Fehler- und Ausgleichsrechnung im Physikpraktikum

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1 Fehler- und Ausglechsrechnung m Physkpraktkum J. Martens Bassdaten für de Fehler- und Ausglechsrechnung zur Auswertung der Laborversuche

2 Inhaltsverzechns Grundlagen zur Auswertung von Messungen Zufällge Messabwechungen Systematsche Messabwechungen... 3 De Auswertung der Messergebnsse Auswertung für den Fall der mehrmalgen drekten Messung Aufstellung des Modells Vorberetung der Engangsdaten Mttelwert und Standardabwechung Systematsche Messabwechung Berechnung des vollständgen Messergebnsses Angabe des vollständgen Messergebnsses Berückschtgung der sgnfkanten Stellen be expermentellen Daten Erweterte Messunscherhet Vertrauensberech Größtfehler oder maxmal möglcher Betrag der Messabwechung Mttelwert und Standardabwechung be Messungen verschedener Genaugket Bestmmung der Unscherheten für den allgemenen Fall Lneare Regresson Ausglechsgerade y = Ax + B Ausglechsgerade y = Ax Ausglechsgerade y = Ax + B mt vorgegebenem A Lnearserungen Lneare Regresson grafsche Bestmmung von A, B und A, B... 5 Empfehlenswerte Lteratur / Skrpte, Lnks zur Fehlerrechnung...

3 Grundlagen zur Auswertung von Messungen Zel jeder Messung ener Messgröße st es, deren wahren Wert zu ermtteln. Dabe wrd ene Messenrchtung und en Messverfahren auf en Messobjekt angewendet. De Messung umfasst de Auswertung der gewonnenen Messwerte und anderer zu berückschtgender Faktoren. Jedes Messergebns wrd verfälscht durch Unvollkommenheten der Messgeräte, der Messverfahren und des Messgegenstandes, n zweter Lne auch durch Enflüsse der Umwelt und des Beobachters sowe durch während der Messung ncht erfassbare und ncht beenflussbare Änderungen der Messgeräte, des Messgegenstandes, der Umwelt und des Beobachters. De unvermedlch auftretenden Messabwechungen snd der Grund, warum es ncht möglch st, den wahren Wert zu messen. Ledglch das Messergebns y als en Schätzwert für den wahren Wert ener Messgröße Y sowe de Messunscherhet lassen sch aus den Messwerten und anderen Daten gewnnen und angeben. Zu enem vollständgen Messergebns gehören also das Messergebns und de Messunscherhet. Y = y u(y) De Messung ener physkalschen Größe ohne Angabe der Messunscherhet st wertlos. Ene physkalsche Größe, de n ener Messung bestmmt werden soll, bezechnet man als Messgröße. Der Wert ener Messgröße wrd durch das Produkt aus Zahlenwert und Enhet ausgedrückt. De Messgröße setzt sch zusammen aus dem arthmetschen Mttelwert v der Messwerte v j und den zufällgen und systematschen Messabwechungen. De systematschen Messabwechungen wederum setzen sch aus den bekannten und unbekannten Antelen zusammen [6]. vv ( er es) r es esb, esu, s, b e : Zufällge Messabwechung e s : Systematsche Messabwechung e : Erfassbare Messabwechung e s, u : Unbekannte Messabwechung. Zufällge Messabwechungen Zufällge Messabwechungen beenflussen das Ergebns ener Messung auf ene unvorhersehbare und unkontrollerbare, eben auf ren zufällge Art und Wese. Ursachen für zufällge Fehler, we se etwa m Praktkum auftreten, können z. B. sen: a) De Zufällgket, mt der en aturprozess abläuft, we z. B. der radoaktve Zerfall