Neue Aufgaben, Oktober 2012

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1 Neue ufgaben, Oktober Erfinde 10 ivisionsaufgaben, wobei jeweils nur die drei Ziffern 0, 5 und 7 mindestens einmal vorkommen. ei der anschließenden ivision darf kein Rest bleiben. Lösung: Z : 5 = : 5 = : 5 = usw. oder 705 : 5 = : 5 = : 5 = 114 oder 7005 : 5 = : 50 = : 500 = 15 usw. oder 70 : 5 = : 50 = : 500 = 14 usw. 2. ie Schülerinnen und Schüler der 5a haben die folgenden ufgaben bekommen: = = = =. eim erechnen der Ergebnisse meint Hans: as mit dem zweiten Faktor 101 ist doch eigentlich ganz einfach: Hänge jeweils an den ersten Faktor zwei Nullen an und addiere zu dieser neuen Zahl den ersten Faktor. ann hast du den Wert des betreffenden Produktes. (a) erechne selbst die vier Produktwerte. estätige, dass Hans mit seiner Regel Recht hat. (b) hristian behauptet jedoch: Ja aber wenn der erste Faktor größer als eine Million ist, dann funktioniert die Regel nicht mehr. Hat hristian Recht? egründe deine ntwort. Lösung: (a) = 707 = 700+7; seine Regel stimmt = 5353 = ; seine Regel stimmt = = ; seine Regel stimmt = = ; seine Regel stimmt. (b) hristian sollte die Regel von Hans zunächst an einem eispiel testen: = = ; die Regel von Hans stimmt auch für dieses eispiel. llerdings ist dieses eine eispiel nur ein Hinweis, aber kein eweis dafür, dass die Regel auch für so große oder noch größere oder sogar alle natürlichen Zahlen gilt. Wir untersuchen die Regel genauer. Hänge jeweils...zwei Nullen an... bedeutet: Multipliziere (den ersten Faktor) mit 100. ddiere zu dieser neuen Zahl den ersten Faktor. bedeutet: ieser erste Faktor kommt noch einmal hinzu. lso hast du den ersten Faktor insgesamt mit 101 multipliziert. as bedeutet: ie Regel von Hans bei der Multiplikation mit 101 gilt für alle natürlichen Zahlen. 1

2 3. In der Tierhandlung Katz & Maus sind 4 schwarze, 13 weiße und 9 graue Mäuse aus einem Käfig geflüchtet. er hef, Herr Samtpfote, stellt eine Lebendfalle mit Ködern auf. Noch in der Nacht finden sich darin einige der usreißer wieder ein. m Morgen stellt sich heraus, dass von jeder Farbe mindestens eine Maus wieder eingefangen ist. er Rest rennt noch frei umher. Notiere im Folgenden für jede ntwort eine egründung. (a) Gib die Mindestzahl der Mäuse an, die bis dahin eingefangen waren. (b) Gib die Höchstzahl der Mäuse an, die bis dahin eingefangen waren. (c) Wie viele Mäuse mussten mindestens wieder eingefangen worden sein, damit sich Herr Samtpfote sicher sein kann, dass von jeder Farbe mindestens eine Maus dabei ist? Welche Farbe(n) tragen dann die noch in Freiheit befindlichen Tiere? Lösung: Wichtig ist, dass (wie aus dem obigen Text ersichtlich) alle drei Farben bei den wieder eingefangenen Mäusen vertreten sind. (a) Es saßen mindestens 3 Mäuse in der Falle: eine schwarze, eine weiße und eine graue. (b) Gesamtzahl der Mäuse: = 26. Weil es aber einen Rest gibt, der sich noch auf der Flucht befindet, können höchstens 25 Tiere gefangen worden sein. (c) Im ungünstigsten Fall gehen zuerst die 13 weißen Mäuse und die 9 grauen Mäuse in die Falle. ann muss die nächste Maus, die sich fangen lässt, aber schwarz ein. lso sind noch drei schwarze Nager frei. 4. Karl rechnet: = (a) ngela betrachtet das Ergebnis. Sie meint: u hast dich verrechnet. egründe ohne den richtigen Produktwert zu berechnen, dass ngela Recht hat. (b) ngela berechnet das korrekte Ergebnis. Sie entdeckt, dass sich Karl nur an der Zehntausenderstelle vertan hat. Ermittle die richtige Zehntausenderstelle ohne den ganzen Produktwert zu berechnen. Lösung: (a) a die Rechenaufgabe den Faktor 9 enthält, muss der Produktwert wiederum durch 9 teilbar sein, aber dessen Quersumme beträgt = 25. Weil 9 kein Teiler von 25 ist, kann Karls Ergebnis nicht stimmen. (b) u musst also Neunervielfache finden, die in der Nähe von 25 liegen. ie Quersumme 18 kann mit Hilfe einer abgeänderten Zehntausenderstelle 4 nicht erreicht werden, denn dann müsste die richtige Ziffer um 7 kleinerer als 4 sein. Eine solche Ziffer gibt es nicht. lso muss das richtige Ergebnis die Quersumme 27 besitzen. as ist dann der Fall, 2

3 wenn die falsche Ziffer 4 durch die Ziffer 6 ersetzt wird. In der Tat ist dann = as rechteckige anner ist aus lauter Quadraten zusammengefügt. (a) Zeichne die Figur mit ihrem quadratischen Muster im Inneren für = 8cm und = 5cm. (b) Wie viele Quadrate sind es? Wie viele Rechtecke sind es? (c) as anner wird aus Stoff zusammengenäht und mit einer goldenen orte umsäumt. erechne die Mindestlänge des Saumes, wenn jedes der beiden kleinsten Quadrate einen Umfang von 24cm hat. Lösung: (a) (b) Es sind fünf Quadrate. Zunächst siehst du vier Rechtecke, die keine Quadrate sind. Weil sich jedes Quadrat aber gleichzeitig auch Rechteck nennen darf (da es in sich alle Eigenschaften eines Rechtecks vereinigt), enthält die Figur = 9 Rechtecke. 3

4 (c) Jedes der kleinsten Quadrate hat dann eine Seitenlänge von 24cm : 4 = 6cm. as nächst größere Quadrat hat dann eine Seitenlänge von 2 6cm = 12cm. as Quadrat rechts oben hat dann eine Seitenlänge von 12cm+6cm = 18cm. as Quadrat links hat dann eine Seitenlänge von 12cm+18cm = 30cm. Somit erhältst du als Mindestlänge für den Goldsaum: u = 2 [( )+(6+6+18)]cm = 156cm. 6. ie Summe aus drei natürlichen Zahlen soll 10 ergeben. Notiere alle Möglichkeiten. Lösung: = = = = = = = = Zwei natürliche Zahlen x und y sollen zusammen 5 ergeben. In der Tabelle unten steht schon eine Möglichkeit: x = 2 und y = 3, so dass x+y = 2+3 = 5 gilt. (a) Vervollständige die Tabelle entsprechend: x 2 y 3 (x y) (2 3) (b) ie Zahlenpare in der dritten Zeile lassen sich als Punkte im Gitternetz deuten. y 1 O 1 x Trage alle Zahlenpaare der dritten Zeile in das Gitternetz ein. 4

5 (c) ie Punkte im Gitternetz liegen nicht wild in der Gegend herum. eschreibe die Lage dieser Punkte: Mache deine ntwort auch im Gitternetz deutlich. Lösung: (a) Vervollständige die Tabelle entsprechend: x y (x y) (1 4) (2 3) (3 2 (4 1) (b) y 1 O 1 x (c) lle Punkte liegen auf einer Strecke (oder Halbgeraden oder Geraden). Siehe Zeichnung. 8. Uwe rechnet: = ie Lehrerin bestätigt sein Ergebnis. oris soll die folgende ufgabe rechnen: =. Sie betrachtet das Ergebnis von Uwe und meint dann: a brauche ich doch nur.... (a) Was hat oris gemeint? Notiere ihre vollständige ntwort und begründe sie. (b) Schreibe das Ergebnis ihrer Rechenaufgabe hin. Lösung: (a) a brauche ich doch nur von Uwes Ergebnis 1000 zu subtrahieren. ann habe ich mein Ergebnis. egründung: ei sonst identischen Summanden steht in Uwes ufgabe +500 und in der ufgabe von oris 500. lso unterscheiden sich die beiden Ergebnisse um den Wert (b) as Ergebnis von oris ist dann

