3. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

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1 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Beispiel Eine 1-Euro-Münze wird 1000 mal geworfen und die beiden möglichen Versuchsausgänge "Kopf" oder "Zahl" registriert. 500 mal 500 mal 521 mal 479 mal 600 mal 400 mal Ist die 1-Euro-Münze fair? 2 1

2 Zufallsgrößen Generell besteht der Wunsch, mit Versuchsergebnissen zu rechnen. dafür notwendig: Zahlen Jedem Versuchsergebnis wird eine Zahl zugeordnet. direkt: wenn Versuchsergebnis numerisch ist indirekt: durch geeignete Codierungen ja1, nein0 sehr gut1, gut2, unverändert3, schlecht4, sehr schlecht5 Mathematisch ist eine solche Zuordnung eine Funktion. Derartige Funktionen heißen Zufallsgrößen. 3 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeit P(E) des Eintretens eines Ereignisses E: definiert durch den Grenzwert der relativen Häufigkeit des Ereignisses E P( E) lim r ( E) n n Wahrscheinlichkeit: relative Häufigkeit: abstrakt Erfahrungswert beziehen sich auf ein Ereignis 4 2

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsverteilung vs. Häufigkeitsverteilung 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung Ergebnismenge Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments (zufälliges) Ereignis Teilmenge der Ergebnismenge Bezeichnung durch Großbuchstaben Beispiel: Würfel Ergebnismenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ereignisse: gerade Zahl {2, 4, 6} keine Zwei {1, 3, 4, 5, 6} Sechs {6} 6 3

4 Wahrscheinlichkeitsrechnung unmögliches Ereignis entspricht der leeren Menge weniger als Eins würfeln sicheres Ereignis entspricht der Ergebnismenge eine Zahl von Eins bis Sechs würfeln unvereinbare (unverträgliche) Ereignisse können nie gleichzeitig auftreten vereinbar unvereinbar E 1 E 1 E 2 E 2 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung unmögliches Ereignis entspricht der leeren Menge weniger als Eins würfeln sicheres Ereignis entspricht der Ergebnismenge eine Zahl von Eins bis Sechs würfeln unvereinbare (unverträgliche) Ereignisse können nie gleichzeitig auftreten würfeln einer geraden Zahl mehr als Drei würfeln E 1 vereinbar E 2 E 1 unvereinbar E 2 8 4

5 Wahrscheinlichkeitsrechnung unmögliches Ereignis entspricht der leeren Menge weniger als Eins würfeln sicheres Ereignis entspricht der Ergebnismenge eine Zahl von Eins bis Sechs würfeln unvereinbare (unverträgliche) Ereignisse können nie gleichzeitig auftreten würfeln einer geraden Zahl weniger als Zwei würfeln E 1 vereinbar E 2 E 1 unvereinbar E 2 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel History of Diabetes at Baseline * History of Hypertension at Baseline Kreuztabelle 16 Anzahl History of Hypertension at Baseline 48 No Yes Gesamt History of Diabetes No at Baseline Yes Gesamt

6 Wahrscheinlichkeitsrechnung Verwandte Begriffe Deskriptive Statistik (Stichprobe) Merkmal zufälliges Ereignis relative Häufigkeit Häufigkeitsverteilung Histogramm empirischer Mittelwert Stichprobenmedian Stichprobenperzentile Stichprobenquartile Stichprobenvarianz Stichprobenstandardabweichung Math. Statistik (Grundgesamtheit) Zufallsgröße Menge Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsverteilung Dichtefunktion Erwartungswert Median Perzentile Quartile Varianz Standardabweichung 11 Verteilungen Beobachtungen von zufällige Ereignissen (Zufallsgrößen) einzelne Realisierungen durch Zufall beeinflusst Betrachtung der Gesamtheit aller Ereignisse liefert Häufigkeitsverteilung Wahrscheinlichkeit: relative Häufigkeit: abstrakt Erfahrungswert beziehen sich auf ein Ereignis Wahrscheinlichkeitsverteilung: abstrakt Häufigkeitsverteilung: Erfahrungswert Gesamtheit aller Ereignisse 12 6

