Versuch 9a. Trägheitsmoment. Das Newtonsche Grundgesetz der Mechanik sagt aus, dass eine angreifende Kraft F eine

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1 Vesuch 9a ägheitsmoment 1. Gundlagen Das Newtonsche Gundgesetz de Mechanik sagt aus, dass eine angeifende Kaft F eine Impulsändeung bewikt: / d F = dp = ( m v). Bei tanslatoische Bewegung in x-richtung egibt sich bei zeitlich konstante Masse m fü den Betag F de Kaft die bekannte Fom: dx F=m = m && x =m a Gundgesetz de Mechanik fü anslation (1) Wie liegen nun die Vehältnisse, wenn ein Massenpunkt in dehende Bewegung vesetzt wid? Duch die Zentipetalkaft in Richtung des Dehmittelpunkts wid de Massenpunkt auf eine Keisbahn gezwungen, so dass die Richtung de Bahngeschwindigkeit v stets senkecht auf dem Otsvekto steht. Betachtet wid im Folgenden jedoch nu de Betag de Bahngeschwindigkeit. Ein kleines Bogenstück dx auf de Bahn kann näheungsweise als Geade betachtet weden (Abb. 1). Die Nomalen im Endpunkt von dx schneiden sich im Punkt O, de das Dehzentum bildet. Die beiden Nomalen haben eine Länge und schließen den Winkel dϕ ein. Aus Abb. 1 kann folgende Beziehung abgeleitet weden: dx = dϕ () Abb. 1 Bei eine Keisbewegung ist die Göße konstant und die Vaiablen x und ϕ sind zeitabhängig. Die Vaiable t wid eingefüht duch Bildung de zeitlichen Ableitung von Gl. () Es egibt sich Gl. (3) dx dϕ = (3) 1

2 Nochmalige Diffeentiation füht zu Gl. (4) dx && x = = ϕ&& (4) Zu Ezeugung eine Dehbewegung ist ein Dehmoment M efodelich, das sich duch vektoielle Multiplikation de Kaft F aus Gl. (1) mit dem Hebelam bilden lässt. Dieses angeifende Dehmoment bewikt eine Ändeung des Dehimpulses L : d F = M = L Ist F die zu senkechte Komponente von F so gilt fü den Betag: M= F= m dx dϕ = m (5) Gleichung (5) stellt die de Gleichung (1) entspechende Bewegungsgleichung eines Massenpunktes bei de Rotationsbewegung da. Wenn es sich nun nicht um einen einzelnen Massenpunkt, sonden um einen staen Köpe handelt, de sich aus eine Summe von Massenpunkten m 1,m... mit den Abständen 1,... von de Dehachse zusammensetzt, dann müssen die einzelnen Momente addiet weden (Gl. (6)) d ϕ d ϕ M = m1 1 + m +... (6) Duch Summieung de Gliede de echten Seite folgt Gl. (7) i i d ϕ M = mi i (7) Θ= m i i (8) d ϕ De Ausduck in (7) ist gleich de Winkelbeschleunigung ω=ϕ & && und in einem staen Köpe fü alle Massenpunkte mi gleich. Fü denfaktoθ nach Gl. (8) gebaucht man den Ausduck ägheitsmoment, weil e chaakteistisch ist fü denägheitswidestand, den ein Köpe eine Dehbewegung entgegensetzt. Betachtet man statt de Massenpunkte m i die Massenelemente dm, so egibt sich fü dasägheitsmoment die infinitesimale Scheibweise nach Gl. (9) dm (9) Θ= Mit dem duch die Gl. 8 bzw. 9 definieten ägheitsmoment lautet Gl. 7 d ϕ M =Θ =Θ ϕ&& Gundgesetz de Mechanik fü Rotation (10) Bei de Dehbewegung ist de Betag des Dehmoments gleich dem Podukt aus ägheitsmoment und Winkelbeschleunigung.

