Attraktoren für Finite-Elemente Diskretisierungen parabolischer Differentialgleichungen

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1 Attraktoren für Finite-Elemente Diskretisierungen parabolischer Differentialgleichungen Denny Otten Fakultät für numerische Mathematik Universität Bielefeld Bielefeld, 30. Januar 2009

2 Übersicht Kurze Einführung in semilineare parabolische ARWP Lösbarkeit des kontinuierlichen Problems Räumliche Diskretisierung mit FEM Langzeitverhalten und globale Attraktoren FEM am Modellbeispiel der Chafee-Infante-Gleichung

4 Semilineares parabolisches ARWP, Reaktions-Diffusions-Gleichung (RDG) Ω R d (d = 1, 2, 3) konvexes polygonales Gebiet (oder beschränktes glattes Gebiet mit C 2 -Rand). Betrachte die Reaktions-Diffusions-Gleichung (RDG) wobei u t (x, t) D u(x, t) = f(u(x, t)), (x, t) Ω ]0, T[ Gesucht: u(x, t) = 0, (x, t) Ω [0, T[ u(x, 0) = u 0 (x), (x, t) Ω {t = 0} u 0 : Ω R glatt mit u 0 Ω = 0 (Anfangswertfunktion) f : R R (nichtlinearer Reaktionsterm) D R (konstanter Diffusionskoeffizient, hier: D = 1) u : Ω [0, T[ R mit u(x, t) erfüllt obiges ARWP

5 Beispiel: Die Chafee-Infante-Gleichung Sei λ ]0, + [ beliebig, aber fest. Die RDG ( u t (x, t) u(x, t) = λ u(x, t) u(x, t) 3), (x, t) Ω ]0, T[ u(x, t) = 0, (x, t) Ω [0, T[ u(x, 0) = u 0 (x), (x, t) Ω {t = 0} mit dem nichtlinearen Reaktionsterm f(u) = λ (u u 3) heißt Chafee-Infante-Gleichung, benannt nach und Prof. Dr. Nathaniel ( Nat ) L. Chafee Prof. Dr. Ettore ( Jim ) Ferrari Infante

6 Motivation Fragen: Gibt es einen (globalen) Attraktor A H 1 0 (Ω)?

7 Motivation Fragen: Gibt es einen (globalen) Attraktor A H 1 0 (Ω)? Existieren (globale) Attraktoren A h V h H 1 0 (Ω) (h I) für die FE-Diskretisierung?

8 Motivation Fragen: Gibt es einen (globalen) Attraktor A H 1 0 (Ω)? Existieren (globale) Attraktoren A h V h H0 1 (Ω) (h I) für die FE-Diskretisierung? Wie ist die Beziehung zwischen A h und A (speziell für h 0)?

9 Motivation Fragen: Gibt es einen (globalen) Attraktor A H 1 0 (Ω)? Existieren (globale) Attraktoren A h V h H0 1 (Ω) (h I) für die FE-Diskretisierung? Wie ist die Beziehung zwischen A h und A (speziell für h 0)? Hauptresultat: Der globale Attraktor der RDG ist oberhalbstetig unter FE-Diskretisierung.

10 Literatur (A.S.) Pertubation theory for infinite dimensional dynamical systems. Theory and numerics of ordinary and partial differential equations, (S.L.) Numerical analysis of semilinear parabolic problems. Chalmers University and Göteborg University, (J.R.) Infinite dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors. Cambridge University Press, (D.H.) Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Lecture Notes in Mathematics, vol. 840, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1981.

12 Generalvoraussetzung 1 Generalvoraussetzung Sei f C 2 (R, R). Falls d {2, 3}, so gelte zusätzlich ( C > 0 : f (j) (u) C 1 + u δ+1 j) u R j {1, 2} wobei δ = 2, falls d = 3 und δ [1, + [, falls d = 2.

13 Generalvoraussetzung 1 Generalvoraussetzung Sei f C 2 (R, R). Falls d {2, 3}, so gelte zusätzlich ( C > 0 : f (j) (u) C 1 + u δ+1 j) u R j {1, 2} wobei δ = 2, falls d = 3 und δ [1, + [, falls d = 2. Für Chafee-Infante-Gleichung mit f(u) = λ ( u u 3) gilt f C 2 (R, R) sowie für δ = 2 und C := 6 λ > 0: ( f (j) (u) 6 λ 1 + u 2+1 j) u R j {1, 2}

14 Operator-AWP im Raum H0 1 (Ω) (1) Ansatz: Führe für f den nichtlinearen Nemytskii-Operator ein F : H 1 0 (Ω) B R L 2 (Ω) mit F(u)(x) := [f(u)](x) = f(u(x))

15 Operator-AWP im Raum H0 1 (Ω) (1) Ansatz: Führe für f den nichtlinearen Nemytskii-Operator ein F : H 1 0 (Ω) B R L 2 (Ω) mit F(u)(x) := [f(u)](x) = f(u(x)) Konsequenz: Äquivalente Umformulierung des ARWP s zu nichtlinearen Operator-AWP u t (t) + Au(t) = F(u(t)), t ]0, T[ u(0) = u 0 H 1 0 (Ω), t = 0 wobei A := : H 2 (Ω) H 1 0 (Ω) L2 (Ω) negativer Laplace-Operator.