7 Verteilungen Bedeutung von Verteilungen Viele Merkmale können in der Praxis durch theoretische Verteilungen approximert werden. Kenntnisse über ein Merkmal zu erlangen heißt, seine Verteilung zu untersuchen. 13 Verteilungen Bedeutung von Verteilungen -liefern eine mathematische Modellvorstellung -ermöglichen praktischen Umgang mit Realisierungen von Zufallsexperimenten -ermöglichen die Einordnung von Versuchsergebnissen in eine passende Modellwelt Übereinstimmung mit a priori Annahmen Einschätzung, wie wahrscheinlich ein konkreter Versuchsausgang unter bestimmten Hypothesen ist -stetige oder diskrete Verteilungen je nach Wertevorrat -Beschreibung durch Dichtefunktion 14 7

8 Verteilungen Beispiele Verteilung (Modell) Häufigkeitsverteilung Boxplot Median < Erwartungswert linksschief Median = Erwartungswert symmetrisch 15 diskrete Verteilungen Beispiele faire Münze fairer Würfel Anzahl von Zellen (Mikroskop) endlich endlich (theoretisch) abzählbar 16 8

9 Normalverteilung Bedeutung Man wird immer dann erwarten können, daß eine Zufallsgröße annähernd normalverteilt ist, wenn sie das Resultat vieler zufälliger Ereignisse ist, die alle einen kleinen Einfluß auf das Endergebnis haben. Addition von vielen unabhängigen (zufälligen) Fehlern schwanken im Vorzeichen schwanken im Betrag summarischer Fehler wird häufiger in der Umgebung von Null liegen als betragsmäßig große Fehler betragsmäßig große summarische Fehler sind selten aber nicht unmöglich 17 Normalverteilung Beschreibung stetige Verteilung Wertevorrat eines normalverteilten Merkmals: reelle Zahlen beschreibbar mit zwei Parametern und ² > Dichtefunktion 1 x) e 2 2 ( x ) 2 2 ( Gaußsche Glockenkurve 18 9

10 Normalverteilung Beschreibung beschreibbar mit zwei Parametern und ² > Dichtefunktion 1 x) e 2 2 ( x ) 2 2 ( Gaußsche Glockenkurve Lageparameter Streuparameter, (Erwartungswert, Formparameter (Varianz) Median) 19 Normalverteilung Eigenschaften die wichtigste stetige Verteilung in der Statistik Resultat vieler zufälliger Ereignisse (natürliches Vorkommen) viele statistische Berechnungen benutzen Addition damit sind Ergebnisse solcher Berechnungen für genügend große n annähernd normalverteilt Schreibweise: Erwartungswert: 2 X ~ N(, ) Varianz:

11 Normalverteilung Eigenschaften Standardnormalverteilung mit Erwartungswert = 0 und Varianz ² = 1 X ~ N(0,1) 0.8 = -2, = = 0, = = 2, = 0, Normalverteilung Eigenschaften -Die Dichtefunktion ist symmetrisch um x) e 2 2 ( x ) 2 2 (

12 Normalverteilung Eigenschaften -Die Dichtefunktion ist symmetrisch um. -Die Wendepunkte der Funktion liegen bei x) e 2 2 ( x ) 2 2 ( Normalverteilung Eigenschaften -Die Dichtefunktion ist symmetrisch um. -Die Wendepunkte der Funktion liegen bei. 1 -Maximum der Dichte bei : ( ) x) e 2 2 ( x ) 2 2 (

13 Normalverteilung Eigenschaften -Die Dichtefunktion ist symmetrisch um. -Die Wendepunkte der Funktion liegen bei. 1 -Maximum der Dichte bei : ( ) 2 -Die Summe normalverteilter Zufallsgrößen ist normalverteilt. Erwartungswerte addieren sich Varianzen addieren sich wenn die Zufallsgrößen unabhängig sind 25 Normalverteilung Eigenschaften -Die Dichtefunktion ist symmetrisch um. -Die Wendepunkte der Funktion liegen bei. 1 -Maximum der Dichte bei : ( ) 2 -Die Summe normalverteilter Zufallsgrößen ist normalverteilt. Erwartungswerte addieren sich Varianzen addieren sich wenn die Zufallsgrößen unabhängig sind -Die Flächen unter der Dichtefunktion innerhalb der -Grenzen immer gleich: 0,6827 (1), 0,9545 (2) und 0,9973 (3)

14 Normalverteilung -Grenzen , ,9545 0, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Wahrscheinlichkeitsverteilungen 14

