HINWEISE zur Identifikation einer Regelstrecke nach Versuchsdaten mit MATLAB

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1 Die Sprungantwort ist der Steckbrief der Regelstrecke. S. Samal, W. Becker: Grundriß der praktischen Regelungstechnik, 20. Auflage, Verlag Oldenbourg, 2000, Seite 104 HINWEISE zur Identifikation einer Regelstrecke nach Versuchsdaten mit MALAB Aufgabe: Die Übertragungsfunktion G S (s) einer reellen Regelstrecke soll bestimmt werden. y G S (s) x Es wurde dafür einen Sprung ŷ am Eingang der reellen Strecke gegeben und die Sprungantwort x(t) aufgenommen (siehe unten Datei messwerte.txt oder messwerte.xls). Zeit Eingang Y Ausgang X , , , , , , Zeit Eingang Y Ausgang X Anleitung zum Import in MALAB: 1. Falls in der txt-datei ommas vorhanden sind (abelle oben links, fett aufgehoben), wird die Ausgabe der MALAB-Datei ab diese Stelle abgebrochen. Um dies zu vermeiden, öffnen wir die txt-datei mit dem ext-editor, dann Bearbeiten / Ersetzen. Im Feld Suchen nach geben wir ein omma ein, im Feld Ersetzen mit geben wir gar nichts ein, dann klicken Sie auf die aste Ersetzten. Die ganze Spalte wird von ommas bereinigt (abelle oben rechts). Starten wir MALAB, dann wählen wir File/Import data. Wählen wir die Datei, z.b. messwerte.txt, dann Öffnen. Es wird Import Wizard mit der Datei als abelle geöffnet Copyright D R ZACHE R 1

2 Geben wir Next, dann markieren wir die importierten Datei wie unten gezeigt, d.h. löschen wir colhead und textdata und lassen wir nur data. Mit Finish beenden wir den Import Wizard. Wechseln wir zum Command Window und geben wir dort drei Befehle: t = data(:, 1); % Erste Spalte Y = data(:, 2); % Zweite Spalte X = data(:, 3); % Dritte Spalte 2011 Copyright D R ZACHE R 2

3 Somit haben wir die drei Spalten Ihrer txt-datei data als t, y, und x bezeichnet. Nun geben wir den Sprung y = f(t) und die Sprungantwort x = f(t) als Zeitfunktionen aus: plot (t, Y, t, X) Der Sprung und die Sprungantwort aus dem Versuch mit der txt-datei Im Diagramm sind zwei Sprungantworten zu sehen. Aus der txt-datei stellen wir fest, dass die erste Sprungantwort im Arbeitspunkt X 0 = 0 bei dem Sprung von 0 auf 80 erstellt wurde, d.h. die Sprunghöhe ist ŷ = 80. Die zweite, obere Sprungantwort wurde bei t = 5 s im Arbeitspunkt X 0 = 1373 bei dem Sprung von 80 auf 90 erstellt, d.h. die Sprunghöhe ist ŷ = = 10. Falls wir die zweite Sprungantwort auswerten möchten, soll die Sprungantwort auf der oordinatenursprung gebracht werden, d. h. bei t = 0 im Arbeitspunkt X 0 = Copyright D R ZACHE R 3

4 Um dies zu erreichen, verschieben wir im MALAB die oordinatenachsen wie folgt: t = t - 5; y = Y - 80; x = X ; plot(t, y,t, x) Und nun geben wir die passende Achsen-Einstellung wie folgt ein: geben wir dafür im Fenster Figure die Menübefehle Edit/ Axes Properties, dann stellen wir die X-Achse wie unten ein: Xlimits von 0 to 5 Die Y-Achse wird automatisch auf Ylimits von 0 bis 180 umgestellt. Zuletzt schalten wir das Gitternetz mit dem Befehl grid ein. Falls es nötig ist, die Sprungantwort in Figure1 für einenvergleich mit der von Ihnen identifizierten Strecke (Modell) zu behalten, geben wir im MALAB Command Window den Befehl hold on ein. Dieser Befehl kann mit dem Befehl hold off zurückgesetzt werden. Nun sind wir bereit, mit dem Menübefehl ools /Edit Plot die Auswertung der Sprungantwort zu beginnen bzw. die Parameter PS, g und u zu bewtimmen. Wir werden dafür mit dem Command Insert /Line eine angente zum Wendepunkt eintragen und die Werte ablesen Copyright D R ZACHE R 4

