Praktische Mathematik I

Transkript

1 Helmut Werner Praktische Mathematik I Methoden der linearen Algebra Vorlesung gehalten im Wintersemester 1968/69 Nach einem von R. Schaback angefertigten Skriptum, herausgegeben mit Unterstützung von R. Runge und U. Ebert Zweite Auflage Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1975

2 Helmut Werner Westfälische Wilhelms-Universität Münster, Rechenzentrum AMS Subject Classification (1970) 65-01, 65B05, 65Fxx, 65G05, 65Hxx, 65)05, 65S05 ISBN DOI / ISBN (ebook) Library of Congress Cataloging in Publication Data Werner, Helmut, Methoden der linearen Algebra. (His Praktische Mathematik, I) (Hochschultext) "Vorlesung gehalten im Wintersemester 1968/69." Bibliography: p. 1. Algebra, Linear. I. Schaback, Robert. 11. Tide. QA36.5.W472 vol. 1 [QA184] 510s [512'.5] Das Wer.k ist urheberrechdich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Ubersetzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Bei Vervielfältigungen für gewerbliche Zwecke ist gemäß 54 UrhG eine Vergütung an den Verlag zu zahlen, deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. by Springer-Verlag Berlin Heidelberg Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1975

3 Vorwort zur zweiten Auflage Um die Kosten dieser Neuauflage so niedrig wie möglich zu halten, habe ich, einem Vorschlag des Verlages folgend, von größeren Korrekturen abgesehen und nur die mir in der Zwischenzeit bekannt gewordenen Druckfehler beseitigt sowie das Literaturverzeichnis auf den neuesten Stand gebracht. In diesem Zusammenhang gilt mein herzlicher Dank insbesondere Herrn Professor Dr. Schaback für seine Hinweise und für die Unterstützung bei dieser Korrektur sowie Herrn Professor Dr. Braess für seine kritische Durchsicht des Bandes. Dem Verlag möchte ich für sein Entgegenkommen bei der Herstellung dieser Auflage danken. Münster, Juli 1974 H. WERNER Vorwort zur ersten Auflage Diese Vorlesungsnachschrift enthält den Stoff einer vierstündigen, einsernestrigen Vorlesung, die ich seit mehreren Jahren zur Einführung in die algebraischen Probleme der numerischen Mathematik für die Studenten mittlerer Semester an der Universität Münster halte. Da in diesem Gebiet die Methoden in außerordentlich schneller Entwicklung begriffen sind, muß man damit rechnen, daß manches morgen schon überholt ist. Dieses Schicksal hat offenbar einige Lehrbücher dieses Gebietes, nur wenige Jahre alt, bereits ereilt. Zum anderen ist es heute wichtig, den immer zahlreicher werdenden Studenten der angewandten Mathematik einen Leitfaden in die Hand zu geben. Wir hoffen, daß der durch die mathematischen Grundvorlesungen vorbereitete Student lernt, wie man mit den in dieser Vorlesung entwickelten abstrakten Begriffen zu konkreten Ergebnissen kommen kann. Aber auch der Praktiker sollte die (z.z.) modernen Methoden für die behandelten algebraischen Probleme finden. In einer Vorlesung lassen sich natürlich viele Fragen

4 IV nur andeuten. Für eingehendere Untersuchungen sei deshalb auf die zitierte Lehrbuchliteratur verwiesen. Die Aufgabenstellungen der Analysis (Differentiation, Integration, numerische Lösung von Differentialgleichungen) pflege ich in Münster in einer zweiten Vorlesung zu behandeln. Diesem Text liegt eine von Herrn Dr. SCHABACK im Wintersemester 1968/69 angefertigte Vorlesungsausarbeitwlg zugrunde. Beim Korrekturlesen unterstützten uns die Herrn Dipl. Math. R. RUNGE und U. EBERT. Für die Mitarbeit und Unterstützung möchte ich ihnen herzlich danken. Wesentliche Impulse für die Vorlesungen erhielt ich während meiner Tätigkeit am Institut für Angewandte Mathematik der Universität Hamburg durch Herrn Prof. Dr. L. COLLATZ. Zum Dank dafür ist ihm dieses Skriptum gewidmet. Münster, August 1970 H. WERNER

5 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 I. Ka12itel: Hilfsmittel der 12raktischen Mathematik 7 Übersicht und Typeneinteilung 7 1. Tischrechenmaschine und Rechenschieber 8 2. Tafelwerke, Interpolation Nomogramme Theoretische Grundlagen der digitalen elektronischen Rechenautom aten Programm steuerung, Flußdiagramme, Programmiersprachen, Software Fehlerfortpflanzung, Rundungsfehler in digitalen Rechenanlagen Elektronische Analogrechner Ka12itel: Numerische Methoden zur Lösun~ von Gleichun~en Das Iterationsverfahren für kontrahierende Abbildungen Praktische Formulierung des Fixpunktsatzes Nullstellen reeller Funktionen, Konvergenzgeschwindigkeit Operatoren in Banachräumen Newton I sches Verfahren für Gleichungssysteme Nullstellen von Polynomen Einschließungssätze für Nullstellen von Polynomen Sätze über die Anzahl der reellen Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten 127 III. Ka12itel: Lineare Gleichungss~steme 135 Bemerkungen zur Schreibweise von Matrizen und Vektoren Direkte Methoden, Gaußsehe Elimination Fehleranalyse nach Wilkinson, Konditionszahlen 150

