Das Wichtigste zur Fehler- und Ausgleichsrechnung im Physikpraktikum
|
|
- Sebastian Dresdner
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Das Wchtgste zur Fehler- und Ausglechsrechnung m Physkpraktkum J. Martens Bassdaten für de Fehler- und Ausglechsrechnung zur Auswertung der Laborversuche. Das ungekürzte Skrpt fnden Se n EMIL.
2 Inhalt 1 Grundlagen zur Auswertung von Messungen Zufällge Messabwechungen Systematsche Messabwechungen... 3 De Auswertung der Messergebnsse Auswertung für den Fall der mehrmalgen drekten Messung Aufstellung des Modells Vorberetung der Engangsdaten Mttelwert und Standardabwechung Systematsche Messabwechung Berechnung des vollständgen Messergebnsses Angabe des vollständgen Messergebnsses Berückschtgung der sgnfkanten Stellen be expermentellen Daten Erweterte Messunscherhet Vertrauensberech Größtfehler oder maxmal möglcher Betrag der Messabwechung Bestmmung der Unscherheten für den allgemenen Fall Lneare Regresson Ausglechsgerade y = Ax + B Ausglechsgerade y = Ax Lnearserungen Lneare Regresson grafsche Bestmmung von A, B und A, B Empfehlenswerte Lteratur / Skrpte, Lnks zur Fehlerrechnung... 11
3 1 Grundlagen zur Auswertung von Messungen Zel jeder Messung ener Messgröße st es, deren wahren Wert zu ermtteln. Dabe wrd ene Messenrchtung und en Messverfahren auf en Messobjekt angewendet. De Messung umfasst de Auswertung der gewonnenen Messwerte und anderer zu berückschtgender Faktoren. Jedes Messergebns wrd verfälscht durch Unvollkommenheten der Messgeräte, der Messverfahren und des Messgegenstandes, n zweter Lne auch durch Enflüsse der Umwelt und des Beobachters sowe durch während der Messung ncht erfassbare und ncht beenflussbare Änderungen der Messgeräte, des Messgegenstandes, der Umwelt und des Beobachters. De unvermedlch auftretenden Messabwechungen snd der Grund, warum es ncht möglch st, den wahren Wert zu messen. Ledglch das Messergebns y als en Schätzwert für den wahren Wert ener Messgröße Y sowe de Messunscherhet lassen sch aus den Messwerten und anderen Daten gewnnen und angeben. Zu enem vollständgen Messergebns gehören also das Messergebns und de Messunscherhet. Y = y u(y) De Messung ener physkalschen Größe ohne Angabe der Messunscherhet st wertlos. Ene physkalsche Größe, de n ener Messung bestmmt werden soll, bezechnet man als Messgröße. Der Wert ener Messgröße wrd durch das Produkt aus Zahlenwert und Enhet ausgedrückt. De Messgröße setzt sch zusammen aus dem arthmetschen Mttelwert v der Messwerte v j und den zufällgen und systematschen Messabwechungen. De systematschen Messabwechungen wederum setzen sch aus den bekannten und unbekannten Antelen zusammen [6]. vv ( er es) r es esb, esu, s, b e : Zufällge Messabwechung e s : Systematsche Messabwechung e : Erfassbare Messabwechung e s, u : Unbekannte Messabwechung 1.1 Zufällge Messabwechungen Zufällge Messabwechungen beenflussen das Ergebns ener Messung auf ene unvorhersehbare und unkontrollerbare, eben auf ren zufällge Art und Wese. Ursachen für zufällge Fehler, we se etwa m Praktkum auftreten, können z. B. sen: a) De Zufällgket, mt der en Naturprozess abläuft, we z. B. der radoaktve Zerfall oder de Emsson von Photonen. Se führt z. B. dazu, dass de während ener Messzet t gemessene Anzahl von Eregnssen zufällg schwankt. b) De Stoppuhr, de je nach Reaktonszet mal zu früh, mal zu spät gedrückt wrd. c) Der Messscheber, der be der Messung mal mehr, mal wenger stark zusammengedrückt wrd. d) Das Zeger-Messgerät ohne Spegelskala, be dem je nach Kopfstellung mal en zu klener, mal en zu großer Wert abgelesen wrd. Zufällge Messabwechungen führen mmer dazu, dass das Messergebns mal n der enen, mal n der anderen Rchtung vom wahren Wert abwecht. Wrd de Messung ausrechend oft durchgeführt, halten sch de Abwechungen nach oben und unten de Waage. Wäre das ncht der Fall, so wären de beobachteten Messabwechungen ncht ren zufällg. De Konsequenzen deser Aussage lassen sch we folgt zusammenfassen: Legen kene Erfahrungen mt enem bestmmten Messverfahren vor, so sagt das Ergebns ener enzgen Messung m Prnzp gar nchts aus. Das Ergebns kann zufällg mehr oder wenger stark nach oben oder unten vom wahren Wert abwechen. Erst durch häufge Wederholung der Messung oder aufgrund zurücklegender Messungen anhand des relevanten Messverfahrens entwckelt man en Gefühl dafür, um welchen Wert herum de Ergebnsse schwanken. Man kann beurtelen, welche Aussagekraft en Messergebns hat. [] 1. Systematsche Messabwechungen Systematsche Messabwechungen entstehen be ener Messung z. B. durch unvollkommene Messgeräte, durch unvermedbare Umweltenflüsse auf de Messung, durch de Wahl enes ungeegneten Messverfahrens oder schlcht durch Fehler be der Durchführung der Messung. Enge Bespele aus dem Praktkum sollen des verdeutlchen: a) Unvollkommene Messgeräte: Herzu zählen z. B. en Oszlloskop mt dejusterter Zetablenkenhet, en Messscheber mt verzogenen Backen, en Velfachmessgerät mt Nullpunktfehler, ene elektronsche Uhr mt Kalbrerfehler, ene dejusterte elektronsche Waage, usw. Das Unangenehme an desen Mängeln st, dass man se zum Tel während der Messung ncht erkennt. b) Enfluss der Umwelt: Als Bespel für den Enfluss der Umwelt auf ene Messung se de Temperaturabhänggket von Messgeräten genannt. Häufg snd dese Abhänggketen quanttatv bekannt. Man kann se n desem Fall den Gerätehandbüchern entnehmen und be der Auswertung der Messung berückschtgen. Oft weß man jedoch so gut we gar nchts über de Zusammenhänge und muss daher unwegerlch Messabwechungen n Kauf nehmen. c) Ungeegnete Messverfahren: Wenn man de Masse enes Magneten mt ener elektronschen Waage bestmmen wll, merkt man schnell, dass das Messergebns offenschtlch unsnng st. Da das Magnetfeld auf de Mechank der Waage enwrkt, st das Messverfahren ungeegnet. Erheblch schwerger st es bespelswese zu beurtelen, ob der nnerhalb ener elektrschen Schaltung gemessene Strom n unzulässger Wese durch de Beschaltung und den Innenwderstand des Messgeräts beenflusst wrd. Her seht man dem Messergebns ncht auf 3
