Navigationsprobleme Vortrag für das Seminar Online Algorithmen

Transkript

1 Navigationsprobleme Vortrag für das Seminar Online Algorithmen Fabio Fracassi 26. Juli 2004 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Typen von Navigationsproblemen Navigationsprobleme Suchprobleme Pledge Algorithmus Exponentielle Vergrößerung der Suchtiefe Baum der kürzesten Wege Suchen in Straßen Lokalisieren Kartographieren Die Strategy CAB Kartographieren eines einfachen Polygons Fazit und Ausblick 13 1

2 1 EINFÜHRUNG 1 Einführung Navigationsprobleme beschäftigen sich mit der Steuerung autonomer mobiler Agenten, die sich in einer unbekanten Umgebung bewegen. Je nach Aufgabe ist der Agent mit verschiedenen Sensoren ausgestattet, das kann ein einfacher Tastsensor, ein GPS oder ein Sichtsystem sein. Bei der Rechenleistung und dem Speicherplatz der Agenten gehen wir davon aus, dass beides ausreichend vorhanden ist. Die Effizienz der Algorithmen wird, wie bei den meisten on-line Algorithmen, im Bezug auf die Kosten (normalerweise die Weglänge) der optimalen Lösung gemessen. In einigen Fällen ist dies nicht möglich, und man orientiert sich an der Anzahl der Ecken des zugrunde liegenden Polygons, oder den Umfängen der Hindernisse. 2

3 2 TYPEN VON NAVIGATIONSPROBLEMEN 2 Typen von Navigationsproblemen Navigationsprobleme gibt es in verschiedenen Varianten, die sich auf den ersten Blick sehr ähnlich sind, sich aber in ihrer Komplexität und in vielen Details teilweise erheblich unterscheiden. Sie beschäftigen sich mit unterschiedlichen Aspekten der Navigation, und machen unterschiedliche Annahmen über Agent und Umgebung. 2.1 Navigationsprobleme In dieser Klasse geht es darum, dass ein Ziel, das dem Agenten bekannt ist, angesteuert werden soll. Dazu besitzt der Agent einen Zielsensor, der ihm, ähnlich wie ein Kompass, die Richtung. des Zieles anzeigt. Der interessante Teil dieser Algorithmen ist, wie sie mit Hindernissen umgehen, die sich zwichen dem Agenten und dem Ziel befinden. Diese Algorithmen sind in Bezug auf die optimale Weglänge nicht kompetitiv, man kann allerdings einen kompetitiven Faktor in Bezug auf die Umfänge der Hindernisse definieren. Verbesserungen im average-case sind durch Randomisierung zu erreichen. 2.2 Suchprobleme In dieser allgemeineren Klasse der Navigationsprobleme wird nur vorausgesetzt, dass der Agent das Ziel erkennen kann, wenn er es erreicht, oder es sieht. Die Position des Ziels ist a-priori nicht bekannt, es muß erst gesucht werden. Das klassiche Beispiel ist hier das Suchen eines Ausweges aus einem Labyrinth Pledge Algorithmus Der Pledge-Algorithmus ist sehr einfach, findet aber trotzdem aus jedem Labyrinth einen Ausweg, sofern dieser existiert. Zunächst aber zur Idee: Der Agent ist mit einem Tastsensor und einem Winkelzähler ausgestattet, der bei Rechtsdrehungen dekrementiert und bei Linksdrehungen inkrementiert wird. Er kann also feststellen wie weit er sich gedreht hat. Trifft der Agent auf ein Hindernis, beginnt der Agent das Hindernis im Uhrzeigersinn zu umrunden. Der Agent verlässt das Hindernis erst dann wieder, wenn der Winkelzähler wieder gleich 0 ist, d.h. wenn jede Rechtsdrehung durch eine entsprechende Linksdrehung ausgeglichen wurde. Korrektheitsbeweis: Der Pledge Algorithmus findet in jedem Labyrinth einen Ausweg, in dem ein solcher existiert. Wir wollen zeigen, dass wenn der Agent keinen Ausweg findet, auch keiner existert. Zuerst können wir zeigen, das der Agent, wenn er keinen Ausweg findet, ab einem bestimmten Punkt einem Zyklus folgt: Der Agent kann seine Richtung nur an den Ecken der Hindernisse ändern (und an dem ersten Punkt, an dem er ein Hinderniss berührt). Nun gibt es zwei Möglichkeiten: 1. Da es nur endlich viele Eckpunkte gibt, kann sich der Agent auch nur endlich oft von den Hindernissen lösen. Danach kann er keine freie Bewegung mehr ausführen, fährt also an einem Hinderniss entlang. 3