3 Duch Vegleich mit Gl. (1) fü die tanslatoische Bewegung zeigt sich, dass an Stelle de Kaft F das Dehmoment M, an Stelle de Masse m das ägheitsmoment Θ und an Stelle de Lineabeschleunigung a die Winkelbeschleunigung ϕ& & geteten ist. Im voliegenden Fall ist nun die Aufgabe gestellt, das ägheitsmoment eine otieenden Keisscheibe zu bestimmen, deen Rotationsachse duch den Schwepunkt geht. Das Dehmoment wid nach Gl. (11) ezeugt duch eine Gewichtskaft G, die am Hebelam R senkecht angeift; es ist zeitlich konstant (s. Abb. 3) M=G R=m g R (11) Dabei ist unte m die Masse eines Gewichtssteines mit Gewichtskaft G zu vestehen. Duch zweimalige Integation von Gl. (10) egibt sich Gl. (1) 1 M t C 1 t C = Θ ϕ + + (1) Füht man als Anfangsbedingung ein, dass zu Zeit t = 0 die Winkelzählung begonnen wude ϕ(0)=0 und die Geschwindigkeit Null wa ϕ& (0)=0, so weden die beiden Integationskonstanten C 1 und C gleich Null und wi ehalten als Bewegungsgleichung 1M Θ M t = Θ ϕ ode ϕ= t (13) Bei konstantem Dehmoment ist die Dehbeschleunigung ebenfalls konstant und de Dehwinkel ist dem Quadat de Zeit popotional (Analogie: feie Fall) Gleichung 13 kann nach dem ägheitsmoment aufgelöst weden. ϕ ist dabei de in de Zeit t duchlaufene Winkel, de zu Länge l des abgewickelten Fadens popotional ist ( ϕ = l R) Mt mgr t Θ= = ϕ l (14) Diese Beziehung bildet die Gundlage fü eine expeimentelle Bestimmung des ägheitsmomentes. 3

4 . Beechnung des ägheitsmomentes eine Keisscheibe Abb. De äußee Radius de Keisscheibe sei R a, de innee R i,diedickehund ρ diedichtedes Mateials. Zu Beechnung des ägheitsmomentes nach Gl. 9 wid nach Abb. ein Keising de Höhe h mit dem Radius und de adialen Ausdehnung d als Massenelement dm betachtet: dm = ρ dv = ρ h d ϕ d = ρ h π d. Diese Ausduck wid in Gl. 9 eingesetzt. ϕ= 0 π Die Integation hat übe die ganze Keisscheibe, d.h. von = R i bis = R a zu efolgen. R a π 1 Θ= π ρ h d = ρ h R R =π ρ h R R R + R R i ( a i ) ( a i ) ( a i ) (15) Die Gesamtmasse de Keisscheibe betägt Damit kann Gl. 15 geschieben weden ( a i ) m=π ρ h R R (16) m Θ= ( R a + R i ) (17) 4

5 Abb. 3 De Vesuchsköpe (Abb: 3) setzt sich aus 3 eilen zusammen, von denen jede einzelne als Keisscheibe aufgefasst weden kann: I. Messinging: R a = 0 cm; R i =18cm; m=10,1kg II. Messingnabe. R a =,5 cm;r i = 1,4 cm; m = 0,85 kg III. Aluminiumscheibe: R a = 0 cm; R i = 1,4 cm; m = 1,4 kg Mit diesen Angaben kann das Massentägheitsmoment des Vesuchsköpes ausgeechnet weden. 3. Vesuchsanodnung De Messinging I ist mit eine Aluminiumscheibe III an de Nabe II befestigt. Diese Nabe ist übe Kugellage mit eine staen, an de Wand befestigten Achse vebunden (Abb. 3). Um die Nabe ist ein Faden gewickelt, an dem ein elle (Masse m ) zu Aufnahme de Gewichtssteine (Masse m) angebacht ist. Damit wid auf den Vesuchsköpe ein Dehmoment ausgeübt: R = Radius de Nabe =,5 cm ( ) m =Massedeselles=10g m = Masse de Gewichtssteine g = Edbeschleunigung = 9,81 m/s M = m + m g R (18) Duch diese Vesuchsanodnung wid die Dehbewegung des Vesuchsköpes in eine lineae Bewegung des elles mit den Gewichten umgewandelt. Zwischen dem Dehwinkel ϕ und devomellezuückgelegten Stecke x besteht die Beziehung 5