oder de Emsson von Photonen. Se führt z. B. dazu, dass de während ener Messzet t gemessene Anzahl von Eregnssen zufällg schwankt. b) De Stoppuhr, de je nach Reaktonszet mal zu früh, mal zu spät gedrückt wrd. c) Der Messscheber, der be der Messung mal mehr, mal wenger stark zusammengedrückt wrd. d) Das Zeger-Messgerät ohne Spegelskala, be dem je nach Kopfstellung mal en zu klener, mal en zu großer Wert abgelesen wrd. Zufällge Messabwechungen führen mmer dazu, dass das Messergebns mal n der enen, mal n der anderen Rchtung vom wahren Wert abwecht. Wrd de Messung ausrechend oft durchgeführt, halten sch de Abwechungen nach oben und unten de Waage. Wäre das ncht der Fall, so wären de beobachteten Messabwechungen ncht ren zufällg. De Konsequenzen deser Aussage lassen sch we folgt zusammenfassen: Legen kene Erfahrungen mt enem bestmmten Messverfahren vor, so sagt das Ergebns ener enzgen Messung m Prnzp gar nchts aus. Das Ergebns kann zufällg mehr oder wenger stark nach oben oder unten vom wahren Wert abwechen. Erst durch häufge Wederholung der Messung oder aufgrund zurücklegender Messungen anhand des relevanten Messverfahrens entwckelt man en Gefühl dafür, um welchen Wert herum de Ergebnsse schwanken. Man kann beurtelen, welche Aussagekraft en Messergebns hat. []. Systematsche Messabwechungen Systematsche Messabwechungen entstehen be ener Messung z. B. durch unvollkommene Messgeräte, durch unvermedbare Umweltenflüsse auf de Messung, durch de Wahl enes ungeegneten Messverfahrens oder schlcht durch Fehler be der Durchführung der Messung. Enge Bespele aus dem Praktkum sollen des verdeutlchen: a) Unvollkommene Messgeräte: Herzu zählen z. B. en Oszlloskop mt dejusterter Zetablenkenhet, en Messscheber mt verzogenen Backen, en Velfachmessgerät mt ullpunktfehler, ene elektronsche Uhr mt Kalbrerfehler, ene dejusterte elektronsche Waage, usw. Das Unangenehme an desen Mängeln st, dass man se zum Tel während der Messung ncht erkennt. b) Enfluss der Umwelt: Als Bespel für den Enfluss der Umwelt auf ene Messung se de Temperaturabhänggket von Messgeräten genannt. Häufg snd dese Abhänggketen quanttatv bekannt. Man kann se n desem Fall den Gerätehandbüchern entnehmen und be der Auswertung der Messung berückschtgen. Oft weß man jedoch so gut we gar nchts über de Zusammenhänge und muss daher unwegerlch Messabwechungen n Kauf nehmen. c) Ungeegnete Messverfahren: Wenn man de Masse enes Magneten mt ener elektronschen Waage bestmmen wll, merkt man schnell, dass das Messergebns offenschtlch unsnng st. Da das Magnetfeld auf de Mechank der Waage enwrkt, st das Messverfahren ungeegnet. Erheblch schwerger st es bespelswese zu beurtelen, ob der nnerhalb ener elektrschen Schaltung gemessene Strom n unzulässger Wese durch de Beschaltung und den Innenwderstand des Messgeräts beenflusst wrd. Her seht man dem Messergebns ncht auf 3

