). (135) zu E) Der Mittelwert bezieht sich auf eine empirische Verteilung. (136) 13A) Der Erwartungswert kann sich auch auf eine theoretische Verteilung beziehen. B) Bezieht sich die Varianz auf einen Datensatz, ist die Modellebene gemeint. C) Ist von der Varianz einer Zufallsvariablen die Rede, ist die empirische Ebene gemeint. D) Bei theoretischen Verteilungen kann man, wie bei empirischen Verteilungen, Quantile zur näheren Charakterisierung heranziehen. E) Zur eindeutigen Festlegung von Quantilen bei diskreten Verteilungen wird eine Zusatzbedingung benötigt. Lösung: D (137), E (137) zu A) Der Erwartungswert bezieht sich immer auf eine theoretische Verteilung. (136) zu B) Bezieht sich die Varianz auf einen Datensatz, ist die empirische Ebene gemeint. (136)

5 zu C) Ist von der Varianz einer Zufallsvariablen die Rede, ist die Modellebene gemeint. (136) 14A) Der Erwerbsstatus einer Person (erwerbstätig/nicht erwerbstätig) hat den Charakter einer Binärvariable. B) Merkmale mit mehr als zwei Ausprägungen können nicht auf Binärvariablen zurückgeführt werden. C) Das Würfeln mit einem Würfel lässt sich als Bernoulli-Experiment interpretieren. D) Die Verteilung der Zählvariablen X heißt Binominalverteilung. E) Die Binominalverteilung ist ein Spezialfall der Null-Eins-Verteilung. Lösung: A (137), C (138), D (138) zu B) Merkmale mit mehr als zwei Ausprägungen können stets auf Binärvariablen zurückgeführt werden. (138) zu E) Die Null-Eins-Verteilung ist ein Spezialfall der Binominalverteilung ( n = 1). (138) 15A) Die Aussagen X ~ B(1,p) und X ~ Be(p) sind identisch. B) Durch Aufsummieren von Werten der Wahrscheinlichkeitsfunktionen ergeben sich Werte der Verteilungsfunktion. C) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binominalverteilung ist für p = 0,25 symmetrisch bezüglich des Erwartungswertes. D) Die Binominalverteilung beschreibt das Zufallsverhalten einer Zählvariablen bei einem n-fach durchgeführten Bernoulli-Experiment. E) Bei einem Bernoulli-Experiment sind die einzelnen Experimente voneinander abhängig. Lösung: A (139), B (139), D (143) zu C) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binominalverteilung ist für p = 0,5 symmetrisch bezüglich des Erwartungswertes. (139) Zu E) Bei einem Bernoulli-Experiment sind die einzelnen Experimente voneinander unabhängig. (143) 16A) Die Zählvariable weist aus, wie häufig einer der beiden möglichen Ausgänge innerhalb der Bernoulli-Kette auftreten kann. B) Die Binominalverteilung lässt sich durch das Urnenmodell ohne Zurücklegen veranschaulichen. C) Beim Urnenmodell ohne Zurücklegen sind die Einzelexperimente nicht mehr voneinander unabhängig. D) Die Stichprobenentnahme ohne Zurücklegen entspricht einer Binominalverteilung. E) Eine hypergeometrische Verteilung ist durch drei Parameter beschrieben. Lösung: C (144), E (144) zu A) Die Zählvariable weist aus, wie häufig einer der beiden möglichen Ausgänge innerhalb der Bernoulli-Kette auftrat. (143) zu B) Die Binominalverteilung lässt sich durch das Urnenmodell mit Zurücklegen veranschaulichen. (143) zu D) Die Stichprobenentnahme ohne Zurücklegen entspricht einer hypergeometrischen Verteilung. (144) 17A) Die hypergeometrische Verteilung hat im Vergleich zur Binominalverteilung eine kleinere Varianz.

6 B) Die Unterschiede aus Aussage A werden mit wachsendem N immer größer. C) Im Extremfall der sukzessiven Ziehung aller in der Urne befindlichen Elemente ohne Zurücklegen, wird aus der Zufallsvariablen X eine deterministische Größe mit dem Wert M. D) Die Unterschiede zwischen den Situationen Ziehen ohne/mit Zurücklegen fallen mit Verkleinerung des Auswahlsatzes immer mehr ins Gewicht. E) Die Binominalverteilung und die hypergeometrische Verteilung charakterisieren beide das Zufallsverhalten der Indikatorvariablen unter verschiedenen Bedingungen. Lösung: A (144), C (144), E (146) zu B) Die Unterschiede aus Aussage A werden mit wachsendem N vernachlässigbar. (144) zu D) Die Unterschiede zwischen den Situationen Ziehen ohne/mit Zurücklegen fallen mit Verkleinerung des Auswahlsatzes immer weniger ins Gewicht. (146) 18A) Die Indikatorvariable zählt, wie oft bei der Durchführung eines Bernoulli-Experimentes beide Ereignisse beobachtet werden. B) Beim Ziehen mit Zurücklegen ist die Indikatorvariable binominalverteilt. C) Beim Ziehen ohne Zurücklegen folgt die Zählvariable einer hypergeometrischen Verteilung. D) Beide Verteilungen (Aussage B und D) gehen im Sonderfall n = 1 in die Bernoulli-Verteilung über. E) Beim Ziehen einer einzigen Kugel aus einer Urne mit roten und schwarzen Kugeln beschreibt die Wahrscheinlichkeitsfunktion den Ausgang eines einmaligen Bernoulli-Experimentes. Lösung: C (146), D (146), E (146) zu A) Die Indikatorvariable zählt, wie oft bei der Durchführung eines Bernoulli-Experimentes eines der beiden Ereignisse beobachtet wird. (146) zu B) Beim Ziehen mit Zurücklegen ist die Zählvariable binominalverteilt. (146) Kap. 12: Stetige Zufallsvariablen 19A) Eine Trägermenge T ist die Menge der möglichen Realisationen. B) Bei stetigen Zufallsvariablen ist die Trägermenge T ein Intervall. C) Die Trägermenge T ist bei stetigen Zufallsvariablen immer der gesamte Zahlenstrahl, also die Menge aller reellen Zahlen. D) Anstelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion wird bei stetigen Zufallsvariablen die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion verwendet. E) Die Wahrscheinlichkeitsdichte hat die Eigenschaft, dass sich jeder Wert F (x) der Verteilungsfunktion durch Integration der Dichte bis zur Stelle x ergibt. Lösung: A (149), B (149), E (149) zu C) Die Trägermenge T ist bei stetigen Zufallsvariablen häufig der gesamte Zahlenstrahl also die Menge aller reellen Zahlen. (149) Zu D) Anstelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion wird bei stetigen Zufallsvariablen die Dichtefunktion verwendet. (149)