4 2.2 Suchprobleme 2 TYPEN VON NAVIGATIONSPROBLEMEN 2. Die zweite Alternative wäre das eine Ecke mehrmals mit demselben Zählerstand besucht wird, wodurch sich der Weg zwischen diesen Besuchen zyklisch wiederhohlt. Jetzt müssen wir zeigen welche Form dieser Zyklus hat. Theoretisch gibt es drei Möglichkeiten für die Form des zyklischen Teil des Weges, eine Schleife im Uhrzeigersinn, eine Schleife gegen den Uhrzeigersinn, oder ein nicht kreuzungsfreier Weg. Der aufwändigste Teil ist zu zeigen, das der Weg kreuzungsfrei ist. Dazu betrachtet man den Fall wenn ein freies Segment B des Pfades auf ein an einem Hinderniss entlanglaufendes Segment A trifft. Bei der Betrachtung des Winkelzählers sieht man, dass der Winkelzähler des Segments A kleiner ist als der von B, d.h. B löst sich vor A von dem Hinderniss, der Pfad berührt sich also nur, und kreutzt sich nicht. Diese Berührung kann man zu einem einfachen Weg entzerren. Betrachtet man nun wieder die stetige Funktion des Winkelzählers, sieht man, das es sich bei dem Zyklus um eine Schleife im Uhrzeigersinn handelt, da der Winkelzähler sonst positive Werte annehmen würde (was nach Definition des Algorithmus unmöglich ist). Daraus folgt sofort, das sich der Agent in einem Innenhof befindet, also kein Ausweg existiert. Der vollständige formale Beweis (speziell die Kreuzungsfreiheit, und die Begründung weshalb der Winkelzähler negativ sein muss, erfordern ein wenig Aufwand) ist nachzulesen in [Kl96]. Der Pledge-Algorithmus ist zwar wie wir gerade gesehen haben korrekt, aber leider nicht optimal, und noch nicht einmal kompetitiv da es vorkommen kann, das Teile des Weges mehrfach besucht werden können Exponentielle Vergrößerung der Suchtiefe Bei der exponentiellen Vergrößerung der Suchtiefe handelt es sich nicht um einen einzelnen Algorithmus sondern um ein Paradigma, das in mehreren Suchsituationen eingesetzt werden kann. Ein Beispiel dazu werden wir im nächsten Abschnitt sehen, zunächst aber wollen wir uns das zugrundeliegende Problem anschauen. Der Agent erreicht eine potentiell unendlich lange Wand, an der sich irgendwo eine Tür befindet. Diese soll der Agent nun finden. Dazu entscheidet er sich für eine der beiden Halbgeraden, die durch die man die Wand beschreiben kann, und läuft an dieser entlang. Da die Wand unendlich lang sein kann, muß der Agent die zuerst gewählte Richtung irgendwann ändern, wenn er die Türe nicht findet. Ein erster Ansatz, dieses Problem zu lösen, wäre, zuerst eine bestimmte Strecke in eine Richtung zu suchen, zum Ausgangspunkt zurückzukehren, dann die Suchtiefe um eine Einheit erhöhen und diese Strecke in der anderen Richtung abzusuchen. Rechnet man den worst-case dieser Strategie aus (der genau dann auftritt wenn die Tür beim vorletzten Durchlauf gerade eben verfehlt wurde), bemerkt man, dass diese Strategie nicht kompetitiv ist. Sei (d = l + ɛ) die Distanz vom Startpunkt zur Türe: l+1 d +1 = 2 i + d = (l + 1)(l + 2) + d d +1 O(d 2 ) i=1 4

