Graphische Datenverarbeitung

Transkript

1 Graphikbearbeitung und Rendering Geometrische Transformationen Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker Goethe-Universität, Frankfurt

2 Rückblick Graphik Animation Digitales Bild Digitalvideo 2 SS 25

3 Übersicht. Identifikation der Grundaufgaben T Primitive T Funktionen T Die Ausgabepipeline 2. Affine Transformationen T Homogene Koordinaten 3. Perspektivische Transformationen 3 SS 25

4 Übersicht (Fortsetung) 4. Zusammenfassung 5. Glossar 6. Weitere Informationen 7. Ausblick Nächste Schritte 4 SS 25

5 Identifikation der Grundaufgaben Graphik Digitales Bild Animation Digitalvideo Graphikbearbeitung Erstellen und Verändern von Geometrie und Merkmalsbeschreibungen Graphisches Modellieren Rendering Transformation einer Geometrie und Merkmalsbeschreibung in ein Digitales Bild 5 SS 25

6 Rückblick Geometrie und Merkmalsebene Beschreibt ein Bild (2D) oder eine Sene (3D) durch T Ensemble von geometrischen Objekten (Punkte, Linien, Flächen, Körper) T Erscheinungsattribute (Farbe, Struktur, Tetur, Parametern von Beleuchtungsmodellen,... ) T Betrachtungsbedingungen 6 SS 25

7 Rückblick Geometrie und Merkmalsebene Wichtige Unterscheidung Definitionsbereich: 2D oder 3D 2D: ggf Ausschnitt aus Definitionsbereich darstellen: Window-Viewport Transformation 3D: Sene wird durch virtuelle Kamera (Viewing Transformationen, perspektivische Transformation) auf 2D abgebildet

8 Graphisches Modellieren Das Prinip(2D und 3D) Instanieren und Attributieren von Primitiven Gruppieren (Mengen, Hierarchien) (Geometrie) transformieren T Skalieren T Translieren Rotieren (Scheren) Interpolieren um verändern, positionieren und orientieren im Modell- oder Weltkoordinatensstem 8 SS 25

9 Graphische Primitive 2D Grundlage: 2D Koordinatensstem kontinuierlich REAL Graphische Objekte (Beispiele GKS) T Punkte (Pol) Marker T Linien(ug) Polgon + T Fläche T Tet Füllgebiet T (Dig. Bild) (Fill Arra) (unsstematisch, aber als Füllmuster (Attribut) wichtig) 9 SS 25

10 Weitere (höhere) 2D-Primitive Kreise, Ellipsen Kreisbögen, Ellipsenbögen Rechtecke, Parallelogramme,... Pfeile, Spiralen,... Kurven: Beier, Splines, algebraische K. wichtige Primitive für Zeichenprogramme ( Anwendungen) aber lassen sich auf: Punkte, Linien, Vektoren (Richtung, Größe) und Polgone (Flächen, u.u. Dreiecke) urückführen: Basisprimitive SS 25

11 2D Rendering (Modelling-Transformation) Transformieren und Klippen (Screen Mapping) Weltkoordinaten Gerätekoordinaten Ausschnitt der Welt Fenster der Zeichenfläche Zeichenfläche SS 25

12 2D Rendering (Fortsetung) Rastern (Scan Konvertieren, Rasterisieren) Geometrische Primitive Menge von Pieln 2 SS 25

13 Stichwort Rendering (keine gebräuchliche deutsche Übersetung) Fachhistorisch taucht der Begriff schon 968.B. bei Appel auf. Zuächst findet man eine starke Anlehnung an die in der Kunst gebräuchlichen Verwendung: Interpretation, Gestaltung, Ausführung. Appel 68: Our purpose is to make available to everone rendering capabilit previousl possible onl to rare and talented artitsts and draftsmen. PEX Glossar 88: The process of converting output primitiv commands and colors into displaable colors and piel locations. 3 SS 25

14 3D-Ssteme Sene: T Menge der im Weltkoordinatensstem positionierten und orientierten Objekte T Menge der positionierten und orientierten Lichtquellen T Virtuelle Kamera (s) T Hintergrund T Umgebungseffekte (Nebel, Dunst) 4 SS 25