16 Operator-AWP im Raum H0 1 (Ω) (1) Ansatz: Führe für f den nichtlinearen Nemytskii-Operator ein F : H 1 0 (Ω) B R L 2 (Ω) mit F(u)(x) := [f(u)](x) = f(u(x)) Konsequenz: Äquivalente Umformulierung des ARWP s zu nichtlinearen Operator-AWP u t (t) + Au(t) = F(u(t)), t ]0, T[ u(0) = u 0 H 1 0 (Ω), t = 0 wobei A := : H 2 (Ω) H0 1(Ω) L2 (Ω) negativer Laplace-Operator. Ziel: Finde u C([0, T[, H0 1 (Ω)), die obiges O-AWP löst.

17 Operator-AWP im Raum H0 1 (Ω) (1) Ansatz: Führe für f den nichtlinearen Nemytskii-Operator ein F : H 1 0 (Ω) B R L 2 (Ω) mit F(u)(x) := [f(u)](x) = f(u(x)) Konsequenz: Äquivalente Umformulierung des ARWP s zu nichtlinearen Operator-AWP u t (t) + Au(t) = F(u(t)), t ]0, T[ u(0) = u 0 H 1 0 (Ω), t = 0 wobei A := : H 2 (Ω) H0 1(Ω) L2 (Ω) negativer Laplace-Operator. Ziel: Finde u C([0, T[, H0 1 (Ω)), die obiges O-AWP löst. Lösung des O-AWP s erfüllt (wegen Duhamel-Prinzip) (KIG) u(t) = E(t)u 0 + t 0 E(t s)f(u(s)) ds t [0, T[ wobei E(t) = e ta Lösungsoperator des homogenen linearen O-AWP s ist.

18 Operator-AWP im Raum H0 1 (Ω) (2) Fragen: Eindeutige Lösbarkeit der KIG? ( Existenz- und Eindeutigkeitssatz)

19 Operator-AWP im Raum H0 1 (Ω) (2) Fragen: Eindeutige Lösbarkeit der KIG? ( Existenz- und Eindeutigkeitssatz) Löst Lösung der KIG auch das O-AWP? ( Regularitätssatz)

20 Operator-AWP im Raum H0 1 (Ω) (2) Fragen: Eindeutige Lösbarkeit der KIG? ( Existenz- und Eindeutigkeitssatz) Löst Lösung der KIG auch das O-AWP? ( Regularitätssatz) Definiere den maximal fortgesetzten Lösungsoperator S des O-AWP s S : R + H 1 0 (Ω) D(S) H1 0 (Ω) mit S(t)u 0 := u(t; u 0 ) D(S) := {(t, u 0 ) R + H 1 0 (Ω) t [0, T max(u 0 )[}

21 Variationsformulierung (schwache Formulierung) Multiplikation des O-AWP s mit ϕ C0 (Ω) und Integration über Ω liefert mit Greensche-Formel und Nullrandbedingung für ϕ (u t (t), ϕ) L 2 + ( u(t), ϕ) L 2 = (F(u(t)), ϕ) L 2 t ]0, T[ ϕ C 0 (Ω) Wegen H0 1(Ω) = C 0 (Ω) H 1 vergrößere C0 (Ω) zu H1 0 (Ω). Schwache Formulierung: Finde u : [0, T[ H0 1 (Ω) mit (u t (t), v) L 2 + ( u(t), v) L 2 = (F(u(t)), v) L 2 t ]0, T[ u(0) = u 0 H 1 0 (Ω) t = 0 v H 1 0 (Ω) Schwache Formulierung vermeidet höhere Ableitungen. Beachte: Lösung des O-AWP s erfüllt schwache Gleichung.

23 Der Finite-Elemente-Raum Ω R d konvexes polygonales Gebiet (d = 1, 2, 3) {T h } h I uniforme Familie regulärer Triangulierungen von Ω h maximale Kantenlänge aller d-simplex-elemente von T h {P (j) h j = 1,...,N h } Menge der inneren Knoten von T h ist linear i = 1,...,M h und V h := {χ C(Ω) χ T (i) h χ(x) = 0 x R d \Ω} = span{λ j j = 1,...,N h }. Hierbei ist Λ j C(Ω) mit Λ j (P (i) h ) := δ ij i, j = 1,...,N h Es gilt: V h H0 1 (Ω) linearer endlich-dimensionaler Teilraum.