5 2. Identifizieren Im nächsten Projektschritt werden Sie anhand der Sprungantwort die Strecke identifizieren bzw. die Übertragungsfunktion der reellen Strecke in einer der folgen Formen nach dem Wendetangenten-Verfahren bestimmen: GS ( s) PS 1 s1 P-1 ([1], Seite 229, auch [4], Seite 320) G ( ) PS S s (1 s1 )(1 s2 ) P-2 nach Bessekercki ([1], Seite 229) G ( ) PS S s (1 s1 )(1 s2 ) P-2 nach Zacher ([1], Seiten ) s G s PS e t S( ) P-1 mit otzeit t ([2], Seiten 88, 206), 1 s1 auch ([1], Seite 225) G ( ) PS S s (1 s1 )(1 s2 ) P-2 nach Vereinfachung mit 2 = t [1] PS(1 sp) GS ( s) P-2 nach Pade mit t p, [2], Seite 195, 196 (1 s1 )(1 sp) 2 GS ( s) PS 2 (1 s1 )(1 s p ) P-3 nach aylor mit t p, [2], Seite 195, G ( s) PS S P-n nach Pade ([1], Seite 427, n (1 s1 )(1 s p ) auch ([3], Seiten 115, 116) auch ([4], Seiten ) Quellen: [1] S. Zacher, M. Reuter: Regelungstechnik für Ingenieure, 14. Auflage, Verlag Springer-Vieweg, 2014 [2] S. Zacher: Übungsbuch Regelungstechnik, 5. Auflage, Verlag Springer-Vieweg, 2014 [3] H. Mann, H. Schiffelgen, R. Froriep: Einführung in die Regelungstechnik, 8. Auflage, Hanser Verlag, 2000 [4] H. Lutz, W. Wendt: aschenbuch der Regelungstechnik, Verlag Harri Deutsch, 1995 [5] S. Samal, W. Becker: Grundriß der praktischen Regelungstechnik, 20. Auflage, Verlag Oldenbourg, 2000 Nachfolgend sind einige Identifizierungsmethoden kurz beschrieben Copyright D R ZACHE R 5

6 2.1 Wendetangenten-Verfahren Quelle: S. Zacher, M. Reuter: Regelungstechnik für Ingenieure, 13. Auflage, Verlag Vieweg+eubner, 2011, Seite 225 Viele industrielle Regelstrecken lassen sich angenähert als P- n - oder I- n -Strecken darstellen. Aus den Sprungantworten können Verzugszeit u bzw. t und Ausgleichszeit g sowie Proportional- und Integrierbeiwerte PS oder IS durch eine grobe Approximation mittels der Wendetangente, wie unten im Bild gezeigt, bestimmt werden. x(t) x(t) x( ) g PS y 0 IS u y 0 0 t w t 0 t u = t u = t Approximierung der Sprungantwort einer Strecke nach einem Sprung der Stellgröße y(t) = y 0 (t). Im Bild links ist die Sprungantwort einer P-n-Strecke gezeigt, die als ein P-1-Glied bzw. ein Verzögerungsglied 1. Ordnung mit der Zeitkonstante g und einem otzeitglied mit der Zeitkonstante u vereinfachend beschrieben wird: PS s G ( ) u S s e 1 sg Im Bild rechts ist die Sprungantwort einer I-n-Strecke gezeigt, die als ein I-Glied mit der Integrierkonstante IS und einem Verzögerungsglied 1. Ordnung mit der Zeitkonstante u vereinfachend beschrieben wird: G ( ) IS S s s(1 su ) Bei vernachlässigbar kleinen Werten von u reduziert sich die Ordnung der Strecke: G ( ) PS S s für P-Verhalten und G S 1 sg ( s) IS für I-Verhalten s Grobe Approximierung: otzeit durch P-1 ersetzen. Ganz grob kann man die als P-1-Glied mit otzeit identifizierte Strecke (Bild oben links) durch eine P-2-Strecke mit 1 = g und 2 = u beschreiben, d. h. ( ) PS s GS s e 1 sg u PS (1 sg )(1 su ) 2011 Copyright D R ZACHE R 6

