4 Strömungsprozesse mit Reibung

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1 Page 1 of 1 - Inhalt Prof. Dr.-Ing. Victor Gheorghiu Strömungsprozesse mit Reibung.1 Grunsätzliches zum Reibungseinfluss. Kennzahlen Wie unter. bzw..3 gezeigt, können Reibungsverluste im Impulssatz bzw. Energiesatz berücksichtigt weren. Man stellt nun ie grunsätzliche Frage, wovon hängt ie spezifische (.h. auf Masse bezogene) Reibungskraft innerhalb einer Strömung? Um sie beantworten zu können, wir ein 1D-Fluielement (als Teil eines Stromfaens) genommen, im essen Querschnitt (.h. in Normalrichtung n ) ein willkürliches Geschwinigkeitsprofil c = f(n) vorliegt (s. Bil). Dieses Geschwinigkeitsprofil entsteht als Folge er Schubspannung zwischen en Fluischichten. Somit ergibt sich Reibungskraft Masse R m 1 n wobei hier im Betrag genommen weren muss, um as richtige Vorzeichen für ie Reibungskraft zu resultieren. Für ein Newtonsche Flui gilt es für ie Schubspannung er rechts stehene Ausruck. Setzt man nun ieses Ergebnis in ie Formel er spezifischen Reibungskraft ein un betrachtet ie ynamische Viskosität als konstant im Elementquerschnitt, so ergibt sich R 1 m n c c n n c n Die Reibungskraft hängt also von er zweiten Ableitung er Geschwinigkeit ab. Die Ursache hierfür liegt offenbar arin, ass es auf ie Änerung er Schubspannung senkrecht zur Strömungsrichtung ankommt. Nun wir er Impulssatz geschrieben (s...1.1, Gl. 3), wobei hier er Inex auf ie c n, c n wenn, c n 0 anerfalls

2 Page of 1 partielle Ableitung nach er Zeit hinweist. c cc s 1 p s g z s c c D H wobei ie spezifische Reibungskraft in er oben gewonnen Form eingetragen wir. c 1 c c s s p g z s c n Man stellt nun ie auf ein Massenelement wirkenen Kräfte zusammen. Es hanelt sich abei um typische Vertreter er entsprechenen Einflüsse. In er untersten Zeile sin ie einzelnen Terme urch charakteristische Bezugsgröße für Zeit, Länge L, Geschwinigkeit c, Dichte un Druck p es Stromfaens argestellt. Man benutzt hier in beien Achsenrichtungen s un n enselben Längenmaßstab L. Trägheit Trägheit Effekt a b Druck Schwere Reibung Kraft Masse c c c s 1 s p g z s c n charakteristische Größen c c L p L g c L Aus iesen fünf typischen spezifischen Kräften lassen sich vier unabhängige imensionslose Kraftverhältnisse = Kennzahlen bilen. Diese Kennzahlen charakterisieren ein Stromfel un beschreiben ie eingehenen physikalischen Effekte. In folgenen weren einige wichtige Kennzahlen vorgestellt:.1.1 Euler- oer Newton-Zahl Diese Kennzahl ist efiniert urch Druckkraft Trägheitskraft ( b) p L c L p c Für ein kompressibles Fluis, noch genauer für ein Iealgas, wir ie Euler-Zahl zu Eu p c p 1 1 c a 1 c Eu 1 Ma Ne

3 Page 3 of 1.1. Froue-Zahl Diese Kennzahl ist efiniert urch Trägheitskraft ( b) Schwerkraft c Lg Fr Die Froue-Zahl ist überall ort von Wichtigkeit, wo ie Schwerkraft ie Strömung wesentlich beeinflusst, z.b. in Gewässern mit freier Oberfläche..1.3 Strouhal-Zahl Diese Kennzahl ist efiniert urch Trägheitskraft ( a) Trägheitskraft ( b) c c L L c Str Diese Kennzahl charakterisiert instationäre Strömungsvorgänge wie z.b. ie, ie in allen perioisch arbeitenen Kraft- un Arbeitsmaschinen auftreten. Um festzustellen, ob eine Strömung als stationär angesehen weren kann, muss ie Strouhal-Zahl ermittelt weren. Im Falle von Str << 1, arf ie Strömung als stationär betrachtet un somit ie vereinfachte Bernoulli-Gleichung angewant weren..1. Reynols-Zahl Diese Kennzahl ist efiniert urch Trägheitskraft ( b) Reibungskraft c L c L cl Re Diese sehr wichtige Kennzahl für alle Strömungsvorgänge erfasst en Reibungseinfluss. Ist Re >> 1,.h. ist ie Trägheitskraft (b) sehr viel größer als ie Reibungskraft, so ist ie Reibung innerhalb es Stromfeles von geringem Einfluss. Die Viskosität spielt nur in Wannähe aufgrun er Haftbeingung in er Grenzschicht eine Rolle.. Laminare un Turbulente Strömung