5 2.2 Suchprobleme 2 TYPEN VON NAVIGATIONSPROBLEMEN Nun verwenden wir die exponentielle Vergrößerung der Suchtiefe. Statt nach der Rückkehr zum Ausgangspunkt nur die gleiche Strecke abzusuchen verdoppeln wir die Suchtiefe bei jedem Richtungswechsel. 2j+1 d exp = 2 2 i + d = 2(2 2j+2 1) + d < 9d i=0 Diese Strategie ist kompetitiv mit einem Faktor 9, und das ist optimal. Wie Eingangs erwähnt, ist die exponentielle Suchtiefenvergrößerung nicht nur in dieser speziellen Situation anwendbar. Man kann diese Idee ganz analog auch auf mehr als zwei Halbgeraden, auf denen ein Zielpunkt gesucht werden soll, ausdehnen. Dabei müssen wir aber darauf achten, dass wir die Suchtiefe nur bei jeder Runde verdoppeln, um einen kompetitiven Faktor von 8m 3erhalten, wobei m die Anzahl der Halbgeraden ist. Einen etwas besseren kompetitiven Faktor, nämlich 2em + 1 (e ist die Eulersche Zahl) erhalten wir, wenn wir die Suchtiefe nach der Formel ( jbestimmen. m f j = m 1) Baum der kürzesten Wege Die im letzten Abschnitt beschriebene Verallgemeinerung auf mehrere Halbgraden erlaubt uns im Speziellen auch, kompetitive Suchstrategien auf Bäumen (oder allgemeiner auf Graphen) zu entwickeln. Einen davon wollen wir hier betrachten. Wir betrachten nun ein einfaches Polygon als Suchraum. Sowohl Start-, als auch Zielpunkt liegen auf dem Rand des Polygons. Man könnte nun einfach das Suchen auf einer Geraden benutzen, um auf dem Rand nach dem Zielpunkt zu suchen, leider ist man damit nicht mehr kompetitiv, da der optimale Weg, der auch quer durch das Polygon gehen kann, beliebig viel kürzer sein kann als der Weg auf dem Rand. Deshalb muß sich auch der Agent vom Rand lösen. Dazu braucht er ein Sichtsystem, um die relevanten Punkte ansteuern zu können. Wir gehen dabei davon aus, das der Agent das Ziel erkennen kann, wenn er es sieht. Gleichzeitig können wir auch die Einschränkung fallenlassen, das Start- und Zielpunkt auf dem Polygonrand liegen müssen. Auch hier können wir leider nicht für jedes beliebige einfache Polygon einen kompetitiven Algorithmus angeben, da es bestimmte Polygone gibt, in denen der kompetitive Faktor von der Anzahl der Ecken abhängt. Wir schauen uns nun alle kürzesten Wege von einem Startpunkt zu allen Eckpunkten an. Diese Pfade bestehen aus polygonalen Ketten, die nur an spitzen Ecken abknicken können. Betrachtet man jetzt all diese Pfade zusammen, erhält man einen Baum. Wir benutzen nun die Strategie aus dem letzten Abschnitt, um die m Blätter des Baumes abzusuchen. Leider können wir die Verbesserung des kompetitiven Faktors, den wir am Ende des letzten Abschnitts gesehen haben, nicht benutzen, da wir nicht von vorneherein wissen, wieviele Blätter unser Baum haben wird (wir bauen den Baum ja erst zur Laufzeit auf). Dafür gibt es einige andere Verbesserungen, die zwar nicht den worst-case verbessern, dafür aber in vielen Fällen Weglänge sparen. Zum Beispiel brauchen wir nicht immer zum Startpunkt zurückzulaufen, sondern können von einem Ast zum anderen springen. Außerdem braucht man den letzen Ast zu den Blättern nicht mehr zu gehen, da wir schon vom letzten inneren Knoten aus entscheiden können, ob wir von dort zum Ziel gelangen können oder nicht. 5

6 2.2 Suchprobleme 2 TYPEN VON NAVIGATIONSPROBLEMEN Abbildung 1: Bsp. für ein Polygon mit einem Baum der kürzesten Wege t t s (a) Bsp. für eine Straße s (b) Verlegt man den Zielpunkt ist dieses Polygon keine Straße mehr (c) Dieses Polygon kann keine Straße sein. Abbildung 2: Wie sehen Straßen aus Suchen in Straßen Dieses Ergebnis ist natürlich nicht befriedigend, wir hätten gerne eine Strategie, die unabhängig von der Anzahl der Ecken kompetitiv ist. Da wir das nicht für jedes einfache Polygon können, müssen wir die Form der Polygone einschränken. Eine solche Einschränkung sind Straßen. Straßen sind Polygone in denen jede Straßenseite von der anderen aus (schwach) sichtbar ist. Genauer: Der Startpunkt (s) und der Zielpunkt (t) liegen beide auf dem Rand des Polygons. Die beiden Wege von s nach t bezeichnen die beiden Straßenseiten (L und R). Jeder Punkt in L sieht mindestens einen Punkt aus R und umgekehrt. Wie sehen nun Polygone aus, die diese Bedingungen einhalten? Besser wäre es wohl zu fragen, wie solche Polygone nicht aussehen. Ein Agent muß immer dann einen Umweg machen, wenn er an eine Höhle kommt, die vom Eingang aus nicht einsichtig ist. Genau solche Höhlen darf es aber auf den Straßenseiten nicht geben (siehe auch Abb. 2). In einer Straße können wir nun eine Strategie angeben, die optimal kompetitiv ist. 6

7 2.2 Suchprobleme 2 TYPEN VON NAVIGATIONSPROBLEMEN Tl Pend Tr Vl l2 Vl l1 l2 w p2 r1 r2 Vr l0 r0 p1 S Abbildung 3: Ein Trichter Dieser optimale kompetitive Faktor liegt bei 2, ist also noch nicht eimal 1, 5 mal so groß wie das off-line Optimum. Die optimale Strategie ergibt sich aus der genauen Betrachtung des worst-case, der vereinfacht gesagt dann Auftritt, wenn der Agent nicht weiß auf welcher Straßenseite sich das Ziel befindet. Er muß dann zuerst solange auf neutralem Grund entlanglaufen, bis er eine Seite ausschließen kann. Das kann aus zwei gründen passieren, der erste ist natürlich, das das Ziel ins Blickfeld des Agenten kommt. Der zweite ist das eine der Straßenseiten vollständig einsichtig wird, und damit klar ist, das das Ziel auf der anderen liegen muß. Nun muß man sich noch Gedanken machen, wie der Weg durch den neutralen Grund aussieht. Trichter Der optimale Pfad liegt in einem Trichter (der den eben erwähnten neutralen Grund bildet), der aus dem Startpunkt (s) und zwei Punkten (v l und v r ), die die Sicht auf den weiteren Verlauf der jeweiligen Straßenseiten verdecken, gebildet wird. Das Ziel in der Trichtersituation ist es, die Trichteröffnung (die Verbindungslinie zwischen v l und v r ) zu erreichen, denn (spätestens) dann kann man sich sicher für eine Straßenseite entscheiden. Der kompetitive Faktor K Φ = 1 + sin Φ, der in der Trichter-Situation erreicht werden kann, hängt vom Öffnungswinkel Φ des Trichters ab. Ist der Öffnungswinkel Φ des Trichters kleiner als 90, kann der Agent einfach auf dem (kontinuierlichen) Bisektor (vgl. Abs ) der beiden Trichterwände entlanglaufen. Komplizierter wird es, wenn Φ größer ist als 90. Betrachten wir nun Trichter mit Öffnungswinkeln von mehr als 90. Um diese komplizierteren Pfade zu analysieren zerlegen wir sie in kleinere Teilstücke. Wir gehen des weiteren davon aus, das der Pfad von p 2 nach p end schon bekannt ist und den kompetitiven Faktor einhält. Wir wollen nun den Weg von p 1 nach p 2 mit den Öffnungswinkeln Φ 1 und Φ 2 betrachten. Zunächst tun wir das im einfachen Fall, in dem v l und v r kostant bleiben (Abb. 4). Um einen kompetitiven Weg zu erhalten, soll das Verhältnis der Abstände zum linken (v l ) und rechten (v r ) Endpunkt des Trichters, unter Berücksichtigung der 7