4 den ersten Blck an, ob es rchtg oder falsch st. Man kann sch also. A. ncht darauf verlassen, dass man merkt, dass man en falsches Messverfahren enzusetzen. Velmehr muss berets be der Planung des Experments gründlch überlegt werden, welches Messverfahren geegnet st. d) Messabwechungen be der Durchführung von Messungen: En typscher Fehler be der Durchführung von Expermenten m Praktkum st z.b., dass be Zet- oder Spannungsmessungen mt dem Elektronenstrahl-Oszlloskop vergessen wrd, de entsprechenden Bedenungsknöpfe n de CALbrated -Poston zu brngen. Systematsche Messabwechungen lassen sch nemals völlg ausschleßen. Se beenflussen das Messergebns n ener ganz bestmmten Art und Wese hnter den Fehlern steckt System. Das bedeutet, dass man den Enfluss deser Messabwechungen auf das Messergebns auch durch häufge Wederholung der Messung ncht verrngern kann. Ist jedoch das Ausmaß der systematschen Messabwechung bekannt (z. B. durch Kalbrerung), snd se be der Auswertung herauszurechnen. Grobe Fehler bzw. Irrtümer, we se sch aus Mssverständnssen oder Fehlüberlegungen be der Bedenung der Messapparatur, aus falscher Protokollerung von Messdaten oder auch aus Programmfehlern n Auswerteprogrammen ergeben, werden ncht als Messunscherheten betrachtet. In desem Fall snd de Messungen oder Auswertungen falsch und müssen wederholt werden. Das Vorhandensen grober Fehler erkennt man nur durch krtsches Überprüfen und Kontrolleren der Ergebnsse. Vermeden kann man se durch sorgfältges Expermenteren. [] De Auswertung der Messergebnsse Be velen Messungen erhält man de Messwerte drekt aus der Anzege der Messenrchtung. Ene solche Messung wrd kurz drekte Messung genannt. Häufg muss ene Messgröße jedoch ndrekt ermttelt werden. Dabe werden zunächst andere Messgrößen entweder drekt gemessen oder ebenfalls ndrekt ermttelt. Aus desen und den systematschen Messabwechungen wrd dann mt Hlfe des mathematschen Zusammenhanges, des Modells der Auswertung, das vollständge Messergebns errechnet. De Auswertung sollte n ver Schrtten erfolgen: 1. Aufstellen der mathematschen Bezehung (Glechung, Modell) der Messgröße zu allen betelgten Engangs- Größen. Aufberetung der gegebenen Messwerte und anderer verfügbarer Daten 3. Berechnung des Messergebnsses und der Messunscherhet 4. Angabe des vollständgen Messergebnsses..1 Auswertung für den Fall der mehrmalgen drekten Messung Das n desem Abschntt beschrebene Verfahren be Vorlegen ener systematschen Messabwechung st en Sonderfall des allgemenen Verfahrens, ermöglcht aber enen Ensteg n de Auswertung von Messungen..1.1 Aufstellung der Bezehung De Messgröße Y wrd n unabhänggen Versuchen mehrmals drekt gemessen (Engangsgröße: X 1 ) und west ene bekannte systematsche Messabwechung (Engangsgröße: X ) auf. De Messgröße ergbt sch aus der Glechung Y = X 1 - X, (1) de das Modell darstellt.. Aufberetung der Engangsdaten..1 Mttelwert und Standardabwechung Be den Messungen streuen de be n enzelnen Messungen erhaltenen Messwerte v j wegen zufällger Enflüsse. Für sehr vele Messungen lässt sch de Häufgket N( v k ) n enem Hstogramm darstellen, d. h. de Anzahl der Messwerte N k n den Intervallen v k werden gegen de Intervallmttev k aufgetragen. Wenn n groß genug und de Intervallbrete klen st, lässt sch de Häufgketsvertelung n der Regel durch ene Normalvertelung f( v) approxmeren, deren Maxmum bem wahren Wert (Erwartungswert) legt. Ihre Brete ( : Standardabwechung) st en Maß für de Streuung der Enzelmessungen. Se wrd dort gemessen, wo de Vertelung lnks und rechts vom Maxmum den Wert f()/e annmmt. Der Erwartungswert und de Standardabwechung snd m Allgemenen unbekannt. Aus den Messwerten v snd für se Schätzwerte zu ermtteln. j Man wederholt n der Praxs en Experment n der Regel 5 bs 10mal, so dass der wahre Wert ncht aus der Normalvertelung bestmmt werden kann. Man benutzt aber alle n Messwerte, um enen Wert für abzuschätzen, und bezechnet als wahrschenlchsten Wert das arthmetsche Mttel aller Messwerte v. [3] Der Mttelwert v st das unberchtgte Messergebns x 1. De systematsche Messabwechung wrd erst später subtrahert. 1 n j n j 1 Arthmetscher Mttelwert (Bestwert) v v x1 () 4
5 De Standardabwechung s dent als Schätzwert für. n 1 Standardabwechung der Messwerte s v j v (3) n 1 j1 Das Ergebns ener Enzelmessung legt mt ca. 68% Wahrschenlchket m Berech v s. Als Unscherhet 1 u( v ) von X 1 wrd de Standardabwechung des Mttelwertes verwendet. n s 1 Standardabwechung des Mttelwertes uv ( ) ux ( 1) ( v) ( vj v) (4) n nn ( 1) j1 Der Mttelwert wrd mt ca. 68 % Wahrschenlchket m Berech v uv ( ) legen. Bespel 1 Bestmmung der Standardabwechung des Mttelwertes von der Wnkelrchtgröße (Aufgabe 1 m J-Protokoll) Tabelle 1: Bestmmung der Wnkelrchtgröße ener Spralfeder aus gemessenen Wnkeln, Hebelarmen und Kräften. n rad s n mm F n N D * n Nmm 1 4,370 4, ,90 4 4,00 5 4, ,750 Der Mttelwert von D* beträgt 4,98 Nmm. De Standardabwechung des Mttelwertes beträgt nach Glechung 4: u D* = 0,117 Nmm Das Ergebns lautet D*= (4,30 ± 0,1) Nmm Mt jedem Taschenrechner kann uv ( ) ermttelt werden... Systematsche Messabwechung De systematsche Messabwechung setzt sch aus der bekannten systematschen Messabwechung (z. B. aus ener Kalbrermessung) und der unbekannten systematschen Messabwechung zusammen. Ene bekannte systematsche Messabwechung x dent als Schätzwert für de Engangsgröße X. Se st m Allgemenen ncht glech der gesamten systematschen Messabwechung. Daher rührt de Unscherhet u(x ) der Engangsgröße X (z. B. de Unscherhet der Kalbrerung), de der bekannten systematschen Messabwechung zugeordnet st. Auch dann, wenn x glech Null st und daher m Messergebns ncht n Erschenung trtt, blebt dese Unscherhet bestehen. Ob dese Unscherhet vernachlässgt werden darf, muss m Enzelfall geprüft und entscheden werden..3 Berechnung des vollständgen Messergebnsses Im drtten Schrtt der Auswertung führt das Ensetzen des Mttelwertes v = X 1 sowe x = X n Glechung (1) zu dem Messergebns y der Messgröße Y, d. h. de bekannte systematsche Unscherhet muss herausgerechnet werden. y = v - x (5) y st der beste Schätzwert für den wahren Wert der Ergebnsgröße. De Unscherhet u(y) der Messgröße Y folgt aus der quadratschen Kombnaton der Unscherheten u(x 1 ) und u(x ) der Engangsgrößen X 1 und X. Her wrd z. B. de Unscherhet der Kalbrerung u(x ) berückschtgt. De Unscherhet des Referenzsystems wrd stets als zufällge Unscherhet fortgepflanzt. uy ( ) u( x) u( x) (6) 1 De relatve Unscherhet st u rel uy ( ). y.4 Angabe des vollständgen Messergebnsses Das vollständge Messergebns für de Messgröße wrd nach DIN und DIN 1333 n ener der folgenden Schrebwesen angegeben: a. Y = y ± u(y) R = (100,035 ± 0,03) Ω oder R = 100,035 Ω ± 0,03 Ω b. Y = y (1 ± u rel (y)) R = 100,035 (1 ± 0,03%) Ω oder R = 100,035 (1 ±, ) Ω Gerundete Unscherheten snd mt zwe sgnfkanten Zffern anzugeben. Se snd aufzurunden. Das Messergebns st an derselben Stelle we de zugehörge Unscherhet zu runden. 1 De theoretschen Begründungen für de Glechungen werden sehr überschtlch n dem Skrpt [1] dargestellt. Im Praktkum darf dese Unscherhet vernachlässgt werden. 5