15 3D-Objekte Punkte (im Raum) und Orientierungen Linien Flächen T ebene: Dreiecke, Vierecke, Polgone,... Sonderformen: triangle strips, triangle meshes,... T gekrümmte: Beier, Spline,... Körper T analtisch: Kugel, Zlinder, Torus, Quader,..., Quadriken T polgonal: Boundar Representation T CSG Objekt: Constructive Solid Geometr T... 5 SS 25

16 3D (Rendering-) Basisprimitive Punkte (im Raum) Orientierungen Geraden Dreiecke (Vierecke) und deren Sonderformen (strips, meshes,...) Alle anderen Modellierungsprimitive lassen sich (relativ leicht) mit wählbarer Approimationsgenauigkeit auf diese Primitive abbilden (erlegen)... und war mit vergleichsweise geringem Aufwand. 6 SS 25

17 3D-Rendering Drei Grundprobleme:. Welches Objekt beeinflusst welches Piel und wie sind die Objekte in Blickrichtung der Kamera relativ ueinander geordnet? 2. Welcher Farbwert ist diesem Piel aufgrund der Objekteigenschaften, der Kameraposition der Lichtquellen und der Umgebungsverhältnisse uuordnen? 3. Wie sind verschiedene Objekteinflüsse u überlagern und u mischen Geometrieproblem Beleuchtungsrechnung Überlagerung 7 SS 25

18 3D-Rendering Grundstrukturen Geometriekonvertierung (lokale) Beleuchtungsrechnung Geometriekonvertierung (globale) Beleuchtungsrechnung (globale) Beleuchtungsrechnung Geometriekonvertierung Projektive Ausgabe i<n Strahlverfolgung Racasting: n Ratracing: n > Radiosit 8 SS 25

19 Verfahren ur Geometriekonvertierung Projektive Ausgabe Raster Scan Verfahren Strahlverfolgung Racasting, Ratracing 9 SS 25

20 Prinip Racasting / Ratracing Bildebene Strahl (Vorverarbeitung) for ever piel generate ra for each solid check affection if solid affected then for ever polgon transform polgon compute intersection endfor; endif; endfor; sort intersections b depth (-value) evaluate shading, teturing, illumination (generate secondar ra; trace it) endfor; 2 SS 25

21 Geometrische Berechnungen: ~ # Punkte Rastern ~# Piel Model and View Transformation Beleuchtungsrechnung Projektion Klipping Screen Mapping Rastern (Scan Konvertieren) Visibilitätsrechnung -Buffer Prinip Rendering-Pipeline projektiven Ausgabe (eine Variante) Traverse SceneFile etract RendPrim for each RendPrim do (model transformation + view transformation) evaluate lighting for each verte projection (into a unit cube) clip against unit cube map to screen coordinates scan convert RendPrim for each affected piel do interpolate color resolve visibilit (-Buffer) end end 2 SS 25

22 Model und View-Transformation Sene modellieren: T Objekte, Lichtquellen, Kamera im Weltkoordinatensstem positionieren und orientieren Virtuelle Kamera sieht nur Auschnitte der Welt: T Transformation in ein kanonisches Kamera- (Viewing-, Ee-) Koordinatensstem:.B. in Richtung der negativen -Koordinate 22 SS 25

23 Sichtpramide(-nstumpf) view frustrum View Transformation Blickrichtung 23 SS 25

24 Beleuchtungsrechnung Gouraud Shading: T T T Phong Shading: T T T Farbwert für jeden Eckpunkt berechnen Beim Scan-Konvertieren Farbwerte interpolieren ERGEBNIS: schattierte geglättete, matte Oberfläche, keine Glanlichter Normalen an jedem Eckpunkt berechnen Beim Scan-Konvertieren Normalen interpolieren Für jedes Piel Beleuchtungsgleichung berechnen 24 SS 25

25 Projektionsebene Projektionsstrahlen Projektion Augpunkt Objekt Abbildung des Raumes auf die Bildebene: wei Grundformen: Parallelprojektion Augpunkt Bild Objekt Perspektivische Projektion (Virtuelle Lochkamera) Ergebnis: Sichtvolumen (Rehteck oder Pramide) wird auf normalisierte Gerätekoordinaten (Einheitswürfel) abgebildet 25 SS 25