7 20A) Die Wahrscheinlichkeit bei einer stetigen Zufallsvariable lässt sich auch als Fläche über der Dichtekurve bis zum Punkt x interpretieren. B) Die Gesamtfläche unter der Dichtekurve besitzt den Wert 1. C) Die Flächenverteilung wird auch stetige Gleichverteilung genannt. D) Man nennt eine stetige Zufallsvariable rechteckverteilt oder gleichverteilt. E) Der Wert f (xo) der Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen X an der Stelle x = xo ist als Wahrscheinlichkeit dafür zu interpretieren, dass X die Ausprägung xo annimmt. Lösung: B (150), D (150) zu A) Die Wahrscheinlichkeit bei einer stetigen Zufallsvariable lässt sich auch als Fläche unter der Dichtekurve bis zum Punkt x interpretieren. (149f) zu C) Die Rechteckverteilung wird auch stetige Gleichverteilung genannt. Zu E) Der Wert f (xo) der Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen X an der Stelle x = xo ist nicht als Wahrscheinlichkeit dafür zu interpretieren, dass X die Ausprägung xo annimmt. Zwischenauswertung: mögliche Punkte: 50 erreichte Punkte:... 21A) Bei einer stetigen Zufallsvariablen X ist die Wahrscheinlichkeit P(X = xo) für jeden einzelnen Wert xo der Trägermenge Null. B) Die Dichtefunktion wird zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen der Art Die Realisationen von X liegen unterhalb oder oberhalb eines bestimmten Schwellenwertes herangezogen. C) Die Dichtefunktion wird zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen der Art X nimmt Realisationen x in einem Intervall [a,b] an herangezogen. D) Als Lageparameter bei stetigen Verteilungen verwendet man den Erwartungswert und die Dichtefunktion. E) Bei einer als Standardisierung bezeichneten Lineartransformation einer Zufallsvariablen bleibt die Variable X erhalten. Lösung: A (151), B (151), C (151) zu D) Als Lageparameter bei stetigen Verteilungen verwendet man den Erwartungswert und die Varianz. (152) zu E) Bei einer als Standardisierung bezeichneten Lineartransformation einer Zufallsvariablen entsteht eine neue Variable ax + b. (153) 22A) Der Übergang von X zu Y wird manchmal auch als z-transformation angesprochen. B) Den Erwartungswert der standardisierten Variablen E(Z) beträgt 0, während für die Varianz V(Z) = 1 gilt. C) Wenn eine strenge Monotonie gegeben ist, benötigt man eine Zusatzbedingung, um die Quantile eindeutig bestimmen zu können. D) Von besonderer Bedeutung für das Testen von Hypothesen sind Quantile mit großen Werten. E) Quantile mit kleinen Werten haben die Bedeutung von Irrtumswahrscheinlichkeiten.

8 Lösung: B (153), E (154) zu A) Der Übergang von X zu Z wird manchmal auch als z-transformation angesprochen. (153) zu C) Wenn keine strenge Monotonie gegeben ist, benötigt man eine Zusatzbedingung, um die Quantile eindeutig bestimmen zu können. (154/Fußnote 1) zu D) Von besonderer Bedeutung für das Testen von Hypothesen sind Quantile mit kleinen Werten. (154) 23A) Die Bedeutung der Normalverteilung rührt daher, dass sie andere Verteilungen unter gewissen Voraussetzungen gut approximiert. B) Die Normalverteilung wird z. B. zur Modellierung von Zufallsvorgängen eingesetzt, bei denen mehrere feste Einflussgrößen zusammenwirken. C) Die Dichte der Normalverteilung ist unabhängig vom Erwartungswert und der Varianz. D) Die Dichte der Normalverteilung ist symmetrisch bezüglich des Erwartungswertes. E) Mit Verkleinerung der Varianz bzw. der Standardabweichung verlaufen Dichte- und Verteilungsfunktion flacher. Lösung: A (154), D (154) zu B) Die Normalverteilung wird z. B. zur Modellierung von Zufallsvorgängen eingesetzt, bei denen mehrere zufällige Einflussgrößen zusammenwirken. (154) zu C) Die Dichte der Normalverteilung ist abhängig vom Erwartungswert und der Varianz. (154) zu E) Mit Vergrößerung der Varianz bzw. der Standardabweichung verlaufen Dichte- und Verteilungsfunktion flacher. (155) 24A) Unterzieht man eine normalverteilte Zufallsvariable X einer Lineartransformation Y = ax + b, so ist die transformierte Variable Y nicht mehr normalverteilt. B) Beliebig normalverteilte Zufallsvariablen kann man stets einer speziellen Lineartransformation unterziehen. C) Der Wert Groß-Phi von z an der Stelle z = a ist interpretierbar als Inhalt der Fläche unter der Dichtekurve bis zum Punkt z = a. D) Das p-quantil der Normalverteilung ist der eindeutig bestimmte Wert xp, an dem die Verteilungsfunktion F(x) den Wert p erreicht. E) Die Dichte der Standardnormalverteilung ist asymmetrisch zum Nullpunkt. Lösung: B (156), C (157), D (158) zu A) Unterzieht man eine normalverteilte Zufallsvariable X einer Lineartransformation Y = ax + b, so ist die transformierte Variable Y wieder normalverteilt. (156) zu E) Die Dichte der Standardnormalverteilung ist symmetrisch zum Nullpunkt. (158) 25A) Die t-verteilung findet u. a. Verwendung beim Testen von Hypothesen zum Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen, deren Varianz bekannt ist. B) Die F-Verteilung spielt u. a. bei der Varianzanalyse eine zentrale Rolle als Teststatistik. C) Die Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung entspricht einer symmetrische Verteilung. D) Die Gestalt der Dichtefunktion f(x) und damit auch der Verteilungsfunktion F(x) einer Chi- Quadrat-Verteilung ist von der Anzahl n der Freiheitsgrade abhängig. E) Die Dichte der t-verteilung ist symmetrisch zum Nullpunkt.