6 Bespel u(y) = 0,5417 mm u(y) = 0,55 mm y =,57167 mm y =,57 mm. Das Messergebns lautet dann y = (,57± 0,55) mm. Für de Dskusson st zusätzlch de Angabe der relatven Messunscherhet n Prozent von Vortel, z. B. y =,57 (1 ±,4 %) mm..4.1 Berückschtgung der sgnfkanten Stellen be expermentellen Daten Auch wenn jeder Taschenrechner 1 oder mehr Stellen angbt, st das Ergebns ener Messung nur mt sovel Stellen anzugeben, we es der Messgenaugket entsprcht. De Stellen, de ncht durch de Messunscherhet beenflusst snd, nennt man sgnfkant. Alle übrgen snd unscher, also ncht-sgnfkant. Be der Angabe der Messgröße beschränkt man sch auf de sgnfkanten plus zwe ncht-sgnfkante Stellen (s. o.). Im Bespel R = (100,035 ± 0,03) Ω snd de ersten ver Stellen sgnfkant. De letzten zwe Stellen wegen der Messunscherhet unscher. Alle weteren Stellen haben kene Aussagekraft. Im Ergebns R = (0,1035 ± 0,003) Ω zählen de Zehnerpotenzen ncht zu den sgnfkanten Stellen. Rechenregeln für expermentelle Daten 1. Addton und Subtrakton werden bs enschleßlch der zweten ncht-sgnfkanten Stelle durchgeführt. De drtte ncht-sgnfkante Stelle wrd dazu benutzt, das Ergebns auf- oder abzurunden. Bespel (De zwe ncht-sgnfkanten Stellen snd unterstrchen): 30, , + 0,008 = 507,4. Multplkaton und Dvson werden bs zur zweten ncht-sgnfkanten Stelle der Größe, de de gerngste Anzahl sgnfkanter Stellen hat, durchgeführt. Bespel: 3,45 1,7 = 5,94 oder 100,/0,0034 = Erweterte Messunscherhet Häufg bevorzugen Anwender ene größere Intervallbrete als de Standardabwechung, de dann den wahren Wert mt ener größeren Wahrschenlchket als 68% enthält. In der DIN wrd der Erweterungsfaktor k = empfohlen. De erweterte Messunscherhet st: U( y) k u( y) (7) Für k = beträgt de Wahrschenlchket 95,4% und für k = 3 st se 99,7%, wenn n. Der Erweterungsfaktor st be der Verwendung der erweterten Messunscherhet mtzutelen..4.3 Vertrauensberech Der Vertrauensberech enthält mt ener vorgegebenen Wahrschenlchket, dem Vertrauensnveau (1-α), den Erwartungswert der Normalvertelung. Dabe wrd α als Irrtumswahrschenlchket bezechnet. Nach DIN können mt Hlfe des Korrekturfaktors t de Vertrauensgrenzen angegeben werden. Der Korrekturfaktor kann auf der Bass der Student- oder t-vertelung be ener endlchen Anzahl von n Enzelmessungen und unter Vorgabe enes Vertrauensnveaus berechnet werden. Be n Messungen und enem gewählten Vertrauensnveau von (1-α) st de erweterte Messunscherhet dann: Un,(1 ) tn,(1 ) u( v) (8) Das vollständge Messergebns lautet y v t,(1 ) u( v) Für de Wnkelrchtgröße aus dem Bespel 1 lautet das Ergebns be enem Vertrauensnveau von 95,5%: * D ( t (4, 30, 57 0,1) Nmm = (4, 30 0, 31) Nmm v 6;(95,5%) u( v) Der Vertrauensberech wrd von den Vertrauensgrenzen engeschlossen: v tu( v) yv t u( v) (9) Be der Angabe der Vertrauensgrenzen snd n jedem Fall der Faktor t oder das gewählte Vertrauensnveau sowe de Anzahl der Messungen n mtzutelen. Tabelle : Werte für t und t für verschedene Vertrauensnveaus be normal vertelten Messwerten (Auszug) Anzahl n der Messwerte Vertrauensberech 1- α 68,3% (1 ( v )) 95,5% ( ( v )) 99,7% (3 ( v )) t t t 1,84 1,71 63,3 3 1,3 4,30 9,9 4 1,0 3,18 5,8 5 1,14,78 4,6 6 1,11,57 4,0 7 1,09,45 3,7 8 1,08,36 3, ,31 3, ,6 3, >00, t 1,00 1,96,6 n 6
7 .4.4 Größtfehler oder maxmal möglcher Betrag der Messabwechung Häufg kommt es m Praktkum vor, dass a) der Zahlenwert ener Größe y ncht mt Hlfe von Messrehen, sondern anhand von Enzelmessungen bestmmt werden kann, b) de Engangsgrößen x 1, x, x 3 usw. ncht unabhängg vonenander snd oder c) kene zufällgen (normal vertelten) Fehler aufwesen. In desen Fällen st es snnvoll, für de Größe y den Größtfehler Δy anzugeben. Er ergbt sch aus der ungünstgsten, d. h. arthmetschen Addton aller Enzelfehler (arthmetsches oder lneares Fehlerfortpflanzungsgesetz): n f f f f y x1 x... xn x (10) x1 x xn 1 x y st der größtmöglche Fehler, der be der Enzelmessung der Größe nsgesamt auftreten kann. Er muss n der Regel nach vernünftgen Maßstäben abgeschätzt werden. Wrd bespelswese de Länge ener Strecke mt enem Maßstab gemessen, so wrd man be sorgfältger Messung de Ablesegenaugket des Maßstabs als Größtfehler annehmen. Zur Redukton des Arbetsaufwandes sollte man sch für das lneare Fehlerfortpflanzungsgesetz zwe Fälle merken: y f a x1 b x (10/1) Es st de Summe der absoluten Fehler zu blden. Dabe darf man de Faktoren a und b ncht vergessen. a b y x 1 x y f x1 x... yrel a b... (10/) y x1 x Es st de Summe der relatven Fehler zu blden. De Exponenten a und b werden zu Gewchtungsfaktoren. y a x b x Bespel 3 (RC-Versuch) Bestmmung des Schätzwertes für den maxmal möglchen Betrag der Ableseunscherhet be der Ermttlung der Zetkonstanten enes RC-Gledes mt Hlfe enes analogen Oszlloskopes Enstellungen des Oszlloskops: Empfndlchket X-Achse : 100 µs/cm, Stellung: CAL Empfndlchket Y-Achse : 1 V/cm, Stellung: CAL Vergrößerung (Zoom) des Oszlloskops: 10x Vom Schrm abgelesene Werte: U 100% = U 0 = (70 mm1 V/1 cm) = 7,00 V U 63% = u c = 0,63 7,0 V = 4,41 V Zoom (10x) n der X-Achse: = 51 mm (100 µs/cm /10) = 51 µs Unscherheten der Spannungswerte: ± 0,5 mm (Strchstärke) Ableseunscherheten ΔU 100% = ΔU 0 = ± 0,05 V Ableseunscherheten ΔU 63% = Δu c = ± 0,05 V - Ableseunscherheten Δ t = 1 mm (100 µs/cm / 10) = ± 1 µs Enfluss der Spannungsmessunscherheten: (1 RC u ) c U0 e U o t RCln U u o t c t t u 1 c tu U0 uc RC U0 uc U0 u c U0( U0 uc) ( U0 uc) tu U U Relatve Unscherhet der Spannungsmessungen: T RC rel,u rel, U 4, 41V 1 0, 05V 0, 05V 100% 3,1% 7, 00V 7, 00 4, 41V 7,00 4, 41V 1s Zetmessunscherhet: rel, t 100% 1, 9% 51s u c : Spannung am Kondensator U 0 : Max. Kondensatorspannung R : Wderstand C : Kapaztät Maxmale relatve Ableseunscherhet:,, 3,1% 1,9% 5,0% rel rel U rel t 7