24 Semidiskretes Operator-AWP im FE-Raum V h (1) Betrachte semidiskretes O-AWP (u h ) t (t) + A h u h (t) = P h F(u h (t)), t ]0, T[ u h (0) = u h0 V h, t = 0 wobei A h := h diskreter negativer Laplace-Operator und P h orthogonale Projektion auf L 2 (Ω) A h : V h V h mit (A h Ψ, χ) L 2 = ( Ψ, χ) L 2 χ V h P h : L 2 (Ω) V h mit (P h g, χ) L 2 = (g, χ) L 2 χ V h

25 Semidiskretes Operator-AWP im FE-Raum V h (1) Betrachte semidiskretes O-AWP (u h ) t (t) + A h u h (t) = P h F(u h (t)), t ]0, T[ u h (0) = u h0 V h, t = 0 wobei A h := h diskreter negativer Laplace-Operator und P h orthogonale Projektion auf L 2 (Ω) A h : V h V h mit (A h Ψ, χ) L 2 = ( Ψ, χ) L 2 χ V h P h : L 2 (Ω) V h mit (P h g, χ) L 2 = (g, χ) L 2 χ V h Ziel: Finde u h C([0, T[, V h ), die obiges O-AWP löst.

26 Semidiskretes Operator-AWP im FE-Raum V h (1) Betrachte semidiskretes O-AWP (u h ) t (t) + A h u h (t) = P h F(u h (t)), t ]0, T[ u h (0) = u h0 V h, t = 0 wobei A h := h diskreter negativer Laplace-Operator und P h orthogonale Projektion auf L 2 (Ω) A h : V h V h mit (A h Ψ, χ) L 2 = ( Ψ, χ) L 2 χ V h P h : L 2 (Ω) V h mit (P h g, χ) L 2 = (g, χ) L 2 χ V h Ziel: Finde u h C([0, T[, V h ), die obiges O-AWP löst. Lösung des semidiskreten O-AWP s erfüllt (SIG) u h (t) = E h (t)u h0 + t 0 E h (t s)p h F(u h (s)) ds t [0, T[ wobei E h (t) = e ta h Lösungsoperator des semidiskreten homogenen linearen O-AWP s ist.

27 Semidiskretes Operator-AWP im FE-Raum V h (2) Fragen: Eindeutige Lösbarkeit der SIG? ( Existenz- und Eindeutigkeitssatz)

28 Semidiskretes Operator-AWP im FE-Raum V h (2) Fragen: Eindeutige Lösbarkeit der SIG? ( Existenz- und Eindeutigkeitssatz) Löst Lösung der SIG auch das semidiskrete O-AWP? (ja, da Lösung u(t) in V h liegt)

29 Semidiskretes Operator-AWP im FE-Raum V h (2) Fragen: Eindeutige Lösbarkeit der SIG? ( Existenz- und Eindeutigkeitssatz) Löst Lösung der SIG auch das semidiskrete O-AWP? (ja, da Lösung u(t) in V h liegt) Definiere den maximal fortgesetzten Lösungsoperator S h des semidiskreten O-AWP s S h : R + V h D(S h ) V h mit S h (t)u h0 := u h (t; u h0 ) D(S h ) := {(t, u h0 ) R + V h t [0, T max (u h0 )[}

30 Galerkin-Verfahren (Liniensystem) Finde Lösung u h : [0, T[ V h mit ((u h ) t (t), χ) L 2 + ( u h (t), χ) L 2 = (F(u h (t)), χ) L 2 t ]0, T[ χ V h u h (0) = u h0 V h t = 0

31 Konvergenz des FE-Verfahrens Satz u 0 H0 1(Ω), u C([0, T max(u 0 )[, H0 1 (Ω)) Lösung der KIG, u h0 V h, u h C([0, T max (u h0 )[, V h ) Lösung der SIG. R 1 > 0 und 0 < t 0 < min{t max (u 0 ), T max (u h0 )} derart, dass u(t) H 1 R 1 und u h (t) H 1 R 1 t [0, t 0 ]. Dann gilt: ( ) (1): u h (t) u(t) L 2 C(R 1, t 0 ) u h0 P h u 0 L 2 + h 2 t 1 2 t ]0, t 0 ] (2): u h (t) u(t) H 1 C(R 1, t 0 )t 1 2 ( uh0 P h u 0 L 2 + h) t ]0, t 0 ] Es folgt: Konvergenz auf kompakten Zeitintervallen: 0 < t 1 < t 0 und u h0 = P h u 0 : u h (t) u(t) H 1 C(R 1, t 0, t 1 )h t [t 1, t 0 ]

33 Generalvoraussetzung 2 Generalvoraussetzung f : R R erfülle κ α 1 u γ f(u)u κ α 2 u γ f (u) l u R u R wobei α 1, α 2, κ, l > 0 und γ 2.