6 x=ϕ R (19) Wenn zu Beginn de Zeitzählung x = 0 ist und nach de Zeit t de elle die Stecke l zuückgelegt hat, kann Gl. 14 geschieben weden: Θ= + = + l g R ( m m ) t A ( m m ) t (0) Die Zeitmessung efolgt mit Hilfe eine elektischen Stoppuh. Zu Beginn des Vesuches wid die Untekante des elles in die Höhe des Skalenanfangs eingestellt. Duch einen Schalte wid die Bemse gelöst und gleichzeitig die Uh in Bewegung gesetzt. Am unteen Ende befindet sich ein Kippschalte, de beim Aufteffen des elles den Stom untebicht, woauf die Uh zum Stillstand kommt. Vo Begin eines neuen Vesuches weden die Zeige de Uh in die Nullstellung gebacht, indem ein an de linken Seite befindliche Hebel vosichtig heuntegedückt wid. 4. Vesuchsduchfühung Es weden veschiedene Massen zwischen m = 100 g und m = 400 g aufgelegt und die zugehöige Zeit wid gemessen. Jede Messung ist 3 bis 5 mal auszufühen, um die Genauigkeit de Zeitmessung zu kontollieen. Aus den Messweten eines jeden Vesuches ist de in Gl. 0 auftetende Fakto (m +m) t zu beechnen und in Abhängigkeit von m aufzutagen. Nach de (veeinfachten) Ableitung sollte diese Fakto konstant, d.h. unabhängig von m sein. Wenn die Messwete abgesehen von unsystematischen Steuungen einen systematischen Gang ekennen lassen, muß auf das Vohandensein systematische Fehle geschlossen weden (siehe Fehleechnung). Aus den Messweten ist de Mittelwet zu bilden und mit dem beechneten Wet des ägheitsmomentes zu vegleichen. 5. Fehleechnung 5.1 Systematische Fehle a) Bei de Rechnung ist nicht beücksichtigt woden, dass auch die zu Ezeugung des Dehmomentes vewendete Masse beschleunigt wid. Bei eine genaueen Rechnung die sich auch aus dem Enegiesatz egibt muß Gl.10 esetzt weden duch: ( ) ( ) M = m + m g R =Θ ϕ + m + m R x && && (1) mit && x = R ϕ&& nach Gl. 19 folgt ( m + m) g R =ϕ Θ+ ( m + m) R && () Mit den beeits fühe benutzten Anfangsbedingungen lautet die Lösung nach Θ aufgelöst: g t Θ= ( m + m) R 1 (3) l Diese Beziehung kann umgefomt weden zu 6

