2 Elektrotechnische Grundlagen

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1 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite 1 Inhalt: 2 Elektrotechnische Grundlaen 2 Elektrotechnische Grundlaen Komplexe Darstellun sinusförmier Größen [1] Leistun [1] Mechanische Leistun Elektrische Leistun Übun "Leistun" Drehstromsysteme [1] Das symmetrische Dreiphasensystem Einphasie Ersatzanordnun: Symmetrische Komponenten... 21

2 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite Komplexe Darstellun sinusförmier Größen [1] Geeben ist eine sich sinusförmi verändernde Größe (Bild 2.1) t ( ) = ˆ cos( ωt + ϕ ) (2.1) mit der Amplitude!, und der zeitlich konstanten Kreisfrequenz ω, dem Phasenwinkel ϕ, der Periodendauer 2π T = (2.2) ω und der Frequenz f = 1. (2.3) T Aus der allemeinen Definition des Effektivwertes (RMS: root mean square) einer beliebi veränderlichen, aber periodischen Funktion Bild 2.1:Definition einer sinusförmien Größe T 1 G = G ( ) 2 eff = () t dt T (2.4) 0

3 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite 3 eribt sich im Fall einer sinusförmien periodischen Funktion (und nur dann!!) der Effektivwert und Gleichun (2.1) eht über in ˆ G = (2.5) 2 t () = G 2cos( ωt + ϕ ). (2.6) Mit Hilfe der Eulerschen Beziehun: exp jx = cos x + j sin x kann (2.6) erweitert werden: { ω ϕ } t ( ) = Re{ } = Re G 2 exp j[ t+ ] (2.7) In der komplexen Funktion G 2exp j[ ωt + ϕ ] = G 2 expjϕ expjωt (2.8) treten die drei Faktoren Effektivwert G Phasenfaktor exp j ϕ Frequenzfaktor exp jω t leichberechtit auf. Zur Vereinfachun der Darstellun wir häufi ein komplexer Effektivwert eineführt: G = Gexp jϕ. (2.9)

4 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite 4 Sind sämtliche veränderlichen Größen in einem System Sinusrößen leicher Frequenz, so kann das Zusammenwirken dieser Größen untereinander mit dem Effektivwert und dem Phasenfaktor beschrieben werden. Der Frequenzfaktor kann in allen Gleichunen "herausekürzt" werden. Beispiel: Spannunsleichun einer Spule: Allemeine Darstellun: d() it ut () = Rit () + L dt Sinusförmie Größen it () = I 2cos( ωt) : u() t = RI 2cos( ωt) + LI d 2 cos( ωt) = RI dt 2 cos( ωt) ωli 2 s in( ωt) Komplexe Darstellun: d U 2 exp jϕu exp jωt = RI 2 exp jϕi exp jωt + LI 2 exp jϕi exp[ jωt] dt Uexp jωt = RIexp jωt + LIjωexp[ jωt] U = RI + jωli Die komplexe Wechselstromrechnun stellt eine anz wesentliche Vereinfachun in der mathematischen Behandlun sinusförmier Größen dar. Sie darf stren enommen ausschließlich in Systemen mit nur einer Frequenz anewendet werden. In nichtlinearen Systemen (Eisensättiun) oder Systemen mit mehreren Frequenzen (Phasenanschnittsteuerunen, Frequenzumrichter, Netzspannun(!),...) kann die komplexe Wechselstromrechnun nicht oder nur bedint einesetzt werden.