8 3 Bestmmung der Unscherheten für den allgemenen Fall Häufg hängt de Ergebnsgröße Y n Form ener Funkton explzt von den Engangsgrößen X ab Y = f (X 1, X,, X m ) y = f (x 1, x,... x m ), (14) wobe X 1, X,, X m de Engangsgrößen, x 1, x,... x m de entsprechenden Schätzwerte 3 der Engangsgrößen darstellen. Für das Praktkum sollen de Engangsgrößen zur Bestmmung der Messgröße vonenander unabhängg sen. Be unkorrelerten Engangsgrößen berechnen Se uy ( ) mthlfe des Gauß schen Fehlerfortpflanzungsgesetzes: m f f f f ( ) ( ) ( 1) ( )... ( m ) 1 x x1 x xm uy u x ux ux ux, (15) Herbe st f / x de partelle Abletung der Funkton f nach x. Se gbt an, we sch de Funkton f ändert, wenn nur de Varable x varert wrd. Zur Redukton des Zetaufwandes sollte man sch zwe Spezalfälle merken: y f x1 x 1 uy ( ) ux ( ) ux ( ) (16) Es st de Wurzel aus der Summe der Quadrate der Standardabwechungen der Mttelwerte zu zehen. u( y) ux ( 1) ux ( ) u rel x1 u rel x y x1 x y f x1 x ( ) ( ) (17) Es st de Wurzel aus der Summe der Quadrate der relatven Standardabwechungen zu zehen. Verallgemenerung: y f ax1bx... uy ( ) aux ( ) bux ( )... (18) 1 a b y f x1 x... u( y) ux ( 1) ux ( ) a b... a u rel ( x1) b u rel ( x)... y x1 x (19) Bespel 4 Bestmmung ener Wnkelrchtgröße mt Hlfe von 10 Messungen, es wurde versucht stets den glechen Auslenkwnkel enzustellen. * r F D De Größen r, F und seen aus normalvertelten und ncht korrelerten Messwerten ermttelt worden. De Mttelwerte mt hren Standardabwechungen lauten: r 00, 0 1, 0 mm, o o 90,0,0 1,571 0,035 * 00,0 mm 0,353 N D 44,9395 Nmm 1,571 u * rel ( D ) urel * ( ) ( ) ( ) ( ) * ud ur uf u D r F, F 0, 353 0, 05 N * 1,0mm 0,05N 0,035 ( D ) 0,0744 7,44% 44,9395 Nmm = 3,35 3,4 Nmm 00,0mm 0,353N 1,571 Das Ergebns lautet: * D (44,9 3,4) Nmm 3 Mttelwerte (Bestwerte) der Messwerte 8
9 4 Lneare Regresson 4.1 Ausglechsgerade y = Ax + B Es kommt recht häufg vor, dass zwe Größen x und y lnear vonenander abhängen, d. h. se snd über ene Geradenglechung mtenander verknüpft (y = Ax + B). Zel der Messung st es dann oftmals, de Größen A 4 und B zu ermtteln. Im Experment gbt man N Werte der Größe x vor, zu denen N Messwerte der Größe y bestmmt werden. De Fehler der Vorgabewerte von x seen zu vernachlässgen, de Fehler der Messwerte von y seen zufällg. De Werte für A und B snd gefunden, wenn de Summe der Quadrate der vertkalen Abstände der Messwerte von der durch A und B bestmmten Ausglechsgeraden mnmal st, wenn also glt: N Ax B y y Mnmum (0) 1 1 y Ax B y Mt Hlfe der Dfferenzalrechnung berechnet man A und B: A B 0 N N N y Ax B y Ax B y x 1 A 1 1 N N N y Ax B y Ax B y 1 B 1 1 N 0 Es folgt: N N N N N A x B x x y A x BN y 1 1 Alle Summen erstrecken sch stets über von 1 bs N. A B N xy xy Nx x yx xyx Nx x (1) () Natürlch bestzen auch A und B Standardabwechungen 5. [] A 1 Ax B y N N x x N (3) 1 Ax B y B N N x x x (4) (N ) = f st de Anzahl der Frehetsgrade, d. h. de Zahl der Messpunkte mnus der Zahl der aus desen Punkten zu bestmmenden Parameter (her also A und B ). 4. Ausglechsgerade y = Ax Snd de Messwerte durch ene lneare Funkton y = Ax mtenander verknüpft (z. B. U = RI), ermttelt man aus: N Ax y Mnmum (analog zu 5.1) 1 4 De Glechungen 1 bs 4 setzt Excel en. 5 Hnwese und Bespele fnden Se m E-Learnng-Modul Physk Praktkum XX (JM). 9
10 A A x y x Ax N 1 y x (5) (6) 4.3 Lnearserungen Mt Hlfe von Umformungen lassen sch oftmals nchtlneare Zusammenhänge von Messgrößen lnearseren, so dass es möglch wrd, auch n solchen Fällen de lneare Regresson anzuwenden. a y bx log y logb alog x y ax b mt y log y b logb x log x ax y be ln y ln b axln e y ax b mt y ln y b ln b Tabelle 3: In desem Bespel soll aus ener Al-Schwächungskurve enes monochromatschen -Strahlers der Schwächungskoeffzent ermttelt werden. Lfd. Nr. Al-Flterstärke d n cm Dosslestung I n Gys -1 ln{i} {d²} {d} ln{i} ((Ax + B) y ) , ,0000 3,83751E-05 0, ,6067 0,04 1,313 0, , ,4135 0,16,5654 0, , ,1738 0,36 3,7043 0, , ,9915 0,64 4,793 1,6317E , , ,7991 1,41576E-05 Für de Ermttlung von A, B und deren Unscherheten ( 7 1,0 60 5,5607 1,44 6,678 A, 0, B ) setze man en Tabellenkalkulatonsprogramm en. 8 1, ,4806 1,69 7,148 0, ,50 00 Se können 5,983de Kennwerte auch,5mt der RGP-Funkton 7,9475 n Excel 1,1716E , oder 5,075 Calc ermtteln. 3,065 8,8816 0, , , ,6566 0, Wetere Informatonen und Hlfen fnden Se m E-Learnngmodul 1, ,485 6,5 10,61 0, für das Physkpraktkum. 13 3, , ,356 8,83669E ,50 8 3,33 1,5 11,667 0, ,00 16, ,0904 0, ,40 11, ,36 10,5507 3,05065E-05 x =8,15 y =80,565 x ²=77,50 y x =113,744 ((Ax + B) y ) Schwächungsgesetz: Durch logarthmeren der Glechung folgt erhält man nach nchtlnearer Transformaton mt ln {I} = ln {I o } - d y = ln {I}, B= ln {I o }, A = -, x = d y = Ax+ B. = 0, Mt Hlfe der Glechungen (1) und () ermttelt man B = ln {I o } = 6,796 und A = - = -1,00087 cm -1 Unscherhet B (Glechung 4) B = 0,0109 Durch Rücktransformaton erhält man I 0 I o = (894,51,0) Gy s -1 Unscherhet für (Glechung 3): A = 0,00467 cm -1 Ergebns des Expermentes = (1,00090,0047) cm -1 oder = 1,0009 (10,47%) cm -1 Ersatzfunkton : I 894,5 Gys e 1,0009 d 1 cm 4.4 Lneare Regresson Grafsche Bestmmung von A, B und A, B Mt Hlfe von Tabellenkalkulatonsprogrammen oder von Programmen zur Datenanalyse lassen sch de gesuchten Größen enfacher und schneller berechnen als durch de manuelle Auswertung mt Hlfe von Mllmeterpaper. Auf ene Beschrebung der Auswertung wrd deshalb verzchtet. 10
11 5. Empfehlenswerte Lteratur / Skrpte, Lnks zur Fehlerrechnung Lteratur Gräncher, W. H.: Messung beendet was nun? Stuttgart: Teubner, 1996 Taylor, J. R.: Fehleranalyse. Wenhem: VCH Verlagsgesellschaft mbh Skrpte [1] Blüm, Peter: Enführung zur Fehlerrechnung m Praktkum URL: [Stand ] [] Unverstät Oldenburg : Fehler- und Ausglechsrechnung URL: [Stand ] [3] 1. Insttut Un Köln : Physkalsches Praktkum URL: [Stand ] Normen [5] Norm DIN Grundlagen der Messtechnk-Tel1: Grundbegrffe [6] Norm DIN Grundlagen der Messtechnk-Tel3: Auswertung von Messungen ener enzelnen Messgröße, Messunscherhet /JM 11
12 1
Fehler- und Ausgleichsrechnung im Physikpraktikum
Fehler- und Ausglechsrechnung m Physkpraktkum J. Martens Bassdaten für de Fehler- und Ausglechsrechnung zur Auswertung der Laborversuche Inhaltsverzechns Grundlagen zur Auswertung von Messungen... 3. Zufällge
Definition des linearen Korrelationskoeffizienten
Defnton des lnearen Korrelatonskoeffzenten r xy x y y r x xy y 1 x x y y x Der Korrelatonskoeffzent st en Indkator dafür, we gut de Punkte (X,Y) zu ener Geraden passen. Sen Wert legt zwschen -1 und +1.
