Eigenschaften stabiler Kerne

Transkript

1 e : das ersten Teilchen Die Geburtsstunde der Teilchenphysik Entdeckung des Elektrons Elektroden D+E : Elektrisches Feld Spulen: Magnetfeld Eigenschaften stabiler Kerne J.J. Thomson Kathodenstrahlexperimente (~ TV) Kathodenstrahlen* sind Teilchen mit spezifischem Ladungs-Massen-Verhältnis *später 'Elektronen' genannt Atom (1905) Robert Brown (1827) beobachtet die Zitterbewegung von kleinen Russpartikeln in wässriger Lösung 1900: Thomson entdeckte das Elektron als Teil des Atoms. Ein typisches Bild des Atom Albert Einstein (1905) erklärt die Zitterbewegungmit Hilfe der kinetischen Atomtheorie 1911: Rutherford entdeckte den Atomkern Positive geladene Materie Francois Perrin (1907) bestätigt Einstein's Formel mittels präziser Messungen Die Existenz von Atomen als physikalische Realität war bewiesen. Das neue Bild des Atoms 1911 Thomsons Atommodell Rutherfords Atommodell Ernest Rutherford (r) und Hans Geiger (l) in Manchester Grosse Streuwinkel unwahrscheinlich Grosse Streuwinkel endlich wahrscheinlich

2 Testen einer Theorie: Aufstellen einer Hypothese. Testen der Hypothese. Analyse der Testresultate. Die Physik kannte neben Teilchen Felder Felder Hohlraumstrahlung Ein Hohlraum absorbiert die einfallende Strahlung völlig und sendet diese Energie als thermische Strahlung wieder aus: 14 Dezember 1900 Ein Akt der Verzweiflung Die Oszillatoren (in der Wand des Hohlraums) können nur Energiepakete aussenden ε = h ν Emissionsspektrum Hohlraumspektrum = f(ν,t) I(ν) ~ ν 2 <E> durchschnittliche Energie der Oszillatoren (proportional zur Temperatur?) Ok für kleine Frequenzen (Jeans law) Max Planck Höhere Frequenzen entsprechen grösseren Energiepaketen die bei niedrigen Temperaturen nicht wahrscheinlich sind Durchschnittsenergie der Oszillatoren hν I(ν) ν 2 hν kt e 1 h = neue fundamentale Konstante Felder Felder 1902 Der photoelektrische Effekt Mein einziger revolutionärer Beitrag zur Physik Kathodenstrahlen (= Elektronen) werden durch Einstrahlung von Licht auf Metalloberflächen erzeugt. Klassische Erwartung: Da die Energie des Lichts proportional zum Quadrat der Amplitude ist, sollte die Energie der Elektronen der Intensität des Lichts proportional sein. 17 März 1905 Licht wird quantenweise emittiert und absorbiert Emax = hν - W Ein Lichtquant gibt alle seine Energie an ein einzelnes Elektron ab Philipp von Lenard Aber: Die Energie der Elektronen ist proportional der Frequenz des Lichts (Gradient = h ) Albert Einstein (Erst im Jahr1917 durch Compton bewiesen) Photon Die Energie der Elektronen zeigt nicht die geringste Abhängigkeit von der Lichtintensität