5 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite Leistun [1] Mechanische Leistun Der Auenblickswert p mech () t der mechanischen Leistun lässt sich rundsätzlich aus der Kraft ft, () bzw. dem Drehmoment mt () und der mechanischen Geschwindikeit vt, () bzw. Winkeleschwindikeit ω mech( t) berechnen: p () t = f()() t v t p = m() t ω () t. (2.10) mech mech mech Sind Kraft/Drehmoment und Geschwindikeit/Drehzahl zeitlich konstant (stationärer Zustand), so eribt sich hieraus Pmech = Fv Pmech = Mωmech. (2.11) Elektrische Leistun Die Ermittlun der elektrischen Leistun in beliebien Systemen erfolt im allemeinen Fall durch die Multiplikation der Auenblickswerte von Spannun u(t) und Strom i(t): pt () = utit ()() (2.12) an den zuführenden Leitunen. Sind z. B. in Drehstromsystemen mehrere Zuleitunen vorhanden, so ist über alle Zuleitunen eine Summe zu bilden. Die Wirkleistun P ist als Mittelwert der Auenblicksleistun definiert: 1 P = p() t dt T. (2.13) T Eine Wirkleistun P kann also nur bei einem periodischen Verlauf der Auenblicksleistun pt () aneeben werden (statischer, bzw. stationärer Zustand, Bild 2.4).

6 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite Fachhochschule Düsseldorf, FB 3: Labor für Elektrische Maschinen und Antriebe Prof. Dr. Raimund Gottkehaskamp DFMZS, Berechnun vom Uhr26 Drehmoment in Nm Drehzahl in U/min Bild 2.2: Drehmoment als Funktion der Drehzahl einer selbstanlaufenden Synchronmaschine während des Hochlaufs mit zweifachem Rotorträheitsmoment und 70Nm Geenmoment

7 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite 7 Bei der Beschreibun dynamischer Voräne (z. B. Hochlauf, Bild 2.3) ist der Beriff der Wirkleistun unsinni. p DFMZS, Berechnun vom Uhr Aufenommene Leistun P1 in W Zeit in s Bild 2.3: Elektrische Leistun an den Klemmen einer selbstanlaufenden Synchronmaschine während des Hochlaufs mit zweifachem Rotorträheitsmoment und 70Nm Geenmoment (verl. Bild 2.2).

8 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite 8 Aufenommene Leistun P1 in W Fachhochschule Düsseldorf, FB 3: Labor für Elektrische Maschinen und Antriebe Prof. Dr. Raimund Gottkehaskamp DFMZS, Berechnun vom Uhr Zeit in s Bild 2.4: Elektrische Leistun an den Klemmen einer selbstanlaufenden Synchronmaschine im stationären Zustand (konstante Drehzahl) und 70Nm Geenmoment. Die Wirkleistun P beträt 11,28kW.

9 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite 9 Im einfachen Fall einer sinusförmier Spannun u = 2Ucos( ωt + ϕ ) u und eines sinusförmien Stromes i = 2cos( I ωt + ϕ ) erhält man für den Auenblickswert der Leistun: i Bild 2.5: Zeitlicher Verlauf der Leistun bei sinusförmier Spannun und sinusförmien Strom. p = ui = UIcos( ϕu ϕi) + UIcos(2 ωt + ϕu + ϕi) "#$ ϕ mit dem Mittelwert (Wirkleistun) und der Phasenverschiebun P = UIcosϕ (2.14) ϕ = ϕ ϕ. (2.15) u i

10 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite 10 In der komplexen Wechselstromrechnun lässt sich die Wirkleistun nach (2.14) aus der komplexen Spannun U = Uexp jϕ u und dem komplexen Strom I = Iexp jϕ i mit Hilfe der soenannten konjuiert komplexen Multiplikation berechnen: { } { ϕu ϕi } { ϕ ϕ} P = Re UI = Re UIexp j[ ] = Re UIcos + juisin Die Wirkleistun eribt sich aus dem Realteil wie (2.14): P = UIcosϕ. Formal können die Blindleistun und die Scheinleistun eineführt werden und es eribt sich Q = UIsinϕ (2.16) S = Sexp jϕ = UIexp jϕ (2.17) S = P + jq. (2.18) Im Geensatz zu anderen Größen in der Wechselstromrechnun stellt die Wirkleistun eine zeitunabhänie Größe dar. Aus ihr lässt sich nicht der Auenblickswert zurückrechnen! Scheinleistun und Blindleistun sind mathematische Hilfsrößen und haben physikalisch keine Bedeutun.