34 Generalvoraussetzung 2 Generalvoraussetzung f : R R erfülle κ α 1 u γ f(u)u κ α 2 u γ f (u) l u R u R wobei α 1, α 2, κ, l > 0 und γ 2. Für Chafee-Infante-Gleichung mit f(u) = λ ( u u 3) gilt für α 1 := λ, α 2 = λ 2, γ := 4, κ := λ 2 und l := λ λ 2 λ u 4 f(u)u λ 2 λ 2 u 4 u R f (u) λ u R

35 Folgerungen (1) Existenz eines Lyapunov-Funktionals L L : H0 1 (Ω) R mit L(u) := 1 Ω 2 u(x) 2 F(u(x)) dx 1 L Vh : V h R mit L(u h ) := 2 u h(x) 2 F(u h (x)) dx wobei F(u) := u 0 f(w) dw. Ω

36 Folgerungen (1) Existenz eines Lyapunov-Funktionals L L : H0 1 (Ω) R mit L(u) := 1 Ω 2 u(x) 2 F(u(x)) dx 1 L Vh : V h R mit L(u h ) := 2 u h(x) 2 F(u h (x)) dx wobei F(u) := u 0 f(w) dw. A-priori Beschränktheit und zeitlich globale Lösbarkeit S(t)u 0 H 1 ρ(κ, λ 1, u 0, Ω) t 0 S h (t)u h0 H 1 ρ(κ, λ 1, u h0, Ω) t 0 h ]0, h 0 ] (S, R +, H 1 0 (Ω)), (S h, R +, V h ) semidynamische Systeme Ω

37 Folgerungen (1) Existenz eines Lyapunov-Funktionals L L : H0 1 (Ω) R mit L(u) := 1 Ω 2 u(x) 2 F(u(x)) dx 1 L Vh : V h R mit L(u h ) := 2 u h(x) 2 F(u h (x)) dx wobei F(u) := u 0 f(w) dw. A-priori Beschränktheit und zeitlich globale Lösbarkeit S(t)u 0 H 1 ρ(κ, λ 1, u 0, Ω) t 0 S h (t)u h0 H 1 ρ(κ, λ 1, u h0, Ω) t 0 h ]0, h 0 ] (S, R +, H 1 0 (Ω)), (S h, R +, V h ) semidynamische Systeme Gleichmäßig (uniform in h) absorbierende Menge S(t)u 0 H 1 R 2 (κ, λ 1, l, Ω) t t 2 (κ, λ 1, R, Ω) u 0 B R S h (t)u h0 H 1 R 2 (κ, λ 1, l, Ω) t t 2 (κ, λ 1, R, Ω) Ω u h0 B R V h h ]0, h 0 ] (S, R +, H 1 0 (Ω)), (S h, R +, V h ) dissipative Systeme

38 Folgerungen (2) Existenz eines globalen Attraktors A (bzw. A h ): ρ > R 2 A = ω( B ρ ) = t 0 S(t) B ρ H 1 0 (Ω) A h = ω( B ρ V h ) = t 0 S h (t)( B ρ V h ) V h

39 Folgerungen (2) Existenz eines globalen Attraktors A (bzw. A h ): ρ > R 2 A = ω( B ρ ) = t 0 S(t) B ρ H 1 0 (Ω) A h = ω( B ρ V h ) = t 0 S h (t)( B ρ V h ) V h Strukturresultate für den globalen Attraktor A (bzw. A h ) ( A = W u (G) = ) W u (Φ), falls G diskret Φ G A h = W u (G h ) = W u (Φ h ), falls G h diskret Φ h G h

40 Folgerungen (2) Existenz eines globalen Attraktors A (bzw. A h ): ρ > R 2 A = ω( B ρ ) = t 0 S(t) B ρ H 1 0 (Ω) A h = ω( B ρ V h ) = t 0 S h (t)( B ρ V h ) V h Strukturresultate für den globalen Attraktor A (bzw. A h ) ( ) A = W u (G) A h = W u (G h ) = Φ G W u (Φ), falls G diskret = W u (Φ h ), falls G h diskret Φ h G h Hauptresultat: Oberhalbstetigkeit des globalen Attraktors unter FE-Diskretisierung

41 Folgerungen (2) Existenz eines globalen Attraktors A (bzw. A h ): ρ > R 2 A = ω( B ρ ) = t 0 S(t) B ρ H 1 0 (Ω) A h = ω( B ρ V h ) = t 0 S h (t)( B ρ V h ) V h Strukturresultate für den globalen Attraktor A (bzw. A h ) ( ) A = W u (G) A h = W u (G h ) = Φ G W u (Φ), falls G diskret = W u (Φ h ), falls G h diskret Φ h G h Hauptresultat: Oberhalbstetigkeit des globalen Attraktors unter FE-Diskretisierung Man kann zeigen: S( ) C 1 (R + H 1 0 (Ω), H1 0 (Ω))