9 Lösung: B (161), D (161), E (162) zu A) Die t-verteilung findet u. a. Verwendung beim Testen von Hypothesen zum Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen, deren Varianz nicht bekannt ist. (161) zu C) Die Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung entspricht einer asymmetrische Verteilung. (161) 26A) Die Dichtekurve der t-verteilung verläuft im Bereich des Erwartungswertes mü = 0 etwas flacher als die der Standardnormalverteilung. B) Mit abnehmender Anzahl n der Freiheitsgrade nähert sich die Dichte der t-verteilung der der Standardnormalverteilung an. C) Für große n kann man die Quantile der t-verteilung durch die Quantile der Standardnormalverteilung approximieren. D) Die Quantile der F-Verteilung werden häufig beim Testen von Hypothesen in der Regressionsund Varianzanalyse benötigt. E) Im Falle des 0,95-Quantils beträgt der Inhalt unter der Dichtekurve der F-Verteilung 0,5. Lösung: A (163), C (163), D (164) zu B) Mit zunehmender Anzahl n der Freiheitsgrade nähert sich die Dichte der t-verteilung der der Standardnormalverteilung an. (163) zu E) Im Falle des 0,95-Quantils beträgt der Inhalt unter der Dichtekurve der F-Verteilung 0,05. (165) Kap. 13: Bivariate Verteilungen von Zufallsvariablen 27A) Zwei Ereignisse gelten als unabhängig, wenn das Eintreten eines Ereignisses keinen Einfluss auf das jeweils andere Ereignis hat. B) Zufallsvariablen nehmen Werte an die sich als Ereignisse von Zufallsvorgängen interpretieren lassen. C) Wenn eine diskrete Zufallsvariable eine bestimmte Ausprägung annimmt, ist dies ein Ereignis mit bestimmter Eintrittswahrscheinlichkeit. D) Wenn eine stetige Zufallsvariable eine Realisation innerhalb eines bestimmten Intervalls annimmt, ist die kein Ereignis mit bestimmter Eintrittswahrscheinlichkeit. E) Der Unabhängigkeitsbegriff für Ereignisse lässt sich direkt auf Zufallsvariablen übertragen. Lösung: A (167), C (167), E (167) zu B) Zufallsvariablen nehmen Werte an die sich als Ergebnisse von Zufallsvorgängen interpretieren lassen. (167) zu D) Wenn eine stetige Zufallsvariable eine Realisation innerhalb eines bestimmten Intervalls annimmt, ist auch dies ein Ereignis mit bestimmter Eintrittswahrscheinlichkeit. (167) 28A) Die Unabhängigkeitsbedingung gilt auch für mehr als zwei Zufallsvariablen. B) Wenn man einen Würfeln n-mal wirft, kann man nur den ersten Wurf durch eine Zufallsvariable modellieren. C) Wenn man einen Würfeln n-mal wirft, sind die Variablen bei der Verwendung eines fairen Würfels diskret gleichverteilt mit gleichen Eintrittswahrscheinlichkeiten.

10 D) Das n-malige Würfeln mit einem Würfel entspricht in der Terminologie des Urnenmodells einer Ziehung ohne Zurücklegen. E) Zieht man aus einer Urne mit nummerierten Kugeln n-mal ohne Zurücklegen und modelliert man die einzelnen Ziehungen wieder anhand von Zufallsvariablen, so sind diese Zufallsvariablen nicht mehr stochastisch unabhängig. Lösung: A (167), C (167/Bsp 13.1), (168/Bsp. 13.1) zu B) Wenn man einen Würfeln n-mal wirft, kann man jeden Wurf durch eine Zufallsvariable modellieren. (167/Bsp 13.1) zu D) Das n-malige Würfeln mit einem Würfel entspricht in der Terminologie des Urnenmodells einer Ziehung mit Zurücklegen. 29A) Die Werte der Dichtefunktion zweier stetiger Zufallsvariablen in einer gemeinsamen Verteilung sind stets nicht-negativ. B) Randdichten sind die Dichten der Einzelvariablen. C) Bedingte Dichten resultieren nach Division der gemeinsamen Dichtefunktion durch die beiden Randdichten. D) Der Begriff der Unabhängigkeit spielt eine zentrale Rolle beim Schätzen von Modellparametern. E) Der Begriff der Unabhängigkeit spielt aber keine zentrale Rolle beim Testen von Hypothesen. Lösung: A (168/Exkurs 13.1), B (168/Exkurs 13.1), D (169) zu C) Bedingte Dichten resultieren nach Division der gemeinsamen Dichtefunktion durch eine der beiden Randdichten.(168/Exkurs 13.1) zu E) Der Begriff der Unabhängigkeit spielt auch eine zentrale Rolle beim Testen von Hypothesen. (169) 30A) Eine Stichprobenfunktion im Kontext einer Schätzung wird Prüfstatistik genannt. B) Der Stichprobenmittelwert ist eine besonders wichtige Stichprobenfunktion. C) Die korrigierte Stichprobenvarianz wird beim Schätzen und Testen verwendet, weil sie günstigere Schätzeigenschaften hat. D) Ein normiertes Maß für einen linearen Zusammenhang ist die (theoretische) Kovarianz. E) Im Falle Cov(X;Y) kann nicht von einem linearen Zusammenhang zwischen den Zufallsvariablen ausgegangen werden. Lösung: B (169), C (169/Fußnote 1), E (172) zu A) Eine Stichprobenfunktion im Kontext einer Schätzung wird Schätzfunktion genannt. (169) zu D) Ein nicht-normiertes Maß für einen linearen Zusammenhang ist die (theoretische) Kovarianz. (172) Zwischenauswertung: mögliche Punkte: 50 erreichte Punkte:...

