Berechnung - Motorheber

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1 Berechnung - Motorheber : Grad L g : 1700mm L 1 : 1450mm L 2 : 400mm L 3 : 400mm L 4 : L 5 : 400mm 600mm γ 1 h : 990mm α 1 : 68 β1 α1 m L : 1200kg Hub : 500mm H : h, h + 20mm.. h + Hub Hubhöhe H Auflagerberechnung für Rollen: F L : m L g F L Gewichtskraft Last Punkt A und F liegen übereinander und haben stets den selben Horizontalabstand zur Last. Da der Abstand zum Drehpunkt F stets mit der Hubhöhe H variiert, wird folgende Funktion verwendet. Relativabstand zu Drehpunkt F: α(h β(h α(h γ 1 β1 α1 : Grad 2 L L ( H : L 1 ( H h 2 Relativabstand L L (H nach Lagerstelle F α( H : asin ( H h eigungswinkel des Lastarms zur Horizontalen L 1 β( H : 90 α( H eigungswinkel der Lastkraft zum Lastarm

2 Da es sich bei dem System und ein symmetrisches System bezüglich der z-achse handelt, wird folgende Vereinfachung vorgenommen. Anstatt mit Vektorrechnung die A uflagerkräfte zu ermitteln, wird ein ebenes Kräftesystem angenommen und die Auflagerkräfte in z-richtung aufgeteilt. Rechnung wie zwei Rollen aufgeteilt auf vier!! Gleichgewichtsbedingungen ΣF iy 0 F A ( H + F B ( H F L ΣM A 0 F B ( H L g L L ( H F L F B ( H F L L L ( H : Lagerkraft F B als Funktion der Hubhöhe H L g F A ( H : F L F B ( H Lagerkraft F A als Funktion der Hubhöhe H Lagerkräfteverlauf in Abhängigkeit der Hubhöhe H : Lagerkraftverlauf als f(h Lagerkraft [] F A ( H F B ( H F Amax F Amin H, H Hubhöhe H [m] : F A ( 1490mm F Amax bei H 1490mm : F A ( 990mm F Amin bei H 990mm F Bmax : F B ( 990mm F Bmax bei H 990mm F Bmin : F B ( 1450mm F Bmin bei H 1490mm

3 Standsicherheit : Da sich die Last immer zwischen Vorder- und Hinterrolle befindet, kann Standsicherheit niemals <1 sein!! Im Umkehrschluss bedeutet dies, dass der Motorheber stets standsicher steht!! Errechnen der Abstände und Winkel am Motorheber in Abhängigkeit der Hubhöhe H Längendifferenz l(h zu Drehpunkt F in Abhängigkeit von H: l( H : L 1 L L ( H Längendifferenz zu Drehpunkt F in Abhängigkeit von H Relativabstände zu Punkt D: Hilfslängen: FC h 2 2 : + L 3 FC mm FC L 4 h h 1 Strahlensatz ACF L 4 h 1 : h h FC mm 2 2 L 7 : L 4 h 1 L mm L 8 ( H : L L ( H L 3 + L 7 Relativabstand horizontal D nach H h 2 ( H : H h 1 Relativabstand vertikal D nach H L 9 ( H : L 8 ( H + h 2 ( H Relativabstand D nach H h 2 ( H γ( H : atan L 8 ( H Relativwinkel γ(h

4 Winkel im Dreieck DFH: ( ε( H : 180 α 1 + γ( H Winkel ε in Abhängigkeit der Hubhöhe H L 1 sin( ε( H L 9 ( H sin( δ( H FD Sinussatz im DFH sin( ζ( H δ( H : asinl 9 ( H sin( ε( H L Winkel δ in Abhängigkeit der Hubhöhe H 1 ζ( H : ( 180 ε( H δ( H Winkel ζ in Abhängigkeit der Hubhöhe H Winkel im Dreieck DFG: GH : L 1 L 2 FD : FC L 4 DG( H 2 GH 2 + L 9 ( H 2 2 GH L 9 ( H cos( ζ( H Cosinussatz im DGH DG( H : GH 2 + L 9 ( H 2 2 GH L 9 ( H ( cos( ζ( H Zylinderlänge DG(H L 2 sin( η( H GD( H sin( δ( H FD Sinussatz im DFG sin( θ( H θ( H : asinfd sin( δ( H Winkel θ(h in Abhängigkeit der Hubhöhe H DG( H ι( H : 90 γ( H Lastwinkel ι(h