4 den ersten Blck an, ob es rchtg oder falsch st. Man kann sch also. A. ncht darauf verlassen, dass man merkt, dass man en falsches Messverfahren enzusetzen. Velmehr muss berets be der Planung des Experments gründlch überlegt werden, welches Messverfahren geegnet st. d) Messabwechungen be der Durchführung von Messungen: En typscher Fehler be der Durchführung von Expermenten m Praktkum st z.b., dass be Zet- oder Spannungsmessungen mt dem Elektronenstrahl-Oszlloskop vergessen wrd, de entsprechenden Bedenungsknöpfe n de CALbrated -Poston zu brngen. Systematsche Messabwechungen lassen sch nemals völlg ausschleßen. Se beenflussen das Messergebns n ener ganz bestmmten Art und Wese hnter den Fehlern steckt System. Das bedeutet, dass man den Enfluss deser Messabwechungen auf das Messergebns auch durch häufge Wederholung der Messung ncht verrngern kann. Ist jedoch das Ausmaß der systematschen Messabwechung bekannt (z. B. durch Kalbrerung), snd se be der Auswertung herauszurechnen. Grobe Fehler bzw. Irrtümer, we se sch aus Mssverständnssen oder Fehlüberlegungen be der Bedenung der Messapparatur, aus falscher Protokollerung von Messdaten oder auch aus Programmfehlern n Auswerteprogrammen ergeben, werden ncht als Messunscherheten betrachtet. In desem Fall snd de Messungen oder Auswertungen falsch und müssen wederholt werden. Das Vorhandensen grober Fehler erkennt man nur durch krtsches Überprüfen und Kontrolleren der Ergebnsse. Vermeden kann man se durch sorgfältges Expermenteren. [] De Auswertung der Messergebnsse Be velen Messungen erhält man de Messwerte drekt aus der Anzege der Messenrchtung. Ene solche Messung wrd kurz drekte Messung genannt. Häufg muss ene Messgröße jedoch ndrekt ermttelt werden. Dabe werden zunächst andere Messgrößen entweder drekt gemessen oder ebenfalls ndrekt ermttelt. Aus desen und den systematschen Messabwechungen wrd dann mt Hlfe des mathematschen Zusammenhanges, des Modells der Auswertung, das vollständge Messergebns errechnet. De Auswertung sollte n ver Schrtten erfolgen:. Aufstellen der mathematschen Bezehung (Glechung, Modell) der Messgröße zu allen betelgten Engangs- Größen. Aufberetung der gegebenen Messwerte und anderer verfügbarer Daten 3. Berechnung des Messergebnsses und der Messunscherhet 4. Angabe des vollständgen Messergebnsses.. Auswertung für den Fall der mehrmalgen drekten Messung Das n desem Abschntt beschrebene Verfahren be Vorlegen ener systematschen Messabwechung st en Sonderfall des allgemenen Verfahrens, ermöglcht aber enen Ensteg n de Auswertung von Messungen... Aufstellung der Bezehung De Messgröße Y wrd n unabhänggen Versuchen mehrmals drekt gemessen (Engangsgröße: X ) und west ene bekannte systematsche Messabwechung (Engangsgröße: X ) auf. De Messgröße ergbt sch aus der Glechung Y = X - X, () de das Modell darstellt.. Aufberetung der Engangsdaten.. Mttelwert und Standardabwechung Be den Messungen streuen de be n enzelnen Messungen erhaltenen Messwerte v j wegen zufällger Enflüsse. Für sehr vele Messungen lässt sch de Häufgket ( v k ) n enem Hstogramm darstellen, d. h. de Anzahl der Messwerte k n den Intervallen v k werden gegen de Intervallmttev k aufgetragen. Wenn n groß genug und de Intervallbrete klen st, lässt sch de Häufgketsvertelung n der Regel durch ene ormalvertelung f( v) approxmeren, deren Maxmum bem wahren Wert (Erwartungswert) legt. Ihre Brete ( : Standardabwechung) st en Maß für de Streuung der Enzelmessungen. Se wrd dort gemessen, wo de Vertelung lnks und