11 31A) Für die Varianz der Summe zweier Zufallsvariablen X und Y mit der Kovarianz Cov (X;Y) gilt: V(X + Y) = V(X) + V(Y). B) Die theoretische Kovarianz ist maßstabsabhängig. C) Die theoretische Kovarianz hat eine untere und eine obere Schranke. D) Der Korrelationskoeffizient p liegt stets zwischen -1 und +1 E) Die beiden Zufallsvariablen X und Y sind linear abhängig, wenn der Betrag von rho = 1 ist, z. B. Y = ax + b. Lösung: B (172), D (172), E (172) zu A) Für die Varianz der Summe zweier Zufallsvariablen X und Y mit der Kovarianz Cov (X;Y) gilt: V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 mal Cov(X;Y). (172/[13.14]) zu C) Die theoretische Kovarianz hat keine untere oder obere Schranke. (172) 32A) Im Fall a > 0 liegt eine gleichsinnige Tendenz von X und Y vor. B) Im Fall a = 0 spricht man von Korreliertheit der Variablen X und Y. C) X und Y sind unabhängig, wenn p = 0. D) Unkorrelierte Zufallsvariablen sind auch stochastisch unabhängig. E) Die Berechnung des Korrelationskoeffizienten p leitet sich aus dem Modellzusammenhang ab und nicht aus Daten. Lösung: A (172), C (172/[13.17]), E (173) zu B) Im Fall a = 0 spricht man von Unkorreliertheit der Variablen X und Y. (172) Zu D) Unkorrelierte Zufallsvariablen sind nicht zwingend auch stochastisch unabhängig. (173) Kap. 14: Schätzung von Parametern 33A) Anhand von Stichprobendaten sollen Aussagen für Merkmale in einer umfassenden Grundgesamtheit abgeleitet werden. B) Verteilungsmodelle charakterisieren das Verhalten des interessierenden Merkmals X in der Grundgesamtheit. C) Verteilungsmodelle ermöglichen die Übertagung von der Grundgesamtheit auf die Stichprobenergebnisse. D) Die aus Stichproben abgeleiteten Schlüsse auf die Grundgesamtheit sind stets fehlerfrei. E) Aus großen Stichproben abgeleitete Schlüsse sind zuverlässiger als Schlüsse aus kleinen Stichproben. Lösung: A (175), B (175), E (175) zu C) Verteilungsmodelle ermöglichen die Übertagung von Stichprobenergebnissen auf eine Grundgesamtheit. (175) Zu D) Die aus Stichproben abgeleiteten Schlüsse auf die Grundgesamtheit sind nicht fehlerfrei. (175) 34A) Sind die Parameter der Verteilung zunächst noch unbekannt, können sie nicht geschätzt

12 werden. B) Mit einer Punktschätzung will man einen bekannten Parameter möglichst gut treffen. C) Eine Intervallschätzung legt einen Bereich fest, in dem der unbekannte Parameter mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt. D) Ein Konfidenzintervall ist ein Bereich, in dem der unbekannte Parameter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 1 alpha liegt. E) Alpha repräsentiert im Konfidenzintervall eine vorgegebene kleine Irrtumswahrscheinlichkeit. Lösung: C (175), D (175), E (175) zu A) Sind die Parameter der Verteilung zunächst noch unbekannt, müssen sie anhand der Stichprobendaten geschätzt werden. (175) zu B) Mit einer Punktschätzung will man einen unbekannten Parameter möglichst gut treffen. (175) 35A) Schätzstatistik, Schätzfunktion und Schätzer sind synonyme Begriffe für den Schätzwert. B) Die Verwendung von ^ ( Dach ) über einer Kenngröße ist in der Statistik für die Kennzeichnung von Schätzungen unüblich. C) Ein Kriterium für eine gute Schätzung ist die Erwartungstreue. D) Unverzerrtheit bedeutet, dass der Schätzer im Mittel den unbekannten (also den zu schätzenden) Wert theta genau trifft. E) Ein Schätzer, dessen Verzerrung gegen Null strebt, heißt erwartungstreu bzw. unverzerrt. Lösung: A (175), C (176), D (176) zu B) Die Verwendung von ^ ( Dach ) über einer Kenngröße ist in der Statistik für die Kennzeichnung von Schätzungen üblich. (175) zu E) Ein Schätzer, dessen Verzerrung gegen Null strebt, heißt asymptotisch erwartungstreu bzw. asymptotisch unverzerrt. (176) 36A) Die Standardabweichung einer Schätzfunktion wird auch als Standardfehler bezeichnet. B) Unterscheiden sich zwei Schätzer nicht bezüglich des Erwartungswertes, ist von beiden der Schätzer mit der geringeren Streuung (steilere Dichtekurve) vozuziehen. C) Mit MSE wird der mittlere statistische Erwartungswert abgekürzt. D) Das Gütemaß MSE wird zur vergleichenden Bewertung von Schätzfunktionen benötigt. E) Der MSE stellt eine additive Verknüpfung von Varianz und Verzerrung dar. Lösung: A (177), B (177/+Abb. 14.1), D (177) zu C) MSE ist die Abkürzung für den mittleren quadratischen Fehler (engl.: mean squared error). (177) zu E) Der MSE stellt eine additive Verknüpfung von Varianz und quadrierter Verzerrung dar. (177) 37A) Von zwei Schätzern wird derjenige bevorzugt, dessen MSE größer ausfällt. B) Bei erwartungstreuen Schätzern sind MSE und Varianz identisch. C) Der Stichprobenmittelwert liefert eine verzerrte Schätzung für den Erwartungswert. D) Wegen der Unverzerrtheit des Schätzers stimmt die Varianz des Stichprobenmittelwertes mit dem mittleren quadratischen Fehler des Stichprobemittelwertes überein. E) Die Qualität des Stichprobenmittelwertes verbessert sich, wenn der Stichprobenumfang n erhöht wird.

