Eigenschaften stabiler Kerne
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- Joseph Ackermann
- vor 6 Jahren
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1 Eigenschaften stabiler Kerne 1897: das ersten Teilchen Die Geburtsstunde der Teilchenphysik Entdeckung des Elektrons Elektroden D+E : Elektrisches Feld Spulen: Magnetfeld 1900: Thomson entdeckte das Elektron als Teil des Atoms. Ein typisches Bild des Atom sah deshalb so aus: J.J. Thomson e - Kathodenstrahlexperimente (~ TV) Kathodenstrahlen* sind Teilchen mit spezifischem Ladungs-Massen-Verhältnis Positive geladene Materie *später 'Elektronen' genannt Atom (1905) Robert Brown (1827) beobachtet die Zitterbewegung von kleinen Russpartikeln in wässriger Lösung 1911 Albert Einstein (1905) erklärt die Zitterbewegung mit Hilfe der kinetischen Atomtheorie Ernest Rutherford (r) und Hans Geiger (l) in Manchester Francois Perrin (1907) bestätigt Einstein's Formel mittels präziser Messungen Die Existenz von Atomen als physikalische Realität war bewiesen.
2 Thomsons Atommodell Rutherfords Atommodell Grosse Streuwinkel unwahrscheinlich Grosse Streuwinkel endlich wahrscheinlich 1900: Thomson entdeckte das Elektron als Teil des Atoms. Ein typisches Bild des Atom Testen einer Theorie: Aufstellen einer Hypothese. Testen der Hypothese. Analyse der Testresultate. Positive geladene Materie 1911: Rutherford entdeckte den Atomkern Das neue Bild des Atoms Die Auflösung hängt von der Probengröße ab Die Physik kannte neben Teilchen Felder Hohlraumstrahlung Ein Hohlraum absorbiert die einfallende Strahlung völlig und sendet diese Energie als thermische Strahlung wieder aus: Hohlraumspektrum = f(ν,t) I(ν) ~ ν 2 <E> Pictures from: Emissionsspektrum durchschnittliche Energie der Oszillatoren (proportional zur Temperatur?) Ok für kleine Frequenzen (Jeans law)
3 Felder Felder 14 Dezember 1900 Ein Akt der Verzweiflung 1902 Der photoelektrische Effekt Die Oszillatoren (in der Wand des Hohlraums) können nur Energiepakete aussenden ε = h ν Kathodenstrahlen (= Elektronen) werden durch Einstrahlung von Licht auf Metalloberflächen erzeugt. Max Planck Höhere Frequenzen entsprechen grösseren Energiepaketen die bei niedrigen Temperaturen nicht wahrscheinlich sind Durchschnittsenergie der Oszillatoren hν I(ν) ν 2 hν kt e 1 Philipp von Lenard Klassische Erwartung: Da die Energie des Lichts proportional zum Quadrat der Amplitude ist, sollte die Energie der Elektronen der Intensität des Lichts proportional sein. Aber: Die Energie der Elektronen ist proportional der Frequenz des Lichts (Gradient = h ) h = neue fundamentale Konstante Die Energie der Elektronen zeigt nicht die geringste Abhängigkeit von der Lichtintensität Felder Mein einziger revolutionärer Beitrag zur Physik 17 März 1905 Licht wird quantenweise emittiert und absorbiert Emax = hν - W Rutherford-Streuung, Mott-Streuung und Formfaktoren Die Rutherfordsche Streuformel kann sowohl klassisch als auch quantenmechanisch abgeleitet werden. Ein schneller Weg zur Ableitung beruht auf der 1. Bornschen Näherung: Sowohl das einfallende als auch