8 2.2 Suchprobleme 2 TYPEN VON NAVIGATIONSPROBLEMEN jeweiligen Öffnungswinkel, gleich bleiben. Wir nehmen o.b.d.a. an, das Ziel sei t = v l. Dann ist der Weg von p 1 nach t ist maximal w +K Φ2 l 2. Wir wollen aber eine Weglänge, die kompetitiv in Abhängigkeit des Öffnungswinkels ist. Deshalb schätzen wir die Weglänge mit K Φ1 l 1 w + K Φ2 l 2 ab. Diese Bedingungen müssen auch für den symmetrischen Fall t = v r gültig sein. Beide Fälle kann man zu folgender hinreichenden Bedingung zusammenfassen. w min(k Φ1 l 1 K Φ2 l 2, K Φ1 r 1 K Φ2 r 2 ) (1) Diese Bedingung ist additiv, d.h. wenn die Bedingung für den Weg w 12 von Φ 1 nach Φ 2 und für den Weg w 23 von Φ 2 nach Φ 3 gilt, dann gilt sie auch für den kombinierten Weg w 13 = w 12 + w 23. Im allgemeinen kann der Trichter nach oben hin noch weiter werden, d.h. v l Abbildung 4: Weg w von p 1 nach p 2 oder v r ändern sich im Laufe des Weges W. Wir müssen nun zeigen, dass die Bedingung (1) auch in diesem Fall gültig bleibt. Dazu nehmen wir o.b.d.a. an, das sich v l im Punkt p 2 zu v l verändert. Vl l2 r2 p1 p2 w r2 r1 Vr w K Φ1 l 1 K Φ2 l 2 = K Φ1 l 1 K Φ2 l 2 + K Φ2 l 2 K Φ2 l 2 = K Φ1 l 1 K Φ2 l 2 K Φ2 (l 2 l 2) K Φ1 (l 1 + l 2) K Φ2 (l 2 + l 2) Die Bedingung (1) und deren Additivität bleibt also durch einen Wechsel unverletzt. Letzteres ist besonders wichtig, da wir dadurch unsere Aussagen über die Wegstücke auf den kompletten Trichterweg verallgemeinern können. W min(k Φ l (Trichterwand) l (Trichteröffnung), K Φ r (Trichterwand) r (Trichteröffnung) ) (2) Daraus folgt, das K Φ = 1 + sin Φ der kompetitive Faktor für Winkel größer als 90 ist. Der worst-case dieses Faktors tritt bei Φ = 90 ein und ist dort K 90 = 2, also genau der optimale kompetitive Faktor für das Straßenproblem. Für Winkel unter 90 lässt sich diese worst-case Schranke leicht zeigen. Berechnung des Weges Wie findet man nun eine Kurve die (1) erfüllt? Dazu überlegen wir uns zunächst einige Bedingungen: Wir wissen das p 2 auf einem Kreis liegt der durch v l und v r geht. Die Wahrscheinlichkeit, dass (1) erfüllt wird, ist am größten, wenn die Verhältnisse der beiden Seiten ausgeglichen sind, also: K Φ1 l 1 K Φ2 l 2 = K Φ1 r 1 K Φ2 r 2 K Φ2 (l 2 r 2 ) = K Φ1 (l 1 r 1 ) Daraus folgt, dass solange sich v l und v r nicht ändern, die lokale Konstante A := K Φ0 (l 0 r 0 ) gilt. Wir legen das Koordinatensystem auf den Mittelpunkt von v l und 8