3 Senkrechtes Auftreffen eines dünnen Teilchenstrahls auf ein Target Fläche F Geschwindigkeit v i Dicke d -Dicke d [cm] -Dichte ρ[g/cm 3 ] -Atommasse MA [u] -NA=Avogadrozahl Teilchenstrahl: Flussdichte oder Stromdichte [cm -2 s -1 ] J = nstrahl vi Intensität / Fluss I [s -1 ] I = J F = F nstrahl vi Totaler Wirkungsquerschnitt: Rate Wr an Streuereignissen [s -1 ] ~ totalem Wirkungsquerschnitt σtot Strahl: -Querschnitt F [cm 2 ] -Geschwindigkeit vi [cm/s] -Anzahldichte n [cm -3 ] Targetkerne pro cm -3 ( Einheitsvolumen): Dichte ρ n Target = ρ N A M A Targetkerne im Strahl: N Target = n Target F d Wr = J NTarget σtot = I ntarget d σtot [s -1 ] = [cm -2 s -1 ] σtot [s -1 ] = [s -1 cm -3 cm] σtot σtot [cm 2 ] der Wirkungsquerschnitt hat die Dimension einer Fläche σtot ist ein Mass für Wahrscheinlichkeit einer (Streu-)Reaktion Zahl der Reaktionen pro Sekunde pro Streuzentrum (Targetkern) σ tot = Zahl einfallender Teilchen pro Sekunde pro cm 2 (Fluss-/Stromdichte) 4π-Detektoren, die das Target vollständig umschliessen, messen σtot Einheit des Wirkungsquerschnitts σtot: 1 barn = 1 b = cm 2 [barn = Scheunentor Größe des Urankerns] 1 mb = cm 2, Teilchenphysik: 1 pb = cm 2, 1 fb = cm 2 σtot stellt eine effektive Fläche für Streuprozesse/Wechselwirkungen geometrischer Streuquerschnitt: σgeom= π (R 2 + r 2 ) Target Projektil Quantenmechanisch ist die Vorstellung von solchen Flächen nicht ganz korrekt, aber wir können damit in den meisten Fällen arbeiten. Rutherford-Streuung: tan Θ 2 = 1 z Z 1 4πε 0 E kin b Energieabhängigkeit von σtot kann z.b. zum Nachweis neuer Teilchen (Resonanzen) führen, hier bei Reaktion: γ + p π 0 + p b = Stoßparameter = asymptotischer Abstand des α γ-energie in [MeV] b 0 Θ π b Θ 0

4 ..... Der Wirkungsquerschnitt gibt an, dass ein Prozess stattgefunden hat. Wenn man wissen will, wie oft ein Prozess einen bestimmten Ausgang hat, so braucht man den differentiellen Wirkungsquerschnitt. Experimente messen meistens nur den differentiellen Wirkungsquerschnitt in einem Teil des Raums der vom Detektor abgedeckt wird. Der Raumwinkel, den ein vom Kugelmittelpunkt ausgehender Kegel im Abstand r = 1m auf der Kugeloberfläche 1m 2 ausschneidet ist ein Steradian (sr). Es ist dann 1 sr = [S]/[r2] = 1 m 2 /1 m 2 = 1. [θ, θ-dθ ] Ein paralleler Teilchenstrahl fliegt in einem dünnen Target durch einen Kreisring mit der Fläche = 2π b db (mit Streuparametern [b, b+db] ) werde durch elastische Streuprozesse in den Raumwinkel dω gestreut (mit Streuwinkeln [θ, θ-dθ ] ) wichtig: keine Mehrfachstreuungen, keine Abnahme des Flusses im Target = 2πb db = dω = 2π sinθdθ dω dω b (θ) = ( ) dω sinθ db dθ mit dω = 2π sinθdθ Schwenkbares Spektrometer für die Messung von dω (θ) zunehmendes θ bei abnehmendem b gestreute e Target Proton Magnetic Form Factor (E ) Neutron Magnetic Form Factor (E ) Neutron Magnetic Form Factor d Target BNL BigBen Hadron Arm HCalo 17 m 48D48 Beam BigBite GasCher Veto Electron Arm GEM ECalo Proton form factors ratio, GEp(5): E Proton Form Factor Ratio (E ) Proton Arm GEM INFN GEM BNL GEM HCalo BigBen Target 48D48 Beam Neutron Form Factor Ratio (E ) Beam 3 He Target 17 m BNL BigBen 48D48 Hadron Arm HCalo Electron Arm Al filter GEM Lead glass Calorimeter BigBite Electron Arm GEM GasCher ECalo Veto