Der Erweiterungsfaktor k
Der Erweterungsfaktor k Wahl des rchtgen Faktors S. Meke, PTB-Berln, 8.40 Inhalt: 1. Was macht der k-faktor? 2. Welche Parameter legen den Wert des k-faktors fest? 3. Wo trtt der k-faktor auf? 4. Zusammenhang
Arbeitsgruppe Radiochemie Radiochemisches Praktikum P 06. Einführung in die Statistik. 1. Zählung von radioaktiven Zerfällen und Statistik 2
ETH Arbetsgruppe Radocheme Radochemsches Praktkum P 06 Enführung n de Statstk INHALTSVERZEICHNIS Sete 1. Zählung von radoaktven Zerfällen und Statstk 2 2. Mttelwert und Varanz 2 3. Momente ener Vertelung
Kondensator und Spule
Hochschule für Angewandte Wssenschaften Hamburg Fakultät Lfe cences - Physklabor Physkalsches Praktkum -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Berechnung der Messunsicherheit nach GUM Kurzfassung in 20 min
Berechnung der Messunscherhet nach GUM Kurzfassung n 0 mn MU der Stephan Meke PTB-Insttut Berln Gegenstand Defnton (verkürzt) VIM (Wörterb. d. Metrologe) Bespele / Anmerkungen Größe Größenwert Messwert
2 Zufallsvariable und Verteilungen
Zufallsvarable und Vertelungen 7 Zufallsvarable und Vertelungen Wr wollen uns jetzt mt Zufallsexpermenten beschäftgen, deren Ausgänge durch (reelle) Zahlen beschreben werden können, oder be denen man jedem
Daten sind in Tabellenform gegeben durch die Eingabe von FORMELN können mit diesen Daten automatisierte Berechnungen durchgeführt werden.
Ene kurze Enführung n EXCEL Daten snd n Tabellenform gegeben durch de Engabe von FORMELN können mt desen Daten automatserte Berechnungen durchgeführt werden. Menüleste Symbolleste Bearbetungszele aktve
Übungsklausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Regression Lösungen. Übungsklausur Wahrscheinlichkeit und Regression Die Lösungen
Übungsklausur Wahrschenlchket und Regresson De Lösungen. Welche der folgenden Aussagen treffen auf en Zufallsexperment zu? a) En Zufallsexperment st en emprsches Phänomen, das n stochastschen Modellen
wird auch Spannweite bzw. Variationsbreite genannt ist definiert als die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert einer Verteilung:
Streuungswerte: 1) Range (R) ab metrschem Messnveau ) Quartlabstand (QA) und mttlere Quartlabstand (MQA) ab metrschem Messnveau 3) Durchschnttlche Abwechung (AD) ab metrschem Messnveau 4) Varanz (s ) ab
Die hierzu formulierte Nullhypothese H lautet: X wird durch die Verteilungsdichtefunktion h(x)
ZZ Lösung zu Aufgabe : Ch²-Test Häufg wrd be der Bearbetung statstscher Daten ene bestmmte Vertelung vorausgesetzt. Um zu überprüfen ob de Daten tatsächlch der Vertelung entsprechen, wrd en durchgeführt.
Beschreibende Statistik Mittelwert
Beschrebende Statstk Mttelwert Unter dem arthmetschen Mttel (Mttelwert) x von n Zahlen verstehen wr: x = n = x = n (x +x +...+x n ) Desen Mttelwert untersuchen wr etwas genauer.. Zege für n = 3: (x x )
Rückblick Regression II: Anpassung an Polynome
Rückblck Regresson II: Anpassung an Polynome T. Keßlng: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Fehlerrechnung und Korrelaton 0.06.08 Vorlesung 0- Temperaturmessung mt Thermospannung Wr erhalten
Lineare Regression - Mathematische Grundlagen
FKULTÄT FÜR MTHEMTIK U TURWISSESCHFTE ISTITUT FÜR PHYSIK FCHGEBIET EXPERIMETLPHYSIK I r. rer. nat. orbert Sten, pl.-ing (FH) Helmut Barth Lneare Regresson - Mathematsche Grundlagen. llgemene Gerade Wr
-70- Anhang: -Lineare Regression-
-70- Anhang: -Lneare Regressn- Für ene Messgröße y f(x) gelte flgender mathematsche Zusammenhang: y a+ b x () In der Regel läßt sch durch enen Satz vn Messwerten (x, y ) aber kene Gerade zechnen, da de
Hochschule Heilbronn Technik Wirtschaft Informatik Heilbronn University Institut für math.-naturw. Grundlagen
Versuch : Messung von Glechspannung und Glechstrom mt Multmetern 1. Aufgabenstellung Messung von Glechspannung u. Glechstrom mt analogen und dgtalen Messgeräten Verglech verschedener Messgeräte, Messgenaugket
Gauss sche Fehlerrrechnung
Gauss sche Fehlerrrechnung T. Ihn 24. Oktober 206 Inhaltsverzechns Modell und Lkelhood 2 Alle Standardabwechungen σ snd bekannt, bzw. de Kovaranzmatrx der Daten st bekannt: Mnmeren der χ 2 -Funkton. 6
Die Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung am Beispiel eines Modells der Schadenversicherung
am Bespel enes Modells der chadenverscherung Für das Modell ener chadenverscherung se gegeben: s w s. n 4 chaden enes Verscherungsnehmers, wenn der chadenfall entrtt Wahrschenlchket dafür, dass der chadenfall
Statistik Exponentialfunktion
! " Statstk " Eponentalfunkton # $ % & ' $ ( )&* +, - +. / $ 00, 1 +, + ) Ensemble von radoaktven Atomkernen Zerfallskonstante λ [1/s] Lebensdauer τ 1/λ [s] Anzahl der pro Zetenhet zerfallenden Kerne:
Streuungs-, Schiefe und Wölbungsmaße
aptel IV Streuungs-, Schefe und Wölbungsmaße B... Lagemaße von äufgketsvertelungen geben allen weng Auskunft über ene äufgketsvertelung. Se beschreben zwar en Zentrum deser Vertelung, geben aber kenen
Abbildung 3.1: Besetzungszahlen eines Fermigases im Grundzustand (a)) und für eine angeregte Konfiguration (b)).