26 Einheitswürfel transformierte Sichtpramide Klippen Nur Primitive, die gan oder teilweise innerhalb der Sichtpramide liegen, müssen an die nächsten Stufen weitergegeben werden. neue Eckpunkte 3 Fälle für Primitive (Objekte) T T T vollständig enthalten weiterreichen vollständig außerhalb erledigt teils-teils Neue Eckpunkte am Rand der Sichtpramide berechnen 26 SS 25

27 Screen Mapping Ähnlich wie im 2D: Normalisierte Gerätekoordinaten (3D REAL) 2D (,) Pielkoordinaten und -Wert + (Farbe, Normale, Teturkoordinate,...) für weitere Berechnungen Auschnitt der Welt Fenster (Viewport) der Bildschirmfläche 27 SS 25

28 Rastern & Visibilitätsberechnung Berechnen der Farb- und -Werte für alle betroffenen Piel -Wert-Vergleich: nur das uvorderst liegende Piel wird angeeigt 28 SS 25

29 Geometrieteil: T T Zusammenfassung Rendering Pipeline Primitive: Dreiecke (Vierecke, Polgone), Linien, Vektoren, Raumpunkte Operationen: affine und perspektivische Transformationen, Beleuchtungsrechnung, Klippen Rasterteil: T T Primitive: wie oben in normalisieren Geräte (Pielkoordinaten) und Piel (Farbe, -Werte, Teturkoordinaten,...) Operationen: Raster Scan, Beleuchtungsrechnung, Teturmapping,... Zunächst: Wir suchen ein geeignetes mathematisches Konept, das eine möglichst einheitliche geschlossene Behandlung aller nötigen Geometrie- Operationen erlaubt. 29 SS 25

30 Erste Grundaufgabe Geometrische Transformationen Positionieren T Verschieben - Translieren T Drehen Rotieren T Scheren von starren Körpern im Raum 3 SS 25

31 Quick Review Lineare Algebra Euklidischer Raum und Lineare Algebra Ein n-dimensionaler Euklidischer Raum sei mit R n beeichnet. Ein Vektor v in diesem Raum ist ein n-tupel v R n v v v.. mit v R, i,,..., v n Desweiteren gelten die bekannten Regel für die Addition Skalarmultiplikation, Skalarprodukt, Vektorprodukt,... i n 3 SS 25

32 Matrien Matrien können benutt werden, um Vektoren u manipulieren: Eine Matri M wird beschrieben durch p q Skalare mit m ij M m i m m p, p, m m m p, j m m m q, q, q p, q [ m ] ij Es gelten die bekannten Regeln und Zusammenhänge ur Addition, Skalarmultiplikation, Tansposition, Multiplikation, Inversion u Determinanten, Eigenwerten, Eigenvektoren und orthogonalen Matrien. 32 SS 25

33 SS Matri-Vektor Multiplikation Beschreibt lineare Abbildungen des Vektors v. Matrien werden von links ranmultipliiert. p q k k k p q k k k p q p p,q w w v m v m v v m m m m,,, Mv w Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrien

34 Geometrische Interpretationen Wir betrachten den 3D-Raum (o.b.d.a. rechts-händiges Koordinatensstem) Ein Vektor v (v, v, v ) kann interpretiert werden als: T T Punkt im Raum oder als gerichtete Linie (Richtungsvektor) Eine (33)-Matri beschreibt eine lineare Abbildung: T T T Skalierung Rotation Scherung aber keine Translation, d.h. keine affinen Abbildungen keine perspektivische Abbildung 34 SS 25

35 SS v v v oder v v v v v v Homogene Koordinaten erweitern einen 3D-Vektor um ein weiteres Element: Richtungsvektor Raumpunkt

36 Homogene Koordinaten Erweitern von (33)-Matrien u (44)-Matrien: m m m 2 m m m 2 m m m beschreiben lineare Abbildungen m m m 2 m m m 2 m m m t t t beschreiben affine Abbildungen, also auch Translationen (t, t, t ) und auch perspektivische (speielle projektive) Abbildungen 36 SS 25

37 SS Translation Die Multiplikation der Translationsmatri T mit einem Punkt p (p, p, p, ) T ergibt: p (p +t, p +t, p +t, ) T. Anmerkung: Der Richtungsvektor v (v, v, v, ) T bleibt durch T unverändert. ),, ( ) ( t t t t t t t T T 5 2 T(5,2,)