7 2.2.2 Die Reglereinstellung nach Ziegler-Nichols Die Ziegler-Nichols-Empfehlung ist unten in der abelle dargestellt. Parameter P-Regler PI-Regler PID-Regler PR PSu g 1 0,9 1,2 n u - 3,3 2,0 v u - - 0, Die Reglereinstellung nach Samal Eine andere Empfehlung zur günstigen Einstellung des P-Reglers stammt von Samal: 1 g PR. 2 PS 2 u Für PI-Regler gilt nach dieser Regel wie oben noch n n = 2,0 u und v = 0,5 u Die Reglereinstellung nach CHR = 3,3 u sowie für PID-Regler Chien, Hrones und Reswick haben detaillierte und für verschiedene Anforderungen an das Regelverhalten ausgelegte Einstellregeln empfohlen, die zu einem Regelverlauf für Führungsund für Störverhalten ohne Überschwingen oder mit der 20%-Überschwingen führen. Die nachfolgende abelle zeigt diese Einstellregeln für PI- und PID-Regler (additive Form) mit Strecken höherer Ordnung, die durch den Proportionalbeiwert PS und die Regelbarkeit gekennzeichnet sind. Reglereinstellung nach Chien, Hrones, Reswick Aperiodischer Regelverlauf Regelverlauf mit 20% Überschwingung Regler Parameter Führung Störung Führung Störung P u PR PS g 0,3 0,3 0,7 0,7 PI u PR PS 0,35 0,6 0,6 0,7 g PID n 1,2 g 4 u 1,0 g 2,3 u u PR PS 0,6 0,95 0,95 1,2 g n 1,0 g 2,4 u 1,35 g 2,0 u v u 0,5 0,42 0,47 0, Copyright D R ZACHE R 7

8 2.2.5 Feine Approximierung nach 1 und 2 Quelle: S. Zacher, M. Reuter: Regelungstechnik für Ingenieure, 13. Auflage, Verlag Vieweg+eubner, 2011, Seite 229 Die unten gezeigte Sprungantwort x(t) g ( ) x( ) PS y t w t kann nach dem Wendtangenten-Verfahren als ein P- 2 -Glied G ( ) PS S s (1 s1 )(1 s2 ) mit zwei verschiedenen Zeitkonstanten 1 > 2 angenähert werden. Die kleinere Zeitkonstante 2 ist wiederum 2 = u Um die größere Zeitkonstante 1 zu bestimmen, soll man zuerst die oordinate des Wendepunktes t w aus dem Diagramm der Sprungantwort ablesen. Sie unterliegt der Gleichung tw ln, woraus die Zeitkonstante 1 resultiert: bzw. g t 1 w 1 g tw Ist beispielsweise so folgt 1 = 2 2, tw 22 ln 2 1, Copyright D R ZACHE R 8

9 2.2.6 Feine Approximierung der otzeit nach Pade und aylor Quelle: S. Zacher: Übungsbuch Regelungstechnik, 4. Auflage, Verlag Vieweg+eubner, 2010, Seite 196 s Das otzeit-glied in der Übertragungsfunktion G s PS e t S( ) 1 s kann nach Pade oder nach aylor mit t p approximiert werden: 2 1 s t p e s 1 sp 1 e s t 2 (1 sp) (nach Pade, 1. Ordnung) (nach aylor, 2. Ordnung) Beispielweise ergibt sich nach aylor die folgende vereinfachte Übertragungsfunktion: PS s GS ( s) e t 1 s1 PS 1 1 s 2 1 (1 sp ) Angenommen, die Parameter nach dem angentenverfahren sind: Daraus folgt: g = 0,1 u = t = 9,0 und PS = 0,8 p = 4,5 Die Sprungantwort der identifizierten Strecke 1 ( ) PS G PS S s 1 s 2 2 g (1 sp ) s gp s( g p ) 1 wird mit MALAB erstellt: num = [ps]; den = [g*p^2 p^2+2*g*p g+2*p 1]; step (num, den) Danach kann man die Streckenparameter an die Versuchskurve anpassen, bis die beste Annäherung an die experimentelle Sprungantwort erfolgt. Im betrachteten Fall wurde gewählt: 1 = g = 0,1 s t = 7 s PS = 0,8 s. 1 Um die Regelstrecke besser zu identifizieren, soll die Suche nach Parametern fortgesetzt werden oder soll die Ordnung n des approximierenden Polynoms erhöht werden. Der Zähler num und der Nenner den werden mit Hilfe der Funktion pade von Control System oolbox (MA- LAB) für die otzeit berechnet: [num, den] = pade(, n) 2011 Copyright D R ZACHE R 9