42 Stetige Abhängigkeit der Anfangsdaten Satz Für jeden Radius R > 0 gibt es eine positive, monoton wachsende und nach unten beschränkte Funktion C 1 (, R) : R + R + mit t C 1 (t) so dass die folgende Abschätzung gilt S(t)u 0 S(t)v 0 H 1 C 1 (t) u 0 v 0 H 1 u 0, v 0 B R t R +

43 Oberhalbstetigkeit des globalen Attraktors Satz A globaler Attraktor von (S, R +, H0 1(Ω)), A h globaler Attraktor von (S h, R +, V h ) 0 < h h 0. Dann gilt: d NH (A h, A) = sup u h A h { } inf u h u H 1 u A 0 (für h 0) d.h. der Attraktor A der RDG ist oberhalbstetig unter FE-Diskretisierung.

44 Beweis (1) Wähle t 0 := t 2 (ρ). Es gilt: d NH (A h, A) d NH (A h, S(t)A h ) + d NH (S(t)A h, A) d NH (S h (t)a h, S(t)A h ) + d NH (S(t) B ρ, A) g(t)h + f(t) t 2t 0 h ]0, h 0 ] f stetig, streng monoton fallend und konvergent gegen 0 g stetig und streng monoton wachsend

45 Beweis (1) Wähle t 0 := t 2 (ρ). Es gilt: d NH (A h, A) d NH (A h, S(t)A h ) + d NH (S(t)A h, A) d NH (S h (t)a h, S(t)A h ) + d NH (S(t) B ρ, A) g(t)h + f(t) t 2t 0 h ]0, h 0 ] f stetig, streng monoton fallend und konvergent gegen 0 g stetig und streng monoton wachsend d NH (S h (t)a h, S(t)A h ) = sup u h S h (t)a h { inf u h v H 1} v S(t)A h = sup u h0 A h { inf v h0 A h S h (t)u h0 S(t)v h0 H 1} sup u h0 A h S h (t)u h0 S(t)u h0 H 1 sup u h0 B ρ V h S h (t)u h0 S(t)u h0 H 1 g(t)h t 2t 0 h ]0, h 0 ]

46 Beweis (2) g(t) wird in t 0 -Schritten aufgebaut: (Stetige Abhängigkeit der Anfangsdaten): C 1 (t) = C 1 (t, ρ) S(t)u 0 S(t)v 0 H 1 C 1 (t) u 0 v 0 H 1 u 0, v 0 B ρ t R + (Konvergenz des FE-Verfahrens): C 2 = C 2 (ρ, t 0 ) S h (t)u h0 S(t)u 0 H 1 C 2 h t [t 0, 2t 0 ]

47 Beweis (2) g(t) wird in t 0 -Schritten aufgebaut: (Stetige Abhängigkeit der Anfangsdaten): C 1 (t) = C 1 (t, ρ) S(t)u 0 S(t)v 0 H 1 C 1 (t) u 0 v 0 H 1 u 0, v 0 B ρ t R + (Konvergenz des FE-Verfahrens): C 2 = C 2 (ρ, t 0 ) S h (t)u h0 S(t)u 0 H 1 C 2 h t [t 0, 2t 0 ] Damit zeigt man (g n positive, monoton wachsende Zahlenfolge) S h (nt 0 )u h0 S(nt 0 )u h0 H 1 g n h n N u h0 B ρ V h und mit der eindeutigen Darstellung t = nt 0 + r, n N, r [t 0, 2t 0 [ ( g n positive, monoton wachsende Treppenfunktion) S h (t)u h0 S(t)u h0 H 1 g n h t 2t 0 u h0 B ρ V h Bildung einer stetigen Oberfunktion von g n liefert g(t).

48 Beweis (3) g h Wähle h C ]0, h 0 ] derart, dass h ]0, h C ] : g(2t 0 )h < f(2t 0 ) 2t 0 f t Stetigkeit und Monotonieeigenschaften von f und g liefern: h ]0, h C ] t = t (h) > 2t 0 : g h g(t )h = f(t ) 2t 0 t f t

49 Beweis (4) Offenbar gilt: t = t (h) für h 0 Wegen f(t) 0 für t gilt (für h ]0, h C ]) d NH (A h, A) g(t )h + f(t ) = 2f(t ) 0 für h 0