38 SS Rotationen um die Hauptachsen cos sin sin cos ) ( cos sin sin cos ) ( cos sin sin cos ) ( φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ R R R Eigenschaften:. Summe der Elemente der Hauptdiagonale Ist bei allen R i gleich 2. Punkte auf der Rotations- Achse bleiben unverändert. 3. Rotationsmatrien sind orthonormal R - R T φ 2 cos 2 +

39 Beispiel: Rotation um die -Achse R π ( ) 6 π cos 6 π sin 6 π sin 6 π cos 6 R ( π ) 6 39 SS 25

40 Beispiel: Drehung um einen Punkt p und die -Achse p T(-p) R ( π ) 4 R ( π ) 4 T(p) X π T( p ) R ( ) T( p ) 4 4 SS 25

41 Skalierung S( s) S( s, s, s ) s s s Man nennt eine Skalierung isotropisch (uniform), wenn s s s, sonst anisotropisch (nonuniform). S(2,.5,) 4 SS 25

42 SS Eigenschaften s s s s S Alternative Matri für isotropische Skalierung Oft nicht effiient, weil Homogenisierung nötig. s s s S Wenn ein oder drei Skalierungsfaktoren negativ sind, erhält man eine Reflektions- (Spiegel-)Matri. Achtung: Dies verändert den Umlaufsinn der Koordinaten bei Polgonen: Wenn wei Skalierungsfaktoren negativ sind, entspricht dies einer Rotation um 8. det (oberen linken (33)-Matri) < Matri ist Spiegelmatri

43 H ( s) vier weitere erster weiter Inde s : H ( s), H H( s) ( s), H ( s), H ( s) : Koordinate, die verändert wird Inde : Koordinate,die die Scherung beeinflußt H (s) s sp Scherung p + sp p p 43 SS 25

44 Alternative Definitionen Scherungsmatrien Achtung: Manche Autoren (.B. Fole, van Dam) benuten andere Definitionen für Scherungsmatrien: s ' t H ( s, t ) H ( s ) H ( t ) 44 SS 25

45 Konkatenation von Matrien Nacheinanderausführung von Transformationen erfolgt durch Multiplikation (von links) Matrienmultiplikationen sind nicht kommutativ: MN NM R ( π ) 6 S(2,.5,) ( ) S( 2,.5,) R π 6 S(2,.5,) R ( π ) 6 R ( π ) ) 6 S(2,.5, 45 SS 25

46 VRML 97 Transform Node VRML 97 hat keine allgemeine (44) Matri Transformation sondern eine Skalierung S, eine Rotation R und eine Translation T(t) in fester Folge X T( t) T( c) RR SR T( c) s T s. Translation T um center point c 2. Skalierungsrotation R st, Skalierung S, Rückrotation R s 3. Rotation R 4. Rücktranslation vom center point c 5. Translation T(t) 46 SS 25

47 Transformation starrer Körpern Keine Skalierung und Scherung (formverändernd) Nur Rotation und Translation (6 Freiheitsgrade) r r r2 t r r r2 t X T( t) R r r r t Beachte : Für solche Transformationen gilt : X ( T(t)R) R T(t) R T T( t) 47 SS 25

48 Transformation von Normalen Matrien können Punkte, Linien, Polgone,... transformieren Vorsicht bei Normalen!,5 entlang der -Achse falsch richtig 48 SS 25

49 Wird eine Matri M benutt um Geometrie u transformieren, dann müssen ugehörige Flächennormalen mit ( ) N M T Transformation von Normalen transformiert werden. Sonderfälle: Reine Rotationsmatrien! Warum? Translationen verändern Normalen nicht! Transformation starrer Körper Uniforme Skalierungen Hier ohne Beweis angegeben, siehe.b. Turkowski s Beitrag in Graphics Gems, A. Glassner (Edt.) } Anstelle von N kann M benutt werden. Renormalisieren. 49 SS 25

50 Model and View Transformation Beleuchtungsrechnung Projektion Klipping Screen Mapping Rastern (Scan Konvertieren) Projektive Abbildungen Rückblick: Ausgabepipeline Alle geometrische Objekte der Sene müssen auf eine 2D Fläche abgebildet werden: Projektion Visibilitätsrechnung -Buffer 5 SS 25