rechts vom Maxmum den Wert f()/e annmmt. Der Erwartungswert und de Standardabwechung snd m Allgemenen unbekannt. Aus den Messwerten v snd für se Schätzwerte zu ermtteln. j Man wederholt n der Praxs en Experment n der Regel 5 bs 0mal, so dass der wahre Wert ncht aus der ormalvertelung bestmmt werden kann. Man benutzt aber alle n Messwerte, um enen Wert für abzuschätzen, und bezechnet als wahrschenlchsten Wert das arthmetsche Mttel aller Messwerte v. [3] Der Mttelwert v st das unberchtgte Messergebns x. De systematsche Messabwechung wrd erst später subtrahert. n Arthmetscher Mttelwert (Bestwert) v vj x () n j De Standardabwechung s dent als Schätzwert für. 4

5 Standardabwechung der Messwerte n s vj v (3) n j Das Ergebns ener Enzelmessung legt mt ca. 68% Wahrschenlchket m Berech v s. Als Unscherhet u( v ) von X wrd de Standardabwechung des Mttelwertes verwendet. n s Standardabwechung des Mttelwertes uv ( ) ux ( ) ( v) ( vj v) (4) n nn ( ) j Der Mttelwert wrd mt ca. 68 % Wahrschenlchket m Berech v uv ( ) legen... Systematsche Messabwechung De systematsche Messabwechung setzt sch aus der bekannten systematschen Messabwechung (z. B. aus ener Kalbrermessung) und der unbekannten systematschen Messabwechung zusammen. Ene bekannte systematsche Messabwechung x dent als Schätzwert für de Engangsgröße X. Se st m Allgemenen ncht glech der gesamten systematschen Messabwechung. Daher rührt de Unscherhet u(x ) der Engangsgröße X (z. B. de Unscherhet der Kalbrerung), de der bekannten systematschen Messabwechung zugeordnet st. Auch dann, wenn x glech ull st und daher m Messergebns ncht n Erschenung trtt, blebt dese Unscherhet bestehen. Ob dese Unscherhet vernachlässgt werden darf, muss m Enzelfall geprüft und entscheden werden..3 Berechnung des vollständgen Messergebnsses Im drtten Schrtt der Auswertung führt das Ensetzen des Mttelwertes v = X sowe x = X n Glechung () zu dem Messergebns y der Messgröße Y, d. h. de bekannte systematsche Unscherhet muss herausgerechnet werden. y = v - x (5) y st der beste Schätzwert für den wahren Wert der Ergebnsgröße. De Unscherhet u(y) der Messgröße Y folgt aus der quadratschen Kombnaton der Unscherheten u(x ) und u(x ) der Engangsgrößen X und X. Her wrd z. B. de Unscherhet der Kalbrerung u(x ) berückschtgt. uy ( ) u( x) u( x) (6) uy ( ) De relatve Unscherhet st urel. y.4 Angabe des vollständgen Messergebnsses Das vollständge Messergebns für de Messgröße wrd nach DI 39- und DI 333 n ener der folgenden Schrebwesen angegeben: a. Y = y ± u(y) R = (00,035 ± 0,03) Ω oder R = 00,035 Ω ± 0,03 Ω b. Y = y ( ± u rel (y)) R = 00,035 ( ± 0,03%) Ω oder R = 00,035 ( ±,3 0-4 ) Ω c. Y = y, u(y) R = 00,035 Ω, 0,03 Ω d. Y = y, u rel (y) R = 00,035 Ω, 0,03% Ω e. Y = y (u(y)) R = 00,035 Ω (0,03) Ω In Versuchsprotokollen sollten de Schrebwesen a und/oder b verwendet werden. Gerundete Unscherheten snd mt zwe sgnfkanten Zffern anzugeben. Se snd aufzurunden. Das Messergebns st an derselben Stelle we de zugehörge Unscherhet zu runden. Bespel u(y) = 0,547 mm u(y) = 0,55 mm y =,5767 mm y =,57 mm. Das Messergebns lautet dann y = (,57± 0,55) mm. Für de Dskusson st zusätzlch de Angabe der relatven Messunscherhet n