6 VI QR-Zerlegung von Matrizen Iterative Behandlung linearer Gleichungssysteme Konvergenzbeschleunigung bei der iterativen Behandlung linearer Gleichungssysteme j sukzessive Overrelaxation Fehlerabschätzungen mit Hilfe von Monotoniebetrachtungen IV. Kapitel: Eigenwertaufgaben bei Matrizen Transformation von Matrizen auf Hessenbergform Eine direkte Methode zur Berechnung der Eigenwerte einer Hessenbergmatrix Das Iterationsverfahren nach von Mises zur Bestimmung eines Eigenwertes und eines Eigenvektors Methoden zur Konvergenzverbesserung j Extrapolation nach Aitken Inverse Iteration nach Wielandt Deflation beim Eigenwertproblem Das LR- und QR-Verfahren von Rutishauser Das Jacobi-Verfahren für symmetrische Matrizen Lokalisationssätze für die Eigenwerte symmetrischer und normaler Matrizen Literaturverzeichnis Stichwortverzeichnis

7 Symbolverzeichnis o "' "' Ccr,ßJ (a,ß ) { xi} [B 1,2 2 J Op(2 1,B 2 )..., 1\ V leere Menge siehe Norm,... s. 91 Matrixnorm oder Operatornorm,... S. 94 Eine Aufstellung aller auftretenden Normen: s. 99 abgeschlossenes Intervall C R offenes Intervall C R Abkürzende Schreibweise für die Folge xl' x 2 ' s. 95 s. 94 s. 38 S. 38 S. 38 s. 39 s s. 39 B' < AT C <Cn C CE CG C(B) cn(b) ö.. IJ s. 41 n n B'a.. := Ba.. i = 1 IJ i = 1 IJ Li.i Halbordnung,... S. 198 Transponierte einer Matrix,... S. 135 Körper der komplexen Zahlen n-dimensionaler Vektorraum über <C. ab Kapitel III i. a. eine Iterationsmatrix im Sinne von S. 172 Iterationsmatrix des Einzelschrittverfahrens,... S. 184 Iterationsmatrix des Gesamtschrittverfahrens,... S. 184 Menge der auf B stetigen Funktionen Menge der auf B n-mal stetig differenzierbaren Funktionen 1 falls i = j } Kroneckersymbol, = t 0 falls i"f j

8 VIII An (~,,x n ) f d(x,y) A,D E e. 1 F' ~ gl H(i) J x(a) K (x) r L A M(j) N N N(A) w '\ w. 1 Pik cpo. ) ci>, ci> [i] Q R R!Jt p (A) sgn x "T" Ti/a) Tmax' Tmin w(ao',an) n-ter Differenzenquotient,... S. 19 Distanzfunktion,'" S. 66 ab Kapitel 111. i. a. Diagonalmatrizen Einheitsmatrix i-ter Einheitsvektor Frechetableitung in x O,'" S. 101 Gleitkomma-Operator,... S. 53 Householder-Tram:;formation,'" S. 164 Jordanmatrix,... S. 173 Konditionszahl,... S. 156 In einem metrischen Raum Kugel mit Radius r um das Element x, ~ S. 75 ab Kapitel III i. a. eine Subdiagonalmatrix,'" S. 138 i. a. ein Eigenwert,'" S. 212 elementare Matrizen,... S. 214 Menge der natürlichen Zahlen: {1, 2, } ab Kapitel III: N = { 1,,n}, n E N.... S. 250 Landau' sche Symbole,'" S. 104 Relaxationskoeffizient,... S S. 18 Permutationsmatrix,... S. 214 S. 187 (ab Kapitel III) ab Kapitel IV: charakteristisches PolynoIl),... S. 212 i. a. Iterationsfunktionen ab Kapitel 111: eine orthogonale Matrix (QQT = E) ab KapitelllI: eine superdiagonale Matrix,'" S. 138 Körper der reellen Zahlen n-dimensionaler Vektorraum über R. ab Kapitel 11: metrischer Raum,'" S. 66 Spektralradius der Matrix A,'" S. 175 I falls x> 0 = { 0 falls x = 0-1 falls x< 0 Transpositionssymbol.... S. 135 ebene Drehung,'" S. 168 S. 202 S. 127 Weitere Symbole finden sich in der Symbolliste für Analogrechner (S ) und in den Bemerkungen zur Schreibweise von Gleitkommazahlen (S. 52), von Interpolationsgrößen (S ) sowie von Matrizen und Vektoren (S ).