44 n n F F a) b) Abbldung 3.: Besetzungszahlen enes Fermgases m Grundzustand (a)) und für ene angeregte Konfguraton (b)). 3.3 Ferm Drac Statstk In desem Abschntt wollen wr de thermodynamschen Egenschaften
Standardnormalverteilung / z-transformation
Standardnormalvertelung / -Transformaton Unter den unendlch velen Normalvertelungen gbt es ene Normalvertelung, de sch dadurch ausgeechnet st, dass se enen Erwartungswert von µ 0 und ene Streuung von σ
(Theoretische) Konfidenzintervalle für die beobachteten Werte: Die Standardabweichung des Messfehlers wird Standardmessfehler genannt:
(Theoretsche Konfdenzntervalle für de beobachteten Werte: De Standardabwechung des Messfehlers wrd Standardmessfehler genannt: ( ε ( 1- REL( Mt Hlfe der Tschebyscheff schen Unglechung lassen sch be bekanntem
Grundgedanke der Regressionsanalyse
Grundgedanke der Regressonsanalse Bsher wurden durch Koeffzenten de Stärke von Zusammenhängen beschreben Mt der Regressonsrechnung können für ntervallskalerte Varablen darüber hnaus Modelle geschätzt werden
Lösungen zum 3. Aufgabenblock
Lösungen zum 3. Aufgabenblock 3. Aufgabenblock ewerber haben n enem Test zur sozalen Kompetenz folgende ntervallskalerte Werte erhalten: 96 131 11 1 85 113 91 73 7 a) Zegen Se für desen Datensatz, dass
ω 0 = Protokoll zu Versuch E6: Elektrische Resonanz
Protokoll zu Versuch E6: Elektrsche esonanz. Enletung En Schwngkres st ene elektrsche Schaltung, de aus Kapaztät, Induktvtät und ohmschen Wderstand besteht. Stmmt de Frequenz der anregenden Wechselspannung
Prof. Dr. P. Kischka WS 2012/13 Lehrstuhl für Wirtschafts- und Sozialstatistik. Klausur Statistische Inferenz
Prof. Dr. P. Kschka WS 2012/13 Lehrstuhl für Wrtschafts- und Sozalstatstk Klausur Statstsche Inferenz 15.02.2013 Name: Matrkelnummer: Studengang: Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 Summe Punkte 6 5 5 5 5 4 4 6 40
Was sind Messunsicherheiten?
Edgenösssches Justz- und Polzedepartement EJPD Bundesamt für Metrologe METAS Was snd Messunscherheten? Chrstan Hof Was snd Messunscherheten? allgemene Defntonen von Begrffen das standardserte Vorgehen
Fallstudie 1 Diskrete Verteilungen Abgabe: Aufgabentext und Lösungen schriftlich bis zum
Abgabe: Aufgabentext und Lösungen schrftlch bs zum 15. 6. 2012 I. Thema: Zehen mt und ohne Zurücklegen Lesen Se sch zunächst folgenden Text durch! Wr haben bsher Stchprobenzehungen aus Grundgesamtheten
Regressionsgerade. x x 1 x 2 x 3... x n y y 1 y 2 y 3... y n
Regressonsgerade x x x x 3... x n y y y y 3... y n Bem Auswerten von Messrehen wrd häufg ene durch theoretsche Überlegungen nahegelegte lneare Bezehung zwschen den x- und y- Werten gesucht, d.h. ene Gerade
Protokoll zum Grundversuch Mechanik
Protokoll zum Grundversuch Mechank 3.6. In desem Grundversuch zur Mechank werden dre verschedene Arten von Pendeln untersucht. Das Reversonspendel, das Torsonspendel und gekoppelte Pendel. A. Das Reversonspendel
Sei T( x ) die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) im Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) : T( x ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) ( x - x 0 ).
Taylorentwcklung (Approxmaton durch Polynome). Problemstellung Se T( x ) de Tangente an den Graphen der Funkton f(x) m Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) : T( x ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) ( x - x 0 ). Dann kann man de
Bedingte Entropie. Bedingte Entropie. Bedingte Entropie. Kapitel 4: Bedingte Entropie I(X;Y) H(X Y) H(Y) H(X) H(XY)
Bedngte Entrope Kaptel : Bedngte Entrope Das vorherge Theorem kann durch mehrfache Anwendung drekt verallgemenert werden H (... H ( = Ebenso kann de bedngt Entrope defnert werden Defnton: De bedngte Entrope
e dt (Gaußsches Fehlerintegral)
Das Gaußsche Fehlerntegral Φ Ac 5-8 Das Gaußsche Fehlerntegral Φ st denert als das Integral über der Standard-Normalvertelung j( ) = -,5 n den Grenzen bs, also F,5 t ( ) = - e dt (Gaußsches Fehlerntegral)
9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1.
Mathematk I / Komplexe Zahlen 9 Komplexe Zahlen 9. Zele Am Ende deses Kaptels hast Du ene Grundvorstellung was komplexe Zahlen snd. Du kannst se grafsch darstellen und enfache Berechnungen durchführen.
Resultate / "states of nature" / mögliche Zustände / möglicheentwicklungen
Pay-off-Matrzen und Entschedung unter Rsko Es stehen verschedene Alternatven (Strategen) zur Wahl. Jede Stratege führt zu bestmmten Resultaten (outcomes). Man schätzt dese Resultate für jede Stratege und
9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1.
Mathematk I / Komplexe Zahlen 9 Komplexe Zahlen 9. Zele Am Ende deses Kaptels hast Du ene Grundvorstellung was komplexe Zahlen snd. Du kannst se grafsch darstellen und enfache Berechnungen durchführen.
Auswertung von Umfragen und Experimenten. Umgang mit Statistiken in Maturaarbeiten Realisierung der Auswertung mit Excel 07
Auswertung von Umfragen und Expermenten Umgang mt Statstken n Maturaarbeten Realserung der Auswertung mt Excel 07 3.Auflage Dese Broschüre hlft bem Verfassen und Betreuen von Maturaarbeten. De 3.Auflage
Lineare Regression (1) - Einführung I -
Lneare Regresson (1) - Enführung I - Mttels Regressonsanalysen und kompleeren, auf Regressonsanalysen aserenden Verfahren können schenar verschedene, jedoch nenander üerführare Fragen untersucht werden:
Aufgabenkomplex 2: Umrechung von Einheiten, Ungleichungen, Komplexe Zahlen
Technsche Unverstät Chemntz 0. Oktober 009 Fakultät für Mathematk Höhere Mathematk I.1 Aufgabenkomplex : Umrechung von Enheten, Unglechungen, Komplexe Zahlen Letzter Abgabetermn: 19. November 009 n Übung
Verteilungen, sondern nur, wenn ein. Eignet sich nicht bei flachen. Bei starker Streuung wenig. Wert eindeutig dominiert.
