Überblick 2 1. Mengen 2. Relationen 3. Funktionen 4. Kardinalität von Mengen

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1 Grundlgen Üerlick. Mengen. Reltionen. Funktionen. Krdinlität von Mengen. Einführung Ziel und Motivtion Grundvokulr der Mthemtik lernen. Ntürliche Sprche oft zweideutig Mthemtische Sprche erlut die präzise Definition von mthemtischen Ojekten und die präzise Formulierung von Sätzen und Resultten. Ziele und Motivtion In der Informtik: Mengen, Reltionen, Funktionen etc. Grundlge für die Beschreiung von Algorithmen, Definition, ws ein Progrmm tut (Semntik), Definition, welche Zeichenketten Progrmme sind (Syntx) Definition, ws ein Progrmm tun soll (Spezifiktion) Dtenstrukturen (Arrys, Listen, Bäume, Hsh-Telle,... ) Beispiel: Mengen, Tupel und Wörter in Python 5 ein_tupel = (,, c ) noch_ein_tupel = (,, c ) ein_wort = c eine_menge = frozenset(ein_tupel) noch_eine_menge = frozenset(noch_ein_tupel) noch_eine_ndere_menge = frozenset(ein_wort) eine_sequenz_von_komplizierteren_ojekten = [ein_tupel,noch_ein_tupel,ein_wort,eine_menge, noch_eine_menge,noch_eine_ndere_menge] for x in eine_sequenz_von_komplizierteren_ojekten: for y in eine_sequenz_von_komplizierteren_ojekten: print("%s identisch zu %s? %s" % (x,y,x==y)) pss pss Ausproieren unter [python.org/shell]. Mengen.. Bsisvokulr und -konzepte Mengenlehre 6

2 Unter einer Menge verstehen wir jede Zusmmenfssung M von estimmten wohlunterschiedenen Ojekten m unserer Anschuung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M gennnt werden) zu einem Gnzen (Georg Cntor) [Quelle] Mengen in der Informtik 7 Reihenfolge der Ojekte, mehrfche Nennung von Ojekten, etc. spielen keine Rolle. So kennt eine Menge kein erstes, zweites, usw. Ojekt. Dneen sind noch die Bsisopertionen wichtig, um us zwei oder mehr Mengen eine neue Menge zu konstruieren : Vereinigung, Schnitt, Differenz. Im Folgenden Wiederholung dieser Begriffe und deren Akürzungen ( Schulwissen ). Mengen: Bsisvokulr 8 Ein gegeenes Ojekt x ist entweder in einer gegeenen Menge M enthlten oder nicht. x M kurz für Ojekt x ist in Menge M (d.h. mindestens einml) enthlten. x M kurz für Ojekt x ist nicht (d.h. keinml) in der Menge M enthlten. Die Ojekte x mit x M nennt mn die Elemente von M. Entsprechend liest mn x M uch ls x (ist) Element von M und x M ls x (ist) kein Element von M. Um Mengen zu definieren, knn mn entweder lle Elemente der Menge explizit ufzählen oder mn definiert die Menge implizit durch Ange einer chrktisierenden Eigenschft der Elemente. Dei verwendet mn nch Konvention die Zeichen { und } zum Einleiten zw. Beenden einer Mengendefinition. Mengen: Bsisvokulr 9 Beispiel: explizie (uch: extensionle) Definition M := {,, $} d.h. M enthält genu die drei Ojekte,, $ Beispiel: implizite (uch: intensionle) Definition {x x ist Bürger der BRD mit Wohnsitz in München } Akürzungen für Mengen, die sehr oft vorkommen: N = {,,,...} Menge der ntürlichen/positiven gnzen Zhlen;

3 N 0 = {0,,,...} ntürliche Zhlen inkl. 0; Z = {...,,, 0,,,...} gnze Zhlen; Q = {p/q p Z, q N} rtionle Zhlen; R reelle Zhlen. Mengen: Bsisvokulr 0 Die leere Menge ist durch {} definiert, wofür mn häufig uch schreit. D.h. es git kein Ojekt x mit x, oder i..w. für jedes Ojekt x gilt x. Mengen sind uch Ojekte und können dmit selst Elemente von Mengen sein, z.b. {, {, }, {, {}}, {{}, {{}}, } } Ds knn llerdings uch zu Prolemen ei impliziten Definitionen führen, siehe Russelsche Antinomie: R := {x x ist Menge mit der Eigeschft x x } Weder R R noch R R mcht Sinn. Lösung: Typentheorie. Beispiel clss PrettyPrintSet(frozenset): def str (self): if len(self) == 0: return s = { +,.join([str(x) for x in self]) + } return s pss def successor(x): return PrettyPrintSet([x, PrettyPrintSet([x])]) # {x, {x}} x = PrettyPrintSet() # x = for i in rnge(0, 0): print(x) x = successor(x) pss Ausproieren unter [python.org/shell].. Vergleiche von Mengen Mengen: Vergleiche von Mengen M ist eine Teilmenge von M (kurz: M M ), flls jedes Element von M uch Element von M ist. Entsprechend schreit mn kurz M M, flls M keine Teilmenge von M ist, d.h. flls mindestens ein Element x von M kein Element von M ist. Für die Menge der Ojekte, die nur Elemente von M, er nicht von M sind, schreit mn kurz M \ M (oder uch: M M ). Mn schreit M M, flls zwr M M, jedoch uch M \M mindestens ein Element esitzt. Beispiele: Für jede eliege Menge M gilt stets M.

4 Für eine Menge M gilt M nur und nur dnn, wenn M =. Es gilt M M genu dnn, wenn M \ M =. Mengen: Vergleiche von Mengen M und M werden genu dnn ls gleich (identisch) ngesehen (kurz: M = M ), wenn jedes Element von M uch Element von M ist, und jedes Element von M uch Element von M ist. Kurz: M = M genu dnn, wenn sowohl M M ls uch M M. Mit nderen Worten, um zu zeigen, dss zwei Mengen verschieden sind (kurz: M M ) muss mn ein Ojekt x finden, ds Element genu einer der eiden Mengen ist. Mn schreit kurz M M für die Menge, welche genu die Ojekte zusmmenfsst, welche Element genu einer der eiden Mengen M, M (er nicht eider) sind. M \ M nennt mn die Differenz von M und M, M M nennt mn die symmetrische Differenz von M, M. Bechte: Im Allgemeinen M \ M M \ M, er stets M M = M M. Mengen: Vergleiche von Mengen Als Mächtigkeit/Krdinlität (kurz: M ) einer Menge M ezeichnet mn die Zhl der (unterschiedlichen) Elemente in M. Eine Menge M ist endlich (kurz: M < ), flls es eine ntürliche Zhl k git und eine entsprechende Anzhl von verschiedenen Ojekten x, x,..., x k, so dss M = {x, x,..., x k } gilt. Ansonsten ezeichnet mn M ls unendlich (kurz: M = ). Weitere Einteilung von unendlichen Mengen folgt später: P(M) ist stets mächtiger ls M... Opertionen uf Mengen Mengen: Opertionen uf Mengen 5 Stndrdopertionen für zwei Mengen M, M : Schnitt und Vereinigung Mn schreit kurz M M für die Menge mit der Eigenschft: Ist x ein Ojekt, dnn ist x ein Element von M M genu dnn, wenn x sowohl Element von M ls uch von M ist. M M wird der Schnitt von M und M gennnt. ßpuse Entsprechend schreit mn kurz M M für die Menge mit der Eigenschft Ist x ein Ojekt, dnn ist x ein Element von M M genu dnn, wenn x Element von mindestens einer der eiden Mengen M, M ist. M M wird die Vereinigung von M und M gennnt.