das gestreute Teilchen sind ebene Wellen. Ein Lichtquant gibt alle seine Energie an ein einzelnes Elektron ab (Erst im Jahr1917 durch Compton bewiesen) Ist dieser Ansatz überhaupt sinnvoll? Albert Einstein Photon 1913 J. J. Balmer (1885) analysiert das Emissionsspektrum von Wasserstoff Es brauchte noch weitere 10 Jahre bevor man anfing, die mysteriösen Regeln der atomaren Welt zu verstehen. Teilchen haben Welleneigenschaften Balmer s empirische Formel: λ = h p Niels Bohr besucht Rutherford im Jahr 1913 Anwendung der Planck schen Quantenhypothese im Atom Wenn der Drehimpuls quantisiert ist: dann Elektronen strahlen nur bei Übergängen Photonen-Energie = Energiedifferenz zwischen n-niveaus Louis de Broglie (1924) *Diese Hypothese wurde 1927 durch die Beobachtung von Elektronenbeugung bestätigt (Davisson/Germer)
4 Heisenberg (1925) Unschärferelation Wenn Teilchen auch Welleneigenschaften haben, dann können Ort und Impuls nicht gleichzeitig präzise messbar sein. Ort-Impuls-Unschärfe: Analogie: Ein reiner Ton der Frequenz f bekommt eine Unschärfe Δf wenn er nur über das Zeitintervall Δt erklingt (Fourier-Transformation): Δf Δt ~ 1 h Δf Δt = ΔE Δt ~ h Schrödinger 1926 SCHRÖDINGER: WELLENGLEICHUNG WELLENVERHALTEN VON TEILCHEN -> BESCHREIBUNG DURCH WELLENFUNKTION ψ Interferenz (mathematisch) am einfachsten durch komplexe Funktionen beschrieben (Phase) Wie hat Schrödinger seine Gleichung erraten? Energie-Zeit-Unschärfe: Von der klassichen zur Quanten- Mechanik Energie E eines Teilchens mit Masse m, Impuls p, in einem Potential V(r) Übersetzung von Teilchen- in Wellensprache: Eine Welle wird beschrieben durch eine Funktion im Raum (x) mit Kreisfrequenz und Wellenvektor Gesamtenergie = kinetische + potentielle Energie De Broglie Impuls einer Teilchenwelle : Frage die Wellenfunktion nach ihrem Impuls: Energie einer Teilchenwelle :
5 Genauso: die Energie... Schrödinger Gleichung: Elektronen bilden stehende Wellen 1928 Quantenphysik erklärt die Existenz von Struktur in der Natur Chemische Bindungen reflektieren die Struktur der Orbitale Interpretation (Born, 1927): ψ = Wahrscheinlichkeitsamplitude ψ 2 =Wahrscheinlichkeit Linus Pauling (1928) 1928: Atome, Moleküle, und der Grund für makroskopische Formen waren verstanden. Stimmt sehr gut wenn... v << c Eigenschaften von Kernen Kernradius und -dichte: Der Kernradius ist keine wohl definierte Eigenschaft aufgrund: Die Bedeutung der Kerndichteverteilung bedarf ebenfalls der Definition: verschiedener Formen des Kerns eines diffusen Kernrandes Elektromagnetische Proben (z.b. Elektronen) ergeben die Ladungsverteilung. Unterschiedliche Definitionen: Radius bei halber Kerndichte R1/2 : Mittlerer Radius < r > : Mittlerer quadratischer Radius < r 2 > : ρ(r 1/2 ) = ρ(0) 2 r = ρ(r)r d r r 2 = ρ(r)r 2 d r Hadronische Proben (z.b. Protonen, Pionen) ergeben die Materieverteilung. Es gilt: ρ(r)d r = 1