Prozent von Vortel, z. B. y =,57 ( ±,4 %) mm. Der durch de Messunscherhet gekennzechnete Berech der Werte, de der Messgröße zugewesen werden können, lautet: y - u(y) Y y + u(y) ;,0 mm Y 3, mm..4. Berückschtgung der sgnfkanten Stellen be expermentellen Daten Auch wenn jeder Taschenrechner oder mehr Stellen angbt, st das Ergebns ener Messung nur mt sovel Stellen anzugeben, we es der Messgenaugket entsprcht. De Stellen, de ncht durch de Messunscherhet beenflusst snd, nennt man sgnfkant. Alle übrgen snd unscher, also ncht-sgnfkant. Be der Angabe der Messgröße beschränkt man sch auf de sgnfkanten plus zwe ncht-sgnfkante Stellen (s. o.). Im Bespel De theoretschen Begründungen für de Glechungen werden sehr überschtlch n dem Skrpt [] dargestellt. Im Praktkum darf dese Unscherhet vernachlässgt werden. 5

6 R = (00,035 ± 0,03) Ω snd de ersten ver Stellen sgnfkant. De letzten zwe Stellen wegen der Messunscherhet unscher. Alle weteren Stellen haben kene Aussagekraft. Im Ergebns R = (0,035 ± 0,003) Ω zählen de Zehnerpotenzen ncht zu den sgnfkanten Stellen. Rechenregeln für expermentelle Daten. Addton und Subtrakton werden bs enschleßlch der zweten ncht-sgnfkanten Stelle durchgeführt. De drtte ncht-sgnfkante Stelle wrd dazu benutzt, das Ergebns auf- oder abzurunden. Bespel (De zwe ncht-sgnfkanten Stellen snd unterstrchen): 30,5 + 05, + 0,008 = 507,4. Multplkaton und Dvson werden bs zur zweten ncht-sgnfkanten Stelle der Größe, de de gerngste Anzahl sgnfkanter Stellen hat, durchgeführt. Bespel: 3,45,7 = 5,94 oder 00,/0,0034 = Erweterte Messunscherhet Häufg bevorzugen Anwender ene größere Intervallbrete als de Standardabwechung, de dann den wahren Wert mt ener größeren Wahrschenlchket als 68% enthält. In der DI 39-3 wrd der Erweterungsfaktor k = empfohlen. De erweterte Messunscherhet st: U( y) k u( y) (7) Für k = beträgt de Wahrschenlchket 95,4% und für k = 3 st se 99,7%, wenn n. Der Erweterungsfaktor st be der Verwendung der erweterten Messunscherhet mtzutelen..4.3 Vertrauensberech Der Vertrauensberech enthält mt ener vorgegebenen Wahrschenlchket, dem Vertrauensnveau (-α), den Erwartungswert der ormalvertelung. Dabe wrd α als Irrtumswahrschenlchket bezechnet. ach DI 39-3 können mt Hlfe des Korrekturfaktors t de Vertrauensgrenzen angegeben werden. Der Korrekturfaktor kann auf der Bass der Student- oder t-vertelung be ener endlchen Anzahl von n Enzelmessungen und unter Vorgabe enes Vertrauensnveaus berechnet werden. Be n Messungen und enem gewählten Vertrauensnveau von (-α) st de erweterte Messunscherhet dann: Un,( ) tn,( ) u( v) (8) Das vollständge Messergebns lautet y v t,( ) u( v) Der Vertrauensberech wrd von den Vertrauensgrenzen engeschlossen: v tu( v) yv t u( v) (9) Be der Angabe der Vertrauensgrenzen snd n jedem Fall der Faktor t oder das gewählte Vertrauensnveau sowe de Anzahl der Messungen n mtzutelen. n Tabelle : Werte für t und t für verschedene Vertrauensnveaus be normal vertelten Messwerten (Auszug) Anzahl n der Messwerte Vertrauensberech - α 68,3% ( ( v )) 95,5% ( ( v )) 99,7% (3 ( v )) t t t,84,7 63,3 3,3 4,30 9,9 4,0 3,8 5,8 5,4,78 4,6 6,,57 4,0 7,09,45 3,7 8,08,36 3,5 9.07,3 3, ,6 3, >00, t,00,96,6.4.4 