5 Das Experiment misst dann /dω, wobei Ω den Raumwinkel darstellt. Der differentielle Wirkungsquerschnitt beschreibt die Winkelverteilung gestreuter Teilchen in den Raumwinkel dω Sehr häufig hängt das Ergebnis vom Streuwinkel θ ab, weshalb man auch von einer Winkelverteilung spricht, wenn man mehrere Messungen macht. Der Gesamtwirkungsquerschnitt oder totale Wirkungsquerschnitt ergibt sich aus den Experiment durch eine Integration über den totalen Raumwinkel: σ = dω dω θ Kernradius und -dichte: Eigenschaften von Kernen Der Kernradius ist keine wohl definierte Eigenschaft aufgrund: Unterschiedliche Definitionen: verschiedener Formen des Kerns eines diffusen Kernrandes Radius bei halber Kerndichte R 1/ : 2 ρ(r 1/ 2 ) = ρ(0)/2 Mittlerer Radius < r > : < r >= ρ(r)rd r Mittlerer quadratischer Radius < r 2 > : < r2 >= ρ(r)r 2 d r Es gilt: ρ(r)d r =1 Rutherford-Streuung, Mott-Streuung und Formfaktoren Die Bedeutung der Kerndichteverteilung bedarf ebenfalls der Definition: Die Rutherfordsche Streuformel kann sowohl klassisch als auch quantenmechanisch abgeleitet werden. Ein schneller Weg zur Ableitung beruht auf der 1. Bornschen Näherung: Sowohl das einfallende als auch das gestreute Teilchen sind ebene Wellen. Elektromagnetische Proben (z.b. Elektronen) ergeben die Ladungsverteilung. Hadronische Proben (z.b. Protonen, Pionen) ergeben die Materieverteilung. Ist dieser Ansatz überhaupt sinnvoll? 1913 J. J. Balmer (1885) analysiert das Emissionsspektrum von Wasserstoff Es brauchte noch weitere 10 Jahre bevor man anfing, die mysteriösen Regeln der atomaren Welt zu verstehen. Teilchen haben Welleneigenschaften Balmer s empirische Formel: λ = h p Niels Bohr besucht Rutherford im Jahr 1913 Anwendung der Planck schen Quantenhypothese im Atom Wenn der Drehimpuls quantisiert ist: dann Elektronen strahlen nur bei Übergängen Photonen-Energie = Energiedifferenz zwischen n-niveaus Louis de Broglie (1924) *Diese Hypothese wurde 1927 durch die Beobachtung von Elektronenbeugung bestätigt (Davisson/Germer)

6 Heisenberg (1925) Unschärferelation Wenn Teilchen auch Welleneigenschaften haben, dann können Ort und Impuls nicht gleichzeitig präzise messbar sein. Ort-Impuls-Unschärfe: Analogie: Ein reiner Ton der Frequenz f bekommt eine Unschärfe Δf wenn er nur über das Zeitintervall Δt erklingt (Fourier-Transformation): Δf Δt ~ 1 h Δf Δt = ΔE Δt ~ h Schrödinger 1926 SCHRÖDINGER: WELLENGLEICHUNG WELLENVERHALTEN VON TEILCHEN -> BESCHREIBUNG DURCH WELLENFUNKTION ψ Interferenz (mathematisch) am einfachsten durch komplexe Funktionen beschrieben (Phase) Wie hat Schrödinger seine Gleichung erraten? Energie-Zeit-Unschärfe: Von der klassichen zur Quanten- Mechanik Energie E eines Teilchens mit Masse m, Impuls p, in einem Potential V(r) Übersetzung von Teilchen- in Wellensprache: Eine Welle wird beschrieben durch eine Funktion im Raum (x) mit Kreisfrequenz und Wellenvektor Gesamtenergie = kinetische + potentielle Energie De Broglie Impuls einer Teilchenwelle : Frage die Wellenfunktion nach ihrem Impuls: Energie einer Teilchenwelle :