15 Referenzbereiche (Normalbereiche) Definition -Bereich um den Mittelwert oder Median -Bereich wird so gewählt, dass ein vorher festgelegter Prozentsatz von Messwerten in diesen Bereich fällt -Basis für Festlegung bilden Daten einer gesunden Population i.d.r. symmetrischer Ausschluss nach unten und oben z.b. 90%-Referenzbereich % 90%-Referenzbereich (perzentilbasiert) 0 5% 5% Referenzbereiche (Normalbereiche) Definition Bereich um den Mittelwert oder Median Bereich wird so gewählt, dass ein vorher festgelegter Prozentsatz von Messwerten in diesen Bereich fällt Basis für Festlegung bilden Daten einer gesunden Population i.d.r. symmetrischer Ausschluss nach unten und oben z.b. 95%-Referenzbereich (im normalverteilten Fall) , %-Referenzbereich (-Grenzen-basiert) 0,9545 0,

16 Schätzstatistik Ziel statistischer Untersuchungen Schlussfolgerungen aus statistischen Erhebungen ziehen Interpretation von Daten Bildung von Kennzahlen Problem Entscheidungsprozeß in einer Situation der Ungewißheit Unvollständigkeit der Information innerhalb einer Stichprobe zufallsbedingte Streuung der Beobachtungswerte Die Wahrscheinlichkeit, eine falsche Schlußfolgerung zu ziehen, ist im allgemeinen echt größer als Null! 31 Schätzstatistik X Verteilung von X Parameter der Verteilung (Erwartungswert, Varianz, Median...) Beobachtungswerte (konkrete Stichprobe) Schlußfolgerungen Interpretation Schätzwerte für Verteilungsparameter emp. (Mittelwert, Varianz, Median...) Fehlerbetrachtung 32 16

17 Schätzstatistik Teil der schließenden Statistik Ermittlung eines oder mehrerer Parameter einer Grundgesamtheit aus einer konkreten Stichprobe Punktschätzer liefern Zahlen Einschätzung und Berücksichtigung des Schätzfehlers auf der Basis einer konkreten Stichprobe Intervallschätzer liefern Intervalle 33 Punktschätzungen am häufigsten verwendete Schätzwerte Verteilungsparameter Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E Erwartungswert Median Punktschätzwert r n (E) x x~ Varianz s² Standardabweichung Perzentile, Quantile Quartile,25 s x p x 0, x 0,

18 Intervallschätzungen Probleme bei Punktschätzungen -aus konkreter Stichprobe berechneter Schätzwert wird im allgemeinen vom wirklichen Parameter abweichen -ein einzelner Schätzwert kann sehr weit vom wahren Parameter entfernt liegen -Aussagen über Abweichungen fehlen bei Punktschätzern Umgang mit Abweichungen -Abweichungen werden durch zufällige Einflüsse verursacht -folglich sind absolut sichere Aussagen i.a. nicht möglich -Ziel sind Aussagen über den unbekannten Parameter, die wenigstens in den meisten Fällen richtig sind 35 Intervallschätzungen Deskriptive Statistik Age in Years Treatment Code t-pa Standardfe Statistik hler Mittelwert 66,6210, % Konfidenzintervall Untergrenze 64,9313 des Mittelwerts Obergrenze 68,3106 Placebo 5% getrimmtes Mittel 67,0207 Median 68,7243 Varianz 105,216 Standardabweichung 10,25749 Minimum 40,07 Maximum 88,51 Spannweite 48,45 Interquartilbereich 15,93 Schiefe -,569,202 Kurtosis -,390,401 Mittelwert 65,6903, % Konfidenzintervall Untergrenze 63,8357 des Mittelwerts Obergrenze 67,5449 Unterschied zufällig? 5% getrimmtes Mittel 66,2705 Median 66,9994 Varianz 129,453 Standardabweichung 11,37774 Minimum 33,90 Maximum 89,00 Spannweite 55,10 Interquartilbereich 16,50 Schiefe -,694,200 Kurtosis -,040,