5 Winkelverlauf in Abhängigkeit der Hubhöhe H : Grad 2 ε( H 1.5 Winkel [rad] δ( H ζ( H θ( H ι( H H, H, H, H, H Hubhöhe H [m] H θ( H mm ε( H δ( H ζ( H

6 Berechnung Lastarm: κ( H : 180 ( α( H + θ( H + 90 Winkel Zylinderstange zur y-achse Am Lastarm gelten folgende Gleichgewichtsbedingungen: ΣF ix 0 F Zyl ( H sin( κ( H F Fx ( H ΣF iy 0 F Zyl ( H cos( κ( H F Fy ( H + F L ΣM F 0 F Zyl ( H cos( κ( H L 2 cos( α( H F zyl ( H sin( κ( H L 2 sin( α( H + F L L L ( H Somit ergibt sich: F Zyl ( H F L L L ( H : Zylinderkraft F Zyl in Abhängigkeit der cos( κ( H L 2 cos( α( H sin( κ( H L 2 sin( α( H Hubhöhe H F Fy ( H : F Zyl ( H cos( κ( H F L y-komponente der Lagerkraft F F (H F Fx ( H : F Zyl ( H sin( κ( H x-komponente der Lagerkraft F F (H F F ( H : F Fx ( H 2 + F Fy ( H 2 Lagerkraft F F (H F Fx ( H λ( H : atan Winkel λ der Lagerkraft F F (H zur F Fy ( H y-achse

7 Wertetabellen für H F Zyl ( H mm F F ( H κ( H λ( H θ( H F Zyl ( H F F ( H H, H

8 Berechnung der Lagerkräfte F C und F E an der Hauptstrebe: Um die Berechnung fortführen zu können müssen die Festwinkel β 1 und γ 1 bekannt sein!! Es gilt: α(h γ 1 β1 α1 L 5 L 10 : L sin( α mm Hilfslänge L 10 von Punkt C nach Punkt E L 5 L 11 : L tan( α mm Hilfslänge L 11 ( Es gilt der Cosinussatz: L 12 L 10 + L 3 2 L 10 L 3 cos α 1 ( 2 2 L 12 : L 10 + L 3 2 L 10 L 3 cos α 1 Hilfslänge L 12 von Punkt A nach Punkt E Es gilt der Sinussatz: ( L 3 ( sin γ 1 L 12 sin α 1 ( L 3 sin α 1 γ 1 : asin γ L Festwinkel γ 1 12 Somit gilt für den Festwinkel β 1 : ( β 1 : 180 α 1 + γ 1 β Festwinkel β 1 Probe: α 1 + β 1 + γ 1 180

9 Freigemachte Skizze : γ 1 β1 α1 An der Hauptstrebe gelten folgende Gleichgewichtsbedingungen: ( ΣF ix 0 F AE cos β 1 F Cx ( H ( ΣF iy 0 F Cy ( H F AE ( H sin β 1 ( ΣM C 0 F AE ( H cos β 1 L 5 + F L ( + F AE ( H sin β 1 L 11 F L L L ( H L 3 ( Somit wird : F AE ( H : F L L L ( H L 3 cos( β 1 L 5 ( + sin( β 1 L 3 Resultierende Zug-Kraft an der Hauptstrebe ( F Cx ( H : F AE ( H cos β 1 ( x-komponente der Lagerkraft F C F Cy ( H : F AE ( H sin β 1 + F L y-komponente der Lagerkraft F C F C ( H : F Cx ( H 2 + F Cy ( H 2 Lagerkraft F C μ( H : atan F Cy ( H F Cx ( H Winkel µ der Lagerkraft F C zur y-achse