7 Genauso: die Energie... Schrödinger Gleichung: Elektronen bilden stehende Wellen 1928 Quantenphysik erklärt die Existenz von Struktur in der Natur Chemische Bindungen reflektieren die Struktur der Orbitale Interpretation (Born, 1927): ψ = Wahrscheinlichkeitsamplitude ψ 2 =Wahrscheinlichkeit Linus Pauling (1928) 1928: Atome, Moleküle, und der Grund für makroskopische Formen waren verstanden. Stimmt sehr gut wenn... v << c Eine Messgröße ist der Wirkungsquerschnitt: und q = q = p 1 p f = 2 psinθ / 2 q 2 = p i 2 + p f 2 2 p i p f cosθ Differentielle Wirkungsquerschnitt: dω = f ( q ) 2 Die Streuamplitude ergibt sich zu: q r f ( q ) = m V( r )e i h d r 2π" 2 f ( q ) heisst Streuamplitude. q = p i p f ist der Impulsübertrag. m ist die reduzierte Masse: m a m b m a + m b Wenn das Streupotential kugelsymmetrisch ist, kann man die Integration über die Winkel durchführen: f ( q 2 ) = 2m dr r sin( qr h q h ) V(r) f ist richtungsunabhängig 0

8 Das Coulombpotential für eine Streuung an punktförmigen Teilchen ist: Das Integral lässt sich jetzt lösen: V(r) = Z 1eZe r f ( q 2 ) = 2mZ 1 Ze2 q 2 Der differentielle Wirkungsquerschnitt wird: dω Rutherford = f ( q 2 ) 2 = 4m2 e 4 Z 2 q 4 1 wird vernachlässigt 4πε ~ 1 q Photonpropagator 1 2 q 2 2 Der Kern hat eine räumliche Ausdehnung, die berücksichtigt werden muss: r ρ( r V( r ) = Ze 2 ρ( r ) r r d r Einfügen in die Bornsche Näherung ergibt: f ( q ) = mze2 2π" ρ( r ) 2 r r e i q r d r d r r ) = Ladungsverteilung Das Integral ist etwas mühsam zu bestimmen. Wir benutzen Poissons Gleichung um einen Ausdruck für das Potential V(r) zu finden: Für ein elektrisches Feld ist ein Skalarfeld durch folgende Gleichung definiert: E = φ( r ) Die Potentialenergie für elastische Streuung ist: V( r ) = eφ( r ) wobei φ( r ) die Poisson-Gleichung erfüllt. Das Minuszeichen ergibt sich aus der Elektronenladung. V( r ) = Potentialenergie φ( r ) = Potential [Joule/As = Volt] Aus der Elektrostatik wissen wir: E = 4πρ Einsetzen von E (s.o.) ergibt die Poisson-Gleichung: 2 φ( r ) = 4πρ( r ) 2 V( r ) = 4πeρ( r ) Zur Vereinfachung definieren wir folgende Funktion: ω( q ) = (2π) 3 2 V( r )e i q r d r Unsere ursprüngliche Amplitude: wird dann: f ( q ) = mze2 2π" ρ( r ) 2 r r e i q r d r d r f ( q ) = " 2 m 2πω( q ) ω( q ) ist die Fouriertransformierte von V( r ) Die inverse Fouriertransformierte ist: V( r ) = (2π) 3 2 ω( q )e i q r d q Einsetzen in die Poisson-Gleichung: mit: ergibt sich: 4πeρ(r ) = (2π) ω( q )e i q r d q 2 = = 2 x y z 2 4πeρ( r ) = (2π) 3 2 q 2 ω( q )e i q r d q Die Amplitude in der Born-Näherung: f ( q ) = 2me2 1 ρ( r )e i q r d r q 2 " 2 e Beachte: das Potential ist jetzt durch die Kerndichte ersetzt.