10 2.3 -Summen-Regel nach uhn Die Identifikation einer P- n -Regelstrecke nach diesem Verfahren unterscheidet sich grundsätzlich von der Identifikation nach dem Wendetangenten-Verfahren. Die Summe der Zeitkonstanten wird aus der Sprungantwort mit Hilfe einer senkrechten Linie bestimmt, die die zwei gleichen Flächen F 1 und F 2 bildet, wie unten gezeigt ist. Daraus folgt ein neues Einstellverfahren, das von U. uhn 1995 eingeführt wurde. x( ) x(t) F 2 PS y 0 F 1 0 t Mit der Zeitkonstante und dem Proportionalbeiwert PS der Strecke lassen sich die Reglerparameter nach der folgenden abelle berechnen. Parameter P-Regler PD-Regler PI-Regler PID-Regler PR PS 1 1 0,5 1 n - - 0,5 0,66 v - 0,33-0,167 Die daraus folgende etwas langsamere Einstellung kann durch andere Einstellvarianten, z. B. für PID-Regler mit PR PS = 2; n = 0,8 v = 0,194 wieder schneller gemacht werden Copyright D R ZACHE R 10

11 2.4 Zeit-Prozentkennwert-Verfahren nach Latzel Es werden die aus der Sprungantwort der Regelstrecke gemessenen Zeitpunkte t 10, t 50 und t 90 bestimmt, bei denen die Regelgröße 10%, 50% und 90% ihres stationären Wertes x( ) erreicht. Die Regelstrecke wird als P- n -Glied mit n gleichen Zeitkonstanten GS ( s) PS n (1 s) (1) approximiert. Die Ordnungszahl n der Regelstrecke wird aufgrund der ennzahl t10 t90 (2) berechnet. Mit Hilfe der drei weiteren ennzahlen 10, 50 und 90 (s. die nachstehende abelle) wird die Zeitkonstante der Regelstrecke (1) ermittelt 10t10 50t50 90t90. (3) 3 x(t) x( ) = 100% x 90 x 50 PS y 0 Verfeinerte Approximierung der Sprungantwort der Regelstrecke nach Zeit-Prozentkennwert-Verfahren x 10 0 t 10 t 50 t 90 t Das von Schwarze entwickelte Zeit-Prozentkennlinien-Verfahren lässt die Regelstrecke identifizieren und den Regler nach der Methode der Betragsanpassung einstellen. Die Ergebnisse der Identifikation und die Regeln zum Entwurf des Regelkreises mit 10% Überschwingen sind in abelle unten für n = 3, 5 und 10 zusammengefasst. Parameter Identifikation der Regelstrecke: Streckenkenngrößen 0,207 0,304 0,438 n ,907 0,411 0, ,374 0,214 0, ,188 0,125 0,070 Einstellregel nach Latzel ennwerte PI- PID- PI- PID- PI- PID- PR PS 0,877 2,543 0,543 1,109 0,328 0,559 n 1,96 2,47 2,59 3,31 3,73 4,80 v - 0,66-0,99-1, Copyright D R ZACHE R 11