6 Wirkungsquerschnitt Senkrechtes Auftreffen eines dünnen Teilchenstrahls auf ein Der Wirkungsquerschnitt beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen stattfindet. Fläche F Dicke d einfliegende Teilchen ( beam ) Zielteilchen ( target ) Dieser hängt vom Teilchenstrom ab, von der Anzahl der Streuzentren und von der Stärke der jeweiligen Reaktion (Reaktionswirkungsquerschnitt) ab. Die Anzahl der Streuzentren hängt von der Anzahl der teilchen/ Volumen, und von der Schichtdicke ab. Strahl: Geschwindigkeit v i -Querschnitt F [cm 2 ] -Geschwindigkeit vi [cm/s] -Anzahldichte n [cm -3 ] -Dicke d [cm] -Dichte ρ[g/cm 3 ] -Atommasse MA [u] -NA=Avogadrozahl kerne pro cm -3 ( Einheitsvolumen): Dichte ρ n = r N A M A kerne im Strahl: N = n F d σ tot = σtot ist ein Mass für Wahrscheinlichkeit einer (Streu-)Reaktion Zahl der Reaktionen pro Sekunde pro Streuzentrum (kern) Zahl einfallender Teilchen pro Sekunde pro cm 2 (Fluss-/Stromdichte) Einheit des Wirkungsquerschnitts σtot: 1 barn = 1 b = cm 2 [barn = Scheunentor Größe des Urankerns] 1 mb = cm 2, Teilchenphysik: 1 pb = cm 2, 1 fb = cm 2 σtot stellt eine effektive Fläche für Streuprozesse/Wechselwirkungen geometrischer Streuquerschnitt: σgeom= π (R 2 + r 2 ) Projektil Quantenmechanisch ist die Vorstellung von solchen Flächen nicht ganz korrekt, aber wir können damit in den meisten Fällen arbeiten. Teilchenstrahl: Flussdichte oder Stromdichte [cm -2 s -1 ] J = nstrahl vi Intensität / Fluss I [s -1 ] I = J F = F nstrahl vi Totaler Wirkungsquerschnitt: Rate Wr an Streuereignissen [s -1 ] ~ totalem Wirkungsquerschnitt σtot Wr = J N σtot = I n d σtot [s -1 ] = [cm -2 s -1 ] σtot [s -1 ] = [s -1 cm -3 cm] σtot σtot [cm 2 ] der Wirkungsquerschnitt hat die Dimension einer Fläche 4π-Detektoren, die das vollständig umschliessen, messen σtot Energieabhängigkeit von σtot kann z.b. zum Nachweis neuer Teilchen (Resonanzen) führen, hier bei Reaktion: γ + p π 0 + p γ-energie in [MeV]
7 Rutherford-Streuung: tan Θ 2 = 1 z Z 1 4πε 0 E kin b Der Wirkungsquerschnitt gibt an, dass ein Prozess stattgefunden hat. Wenn man wissen will, wie oft ein Prozess einen bestimmten Ausgang hat, so braucht man den differentiellen Wirkungsquerschnitt. Experimente messen meistens nur den differentiellen Wirkungsquerschnitt in einem Teil des Raums der vom Detektor abgedeckt wird. b = Stoßparameter = asymptotischer Abstand des α b 0 Θ π b Θ 0 Der Raumwinkel, den ein vom Kugelmittelpunkt ausgehender Kegel im Abstand r = 1m auf der Kugeloberfläche 1m 2 ausschneidet ist ein Steradian (sr). Es ist dann 1 sr = [S]/[r2] = 1 m 2 /1 m 2 = 1. [θ, θ-dθ ] dσ = 2πb db dσ = dσ dσ dω = 2π sinθdθ mit dω = 2π sinθdθ dω dω dσ b (θ ) = ( ) dω sinθ db dθ zunehmender θ bei abnehmendem b Differentielle Wirkungsquerschnitt: f ( q) heisst Streuamplitude. dσ dω = f ( q) 2 q = pi p f ist der Impulsübertrag. Ein paralleler Teilchenstrahl fliegt in einem dünnen durch einen Kreisring mit der Fläche dσ = 2π b db (mit Streuparametern [b, b+db] ) werde durch elastische Streuprozesse in den Raumwinkel dω gestreut (mit Streuwinkeln [θ, θ-dθ ] ) wichtig: keine Mehrfachstreuungen, keine Abnahme des Flusses im Der Gesamtwirkungsquerschnitt oder totale Wirkungsquerschnitt ergibt sich aus dem Experiment durch Integration über den totalen Raumwinkel: σ = dσ dω dω θ q = q = p 1 p f = 2 p sinθ / 2 Das Coulombpotential für eine Streuung an punktförmigen Teilchen ist: und q 2 = p i 2 + p f 2 2 p i p f cosθ V(r) = Z 1 eze r 1 wird vernachlässigt 4πε Die Streuamplitude ergibt sich zu: q r f ( q ) = m V( r )e i h d r 2π" 2 m ist die reduzierte Masse: m a m b m a + m b Das Integral lässt sich jetzt lösen: f ( q 2 ) = 2mZ 1Ze 2 q 2 Der differentielle Wirkungsquerschnitt wird: Wenn das Streupotential kugelsymmetrisch ist, kann man die Integration über die Winkel durchführen: f ( q 2 ) = 2m dr r sin( qr h q h ) V(r) f ist richtungsunabhängig 0 dσ dω Rutherford = f ( q 2 ) 2 = 4m2 e 4 Z 2 q 4 ~ 1 q Photonpropagator 1 2 q 2 2
8 Der Kern hat eine räumliche Ausdehnung, die berücksichtigt werden muss: r ρ( r V( r ) = Ze 2 ρ( r ) r r d r Einfügen in die Bornsche Näherung ergibt: f ( q ) = mze2 2π" ρ( r ) 2 r r e i q r d r d r r ) = Ladungsverteilung Das Integral ist etwas mühsam zu bestimmen. Wir benutzen Poissons Gleichung um einen Ausdruck für das Potential V(r) zu finden: Für ein elektrisches Feld ist ein Skalarfeld durch folgende Gleichung definiert: E = φ( r ) Die Potentialenergie für elastische Streuung ist: V( r ) = eφ( r ) wobei φ( r ) die Poisson-Gleichung erfüllt. Das Minuszeichen ergibt sich aus der Elektronenladung. V( r ) = Potentialenergie φ( r ) = Potential [Joule/As = Volt] Aus der Elektrostatik wissen wir: E = 4πρ Einsetzen von E (s.o.) ergibt die Poisson-Gleichung: 2 φ( r ) = 4πρ( r ) 2 V( r ) = 4πeρ( r ) Unsere ursprüngliche Amplitude: wird dann: f ( q ) = mze2 2π" ρ( r ) 2 r r e i q r d r d r f ( q ) = " 2 m 2πω( q ) ω( q ) ist die Fouriertransformierte von V( r ) Zur Vereinfachung definieren wir folgende Funktion: ω( q ) = (2π) 3 2 V( r )e i q r d r Die inverse Fouriertransformierte ist: V( r ) = (2π) 3 2 ω( q )e i q r d q Einsetzen in die Poisson-Gleichung: mit: ergibt sich: 4πeρ(r ) = (2π) ω( q )e i q r d q 2 = = 2 x y z 2 4πeρ( r ) = (2π) 3 2 q 2 ω( q )e i q r d q Die Amplitude in der Born-Näherung: f ( q ) = 2me2 1 q 2 " 2 e ρ( r )e i q r d r Beachte: das Potential ist jetzt durch die Kerndichte ersetzt. Als Normierung sollten wir benutzen: ρ( r )d r = 1 Definiere die Fouriertransformierte der Dichtefunktion: F( q) = ρ( r )e i q r d r Der elastische Wirkungsquerschnitt ergibt sich jetzt zu: dσ dω = f ( q 2 ) 2 = 4m2 e 4 Z 2 F( q 2 ) 2 q 4 " 4 Rutherford Formfaktor Der Formfaktor beschreibt das Verhalten aufgrund der räumlichen Ausdehnung der Ladungsverteilung.
9 ..... Schwenkbares Spektrometer für die Messung von dσ dω (θ) gestreute e Proton Magnetic Form Factor (E ) Neutron Magnetic Form Factor (E ) Neutron Magnetic Form Factor d BNL BigBen Hadron Arm HCalo 17 m 48D48 Beam BigBite GasCher Veto Electron Arm GEM ECalo Proton form factors ratio, GEp(5): E Proton Form Factor Ratio (E ) Proton Arm GEM INFN GEM BNL GEM HCalo BigBen 48D48 Beam Neutron Form Factor Ratio (E ) Beam 3 He 17 m BNL BigBen 48D48 Hadron Arm HCalo Electron Arm Al filter GEM Lead glass Calorimeter BigBite Electron Arm GEM GasCher ECalo Veto
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