10 Wertetabelle: Motorheber H F AE ( H mm F C ( H μ( H Überprüfung mittels Vektorrechnung: Wenn Kräftegleichgewicht muss ullvektor als Summe der Kräftevektoren entstehen!! Einheitsvektoren cos( μ( 1450mm ( ( cos β 1 f C : sin( μ( 1450mm f AE : sin β 1 f L : F CVektor : F C ( 1450mm f C F AEVektor : F AE ( 1450mm f AE F LVektor : F L f L F CVektor F AEVektor F LVektor F CVektor + F AEVektor + F LVektor 0 0 Passt!!! 0

11 Ermitteln der Zugstrebenkraft F AEzug : Die beiden Zugstreben sind Betragsgleich, haben jedoch unterschiedliche Orientierung. Daher kann Zentrales Kräftesystem angenomen werden und mit Hilfe von Ortsvektoren der Betrag der Zugkraft ermittelt werden. b : 600mm Standbreite des Hebers Es gilt: L 5 ( tan β 1 F AElinks : L Ortsvektor von A 5 links nach E b 2 L 5 ( tan β 1 F AErechts : L Ortsvektor von A 5 rechts nach E b F AElinks f AElinks : f F AElinks Einheitsvektor f AElinks AElinks F AErechts f AErechts : f F AErechts Einheitsvektor f AErechts AErechts 0.435

12 b Motorheber 2 ϕ : atan ϕ Wirklicher Halbwinkel φ L 5 ( sin β 1 F AE ( 1450mm F zug1 : F 2 cos( ϕ zug Zugstangenkraft F in den beiden Zugstangen, von Punkt A nach E Probe: Wenn Rechnung richtig, muss resultierender Vektor gleich dem negativen Vektor F AEVektor sein!! F AEresultierend : f AElinks F zug1 + f AErechts F zug1 Resultierender Vektor aus beiden Stangenkräften F zug F AEresultierend F AEresultierend F AEVektor 0 Passt!! 0 0 Dimensionierung Zugstrebe: Gewählt wird Werkstoff S275JR Flachstahl 35x12mm, zur Einleitung der Kräfte in den Zugstab wird eine Passschraube M8 verwendet!! Re S275 : 275 R e des Werkstoffs ν Gesamt : 3 Gesamtsicherheit 0.45 Re S275 σ Zugzul : lt. TB.20 Kabus. ν Gesamt σ Zugzul Zulässige Zugspannung σ Zugzul b s : 35mm Breite Flacheisen h s : 12mm Höhe Flacheisen d s : 9mm Durchmesser Passbohrung A proj : h s b s d s Projezierte Fläche für Zugkraft ( F zug1 σ Zugstrebe : σ A Zugstrebe Auftretende Zugspannung σ proj Zugstrebe ( Auswahl : wenn σ Zugstrebe < σ Zugzul, "zulässig", "nicht zulässig" Auswahl "zulässig"

13 Momenten- und Kräfteverlauf des Lastarms Das maximale Biegemoment tritt dort auf, wo der Querkraftverlauf seinen ulldurchgang hat!! Da es sich nur um Einzelkräfte handelt, also bei Lastpunkt G!! Somit wird: F Lquer ( H : F L sin( β( H Querkraft auf den Lastarm aus der Lastkraft F L errechnet F Llängs ( H : F L cos( β( H Längskraft auf den Lastarm aus der Lastkraft F L errechnet M bg ( H : F Lquer ( H L 1 L 2 Biegemoment in Abhängigkeit der Hubhöhe H ( H β( H mm F Lquer ( H F Llängs ( H M bg ( H m