5 Mengen: Opertionen uf Mengen 6 Häufig enötigt mn uch den Schnitt und die Vereinigung von mehreren Mengen. Für eine Menge S, deren Elemente selst Mengen sind, definiert mn: S := M S M := {x für jedes M S gilt x M } S := M S M := {x es git mindestens ein M S mit x M } Dmit M M = {M, M } und M M = {M, M } Gilt S = {M,..., M k } für ein k N, dnn schreit mn uch k M i := S i= k M i := S i= Mengen: Opertionen uf Mengen 7 Ist eine Menge Ω fest vorgegeen (fixiert) und etrchtet mn usschließlich Teilmengen von Ω, so schreit mn für eine Menge A Ω sttt Ω \ A kurz A. Ω nennt mn dnn ds Universum oder die Grundmenge und A ds Komplement von A (zgl. Ω). Wichtig: Ohne Ange, welches Universum gewählt wurde, mcht A keinen Sinn... Potenzmenge und Prtitionen Mengen: Potenzmenge 8 Bezeichnet M eine Menge, so schreit mn M oder P(M) für die Potenzmenge von M: P(M) := M := {A A M} Die Potenzmenge von M ht genu lle lle Teilmengen von M ls Elemente. Beispiele: P({, }) = {, {}, {}, {, }} P({,, }) = {, {}, {}, {}, {, }, {, }, {, }, {,, }} P( ) = { } P({, { }}) = {, { }, {{ }}, {, { }}} Eine Menge mit k Elementen ht Krdinlität... k. Intuitiv: um eine Teilmenge zu konstruieren muss für jedes Element entschieden werden, o es zur Teilmenge gehört oder nicht dmit k j/nein (inäre) Entscheidungen lso k mögliche Teilmengen ( richtiger Beweis später). 5

6 Mengen: Prtitionen 9 Eine Prtition einer Menge M ist eine Menge P P(M) von disjunkten, nicht leeren Teilmengen von M, deren Vereinigung gerde M ergit. Etws formler: M = P, d.h. die Elemente von P üerdecken M. Für jede elieige A, B P gilt entweder A = B oder A B = Für jede elieiges A P gilt A. Beispiel: Die möglichen Prtitionen von {,, } sind: {{,, }}, {{}, {, }}, {{, }, {}}, {{, }, {}}, {{}, {}, {}} Einige mögliche Prtitionen von N 0 : {N 0, N 0 + }, {{x} x N 0 }, {N 0 } Visulisierung von Mengen: Venn- und KV-Digrmme Mengen: Vernschulichung 0 Die Beziehungen zwischen mehreren Mengen vernschulicht mn z.b. mittels Venn-Digrmmen oder Krnugh-Veitch-Digrmme. Ω A B A B A Ω A B C B C Wichtig: Allgemeine Lge ller Mengen. (Bildquelle: [wikipedi] Mengen: Vernschulichung Venn-Digrmme und KV-Digrmme für llgemeine Mengen (Bildquelle: [wikipedi]) 6

7 A A A A A B B B B B D D D D D C C C C C Mengen: Vernschulichung Venn-Digrmme und KV-Digrmme für 5 llgemeine Mengen (Bildquelle: [wikipedi]) A E A B D C..6 Mengenterme Mengenusdrücke/-terme Stehen A, B, C,... für elieige Mengen, d.h. sind Vrilenezeichner von Typ Menge, dnn können wir mittels,, P( ), \, Mengenterme/-usdrücke ufstellen, die die Konstruktion von weiteren, komplexeren Mengen eschreien. Ist ein Universum Ω definiert, dnn steht uch ds Komplement A einer Menge A Ω zur Verfügung. Werten sich zwei Mengenterme für jede konkrete Whl von Mengen A, B, C,... stets zur selen Menge us, dnnn nennt mn die Mengenterme äquivlent. Mengenusdrücke/-terme Die Äquivlenz von Mengenterme lässt sich entweder mittels KV-Digrmmen üerprüfen (für is zu c. 5 Vrilen) oder mittels Äquivlenzumformungen unter Verwendung von Stndrdäquivlenzen/- identitäten. Für jetzt: lles entsprechend zur Umformung von rithmetischen Ausdrücken/Termen, später formle Definition für logische Formeln. 7

8 Stndrdäquivlenzen für A, B, C Mengenvrilen. A = A A A = A A A = A = A A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Mengenusdrücke/-terme 5 Noch mehr Stndrdäquivlenzen für A, B, C Mengenvrilen. A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) A = A (A B) A = A (A B) A B = (A \ B) (B \ A) Mit definiertem Universum Ω: A A = A A = Ω A \ B = A B A = A A B = A B A B = A B Mengenusdrücke/-terme 6 Üerprüfen/Beweisen z.b. durch Aufstellen des KV-Digrmms einml für die linke und einml für die rechte Seite einer Äquivlenz. Beispiel: A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) Linke Seite: v.l.n.r. A, B C, A \ (B C) A A A B B B C C C Rechte Seite: v.l.n.r. A \ B, A \ C, (A \ B) (A \ C) A A A B B B C C C..7 Tupel, Sequenzen, Folgen und Wörter Tupel, Sequenzen, Folgen und Wörter 7 Mengen: Zusmmenfssung von Ojekten ohne Bechtung von Anordnung oder Vielfchheiten von elieig vielen Ojekten {,,, {, }, } = {, {, },, } 8