6 S 3m 5m Zwiebeln R Kartoffeln Q P Karotten 8m 3m as rechteckige Feld ist 8m lang und 5m breit. uf den drei rechteckigen Parzellen werden Karotten, Zwiebeln und Kartoffeln angebaut. ie beiden Streifen für Karotten und Zwiebeln sind jeweils 3 m breit. erechne den Flächeninhalt des Kartoffelfeldes. ie Zeichnung ist nicht maßstabsgerecht. Lösung: Es gilt: RQ = 8m 3m = 5m und RS = 5m 3m = 2m Kartoffelfeld = RQ RS = 5m 2m = 10m Unter der Quersumme QS einer natürlichen Zahl versteht man den Wert der Summe aus ihren Ziffern. eispiel: QS(409) = = 13. (a) Notiere alle natürlichen Zahlen zwischen 9 und 45, die durch ihre Quersumme teilbar sind. (b) Emil betrachtet das Ergebnis und meint: Hier stehen nur Zahlen, die durch 3 oder durch 10 teilbar sind. as gilt auch bestimmt für alle Zahlen von 10 bis 100. egründe, dass Emil Recht hat. (c) Welche dreistelligen natürlichen Zahlen mit der Quersumme 4 sind durch 4 teilbar? Welche dreistelligen natürlichen Zahlen mit der Quersumme 7 sind durch 7 teilbar? Welche vierstelligen natürlichen Zahlen mit der Quersumme 25 sind durch 25 teilbar? Lösung: (a) {10;12;18;20;21;24;30;36;40;42}. (b) Es kommen nur Zahlen mit QS {1;2;4;5;7;8;11;13;14;16} in Frage. QS = 1 liefert {10;100}. eides sind aber ein Zehnervielfache. QS = 2 liefert 11 und 20. eide Möglichkeiten scheiden aus. QS = 4 liefert {13;31;22;40}. Keine Möglichkeit. QS = 5 liefert {14;23;41;32;50}. Keine Möglichkeit. QS = 7 liefert {16;25;34;61;52;43;70}. Keine Möglichkeit. QS = 8 liefert {17,26;35;44;71;62;43;80}. Keine Möglichkeit. 6

7 QS = 11: ie zugehörigen natürlichen Zahlen müssen zwei gleiche Ziffern besitzen. amit kommt aber keine QS = 11 zustande. QS = 13 liefert {49;58;67;94;85;76}. Keine Möglichkeit. QS = 14 liefert {59;68;77;86;95}. Keine Möglichkeit. QS = 16 liefert {79;88;97}. Keine Möglichkeit. (c) uf jeden Fall gehört 400 mit der QS = = 4 dazu. Nun ist 4 = lso: 112 : 4 = 28: aher ist 112 eine der gesuchten Zahlen. lle anderen dreistelligen Zahlen, die sich aus den Ziffern 1 und 2 zusammensetzen, sind ungerade und damit nicht durch 4 teilbar. Weiter ist 4 = 2+2. as ergibt 202 (nicht durch 4 teilbar) und 220 : 4 = 55. aher ist 220 eine weitere der gesuchten Zahlen, andere gibt es nicht. Wieder ist 700 mit der QS = = 7 eine der gesuchten Zahlen. 1. Fall: 7 = ergibt {106;160;610;601}. 106 : 7 = 15 Rest : 7 = 22 Rest : 7 = 87 Rest : 7 = 85 Rest Fall: 7 = ergibt {205;250;502;520}. 205 : 7 = 29 Rest : 7 = 35 Rest : 7 = 71 Rest : 7 = 74 Rest Fall: 7 = ergibt {304;340;403;430}. 304 : 7 = 43 Rest : 7 = 48 Rest : 7 = 57 Rest : 7 = 61 Rest Fall: 7 = ergibt {115;151;511}. 115 : 7 = 16 Rest : 7 = 21 Rest : 7 = 73 Rest 0. lso ist 511 eine der gesuchten Zahlen. 5. Fall: 7 = ergibt {124;142;214;241;412;421}. 124 : 7 = 17 Rest : 7 = 20 Rest : 7 = 30 Rest : 7 = 34 Rest : 7 = 58 Rest : 7 = 60 Rest 1. 7

8 6. Fall: 7 = ergibt {133;313;331}. 133 : 7 = 19 Rest 0. lso ist 133 eine der gesuchten Zahlen. 313 : 7 = 44 Rest : 7 = 47 Rest Fall: 7 = ergibt {223;232;322}. 223 : 7 = 31 Rest : 7 = 33 Rest : 7 = 46 Rest 0. lso ist 322 eine der gesuchten Zahlen. lso kommen nur die Zahlen 133, 322, 511 und 700 in Frage. Eine natürliche Zahl ist durch 25 teilbar, wenn sie auf das Ziffernpaar oder oder oder endet. 1. Fall: ie Zahl endet auf ann müssten die Summe beiden vorderen Ziffern den Wert 25 ergeben. as ist nicht möglich. 2. Fall: ie Zahl endet auf ann muss die Summe beiden vorderen Ziffern den Wert 18 ergeben. as ergibt 9925 als einzige Zahl: = Fall: ie Zahl endet auf ann müssten die Summe beiden vorderen Ziffern den Wert 20 ergeben. as ist nicht möglich. 4. Fall: ie Zahl endet auf ann muss die Summe beiden vorderen Ziffern den Wert 13 ergeben. as ergibt die folgenden Möglichkeiten: 9475, 4975, 8575, 5875, 6775 und Welche Zahl gehört in das Kästchen? = Lösung: =

9 Eine kreisförmige Fensterscheibe ist von einem quadratischen hölzernen Rahmen eingefasst, dessen Gesamtlänge 5 m beträgt. Welchen urchmesser hat die Fensterscheibe? Lösung: T T as Quadrat hat eine Seitenlänge von 5m : 4 = 500cm : 4 = 125cm. annhatdiefensterscheibeebenfallseinenurchmesservon125cm (siehestrecke[tt ]). 13. Im Küchenschrank sind drei verschieden große Holzbrettchen rwie in der Zeichnung übereinander gestapelt. Es handelt sich um ein weißes (w), einen grünes (g) und einen rotes (r) rettchen. as weiße rettchen ist größer als das rote. Wie könnte der Stapel aussehen? Lösung: as weiße rettchen muss in jedem Fall unter dem roten liegen. ann gibt es drei Möglichkeiten: b r r r b w w w b 14. In einer Plastiktüte befinden sich 100 gleiche Würfel, deren Kantenlänge jeweils 2 cm beträgt. lfred will aus diesen Würfeln einen möglichst großen Würfel lückenlos zusammenfügen. (a) Wie viele kleine Würfel hat der dann übrig? (b) Wie hoch wäre der Turm aus kleinen Würfeln, die den großen Würfel ergeben? Lösung: (a) Wenn in jeder Kante fünf kleine Würfel lägen, dann bräuchte lfred = 5 3 = 125 Würfel. lso dürfen in jeder Kante nur 4 kleine Würfel liegen: 4 3 = 64. ann hat lfred noch = 36 kleine Würfel übrig. 9

10 (b) Wenn lfred die 64 kleinen Würfel zu einem Turm aufschichten könnte, dann wäre der Turm 64 2cm = 128cm hoch. 15. Ein halkugelförmiges Glasgefäß mit einer Wandstärke von 5 mm hat ein Fassungsvermögen von 10l. erechne den ußendruchmesser des Gefäßes in mm. Lösung: (a) amit der ifferenzwert minimal wird, muss der Minuend möglichst klein und der Subtrahend möglichst groß werden: = 0, = 1 und = 9. (b) = m Wohnhaus 8m Hof 7m Stall 9m ie Figur zeigt den Grundriss eines landwirtschaftlichen nwesens. ie Grundfläche des Stalles beträgt 50m 2. erechne die Grundfläche des Wohnhauses. Lösung: Grundfläche des Stalles mit Hof: 9m 7m = 63m 2. Grundfläche des Stalles: 50m 2. Grundfläche des Hofes: 63m 2 50m 2 = 13m 2. Grundfläche des Wohnhauses mit Hof: 12m 8m = 96m 2. Grundfläche des Wohnhauses: 96m 2 13m 2 = 83m