14 Schnittkraftverlauf im Punkt G als Funktion der Hubhöhe H M bg ( H [ ; m ] F Lquer ( H F Llängs ( H H, H, H [ mm] Auslegung Lastarm: Um die Ausmaße des verwendeten Trägers möglichst gering zu halten, haben wir links und rechts des Kraftangriffspunktes G, eine Zugstrebe vorsehen. Sie werden durch einen Abstandshalter vom Träger abgehoben und werden durch einen Flachstahl 25x12 verwirklicht. Werkstoffwahl erfolgt gleich dem Trägerwerkstoff!! Werkstoff gewählt: S460 Re S460 : 460 σ bsch : 410 lt.tb. Roloff-Matek (Anhangxxx σ bsch σ bzul : σ ν bzul zulässige Biegespannung σ Gesamt bzul M bgmax : M bg ( 990mm M bgmax m maximal auftretendes Biegemoment M bgmax W berf : W σ berf cm 3 erforderliches Widerstandsmoment bzul

15 Berechnung Widerstandsmoment zusammengesetzter Träger für Lastarm Formrohr 100x40x5mm lt. Europa-TB (siehe Anhangxxx h Formrohr : 100mm Höhe Formrohr b Formrohr : 40mm Breite Formrohr I Formrohr 136cm 4 : Flächenmoment 4.Grades A Formrohr 12.4cm 2 : Querschnittsfläche Formrohr Für gewählten Flachstahl 25x12mm gilt: b flach : 36mm Breite Flachstahl h flach : 15mm Höhe Flachstahl 3 b flach h flach I flach : I 12 flach 1.013cm 4 Flächenmoment 4.Grades für Flachstahl A flach : b flach h flach A flach 540 Querschnittsfläche Flachstahl Abstand x : 100mm gewählter Abstand der Zugstangen vom Profil Für Gesamtschwerpunktsabstand gilt: y sgesamt Σy i A i ΣA i somit gilt: y sgesamt y sflach A flach + y sformrohr A Formrohr A flach + A Formrohr h flach h Formrohr + Abstand x + 2 ( b flach h flach + y sgesamt : b flach h flach + A Formrohr h Formrohr A 2 Formrohr y sgesamt mm Gesamtschwerpunktsabstand zur unteren Formrohrkante, zu x-x

16 Flächenwiderstandsmoment 4.Ordnung: Mithilfe des "Satz von Steiner" wird: h Formrohr I Formx : I Formrohr + A Formrohr Widerstandsmoment Formrohr um X-X h flach I Flachx : I flach + b flach h flach h Formrohr + Abstand x + Widerstandsmoment Flachstahl um X-X 2 Für Gesamtwiderstandsmoment gilt: I xgesamt : I Formx + I Flachx Flächenwiderstandsmoment bezüglich X-X daraus folgt: I ys + A gesamt y sgesamt I Formx + I Flachx somit wird: ( y sgesamt 2 I ys : I xgesamt b flach h flach + A Formrohr I ys cm 4 Flächenwiderstandsmoment bezüglich y s e 1 : y sgesamt Randfaserabstand e 1 ( y sgesamt e 2 : h Formrohr + Abstand x + h flach Randfaserabstand e 2 Die Division durch den größeren Randfaserabstand ergibt das kleinere Biegewiderstandsmoment, daraus lässt sich im Umkehrschluss die größere Biegespannung errechnen!! somit wird: ( e groß : wenn e 1 > e 2, e 1, e 2 e groß mm größerer Randfaserabstand e groß I ys W b : W e b cm 3 Biegewiderstandsmoment W b groß Da die Zug-/Druckkräfte im Lastarm gering sind, verzichte ich auf Bildung der Vergleichsspannung σ v!!! σ b ( H σ z_d ( H τ scher ( H M bg ( H : Biegespannung σ b in Abhängigkeit der Hubhöhe H W b F Llängs ( H : Zug-/Druckspannung σ b 2 z_d in Abhängigkeit der Hubhöhe H F Lquer ( H : Scherspannung τ b 2 scher in Abhängigkeit der Hubhöhe H