13 Lösung: B (178), D (178), E (178) zu A) Von zwei Schätzern wird derjenige bevorzugt, dessen MSE kleiner ausfällt. (177f) zu C) Der Stichprobenmittelwert liefert eine unverzerrte Schätzung für den Erwartungswert. (178) 38A) Die Stichprobenvarianz liefert eine verzerrte Schätzung für die Varianz einer Zufallsvariablen. B) Für eine unverzerrte Varianzschätzung verwendet man die korrigierte Stichprobenvarianz. C) Der Stichprobenmittelwert findet bei der Schätzung des Erwartungswertes p = E(X) bernoulliverteilter Merkmale X keine Anwendung. D) Die gesamte Bernoulli-Kette ist eine Folge abhängiger Stichprobenvariablen. E) Der Erwarungswert p repräsentiert bei einer Bernoulli-Kette den zu erwartenden Anteil der Ausgänge. Lösung: A (178), B (178), E (179) zu C) Der Stichprobenmittelwert findet auch bei der Schätzung des Erwartungswertes p = E(X) bernoulli-verteilter Merkmale X Anwendung. (178) zu D) Die gesamte Bernoulli-Kette ist eine Folge unabhängiger Stichprobenvariablen. (179) 39A) Der Stichprobenmedian reagiert robuster gegenüber Ausreißern als der Stichprobenmittelwert. B) Selbst die beste Schätzmethode führt zu brauchbaren Ergebnissen, wenn die Daten von zweifelhafter Qualität sind. C) Die Punktschätzung für einen Parameter liefert einen einzigen Schätzwert, der mit theta exakt übereinstimmt. D) Zur Beurteilung der Güte einer Punktschätzung spielt die Verzerrung eine Rolle. E) Der mittlere quadratische Fehler MSE wird als Gütemaß für Schätzer verwendet. Lösung: A (179), D) (181), E (181) zu B) Selbst die beste Schätzmethode führt zu unbrauchbaren Ergebnissen, wenn die Daten von zweifelhafter Qualität sind. (179/Bsp. 14.2) zu C) Die Punktschätzung für einen Parameter liefert einen einzigen Schätzwert, der meist mit theta nicht exakt übereinstimmt. (181) 40A) Varianz und Standardabweichung gehen in den MSE ein. B) Die Grenzen des Konfidenzintervalls ergeben sich aus den Stichprobendaten. C) Das Konfidenzintervall sollte möglichst breit sein, also eine große Länge aufweisen. D) Bei Intervallschätzungen von Kenngrößen stetiger Verteilungen lässt sich das Intervall exakt so bestimmen, dass es theta mit Wahrscheinlichkeit 1 alpha überdeckt. E) Die Berechnung des Konfidenzintervalls zum Konfidenzniveau 1 alpha setzt voraus, dass die Varianz bzw. die Standardabweichung der standardnormalverteilten Variablen X geschätzt wird. Lösung: A (181), B (181), D (181/Fußnote 2) zu C) Das Konfidenzintervall sollte möglichst schnal sein, also eine geringe Länge aufweisen. (181) zu E) Die Berechnung des Konfidenzintervalls zum Konfidenzniveau 1 alpha setzt voraus, dass die Varianz bzw. die Standardabweichung der standardnormalverteilten Variablen X bekannt ist. (181)

14 Zwischenauswertung: mögliche Punktzahl: 50 erreichte Punkte:... 41A) Die Intervallgrenzen sind fest. B) Die Länge des Konfidenzintervalls ist zufallsabhängig. C) Die Länge des Konfidenzintervalls ist von der Irrtumswahrscheinlichkeit alpha und vom Stichprobenumfang n abhängig. D) Nimmt die Irrtumswahrscheinlichkeit alpha ab, wächst das Konfidenzniveau 1 alpha. E) Mit abnehmender Irrtumswahrscheinlichkeit alpha nimmt die Länge des Konfidenzintervalls zu. Lösung: C (182), D) (182), E (182) zu A) Die Intervallgrenzen sind zufallsabhängig. (182) zu B) Die Länge des Konfidenzintervalls ist fest. (182) 42A) Mit zunehmendem Stichprobenumfang n wird auch das Konfidenzintervall breiter. B) Der üblicherweise unbekannte Parameter mü, für den man Intervallschätzungen berechnen will, ist unter kontrollierten Laborbedingungen ausnahmsweise bekannt. C) Ein konkretes Konfidenzintervall überdeckt den unbekannten Parameter, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit alpha möglichst klein gewählt wird. D) Das (1-alpha/2)-Quantil der t-verteilung ist stets größer als das (1-alpha/2)-Quantil der Standardnormalverteilung. E) Die Unterschiede aus der Aussage D) werden mit Zunahme der v = n 1 Freiheitsgrade kleiner. Lösung: B (182), D (183), E (183) zu A) Mit zunehmendem Stichprobenumfang n wird das Konfidenzintervall schmaler. (182) zu C) Ein konkretes Konfidenzintervall überdeckt den unbekannten Parameter nicht zwingend, auch bei klein gewählter Irrtumswahrscheinlichkeit alpha. (182) 43A) Das Konfidenzintervall einer t-verteilten Zufallsvariable ist im Mittel länger als das Konfidenzintervall einer standardnormalverteilten Zufallsvariable. B) Die Länge des Konfidenzintervalls einer t-verteilten Zufallsvariable ist zufallsabhängig. C) Die Länge des Konfidenzintervalls einer t-verteilten Zufallsvariable ist nicht mehr von der Irrtumswahrscheinlichkeit alpha abhängig. D) Die Länge des Konfidenzintervalls einer t-verteilten Zufallsvariable ist auch vom Stichprobenumfang n abhängig. E) Die Länge des Konfidenzintervalls einer t-verteilten Zufallsvariable ist auch von der jeweiligen Ausprägung von S abhängig. Lösung: A (183), B (183f), D (184) zu C) Die Länge des Konfidenzintervalls einer t-verteilten Zufallsvariable ist nicht mehr nur von der Irrtumswahrscheinlichkeit alpha abhängig. (184) zu E) Die Länge des Konfidenzintervalls einer t-verteilten Zufallsvariable ist auch von der jeweiligen Ausprägung von S* abhängig.