Größtfehler oder maxmal möglcher Betrag der Messabwechung Häufg kommt es m Praktkum vor, dass a) der Zahlenwert ener Größe y ncht mt Hlfe von Messrehen, sondern anhand von Enzelmessungen bestmmt werden kann, b) de Engangsgrößen x, x, x 3 usw. ncht unabhängg vonenander snd oder c) kene zufällgen (normal vertelten) Fehler aufwesen. In desen Fällen st es snnvoll, für de Größe y den Größtfehler Δy anzugeben. Er ergbt sch aus der ungünstgsten, d. h. arthmetschen Addton aller Enzelfehler (arthmetsches oder lneares Fehlerfortpflanzungsgesetz): n f f f f y x x... xn x (0) x x xn x y st der größtmöglche Fehler, der be der Enzelmessung der Größe nsgesamt auftreten kann. Er muss n der Regel nach vernünftgen Maßstäben abgeschätzt werden. Wrd bespelswese de Länge ener Strecke mt enem 6

7 Maßstab gemessen, so wrd man be sorgfältger Messung de Ablesegenaugket des Maßstabs als Größtfehler annehmen. Zur Redukton des Arbetsaufwandes sollte man sch für das lneare Fehlerfortpflanzungsgesetz zwe Fälle merken: y f a x b x (0/) Es st de Summe der absoluten Fehler zu blden. Dabe darf man de Faktoren a und b ncht vergessen. a b y x x y f x x... yrel a b... (0/) y x x Es st de Summe der relatven Fehler zu blden. De Exponenten a und b werden zu Gewchtungsfaktoren. y a x b x Bespel Bestmmung des Schätzwertes für den maxmal möglchen Betrag der Ableseunscherhet be der Ermttlung der Zetkonstanten enes RC-Gledes mt Hlfe enes analogen Oszlloskopes Enstellungen des Oszlloskops: Empfndlchket X-Achse : 00 µs/cm, Stellung: CAL Empfndlchket Y-Achse : V/cm, Stellung: CAL Vergrößerung (Zoom) des Oszlloskops: 0x Vom Schrm abgelesene Werte: U 00% = U 0 = (70 mm V/ cm) = 7,0 V U 63% = u c = 0,63 7,0 V = 4,4 V Zoom n der X-Achse: = 5 mm (00 µs/cm /0) = 5 µs Unscherheten der Spannungswerte: ± 0,5 mm (Strchstärke) Ableseunscherheten ΔU 00% = ΔU 0 = ± 0,05 V Ableseunscherheten ΔU 63% = Δu c = ± 0,05 V - Ableseunscherheten Δ t = mm (00 µs/cm / 0) = ± µs Enfluss der Spannungsmessunscherheten: ( RC u ) c U0 e U o t RCln U u o t c t t u c tu U0 uc RC U0 uc U0 u c U0( U0 uc) ( U0 uc) tu U U Relatve Unscherhet der Spannungsmessungen: T RC rel,u rel, U 4, 4V 0, 05V 0, 05V 00% 3,% 7, 00V 7, 00 4, 4V 7,00 4, 4V s Zetmessunscherhet: rel, t 00%, 9% 5s Maxmale relatve Ableseunscherhet:,, 3,%,9% 5,0% rel rel U rel t u c : Spannung am Kondensator U 0 : Max. Kondensatorspannung R : Wderstand C : Kapaztät.5 Mttelwert und Standardabwechung be Messungen verschedener Genaugket Gegeben snd n Messergebnsse ener Größe x mt verschedenen Unscherheten: x x u( x), x x u( x),..., xn xn u( xn) Gesucht st der wahrschenlchste Mttelwert x und de Standardabwechung des Mttelwertes ux ( ). Zur Mttelwertbldung trägt jedes Messergebns be. Dabe müssen Werte mt klenen Unscherheten stärker berückschtgt werden als Werte mt großen Fehlern. Deshalb ordnet man jedem Messergebns en relatves Gewcht w zu. [,5] Relatves Gewcht: Gewchteter Mttelwert : Standardabwechung des gewchteten Mttelwertes: w () x ux ( ) x w w () ux ( ) (3) w 7