19 Intervallschätzungen Deskriptive Statistik Age in Years Treatment Code t-pa Standardfe Statistik hler Mittelwert 66,6210, % Konfidenzintervall Untergrenze 64,9313 des Mittelwerts Obergrenze 68,3106 Placebo 5% getrimmtes Mittel 67,0207 Median 68,7243 Varianz 105,216 Standardabweichung 10,25749 Minimum 40,07 Maximum 88,51 Spannweite 48,45 Interquartilbereich 15,93 Schiefe -,569,202 Kurtosis -,390,401 Mittelwert 65,6903, % Konfidenzintervall Untergrenze 63,8357 des Mittelwerts Obergrenze 67,5449 mittlerer Schätzfehler 5% getrimmtes Mittel 66,2705 Median 66,9994 Varianz 129,453 Standardabweichung 11,37774 Minimum 33,90 Maximum 89,00 Spannweite 55,10 Interquartilbereich 16,50 Schiefe -,694,200 Kurtosis -,040, Intervallschätzungen Definition Ein (empirisches) (1-α)-Konfidenzintervall oder auch (empirischer) (1-α)-Vertrauensbereich für den unbekannten Verteilungsparameter ϑ ist ein Bereich um den Punktschätzwert ˆ, der aus der Stichprobe berechnet wird und den unbekannten wahren Parameter ϑ mit Sicherheit 1-α enthält. Die Zahl = 1 - nennt man Konfidenzniveau. übliche Werte: = 0,95, = 0,

20 Intervallschätzungen Fazit Die Qualität der Entscheidung ˆ wird durch das u ˆ o Konfidenzniveau maßgeblich beeinflußt. Sinnvolle Forderungen Die Wahrscheinlichkeit sollte möglichst groß (nahe 1) sein. Für brauchbare Entscheidungen sollte die Länge des Intervalls (als Realisierung) möglichst klein sein. Problem Beide Forderungen wirken gegensätzlich! Die Wahrscheinlichkeit muß vor dem Versuch vorgegeben werden. 39 Intervallschätzungen Deskriptive Statistik Age in Years Treatment Code t-pa Standardfe Statistik hler Mittelwert 66,6210, % Konfidenzintervall Untergrenze 64,9313 des Mittelwerts Obergrenze 68,3106 [64,93; 68,32] Placebo 5% getrimmtes Mittel 67,0207 Median 68,7243 Varianz 105,216 Standardabweichung 10,25749 Minimum 40,07 Maximum 88,51 Spannweite 48,45 Interquartilbereich 15,93 Schiefe -,569,202 Kurtosis -,390,401 Mittelwert 65,6903, % Konfidenzintervall Untergrenze 63,8357 des Mittelwerts Obergrenze 67,5449 [63,83; 67,55] 5% getrimmtes Mittel 66,2705 Median 66,9994 Varianz 129,453 Standardabweichung 11,37774 Minimum 33,90 Maximum 89,00 Spannweite 55,10 Interquartilbereich 16,50 Schiefe -,694,200 Kurtosis -,040,

21 Intervallschätzungen Deskriptive Statistik Age in Years Treatment Code t-pa Placebo Standardfe Statistik hler Mittelwert 66,6210, % Konfidenzintervall Untergrenze 64,9313 des Mittelwerts Obergrenze 68,3106 5% getrimmtes Mittel 67,0207 Median 68,7243 Varianz 105,216 Standardabweichung 10,25749 Minimum 40,07 Maximum 88,51 Spannweite 48,45 Interquartilbereich 15,93 Schiefe -,569,202 Kurtosis -,390,401 Mittelwert 65,6903, % Konfidenzintervall Untergrenze 63,8357 des Mittelwerts Obergrenze 67,5449 [64,93; 68,31] [63,84; 67,54] Überlappung 5% getrimmtes Mittel 66,2705 Median 66,9994 Varianz 129,453 Standardabweichung 11,37774 Minimum 33,90 Maximum 89,00 Spannweite 55,10 Interquartilbereich 16,50 Schiefe -,694,200 Kurtosis -,040,397 Unterschiede möglicherweise zufälliger Natur ( = 0,05) 41 Konfidenzintervalle [64,93; 68,31] [66,03; 68,31] [63,84; 67,54] [63,84; 65,94] Überlappung keine Überlappung Unterschiede möglicherweise zufälliger Natur ( = 0,05) Unterschiede signifikant ( = 0,05) 42 21

