RASCH-SKALIERUNG

Transkript

1 9.3. RACH-KALIERUNG (von Günter Hanisch) Nachfolgend wird die Analyse nach RACH (Ast 3 in Abb.9.) erläutert (Literatur am Ende des Unterapitels) VORAUETZUNGEN UND EIGENCHATEN. Es wird angenommen, dass eine ( eindimensionale) latente ( zugrunde-liegende) nicht diret beobachtbare Eigenschaft (oder Dimension) E ( latent-trait) das Testverhalten steuert. 2. Auf deren Ausprägungsgrad ann aufgrund des Testverhaltens zurüc geschlossen werden. 3. Anstelle eines Messfehlers (wie bei der lassischen Testtheorie) wird der wahrscheinlicheitstheoretische ( probabilistische) Charater berücsichtigt. Eine beobachtete Leistung wird nicht nur durch die ähigeit der Person ( Personenparameter) und die chwierigeit (bzw. Leichtigeit L ) der Aufgabe (des Items) (Itemparameter) bestimmt, sondern auch vom Zufall ( umme aller unontrollierbaren Einflüsse). 4. Der Zusammenhang zwischen den latenten Variablen und L und den manifesten Daten wird durch die sogenannte Itemcharateristi (Abb.9.3.) beschrieben, wobei wir im olgenden voraussetzen, dass es eine Zwischenlösungen gibt, d.h., dass es nur richtige oder falsche Lösungen gibt (dichotom oder zweiategoriell), die dadurch mit 0 für nicht gelöst oder für gelöst (bzw. bei Persönlicheitstests 0 für nein und für ja) dargestellt werden önnen. Die Itemcharateristi gibt dabei die Wahrscheinlicheit p an, dass eine Person v mit der ähigeit das Item mit der Leichtigeit L lösen ann. Natürlich lassen sich probabilistische Modelle nicht nur auf Intelligenztests, sondern auch auf Persönlicheitstests anwenden. Dort bedeutet dann Leichtigeit den Aufforderungscharater des Items mit ja zu antworten und ähigeit die Tendenz der Person, auf Items, die die gleiche latente Dimension messen, mit ja zu antworten. 5. Je größer die ähigeit der Person und je leichter die Aufgabe ist, desto größer soll auch die Lösungswahrscheinlicheit ( Itemcharateristi) sein. Damit bei einer doppelt so leichten Aufgabe eine halb so fähige Person etwa dieselbe Lösungswahrscheinlicheit hat, muss daher die Itemcharateristi vom Produt L abhängen. 6. ür die leichtere psychologische Interpretierbareit soll die Itemcharateristi eine monoton steigende untion sein (etwa wie Graph A in Abb.9.3.), denn bei Graph B (Abb.9.3.) würden Personen mit mittlerer ähigeit die größte Lösungswahrscheinlicheit haben. (In diesem Zusammenhang ist es wichtig, bei Persönlicheitstests zu beachten, dass die Items in dieselbe Richtung weisen, sonst müssten sie vor der Auswertung umgepolt werden.)

2 p A p B Abb.9.3.: Verschiedene Itemcharateristien owohl für unfähige Personen (0), als auch bei überaus schweren Aufgaben (L 0), also wenn L 0, soll die Lösungswahrscheinlicheit 0 sein; hingegen bei sehr fähigen Personen ( ) oder sehr leichten Aufgaben (L ) soll die Lösungswahrscheinlicheit p(x ) sein, wobei für gelöst steht. omit bietet sich als einfachste (ontinuierliche) untion folgende untion an: p(x ) L + L Abb zeigt den Graphen dieser untion ( dieser bedeutet: wählt man L als Abszisse, somit x L, also y x, gibt es nur eine solche untion). Wählt man statt der +x Leichtigeit L eine Aufgabe zu lösen, die chwierigeit, so geht die ormel in L p(x ) L + L + + (vgl ) über, die wir bereits in 9.0 ennengelernt haben. y x Abb.9.3.2: Itemcharateristi I Die Wahrscheinlicheit, die Aufgabe nicht zu lösen, erhält man durch: p(x 0) p(x ) L + L ( + L) L + L + L 7. Um die untion symmetrisch zu machen, bietet sich eine Exponentialtransformation der Parameter an (vgl ), nämlich exp(f ) und L exp(l), wobei wir aus dructechnischen Gründen anstelle von e x den Ausdruc exp(x) schreiben. Dadurch wird das Produt

3 L dann in die umme exp(f + l) verwandelt. Weiters ist es üblich die Leichtigeit l durch die chwierigeit s zu ersetzen, wobei wegen L, also L und daher exp(l) exp(s) exp(l + s) exp(0), weil exp(0) ist. omit ist l + s 0 bzw. l s. Wir erhalten dann und p(x ) p(x 0) exp(f ) exp(l) + exp(f ) exp(l) exp(f + l) + exp(f + l) exp(f s) + exp(f s) + exp(f ) exp(l) + exp(f + l) + exp(f s) Nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen obenstehender untion. p - f-s Abb.9.3.3: Itemcharateristi II Obige beiden Gleichungen (-9.3.3a und 9.3.3b) lassen sich noch durch einen Tric zusammenfassen: Bezeichnen wir die Antwort, die die Person gegeben hat, mit der Variablen a, die nur die Werte 0 für nicht gelöst und für gelöst annimmt, so ist p(x a) exp((f s)a) + exp(f s) 8. Die Antwortwahrscheinlicheit soll nicht von der Lösung der vorangehenden Items abhängen es sollen also ein Lerneffet auftreten. Man nennt dies loale stochastische Unabhängigeit. Die Wahrscheinlicheit des Antwortvetors ( Antwortmuster, z. B. (0,,, 0)) bei n Items ergibt sich daher wegen des Multipliationssatzes (siehe -5.7) als Produt der Einzelwahrscheinlicheiten: p(a[], a[2], a[n]) p(a[]) p(a[2]) p(a[n]), wobei a[i] 0 oder ist, je nachdem, ob das Item nicht gelöst oder gelöst wurde. Im Gegensatz zur lassischen Testtheorie wird die Kovarianz zwischen den Items nicht als Abhängigeit der Items voneinander, sondern ähnlich der atorenanalyse (siehe Bd.II/4) als Ergebnis ihrer Abhängigeit von einer gemeinsamen latenten Variablen angesehen. 9. Man ann zeigen, dass bei obiger Itemcharateristi die umme der richtigen Lösungen einer Person genau so viel relevante Informationen enthält, wie der Lösungsvetor selbst ( erschöpfende tatisti), man also berechtigt ist, einfach die richtigen Lösungen zusammenzuzählen (was man, ohne sich Gedanen zu machen, intuitiv ohnehin getan hätte).