15 Kap. 15: Statistische Testverfahren 44A) Man spricht von einem Einstichproben-Test, wenn der Test die Information nur einer Zufallsvariablen verwendet. B) Tests, die die Verteilung zweier Zufallsvariablen betreffen und die Information aus zwei Stichproben nutzen, heißen Zweistichproben-Tests. C) Wenn man für die Teststatistik die Kenntnis des Verteilungstyps in der Grundgesamtheit voraussetzt, liegt ein parametrischer Test vor. D) Tests kann man auch danach klassifizieren, worauf sich die Hypothesen beziehen. E) Anpassungstest zielen darauf ab, Zufallsvariablen verschiedener Tests zu harmonisieren. Lösung: B (185), C (185), D (185) zu A) Man spricht von einem Einstichproben-Test, wenn der Test die Information nur einer Stichprobe verwendet. (185) zu E) Anpassungstests zielen darauf ab, zu untersuchen, ob eine Zufallsvariable einer bestimmten Verteilung folgt. (185) 45A) Bei Unabhängigkeitstests will man eine Aussage darüber gewinnen, ob zwei Zufallsvariablen unabhängig sind. B) Statistische Tests, deren Prüfstatistik einer bestimmten diskreten oder stetigen Verteilung folgt, werden häufig zu einer Gruppe zusammengefasst. C) Ein Test mit verteilungsfreier Prüfstatistik wird auch Gauß-Test genannt. D) Die Gemeinsamkeit verschiedener t-tests besteht darin, dass die Prüfstatistik bei Gültigkeit gewisser Annahmen einer x-verteilung folgt. E) Werden bei der Prüfung von Hypothesen über Parameter Veränderungen nach beiden Seiten zu entdecken gesucht, handelt es sich um einen zweiseitigen Test. Lösung: A (185), B (185), E (185f) zu C) Ein Test mit normalverteilter Prüfstatistik wird auch Gauß-Test genannt. (185) zu D) Die Gemeinsamkeit verschiedener t-tests besteht darin, dass die Prüfstatistik bei Gültigkeit gewisser Annahmen einer t-verteilung folgt. (185) 46A) Wenn zwei Hypothesen direkt aneinandergrenzen, spricht man von einem Grenztest. B) Wenn zwei Hypothesen nicht direkt aneinandergrenzen, liegt ein Alternativtest vor. C) Eine Forschungshypothese wird verworfen, wenn das Stichprobenergebnis in signifikanten Gegensatz zur betreffenden Hypothese steht. D) Die am Ende eines statistischen Tests stehende Testentscheidung schließt stets die Möglichkeit einer Fehlentscheidung ein. E) Die Nullhypothese beinhaltet die eigentliche Forschungshypothese. Lösung: B (186), C (187), D (187)

16 zu A) Wenn zwei Hypothesen direkt aneinandergrenzen, spricht man von einem Signifikanztest. (186) zu E) Die Alternativhypothese beinhaltet die eigentliche Forschungshypothese. (187) 47A) Die Nullhypothese beinhaltet eine als bisher als akzeptiert geltende Aussage über den Zustand des Parameters in der Grundgesamtheit. B) Von der Nullhypothese ausgehend soll deren Wahrheitsgehalt anhand eines empirischen Tests abgesichert werden. C) Teststatistiken sind Erwartungswerte. D) Ein Test basiert auf einer Prüfvariablen. E) Die Begriffe Prüfstatistik und Teststatistik dürfen nicht mit Prüfvariablen verwechselt werden. Lösung: A (187), B (187), D (188) zu C) Teststatistiken sind Zufallsvariablen. (188/Randbemerkung) zu E) Prüfstatistik oder Teststatistik sind Synonyme für Prüfvariablen. (188) 48A) Die Testentscheidung hängt von der Ausprägung g der herangezogenen Stichprobenfunktion ab. B) Aus der Kenntnis der Verteilung lässt sich ein Intervall ableiten, in das die Prüfgröße mit einer hohen Wahrscheinlichkeit 1 alpha fällt. C) Der Wert alpha ist ein während der Untersuchung festzulegender Designparameter des Tests. D) Man wählt für alpha immer einen relativ großen Wert. E) Liegt die aus den Stichprobendaten errechnete Ausprägung der Prüfstatistik außerhalb des Intervalls, wird die Nullhypothese verworfen. Lösung: A (188), B (188), E (188) zu C) Der Wert alpha ist ein vorab festzulegender Designparameter des Tests. (188) zu D) Man wählt für alpha immer einen relativ kleinen Wert. (188) 49A) Die Testentscheidung basiert auf der Verteilung der Prüfstatistik unter Ho. B) Wenn die standardisierte Prüfgröße innerhalb des Annahmebereiches für Ho liegt, wird weiter von der Gültigkeit der Alternativhypothese ausgegangen. C) Der Bereich außerhalb des Intervalls definiert den Ablehnungsbereich für die Nullhypothese. D) Die Grenzen des Intervalls werden Grenzwerte genannt. E) Im Falle der der Verwerfung von Ho ist die Alternativhypothese H1 statistisch bewiesen in dem Sinne, dass ihre Gültigkeit mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit alpha als gesichert angenommen werden kann. Lösung: A (188), C (189), E (189) zu B) Wenn die standardisierte Prüfgröße innerhalb des Annahmebereiches für Ho liegt, wird weiter von der Gültigkeit der Nullhypothese ausgegangen. (189) zu D) Die Grenzen des Intervalls werden kritische Werte genannt. (189) 50A) Die fälschliche Zurückweisung der Nullhypothese wird als beta-fehler bezeichnet. B) Die Wahrscheinlichkeit alpha für den Eintritt eines Fehlers 1. Art definiert das Signifikanzniveau des Tests.

17 C) Ein Test wird auch Gaußtest gennant, wenn er mit einer normalverteilten Prüfvariablen arbeitet. D) Die Verwendung der nicht-standardisierten und der standardisierten Prüfvariablen entsprechen ungleichen Verfahren. E) Bei der Standardisierung hängt die Ablehnungsbedingung nicht mehr vom Wert mü Null ab. Lösung: B (189), C (189), E (190) zu A) Die fälschliche Zurückweisung der Nullhypothese wird als Fehler 1.Art oder alpha-fehler bezeichnet. (189) zu D) Die Verwendung der nicht-standardisierten und der standardisierten Prüfvariablen sind äquivalente Verfahren. (190) Zwischenauswertung: mögliche Punktzahl: 50 erreichte Punkte:... 51A) Der Lageparameter mü ist in der Regel ein aus Designvorgaben resultierender Sollwert. B) Die Streuung wird repräsentiert durch die Standardabweichung der Normalverteilung. C) Bei einem einseitigen Hypothesentest für den Erwartungswert mü besteht die Nullhypothese nur aus einem einzigen Wert. D) Bei einem einseitigen Hypothesentest für den Erwartungswert mü besteht die Nullhypothese aus einem bestimmten Wert unterhalb oder oberhalb eines bestimmten Schwellenwertes mü Null. E) Der Annahmebereich beim einseitigen Test ist nur durch ein einziges Quantil vom Ablehnungsbereich getrennt. Lösung: A (190/Bsp. 15.2), B (190/Bsp. 15.2), E (191) zu C) Bei einem einseitigen Hypothesentest für den Erwartungswert mü besteht die Nullhypothese nicht nur aus einem einzigen Wert. (191) zu D) Bei einem einseitigen Hypothesentest für den Erwartungswert mü besteht die Nullhypothese aus allen Werten unterhalb oder oberhalb eines bestimmten Schwellenwertes mü Null. (191) 52A) Der Annahmebereich beim einseitigen Test ist durch die beiden Quantile vom Ablehnungsbereich getrennt. B) Die Bedingung für die Ablehnung der Nullhypothese beim linksseitigen Test lautet z < z alpha. C) Der Annahmebereich hängt allein von der Verteilung der Prüfgröße am Rande des Gültigkeitsbereiches der Nullhypothese ab. D) Ein statistischer Test führt entweder zur Ablehnung oder zur nicht-verwerfung der Nullhypothese. E) Es gibt insgesamt vier richtige Entscheidungen beim Hypothesentest. Lösung: B (191/Formel 15.7), C (191), D (191) zu A) Der Annahmebereich beim einseitigen Test ist nur durch ein einziges Quantil vom Ablehnungsbereich getrennt. (191) zu E) Es gibt insgesamt zwei richtige und zwei falsche Entscheidungen beim Hypothesentest. (191)