9 Tupel: Zusmmenfssung einer festen, endlichen Anzhl von Ojekten unter Bechtung der Anordnung/Auflistung der Ojekte und Bechtung von Vielfchheiten. (,,, {, }, ) (, {, },, ) Definitionen von Tupeln durch ( und ) eingeleitet zw. eendet. Tupel, Sequenzen, Folgen und Wörter 8 Sequenz/Folge: Ist für jede ntürliche Zhl i N (oder uch i N 0 ) ein Ojekt i gegeen, dnn ezeichnet mn die unendliche Auflistung (,,...) (zw. ( 0,,...)), die die Ojekte nch nwchsendem Index uflistet/zusmmenfsst, ls Sequenz/Folge. Kurzschreiweise: ( i ) i N (zw. ( i ) i N0 ) Beispiel: (i) i N0 = (0,,,,...), (/i) i N = (, /, /, /,...) Häufig sgt mn sttt Tupel uch endliche Sequenz oder Folge und fsst die Definitionen zusmmen: Gilt I N 0 und ist für jedes i I ein Ojekt i gegegeen, so schreit ( i ) i I für ds Tupel, welches die Ojekte i nch nwchsendem Index uflistet. Nottion: Für k N definiert mn [k] := {,,..., k} mit [0] =. Dnn gilt ( i ) i [k] = (,,..., k ) mit ( i ) i [0] = (). Tupel, Sequenzen, Folgen und Wörter 9 Länge t eines Tupels t oder uch Anzhl #t der Komponenten/Einträge eines Tuples ist gerde Anzhl der Ojekte (einschließlich Vielfchheiten) der zusmmengefssten Ojekte. Beispiele: (, (, c)) = (,,,,, ) = 6 ( {, }, {, },, (, {(, )}) ) = Synonyme: k-tupel für Tupel der Länge k, Pr für -Tupel Zwei Tupel sind identisch, wenn sie diesele Länge hen und sie n jeder Position denselen Eintrg esitzen. Beispiele: (, (, c)) (, (c, )) (, {, c}) = (, {c, }) ({c, }, ) () (,, c) Tupel, Sequenzen, Folgen und Wörter 0 Sind A, B Mengen, so schreit mn A B für ds krtesisches Produkt von A und B: die Menge ller Pre, deren erste Komponente ein Element us A und deren zweite Komponente ein Element us B ist: A B = {(, ) A, B} Entsprechend definiert mn A A... A k = {(,,..., k ) A, A,..., k A k } (für k = 0 ist ds Produkt die Menge { () }). Bechte: (A B) C A B C A (B C) d A B C = {(,, c) A, B, c C} (A B) C = {((, ), c) A, B, c C} 9

10 A (B C) = {(, (, c)) A, B, c C} Tupel, Sequenzen, Folgen und Wörter ein_tupel = (,, c ) noch_ein_tupel = ((, ), c ) und_noch_eins = (,(, c )) menge_von_zeugs = frozenset([ein_tupel,noch_ein_tupel,und_noch_eins]) for x in menge_von_zeugs: for y in menge_von_zeugs: print("%s equivlent zu %s? %s" % (x,y,x==y)) Progrmmiersprchen mchen uch diese Unterschiede, d Klmmerstruktur z.b. uch vorgit, wie etws gespeichert wird. Ausproieren unter [python.org/shell] Tupel, Sequenzen, Folgen und Wörter Grphisch vernschulicht (entspricht Speicherstruktur): (,, c) entspricht ((, ), c) entspricht c c (, (, c)) entspricht c Tupel, Sequenzen, Folgen und Wörter Mn schreit A k für lle k-tupel mit Komponenten nur us A: A k = {(,..., k ) A, A,..., k A} Bechte: A 0 := {()} und A := {() A} A Progrmmiersprchen mchen uch diesen Unterschied z.b. Python: [ ] ist die Liste, die ds Zeichen enthält, und nicht einfch ds Zeichen ; entsprechend ist [] die leere Liste. Tupel können prinzipiell durch Mengen simuliert werden z.b. (, ) durch {{0, }, {, }} oder (ohne Zhlen er umständlicher) durch {{, }, {{ }, }}. 0

11 Wörter und Sprchen Für die Informtik ilden Tupel die konzeptuelle Grundlge für Zeichenketten (strings). Ülicherweise ist eine Menge von Grundzeichen (Alphet) vorgegeen z.b. ASCII, UTF-8, lphnumerisch {,..., z, A,..., Z, 0,..., 9} Häufig wird ein Alphet mit Σ oder Γ ezeichnet. und mn etrchtet nur Tupel mit Einträgen us diesem Alphet. Für die Menge ller (endlichen) Tupel mit Einträgen us einem Alphet Σ schreit mn kurz Σ := k N 0 Σ k = {Σ k k N 0 }. Mn nennt Σ uch die Menge ller endlichen Wörter üer Σ, und ezeichnet die Elemente von Σ ls (endliche) Wörter (üer Σ). Wörter und Sprchen 5 Solnge keine Missverständnisse entstehen können, schreit mn für ein Wort (,,..., k ) einfch kurz... k. Für ds leere Tupel () enötigt mn dnn ein spezielles Symol, meistens ε (empty word) oder λ (leeres Wort), ds mn dnn ds leere Wort nennt. Ist Σ ein Alphet, so ezeichnet mn eine Teilmenge L Σ ls Sprche (üer Σ). Für Wörter und Tupel definiert mn noch die Konktention ( Verkettung ): Die Konktention uv zweier Wörter u = u... u k und v = v... v l (u i, v j Σ) ist gerde uv := u... u k v... v l. Bechte: uε = εu = u und uv = u + v. Entsprechend ist die Konktention zweier Tupel (u,..., u k ) und (v,..., v l ) ds neue Tupel (u,..., u k, v,..., v k ).. Reltionen.. Bsisvokulr und -konzepte Reltionen 6 Gegeen Mengen A, A,..., A k, so nennt mn R A A... A k eine (k-stellige) Reltion oder eine Reltion der Stelligkeit/Arität k. Gilt (,,..., k ) R, dnn sgt mn, dss die Ojekte,,..., k zgl. R in Reltion stehen. Reltionen ilden die Grundlge für Dtennken: Vereinfcht gesprochen ist eine (klssische) Dtennk eine Menge von Dtennktellen, woei jede Telle eine Reltion speichert z.b. A Id A Nchnme A Vornme Mn Spider Brot Bernd Womn Wonder Gg Ldy A Id A Mtrikelnummer A Id A Geschlecht m w w R S T

12 Reltionen: Join und Projektion 7 Die wichtigste Dtennkopertion sind Join und Projektion. Der Join R i=j S konkteniert ( verkettet ) jedes Tupel (r,..., r k ) R mit jedem Tupel (s,..., s l ) S, soweit r i = s j gilt: (r,..., r k ) R, R i=j S = (r,..., r k, s,..., s l ) (s,..., s l ) S, r i = s j Die Projektion π i,i,...,i j reduziert jedes Tupel (r,..., r k ) R uf die Einträge n den Positionen i < i <... < i j k: π i,i,...,i k (R) = {(r i, r i,..., r ij ) (r,..., r k,...) R} Hiermit lssen sich die Dtennktellen verknüpfen und filtern, um dmit Dtennknfrgen zu entworten. Mehr dzu in Dtennken. Reltionen 8 Beispiel: Reltionen/Tellen R, S, T A Id A Nchnme A Vornme Mn Spider Brot Bernd Womn Wonder Gg Ldy A Id A Mtrikelnummer A Id A Geschlecht m w w R S T Dtennknfrgen entsprechen Verknüpfen der Tellen mittels Join und Projektion z.b. Anfrge Vornmen ller weilichen Personen : π (R = (T = {(w)})) (Selst uswerten mit R, S, T von oen.).. Binäre Reltionen und Grphen Binäre Reltionen 9 Im Weiteren: inäre, d.h. -stellige Reltionen R A B Grundlge für lle verzeigerten Dtenstrukturen in der Informtik (z.b. Listen, Bäume, Grphen). Binäre Reltionen uf Zhlen us der Schule eknnt: kleiner-gleich, kleiner <, gleich =, ungleich, usw. Nottionsprolem: = = {(x, x) x R} R R (?!) Dher R zw. = N usw. für essere Unterscheidrkeit. Infixnottion: R für (, ) R Vgl.: N 5 sttt (, 5) N Für später: inverse Reltion R := {(, ) (, ) R}. Z.B. R = R.