12 Beispiel zum Zeit-Prozentkennwert-Verfahren Gegeben ist die Sprungantwort der Strecke mit Gesucht: PS = 0,5, t 10 = 5 s, t 50 = 12 s, t 90 = 25 s. a) Die Zeitkonstante der nach Gl. (1) approximierten Regelstrecke Lösung zu a): Aus Gl. (2) ist = 0,2. Wir bestimmen aus der oberen abelle, dass n = 3 ist, und berechnen aus Gl. (3) die Zeitkonstante = (0,907 5 s + 0, s+ 0, s) / 3 = 4,574 s. Die Regelstrecke wird damit wie ein P- 3 -Glied identifiziert: G PS S( s) 3, mit PS = 0,5 und = 4,574 s. (1 s) b) Die ennwerte des PI-Reglers, bei denen die Regelung mit 10% Überschwingen erfolgt. Lösung zu b): Für = 0,2 bzw. n = 3 folgt aus der unteren abelle die Einstellung des PI-Reglers Bei PR PS = 0,877. PS = 0,5 = 4,574 ergeben sich PR = 0,877 / PS = 1,754 n = 1,96 = 8,965 s. Alternativ dazu gilt die Regel nach Strejc für proportionale Strecken n-ter Ordnung mit gleicher Zeitkonstante: PR 1 PS n 2 1,25 4 ( n 1) n 2 n 7,62 s Copyright D R ZACHE R 12

13 Amplitude Automation-Letter Nr. 3 Sommersemester Vergleich von Sprungantworten der reellen und der identifizierten Strecken Angenommen, die reelle Strecke wurde wie folgt identifiziert: bzw. G ( ) PS S s (1 s1 )(1 s2 ) PS G S( s) mit 2 PS = 16,5; 1 = 0,08; 2 = 0,15; s s( ) Um die Sprungantwort der identifizierten Strecke mit den Messwerten der reellen Strecke zu vergleichen, simulieren wir die Regelstrecke mit MALAB: MALAB-Skript: 1 = 0.08; 2 = 0.15; ps = 16;5 num=[ps]; den=[1* ]; Prüfen wir, ob die Eingabe korrekt war: tf(num,den) Es soll die Übertragungsfunktion ausgegeben werden: ransfer function: s^2 + 8 s + 1 Danach konfigurieren wir denselben Sprung wie beim Versuch, d. h. ŷ = 10 ein, und geben beide Sprungantworten aus: num = [ps*10]; % Umrechnung von y = 1 auf y = 10 step (num, den, r ); % Sprungantwort der identifizierten Strecke, Farbe red hold on % urve im Bild halten plot(t, y, t, x, g ) % Sprungantwort der reellen Strecke, Farbe green 180 Step Response Unterscheiden sich die Sprungantworten der reellen Strecke und des Modells voneinander, sollen die Streckenparameter noch zusätzlich nachgestellt werden. Beispielweise ergibt sich im Bild links die Dämpfung des Modells von ca. = 1, indem die Strecke = 0,8 0,9 hat, d.h. man kann die Dämpfung des Modells ein wenig verkleinern ime (sec) 2011 Copyright D R ZACHE R 13

14 Prof. Dr. S. Zacher Muster-Bericht: Strecken-Identifikation und Reglerentwurf Stand 2016 Muster-Bericht zur Hausarbeit Drehzahlregelung Name, Vorname : Datum : 1. Identifikation der Regelstrecke Eingabe: Eingangssprung Y 0 y t 0 t aus 100% -35% 5 10 Diagramm eintragen, z. B. wie oben Versuchsergebnis: Eingangssprung Sprungantwort Datei Y 0 y X 0 X E x( ) PS 1 t ,11 0,35 0,09 2. Simulation der Regelstrecke bzw. Parameterkorrektur ps=17,1; 1=0,3; t=0,09 1

15 Prof. Dr. S. Zacher Muster-Bericht: Strecken-Identifikation und Reglerentwurf Stand 2016 Simulation der Strecke mit Matlab und Vergleich mit Messung 3. Entwurf des P-Reglers G ( G ( ) (17,1/(1+0,3*s))*exp(-0,09*s) R s) PR S s Vereinfachung : exp(-0,09*s) = 1/(1+0,09s) G s) G ( s) G ( ) pr*17,1/((1+0.3*s)*(1+0,09s)) 0( R S s (0,3+0,09)²/(2*17,1*0,3*0,09)-1/17,1 = 0,1062 0,106 PR 4. Rechnerische Ermittlung von Gütekriterien w = -599 PR x ) limg ( w s 0 ( s) w ((0,106*17,1)/(1+0,106*17,1))*-599 =0,645*-599 = -386 e(oo) = w - x(oo) = (-386) = t 0,707 ümax 4,3% aus 11*e=0,99 Sek. (1 ) 2 1 t PR PS e=t=0.09 Sek. 2