51 Projektionsebene Augpunkt Projektionsstrahlen Objekt Projektionen Parallelprojektion Augpunkt Objekt Perspektivische Projektion Bild 5 SS 25

52 Einteilung ebener geometrischer Projektionen ebene geometrische Projektionen parallel (orthographische) perspektivische rechtwinklig schiefwinklig -Punkt 2-Punkt 3-Punkt Hauptrisse Aometrie Kavalier isometrisch dimetrisch trimetrisch Details siehe.b. Encarnacao, Straßer, Klein: Kabinett Beachte: Für technische Zeichnungen sind längentreue Projektionen, insbesondere die Hauptrisse sehr wichtig. Perspektivische Abbildungen sind von Hand sehr aufwendig vielen orthographischen Projektionen, die räumlichen Eindruck vermitten. 52 SS 25

53 Parallelprojektionen Hauptrisse Kenneichen der Parallelprojektionen: Parallelen bleiben parallel!!! Ein einfaches Beispiel: T Der Betrachter schaut (aus dem Unendlichen) in Richtung der negativen -Achse, mit nach oben und nach rechts (Rechtssstem) (Achtung: in der Literatur um Teil anders dargestellt) T Die Projektion erfolgt auf die -Ebene, d.h. 53 SS 25

54 Projektion auf die -Ebene P Projektionsebene Achtung: Auch Objekte auf der Seite des Augpunktes (auch hinter dem Beobachter) werden auf die Bildebene projiiert. Die -Komponente wird u Null gesett Unterdrückt die -Komponente Achtung: positive und negative -Werte werden aud die -Ebene abgebildet 54 SS 25

55 SS Hauptrisse Stimmt die Projektionsrichtung mit einer der Koordinaten- Richtungen überein, so erhalten wir je nach Wahl der Ebene und des Voreichens der Projektionsrichtung einen der sechs Hauptrisse eines Objektes. In Matritenschreibweise beispielweise ist die Projektion auf die Ebene gegeben durch P P P In den meistens Fällen wird man für,, oder den Wert Null wählen.

56 Implementierungen In der Regel wird bei Implementierungen mit der Projektion auch das Klipping vorbereitet: Anstelle der Projektion auf eine Ebene und einem Klippen in dieser Ebene transformiert man in ein kanonisches ViewVolume (Quader) und klippt an dessen Flächen und führt mit dem Screenmapping die einfache Projektion durch. Details betrachten wir später! Man führt Backface- und Frontface-Klipping ein. 56 SS 25

57 Definition AABB ais aligned bounding bo Eine ais alingned bounding bo (kur AABB, oder bounding bo) ist ein um Koordinatensstem achsparalleler Quader, (ein Quader bei dem die Normalen seiner Flächen parallel u den Achsen des Koordinatensstems liegen). Ein AABB wird durch wei Etrempunkte, nämlich a min und a ma bestimmt, mit {, } min ma ai ai, i, a ma a min 57 SS 25

58 SS Transformation in das kanonische Sichtvolumen Ein Sichtvolumen wird als 6-Tupel definiert (n, f, l, r, b, t) [near, far, left, right, bottom, top]. Dieser achsparallele Sichtquader AABB mit wird in das kanonische Sichtvolumen transformiert f t r n b l ma min a a ma min a a

59 SS Transformation in das kanonische Sichtvolumen f r l n b t T(t) S(s) f t r n b l ma min a a ma min a a

60 SS 25 6 Transformation in das kanonische Sichtvolumen ) ( ) ( n f n f n f b t b t b t l r r l l r n f b t r l n f b t l r s o t T S P Achtung: In der Computergraphik (.B. OpenGL) wird beim Viewing häufig ein Linkssstem benutt: dadurch ist.b. -Buffering intuitiver, weil Objekte größere -Werte haben, je weiter sie entfernt sind.