51 Bifurkationsanalyse der Chafee-Infante-Gleichung Ω =] 1, 1[. Setze ( π ) 2 λ n := n 2 n N 2 und λ h,n := 1 h cos ( ) nhπ cos ( ) n = 1,...,N nhπ h 2 Die Mengen der Bifurkationspunkte sind und BP := {λ n n N} = { π2 4, π2, 9π2 4, 4π2, 25π2 4,...} BP FE := {λ h,n n = 1,...,N h } Struktur der globalen Attraktoren: A und A h bestehen ausschließlich aus heteroklinen Orbits A = W u (Φ) und A h = W u (Φ h ) Φ G Φ h G h

52 Globale Attraktoren der Chafee-Infante-Gleichung (1) Φ + 1 Φ0 Φ0 0 λ π2 4 Φ 1 π 2 4 < λ π2

53 Globale Attraktoren der Chafee-Infante-Gleichung (1) Φ + 1 Φ + 1 Φ 3 Φ0 Φ 2 Φ + 2 Φ 2 Φ + 2 Φ0 Φ + 3 Φ 1 π 2 < λ 9π2 4 9π 2 4 Φ 1 < λ 4π2

54 Stationäre Lösungen der Chafee-Infante-Gleichung Φ 0 Φ 1 + Φ Φ 2 + Φ Φ 3 + Φ

55 Unterteilungsalgorithmus (1): FE-Attraktor A 1 2 für λ = x y z x y z x y z x y z

56 Unterteilungsalgorithmus (2): FE-Attraktor A 1 2 λ = 7 für z y x

57 Unterteilungsalgorithmus (3): FE-Attraktor A 1 2 λ = 7 für

58 Bifurkationsparameter (1): FE-Attraktor A 1 2

59 Bifurkationsparameter (2): Anzahl der Boxen des FE-Attraktors A x 10 5 Anzahl der Boxen Iterationen λ

60 Struktur des FE-Attraktors A 1 2 (1)

61 Struktur des FE-Attraktors A 1 2 (2)

62 Fehlende Boxen des FE-Attraktors A 1 2 (1)

63 Fehlende Boxen des FE-Attraktors A 1 2 (2)

64 Oberhalbstetigkeit des Attraktors: 1. räumlicher Verfeinerungsschritt (1)

65 z Oberhalbstetigkeit des Attraktors: 1. räumlicher Verfeinerungsschritt (2) y x

66 Oberhalbstetigkeit des Attraktors: 1. räumlicher Verfeinerungsschritt (3) Φ ± 1 = ± 2, V 1 2 Φ ± 1 = ± 4, V 1 4

67 Aufwand und Optimierungsversuche dim=3 dim=7 Anzahl der Boxen Verfeinerung

68 Aufwand und Optimierungsversuche Anzahl der Boxen dim=3 dim=7 Zeit pro Verfeinerungsschritt (in Sek.) dim=3 dim= Verfeinerung Verfeinerung

69 Aufwand und Optimierungsversuche Anzahl der Boxen dim=3 dim=7 Zeit pro Verfeinerungsschritt (in Sek.) dim=3 dim= Verfeinerung Verfeinerung dim=3 dim=7 Gesamtzeit (in Sek.) Verfeinerung

70 Herzlichen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Oberseminar Numerik Projekt(e): A2 Denny Otten Bielefeld, 30. Januar 2009

71 Eigenschaften der Nichtlinearität (1) F : H 1 0 (Ω) B R L 2 (Ω) mit F(u)(x) := f(u(x)) df(u) : H 1 0 (Ω) L2 (Ω) mit (df(u)v)(x) := f (u(x))v(x) Satz R > 0 C(R) > 0 u, v B R : (1): df(u)z L 2 C(R) z H 1 z H 1 0 (Ω) (2): df(u)z df(v)z L 2 C(R) u v H 1 z H 1 z H 1 0 (Ω) (3): F(u) F(v) df(u)(u v) L 2 C(R) u v 2 H 1 (4): F(u) F(v) L 2 C(R) u v H 1 F(u) L 2 C(R), F C 1 (H 1 0 (Ω), L2 (Ω)) (5): df(u)z H 1 C(R) z L 2 z L 2 (Ω) (6): F(u) F(v) H 1 C(R) u v L 2 F(u) H 1 C(R)

72 Eigenschaften der Nichtlinearität (2) Falls zusätzlich u H 2 (Ω) H0 1 (Ω), so gilt (7): df(u)w H 1 0 (Ω) w H2 (Ω) H 1 0 (Ω) df(u)w H 1 C(R)( u H 2 w H 1 + w H 2) C(R) w H 2 w H 2 (Ω) H 1 0 (Ω)

73 Existenz und Eindeutigkeit E linearer homogener Lösungsoperator. Es gilt: l {0, 1}, a, b Z mit 1 a b 2 C = C(l, a, b) > 0 : DtE(t)v l (b a) l H b Ct 2 v H a v D(A a 2 ) t > 0 Satz (1): (lokal Existenz und Eindeutigkeit) R > 0 0 < T(R) < u 0 B R 1 u C([0, T(R)], H 1 0 (Ω)) : u(t) löst KIG (2): (globale Existenz und Eindeutigkeit) u 0 H0 1 (Ω), ρ > 0, T > 0 gegeben. Falls für jede Lösung u(t) auf [0, τ] [0, T] der KIG die a-priori Abschätzung u(t) H 1 ρ t [0, τ] gilt, so gibt es genau eine Lösung u C([0, T], H0 1 (Ω)) der KIG.