9 2.3 Lokalisieren 2 TYPEN VON NAVIGATIONSPROBLEMEN v r, und skalieren es so, dass d(v r, v l ) = 1. Im symmetrischen Fall (l 0 = r 0 ) ist die resultierende Kurve der Bisektor von v l und v r. Ansonsten liegt die Kurve auf dem Schnitt der Hyperbel (3) und dem Kreis (4) X 2 2 ( A 2K Φ ) Y ( 1 2 )2 ( A 2KΦ X 2 + (Y + cot Φ 2 )2 = )2 = 1 (3) 1 4 sin 2 Φ Umgeformt nach dem angestrebten Zielwinkel Φ ergibt sich: (4) X(Φ) = A 2 cot Φ sin Φ (1 + tan Φ 2 )2 A 2 (5) Y (Φ) = 1 2 cot Φ 2 ( A 2 1) (6) 1 + sin Φ Nun muß man noch beweisen, das (5)und (6) tatsächlich (1) erfüllt. Dieser Beweis ist technisch sehr aufwändig, da die Weglänge ein Integral ist das im wesentlichen aus den beiden obigen Formeln besteht. Die Idee ist folgende: Man setzt die Weglänge in (1) ein Φ2 Φ 1 X (Φ) 2 + Y (Φ) 2 dφ K Φ1 l 1 K Φ2 l 2 = Φ2 Φ 1 (K Φ l Φ ) dφ und zeigt, dass das Weglängenintegral von dem zweiten, das sich aus dem kompetitiven Faktor ergibt, dominiert wird. Die Vollständigen Beweise sind in [Ick03] aufgeführt. 2.3 Lokalisieren Hier stellt sich ein etwas anderes Problem als in den anderen Kapiteln. Wir haben zwar schon von vorneherein eine Karte von unserer Umgebung, allerdings wissen wir nicht genau wo wir uns auf ihr befinden. Wir müssen also ein wenig umhergehen, bis wir erkennen können wo wir uns befinden. Natürlich könnten wir einfach einen üblichen Suchalgorithmus anwenden, schließlich erkennen wir ja das Ziel wenn wir dort sind. Allerdings würden wir dann die zusätzlichen Informationen, die wir durch die Karte haben nicht ausnutzen. Das kann man natürlich verbessern, indem man zunächst auf der Karte nach Entsprechungen für das aktuelle Sichtbarkeitspolygon sucht. Man kann nun auf der Karte (off-line) nach einem Weg suchen, der zu einem Punkt führt an dem man einige Entsprechungen ausschließen kann. Findet man nur noch eine einzige Entsprechung hat der Agent seinen Standpunkt lokalisiert. Leider ist die Optimierung dieser off-line Suche NP-hart. 9

10 2.4 Kartographieren 2 TYPEN VON NAVIGATIONSPROBLEMEN v1 Ker(P) e1 p Abbildung 5: Die gestrichelten linien sind in diesem Beispiel die wesentlichen Kanten. 2.4 Kartographieren Beim Kartographieren handelt es sich um eine Verallgemeinerung der in Abschnitt 2.2 beschriebenen Suchprobleme, bei der aber kein Ziel existiert, sondern die gesamte Umgebung erkundet werden soll. Kartographieren ist ein sehr schwieriges Problem, schon das off-line Problem, die sogenannte Watchman - Tour ist ein komplexes Problem, von dem man lange Zeit glaubte, es wäre NP-vollständig. Auch heute ist noch kein on-line Algorithmus bekannt, der das theoretische Optimum von (1 + 2)/2 erreicht Die Strategy CAB Dieses Verfahren funktioniert nur bei sternförmigen Polygonen, da es eine Strategie ist, die den Kern eines Polygones sucht. Deshalb könnte man es sie ebensogut als sehr spezielle Suchstrategie kategorisieren. Die wichtigste Idee dieser Strategie ist es unser spezielles Wissen über das Ziel auszunutzen. Wir wissen in diesem Fall, dass wir den Kern des Polygons suchen, und dass wir von dort aus das gesamte Polygon sehen können. Wir wählen nun unseren Weg so das das Sichtbarkeitspolygon beständig wächst. Um das zu erreichen, benutzt man den Continuous Angular Bisector, der den Weg immer auf der Winkelhalbierenden der wesentlichen Halbgeraden festlegt. Die wesentlichen Halbgeraden bestimmt man, indem man vom aktuellen Standpunkt des Agenten (p) Geraden (e i ) zu allen spitzen Ecken (v i ) des Polygons zieht und diejenigen Halbgeraden auswählt die den Schnitt der von e i induzierten inneren (das heißt von p aus sichtbaren) Halbebenen berandet (vgl. Abb. 5). Bis auf wenige Ausnahmen an den Rändern des Polygons besteht der so erzeugte Weg aus Ellipsenstücken. Das macht die Analyse der Weglänge erst einmal sehr schwierig, da man die Länge eines Ellipsenstückes nicht mit einer geschlossenen Formel berechnen kann. Allerdings besitzen die von CAB erzeugten Pfade eine interessante Eigenschaft, für die eine Abschätzung bekannt ist. Die Pfade haben die Eigenschaft, selbstnähernd zu sein, d.h. für drei aufeinanderfolgende Punkte a, b, c auf dem Pfad liegt b näher an c als a. Das schließt im Speziellen aus, dass der Pfad Schlingen haben kann. Ein selbstnähernder Pfad ist maximal 5, 33 mal so lang wie der Abstand seiner Endpunkte. 10