61 SS 25 6 Zur Dokumentation Transformationsmatri in OpenGL benutt Linkssstem Andere Implementierungen bilden die -Werte auf [,] ab anstatt auf [-,]. O O st O OOpenGL n f n f n f b t b t b t l r r l l r t s P P M P S T S P + + +,5, ) (,, ) ( ) ( '

62 SS Perspektivische Transformation oder Zentralprojektion Das Prinip q p -d -d p q p d p dp p dp d p p p p p p p d weil P p p q d somit p P Strahlensat!,, d q p p d q entsprechend p p d q p d p q

63 Implementierungen Perspektivische Transformation Wie bei der Parallelprojektion transformieren wir die Welt in das kanonische View Volume Das Sichtvolumen ist hier ein Pramidenstumpf (view frustum) P(p) (l,b,n) (r,t,n) Beachte: Bei smmetrischen Sichtvolumen: r-l, t-b 63 SS 25

64 SS Matri der Transformation der Sichtpramide P(p) (r,t,n) (l,b,n) + + +, n b l n t r also n f fn n f n f b t b t b t n l r r l l r n P p

65 SS Zur Dokumentation OpenGL Gründe wie uvor angegeben: <n <f sind Abstände auf der negativen -Achse DirectX: near-plane wird auf abgebildet Änderungen ergeben sich aus entsprechender Skalierung und Translation (siehe uvor) ' ' ' ' ' ' ' 2 2 ' ' ' ' 2 ' ' ' ' 2 2 n f n f n f f b t b t b t n l r r l l r n n f n f n f n f b t b t b t n l r r l l r n DirectX OpenGL P P

66 Model and View Transformation Beleuchtungsrechnung Projektion Zusammenfassung Rendering-Pipeline Modellingtransformationen Viewing Transformationen Klipping Screen Mapping Homogene Koordinaten Rastern (Scan Konvertieren) Ein bisschen (mehr) üben! Visibilitätsrechnung -Buffer 66 SS 25

67 Eigenschaften Projektiver Abbildungen. Projektive Abbildungen im R 3 werden durch lineare Abbildungen des R 4 beschrieben. 2. Geraden werden auf Geraden abgebildet. 3. Die Reihenfolge (und das Doppelverhältnis) von Punkten auf projektiven Geraden bleiben erhalten. Perspektivische Abbildungen sind speielle projektive Abbildungen. 67 SS 25

68 SS Perspektivische Abbildungen Die durch festgelegte perspektivische Transformation hat folgende weitere Eigenschaften: + w w w T P ' ' ' ' :

69 Eigenschaften () Für w und - sind die Bildpunkte dieser Abbildung alle von der Form [-,,] t, d.h. alle Punkte auf der affinen Geraden - werden auf unendlich ferne Punkte abgebildet. Um Unstetigkeiten in der perspektivischen Transformation u vermeiden, bildet man nur Punkte einer der beiden durch diese Gerade bestimmten Halbebenen ab. Man nennt dann diese Halbebene Sichtfeld und die Gerade - Sichtgerade. 69 SS 25

70 Eigenschaften (2) Aus. folgt unächst, daß der affine Punkt [-,,] t auf den unendlich fernen Punkt [-,,] t [,,] t, d.h. auf die Richtung der -Achse abgebildet wird. Nach 2. bleiben die Punkte der affinen -Achse bei der Transformation fest. Da bei projektiven Abbildungen Geraden auf Geraden abgebildet werden, folgt daraus, dass eine affine Gerade durch den Augpunkt [-,,] t, welche die affine -Achse im Punkt [,,] t schneidet, auf eine affine Gerade parallel ur -Achse durch den Punkt [,,] t abgebildet wird. 7 SS 25

71 Eigenschaften (3) Der Punkt [,,] t wird auf den Punkt [, /,] t abgebildet. Daher enthalten die Bildgeraden von Parallelen ur affinen Geraden mit der Richtung [,,] t alle den Punkt [, /,] t, d.h. sie schneiden sich in diesem Punkt. Variert man und, so sieht man, daß die Gesamtheit der Bildpunkte aller Richtungen [,,] t auf der Geraden liegt. Diese Gerade heißt Fluchtgerade. 7 SS 25

72 Eigenschaften (4) Die Schnittpunkte der Bildgeraden von Parallelen u den Koordinatenachsen werden Hauptfluchtpunkte oder einfach Fluchtpunkte genannt. Nach 4. schneiden sich die Bildgeraden von Parallelen ur -Achse alle in dem affinen Punkt [,,] t. Nach 2. bleiben Parallelen ur -Achse parallel, d.h. sie schneiden sich nur im unendlich fernen Punkt [,,] t ihrer Richtung. Daher besitt die perspektivische Abbildung,die durch T p dargestellt wird, nur einen Hauptfluchtpunkt im Affinen. Man nennt diese speielle Perspektive daher Einpunktperspektive. 72 SS 25