11 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite Übun "Leistun" Ein kleiner Wechselstromtransformator wird aus dem Netz über eine Zuleitun mit elektrischer Enerie versort. Für Netzspannun und Netzstrom wurden folende zeitliche Verläufe emessen: Spannun in V ,5 1 0,5 Strom 0 Spannun -0,5-1 -1, ,005 0,01 0,015 0,02 Zeit t in s Strom in A Eine Fourieranalyse erab für die Netzspannun 1 ut ( ) = 325V cos 314 t s und für den Netzstrom: 1 it ( ) = 1,5A cos 314 t 0,26 s. 1 0,15Acos 1570 t s Die Zuleitun hat einen ohmschen Widerstand von 1Ω. a) Wie roß ist die Netzfrequenz, welche Ordnunszahl hat die Oberschwinun im Stromsinal? b) Geben Sie die Effektivwerte von Netzspannun und Netzstrom an. c) Berechnen Sie die aus dem Netz entnommene Wirkleistun. d) Wie roß ist die Verlustleistun auf der Zuleitun? e) Welche Wirkleistun nimmt der Transformator auf? f) Berechnen Sie die komplexen Effektivwerte der Grundschwinunen und stelle Sie diese in einem Zeierdiaramm dar.

12 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite Drehstromsysteme [1] Das symmetrische Dreiphasensystem Ein symmetrisches Dreiphasensystem wird aus drei sinusförmien Wechselstromrößen ebildet, welche leiche Frequenz, leiche Amplitude und eine Phasenverschiebun von 120 (2π/3) aufweisen. Eine -vereinbarunsemäß- positive Phasenfole eribt sich mit: Bild 2.6: Zeitliche Verläufe sinusförmier Größen im symmetrischen Dreiphasensystem. = ˆ cos( ωt + ϕ ), a = ˆ cos( ωt + ϕ 2π 3), b = ˆ cos( ωt + ϕ 4π 3), c (2.19) Bild 2.7: Symmetrisches Dreiphasensystem in komplexer Darstellun. bzw. in komplexer Darstellun: G = Gexp jϕ, a G = Gexp j[ ϕ 2π 3], b G = Gexp j[ ϕ 4π 3]. c (2.20)

13 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite 13 Bild 2.8: Entwicklun der Sternschaltun. Die Entwicklun der Sternschaltun kann in einem symmetrischen Dreiphasensystem in drei Schritten erfolen (verl. Bild 2.8): a) Ausansanordnun b) Verschaltun mit Nulleiter c) Wefall des Nulleiters ween Ia + Ib + Ic = 0 (2.21)

14 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite 14 Bild 2.9: Entwicklun der Dreieckschaltun. Entwicklun der Dreieckschaltun (Bild 2.9): a) Ausansanordnun b) Verschaltun der Zuleitun einer Phase c) Verschaltun aller Phasen mölich ween Ua + Ub + Uc = 0 (2.22)

15 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite 15 Übliche Bezeichnunen und Indizes: a, b, c; U, V, W : Sträne L1, L2, L3 : äußere Zuleitunen, Außenleiter N : Nullleiter U a, U b, U c, U Str : Stranspannunen I a, I b, I c, I Str : Stranströme U L1 U L2, U L3, U L : Stern- (Leiter-Erde-) Spannunen U L1L2, U L2L3, U L3L1, U LL : Leiter-Leiter-Spannunen I L1, I L2, I L3, I L : Außenleiterströme Bemessunsspannunen (alt: Nennspannunen) von Dreiphasensystemen bzw. den zuehörien Betriebsmitteln werden rundsätzlich als Leiter-Leiter-Spannunen aneeben und im Allemeinen mit U n bezeichnet.