11 er eingefärbte Treppenabsatz ist ein Quadrat dessen Umfang 7m 2 dm beträgt. er Treppenabsatz ist von sechs quadratischen etonplatten eingesäumt. Je drei davon haben die gleiche Größe. erechne den Flächeninhalt des Rechtecks. Lösung: 7m2dm = 72dm. ie Seitenlänge des quadratischen Treppenabsatzes beträgt dann 72dm : 4 = 18dm. ann beträgt die Seitenlänge eines der drei kleineren unteren Quadrate 18dm : 3 = 6dm. ie Seite [] des Rechtecks ist dann 18dm+6dm = 24dmlang. ann beträgt die Seitenlänge eines der drei größeren seitlichen Quadrate 24dm : 3 = 8dm. ie Seite [] des Rechtecks ist dann 18dm+8dm = 26dmlang. er Flächeninhalt des Rechtecks ergibt sich dann aus 24dm 26dm = 624dm erechne die fehlenden Ziffern und in der folgenden Multiplikationsaufgabe: 3 19 = 4531 Lösung: ei jeder Produktberechnung aus beliebig vielen Faktoren gilt: er Produktwert der Endziffern aus allen Faktoren hat selbst eine Endziffer. iese stimmt mit der Endziffer des Produktwertes aus allen Faktoren überein. as bedeutet hier: 3 = er Produktwert aus 3 und der Ziffer endet also auf 1. ann muss = 7 gelten, denn im reiereinmaleins gibt es nur einen Produktwert, der auf 1 endet, nämlich 3 7 = 21. Somit ergibt sich: = 4531 Umkehraufgabe: 4531 : 197 = 23. lso ist = 2, und = (a) Überprüfe, ob die Zahl durch 9 teilbar ist. 11

12 (b) Streiche bestimmte Ziffern durch, so dass die übrig gebliebene Zahl (die Reihenfolge der restlichen Ziffern soll unverändert bleiben) durch 9 teilbar ist. Gib sieben Möglichkeiten an. Lösung: (a) Ist der Wert der Quersummeeiner Zahl durch 9 teilbar, dann ist die Zahl selbst durch 9 teilbar. er Wert der Quersumme der Zahl beträgt 17. lso ist diese nicht durch 9 teilbar. (b) Nach dem Streichen bestimmter Ziffern kann aus dem Wert 17 keine größere, sondern nur eine kleinere Quersumme werden. er nächst kleinere Quersummenwert, der dann durch 9 teilbar ist, ist die 9. urch Streichen von bestimmten Ziffern muss also der Wert der Quersumme von 17 auf 9 abgeändert werden; d.h. die Summe der zu streichenden Ziffern muss den Wert 17 9 = 8 annehmen. ann gibt es die folgenden Möglichkeiten: Ursprüngliche Zahl Zu streichende Ziffern Neue Zahl ; ; 2; ; 2; ; 1; 1; ; 3; 1; z ; 2; 1; 1; z ; 2; 1; 1; 1; Ein Personenzug fährt von antorhausen über belstadt nach esselheim. In antorhausen befinden sich 306 Fahrgäste im Zug. In belstadt steigt die Hälfte davon aus und 79 Fahrgäste steigen ein. ie nzahl der in esselheim zugestiegenen Fahrgäste ist genauso groß wie die Hälfte der Fahrgäste, die sich bei der nkunft im ahnhof im Zug befunden haben. ußerdem steigen in esselheim 120 Fahrgäste aus. Wie viele Fahrgäste befinden sich im Zug, wenn dieser den ahnhof in esselheim verlässt? Lösung: belstadt: Es steigen 306 : 2 = 153 Fahrgäste aus und 79 Fahrgäste steigen ein. ann sind = 232 Fahrgäste im Zug. esselheim: Es steigen 232 : 2 = 116 Fahrgäste ein und 120 Personen aus. ann sind 4 Fahrgäste weniger im Zug als vor der nkunft in esselheim. Nach der bfahrt in esselheim sind dann also noch = 228 Fahrgäste im Zug. 21. a und b sind zwei natürliche Zahlen. Finde alle natürlichen Zahlen a und b, für die a b+3 = 42 gilt. Lösung: us a b+3 = 42 folgt a b = 39. Es gilt T 39 = {1; ;3;13; 39}. amit sind folgende Fälle möglich: 1 39 = 39 a = 1undb = 39 odera = 39undb = = 39 a = 3undb = 13 odera = 13undb = 3 12

13 22. Ein Produkt aus drei Faktoren hat den Wert 70. Jeder Faktor ist größer als eins. Welchen Wert können die drei Faktoren haben? Gib alle Möglichkeiten an. Lösung: ie Faktoren sollen a, b und c heißen. Es gilt: 70 = Weil du Faktoren vertauschen kannst, ohne dass sich der betreffende Produktwert ändert, ergeben sich dann die folgenden Möglichkeiten: Insgesamt gibt es also sechs Möglichkeiten. a b c erechne die Platzhalter: (a) = (b) {[(3000 : ) : 10] : 25} = 1. Lösung: Zur Lösung sind die jeweiligen Umkehraufgaben hilfreich: (a) (b) }{{} 11 5 }{{} 3 7 =55 =21 = = = : 21 = 715 = 715 : 55 = : = = = : 250 = 12 =

14 Welchen Flächeninhalt hat das Rechteck, wenn jeder Kreis einen urchmesser von 10 cm hat? ie Zeichnung ist nicht maßstabsgerecht. Lösung: Länge des Rechtecks: 2 10cm = 20cm. reite des Rechtecks: 10cm. Flächeninhalt des Rechtecks: 20cm 10cm = 200cm =? er dreistellige ividend soll aus lauter verschiedenen Ziffern bestehen. erechne alle möglichen Quotientenwerte. Lösung: In der Umkehraufgabe muss 13? eine dreiziffrige Zahl ergeben, die einerseits aus lauter verschiedenen Ziffern besteht und andererseits auf die Ziffer 5 endet. Notwendig dazu ist, dass anstelle des Fragezeichens eine natürliche Zahl steht, die auf die Ziffer 5 endet. as ergibt folgende Möglichkeiten: Wert des Quotienten 13 5 = keine dreiziffrige Zahl = = = geht nicht: gleiche Ziffern = geht nicht: gleiche Ziffern = = = Es sind also nur die Quotientenwerte {195; 325; 715; 845; 975} möglich. 14

15 26. Egon ist 13 Jahre alt und er wäre 6 Jahre jünger als Emil, wenn dieser 1 Jahr älter wäre. Wie alt ist Emil? Lösung: Wenn Egon ohne weitere Vorbedingungen 6 Jahre jünger wäre als Emil, dann wäre Emil 19 Jahre alt. Egon ist aber nur unter der edingung 6 Jahre jünger, dass Emil ein Jahr älter ist. Mit 19 Jahren ist er ein Jahr zu alt. lso muss Emil jetzt 18 Jahre alt sein. 27. uf wie viele Nullen endet der Produktwert von ? Lösung: = = m Ende des Produktwertes stehen somit 4 Nullen. 28. Wenn du 31 durch 9 dividierst, bleibt der Rest 4. Eine möglich Schreibweise dafür ist 31 = (a) Ermittle alle zweistelligen Zahlen, die bei der ivision durch 13 den Rest 12 lassen. (b) Ermittle die kleinste dreistellige Zahl, die bei der ivision durch 13 den Rest 12 lässt. (c) Ermittle die größte dreistellige Zahl, die bei der ivision durch 13 den Rest 12 lässt. Lösung: (a) 1 13 = = 25 gesuchte Zahl: = = 38 gesuchte Zahl: = = 51 gesuchte Zahl: = = 64 gesuchte Zahl: = = 77 gesuchte Zahl: = = 90 gesuchte Zahl: = = 103 ie Zahl 103 ist aber schon dreistellig. (b) ie kleinste dreistellige Zahl ist 100. ber hier gilt: 100 : 13 = 7R9. ie letze Zeile der Tabelle in der Lösung der ufgabe (a) liefert damit die gesuchte kleinste Zahl 103. (c) 999 ist die größte dreistellige Zahl, aber es gilt: 999 : 13 = 76R11. ann ist 998 : 13 = 76R10. u musst in deiner Suche also so weit zurück, bis der Rest auf 12 zugenommen hat = 988.ann gilt 988 : 13 = 76. lso ist 987 : 13 = 75R12. amit heißt die gesuchte Zahl ie Klasse 5b beschäftigt sich gerade mit natürlichen Zahlen, deren Quersumme 100 beträgt. 15