16 Prof. Dr. S. Zacher Muster-Bericht: Strecken-Identifikation und Reglerentwurf Stand Simulation des reises mit P-Regler bzw. Nachbesserung pr = 0,106; ps=17,1; 1=0,3, t=0,09; Step=600 Simulation des P-Regelkreises mit Matlab 6. Versuch: Regelkreis mit P-Regler onfiguration des Eingangssprunges: Eingangssprung PR Y 0 W 0 w t 0 t aus 0,11 50% Versuchsergebnis Eingangssprung Sprungantwort und Auswertung Datei Y 0 W 0 W E X 0 X E x( ) e( ) ü max aus % ,5 10% 0,4 Rechnerisch ermittelte Werte w x( ) e( ) ü max aus ,707 4,3% 0,99 3

17 Prof. Dr. S. Zacher Muster-Bericht: Strecken-Identifikation und Reglerentwurf Stand 2016 Import der Versuchsdatei nach Matlab : Gesamtübersicht Überschwingweite : Maxwert = 1247 = 10 %, Anzahl der Halbwellen n = 2 4

18 Prof. Dr. S. Zacher Muster-Bericht: Strecken-Identifikation und Reglerentwurf Stand 2016 Ausregelzeit auf ± 4 % : ca. 0,4 Sek. Stellgrösse beim Sprung 5

19 Prof. Dr. S. Zacher Muster-Bericht: Strecken-Identifikation und Reglerentwurf Stand 2016 PI-Regler : 3. Entwurf des PI-Reglers G ( *(1+n*s)/n*s G ( ) (17,1/(1+0,3*s))*exp(-0,09*s) R s) PR Vereinfachung : exp(-0,09*s) = 1/(1+0,09s) G s) G ( s) G ( ) (pr*17,1)/((0.3*s)*(1+0,09s)) für n=1= 0,3 Sek. 0( R S s S s = n/2*ps*t = 0,3/(2*17,1*0,09) 0,097 n = 0,3 Sek. PR 4. Rechnerische Ermittlung von Gütekriterien w = -599 PR x ) limg ( w s 0 ( s) w 1*-599 = -599 e(oo) = w - x(oo) = (-599) = 0 1 0,707 ü 4,3% 11*0.09=0.99 Sek. 2 max aus 5. Simulation des reises mit P-Regler bzw. Nachbesserung pr = 0,097; n=0.3; ps=17,1; 1=0,3, t=0,09; Step=600 6

20 Prof. Dr. S. Zacher Muster-Bericht: Strecken-Identifikation und Reglerentwurf Stand 2016 Simulation des PI-Regelkreises mit Matlab 6. Versuch: Regelkreis mit PI-Regler onfiguration des Eingangssprunges: Eingangssprung PR Y 0 W 0 w t 0 t aus 0,097 50% Versuchsergebnis Eingangssprung Sprungantwort und Auswertung Datei Y 0 W 0 W E X 0 X E x( ) e( ) ü max aus % ,0 32% 1,1 Rechnerisch ermittelte Werte w x( ) e( ) ü max aus ,707 4,3% 0,99 Zweiter Versuch mit pr = 0,075 und n = 0,35 Versuchsergebnis Eingangssprung Sprungantwort und Auswertung Datei Y 0 W 0 W E X 0 X E x( ) e( ) ü max aus % ,0 11% 0,7 7

21 Prof. Dr. S. Zacher Muster-Bericht: Strecken-Identifikation und Reglerentwurf Stand 2016 Import der Versuchsdatei nach Matlab : Gesamtübersicht, Überschwinger auf 1593 Upm, = 32 %, Stellgrösse geht ca. 0,6 Sek. auf 100 %. Zweiter Versuch mit pr = 0,075 und n = 0,35 Import der Versuchsdatei nach Matlab : Gesamtübersicht 8

22 Prof. Dr. S. Zacher Muster-Bericht: Strecken-Identifikation und Reglerentwurf Stand 2016 Überschwingweite : Maxwert = 1468, = 11 %,, Anzahl der Halbwellen n = 1 Ausregelzeit auf ± 4 % : ca. 0,7 Sek. Stellgröße beim Sprung 9