18 53A) Wenn die Nullhypothese tatsächlich falsch ist und nicht verworfen wird, handelt es sich um einen beta-fehler. B) Das Signifikanzniveau alpha ist bei einem einseitigen Test als obere Schranke für den Eintritt eines Fehlers 2. Art zu interpretieren. C) Ein Fehler 2. Art kann nur eintreten, wenn die Nullhypothese zutrifft. D) Die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Fehlers 2. Art hängt vom Wert des Parameters mü ab. E) Die beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten eines Tests stehen nicht in einer Komplementärbeziehung zueinander. (193) Lösung: A (192/Tab. 15.1), D (193), E (193) zu B) Das Signifikanzniveau alpha ist bei einem einseitigen Test als obere Schranke für den Eintritt eines Fehlers 1. Art zu interpretieren. (192f) Zu C) Ein Fehler 2. Art kann nur eintreten, wenn die Alternativhypothese zutrifft. (193) 54A) Die Wahrscheinlichkeiten für Verwerfung und Nicht-Verwerfung der Nullhypothese verhalten sich komplementär, d. h. sie ergänzen sich zu 1. B) Die Streuung der nicht standardisierten Prüfgröße hängt vom Stichprobenumfang n ab. C) Wenn n vergrößert wird, ändert sich auch das Zentrum der Verteilung der Stichprobenfunktion und die Streuung des Stichprobenmittelwertes. D) Eine Erhöhung des Stichprobenumfangs führt zu einer Vergrößerung für die Eintrittswahrscheinlichkeiten sowohl des alpha- als auch des beta-fehlers. E) Zur Beurteilung von Hypothesentests zieht man die Gütefunktion heran. Lösung: A (192), B (193), E (194) zu C) Wenn n vergrößert wird, bleibt das Zentrum der Verteilung der Stichprobenfunktion unverändert, die Streuung hingegen nimmt ab. (193f) zu D) Eine Erhöhung des Stichprobenumfangs führt zu einer Verkleinerung für die Eintrittswahrscheinlichkeiten sowohl des alpha- als auch des beta-fehlers. (194) 55A) Die Gütefunktion gibt für jeden möglichen Wert des Erwartungswertes mü des normalverteilten Merkmals X die Wahrscheinlichkeit für die Verwerfung der Nullhypothese an. B) Die Gütefunktion G(mü) unter Ho ist als Wahrscheinlichkeit für das Testrisiko Fehler 2. Art zu interpretieren. C) Weist einer von zwei Tests mit dem gleichen (Signifikanzvniveau) eine geringere Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Fehlers 2. Art auf, so weist dieser Test eine größere Trennschärfe auf. D) Je weiter mü den Wert mü Null im rechtsseitigen Gauß-Test überschreitet, desto größer wird G(mü). E) Die Gütefunktion des linksseitigen Tests ist eine monoton wachsende Funktion mit Werten zwischen 0 und 1. und mit G(mü Null) = alpha. Lösung: A (194), C (194), D (194) zu B) Die Gütefunktion G(mü) unter Ho ist als Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Fehlers 1. Art zu interpretieren. (194) zu E) Die Gütefunktion des rechtsseitigen Tests ist eine monoton wachsende Funktion mit Werten zwischen 0 und 1. und mit G(mü Null) = alpha. (194)

19 56A) Eine Erhöhung von n für alle Werte mü ungleich mü Null führt zu einer Erhöhung beider Testrisiken. B) Beim zweiseitigen Gauß-Test ist die Verwerfung der Nullhypothese eine Fehlentscheidung, die nur für mü = mü Null und dort mit Wahrscheinlichkeit alpha eintreten kann. C) Beim zweiseitigen Gauß-Test isr die Gütefunktion symmetrisch bezüglich mü Null. D) Beim zweiseitigen Gauß-Test verläuft die Gütefunktion bis mü Null streng monoton steigend und danach streng monoton fallend (Glockenkurve). E) Beim zweiseitigen Gauß-Test nähert sich die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Fehlers 2. Art um so mehr dem Wert 0, je weiter mü von mü Null entfernt liegt. Lösung: B (195), C (195), E (196) zu A) Eine Erhöhung von n für alle Werte mü ungleich mü Null führt zu einer Reduzierung beider Testrisiken. (195) zu D) Beim zweiseitigen Gauß-Test verläuft die Gütefunktion bis mü Null streng monoton fallend und danach streng monoton steigend. (195) 57A) Die Gütefunktionen hängen von n, sigma und alpha ab. B) Der p-wert gibt das Niveau alpha' an, bei dem die Nullhypothese gerade noch verworfen würde. C) Gilt für das tatsächlich verwendete Signifikanzniveau alpha die Bedingung alpha' > alpha, ist die Nullhypothese abzulehnen. D) Die Nullhypothese wird genau dann verworfen, wenn der p-wert alpha' kleiner als alpha ist. E) Der Hypothesentest (mit vorgegebenem Signifikanzniveau und anschließendem Vergleich des Stichprobenbefundes mit den von alpha abhängigen kritischen Werten) entspricht einer Null-Eins- Entscheidung. Lösung: A (196), B (197), D (197), E (197) zu C) Gilt für das tatsächlich verwendete Signifikanzniveau alpha die Bedingung alpha' kleiner/gleich alpha, ist die Nullhypothese abzulehnen. (197) 58A) Der Annahmebereich des t-tests ist stets breiter als der Annahmebereich des zweiseitigen Gauß-Tests (unter ansonsten gleichen Bedingungen). B) Die Unterschiede aus der Aussage A) nehmen mit zunehmendem Wert von v = n 1 zu. C) Für v größer/gleich 30 kann man in guter Näherung die Quantile der Standardnormalverteilung anstelle der t-quantile verwenden. D) Die Intervallgrenzen der Chi-Quadrat-Verteilung liegen symmetrisch zueinander. E) Bei Einstichproben-Tests für Erwartungswerte wird bei geschätzter Varianz der t-test als Prüfvariable herangezogen. Lösung: A (199), C (199), E (201) zu B) Die Unterschiede aus der Aussage A) nehmen mit zunehmendem Wert von v = n 1 ab. (199) zu D) Die Intervallgrenzen der Chi-Quadrat-Verteilung liegen nicht symmetrisch zueinander, weil die Chi-Quadrat-Verteilung asymmetrisch ist. (201) 59A) Stammen die Daten für ein Merkmal aus zwei Teilmengen einer Grundgesamtheit, kann man formal die Daten als Ausprägung einer Zufallsvariablen interpretieren. B) Bei Zweistichproben-Tests wird geprüft, ob es bezüglich des interessierenden Merkmals