16 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite 16 Bild 2.10: Spannunen und Ströme einer Drehstromleitun. In einem symmetrischen Dreiphasensystem ist der Betra der Außenleiterspannun um den Faktor 3 rößer als die Leiter-Erd-Spannun: U = 2U cos30 = 3U (2.23) LL L L

17 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite 17 Bild 2.11: Spannunen und Ströme in einer Sternschaltun Bei der Sternschaltun elten folende Zusammenhäne zwischen Außenleiter und Stranrößen: I Str = I L, 1 UStr = ULL = UL. 3 (2.24)

18 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite 18 Bild 2.12: Spannunen und Ströme in einer Dreieckschaltun. Für die Dreieckschaltun ilt UStr = ULL = 3 UL, 1 IStr = IL. 3 (2.25)

19 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite 19 Für den Auenblickswert der Leistun in einem Drehstromsystem ilt allemein: p = u i + u i + u i = u i + u i + u i = 3 u i. (2.26) L1 L1 L2 L2 L3 L3 a a b b c c L L In einem symmetrischen Dreiphasensystem kann mit (2.14) die Wirkleistun berechnet werden über P = 3U I cosϕ = 3U I cosϕ = 3U I cosϕ = 3U I cosϕ. (2.27) LL StrStr LLL nn Entsprechend den Gleichunen (2.16) bis (2.18) lässt sich auch hier formell die Scheinleistun S = 3U I = 3U I = 3U I = 3U I (2.28) LL StrStr LLL nn und die Blindleistun des Dreiphasensystems aneben: Q = 3U I sinϕ = 3U I sinϕ = 3U I sinϕ = 3U I sin ϕ. (2.29) LL StrStr LLL nn

20 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite Einphasie Ersatzanordnun: In einem symmetrischen Dreiphasensystem enüt es, nur einen Leiter als Bezusleiter zu betrachten und den zuehörien Stran als Bezusstran auszuwählen. Ist die betrachtete Anordnun in Stern eschaltet, so eribt sich z. B. die Verhältnisse in Bild Ween der vollkommenen Symmetrie kann auf die Indizierun von Spannun und Strom verzichtet werden. Bild 2.13: Einphasie Ersatzanordnun für die Sternschaltun. Für die Sternschaltun eribt sich: für die Dreieckschaltun 1 U = Ua = ULL = U 3 I = I = I, a L1 L1 U = Ua = ULL = 3 UL1, 1 I = Ia = IL1. 3, (2.30) (2.31)

21 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite Symmetrische Komponenten Beliebie unsymmetrische Dreiphasensysteme sind in direkter Form mathematisch schwer zu beschreiben. Zur Vereinfachun der Berechnunen überführt man solche Systeme mit Hilfe einer Transformation in seine soenannten symmetrischen Komponenten. In einem beliebien unsymmetrischen System mit drei sinusförmien Größen Ga, Gb, G c erfolt dies über die Transformationsbeziehun G Ga 1 2 Gm = 1 a a Gb, (2.32) 3 2 G 1 a a Gc mit a = exp j[2π 3], (2.33) 2 a = exp j[4π 3] = exp j[ 2π 3]. Diese symmetrischen Komponenten bestehen aus einem Nullsystem G 0 : System mit drei nach Betra und Phase leichen Komponenten G = G = G = G ), ( 0a 0b 0c 0 Mitsystem G m: Symmetrisches Dreiphasensystem mit positiver Phasenfole ( Gm,a = Gm, 2 G = a G, Gm,c = agm ), m,b m Geensystem G,b = ag, G,c G : Symmetrisches Dreiphasensystem mit neativer Phasenfole ( G,a G 2 = a G ). =,

22 2. Elektrotechnische Grundlaen Seite 22 Nach Transformation in die symmetrischen Komponenten können alle Berechnunen mit den bekannten einphasien Ersatzanordnunen durcheführt werden. Die Rücktransformation erfolt dann über die inverse Transformationsmatrix G a G0 2 Gb = 1 a a Gm. (2.34) 2 Gc 1 a a G Bild 2.14: Unsymmetrisches Dreiphasensystem (Ströme in den Stränen U,V,W) und die zuehörien symmetrischen Komponenten. Das Vorhandensein eines Nullsystems verursacht in einer Dreieckschaltun einen Kreisstrom. Dadurch ereben sich eenüber der Sternschaltun deutlich erhöhte Verluste. Eine Sternschaltun ist rundsätzlich einer Dreieckschaltun vorzuziehen, insbesondere bei Verwendun leistunselektronischer Bauteile.