13 Binäre Reltionen: Grphen 0 Vernschulichung von inären Reltionen mittels Grphen. Ein gerichterter Grph (kurz: Digrph) G = (V, E) esteht us einer Menge V gennnt Knotenmenge, Elemente von V entsprechend Knoten von G. einer inären Reltion E V V gennnt Kntenreltion/-menge, Elemente von E entsprechend Knten von G. Ein Digrph G ist endlich, flls V endlich; nsonsten ist G unendlich. Ein Digrph G ist iprtit, flls V = A B mit A B = und E A B B A (nur Knten zwischen A und B). Visulisierung eines (endlichen) Digrphen G = (V, E): Für jeden Knoten v V mle einen Knuel mit Nmen v Für jede Knte (s, t) mle einen Pfeil vom Knuel für s zum Knuel für t (s für source, t für trget ). Flls s = t, dnn mle Schleife. Flls G unendlich, een nur schemtische Skizze möglich i.a. Binäre Reltionen: Grphen Beispiel: G = (V, E) mit V = {,,, } [0.cm] E = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} lterntiv Nicht iprtit. Binäre Reltionen: Grphen Beispiel: G = (V, E) mit V = {,,, } [0.cm] E = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} lterntiv Biprtit. Binäre Reltionen: Grphen Visulisierung von R A B ls Digrph G R := ((A B), R). Beispiel: Visulisierung von {(x, y) x, y {0,,, }, x N0 y}

14 0 Beispiel: Skizze zu N0 N 0 N Binäre Reltionen: Grphen Eine Folge v 0, v,..., v l von Knoten v i V heißt Weg/Pfd, flls (v i, v i ) E für jedes i [l] gilt, d.h. wenn je zwei ufeinnderfolgende Knoten durch eine Knte us E verunden sind. Die Länge eines Pfdes (v 0, v,..., v l ) ist l, d.h. die Anzhl der Knten ( Schritte ), von v 0 is v l. Ein Pfd heißt einfch, flls kein Knoten mehrmls in dem Pfd vorkommt ( esucht wird). Fkt: In einem endlichen Digrphen ht ein einfcher Pfd mximl Länge V. Beispiel: v 0 v v v Einige Pfde: v 0 v 0, v 0 v 0, v v 0, v, v 0 v 0, v, v, v, v.. Reltionles Produkt Reltionles Produkt 5 Sind R A B sowie S C D inäre Reltionen, dnn ist ds reltionle Produkt von R und S die inäre Reltion RS A D gegeen durch oder kurz: RS = π, (R = S). RS = {(, d) es git x B C mit (, x) R und (x, d) S} Wenn B C =, dnn gilt lso RS =. Mn nennt RS uch die Verkettung von R und S. Visulisierung des reltionlen Produkts: Der Grph zu RS enthält eine Knte (u, v) gdw. es einen Verindungsknoten w und eine R-Knte (u, w) und eine S-Knte (w, v) git. Reltionles Produkt 6

15 R S RR RS SR SS.. Binäre Reltionen uf einer Menge Binäre Reltionen uf einer Menge 7 Weiterer wichtiger Spezilfll: Binäre Reltionen R A A, die uf einer Menge A definiert sind. Können mit sich selst mittels reltionlem Produkt mehrfch verknüpft werden: Zusmmenziehen der k-schritt-pfde R 0 := Id A := {(, ) A} R := R = R 0 R R := RR = R R R k+ = R k R = RR k = RR }{{... R } für elieiges k N 0. k + Kopien Bemerkung: Oige Definition wird ls induktive Definition ezeichnet. Die Definition ist (fst) ein Algorithmus, wie mn R k+ mittels R und R k rekursiv erechnen knn. Binäre Reltionen uf einer Menge 8 Sei R gegeen durch: v.l.n.r. R 0, R, R : 5

16 Binäre Reltionen uf einer Menge 9 Sei R gegeen durch: v.l.n.r. R 0 R R, R 0 R R, R 0 R R : Binäre Reltionen uf einer Menge 50 Mit ds fundmentlste Prolem der Informtik: Zusmmenziehen ller endlichen Pfde k. Erreichrkeit in endlich vielen Schritten k. Terminierungsprolem Trnsitive Hülle einer inären Reltion R A A: R + := k N Rk ( lle Pfde, die mindestens einen Schritt mchen ) Reflexiv-trnsitive Hülle einer inären Reltion R A A: R := k N 0 R k = R 0 R + v ist von u erreichr, flls ur v. Weitere Nottion: R k := k i=0 Ri ( Erreichrkeit in höchstens k Schritten ) Hinweis: Bedeutung von üerlden, unterscheide von z.b. Menge ller endlichen Wörter Σ. Binäre Reltionen uf einer Menge 5 Sei R gegeen durch: v.l.n.r. R +, R : 6

17 Binäre Reltionen uf einer Menge 5 Bechte: Ist n = R endlich, dnn gilt R = R n : Beweisskizze: Wir zeigen für lle s, t A (s, t) R gdw. (s, t) R n Gilt s = t, dnn ereits (s, t) Id A = R 0. Gilt s t, dnn: (s, t) R + gdw es git einen endlichen Pfd von s nch t in Digrph G R gdw es git einen einfchen (d s t) Pfd von s nch t in Digrph G R gdw (s, t) R n. Weitere Eigenschften (siehe Üungen): (R ) = (R + ) = (R ) + = R (R + ) + = R + Binäre Reltionen uf einer Menge 5 Eine inäre Reltionen R A A uf einer Menge A ist reflexiv flls: Id A R Jeder Knoten ht eine Schleife symmetrisch flls: Wnn immer (s, t) R, dnn uch (t, s) R Zwischen je zwei Knoten entweder eide Knten oder gr keine Knte symmetrisch flls: Wnn immer (s, t) R, dnn immer (t, s) R Keine Schleifen und zwischen je zwei verschiedenen Knoten höchstens eine Knte ntisymmetrisch flls: Wnn immer (s, t) R und uch (t, s) R, dnn gilt immer s = t Zwischen zwei verschiedenen Knoten existiert höchstens eine Knte trnsitiv flls: Wnn immer (s, t) R und uch (t, u) R, dnn uch (s, u) R Kommt mn mit genu zwei Schritten von s nch u, dnn uch mit genu einem. Binäre Reltionen uf einer Menge 5 Eigenschften der folgenden Reltionen? 7