20 eventuell Niveauunterschiede für die beiden Teilpopulationen gibt. C) Für zwei separate Stichproben mit unterschiedlichen Stichprobenumfängen bietet sich ein Zweistichproben-Test für die Untersuchung an. D) Bei einem Zweistichproben-Test sind die Stichproben in der Untersuchung immer miteinander verbunden. E) Für die Entscheidung, die Nullhypothese bei einem Zweistichproben-Gauß-Test zu verwerfen, ist die Übereinstimmung der Varianzen ohne Bedeutung. Lösung: B (201), C (202), E (203) zu A) Stammen die Daten für ein Merkmal aus zwei Teilmengen einer Grundgesamtheit, kann man formal die Daten als Ausprägungen zweier Zufallsvariablen interpretieren. (201f) zu D) Bei einem Zweistichproben-Test wird unterstellt, dass unabhängige Stichproben vorliegen. (202/s.a. Fußnote 2) Kap. 16: Das lineare Regressionsmodell 60A) Regression bedeutet sinngemäß, schlechte Laune zu haben. B) Die Regressionsanalyse zielt darauf ab, die Werte einer Variablen Y anhand der Werte eines Merkmals X oder auch mehrerer Merkmale zu erklären. C) Im Falle eines erklärenden Merkmals spricht man vom einfachen Regressionsmodell. D) Wenn die Funktion f als linear spezifiziert ist, liegt ein lineares Regressionsmodell vor. E) Es wird angenommen, dass der funktionale Zusammenhang exakt gilt und nicht durch systematische zufällige Störeinflüsse überlagert ist. Lösung: B (205), C (205), D (206) zu A) Regression bedeutet Rückbildung, Rückführung. (205) zu E) Es wird angenommen, dass der funktionale Zusammenhang nicht exakt gilt, sondern durch nicht-systematische zufällige Störeinflüsse überlagert ist. (206) Zwischenauswertung: mögliche Punktzahl: 50 erreichte Punkte:... 61A) Nicht-systematisch meint, dass sich die Störungen im Mittel aufheben. B) Die Regressionsfunktion f wird durch eine Gerade repräsentiert, die einfache lineare Regressionsgerade heißt. C) Die Lage der Regressionsgeraden lässt sich anhand von Beobachtungen für die beiden Merkmale X und Y festlegen.

21 D) Die Lage der Regressionsgeraden wird durch den Parameter alpha bestimmt. E) Der Parameter alpha bezeichnet die Steigung der Regressionsgeraden. Lösung: A (206), C (206) zu B) Die Regressionsfunktion f wird durch eine Gerade repräsentiert, die Regressionsgerade heißt. (206) zu D) Die Lage der Regressionsgeraden wird durch die Parameter alpha und beta bestimmt. (207) zu E) Der Parameter alpha bezeichnet den Schnittpunkt mit der y-achse. (207) 62A) Die Parameter alpha und beta heißen Regressionskoeffizienten. B) Das Merkmal X wird auch als Ziel- oder Responservariable angesprochen. C) Gelegentlich wird die erklärte Variable Y auch Prädiktor oder Prädiktorvariable genannt. D) Die Werte der erklärenden Variablen X werden als determiniert, also als nicht-stochastische Größen modelliert. E) Außer der Variablen X werden keine weiteren exogenen Variablen zur Erklärung von Y benötigt. Lösung: A (207), D (207), E (207/A1) zu B) Das Merkmal Y wird auch als Ziel- oder Responservariable angesprochen. (207) Zu C) Gelegentlich wird die erklärende Variable X auch Prädiktor oder Prädiktorvariable genannt. (207/s.a. Tabelle 16.1) 63A) Die lineare Funktion vermittelt den Zusammenhang zwischen den Variablen X und Y. B) Die lineare Funktion ist fest, d. h. Die Parameter alpha und beta sind konstant. C) Die Stärke der Zufallsschwankungen um die Regressionsgerade ändert sich durch Störungen. D) Störvariablen aus unterschiedlichen Beobachtungsperioden sind unkorreliert (Annahme fehlender Autokorrelation). E) Die Störvariablen sind normalverteilt. Lösung: A (207/A2), B (207/A2), D (208/A3b), E (208/A3c) zu C) Die Stärke der Zufallsschwankungen um die Regressionsgerade ändert sich nicht (Annahme sog. Homoskedastizität = (Residuen-)Varianzhomogenität). (208/A3a + Wörterbuch) 64A) Die unabhängige Variable wird als Zufallsvariable spezifiziert. B) Ohne den Störterm wäre die lineare Regression eine exakte Linearbeziehung. C) Bei einer exakten Linearbeziehung würden die Beobachtungsdaten alle auf einer Geraden R liegen. D) Zur Schätzung der Regressionskoeffizienten wird meist die Methode der kleinsten Quadrate herangezogen, kurz: KQ-Schätzung. E) Bei der KQ-Schätzung greift man auf die Abweichungen zwischen dem Beobachtungswert und dem Wert der Regressionsgeraden in der Beobachtungsperiode i zurück. Lösung: B (208), C (208), D (208), E (208f) zu A) Die unabhängige Variable wird nicht als Zufallsvariable spezifiziert. (208/A4) 65A) Die Summen der Abweichungen werden Residuen genannt. B) Die Residuen können sowohl negativ als auch positiv sein.