74 Regularität Satz u 0 H0 1(Ω), u C([0, T max(u 0 )[, H0 1 (Ω)) Lösung der KIG. Dann gilt R 1 > 0 0 < t 0 < T max (u 0 ) mit u(t) H 1 R 1 t [0, t 0 ]: (1): u(t) H s C(R 1, t 0 )t (s 1) 2 t ]0, t 0 ], s = 1, 2 (s 1) 1 (2): u t (t) H s C(R 1, t 0 )t 2 t ]0, t 0 ], s = 0, 1, 2 (3): u tt (t) L 2 C(R 1, t 0 )t 3 2 t ]0, t 0 ] Falls zusätzlich u 0 H 2 (Ω) mit u 0 H 2 R 2, so gilt: (4): u(t) H s C(R 1, R 2, t 0 ) t [0, t 0 ], s = 1, 2 (5): u t (t) H s C(R 1, R 2, t 0 )t s 2 t ]0, t 0 ], s = 0, 1, 2 (6): u tt (t) L 2 C(R 1, R 2, t 0 )t 1 t ]0, t 0 ]

75 Konsistenz des FE-Verfahrens (1) Fehlerzerlegung: u h (t) u(t) = u h (t) R h u(t) + R }{{} h u(t) u(t) }{{} =:θ(t) =:ρ(t) H 1 0 -elliptische Bilinearform a und Ritz-Projektion R h: a : H 1 (Ω) H 1 (Ω) R mit a(u, v) := ( u, v) L 2 R h : H 1 0 (Ω) V h mit a(r h v, χ) = a(v, χ) χ V h Satz u 0 H0 1(Ω), u C([0, T max(u 0 )[, H0 1 (Ω)) Lösung der KIG. R 1 > 0 und 0 < t 0 < T max (u 0 ) derart, dass u(t) H 1 R 1 t [0, t 0 ]. Dann gilt für ρ(t) := R h u(t) u(t) sowie für j = 0, 1 und s = 1, 2 (1): ρ(t) H j C(R 1, t 0 )h s j t (s 1) 2 t ]0, t 0 ] (2): ρ t (t) L 2 C(R 1, t 0 )h s (s 1) 1 t 2 t ]0, t 0 ]

76 Konsistenz des FE-Verfahrens (2) Falls zusätzlich u 0 H 2 (Ω) mit u 0 H 2 R 2, so gilt (3): ρ(t) H j C(R 1, R 2, t 0 )h s j t [0, t 0 ] (4): ρ t (t) L 2 C(R 1, R 2, t 0 )h s t s 2 t ]0, t0 ]

77 Stabilität des FE-Verfahrens (1) Satz u 0 H0 1(Ω), u C([0, T max(u 0 )[, H0 1 (Ω)) Lösung der KIG, u h0 V h, u h C([0, T max (u h0 )[, V h ) Lösung der SIG. R 1 > 0 und 0 < t 0 < min{t max (u 0 ), T max (u h0 )} derart, dass u(t) H 1 R 1 und u h (t) H 1 R 1 t [0, t 0 ]. Dann gilt für θ(t) := u h (t) R h u(t) (1): θ(t) L 2 C(R 1, t 0 )( u h0 P h u 0 L 2 + h 2 t 1 2 ) + C(R 1 ) t 0 (t s) 1 2 uh (s) u(s) L 2 ds t ]0, t 0 ] (2): θ(t) H 1 C(R 1, t 0 )t 1 2 ( uh0 P h u 0 L 2 + h) + C(R 1 ) t 0 (t s) 1 2 uh (s) u(s) H 1 ds t ]0, t 0 ]

78 Stabilität des FE-Verfahrens (2) Falls zusätzlich u 0 H 2 (Ω) mit u 0 H 2 R 2, so gilt (3): θ(t) L 2 C(R 1, R 2, t 0 )( u h0 P h u 0 L 2 + h 2 ) + C(R 1 ) t 0 (t s) 1 2 uh (s) u(s) L 2 ds t ]0, t 0 ] (4): θ(t) H 1 C(R 1, R 2, t 0 )( u h0 u 0 H 1 + h) + C(R 1 ) t 0 (t s) 1 2 uh (s) u(s) H 1 ds t ]0, t 0 ]

