COLEGIO HUMBOLDT CARACAS HRP 2009

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Hanna Bieber
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1 1. Aufgabe: Trassierung Analysis Der folgende Kartenausschnitt zeigt einen Autobahnabschnitt des Berliner Rings in der Nähe von Potsdam. Im Anhang 1 findet sich ein Arbeitsblatt des Kartenausschnitts mit einem Koordinatensystem (Raster in cm), den gegebenen Punkten und dem Maßstab. a) Bestimme mit Hilfe eines Spline Ansatzes die Funktionen für die "untere" Trasse von P nach Q durch P1 und P2. Die Funktionen sollen in P und Q ohne Knick in die Geradenstücke übergehen und in den Verbindungspunkten P1 und P2 glatt ineinander übergehen. Stelle dein Ergebnis und die geradlinigen Anschluss-Stücke bei P und Q in DERIVE unverzerrt dar. Bewerte kurz deine erhaltene Lösung. Falls du bei a) keine Lösung erhalten hast, lass dir vom aufsichtsführenden Lehrer eine mögliche Lösung in dein Verzeichnis kopieren. b) Bestimmen die Länge der Trasse von P bis Q und gebe die Kosten für diese Trasse an. Die Kosten für den Bau von 1 km Autobahn werden mit ca. 8 Millionen /km angegeben (Quelle: c) Entscheide, in welchem Teilbereich PP1, P1P2 oder P2Q die Krümmung der Trasse am größten ist. Berechne die maximale Krümmung der Trasse für diesen Teilbereich. Gib den zugehörigen minimalen Krümmungsradius in m an. Anlage: b Die Bogenlänge einer differenzierbaren Funktion f(x) ist durch b x = 1 f' x 2 dx gegeben. a Für eine reellwertige, zweimal differenzierbare Funktion f(x) ist die Krümmung K gegeben durch: K x = f '' x 1 f' x 2 3 Vorschlag A Seite 1/4

2 Analysis 2. Aufgabe: Interpolation Aus den Richtlinien für die Anlage von Landstraßen (RAL), Ausgabe 1976 sind die folgenden Werte für den Zusammenhang zwischen der Höchstgeschwindigkeit v und dem Kurvenradius (Krümmungsradius) r einer Trasse entnommen. Zusammenhang zwischen r und v: Radius r in m Geschwindigkeit v in km/h Um für den minimalen Krümmungsradius r aus Aufgabe 1), r ungefähr 165m, die zugehörige Geschwindigkeit v zu ermitteln, sollen die obigen Tabellenwerte durch eine Funktion interpoliert werden. Stelle die Tabellenwerte als Messpunkte in DERIVE dar. Bestimme eine Funktionsgleichung, die die gegebenen Messwerte angemessen interpoliert und zeichne die Kurve in dasselbe Graphikfenster ein. Bewerte die Güte deiner Interpolation. Welche Höchstgeschwindigkeit v erhälst du für den Radius r = 165 m? Ist die Trasse aus Aufgabe 1 für eine Autobahn geeignet? Vorschlag A Seite 2/4

Analytische Geometrie 3. Aufgabe: Maya Pyramide in Chichen Itzá (México Yucatan) Die berühmte Maya Pyramide in Chichen Itzá hat die Form eines Pyramidenstumpfes mit einer quadratischen Grundfläche.

3 Analytische Geometrie 3. Aufgabe: Maya Pyramide in Chichen Itzá (México Yucatan) Die berühmte Maya Pyramide in Chichen Itzá hat die Form eines Pyramidenstumpfes mit einer quadratischen Grundfläche. Die Länge der Kante AB beträgt 60 m und die quadratische Plattform EFGH befindet sich in einer Höhe h=30 m. a) Fertige ein räumliches Koordinatensystem mit dem Ursprung in D, der x-achse in DA- Richtung und der y- Achse in DC- Richtung an. Als Maßstab wähle 1cm = 10m. Der Punkt B hat dann die Koordinaten B( ). Zeichne zunächst nur die Punkte A,B,C und D ein. Stelle alle Ergebnisse der folgenden Aufgabenteile in dieser Zeichnung dar. b) Gegeben ist die Ebene E: x= r s 1 1 ; r,s R. 0 Stelle E in Normalenform dar und begründe, dass die Ebene E die Punkte E,F,G und H enthält. c) Am steht die Sonne um 11:00 so, dass die Sonnenstrahlen in Richtung a= 1 2 einfallen. 1 Die Punkte F und G haben die Schattenpunkte SF ( ) und SG ( ). Bestimme die Koordinaten der Punkte F und G. Und berechne die Seitenlänge FG der Plattform in Metern. Kontrolle: F( ) und FG = 20m. Fortsetzung auf Seite 4 Vorschlag A Seite 3/4

4 Fortsetzung: Maya Pyramide in Chichen Itzá (México Yucatan) d) Die Verlängerungen der Seitenkanten BF und CG schneiden sich in einem Punkt S. Berechne die Koordinaten. Ist S die Spitze der Pyramide? Gib die Höhe von S über der Plattform EFGH in Metern an. e) Unter welchem Winkel steigen die 91 Treppenstufen längs h s an? f) Im Innern der Pyramide befindet sich eine Grabkammer mit einer berühmten Jadeskulptur, die einen Jaguar darstellt. Um zur Grabkammer zu gelangen gibt es einen Gang innerhalb der Pyramide. Der Eingang des Ganges beginnt bei K und steigt unter dem Winkel 45º parallel zur y,z- Ebene an. Die Länge des Ganges beträgt 20 2 m bis zur Grabkammer. Bestimme die Koordinaten der Grabkammer. Kontrolle: X( ) Berechne den Abstand der Grabkammer zur Seitenfläche B,F,G,C und gib die Koordinaten des Punktes P der Seitenfläche an, der den geringsten Abstand von X hat. Vorschlag A Seite 4/5

5 Vorschlag A Seite 5/5

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