18 Binäre Reltionen uf einer Menge 55 Weitere Beispiele: = Z : reflexiv; symmetrisch; trnsitiv Z : reflexiv; ntisymmetrisch; trnsitiv < Z : nicht reflexiv; symmetrisch; trnsitiv Z : nicht reflexiv; symmetrisch; nicht trnsitiv Z Z Z mit definiert durch Z (sprich teilt ) nicht reflexiv; nicht symmetrisch; nicht symmetrisch; nicht ntisymmetrisch; trnsitiv N N N (Einschränkung von teilt uf positive gnze Zhlen) reflexiv; ntisymmetrisch; trnsitiv m Z Z mit m definiert durch m ( ) für festes m N reflexiv; symmetrisch; trnsitiv uf P(Z): reflexiv; ntisymmetrisch; trnsitiv Kongruenzegriff uf Dreiecken: reflexiv; symmetrisch; trnsitiv Binäre Reltionen uf einer Menge 56 Noch mehr Beispiele für Wörter u, v Σ u ist ein Präfix von v (kurz: u p v), flls es ein w Σ mit uw = v git. p : reflexiv; ntisymmetrisch; trnsitiv u ist ein Suffix von v (kurz: u s v), flls es ein w Σ mit wu = v git. s : reflexiv; ntisymmetrisch; trnsitiv u ist ein Infix (Fktor) von v (kurz: u i v), flls es w, w Σ mit wuw = v git. f : reflexiv; ntisymmetrisch; trnsitiv u und v sind konjugiert (kurz: u = c v), flls es w, w Σ mit u = ww und v = w w git. = c : reflexiv; symmetrisch; trnsitiv Binäre Reltionen uf einer Menge 57 Klssifiktion: Z, N,, p, s, i werden ls prtielle Ordnungen ezeichnet: reflexiv, ntisymmetrisch, trnsitiv = Z, m, = c, Kongruenz von Dreiecken werden ls Äquivlenzreltionen ezeichnet: reflexiv, symmetrisch, trnsitiv 8

19 ..5 Äquivlenzreltionen Äquivlenzreltionen 58 Betrchte die Reltionen = Z, k (Kongruenz modulo k), = c Gemeinsmkeiten: reflexiv, symmetrisch, trnsitiv Unterteilen/prtitionieren die Ojekte des Universums nch verschiedenen Äquivlenzegriffen = Z : und diesele/identische Zhl Feinste Prtitionierung: {{x} x Z} m : und dersele Rest ei Division durch m Prtitionierung: Menge der Restklssen {mz, mz +,..., mz + (m )} mit mz = {mz z Z} Gröste Prtitionierung für m = : {Z} ( lles gleich ) Äquivlenzreltionen 59 Allgemeine Definition: Eine inäre Reltion R A A üer einer Menge A heißt Äquivlenzreltion (uf A), flls: R reflexiv und symmetrisch und trnsitiv. Für R A A eine Äquivlenzreltion definiert mn: Äquivlenzklsse eines Ojekts zgl. R: [] R = { A R} Bsp.: [] =Z = {}, [ 5] = Z + Fkt: Es gilt [] R und [] R = [] R für R und [] R [] R = für (, ) R Den Quotienten von A zgl. R: A/R = {[] R A} Bsp.: Z/= Z = {{x} x Z}, Z/ = {Z, Z +, Z + } Fkt: A/R ist eine Prtition von A Äquivlenzreltionen 60 Weitere wichtige Äquivlenzreltionen: Äquivlenzen uf Termen/Formeln/Progrmmen (x + y) und x + xy + y verschiedene Zeichenketten/rithmetische Terme, er werten sich für lle reellen Zhlen x, y R stets zu demselen Wert us, weswegen mn (ungenu) einfch (x + y) = x + xy + y schreit. Entsprechend (A C) \ B und (A (B C)) im mengentheoretischen Sinn äquivlent, er verschiedene Terme. Wichtig für die Informtik: Entscheiden, o zwei (ls Zeichenkette) verschiedene Progrmme dssele tun. Z.B. prototypische Implementierung vs. optimierte Implementierung. Auslick: Im Allgemeinen knn mn kein Progrmm schreien, ds die Äquivlenz von zwei nderen Progrmmen entscheidet. Siehe Einführung in die theoretische Informtik. 9

20 Äquivlenzreltionen 6 = "Ein String" = "Ein String" c = "%s" % tuple_of_strings = (,,c) for i in rnge(0,len(tuple_of_strings)): x = tuple_of_strings[i] for j in rnge(i,len(tuple_of_strings)): y = tuple_of_strings[j] print(" %s sele Zeichenkette wie %s? %s" % (x,y,x==y)) print(" %s seles Ojekt wie %s? %s" % (x,y,x is y)) Die meisten Progrmmiersprchen hen für Strings zumindest die Äquivlenzen seles Ojekt (im Speicher) und sele Zeichenkette. Häufig ist == üerlden (Python, C++) und testet zwei Ojekte uf Äquivlenz im ntürlichen Sinn (z.b. sele Zeichenkette ). Jv testet mit == jedoch seles Ojekt [usproieren]..6 Ordnungsreltionen Ordnungsreltionen 6 Beispiele: Z, N,, p, s, i Gemeinsmkeiten: reflexiv, ntisymmetrisch, trnsitiv Ordnen Ojekte zumindest teilweise (prtiell) n. Unterschiede: Für zwei elieige, Z gilt mindestens Z oder Z, d.h. zgl. Z sind lle gnzen Zhlen vergleichr. Für zwei elieige, N knn weder N noch N gelten, d.h. zgl. N git es unvergleichre positive gnze Zhlen, z.b. die Primzhlen. Ordnungsreltionen 6 Mn definiert dher: R A A ist eine prtielle Ordnung (Hlordnung) uf A, flls R reflexiv und ntisymmetrisch und trnsitiv. R A A ist eine totle Ordnung (Totlordnung) uf A, flls R eine prtielle Ordnung uf A ist, und je zwei elieige, stets zgl. R in Reltion stehen, d.h. mindestens R oder R gilt. Mn definiert entsprechend noch strikte/strenge Vrinten, indem mn die Reflexivität durch die Irreflexivität ersetzt, womit die Antisymmetrie zur Asymmetrie wird. R ist irreflexiv, flls (, ) R für jedes A, d.h. R Id A =. Bsp.: < Z = Z \Id Z 0