79 Existenz eines Lyapunov-Funktionals L : H 1 0 (Ω) R mit L(u) := wobei F(u) := u 0 f(w) dw. Ω 1 2 u(x) 2 F(u(x)) dx Satz L ist ein Lyapunov-Funktional für (S, R +, H0 1 (Ω)), d.h. (1): L ist stetig in H 1 0 (Ω) (2): u 0 H 1 0 (Ω) : L(S(t)u 0) ist nichtwachsend in t (3): L(u) C(λ 1 ) Ω u H 1 0 (Ω) (4): L(u) 0 für u H 1 + (5): u 0 H 1 0 (Ω), S(t)u 0 ex. t R und T R mit L(S(T)u 0 ) = L(u 0 ). Dann gilt: Au 0 = F(u 0 ) Analog: L Vh ist Lyapunov-Funktional für (S h, R +, V h ).

80 Existenz gleichmäßig absorbierender Mengen Satz Sei R > 0, B R := {u 0 H 1 0 (Ω) u 0 H 1 R} R 2 := (κ Ω (3λ l(1 + λ 1 1 ) + 1)) 1 2 t 2 = t 2 (R) := 1 ( λ1 R 2 ) ln + 1 2λ 1 κ Ω wobei κ, l > 0 und λ 1 > 0 kleinster Eigenwert der Helmholtz-Gleichung. Dann gilt: (1): S(t)u 0 H 1 R 2 t t 2 u 0 B R (2): h 0 > 0 : S h (t)u h0 H 1 R 2 t t 2 u h0 B R V h 0 < h h 0

81 Existenz globaler Attraktoren Satz ρ > R 2 : (1): (S, R +, H0 1 (Ω)) besitzt den globalen Attraktor A = ω( B ρ ) H 1 0 (Ω). A zieht die Menge B ρ gleichmäßig an und A = ω( B ρ ) = t 0 S(t) B ρ (2): (S h, R +, V h ) besitzt für jedes 0 < h h 0 den globalen Attraktor A h = ω( B ρ V h ) V h. A h zieht die Menge B ρ V h gleichmäßig (uniform in h) an und A h = ω( B ρ V h ) = t 0 S h (t)( B ρ V h ) 0 < h h 0

82 Struktur der globalen Attraktoren Satz Sei A (bzw. A h ) der globale Attraktor von (S, R +, H0 1 (Ω)) (bzw. S h, R +, V h ) mit 0 < h h 0 ). Dann gilt: A = W u (G) bzw. A h = W u (G h ) wobei G (bzw. G h ) die Menge der Gleichgewichtpunkte bezeichnet. Falls G (bzw. G h ) zusätzlich diskret ist, so gilt sogar A = W u (Φ) bzw. A h = W u (Φ h ) Φ G Φ h G h und A = A Φ G W s (Φ) bzw. A h = A h Φ h G h W s (Φ h )

83 Beispiele zur Lösbarkeitstheorie (1): f(u) = λ sin(u) f(u) = λ cos(u) (2): f(u) = λ sin(u) cos(u) f(u) = λu sin(u) cos(u) (3): f(u) = λ(u u n ), wobei n N, n 2 f(u) = λ(u u 2 ) (Kolmogorov-Petrovsky-Piskounov-Gleichung) n (4): f(u) = λ a i u i, wobei a i R, n N i=0 (5): f(u) = a + be λu f(u) = λe u (Zel dovich-frank-kamenetskii-gleichung) (6): f(u) = λe 1 u 2

84 Beispiele zur Langzeitanalyse (1): f(u) = λ(u + u 2 sin(u) u 3 ) f(u) = λ(u + u 2 sin(u) + u 3 cos(u) u 5 ) (2): f(u) = λ(u u n ), wobei n N, n 3, n ungerade f(u) = λ(u u 3 ) (Chafee-Infante-Gleichung) n (3): f(u) = λ a i u i, wobei a i R, n N, n ungerade, a n < 0 i=0 f(u) = λ( u 2 3u 3 ) (Medizinisches-Modell) (keine Bifurkationen) (4): f(u) = λu(1 u)(u β), wobei β ]0, 1[ (Allen-Cahn-Modell)

85 Beispiele mit Bifurkation (1): f(u) = λ(u u n ), wobei n N, n 3, n ungerade (2): f(u) = λu(α u)(u β), wobei α > 0, β < 0 oder α < 0, β > 0 f(u) = λu(1 u)(u β), wobei β ]0, 1[ (Allen-Cahn-Modell) n (3): f(u) = λ a i u i, wobei n N, n 3, n ungerade, a i R, a n < 0 i=0 a 1 = 0 : keine Bifurkationen a 1 0 : Bifurkationen vorhanden (4): f(u) = λ(u u 3 ) (Chafee-Infante-Gleichung)

86 FE-Bifurkationsdiagramme für V u1 0 BP BP BP u2 0 BP BP BP lambda lambda u3 0 BP BP BP lambda