17 [ Pa ] σ b ( H H [ m ] H mm σ b ( H σ z_d ( H τ scher ( H σ bmax : σ b ( 990mm maximal auftretende Biegespannung stets bei H 990mm!!! ( σ bvorhanden : wenn σ bmax < σ bzul, "Spannungen zulässig", "Spannungen nicht zulässig!!!" σ bvorhanden "Spannungen zulässig"

18 Berechnung des Momenten- und Schnittkraftverlaufs an der Hauptstrebe Es gilt wie am Lastarm: Dort wo der Querkraftverlauf den ulldurchgang hat ( erste Ableitung M b, muss das maximale Biegemoment auftreten!! achdem die Hauptstrebe nur mit Einzelkräften belastet wird, kann die größte Belastung nur im Punkt D oder E auftreten. Daher werden die Schnittkräfte in Punkt D und Punkt E ermittelt!! Schnittkräfte im Punkt D: α1 Schnittkräfte und Biegemoment im Punkt D ( ν( H : 180 α 1 + μ( H Winkel zw. Hauptstrebe und F C F Dlängs ( H : F C ( H cos( ν( H Längskraft auf die Hauptstrebe aus F C (H errechnet F Dquer ( H : F C ( H sin( ν( H Querkraft auf die Hauptstrebe aus F C (H errechnet M bd ( H : F Dquer ( H L 4 Biegemoment in Punkt D in Abhängigkeit der Hubhöhe H

19 M bd ( H [ ; m ] F Dlängs ( H F Dquer ( H H, H, H [ m ] H ν( H mm F Dlängs ( H F Dquer ( H M bd ( H m

20 Schnittkräfte im Punkt E: ξ : 90 α 1 ο( H : λ( H + ξ F Elängs ( H : F F ( H cos( ο( H F Equer ( H : F F ( H sin( ο( H M be ( H : F Equer ( H FC L 10 ( Winkel zw. F F und senkrechter Achse Winkel zw. Hauptstrebe und Lagerkraft F F Längskraft auf die Hauptstrebe aus F F (H errechnet Querkraft auf die Hauptstrebe aus F F (H errechnet Biegemoment in Punkt E in Abhängigkeit der Hubhöhe H H ο( H mm F Elängs ( H F Equer ( H M be ( H m

21 Auslegung Hauptstrebe: Motorheber γ 1 Werkstoffwahl erfolgt gleich dem Trägerwerkstoff des Lastarms!! Werkstoff gewählt: S460 α1 Re S460 : 460 σ bsch : 410 lt.tb. Roloff-Matek (Anhangxxx σ bsch σ bzul : σ ν bzul zulässige Biegespannung σ Gesamt bzul M bemax : M be ( 990mm M bemax m maximal auftretendes Biegemoment M bemax W berf : W σ berf cm 3 erforderliches Widerstandsmoment bzul

22 Widerstandsmoment Formrohr berechnen: s 1 : 5mm b 1 : 80mm b 2 : b 1 2 s 1 h 1 : 140mm h 2 : h 1 2 s 1 h 1 e 3 : b 1 h 1 b 2 h 2 I gesamt : I gesamt cm 4 I gesamt W bx : W e bx cm 3 3 Gewählt: Formrohr 140x80x5mm aus S460JR (siehe Anhang xxx σ be ( H σ z_de ( H τ schere ( H Da die Zug-/Druckkräfte im Lastarm gering sind, verzichte ich auf Bildung der Vergleichsspannung σ v!!! M be ( H : Biegespannung σ b in Abhängigkeit der Hubhöhe H W b F Elängs ( H : Zug-/Druckspannung σ b 2 z_d in Abhängigkeit der Hubhöhe H F Equer ( H : Scherspannung τ b 2 scher in Abhängigkeit der Hubhöhe H H mm σ be ( H σ z_de ( H τ schere ( H

23 σ bemax : σ be ( 990mm maximal auftretende Biegespannung stets bei H 990mm!!! ( σ bevorhanden : wenn σ bemax < σ bzul, "Spannungen zulässig", "Spannungen nicht zulässig!!!" σ bevorhanden "Spannungen zulässig"

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