Auswertung von Umfragen und Expermenten Umgang mt Statstken n Maturaarbeten Realserung der Auswertung mt Excel 07 Kenngrössen der Statstk Für de Auswertung von Datenrehen werden verschedene Kenngrössen
Beschreibung von Vorgängen durch Funktionen
Beschrebung von Vorgängen durch Funktonen.. Splnes (Sete 6) a +b c Zechenerklärung: [ ] - Drücken Se de entsprechende Taste des Graphkrechners! [ ] S - Drücken Se erst de Taste [SHIFT] und dann de entsprechende
Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv
Auswertung unvarater Datenmengen - desrptv Bblografe Prof. Dr. Küc; Statst, Vorlesungssrpt Abschntt 6.. Bleymüller/Gehlert/Gülcher; Statst für Wrtschaftswssenschaftler Verlag Vahlen Bleymüller/Gehlert;
Fehler- und Ausgleichsrechnung (Grundlagen)
0.1.1 Fehler- und Ausglechsrechnung (Grundlagen) 1. Arten der Messfehler Alle Messungen können nur mt begrenzter Genaugket durch geführt werden, d.h., alle Messwerte bestzen enen Fehler. Um aus expermentellen
Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung
RS 24.2.2005 Erwartungswert_Varanz_.mcd 4) Erwartungswert Erwartungswert, Varanz, Standardabwechung Be jedem Glücksspel nteresseren den Speler vor allem de Gewnnchancen. 1. Bespel: Setzen auf 1. Dutzend
Versuch Nr. 6. Chemische Kinetik Aktivierungsenergie (Inversion von Saccharose)
Chrstan Wdlng, Georg Deres Versuch Nr. 6 Chemsche Knet Atverungsenerge (Inverson von Saccharose) Zel des Versuchs: Das Zel des Versuches st de Bestmmung der Atverungsenerge der Reaton von Saccharose (S)
Optimierung 4.3 A2 : Warenhauszentrale a 2 +b 2 =c 2 Materialbörse Mathematik
Zechenerklärung: [ ] - Drücken Se de entsprechende Taste des Graphkrechners! [ ] S - Drücken Se erst de Taste [SHIFT] und dann de entsprechende Taste! [ ] A - Drücken Se erst de Taste [ALPHA] und dann
Konzept der Chartanalyse bei Chart-Trend.de
Dpl.-Phys.,Dpl.-Math. Jürgen Brandes Konzept der Chartanalyse be Chart-Trend.de Konzept der Chartanalyse be Chart-Trend.de... Bewertungsgrundlagen.... Skala und Symbole.... Trendkanalbewertung.... Bewertung
Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e
Andere Darstellungsformen für de Ausfall- bzw. Überlebens-Wahrschenlchket der Webull-Vertelung snd we folgt: Ausfallwahrschenlchket: F ( t ) Überlebenswahrschenlchket: ( t ) = R = e e t t Dabe haben de
5 Gemischte Verallgemeinerte Lineare Modelle
5 Gemschte Verallgemenerte Lneare Modelle Wr betrachten zunächst enge allgemene Aussagen für Gemschte Verallgemenerte Lneare Modelle. Se y der beobachtbare Zufallsvektor und u der Vektor der ncht-beobachtbaren
Sind die nachfolgenden Aussagen richtig oder falsch? (1 Punkt pro korrekter Beantwortung)
LÖSUNG KLAUSUR STATISTIK I Berufsbegletender Studengang Betrebswrtschaftslehre Sommersemester 016 Aufgabentel I: Theore (10 Punkte) Snd de nachfolgenden Aussagen rchtg oder falsch? (1 Punkt pro korrekter
Aufgaben zur Einführung in die Messtechnik Die ISO/BIPM-GUM Sicht: Schätzwert & Messunsicherheit
F Aufgaben zur Enführung n de Messtechnk De ISO/BIPM-GUM Scht: Schätzwert & Messunscherhet Wolfgang Kessel Braunschweg Copyrght 004 Dr.Wolfgang Kessel Braunschweg UPROB0.PPT/F/004--/Ke Messfehler/Enführung
Grundlagen der Mathematik I Lösungsvorschlag zum 12. Tutoriumsblatt
Mathematsches Insttut der Unverstät München Wntersemester 3/4 Danel Rost Lukas-Faban Moser Grundlagen der Mathematk I Lösungsvorschlag zum. Tutorumsblatt Aufgabe. a De Formel besagt, daß de Summe der umrahmten
Protokoll zu Versuch C1-Mischungsvolumina
Protokoll zu Prnz: De sezfschen Mschungsvolumna ener Lösung werden durch auswegen fester Flüssgketsvolumna bekannter Lösungszusammensetzungen mt Hlfe von Pyknometern bestmmt. Theoretsche Grundlagen: Um
Bei Strecken höherer Ordnung wird auch hier die Strecke durch die Methode der Ersatzzeitkonstante
Lösung Übung 9 Aufgabe: eglerauslegung mt blnearer Transformaton n s In der kontnuerlchen egelungstechnk wrd für gewöhnlch en PI-egler verwendet, um de größte Zetkonstante zu kompenseren bzw. be IT-Strecken
1.1 Beispiele zur linearen Regression
1.1. BEISPIELE ZUR LINEAREN REGRESSION 0 REGRESSION 1: Multple neare Regresson 1 Enführung n de statstsche Regressonsrechnung 1.1 Bespele zur lnearen Regresson b Bespel Sprengungen. Erschütterung Funkton
Lineare Regression. Stefan Keppeler. 16. Januar Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen
Mathematk I für Bologen, Geowssenschaftler und Geoökologen 16. Januar 2012 Problemstellung Bespel Maß für Abwechung Trck Mnmum? Exponentalfunktonen Potenzfunktonen Bespel Problemstellung: Gegeben seen
Zweck. Radiometrische Kalibrierung. Traditioneller Ansatz. Kalibrierung ohne Kalibrierkörper
Raometrsche Kalbrerung Tratoneller Ansatz Kalbrerung aus mehreren Blern Behanlung von übersteuerten Blern Zweck Das Antwortverhalten es Systems Kamera Framegrabber st ncht mmer lnear Grauwerte sn ncht
nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen
arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren Verfahren zur Analyse nomnalskalerten Daten Thomas Schäfer SS 009 1 arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren nonparametrsche Tests werden auch vertelungsfree
6. Übung zur Linearen Algebra II
Unverstät Würzburg Mathematsches Insttut Prof. Dr. Peter Müller Dr. Peter Fleschmann SS 2006 30.05.2006 6. Übung zur Lnearen Algebra II Abgabe: Bs Mttwoch, 14.06.2006, 11:00 Uhr n de Brefkästen vor der
Elemente der Mathematik - Sommer 2016
Elemente der Mathematk - Sommer 2016 Prof Dr Matthas Lesch, Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 3 Aufgabe 9 (10 Punkte) Das Horner-Schema st ene Methode zum Auswerten enes Polynoms n a0 x an der Stelle s
3. Vorlesung Sommersemester
3. Vorlesung Sommersemester 1 Bespele (Fortsetzung) 1. Der starre Körper: Formulerung der Zwangsbedngungen später. Anschaulch snd schon de Frehetsgrade: dre der Translaton (z. B. Schwerpuntsoordnaten)
z.b. Münzwurf: Kopf = 1 Zahl = 2 oder z.b. 2 Würfel: Merkmal = Summe der Augenzahlen, also hier: Bilde die Summe der Augenzahlen der beiden Würfel!
Aufgabe : Vorbemerkung: Ene Zufallsvarable st ene endeutge Funkton bzw. ene Abbldungsvorschrft, de angbt, auf welche Art aus enem Elementareregns ene reelle Zahl gewonnen wrd. x 4 (, ) z.b. Münzwurf: Kopf
Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Erwartungswert
R. Brnkmann http://brnkmann-du.de Sete..8 Zufallsvarable, Wahrschenlchketsvertelungen und Erwartungswert Enführungsbespel: Zwe Würfel (en blauer und en grüner) werden 4 mal zusammen geworfen. De Häufgketen
Alternative Darstellung des 2-Stichprobentests für Anteile. Beobachtete Response No Response Total absolut DCF CF
Alternatve Darstellung des -Stchprobentests für Antele DCF CF Total n= 111 11 3 Response 43 6 69 Resp. Rate 0,387 0,3 0,309 Beobachtete Response No Response Total absolut DCF 43 68 111 CF 6 86 11 69 154
Rotation (2. Versuch)
Rotaton 2. Versuch Bekannt snd berets Vektorfelder be denen das Lnenntegral über ene geschlossene Kurve Null wrd Stchworte: konservatve Kraft Potentalfelder Gradentenfeld. Es gbt auch Vektorfelder be denen
Universität Potsdam Institut für Informatik Lehrstuhl Maschinelles Lernen. Bayessches Lernen
Unverstät Potsdam Insttut für Informatk Lehrstuhl Maschnelles Lernen Bayessches Lernen Chrstoph Sawade/Nels Landwehr/Paul Prasse Domnk Lahmann Tobas Scheffer Überblck Wahrschenlchketen, Erwartungswerte,
Kurze Einführung in die Berechnung der Messunsicherheit nach GUM. Stephan Mieke Physikalisch-Technische Bundesanstalt Institut Berlin, 8.