8 Bespel Es soll der gewchtete Mttelwert aus dre Messungen ener Federkonstanten berechnet werden. C = (50,0 ±,) /m w 0,69 C = (5, ± 0,8) /m w, 56 C 3 = (48,7 ±,6) /m w3 0,39 w,64 0,6950,0,565, 0,3948,7m C 50,5 m,64 Das vollständge Messergebns lautet: C (50, 5 0, 6) m 3. Bestmmung der Unscherheten für den allgemenen Fall uc ( ) 0,6.64 Häufg hängt de Ergebnsgröße Y n Form ener Funkton explzt von den Engangsgrößen X ab Y = f (X, X,, X m ) y = f (x, x,... x m ), (4) wobe X, X,, X m de Engangsgrößen, x, x,... x m de entsprechenden Schätzwerte 3 der Engangsgrößen darstellen. De Unscherhet uy ( ) ermttelt man mt Hlfe der Formel: m m m m f f f f f k k k, x xk x kx xk (5) u ( y) ux (, x) u( x) ux (, x) Das Verfahren sowohl für korrelerte als auch für unkorrelerte Engangsgrößen st mathematsch aufwendg und sprengt den Rahmen für das Grundlagenpraktkum. Für das Praktkum sollen de Engangsgrößen zur Bestmmung der Messgröße vonenander unabhängg sen, d. h. de gemensamen Komponenten der Messunscherheten u(x, x k ) der Engangsgrößen werden vernachlässgt. Be unkorrelerten Engangsgrößen reduzert sch Glechung (5) auf m f f f f m x x x xm uy ( ) u( x) ux ( ) ux ( )... ux ( ), (6) das Gauss sche Fehlerfortpflanzungsgesetz. Herbe st f / x de partelle Abletung der Funkton f nach x. Se gbt an, we sch de Funkton f ändert, wenn nur de Varable x varert wrd. Zur Redukton des Zetaufwandes sollte man sch zwe Spezalfälle merken: y f x x uy ( ) ux ( ) ux ( ) (7) Es st de Wurzel aus der Summe der Quadrate der Standardabwechungen der Mttelwerte zu zehen. uy ( ) ux ( ) ux ( ) u rel x u rel x y x x y f x x ( ) ( ) (8) Es st de Wurzel aus der Summe der Quadrate der relatven Standardabwechungen zu zehen. Verallgemenerung: y f axbx... uy ( ) aux ( ) bux ( )... (9) a b y f x x... u( y) ux ( ) ux ( ) a b... a u rel ( x) b u rel ( x)... y x x (0) Bespel Bestmmung ener Wnkelrchtgröße * r F D De Größen r, F und seen aus normalvertelten und ncht korrelerten Messwerten ermttelt worden. De Mttelwerte mt hren Standardabwechungen lauten: r 00, 0, 0 mm, o o 90,0,0,57 0,035 * 00,0 mm 0,353 D 44,9395 mm,57, F 0, 353 0, 05 3 Mttelwerte (Bestwerte) der Messwerte 8

9 u * rel ( D ) urel * ( ) ( ) ( ) ( ) * ud ur uf u D r F *,0mm 0,05 0,035 ( D ) 0,0744 7,44% 44,9395 mm = 3,35 3,4 mm 00,0mm 0,353,57 Das Ergebns lautet: * D (44,9 3,4) mm 4. Lneare Regresson 4. Ausglechsgerade y = Ax + B Es kommt recht häufg vor, dass zwe Größen x und y lnear vonenander abhängen, d. h. se snd über ene Geradenglechung mtenander verknüpft (y = Ax + B). Zel der Messung st es dann oftmals, de Größen A und B zu ermtteln. Im Experment gbt man Werte der Größe x vor, zu denen Messwerte der Größe y bestmmt werden. De Fehler der Vorgabewerte von x seen zu vernachlässgen, de Fehler der Messwerte von y seen zufällg. De Werte für A und B snd gefunden, wenn de Summe der Quadrate der vertkalen Abstände der Messwerte von der durch A und B bestmmten Ausglechsgeraden mnmal st, wenn also glt: Ax B y y Mnmum () y Ax B y Mt Hlfe der Dfferenzalrechnung berechnet man A und B: Es folgt: A B 0 y Ax B y Ax B y x A y Ax B y Ax B y B Ax Bx xy A x B y 0 Alle Summen erstrecken sch stets über von bs. A B xy xy x x yx xyx x x () (3) atürlch bestzen auch A und B Standardabwechungen 4. [] A Ax B y x x (4) Ax B y B x x x (5) ( ) = f st de Anzahl der Frehetsgrade, d. h. de Zahl der Messpunkte mnus der Zahl der aus desen Punkten zu bestmmenden Parameter (her also A und B ). 4 Hnwese und Bespele fnden Se m E-Learnng-Modul Physk Praktkum XX (JM). 9