21 Ordnungsreltionen 6 Visulisierung einer (prtiellen) Ordnung R A A: Sttt R zw. den zugehörigen Digrphen G R, stellt mn nur eine möglichst kleine Reltion S R dr, für die S = R gilt. G S wird dnn Hsse-Digrmm von R gennnt. Beispiel: N0 Sttt 0... nur 0... Ordnungsreltionen 65 Beispiel: Hsse-Digrmm zu N ([0] [0]) Beispiel: Hsse-Digrm zu uf P([]) {,, } {, } {, } {, } {} {} {} Ordnungsreltionen 66 Beispiel: Hsse-Digrmm zu Ordnung uf Äquivlenzreltionen üer {,, }: flls: wnn immer, dnn ereits, oder äquivlent

22 {{,, }} {{}, {, }} {{, }, {}} {{, }, {}} {{}, {}, {}} Ordnungsreltionen 67 Noch ein pr Stndrdegriffe zgl. einer Ordnung R A A: m A ist ein mximles Element zgl. R, flls: Gilt mr für ein A, dnn uch Rm und dmit = m. Keine Knten zu einem nderen Element Erinnerung: zgl. prtieller Ordnungen knn es uch unvergleichre Ojekte geen. m A ist ds größte Element zgl. R, flls Rm für jedes A gilt. Keine Knten zu einem nderen Element, er von jedem nderen Element eine Knte. Ist R totl, dnn ist ein mximles Element sofort uch ds größte Element. Entsprechend definiert mn ein minimles und ds kleinste Element zgl. R. Ordnungsreltionen 68 Erinnerung: Für eine inäre Reltion R A A hen wir die trnsitive Hülle R + := k N Rk und die reflexiv-trnsitive Hülle R = k N 0 R k definiert. Die Teilmengenreltion ist eine Hlordnung uf der Menge ller inären Reltionen uf A. Bzgl. lssen sich R und R + uch wie folgt chrkterisiern: R + ist ds kleinste Element zgl. in {S A A R S und S ist trnsitiv} d.h. ist S trnsitiv mit R S, dnn gilt R + S. R ist ds kleinste Element zgl. in {S A A R S und S ist reflexiv und trnsitiv} d.h. ist S reflexiv und trnsitiv mit R S, dnn gilt R S. Siehe Üungen. Ordnungsreltionen 69 Fkt: Mit R ist uch R eine Ordnung. ( Pfeile umdrehen ) Begriffe miniml und mximl zw. kleinstes und größtes dul, d.h. eim Wechsel von R zu R vertuschen sie sich. Beispiele:

23 Bzgl. N ist ds kleinste Element, es git keine mximlen Elemente. Bzgl. N ( ist Vielfches ) ist ds größte Element. Bzgl. N\{} sind die Primzhlen die minimlen Elemente. Bzgl. Z git es keine minimlen/mximlen Elemente Bzgl. N0 ist 0 ds kleinste Element Bzgl. N0 ist 0 ds größtes Element. Funktionen.. Bsisvokulr und -konzepte Funktionen 70 Eine Reltion R A B ist eine Funktion (Aildung), flls: Für jedes A git es genu ein B mit (, ) R D.h. es git mindestens ein B mit R UND wnn immer uch R, dnn gilt =. Konventionen/Anmerkungen (wie in Schule): f, g, h,... ls Funktionenezeichner. f : A B um zu sgen, dss f A B eine Funktion von A nch B ist. f() steht für ds eindeutige B mit (, ) f. Bechte: Schreirichtung dreht sich dmit um f vs. = f() In mnchen Fällen f sttt f() uch prktischer. Definition von Funktionen mittels z.b.: f : R R: x x + Funktionen 7 Weitere Konventionen/Anmerkungen: Für die Menge ller Funktionen von A nch B schreit mn B A := {f : A B}. Gilt A = k i= A i, dnn schreit mn einfch f(,..., k ) sttt f((,..., k )). k ezeichnet mn dnn ls Stelligkeit oder Arität von f. Entsprechend ezeichnet mn f : k i= A i B uch ls k-äre Funktion z.b. nullär, unär, inär, tertiär usw. Spezilfll nulläre Funktion: f : {()} B Ist nur für ds leere Tupel (= kein Argument ) definiert und ordnet diesem immer denselen Wert zu. Funktionen 7 Weitere Konventionen/Anmerkungen: Die Urildmenge Dom(f) einer Funktion f : A B ist die Menge A. Die Bildmenge Rng(f) von f ist die Menge {f() A}. Allgemeiner definiert mn für X A und Y B:

24 f (Y ) = { A f() Y } Dom(f) (Urilder von Y ) f(x) = {f() X} Rng(f) (Bilder von X) Nch unserer Definition muss eine Funktion f : A B jedem A ein Bild f() zuweisen. Solche Funktionen werden uch ls totl ezeichnet. Als prtielle Funktion ezeichnet mn entsprechend eine Reltion f A B zgl. der jedes A mit höchstens einem B in Reltion steht. Kurz f : A B, um drufhinzuweisen, dss f nur prtiell ist. f : A B (totle) Funktion: Dom(f) = A f : A B prtielle Funktion: Dom(f) A Prtielle Funktionen in der Informtik recht gewöhnlich zur Beschreiung von u.u. nicht terminierenden Progrmmen... Visulisierung Funktionen: Visulisierung 7 Visulisierung einer Funktion f : A B (wie in Schule): Biprtiter Grph (A B, f) mit Knuel für A links und Knuel für B rechts. A B edeutet: mch notflls disjunkt, d.h. jeweils seprte Knuel für A und B, selst wenn A B. Beispiel: f = {(, ), (, ), (c, )} A B für A = {,, c} und B = [] c Als Funktion: Als Reltion: c D A B = kein Unterschied. Funktionen: Visulisierung 7 Visulisierung einer Funktion f : A B (wie in Schule): Biprtiter Grph (A B, f) mit Knuel für A links und Knuel für B rechts. A B edeutet: mch notflls disjunkt, d.h. jeweils seprte Knuel für A und B, selst wenn A B. Beispiel: f = {(, ), (, ), (c, )} A A für A = {,, c} c Als Funktion: c Als Reltion: c Für A = B Drstellungen unterschiedlich; Drstellung ls Reltion nützlich, flls mn n der Bhn x, f(x), f(f(x)),... interessiert ist (siehe Permuttionen).