Kurze Enführung n de Berechnung der Messunscherhet nach GUM Stephan Meke Physkalsch-Technsche Bundesanstalt Insttut Berln, 8.40 Glederung Enletung Gude to the Epresson of Uncertanty (GUM) Monte-Carlo-Methode
Multilineare Algebra und ihre Anwendungen. Nr. 6: Normalformen. Verfasser: Yee Song Ko Adrian Jenni Rebecca Huber Damian Hodel
ultlneare Algebra und hre Anwendungen Nr. : Normalformen Verfasser: Yee Song Ko Adran Jenn Rebecca Huber Daman Hodel 9.5.7 - - ultlneare Algebra und hre Anwendungen Jordan sche Normalform Allgemene heore
Schriftliche Prüfung aus Signaltransformationen Teil: Dourdoumas am
TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk 1 Schrftlche Prüfung aus Sgnaltransformatonen Tel: Dourdoumas am 1. 10. 01 Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrkel-Nummer: 1 errechbare Punkte 4 errechte
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Statstk und Wahrschenlchketsrechnung 5. Vorlesung Dr. Jochen Köhler.03.0 Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Wchtg!!! Vorlesung Do 4.03.0 HCI G3 Übung 5 D 9.03.0 Fnk
Übung zu Erwartungswert und Standardabweichung
Aufgabe Übung zu Erwartungswert und Standardabwechung In ener Lottere gewnnen 5 % der Lose 5, 0 % der Lose 0 und 5 % der Lose. En Los kostet 2,50. a)berechnen Se den Erwartungswert für den Gewnn! b)der
Lineare Regression Teil des Weiterbildungskurses in angewandter Statistik
0 Lneare Regresson Tel des Weterbldungskurses n angewandter Statstk der ETH Zürch Folen Werner Stahel, September 2017 1.1 Bespele zur lnearen Regresson 1 1 Enführung n de statstsche Regressonsrechnung
Konkave und Konvexe Funktionen
Konkave und Konvexe Funktonen Auch wenn es n der Wrtschaftstheore mest ncht möglch st, de Form enes funktonalen Zusammenhangs explzt anzugeben, so kann man doch n velen Stuatonen de Klasse der n Frage
Physikalisches Anfängerpraktikum WS 09/10 Praktikum für Physiker (B.Sc.)
Physkalsches Anfängerpraktkum WS 09/10 Praktkum für Physker (B.Sc.) (Kurze) Enführung n de Grundlagen der Fehlerrechnung oder besser: Bestmmung von Messunscherheten Step nsde, lades & gentlemen, sad the
1.11 Beispielaufgaben
. Bespelaufgaben Darstellung komplexer Zahlen Aufgabe. Man stelle de komplexe Zahl z = +e 5f n algebrascher Form, also als x + y dar. Damt man de Formel für de Dvson anwenden kann, muss zunächst der Nenner
Analysis I. Vorlesung 17. Logarithmen. R R, x exp x,
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014 Analyss I Vorlesung 17 Logarthmen Satz 17.1. De reelle Exponentalfunkton R R, x exp x, st stetg und stftet ene Bjekton zwschen R und R +. Bewes. De Stetgket
Auswertung und Fehleranalyse
Auswertung und Fehleranalse Phskalsche Größe: messbare Egenschaft enes Körers z. B. Länge l ener Erschenung z. B. Magnetfeld B enes Vorgangs z. B. Stromstärke I Phskalsche Größe Zahlenwert mal Enhet z.
Prof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 2008
5. Spezelle Testverfahren Zahlreche parametrsche und nchtparametrsche Testverfahren, de nach Testvertelung (Bnomal, t-test etc.), Analysezel (Anpassungs- und Unabhänggketstest) oder Konstrukton der Prüfgröße
Schriftliche Prüfung aus Systemtechnik am
U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk Schrftlche Prüfung aus Systemtechnk am 4.. 5 Name / Vorname(n): Kenn-Matr.Nr.: Bonuspunkte: 4 errechbare Punkte 4 5 7 5 errechte Punkte U Graz, Insttut
6. Modelle mit binären abhängigen Variablen
6. Modelle mt bnären abhänggen Varablen 6.1 Lneare Wahrschenlchketsmodelle Qualtatve Varablen: Bnäre Varablen: Dese Varablen haben genau zwe möglche Kategoren und nehmen deshalb genau zwe Werte an, nämlch
(2) i = 0) in Abhängigkeit des Zeitunterschieds x ZeitBus ZeitAuto für seinen Arbeitsweg.) i = 1) oder Bus ( y
5. Probt-Modelle Ökonometre II - Peter Stalder "Bnar Choce"-Modelle - Der Probt-Ansatz Ene ncht drekt beobachtbare stochastsche Varable hängt von x ab: x u 2 u ~ N(0, ( Beobachtet wrd ene bnäre Varable
2πσ. e ax2 dx = x exp. 2πσ. 2σ 2. Die Varianz ergibt sich mit Hilfe eines weiteren bestimmten Integrals: x 2 e ax2 dx = 1 π.
2.5. NORMALVERTEILUNG 27 2.5 Normalvertelung De n der Statstk am häufgsten benutzte Vertelung st de Gauss- oder Normalvertelung. Wr haben berets gesehen, dass dese Vertelung aus den Bnomal- und Posson-Vertelungen
Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 5 Mehrdmensonale Zufallsvarablen Be velen Problemstellungen st ene solerte Betrachtung enzelnen
Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung
Methoden der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung In der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung werden de Gemenosten der Hlfsostenstellen auf de Hauptostenstellen übertragen. Grundlage dafür snd de von den
6.5. Rückgewinnung des Zeitvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen
196 6.5. Rückgewnnung des Zetvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen We n 6.2. und 6.. gezegt wurde, st de Übertragungsfunkton G( enes lnearen zetnvaranten Systems mt n unabhänggen Spechern ene gebrochen
EINLEITUNG, FEHLERRECHNUNG
Enletung FEHLERRECHNUNG mt Dfferentalrechnung 04.05.006 Blatt 1 EINLEITUNG, FEHLERRECHNUNG Aufgabe des physkalschen Praktkums st es, dem Studerenden de Physk durch das Experment näher zu brngen, hn mt
Einführung 2. Messunsicherheiten Abschätzungen Fehlerfortpflanzung Lineare Regression Nichtlineare Anpassung
Enführung Messunscherheten Abschätzungen Fehlerfortpflanzung Lneare Regresson Nchtlneare Anpassung Lteratur W. Schenk, F. Kremer Physkalsches Grundpraktkum 14. Auflage GUM: Gude to the Expresson of Uncertanty
Statistik und Wahrscheinlichkeit
Regeln der Wahrschenlchketsrechnung tatstk und Wahrschenlchket Regeln der Wahrschenlchketsrechnung Relatve Häufgket n nt := Eregnsalgebra Eregnsraum oder scheres Eregns und n := 00 Wahrschenlchket Eregnsse
Kapitel V. Parameter der Verteilungen
Kaptel V Parameter der Vertelungen D. 5.. (Erwartungswert) Als Erwartungswert ener Zufallsvarablen X bezechnet man: E( X ) : Dabe se vorausgesetzt: = = + p falls X dskret f d falls X stetg und = + p
Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte: Itemschwierigkeit P i
Itemanalyse und Itemkennwerte De Methoden der Analyse der Itemegenschaften st ncht m engeren Snne Bestandtel der Klassschen Testtheore Im Rahmen ener auf der KTT baserenden Testkonstrukton und -revson
5. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 1. Wintersemester 2012/2013
O. Alaya, S. Demrel M. Fetzer, B. Krnn M. Wed 5. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematk Wntersemester /3 Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshnwese zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 6. Darstellungen
Stochastische Prozesse
INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 2 Prv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dpl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastsche Prozesse Musterlösungen Aufgabe 7: (B. Fredmans Urnenmodell)
Ionenselektive Elektroden (Potentiometrie)
III.4.1 Ionenselektve Elektroden (otentometre) Zelstellung des Versuches Ionenselektve Elektroden gestatten ene verhältnsmäßg enfache und schnelle Bestmmung von Ionenkonzentratonen n verschedenen Meden,
Physikalisches Anfängerpraktikum Teil 2 Versuch PII 33: Spezifische Wärmekapazität fester Körper Auswertung
Physkalsches Anfängerpraktkum Tel 2 Versuch PII 33: Spezfsche Wärmekapaztät fester Körper Auswertung Gruppe M-4: Marc A. Donges , 060028 Tanja Pfster, 204846 2005 07 spezfsche Wärmekapaztäten.
NSt. Der Wert für: x= +1 liegt, erkennbar an dem zugehörigen Funktionswert, der gesuchten Nullstelle näher.
PV - Hausaugabe Nr. 7.. Berechnen Se eakt und verglechen Se de Werte ür de Nullstelle, de mttels dem Verahren von Newton, der Regula als und ener Mttelung zu erhalten snd von der! Funkton: ( ) Lösungs