16 (a) egründe: Solche Zahlen müssen mehr als 11 Stellen aufweisen. (b) Ermittle die kleinste natürliche Zahl mit der Quersumme 100. Schreibe ihren Namen im Wortlaut hin. (c) Untersuche, ob es eine größte natürliche Zahl mit der Quersumme 100 gibt. Lösung: (a) Eine 11-stellige natürliche Zahl kann höchstens die Quersumme 11 9 = 99 erreichen. Für die Quersumme 100 muss also mindestens eine Stelle dazukommen. (b) ie gesuchte Zahl muss mit einer 1 beginnen. ann muus die Quersumme 100 mit möglichst wenig weiteren Stellen erreicht werden. lso dürfen nur Neuner folgen, denn jede folgende Ziffer, die kleiner als 9 ist, hat eine Erhöhung der Stellenzahl und damit eine Vergrößerung des Zahlenwertes zur Folge. Mit der Lösung von (a) erhältst du die gesuchte Zahl Einhundertneunundneunzig Milliarden neunhundertneunundneunzig Millionen neunhundertneunundneunzig Tausend neunhundertneunundneunzig. (c) u kannst eine natürliche Zahl zwischen der ersten und der letzten Ziffer mit beliebig vielen Nullen ausstatten, ohne dass sich der Wert der Quersumme 100 ändert. Mit immer mehr Stellen, die aussschließlich aus Nullen bestehen, kannst du den Zahlenwert immer weiter steigern, ohne dass du an eine Grenze stößt. lso gibt es keine größte natürliche Zahl mit der Quersumme S R P Q Lösung: (a) (a) Zeichne die Figur für = 6cm und = 8cm. (b) Welchen ruchteil der Fläche des Rechtecks nimmt das Viereck P QRS ein? 16

17 S R W V T P Q U (b) as Rechteck TPRS hat den gleichen Flächeninhalt wie das Viereck PQRS (Übrigens: as Viereck PQRS heißt Parallelogramm.) asviereckpqrs wiederumhatdengleichenflächeninhaltwiedasrechteck UVW. In das Rechteck passt das Viereck UVW 8-mal hinein. lso gilt: UVW = 1 8 = PQRS. 31. E F Lösung: (a) (a) Zeichne die Figur für = 6cm und = 8cm. (b) Wie viel Prozent der Fläche des Rechtecks nimmt das reieck EF ein? 17

18 E F G (b) as Rechteck setzt sich aus acht kleinen kongruenten Rechtecken zusammen. as reieck FGE ist halb so groß wie eines dieser kleinen Rechtecke. lso nimmt das reieck FGE 1 16 der Fläche des Rechtecks ein. as reieck GF wiederum nimmt die Hälfte von zwei dieser kleinen Rechtecke ein.lso nimmt das reieck GF 1 8 der Fläche des Rechtecks ein. araus folgt:: EF = = 3 = 0,1875 = 18,75% ϕ 55 ie Zeichnung ist nicht maßstabsgerecht. erechne das Winkelmaß ϕ. Lösung: 18

19 δ 65 E ϕ 55 ψ F Nach der eziehung zwischen Nebenwinkeln gilt: δ = = 90 und ψ = = 125. ie Innenwinkelsumme betr agt in jedem Viereck 360. lso gilt im Viereck EF: ϕ+125 = 360 ϕ = Gegeben ist die Menge M von unmittelbar aufeinander folgenden Stammbrüchen: (a) erechne: = = = = M = { 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; 1 5 ; 1 } 6 ;... (b) Notiere eine Regel, die beschreibt, wie du den Nenner des Ergebnisses berechnest. Notiere eine Regel, die beschreibt, wie du den Zähler des Ergebnisses berechnest. (c) Stelle 31 als Summe zweier unmittelbar aufeinander folgender Stammbrüche 240 dar. (d) Untersuche, obsich 293 alssummezweier unmittelbar aufeinander folgender Stammbrüche darstellen lässt. 19

20 (e) egründe, weshalb sich nicht als Summe zweier unmittelbar aufeinander folgender Stammbrüche darstellen lässt. Lösung: (a) = = = = = = = = (b) er Nenner des Ergebnisses ist das Produkt aus den Nennern der beiden Stammbrüche. er Zähler des Ergebnisses ist die Summe aus den Nennern der beiden Stammbrüche. (c) Es gilt 31 = und = 240. lso folgt = (d) er Zähler 293 lässt sich nur auf eine Weise als Summe zweier unmittelbar aufeinander folgender natürlicher Zahlen darstellen: 293 = und 147 müssen gleichzeitig die beiden gesuchten Nenner der Stammbrüche sein, deren Produkt ergeben müsste. Es gilt jedoch = ie arstellung als Summe zweier solcher Stammbrüche ist also nicht möglich. (e) er Zähler müsste sich als Summe zweier unmittelbar aufeinander folgender natürlicher Zahlen darstellen lassen. Von zwei unmittelbar aufeinander folgenden natürlichen Zahlen muss eine ungerade und die andere gerade sein. ie Summe aus einer geraden und ungeraden natürlichen Zahl ist aber stets ungerade. er Zähler ist jedoch eine gerade Zahl. ie arstellung als Summe zweier solcher Stammbrüche ist also nicht möglich. 34. Gib zehn elegungen für x Q an, so dass x 4 < 2 gilt. Lösung: Es gilt z.. 7 = 1,75 < 2. 4 ann ist aber auch 6 4 = 1,5 < 2, 5 4 = 1,25 < 2,..., 1 4 < 2. Wenn dann x < 1 ist, stimmt die Ungleichung immer. lso gilt insgesamt z.. x {6; 5; 4; 3; 2; 1; 0,98; 0,97; 0,96; 0,95} oder x {0,25; 0,15; 0,05; 0,03; 0,02; 0,01; 0,098; 0,097; 0,096; 0,095} oder x { 17; 20; 30; 300; 5678; 10 6 ; 10 8 ; 10 7 ; 3,146; 0}

21 S β as Viereck ist ein Quadrat. er Mittelpunkt des Kreisbogens ist der Punkt. (a) Zeichne die Figur für = 6cm. (b) erechne das Maß β des Winkels S. Lösung: (a) ψ S ϕ (b) Im Quadrat halbiert die iagonale [] den rechten Winkel. lso gilt: ψ = 45. as reieck S ist gleichschenklig. ϕ = ( ) : 2 = 67,5. β = 90 ϕ = 22,5. β ϕ 36. Gegeben ist die Gleichung x y x = 284, wobei x und y ganze Zahlen sein sollen. Ermittle alle Lösungen für x und y. Lösung: x y x = x 2 y = 284. ie Zahl 284 muss also einen quadratischen Teiler besitzen. Nun ist 284 = Fall: x 2 = 1 x = 1 x = 1 zusammen mit b = Fall: x 2 = 4 x = 2 x = 2 zusammen mit b = 71. Weil 71 P gilt, gibt es nur die Lösungen {( 1 284); (1 284); ( 2 71); (2 71)}. 21

22 37. α β as Viereck ist ein Quadrat. Es gilt α = 123,4. ie Zeichnung ist nicht maßstabgerecht. erechne β auf zwei verschiedene rten. Lösung: δ α S β β ϕ δ 1. Möglichkeit: Über die Innenwinkelsumme im Viereck SQ Weil jede Quadratdiagonale Winkelhalbierende von zwei rechten Winkeln ist, folgt δ = 45. ann gilt im Viereck SQ: 45 +β +123,4 +90 = 360 β = 101,6. Weil β und β Scheitelwinkel sind, folgt β = β = 101,6. 2. Möglichkeit: Über den Satz vom ußenwinkel ϕ ist der Nebenwinkel von α. lso gilt: ϕ = ,4 = 56,6. β ist ein ußenwinkel am reieck QS: β = δ +ϕ = ,6 = 101,

23 δ 2 ϕ S α 2 β as Viereck ist ein Parallelogramm. Es soll gelten: α 2 = 42,1, δ 2 = 38,7 und ϕ = 65,3. ie Zeichnung ist nicht maßstabgerecht. (a) Skizziere das Parallelogramm. (b) erechne β. Lösung: (a) δ 1 δ 2 ϕ S α 2 β 1 β 2 (b) Es gibt mehrere Möglichkeiten, z..: S: δ 1 = ,1 65,3 = 72,6 = β 2 (Z-Winkel). β 1 = δ 2 = 38,7 (Z-Winkel) β = δ 1 +δ 2 = 111, ϕ S α α 2 β 2 β ie Klasse 7a bekommt vom Mathematiklehrer die folgende ufgabe gestellt: as Viereck ist ein Parallelogramm. 23