25 .. Opertionen uf Funktionen Funktionen: Opertionen 75 Aildungen der Form f : A k A (d.h. f A k+ ) werden uch ls k-stellige Opertionen uf A ezeichnet. Beispiele: Addition und Multipliktion + R, R : R R R uf R Für inäre Opertionen verwendet mn ülicherweise die Infixnottion: (x + R y) sttt + R (x, y); (x R y) sttt R(x, y) Häufig verwendet mn,,, u.ä. Symole ls Bezeichner für inäre Opertionen. Meistens lässt mn uch die äußersten Klmmern weg, flls keine Missverständnisse entstehen können, lso z.b. nur sttt ( ) Eine inäre Opertion : A A A ist ssozitiv flls ( ) c = ( c) für lle,, c A. kommuttiv flls = für lle, A. idempotent flls = für lle A. Funktionen: Komposition 76 Komposition (Ncheinnderusführung) (g f)() := g(f()) von Funktionen f : A B und g : B C (g f): A C : g(f()) Anmerkungen: Lies g f ls g nch f Komposition ist ssozitiv (ls Opertion uf die Menge der Funktionen), er nicht kommuttiv: (h (g f))() = h((g f)()) = h(g(f())) = (h g)(f()) = ((h g) f)() Funktionen: Komposition 77 Komposition (Ncheinnderusführung) (g f)() := g(f()) von Funktionen f : A B und g : B C (g f): A C : g(f()) Bechte umgekehrte Lese/Schreirichtung im Vergleich zu Reltionen: Reltionles Produkt Komposition fg = {(, g(f())) A} = (g f) c f f f g g g γ β α c (g f) (g f) (g f) γ β α 5

26 .. Eigenschften von Funktionen Injektive, surjektive und ijektive Funktionen 78 Erinnerung: Für f : A B und Y B ezeichnet f (Y ) = { A f() Y } die Menge der Urilder von Y. Eine Funktion f : A B ist injektiv, flls us f() = f( ) stets = folgt. Äquivlent: f ({}) für jedes B surjektiv, flls für jedes B ein A mit f() = git. Äquivlent: f(a) = B, Rng(f) = B, f ({}) für jedes B. ijektiv, flls sowohl injektiv ls uch surjektiv. Äquivlent: f ({}) = für jedes B. Funktionen: Eigenschften 79 Beispiele: e 5 e 5 e 5 d d d c c c e 5 e 5 d d d c c c Funktionen: Umkehrfunktion 80 Ist f ijektiv, dnn ist uch {(, ) B, f ({})} A B eine Funktion, die mn ls Umkehrfunktion/Inverse von f ezeichnet, und für die mn eenflls die Nottion f verwendet. Beweis, dss R := {(, ) B, f ({})} A B : Jedes B ht ein Bild, d: Fixiere ein elieiges B D f surjektiv, git es ein A mit f() = zw. f ({}). Also (, ) R. 6

27 Flls (, ) R und (, ) R, dnn =, d: Nch Definition von R:, f ({}), lso f() = = f( ). D f injektiv: Folgt us f() = = f( ) ereits =. Also steht jedes B mit genu einem A zgl. R in Reltion, dmit ist R eine Aildung. Funktionen: Eigenschften 8 Einige Eigenschften und erste Beweise: Ist f : A B ijektiv, dnn uch f. Beweis: f ist injektiv, d: Für elieige, B gilt mit f () = f ( ) =: sofort f() = und f() =, lso = (sonst wäre f keine Funktion). f ist surjektiv, d: Sei A elieig. Setze := f(). Dnn gilt ereits f () =. Funktionen: Eigenschften 8 Einige Eigenschften und erste Beweise: Sei f : A B ijektiv. Dnn ist f die einzige Funktion g us A B mit der Eigenschft (g f) = Id A und (f g) = Id B. Beweis: Es gilt (f f) = Id A, d: Sei A elieig fixiert. Sei = f(). Dnn gilt f ({}), lso = f () = f (f()) Ht g : B A die Eigenschft (g f) = Id A, dnn gilt g = f, d: f = Id A f = (g f) f = g (f f ) = g Id B = g Es gilt (f f ) = Id B, d: seler mchen Ht g : B A die Eigenschft (f g) = Id B, dnn gilt g = f, d: seler mchen Funktionen: Eigenschften 8 Einige Eigenschften und erste Beweise: Für f : A B und g : B A gelte (g f) = Id A und (f g) = Id B. Dnn sind f, g ijektiv mit f = g, g = f. Beweis: f ist injektiv, d für, A mit f() = f( ) gilt: = Id A () = (g f)() = g(f()) = g(f( )) = (g f)( ) = Id A ( ) = f ist surjektiv, d g() ein Urild für B zgl. f ist: = Id B () = (f g)() = f(g()) Entsprechend folgt, dss g ijektiv ist. D f, g eindeutig, folgt f = g und g = f. 7

28 Konsequenz: Ist f ijektiv, dnn gilt f = (f ). Funktionen: Eigenschften 8 Einige Eigenschften und erste Beweise: Sind f : A B und g : B C ijektiv, dnn uch (g f): A C und es gilt (g f) = (f g ). Beweis: Bereits gezeigt: D f und g ijektiv, existieren f, g. Es gilt: (g f) (f g ) = Id C und (f g ) (g f) = Id A. (g f) (f g ) = g f f g = g Id B g = g g = Id C Entsprechend: (f g ) (g f) = Id A Wie uf letzter Folie gezeigt: Dmit sind (g f), (f g ) ijektiv mit (g f) = (f g ). Funktionen: Eigenschften 85 Einige Eigenschften und erste Beweise: Ist (g f): A C ijektiv, dnn ist f : A B injektiv und g : B C surjektiv. Beweis: Setze h := (g f). D h ijektiv, existiert h. (Ds edeutet nicht, dss f : B A, g : C B existieren.) f ist injektiv, d: Mit f() = f( ) ergit sich h() = h() =: c und dher uch = h (c) =. g ist surjektiv, d = f(h (c)) ein Urild von für c C. Funktionen: Eigenschften 86 Weitere Eigenschften (Beweise zur Üung): Ist f injektiv, dnn ist g : A f(a): f() ijektiv. Ist f : A A injektiv und A endlich, dnn ist f ijektiv. Ist f : A A surjektiv und A endlich, dnn ist f ijektiv. Sind f : A B und g : B C injektiv/surjektiv, dnn uch (g f). Ist (g f) sujrektiv, dnn uch g. Ist (g f) injektiv, dnn uch f. Für f : A B ist f = {(, ) A f() = f( )} eine Äquivlenzreltion uf A. f : A/ f B : f([] f ) ist ijektiv, flls f surjektiv. f (X Y ) = f (X) f (Y ) und f (X Y ) = f (X) f (Y ). f(x Y ) = f(x) f(y ), er f(x Y ) f(x) f(y ). f ist genu dnn injektiv, wenn stets f(x Y ) = f(x) f(y ). 8