11 2.4 Kartographieren 2 TYPEN VON NAVIGATIONSPROBLEMEN r r2 s (a) Reflexpunkt r mit Schnitt und kreisförmigen Weg s (b) Dieser Weg ist nicht Kompetitv Abbildung 6: Reflexpunkte und Schnitte Kartographieren eines einfachen Polygons Wie auch beim Navigieren in Straßen (vgl ) kommt man der Lösung des Problems näher, wenn man sich die Stellen, die Probleme machen, genauer anschaut. Beim Kartographieren sind Ecken solche Problemstellen, da sich hinter ihnen ein Teil des Polygons versteckt. Solche Ecken nennen wir Reflexpunkte. Sind alle Reflexpunkte gesehen worden, dann ist das Polygon kartographiert. Ein Reflexpunkt wird genau dann einsichtig, wenn man seinen Schnitt (die Verlängerung der unsichtbaren Kante in das Polygon hinein, siehe auch Abb. 6(a)) erreicht. Natürlich würden wir den Schnitt erreichen, indem wir den Reflexpunkt direkt ansteuern, allerdings ist diese Strategie nicht kompetitv, da der Schnitt beliebig viel näher am Startpunkt (p) liegen kann als der Reflexpunkt (r). Um Ecken Schauen Stattdessen benutzen wir als Weg von p nach r den kleinsten Kreisbogen der p und r enthält. Dadurch erhalten wir einen kompetitiven Weg (mit dem Faktor π ), dessen Schnittpunkt mit dem Schnitt c r die kürzeste Distanz zum Ausgangspunkt p hat. Es gibt zwar eine Strategie, die einen besseren kompetitiven Faktor (1.21) hat, allerdings erreicht dieser den Schnitt nicht in c r, was die Analyse des Weges schwieriger macht. Wir müssen den Kreisbogen verlassen, wenn er das Polygon verlassen würde (in diesem Fall laufen wir auf dem Rand des Polygons weiter, bis der Weg wieder im inneren verläuft), oder der aktuelle Reflexpunkt unsichtbar wird (in diesem Fall laufen wir gradlinig auf ihn zu). Die Ecken Sortieren Schaut man sich Abb. 6(b) einmal genau erkennt man, dass eine Strategie, die alle Reflexpunkte in der Reihenfolge erkundet wie sie auftreten, 11