7 g R l Θ= ( m + m) t 1 l g t (3a) Im Vegleich zu Gl.0 ist de in eckigen Klammen stehende Fakto als Koektuglied aufzufassen. Veständlicheweise kommt dies umso stäke zu Wikung, je kleine die Messzeiten d.h. je göße die Masse ist. Die Koektu kann venachlässigt weden fü l t,beil= 1malsofü Messzeiten t >> 0,45 s. g b) Unbeücksichtigt geblieben ist bishe die Masse des Fadens, die sich mit de Zeit ändet. Hieduch vestäkt sich das Dehmoment und es vegößet sich die zu beschleunigende Masse. Da die Masse des Fadens stets klein ist im Vegleich zu de Masse de Gewichtssteine, ist de bei de Venachlässigung gemachte Fehle siche seh viel kleine als de unte a) behandelte. c) Unte dem Einfluß de Gewichte dehnt sich de Faden. Hieduch wid die gemessene Zeit scheinba veküzt. Die Auswikung vestäkt sich mit wachsende Masse. Infolgedessen sinkt nach Gl. 0 aus den unkoigieten Messweten emittelte Wet des ägheitsmomentes. d) Das zum Antieb vewendete Dehmoment muß nicht nu die ägheitskäfte übewinden sonden auch die Reibungskäfte zwischen de staen Achse und den bewegten eilen. Eine echneische Behandlung ist schwieig und muß deshalb untebleiben. e) Die zu Messung vewendete Uh kann einen Fehle aufweisen. Da de Antieb übe ein Synchon-Laufwek efolgt, ist nu mit einem Statfehle zu echnen. Bei den hie vokommenden Messzeiten ist diese Fehle siche zu venachlässigen. Alle hie behandelten systematischen Fehle sind abhängig von de Messzeit bzw. de Masse de Gewichtssteine. Bei eine Auftagung de Messwete in Abhängigkeit von de Masse müssten sich diese Fehle duch eine Abhängigkeit von m bemekba machen. 5. Unsystematische (statistische) Fehle Einzige Beobachtungsgöße ist die Zeit. Die automatische Zeitmessung mit Hilfe de elektischen Stoppuh unte Vewendung elektische Kontakte ist elativ genau. Schwankungen können aufteten duch technische Mängel, etwa duch einen ungleichmäßigen Lauf. Die Beobachtungsfehle machen sich bemekba duch eine Steuung de Messwete. Wenn de Messwet x mehfach bestimmt woden ist, kann ein Mittelwet x m nach Gl. 4 und de mittlee Fehle des Mittelwetes υ x nach Gl. 5 beechnet weden. x m i = laufende Numme de Einzelmessung 1 = xi n (4) n = Gesamtzahl de Messungen xi = xm xi 7

8 υ = ± x (5) ( xi ) ( ) n n 1 Mit Gl. 5 kann die Messunsicheheit fü die Laufzeit t und bestimmt weden; fü jede einzelne Masse m ist t mehfach gemessen woden. Die Rechnung kann jedoch auch angewendet weden auf das Podukt (m +m) t. De auf diese Weise abgeschätzte Fehle efasst zusätzlich auch Ungenauigkeiten de Massenbestimmung, sofen diese unsystematischen Chaakte haben. 5.3 Zusammensetzung de Fehle Gl. 0 gibt die Beziehung zwischen dem ägheitsmoment und den Einzelgößen m, g, R, l und t wiede. Messfehle de Einzelgößen veusachen einen fehlehaften Wet fü das ägheitsmoment. In welche Weise sich die Einzelfehle auswiken, wid duch das Fehlefotpflanzungsgesetz bestimmt. Als Gößtfehle egibt sich Θ m g l R t = Θ m g l R t (6) Die Fehle sind hie mit Θ, m usw. bezeichnet. Fü t kann hie de aus meheen Messungen bestimmte mittlee Fehle υ t nach Gl. 5 eingesetzt weden. Die andeen Fehle sind abzuschätzen. m die Genauigkeit de Massen kann zu 0,5% anzusetzen sein m m = g l R Fü die Edbeschleunigung ist de Nomwet eingesetzt woden, de fü eine geogafische Beite von 45 gilt. De tatsächliche Wet am Messot (Aachen) betägt 9,8109 m/s. Die Abweichung ist 0,0009 m/s und de elative Fehle betägt und , kann also venachlässigt weden. Als Fehle wid die Ungenauigkeit bei de Bestimmung de Messstecke angesehen, l 3 die etwa zu 3 mm angenommen weden kann. = 3 10 l De effektive Hebelam weist eine Fetigungstoleanz von 0,3mm bezogen auf den Sollwet auf R = 1, 10 R 8