22 Intervallschätzungen Berechnung abhängig vom zu schätzenden Parameter Erwartungswert, Median, Varianz, Median, Odds-Ratio, relatives Risiko, Wahrscheinlichkeiten, Vorhersagewerte Erwartungswertdifferenzen, Wahrscheinlichkeitsdifferenzen häufige Form ˆ Quantil / 1 2 Standardfehler Standardfehler des Punktschätzers Quantil der passenden Verteilung 43 Spezielle Konfidenzintervalle t-verteilung x s n t x s t n 1 / 2, 1 / t 9, 0,950 = 1,83 t 9, 0,975 = 2,26 t 9, 0,995 = 3,

23 Spezielle Konfidenzintervalle Erwartungswert einer N(,²)-verteilten Zufallsgröße Voraussetzungen: normalverteilte Grundgesamtheit nicht bekannt konkrete Stichprobe: x x1, x2,, x n empirisches Konfidenzintervall x s n t x s t n 1 / 2, 1 / 2 Standardfehler Quantile der des t-verteilung Mittelwertes mit n - 1 Freiheitsgraden 45 Spezielle Konfidenzintervalle t-verteilung 0.4 N(0,1) Freiheitsgrade 15 Freiheitsgrade F x 46 23

24 Konfidenzintervalle Eigenschaften -je höher das Konfidenzniveau, desto länger das Konfidenzintervall Quantile werden größer -je höher die Varianz der Daten, desto länger das Konfidenzintervall größere Unsicherheit bei der Schätzung -je größer der Stichprobenumfang, desto kürzer das Konfidenzintervall fällt nur mit n 47 AUFGABE 1 NORMALVERTEILUNG) Etwa wieviel Prozent aller Werte einer normalverteilten Zufallsgröße liegen im sogenannten 2--Bereich? A 90% B 68% C 95% D 99% , %-Referenzbereich (-Grenzen-basiert) 0,9545 0,

25 AUFGABE 2 (REFERENZWERTE) Bestimmen Sie anhand geeigneter Perzentile den mittleren 95% Referenzbereich für den systolischen Blutdruck in der Stichprobe des Bundesgesundheitssurveys 1997/98 bei 5013 Personen, die angaben, nicht an Bluthochdruck zu leiden: 95% Referenzbereich: 102 mm Hg bis 171 mm Hg ( von 2.5 % bis 97.5 % ) Statistiken Mittlerer systol. Blutdruck in mmhg N Mittelwert Gültig Fehlend ,19 Standardabweichung 17,205 Perzentile 0,5 2, ,5 99,5 97,00 102,00 106,00 114,00 146,00 162,00 171,00 192,00 49 AUFGABE 2 (REFERENZWERTE) Wenn die Verteilung des Messwertes näherungsweise dem in der Statistik häufig verwendeten theoretischen Modell einer Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve) entspricht, kann der mittlere 95%-Referenzbereich aus Mittelwert 2 Standardabweichung alternativ zur Perzentil-Methode gebildet werden. In diesen Bereich fallen bei normalverteilten Messwerten ca. 95% aller Werte. Ergänzen Sie unter dieser Annahme die entsprechenden Blutdruckwerte in der 2. Zeile unter der nachfolgenden Grafik. Der Mittelwert von 130 mm Hg und die empirische Standardabweichung von 17 mm Hg aus den Surveydaten dienen als Schätzwerte für den Erwartungswert und die Standardabweichung der Blutdruckwerte bei Personen, die nach eigenen Angaben nicht unter Hypertonie leide 50 25

26 AUFGABE 2 (REFERENZWERTE) = 130 = AUFGABE 2 (REFERENZWERTE) Markieren Sie den 95% Referenzbereich und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Referenzbereich von 102 mmhg bis 171 mmhg, der nach der Perzentil-Methode ermittelt N wurde. Statistiken Mittlerer systol. Blutdruck in mmhg Gültig 5013 Fehlend 9 Mittelwert 130,19 Standardabweichung 17,205 Perzentile 0,5 2, ,5 99,5 97,00 102,00 106,00 114,00 146,00 162,00 171,00 192,00 Je besser das Modell einer Normalverteilung auf die empirischen Daten passt, desto geringer werden die Unterschiede in den nach beiden Methoden ermittelten Referenzbereichen sein! 52 26