29 .5 Krdinlität: Vergleiche von unendlichen Mengen Krdinlität von Mengen 87 Grundlge für den Vergleich von unendlichen Mengen: Eine Injektion f : A B erlut es jedes Element us A eindeutig mit f() B zu identifizieren. B ht dmit nschulich mindestens so viele Elemente wie A. Eine Bijektion f : A B erlut es, die Elemente von A und B eindeutig zu pren. B ht dmit nschulich genu so viele Elemente wie A. Mn definiert dher: A B (lies: B mindestens so mächtig wie A) durch es git eine injektive Funktion f : A B A = B (lies: A, B gleichmächtig) durch es git eine ijektive Funktion f : A B Entsprechend edeutet A < B (echt mächtiger), dss es zwr eine Injektion f : A B, er keine Bijektion g : A B git. Krdinlität von Mengen 88 Gefhr: Mchen diese Definitionen üerhupt Sinn? Wenn A B und B C, gilt uch A C? J, d die Komposition injektiver Funktionen wieder injektiv ist. Gilt für elieige Mengen: wenn A B und A B, dnn A = B? Ohne Beweis: Stz von Cntor-Bernstein-Schröder Sind f : A B und g : B A injektiv, dnn git es h: A B ijektiv. Es folgt: A = B wenn es injektive Fuktionen f : A B und g : B A git. Es folgt: A < B wenn es eine injektive Funktion f : A B er keine injektive Funktion g : B A git. Krdinlität von Mengen 89 Beispiele: N = N mittels der Injektionen N N: n n und N N: n n, oder der Bijektion N N: n n/ N = Z mittels der Bijektion { z + flls z 0 f : Z N: z z sonst N N 0 Z N, lso N, N 0, Z gleichmächtig. N = N N mittels der Bijektion Dmit uch: Q = N f : N N N: (n, m) (m + n )(m + n ) + m Mn nennt eine Menge A zählr, flls A N ; nsonsten nennt mn A üerzählr. 9

30 Krdinlität von Mengen 90 Bemerkungen: Mn ezeichnet A ls Krdinlzhl (für A eine Menge). Der Stz von Cntor-Bernstein-Schröder sgt gerde, dss uf den Krdinlzhlen ntisymmetrisch ist. Intuition: A ist zählr wenn es möglich ist, jedes Element von A mit einer eindeutigen Identifiktionsnummer (us N) zu versehen. Äquivlente Intuitition: A ist zählr wenn es eine (endliche order unendliche) Liste git, die lle Elemente von A (vielleicht mehrmls) enthält. Krdinlität von Mengen: Üerzählre Mengen 9 Es gilt stets A < P(A) (Stz von Cntor). Mit f : A P(A): {} folgt A P(A). Es muss noch gezeigt werden, dss es keine Bijektion f : A P(A) git. Beweis mittels Digonlisierung: Wir nehmen n, dss g : A P(A) ijektiv ist. Setze M = { A g()} P(A). (*) D g ngelich ijektiv, git es ein m A mit g(m) = M. Aer: m M genu dnn, wenn m g(m) = M, ws nicht mit unseren Annhmen üer Mengen vereinr ist. Krdinlität von Mengen 9 Noch mehr Beispiele: {0, } = N wegen Bijektion {0, } N: w (w), woei (w) die Zhl mit inäre Drstellung w ezeichnet. A = N für jede endliche Menge A. Die Menge der C/Jv/Python-Progrmme ist zählr. N < [0, ] wegen N < P(N) = {0, } N = [0, ] (0, ] = [, ) wegen Bijektion [, ) (0, ]: x /x (0, ] = R R < P(R) R R N < P(N) = R < P(P(N)) <... Krdinlität von Mengen: Beweistechniken 9 Für A = B : Direkt: gee eine Bijektion A B oder B A n. Mit Hilfe des Stzes von Cntor-Bernstein-Schröder: gee Injektionen A B und B A n. (I.d.R. viel einfcher!) 0

31 Für A < B : ilde eine Kette A C C n B woei mindestens ein Glied nicht nur sondern uch < erfüllt. Für C i C i+ gee eine Injektion n (Spezilfll: C i C i+ ). Für C i < C i+ enutze den Stz von Cntor..5. Multimengen Multimengen 9 Menge = Zusmmenfssung von Ojekten ohne Bechtung von Vielfchheiten und Reihenfolge Multimenge = Zusmmenfssung von Ojekten ohne Bechtung der Reihenfolge, er unter Bechtung von Vielfchheiten. In Dtennken werden Multimengen uch ls Bgs ezeichnet: eine Tsche echtet die Vielfchheit eines Ojekts, er een nicht die Reihenfolge ( set semntics vs. g semntics ) Häufig verwendet mn uch {} zur Nottion von Multimengen, wenn klr ist, dss eine Multimenge gemeint ist. Im Folgenden jedoch {} M für Multimengen: Beispiel: {,, c, } M = {, c,, } M {,, c} M = {,, c} = {,,, c} {,,, c} M Multimengen 95 Für ein festes Universum (Grundmenge) Ω lssen sich Multimengen mittels Zählfunktionen m N Ω 0 drstellen Z.B. für Ω = {,, c, d}: {,, c, } M = {(, ), (, ), (c, ), (d, 0)} Eine Menge A Ω lässt sich entsprechend ls Funktion {0, } Ω uffssen; diese Funktion nennt mn die chrkteristische Funktion von A (us diesem Grund schreit mn uch häufig Ω für P(Ω)). Die Vereinigung zweier Multimengen ist dnn einfch die punktweise Addition der Zählfunktionen. Der Schnitt zweier Multimengen knn z.b. ls ds punktweise Minimum der Zählfunktionen definiert werden..6 Zusmmenfssung Grundlgen Zusmmenfssung 96 Zusmmenfssung von Ojekten: ohne Bechtung von Reihenfolge&Vielfchheiten: Mengen unter Bechtung von Reihenfolge&Vielfchheiten: Tupel, Wörter, Sequenzen, Folgen, Funktionen f A N k N 0 A [k]

32 ohne Bechtung von Reihenfolge, unter Bechtung von Vielfchheiten: Multimengen, Zählfunktionen f : A N 0 unter Bechtung der Reihenfolge, ohne Bechtung von Vielfchheiten: Mengen: inkjetkive Funktionen f A N k N 0 A [k] Grundlge für lle nderen Zusmmenfssungen, Reltionen, Funktionen Opertionen: Schnitt, Vereinigung, Differenz, sym. Differenz, Komplement (zgl. Grundmenge), Potenzmenge Visulisierung: Venn-Digrmme, KV-Digrmme Reltionen: R A A... A k Grundlge für reltionle Dtennken, Funktionen, Ordnungen Opertionen (neen Mengenopertionen): Join, Projektion, Konktention, reltionles Produkt, (reflexive-)trnsitive Hülle Visulierung: Digrph Ordnungen: R A A R reflexiv, ntisymmetrisch und trnsitiv Grundlge für Optimierung/Mximierung/Minimierung, Anordnung von Suchergenissen, etc. Visulisierung: Hsse-Digrmm Äquivlenzreltionen: R A A R reflexiv, symmetrisch und trnsitiv Grundlge für Astrktion Visulisierung: Digrph, Äquivlenzklssen Funktionen: {f : A B} = B A A B Grundlge für Beschreiung von Einge-Ausge-Verhlten von Progrmmen Visulisierung: Funktionsgrph (mnchml Digrph ls Reltion) Krdinlität: Vergleich von Mengen zgl. der Anzhl der zusmmengefssten Ojekte A B, flls f : A injektiv B existiert. A = B, flls A B und B A, oder flls f : A ijektiv B existiert.