4 Umgeehrt gilt nur beim Rasch-Modell diese Eigenschaft, d.h., will man einen dichotomen Test erstellen, bei dem es erlaubt ist, die Lösungen zusammenzuzählen, so muss zum Rasch-Modell gegriffen werden. Beweis (Anfang): Die Wahrscheinlicheit LH ( Lielihood), dass eine Person v bei einem Item i mit a[vi] antwortet (wobei a[vi] 0 oder ist), ist beim RACH-Modell: p(x a[vi]) + exp(f [v] s[i]) ür einen Antwortvetor mit den Werten (a.[], a[2],, a[n]) ist sie daher (da wegen der loalen stochastischen Unabhängigeit unabhängige Ereignisse vorliegen) das Produt der Einzelwahrscheinlicheiten über die Items. LH [v] P(a[vi] f [v], s[i]) i i + exp(f [v] s[i]) (-9.3.5) Betrachten wir alle n Personen und wollen wir die Wahrscheinlicheit LH der gegebenen Datenmatrix ausrechnen, erhalten wir LH [v] LH [v] + exp(f [v] s[i]) i n v i n v exp((f [v] a[vi]) s[i]) exp( s[i] a[vi]) + exp(f [v] s[i]) i Wegen e a+b e a e b ist exp(a[vi]) exp( a[vi]). Weiter ist a[vi] a[v0] über i die umme der Rohscores pro Person und a[vij a[0i] über v die pro Item. Wir erhalten somit: LH v exp(f [v] i a[vi]) i exp( s[i] v a[vi]) i v ( + exp(f [v] s[i])) v exp(f [v] a[v0]) i exp( s[i] a[0i]) i v ( + exp(f [v] s[i])) In diesem Ausdruc ommen nur noch die beiden Randsummen der Datenmatrix, also der Personen- und der Itemrohscore vor. Daher ist die Anzahl der gelösten Aufgaben einer

5 Person v eine erschöpfende tatisti für den Personenparameter f [v] bzw. [v] und die Anzahl der Personen, die ein Item gelöst haben, ist eine erschöpfende tatisti für den Itemparameter s[i] bzw. L[i] was zu beweisen war. Beweis (Ende). 0. erner ist das Modell von RACH von der tichprobe der Personen und der der Items unabhängig, also unabhängig von der in den Test aus einer Klasse homogener Items hinein gewählten Items. Die Berechnung der chwierigeiten der Items ist überdies unabhängig von den in die tichprobe aufgenommenen Personen. Man nennt diese Eigenschaft spezifisch objetiv. omit erlaubt das RACH-Modell spezifisch objetive Vergleiche sowohl auf der Ebene der Items als auch auf der der Personen. Wenn also das Modell einem Datensatz adäquat ist, also obige Gleichung gilt, was durch Modellprüfungstests ontrolliert werden ann (siehe später), dann ist das Ergebnis der chätzung der Itemparameter unabhängig von der Verteilung der Personenparameter in der gewählten tichprobe. Desgleichen ist auch das Ergebnis der Personenparameterschätzung unabhängig von der gewählten Itemstichprobe. Die Testresultate der anderen mituntersuchten Personen beeinflussen daher das Ergebnis der chätzung nicht, worauf sich das Verfahren zur Modellprüfung stützt. Homogen heißt dabei in diesem Zusammenhang, dass alle Items dieselbe latente Dimension messen.. Zusammenfassung: Das bis hier Gesagte sei in einer Überblicstabelle (Abb.9.3.4) zusammengefasst: Modelldarstellung Exponential Quotient p(x a[vi]) exp[(f [v] s[i]) a[vi]] ( L) a[vi] + exp(f [v] s[i]) + L Parameter f ähigeit s chwierigeit ähigeit L Leichtigeit ( ) Wertebereich der Parameter ; + 0; + aleneigenschaft Differenzensala Rationalsala daher liegt auf einer absoluten ala f [i] f [j] s[i] s[j] f [i] s[j] [i]/[j] L[i]/L[j] Abb.9.3.4: Übersicht über das RACH-Modell Beachte: Die Randsummen a[0i] und a[v0] liegen nur auf einer Rangsala. Wie aus Abb zu ersehen, ist es mit dem Modell von RACH möglich, die aleneigenschaft zur Differenzen- (Intervall-) und sogar Rationalsala zu verbessern. Ob diese Verbesserung des alenniveaus tatsächlich zutrifft, darüber herrscht eine einhellige Ansicht.