10 4. Ausglechsgerade y = Ax Snd de Messwerte durch ene lneare Funkton y = Ax mtenander verknüpft (z. B. U = RI), ermttelt man aus: Ax y Mnmum (analog zu 5.) A A x y x Ax y x 4.3 Ausglechsgerade y = Ax + B mt vorgegebenem A Weder analog zu 5. berechnet man aus 4.4 Lnearserungen Ax B y Mnmum (6) (7) y A x B (8) Ax B y ( ) (9) Mt Hlfe von Umformungen lassen sch oftmals nchtlneare Zusammenhänge von Messgrößen lnearseren, so dass es möglch wrd, auch n solchen Fällen de lneare Regresson anzuwenden. a y bx log y logb alog x y ax b mt y log y b logb x log x ax y be ln y ln b axln e y ax b mt y ln y b ln b Tabelle : In desem Bespel soll aus ener Al-Schwächungskurve enes monochromatschen -Strahlers der Schwächungskoeffzent ermttelt werden. Lfd. r. Al-Flterstärke d n cm Dosslestung I n Gys - ln{i} {d²} {d} ln{i} ((Ax + B) y ) , ,0000 3,8375E-05 0, ,6067 0,04,33 0, , ,435 0,6,5654 0, , ,738 0,36 3,7043 0, , ,995 0,64 4,793,637E-05 6, ,799 Für de Ermttlung von A, B und deren Unscherheten 5,799 (,4576E-05 A, B ) 7,0 60 5,5607 setze man en Tabellenkalkulatonsprogramm,44 6,678 en. 0, , ,4806,69 7,48 0, , ,983 Se können de Kennwerte,5auch mt der RGP-Funkton 7,9475 n,76e-05 Excel oder Calc ermtteln. 0, ,075 3,065 8,886 0, ,00 5 4,883 Wetere Informatonen und 4Hlfen fnden Se 9,6566 m E-Learnngmodul 0, , ,485 für das Physkpraktkum. 6,5 0,6 0, , ,784 9,356 8,83669E ,50 8 3,33,5,667 0, ,00 6,776 6,0904 0, ,40,3979 9,36 0,5507 3,05065E-05 x =8,5 y =80,565 x ²=77,50 y x =3,744 ((Ax + B) y ) = 0, Schwächungsgesetz: Durch logarthmeren der Glechung folgt erhält man nach nchtlnearer Transformaton mt ln {I} = ln {I o } - d y = ln {I}, B= ln {I o }, A = -, x = d y = Ax+ B. Mt Hlfe der Glechungen () und (3) ermttelt man B = ln {I o } = 6,796 und A = - = -,00087 cm - Unscherhet B (Glechung 5) B = 0,009 Durch Rücktransformaton erhält man I 0 I o = (894,5,0) Gy s - Unscherhet für (Glechung 4): A = 0,00467 cm - Ergebns des Expermentes = (,00090,0047) cm - oder =,0009 (0,47%) cm - Ersatzfunkton : I 894,5 Gys e,0009 d cm 0

11 4.5 Lneare Regresson Grafsche Bestmmung von A, B und A, B Mt Hlfe von Tabellenkalkulatonsprogrammen oder von Programmen zur Datenanalyse lassen sch de gesuchten Größen enfacher und schneller berechnen als durch de manuelle Auswertung mt Hlfe von Mllmeterpaper. Auf ene Beschrebung der Auswertung wrd deshalb verzchtet. 5. Empfehlenswerte Lteratur / Skrpte, Lnks zur Fehlerrechnung Lteratur Gräncher, W. H.: Messung beendet was nun? Stuttgart: Teubner, 996 Taylor, J. R.: Fehleranalyse. Wenhem: VCH Verlagsgesellschaft mbh Skrpte [] Blüm, Peter: Enführung zur Fehlerrechnung m Praktkum URL: [Stand ] [] Unverstät Oldenburg : Fehler- und Ausglechsrechnung URL: [Stand ] [3]. Insttut Un Köln : Physkalsches Praktkum URL: [Stand ] ormen [5] orm DI Grundlagen der Messtechnk-Tel: Grundbegrffe [6] orm DI Grundlagen der Messtechnk-Tel3: Auswertung von Messungen ener enzelnen Messgröße, Messunscherhet 5.7.0

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