27 AUFGABE 2 (REFERENZWERTE) mmhg versus mmhg Faustregel: Rund wie viel Prozent der Werte liegen bei einer Normalverteilung im Intervall zwischen und + : 68 % 2 und +2 : 95 % 3 und +3 : 99 %? 53 AUFGABE 3 (KONFIDENZINTERVALL) Welche Aussage über das 95% - Konfidenzintervall für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit trifft zu? A Bei gleichbleibender relativer Häufigkeit wird das Konfidenzintervall mit zunehmenden Stichprobenumfang breiter. B Das 99% - Konfidenzintervall ist schmaler als das 95% - Konfidenzintervall. C Bei gleichbleibender relativer Häufigkeit wird das Konfidenzintervall mit zunehmendem Stichprobenumfang schmaler. D Die Breite des Konfidenzintervalls hängt nicht vom Stichprobenumfang n ab

28 AUFGABE 4 (KI für Mittelwert) Der Bundesgesundheitssurvey erfasste Risikofaktoren und Erkrankungen in einer repräsentativen Stichprobe der jährigen Wohnbevölkerung in Deutschland. Dabei wurde auch das Cholesterin als wichtiger Risikofaktor für Herz-Kreislauf-Erkrankungen erfasst. Die nachfolgende Tabelle zeigt den Schätzwert für das mittlere HDL- Cholesterin von 1.64 mmol/l, 95% Konfidenzintervall (1.59, 1.68) mmol/l in der Subgruppe der jährigen Frauen (n=481). 55 AUFGABE 4 (KI für Mittelwert) 1. Für welche Population ist der HDL Wert von 1.64 mmol/l ein guter Schätzwert für den HDL-Mittelwert? jährige Frauen der Wohnbevölkerung Deutschlands 2. Welche zusätzliche Information über den wahren, aber unbekannten Mittelwert von HDL liefert das 95% Konfidenzintervall? Das aus den Daten geschätzte 95% Konfidenzintervall schließt den unbekannten HDL-Mittelwert mit einer statistischen Sicherheit von 95% ein. 3. Wenn man den mittleren HDL-Wert und das zugehörige 95% CI nicht nur in einer, sondern in 20 unabhängigen, bevölkerungsrepräsentativen Stichproben bestimmt ( jeweils 481 Frauen im Alter von Jahren), wie viele dieser 20 CI würden den wahren, aber unbekannten HDL-Mittelwert näherungsweise einschließen? ca

29 AUFGABE 4 (KI für Mittelwert) 4. Zur Kontrolle könnte man das in der Tabelle angegebene 95% CI für den HDL-Mittelwert nachrechnen (mit gerundete Werten): g u = geschätzter HDL-Mittelwert Quantil (1-α/2) * Standardfehler = * 0.02 = 1.60 g o = geschätzter HDL-Mittelwert + Quantil (1-α/2) * Standardfehler = * 0.02 = 1.68 Für die Berechnung werden der geschätzte Mittelwert und der mit einem Faktor (Quantil) multiplizierte Standardfehler des geschätzten Wertes (Standard Error, SE) benötigt. Der Standardfehler kann aus den Daten der Stichprobe durch SE = s/n geschätzt werden. Der Faktor entspricht einem Quantil einer bestimmten Verteilung, hier der t- Verteilung ist der Wert des (1-α/2) = Quantils bei (n-1) = 480 Freiheitsgraden. 57 AUFGABE 4 (KI für Mittelwert) Fehler-Balken -Darstellung Mittelwert und 95%-Konfidenzintervall für den HDL- Cholesterinwert der jungen Frauen. Die Breite des Intervalls hängt vom gewählten Konfidenzniveau (1-α), vom Stichprobenumfang und der Streuung der HDL-Werte ab. Stichprobenumfang: Konfidenzniveau: 90% 99% 95% 95% 95% Intervalllänge: kleiner grösser grösser kleiner 5. Geben Sie für die unterschiedlichen Konfidenzniveaus und Stichprobenumfänge an, ob sich das Intervall gegenüber dem abgebildeten vergrößert oder verkleinert (grob skizzieren). 6. Was ist besser: ein breites oder ein schmales Konfidenzintervall? Warum? Wegen der höherer Genauigkeit (Präzision) der Schätzung wird immer ein schmales Konfidenzintervall angestrebt! 58 29

30 5. Methoden der schließenden Statistik allgemeines Testprinzip 59 30