24 Es soll gelten: α 2 = 38,9, α = 109,2, ϕ = 67,5 und β = 77,6. erechne β 2. ie Zeichnung ist nicht maßstabgerecht. Erwin meint nach mehreren Rechenversuchen: In der ngabe kann etwas nicht stimmen. Wo liegt der Fehler? Lösung: Es müsste gelten: β =<) = 180 β = ,6 = 102,4. Weil aber α und β zwei zugehörige F-Winkel sind, müssten beide Winkel gleiches Maß besitzen. ber in der ngabe steht: α = 109,2 102,4. as geht nicht. 40. ie Käsesorte ergglück besteht zu 40% aus Wasser. ie Trockenmasse besteht zu 40% aus Fett. Wie viel Prozent Fett sind in der Käsesorte ergglück enthalten? Lösung: ngenommen, der Käse wird in 100 g-stücken angeboten. ann sind davon 40g Wasser. ie Trockenmasse beträgt 60g. 40% davon sind Fett, das sind 24g. lso sind 24g Fett in 100g Käse enthalten. er Fettgehalt dieser Käsesorte beträgt somit 24% ieser Prozentsatz ist für jede Käsemenge dieser Sorte die gleiche. 41. Es gilt: 1000 = 10 3 = = ie Zahl 1000 lässt sich also in zwei Faktoren zerlegen, wobei keiner der beiden durch 10 teilbar ist; d.h. keiner der beiden endet auf 0. Zerlege so in zwei Faktoren, dass keiner der beiden auf 0 endet. Gib alle Möglichkeiten an. Lösung: = = (21 8) 125 = = (21 125) 8 = = (3 8) (7 125) = = (7 8) (3 125) = arsten rechnet eine Gleichung aus, die er aus dem uch übertragen hat. er Lehrer betrachtetseinenhefteintrag: eineschriftistwieschonsooftzumteilunleserlich, aber dein Ergebnis ist richtig. In seinem Heft steht (der unleserliche Teil ist durch ein Kästchen ersetzt): 2x = 2 2x = 14 x = 7 Ermittle auf zwei verschiedene rten, was im uch anstelle des Kästchens stand. 24

25 Lösung: 1. Möglichkeit: Um von der ersten zur zweiten Zeile zu kommen, hat arsten offenbar auf beiden Seiten der Gleichung im uch die Zahl 16 addiert. adurch fällt das Kästchen in der zweiten Zeile weg. lso stand die unleserliche Zahl 16 anstelle des Kästchens da. 2. Möglichkeit: er Lehrer hat x = 7 als richtige Lösung bestätigt. Setze diese Lösung in die erste Zeile ein: 2 7 = 2 14 = 2 14 = 16 ( 1) = S xm 5m Zwiebeln R Kartoffeln Q P Karotten 8m xm as rechteckige Feld ist 8m lang und 5m breit. uf den drei rechteckigen Parzellen werden Karotten, Zwiebeln und Kartoffeln angebaut. ie beiden Streifen für Karotten und Zwiebeln sind jeweils x m breit. Sie besitzen den gleichen Flächeninhalt. ie Zeichnung ist nicht maßstabsgerecht. (a) erechne x. [ Ergebnis: x=3] (b) Wie viel Prozent der Gesamtfläche nimmt dann das Kartoffelfeld ein? Lösung: (a) Es gilt: RQ = (8 x)m mit x Q +. ann folgt: x (8 x)m 2 = 5 xm 2 : (xm 2 ) mit x > 0 8 x = 5 x = 3. (b) Kartoffelfeld = RQ RS = 5m 2m = 10m 2. Kartoffelfeld = 10m2 = 0,25 = 25%. 40m2 44. Lisa weiß, dass eine natürliche Zahl n dann durch 9 teilbar ist, wenn ihre Quersumme QS durch 9 teilbar ist. Sie stellt sich nun folgende Fragen: (1) Ist der Wert der Summe aus einer durch 9 teilbaren natürlichen Zahl und ihrer Quersumme auch durch 9 teilbar? 25

26 (2) Ist der Wert des Produktes aus einer durch 9 teilbaren natürlichen Zahl und ihrer Quersumme durch 27 teilbar? (3) Ist der Wert des Quotienten aus einer durch 9 teilbaren natürlichen Zahl und ihrer Quersumme durch 9 teilbar? Was meinst du? egründe jeweils deine nsicht. Lösung: In jedem all gilt: n = 9 x und QS = 9 y. Zu Frage (1): n+qs = 9x+9y = 9 (x+y). ie ntwort heißt Ja. Zu Frage (2): n QS = 9x 9y = 81 (xy) = 27 3 (x y). ie ntwort heißt wieder Ja. Zu Frage (3): n QS = 9x 9y = x. Nun müsste y ein Teiler von x sein. ber ist das immer so? y 1. eispiel: n = 648 QS = : 18 = 36. ieses eispiel liefert eine estätigung. 2. eispiel: n = 927 QS = : 18 = 50 Rest 17. ieses eispiel verneint die Frage (3). lso ist der Wert des Quotienten aus einer durch 9 teilbaren natürlichen Zahl und ihrer Quersumme nicht immer ganz. 45. xcm as Viereck ist ein Quadrat. n seinen Eckpunkten befinden sich vier kleine Quadrate, deren Seitenlänge jeweils xm beträgt. ie vier reiecke an den Quadratseiten sind jeweils gleichschenklig-rechtwinkig. 26

27 Lösung: (a) Klar. (b) (a) Zeichne die Figur für = 6cm und x = 1. (b) Zeige: Für den Flächeninhalt des eingefärbten Kreuzes gilt in nhängigkeit von x: (x) = ( 8x 2 +24x)cm 2. (c) erechne (0) und (3). eute dein Ergebnis mit Hilfe deiner Zeichnung. (d) Unter allen Kreuzen gibt es eines, dessen Flächeninhalt maximal ist. erechne dieses Maximum sowie die zugehörige elegung von x. Zeichne erneut das Quadrat mit dem einbeschriebenen größten Kreuz. WievielProzentderFlächedesQuadrates nimmtdasgrößtekreuz ein? Löse das Problem auf zwei verschiedene rten. (x) = [6 2 4 x 2 4 0,5 (6 2x) (3 x)]cm 2 = [36 4x 2 2 (18 6x 6x+2x 2 )]cm 2 = [36 4x x+12x 4x 2 ]cm 2 (x) = ( 8x 2 +24x)cm 2 (c) (0) = 0cm 2. as zugehörige Kreuz entartet zu den beiden iagonalen des Quadrates. (3) = 0cm 2. Es entsteht ein Kreuz das aus den Seitenmittelpunkten des Quadrates erzeugt worden ist. (d) x = 1,5 liefert max = 18cm 2. (x) = ( 8x 2 +24x)cm 2 = 8 (x 2 3x+1,5 2 2,25)cm 2 = 8 [(x 1,5) 2 2,25)cm 2 (x) = [( 8(x 1,5) 2 +18]cm 2 27

28 Zeichne das Quadrat erneut mit dem größten Kreuz. 1. Möglichkeit: mit Hilfe der Lösung oben Kreuz = 18cm2 = 0,5 = 50%. 36cm2 2. Möglichkeit: ie gestrichelten Hilfslinien zerlegen das Quadrat in 16 kongruente kleine Quadrate. Im Zentrum des Kreuzes befinden sich 4 gleich große Quadrate. er Rest des Kreuzes setzt sich aus 8 kongruenten gleichschenklig-rechtwinkligen reiecken zusammen, wobei jedes halb so groß wie ein Quadrat im Zenrtrum ist. iese 8 reiecke ergeben wiederum 4 Quadrate. lso nimmt das Kreuz insgesamt den gleichen Flächeninhalt ein, wie die 8 Quadrate. as sind aber zusammen 50% der Fläche des Quadrates. 46. Ein rechteckiges Grundstück, dessen Flächeninhalt 2, 34 ha beträgt, ist in lauter quadratische Parzellen eingeteilt. Eine der beiden kleinsten Parzellen, die im Plan farbig gekennzeichent ist, wird eingezäunt. erechne die Länge des Zaunes. Lösung: 28