73 SS Ein-, Zwei- und Dreipunktperspektive Eine allgemeine perspektivische Transformation ist durch gegeben. Die Richtungen von Parallelen u den Koordinatenachsen, d.h. die Punkte [,,,] t, [,,,] t, bw. [,,,] t werden auf die Fluchtpunkte [,,,] t, [,,,] t, bw. [,,,] t abgebildet w w w T P ' ' ' ' :

74 Definition einer perspektivischen Transformtion Bei der praktischen Anwendung von Projektionen liegt der Standort des Betrachters beliebig im Objektraum. Eine allgemeine perspektivische Transformation wird durch die Festlegung eines Augpunktes (Ee), eines Blickbeugspunktes (VRef) und der Angabe einer Oben-Richtung (ViewUp) festgelegt. Die virtuelle Kamera werden wir später detaillierter betrachten! 74 SS 25

75 Berechnung einer perspektivischen Transformtion. Berechnung des Bildschirmkoordinatensstems mit Ursprung VRef und den Basisvektoren v', v' und v' : v' wird durch VRef und Ee definiert. v' steht senkrecht auf den Vektoren ViewUp und v'. Da die -Achse des Bildschirmkoordinatensstems in die entgegengesette Richtung des ViewUp-Vektors eigt, bilden die drei Vektoren v ', ViewUp, und v ' ein linkshändiges, noch nicht notwendig orthogonales, Koordinatensstem. Der Vektor ViewUp wird daher durch den Vektor v' senkrecht u v' und v' ersett, so daß v',v' und v' ein rechtshändiges orthogonales Koordinatensstem bilden. Die Vektoren v', v' und v' müssen normiert werden! 2. Translation des Bildschirmkoordinatensstems in den Ursprung. 3. Rotation des Bildschirmkoordinatensstems auf das Welt- bw. Referenkoordinatensstem: v' ; v ; v ; 4. Perspektivische Transformation mit Abstand VRef -Ee, wobei der Beobachtungspunkt (Ee) auf der negativen -Achse liegt. 75 SS 25

76 Zusammenfassung. Identifikation der Grundaufgaben T Primitive T Funktionen T Die Ausgabepipeline 2. Affine Transformationen T Homogene Koordinaten 3. Perspektivische Transformationen speielle projektive Abbildungen 76 SS 25

77 Zusammenfassung Homogene Matri a a a a 2 3 a a a a 2 3 a a a a a a a Teilmatrien: lineare Transformationen T T T Skalierung Rotation Scherung Translationen Projektionen: perspektivische Transformationen 77 SS 25

78 Glossar (Modelling-Transformation) Transformieren und Klippen (Screen Mapping) Weltkoordinaten Gerätekoordinaten Ausschnitt der Welt Fenster der Zeichenfläche Rastern (Scan Konvertieren, Rasterisieren) Geometrische Primitive Menge von Pieln Rendering Skalieren Rotieren Translieren Scheren 78 SS 25

79 Glossar 3D-Sene: T Menge der im Weltkoordinatensstem positionierten und orientierten Objekte T Menge der positionierten und orientierten Lichtquellen T Virtuelle Kamera (s) T Hintergrund T Umgebungseffekte (Nebel, Dunst) ais aligned bounding bo 79 SS 25

80 Glossar Projektive Ausgabe Raster Scan Verfahren Strahlverfolgung Racasting, Ratracing Rendering Pipeline Euklidischer Raum und Lineare Algebra Matrien Affine Abbildungen Homogene Koordinaten VRML 97 Transform Node Transformation von Normalen Projektive Abbildungen 8 SS 25

81 Glossar 2D-Primitive T Punkte (Pol) Marker Polgn Füllgebiet T Linien(ug) T Fläche T Tet T (Dig. Bild) (Fill Arra) (unsstematisch, aber als Füllmuster (Attribut) wichtig) Kreise, Ellipsen Kreisbögen, Ellipsenbögen T Rechtecke, Parallelogramme,... T Pfeile, Spiralen,... T Kurven: Beier, Splines, algebraische Kurven 8 SS 25

82 Ausblick Nächste Schritte Klipping und Verdeckungsrechnung 82 SS 25