12 2.4 Kartographieren 2 TYPEN VON NAVIGATIONSPROBLEMEN nicht kompetitiv ist. Man kommt zu dem Ergebniss, dass man die Reflexpunkte in linke und rechte Reflexpunkte aufteilen muss. Das alleine reicht aber noch nicht, da nicht alle Reflexpunkte von vornherein bekannt sind. Also beginnen wir zuerst damit, alle rechten Reflexpunkte abzuarbeiten, und speichern währenddessen alle Reflexpunkte die eine linken Reflexpunkt als Kind (im Sinne eines Kindknotens auf dem SPT (vgl )) haben, in einer Liste. Diese Liste wird dann mit einer analogen (symmetrischen) Funktion für linke Punkte abgearbeitet. Analyse der Wegelänge Es ist aus zwei Gründen sehr schwierig, die Weglänge zu analysieren. Zum einen gibt es keine geschlossene Formel für die Weglänge. Außerdem können durch Höhlen baumartige Verzweigungen des kürzesten Weges entstehen. Um das erste Problem zu lösen, brauchen wir eine Struktur, die es uns erlaubt, die Weglänge abzuschätzen, indem sie folgende Bedingungen erfüllt: Der Umfang der Struktur ist eine obere Grenze der Weglänge. Der Umfang ist kompetitiv zum optimalen Pfad. Die Winkelhülle Eine solche Struktur ist die Winkelhülle, die durch den sogenannten Fotografenpfad gebildet wird. Wir stellen uns vor, dass ein Fotograf, dessen Kamera ein Objektiv mit dem fixen Winkel von 90 hat, ein Objekt D fotografieren will. Jedes Bild soll soviel wie möglich von dem Objekt und überhaubt keinen Hintergrund enthalten. Die Menge aller Punkte, von denen aus der Fotograf diese Bilder machen kann, bilden den Fotografenpfad. Dieser berandet die Winkelhülle. Indoor-Situation Der Fotografenpfad kann die Einschränkung erhalten, dass er vollständig im Inneren eines Polygons P liegen soll. Dadurch kann sich die Winkelhülle unter zwei Umständen ändern. Der Rand von P kann den Weg beschränken, oder ein Reflexpunkt von P beschränkt die Sicht. Die Indoor-Situation der Winkelhülle (AH(D)) ist dem Pfad des Kartographieralgorithmus sehr ähnlich. Unterschiede gibt es praktich nur an den Reflexpunkten, die die Sicht verdecken, und dort ist unser Weg sogar kürzer als die Winkelhülle. Eine ausfürlichere Beschreibung des Algorithmus und desen Analyse findet man in [Hfm98] 12

13 3 FAZIT UND AUSBLICK 3 Fazit und Ausblick Allen hier aufgezeigten Strategien haben entweder einen sehr hohen kompetitiven Faktor, oder sind nur unter besonderen Umständen einsetzbar. Trotzdem sind gerade in der letzten Zeit Fortschritte gemacht worden. Bei vielen Problemen hat man on-line optimale Strategien gefunden, oder zumindest einen halbwegs praktikablen kompetitiven Faktor. Speziell die Einschränkungen an die Umgebung machen in der Praxis Probleme, schließlich ist es ja unser Ziel in unbekannten Umgebungen zu navigieren. Grade dann fällt es natürlich schwer den passenden Algorithmus zu wählen, da wir ja nicht wissen, ob das Polygon, das uns umgibt, ein Stern, eine Straße, oder vieleicht sogar ein Polygon mit Löchern (also Hindernisse im inneren des Polygons) ist. Da es keine kompetitive Strategie für den allgemeinen Fall geben kann, und wir im worst-case nie optimal werden können, müssen wir uns damit begnügen, im average case gut abzuschneiden. Wie auch bei vielen anderen (on-line) Problemen können wir das durch Randomisierung erreichen. 13

14 LITERATUR LITERATUR Literatur [Kl96] Rolf Klein, Algorithmische Geometrie - Kapitel 7, Hagen 1996 [Be] [Ick03] Piotr Berman, Online Searching and Navigation, in Fiat, Woeginger: Online Algorithms - the State of the Art, Springer LNCS Icking, Klein, Langentepe, Schuierer, Semrau - An Optimal Competitive Strategy for Walking in Streets, Bonn 2003? [Hfm98] Hoffmann et Al., The Polygon Exploration Problem,