29 (5x) 2 m 2 (8x) 2 m 2 (3x) 2 m 2 (2x) 2 m 2 2xm xm xm 2,34ha = 23400m 2. ie beiden kleinsten Parzellen haben eine reite von (x+x)m = 2xm. iese Seitenlänge geht dann auf das nächst größere Quadrat über. essen Flächeninhalt beträgt dann (2x) 2 m 2. uf diese Weise ermittelst du die Flächeninhalte der nächsten Quadrate (siehe Lösungsskizze). m Ende ergibt sich für die Maßzahlen: x 2 +x 2 +(2x) 2 +(3x) 2 +(5x) 2 +(8x) 2 = x 2 +4x 2 +9x 2 +25x 2 +64x 2 = x 2 = : 104 x 2 = 225 x = 15 er Umfang eines dieser kleinsten Quadrate beträgt 4 15m = 60m. as ist dann die gesuchte Zaunlänge

30 γ E α M β er Mittelpunkt des Halbkreises ist M. (a) Zeichne die Figur für = 8cm, α = 70 und γ = 62. (b) erechne die Maße der Innenwinkel des reiecks ME. Lösung: (a) 62 E δ ε β α µ 70 µ 2 µ 48 1 M erechne zunächst das Winkelmaß β = = 48 und zeichne dann das reieck (w,s,w), dann den Halbkreis.... (b) Für den Kreiradius r gilt: r = M = M = M = ME. as reieck M ist daher gleichschenklig. lso gilt: α = α und damit µ 1 = = 40. as reieck M E ist ebenfalls gleichschenklig. lso gilt: β = β und damit µ 2 = = 84. µ = = 56. uch das reieck M E ist gleichschenklig. lso gilt: δ = ε = ( ) : 2 =

31 w α δ w γ γ S α β ie Halbgerade w α halbiert den Winkel α und die Halbgerade w γ halbiert den Nebenwinkel von γ. (a) Zeichne die Figur für = 6cm, α = 70,8 und β = 54,2. (b) erechne das Winkelmaß δ. (c) Untersuche, ob es sich bei dem Viereck um ein achsensymmetrisches rachenviereck handelt. Lösung: (a) w α γ 2 δ w γ γ γ 2 ϕ S 35,4 54,2 35,4 (b) Es gilt: γ = ,8 54,2 = 55. γ = = 125 γ 2 = 62,5. Im reieck gilt dann δ = , ,5 = 27,2. 31

32 (c) In jedem (achsensymmetrischen) rachenviereck müssen die iagonalen aufeinander senkrecht stehen. Im reieck S gilt: ϕ = ,4 54,2 = 90,4 90. as Viereck ist also kein (achsensymmetrisches) rachenviereck. 49. w α δ w γ γ α β Lösung: (a) ie Halbgerade w α halbiert den Winkel α und die Halbgerade w γ halbiert den Nebenwinkel von γ. Weiter gilt: α = 70,8 und δ = 27,1. as Viereck ist nicht achsensymmetrisch. (a) erechne die Winkelmaße γ und β. [Teilergebnis: β = 54,2 ] (b) egründe, dass es sich bei dem Viereck nicht um ein achsensymmetrisches rachenviereck handelt. 32

33 w α γ 2 27,1 w γ γ γ 2 ϕ S 35,4 35,4 Im reieck gilt: 35,4 +27,1 + γ 2 +γ = 180 (1). Weiter gilt: γ = 180 γ. In (1): 35,4 +27,1 +(180 γ) : 2+γ = , ,5γ +γ = ,5 +0,5γ = 90 γ = 55. us der Innenwinkelsumme im reieck ergibt sich: 70, β = 180 β = 54,2. Eine andere Möglichkeit: β γ 2 ist ein ußenwinkel am reieck. Jeder ußenwinkel an einem reieck ist genau so groß wie die Summe der Maße der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. as bedeutet hier: γ 2 = 35,4 +27,1 = 62,5 γ = 125. γ = = β = 54,2. (b) In jedem (achsensymmetrischen) rachenviereck müssen die iagonalen aufeinander senkrecht stehen. Im reieck S gilt: ϕ = ,4 54,2 = 90,4 90. as Viereck ist also kein (achsensymmetrisches) rachenviereck

34 w β α β β Lösung: (a) In der Figur halbiert die Halbgerade w β den ußenwinkel von β. Gleichzeitig gilt: w β []. (a) Zeichne die Figur für = 6cm und β = 50. (b) egründe: as reieck muss gleichschenklig sein. w β γ α β β 2 β 2 (b) In der Figur gilt: γ = β 2 (Z-Winkel). Ebenso gilt: α = β 2 (F-Winkel). α = γ; also ist das reieck gleichschenklig. 51. F E 34

35 Für das Rechteck gilt: = 6cm und = 4cm. ie Punkte E und F sind die Mittelpunkte der Seite [] bzw. []. (a) Zeichne die Figur. (b) Welchen ruchteil der Rechtecksfläche nimmt das reieck E ein? Löse die ufgabe auf zwei verschiedene rten. (c) erechne den bstand des Punktes E von der Strecke []. Runde dein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma. Lösung: (a) F H 4cm h 3cm E (b) 1. Möglichkeit: ie reiecke E und EF haben die gleiche Grundlinie [E] und gleichlange Höhen [] bzw. [EF]. lso besitzen sie den gleichen Flächeninhalt. as reick EF nimmt ein Viertel der Fläche des Rechtecks ein, also trifft dies auch für das reieck E zu. 2. Möglichkeit: E = E. 3cm E = cm2 = 6cm 2 und = 6 4cm 2 : 2 = 12cm 2 E = 24cm 2 6cm 2 12cm 2 = 6cm 2. as ist aber ein Viertel der Fläche des Rechtecks. (c) er bstand eine Punktes zu einer Strecke (oder Geraden) ist immer die kürzeste Entfernung dieses Punktes zur Strecke. Sie wird durch das Lot vom Punkt E auf die Strecke [] dargestellt. Wir wissen schon, dass E = 6cm 2 gilt. er gesuchte bstand h ist die Höhe im reieck E mit der Grundlinie []: E = 1 h. 2 = cm = 52cm. 6cm 2 = cm h h = 12cm2 52cm 1,66cm. 52. Gegeben ist ein rechtwinkliges reieck mit den Kathetenlängen = 6 cm und = 4cm. 35

36 (a) Zeichne dieses reieck, so dass die Kathete [] waagrecht liegt. (b) Punkte P n wandern auf der Seite [] und Punkte Q n wandern gleichzeitig auf der Seite [], wobei P n = Q n = xcm gilt. adurch entstehen Vierecke P n Q n. Zeichne für x = 1,5 das Viereck P 1 Q 1 ein. (c) Gib die Menge aller möglichen elegungen von x an. (d) Unter allen Vierecken P n Q n gibt es das Trapez P 2 Q 2. erechne die zugehörige elegung von x. [ Ergebnis: x = 2,4 ] Zeichne dieses Trapez in anderer Farbe ein. erechne den Flächeninhalt dieses Trapezes. Tipp: erechne zunächst den Flächeninhalt des reiecks P 2 Q 2. erechne die Höhe h dieses Trapezes P 2 Q 2. Runde dein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma. (e) Zeige: Für den Flächeninhalt der Vierecke P n Q n gilt in bhängigkeit von x: (x) = (0,5x 2 3x+12)cm 2. (f) UnterallenViereckenP n Q n gibtesdasviereckp 2 Q 2,dasdenminimalen Flächeninhalt besitzt. erechne dieses Minimum und die zugehörige elegung von x. (g) Untersuche, ob es unter allen Vierecken P n Q n achsensymmetrische gibt. Lösung: (a) M Q 2 Q 1 xcm 4cm xcm P 1 P 2 6cm S (b) Siehe Zeichnung. (c) uf der Kathete [] kann x nicht länger als 4cm. werden. Für x = 0 und x = 4 gibt es kein Viereck. lso: x ]0; 4[ R. (d) Ein Viereck, darf sich dann Trapez nennen, wenn es zwei parallele Seiten besitzt. In der Zeichnung ist das Trapez P 2 Q 2 vorhanden. u siehst, dass die reiecke P 2 Q 2 und dann zueinander ähnlich sind. Wende den Vierstreckensatz an, wobei die Variable x mit eingebunden sein muss: 6 x x = x = 6x 24 = 10x x = 2,4. 36