9 Als Normierung sollten wir benutzen: Modell: Beugung einer einfallenden ebenen Welle an einer 2-dim. Scheibe ρ( r )d r = 1 Definiere die Fouriertransformierte der Dichtefunktion: F( q) = ρ( r )e i q r d r Der elastische Wirkungsquerschnitt ergibt sich jetzt zu: dω = f ( q 2 ) 2 = 4m2 e 4 Z 2 F( q 2 ) 2 q 4 " 4 Rutherford Formfaktor Der Formfaktor beschreibt das Verhalten aufgrund der räumlichen Ausdehnung der Ladungsverteilung. Strahl (a) erzeugt eine Intensitätsverteilung am Detektor: dω = A a ( θ ) 2 A a(θ) steht für eine komplexe Streuamplitude. de Broglie: Die Amplitude für Strahl (b) lautet dann A b = A a e iδ Ein Teilchen repräsentiert auch eine Welle: λ = h p Die Amplitude für (b) wird auch durch A a(θ) beschrieben, allerdings unter Berücksichtigung einer Phasenverschiebung δ, gegeben durch den Wegunterschied zwischen (a) und (b): δ = 2(Δx)k = 2d sin( θ )p = qd 2 p=ħk (k = Wellenzahl und wir setzen ħ=1) Auf der Geraden (g) ist die Phasenverschiebung für alle Streuzentren gleich. Betrachte den Punkt O, wo der Wegunterschied bezogen auf (a) lautet: d sin θ d sin θ cosθ = d sin θ (1 cosθ) = 2d sin θ 2 = 2Δx Für einen beliebigen Punkt auf (g) ergibt sich der Beitrag zur Streuamplitude: da = ρ( r ) r 2 sinψ dβdψ dr e iqd A a (θ) Volumenelement auf (g) Die Kernladungsdichte ist über das Kernvolumen auf 1 normiert: Integration über das Kernvolumen: Daraus folgt: 2π π ρ( r )d 3 r = 1 A = A a (θ) ρ( r ) e iqd r 2 sinψ dβ dψ dr = A a (θ) ρ( r )e i q r d 3 r dω = A a(θ) 2 ρ( r )e i q r d 3 r dω = dω M F(q) 2 2 Der Formfaktor F(q) = ρ( r )e i q r d 3 r beschreibt den Einfluss der Kernausdehnung und ist die Fouriertransformierte der Ladungsverteilung. Punktförmiger Kern: ρ( r ) = 1 4π δ ( r ) F(q) 1 Für kleine Streuwinkel gilt nach der Normierung: θ 0 (q 0) F(0) = 1 Hier wird der Stoßparameter so groß, dass das weit am Kern vorbeifliegende e nur eine Punktladung sieht. Der Formfaktor weicht deutlich von 1 ab, wenn q r " 1, d.h. q " 1 r q 1 q 200 MeV/c a

10 Betrachtung für relativistische Teilchen: Ersetzen der Elektronenmasse durch die totale Energie: mc 2 E Aufgrund unserer bisherigen Nomenklatur müssen wir sicherstellen, dass q und p in fm -1 sind: m 2 q 4 4 = m 2 p sin 4 θ 2 m 2 c 4 p 4 4 c E2 4 p 4 4 c = E 2 4 E 2 (m 0 c 2 ) 2 ( ) 2 1 E 2 Elektronen-Ruhemasse wird vernachlässigt. Der Wirkungsquerschnitt für relativistische Energien wir dann: 2 dω = Ze2 1 F( q 2 ) 2 2E sin 4 θ 2 dω = dω Rutherford F( q 2 ) 2 Beachte: nur der kinematische Teil ist relativistisch betrachtet, es wurde keine relativistische Schrödingergleichung verwendet um die Bornsche Näherung anzugleichen. Der grosse Vorteil dieser Betrachtungsweise in der Bornschen Näherung ist, dass wir eine Faktorisierung des Wirkungsquerschnitts in einen Rutherfordteil und einen Formfaktorteil vorgenommen haben. Wenn wir jetzt noch den Spin der Strahlteilchen (e, S =1/2) berücksichtigen: = Ze2 dω Mott 2E 1 sin θ 1 β 2 sin θ Spin des Elektrons 1 + 2E M sin2 1 2 θ Rückstoss des Kerns Unterdrückung der Rückwärtsstreuung durch notwendigen Spin-Flip des e Mott entwickelte seine Gleichung aus der Diracgleichung. Für schwere Kerne M und β 1 wird der zweite Faktor zu: cos θ Für relativistische Elektronen gilt Helizitätserhaltung, d.h. eine Streuung unter 180 würde ein Spinflip notwendig werden. Hierbei müsste der Kern Drehimpuls aufnehmen, was nicht der elastischenstreuung vereinbar ist. Der cos-faktor sorgt dafür, dass der elastische Wirkungsquerschnitt unter 180 Null wird.