37 Siehe Zeichnung. P2 Q 2 = 0.5 3,6 2,4cm 2 = 4,32cm 2. = cm 2 = 12cm 2. P2 Q 2 = P2 Q 2 = 12cm 2 4,32cm 2 = 7,68cm 2. = cm = 52cm( 7,21cm). P 2 Q 2 = 3,6 2 +2,4 2 = 18,72cm( 4,33cm). P2 Q 2 = 52cm+ 18,72 h = 7,68cm 2 h 1,33cm. 2 (e) (x) = PnQ n = P n Q n (x) = 12cm (6 x) xcm 2 = (12 3x+0,5x 2 )cm 2. lso gilt: (x) = (0,5x 2 3x+12)cm 2. (f) (x) = (0,5x 2 3x+12)cm 2 = 0.5 (x 2 6x )cm 2 = 0.5 [(x 3) 2 +15]cm 2 = [ 0.5 (x 3) 2 +7,5]cm 2. x = 3 liefert min = 7,5cm 2. (g) ie Symmetrieachse müsste entweder durch zwei Eckpunkte des fraglichen Vierecks oder durch zwei seiner Seitemittelpunkte verlaufen. er Verlauf durch zwei Eckpunkte ist offensichtlich ausgeschlossen. Im anderen Fall müsste die Symmetrieachse die gemeinsame Mittelsenkrechte zweier Vierecksseiten sein. iese Vierecksseiten müssten dann aber zueinader parallel sein. lso wäre das gesuchte achsensymmetrische Viereck ein gleichschenkliges Trapez. a es aber nur nur ein Trapez, nämlich P 2 Q 2, gibt und P 2 = 2,4cm Q 2 = 1,6cm gilt, gibt es unter allen Vierecken P n Q n kein achsensymmetrisches. 53. M E F as Sechseck EF mit dem Mittelpunkt M ist regelmäßig. (a) Zeichne die Figur für = 8cm. (b) erechne den Flächeninhalt der Figur. Runde dein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma. 37

38 Lösung: (a) 2cm 2cm 4cm 4cm M 60 4cm E F (b) ie drei iagonalen zerlegen jedes regelmäßige Sechseck in sechs kongruente gleichseitige reiecke. In unserem Fall hat jedes dieser gleichseitigen reiecke eine Seitenlänge von 4cm. ie sechs kongruenten Halbkreise lassen sich paarweise zu drei Vollkreisen mit dem Radius r = 2cm zusammenfügen. ) lso: = ( π cm 2 79,27cm

39 as großequadrat hat einen Umfang von 81,6cmund das kleine Quadrat hat einen Umfang von 34 cm. ie Zeichnung ist nicht maßstabsgerecht. erechne den Flächeninhalt des mittleren Quadrates auf verschiedene Weise: Mit Hilfe der erechnung der Seitenlänge des mittleren Quadrates Mit Hilfe der erechnung des Flächeninhalts rechtwinkliger reiecke. Lösung: G H S R P Q F E Es gilt: = 81,6cm : 4 = 20,4cm und PQ = 34cm : 4 = 8,5cm. ann folgt: QF = PE = (20,4cm 8,5cm) : 2 = 5,95cm. Weiter folgt: PF = 8,5cm+5,95cm = 14,45cm. EFP: EF 2 = EFGH = PF 2 +PE 2 = (14,45cm) 2 +(5,95cm) 2 EFGH = 244,205cm Möglichkeit: EFGH = 4 EF EFGH = (20,4cm) 2 4 0,5 14,45cm 5,95cm = 244,205cm Möglichkeit: EFGH = PQRS +4 EFP EFGH = (8,5cm) ,5 14,45cm 5,95cm = 244,205cm 2. Mit Hilfe der erechnung des Flächeninhalts rechtwinkliger reiecke. 55. R S Q 2cm P 39

40 as Viereck ist ein Quadrat. Jede Quadratseite ist in drei bschnitte eingeteilt, die jeweils 2cm lang sind. ie Zeichnung ist nicht maßstabsgerecht. (a) Zeichne die Figur. (b) egründe: as Viereck P QRS besitzt zwei parallele Seiten. (c) erechne den Flächeninhalt des Vierecks P QRS auf zwei verschiedene rten: Mit Hilfe der erechnung der zugehörigen Formelgleichung Mit Hilfe der erechnung des Flächeninhalts rechtwinkliger reiecke. Lösung: (a) R ψ 1 K S ψ 2 N Q 2cm (b) as reieck SR ist gleichschenklig-rechtwinklig. ψ 1 = 45. ann gilt auch ψ 2 = 45 (Z-Winkel). as reieck PQ ist gleichschenklig-rechtwinklig. ϕ = 45. lso folgt: [PQ] [SR]. as Viereck P QRS ist ein (achsensymmetrisches) Trapez.. (c) Für die Trapezfläche gilt: PQRS = SR+PQ KL. 2 ie Strecke [SR] ist die iagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge 4cm. lso folgt: SR = 4 2cm. [K], [N ] und [P Q] sind jeweils iagonalen eines Quadrates mit der Seitenlänge 2cm. lso folgt: K = N = PQ = 2 2cm und L = 2cm. Im Quadrat gilt: = 6 2cm. amit gilt: KL = 6 2cm 2 2cm 2cm = 3 2cm. Und damit gilt: PQRS = 4 2cm+2 2cm 2 P L ϕ 3 2cm = 18cm 2. as Trapez P QRS ist von vier rechtwinkligen reiecken eingeschlossen. Zwei von ihnen sind kongruent. PQRS = 2 PS SR PQ. PQRS = 36cm cm cm cm2 = 18cm 2. 40

41 56. Q P as Viereck ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a. (a) Zeichne die Figur für a = 6cm und P = 2,5cm. (b) egründe ohne Messung: ie iagonale [P] ist keine Symmetrieachse im Viereck P Q. (c) egründe: ie beiden reiecke P und Q sind zueinander ähnlich. (d) erechne den nteil der Fläche des Vierecks PQ an der Fläche des Quadrates in Prozent. Runde dein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma. Lösung: (a) ϕ 1 Q 6cm P ϕ 2 2,5cm (b) ie Kathete im rechtwinkligen reieck P besitzt die Länge a. ie Hypotenuse im rechtwinkligen reieck Q hat ebenfalls die Länge a. Weil aber in jedem rechtwinkligen reieck die Hypotenuse die längste Seite darstellt, gilt: Q < a =. Somit kann die iagonale P im Viereck P Q nicht Symmetrieachse dieses Vierecks sein. 41

42 (c) In den beiden rechtwinkligen reiecken Q und P gilt: ϕ 1 = ϕ 2 (Z-Winkel). amit stimmen die beiden reiecke paarweise in zwei Innenwinkelmaßen überein. Wegen der Innenwinkelsumme von 180 in jedem reieck stimmen diese beiden reiecke in allen drei Innenwinkelmaßen überein. lso gilt: P Q. (d) Strategie: PQ = ( P + Q ). P = 1 2 2,5 6cm2 = 7,5cm 2. Wegen (c) folgt: Q = k 2 P mit dem Streckungsfaktor k. Mit k = P folgt: k = 6cm 2, cm = ( ) 12 2 Q = 7,5cm 2 = ,5cm2. ( PQ = 36cm 2 7,5cm ) 169 7,5cm2 = 36cm ,5cm2 PQ = ,5 = 3707, ,6094 = 60,94%. 57. M b M a α F β Im reieck mit der Höhe [F] sind die Punkte M a und M b die Mittelpunkte der Umkreise der Teildreiecke F bzw. F. (a) Zeichne die Figur für = 8cm, α = 65 und β = 40. (b) egründe auf verschiedene Weise: as Viereck FM a M b ist ein achsensymmetrischer rachen. (c) egründe: Zusammen bedecken die beiden reiecke FM b und FM a die Hälfte des reiecks. 42

43 Lösung: (a) k 1 k 2 M b S M a h 1 h 2 F b F F a (b) 1. Möglichkeit: Im Kreis k 1 gilt: M b = M b F = M b. Im Kreis k 2 gilt: M a = M a F = M a. lso sind im Viereck FM a M b zweimal zwei benachbarte Seiten gleich lang. lso handelt es sich um ein achsensymmetrisches rachenviereck. 2. Möglichkeit: In jedem rechtwinkligen reieck fällt dessen Umkreismittelpunkt mit dem Hypotenusenmittelpunkt zusammen. lso sind die Kreismittelpunkte M a und M b gleichzeitig die Mittelpunkte der Seiten a = [] bzw. b = []. ie reiecke F und F a M a sind zueinander ähnlich. Wegen = 2 M a folgt dann F = 2 F a M a = 2 F b M b. lso gilt: h 1 = h 2 = SF = F. aher liegt die Gerade M a M b zur Grundlinie [] des reiecks parallel. iese Parallele steht damit auf der iagonalen des Vierecks FM a M b senkrecht. Gleichzeitig halbiert der Punkt S die Höhe [F] des reiecks. lso ist das Viereck FM a M b ein achsensymmetrischer rachen. (c) ie in der 2. Möglichkeit verwendete rgumentation ergibt nun Folgendes: ie vier reiecke F a M a, FF a M a, FM a S und SM a sind kongruent. as reieck FM a besteht aus zwei dieser kongruenten reiecke. lso ist das reieck FM a halb so groß wie das Teildreieck F. ie vier reiecke F b M b, F b FM b, FSM b undm b S sindkongruent. as reieck FM b besteht aus zwei dieser kongruenten reiecke. lso ist das reieck FM b halb so groß wie das Teildreieck F. lso sind die beiden reiecke FM b und FM a zusammen halb so groß wie das reieck. Oder: Weil der Schnittpunkt S auf halber Höhe im reieck liegt, gilt: Mb M a = 1 4 (zentrische Streckung mit k = 1 2 ). as Viereck FM a M b ist ein achsensymmetrischer rachen mit der iagonalen [M a M b ] als Symmetrieachse. FMaM b = = 1 2. ann muss der Rest, nämlich derjenige, der aus den beiden reiecken FM b und 43

44 FM a besteht, ebenfalls die Hälfte des reiecks einnehmen. 58. egründe: ( ) 444 ( ) = Lösung: ( ) 444 ( ) 444 ( ( 5 1) ( ) ) = = ( ) = 2 2 = ( ) = = = ( 2 4) 111 = Q n R n P n S n In das Rechteck mit = 8cm und = 6cm werden Parallelogramme P n Q n R n S n einbeschrieben, wobei gilt: P n = R n = 6kcm und S n = Q n = 8kcm mit k ]0; 1[ R. (a) ZeichnedasRechteck undfürk = 0,25dasParallelogrammP 1 Q 1 R 1 S 1. (b) Zeige: FürdasVerhältnis q der Flächeninhalte der Parallelogramme P n Q n R n S n zum Rechteck gilt in bhängigkeit von k: q(k) = P nq nr ns n = 1 2k(1 k). (c) k = 0,4 erzeugt das Parallelogramm P 2 Q 2 R 2 S 2. Wie viel Prozent der Fläche des Rechtecks wird von diesem Parallelogramm eingenommen? (d) UnterallenParallelogrammenP n Q n R n S n gibtesdieparallelogrammep 3 Q 3 R 3 S 3 und P 4 Q 4 R 4 S 4, die jeweils 58% der Fläche des Rechtecks einnehmen. erechne die zugehörigen elegungen von k. (e) Für k = 0,5 wird das Parallelogramm P 5 Q 5 R 5 S 5 erzeugt. Zeichne dieses Parallelogramm in einer anderen Farbe ein. Um welches besondere Parallelogramm handelt es sich hier? egründe deine ntwort. 44

45 Zeige: Unter allen Parallelogrammen P n Q n R n S n besitzt dieses Parallelogramm P 5 Q 5 R 5 S 5 den kleinsten Flächeninhalt. Lösung: (a) Q 5 Q 1 R 1 R 5 P 5 P 1 S 1 (b) Es gilt S n P n = Rn Q n und P n Q n = Sn R n. = 48cm 2 PnQ nr ns n = 2 SnP n 2 PnQ n. 2 SnP n = 2 0,5 S n P n = (1 k) 8cm 6kcm = 48cm 2 (1 k) k. 2 PnQ n = 2 0,5 P n Q n = (1 k) 6cm 8kcm = 48cm 2 (1 k) k. S 5 PnQ nr ns n PnQ nr ns n = 48cm cm 2 (1 k) k = 48cm 2 [1 2k(1 k)] q(k) = P nq nr ns n (c) q(0,4) = 1 2 0,4 (1 0,4) = 0,52 = 52% (d) = 48cm2 [1 2k(1 k)] 48cm 2 = 1 2k(1 k). k 1 = 0,3 und k 2 = 0,7 (e) Siehe Zeichnung. 1 2k(1 k) = 0,58 2k 2 2k +1 = 0,58 2k 2 2k +0,42 = 0 Es handelt sich um eine Raute. egründung:ievierrechtwinkligenreieckes 5 P 5,P 5 Q 5,R 5 Q 5 unds 5 R 5 sind kongruent, denn die besitzen jeweils Katheten, die jeweils 3cm bzw. 4cm lang sind. lso sind auch ihre Hypotenusen, die die Seiten des Parallelogramms P 5 Q 5 R 5 S 5 bilden, gleich lang. lso ist dieses Viereck eine Raute. q(k) = 1 2k(1 k) = 2k 2 2k+1 = 2(k 2 k+0,5 2 0,25)+1 = 2[(k 0,5) 2 0,25)+1] = 2(k 0,5) 2 +0,5 k = 0,5 liefert den minimalen Flächenanteil von 0,5 = 50%. 45

46 60. S 2 S 1 as Viereck ist ein Quadrat. ie Mittelpunkte der beiden Kreisbögen sind die Punkte und. (a) Zeichne die Figur für = 6cm. (b) erechne die Maße der Innenwinkel des Vierecks S 1 S 2. (c) Wie viel Prozent des Flächeninhaltes des Quadrates nimmt das Viereck S 1 S 2 ein? Runde ein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma. Lösung: (a) δ ψ S 2 S 1 ϕ ϕ M ϕ as Viereck S 1 S 2 ist ein achsensymmetrischer rachen. (b) Im Quadrat halbiert die iagonale [] den rechten Winkel. lso gilt: ψ = 45. as reieck S 1 ist gleichschenklig. ϕ = ( ) : 2 = 67,5. <) S 1 = 2 ϕ = 135 =<) S 2. δ = <) S 1 S 2 = <) S 2 S 1 = ( ,5 ) : 2 = 45. (c) rachen = 1 2 S 1S 2. = 6 2cm( 8,49cm). 46

47 Wegen S 1 = 6cm folgt S 1 = S 2 = (6 2 6)cm( 2,49cm). ann ist S 1 S 2 = [ (6 2 6 )] cm = ( ) cm( 3,51cm). rachen = 1 [ 2 6 ( )] 2 cm 2. rachen = ( ) cm 2 ( 14,91cm 2 ). rachen = ( )cm 2 Quadrat 36cm 2 = 2 1 0,4142 = 41,42%. 61. P S Lösung: (a) as Viereck ist ein Quadrat. er Mittelpunkt des Kreisbogens ist der Punkt. (a) Zeichne die Figur für = 6cm. (b) egründe rechnerisch: as Viereck SP ist ein achsensymmetrischer rachen. esitzt dieses rachenviereck einen Umkreis? egründe deine ntwort. 47

48 M T P ψ S S ϕ (b) Es gilt: S =. (*) ie iagonalen [] und [] sind Halbierende der betreffenden rechten Innenwinkel. lso folgt ϕ = 45. Wegen derinnenwinkelsummeimrechtwinkligen reieck SP giltdannψ = 45. lso ist das reieck SP gleichschenklig. amit gilt: S = S = SP = (6 2 6)cm. er Punkt S ist das Spiegelbild des Punktes S an der Strecke [P]. as reieck SP ist somit die Hälfte eines Quadrates mit der iagonalen [P]. Somit gilt: P = S 2 = (12 6 2)cm. P = S = [6 (12 6 2)]cm = (6 2 6)cm = PS = S. Mit(*) ist erwiesen, dass es sich um einen achsensymmetrischen rachen handelt. ie iagonale[p ] des rachens SP zerlegt dieses Viereck in zwei kongruente rechtwinklige reiecke. Somit liegen die Eckpunkte S,, und P dieses Vierecks auf dem THLES-Kreis mit dem urchmesser [S]. ieser Kreis ist also der Umkreis des rachenvierecks. 62. Q P as reieck ist gleichschenklig-rechtwinklig. er Mittelpunkt des Kreisbogens ist der Punkt. 48