4 Page of 1 Man beobachtet in Experimenten mit Farbfaen z.b. in Rohrströmungen, ass bei gegebenen Rohrinnenurchmessern un Fluiviskosität zwei unterschieliche Situationen in Abhängigkeit er Strömungsgeschwinigkeit auftreten: Der Farbfaen bleibt als Faen im ganzen Strömungsfel laminare Strömung Der Farbfaen schlägt in einem sichtbaren Austausch mit Verwirbelungen um, un ie Farbe verbreitet sich in ganzen Rohrquerschnitt turbulente Strömung. Hier sin einige Beispiele mit Animationen für turbulente Strömungen: Beispiel 1 (mpg, 1.6 MB) mit Erklärungen Beispiel, Variante 1 (mpg, 0.6 MB) un Variante (mpg, 3.3 MB) mit Erklärungen Beispiel 3 (mpg, 1.3 MB) mit er turbulenten Strömung in einen kalten Wohnraum mit Fenster un Heizkörper, wenn er Heizkörper plötzlich warm wir. Für eine Rohrströmung finet man immer wieer, ass ie Grenze zwischen laminarer un turbulenter Strömung bei ca. Re = 300 liegt. Diese Grenze in Reynols-Zahl ist unabhängig von Fluieingeschaften, solange es um ein (nahezu) Newtonsches Flui hanelt, un vom Rohrurchmesser. Wenn er Querschnitt nicht Kreisförmig ist, wir ann an seiner Stelle er hyraulische Durchmesser in Reynols-Zahl-Formel eingesetzt. Reynols hat en Übergang er laminaren in ie turbulente Strömung untersucht un gefunen, ass ieser allein von er Re-Zahl abhängt. Aufgrun von Beobachtungen hat er vermutet, ass es sich hierbei um ein Stabilitätsproblem hanelt. Die laminare Strömung wir bei höheren Re-Zahlen instabil gegenüber Störungen (z.b. Vibrationen), ie in Natur un Technik immer vorhanen sin. D.h. iese kleinen Störungen, verursachen en Umschlag von laminarer in turbulenter Strömung. Je heftiger iese Störungen sin, esto früher (.h. bei kleineren Re-Zahlen) finet er Umschlag statt..3 Druckabfall in Kreisrohren bei laminarer un turbulenter Durchströmung Der Druckabfall (Druckverlust) infolge er verteilten Strömungsverluste (innere Reibung un Reibung mit en Wänen) ist für eine laminare Strömung gegeben urch L p lam D H c 6 cd H wobei lam mit Re DH Re DH Diese Berechnungsformel für lam kann hergeleitet weren. Im Gegenteil sin alle weiter unten vorgestellten Formeln er turbulenten Strömung nur urch Bearbeitung von experimentellen Untersuchungen gewonnen. Jeer Forscher hat für en Bereich, en er untersucht hat, eine oer mehrere Formeln gefunen. Hier weren für glatte Rohre nur zwei vorgestellt:

5 Page 5 of 1 turb Re DH 0.5 Blasius-Formel in expliziter Darstellung gültig bis Re DH log 10 Re DH turb 0.8 turb Prantl-Formel in inpliziter Darstellung gültig bis Re DH Für en Fall er rauhen Rohre wir ie Sankornrauhigkeit k eingeführt. Die Variation von ist in iesem Fall als Nikurase-Diagramm bekannt. Der Rohrurchmesser ist hier als angegeben. In einer zweiten un ritten Variante es Nikurase-Diagramms sin ie Rauhigkeitshöhe mit un er Rohrinnenurchmesser mit D bezeichnet. Beachtlich ist hier ie Tatsache, ass ie Wanrauhigkeit im Laminarbereich keinen Einfluss hat. Dies ist einfach aurch zu erklären, ass in iesem Fall nur ie Reibungskraft zwischen en Fluischichten wichtig ist. Die Rauhigkeit kann nur mehrere Schichten blockieren, aber letztenlich ie Reibung wirkt immer nur zwischen en parallelen Fluischichten. Im Gegenteil ist ie Situation im Turbulentbereich. Man muss hier zuerst feststellen, ass jee turbulente Strömung in er Wannähe eine laminare Grenzschicht hat. Die Dicke ieser Grenzschicht ist mit er Re-Zahl umgekehrt proportional. Nun, wenn ie Rauhigkeitshöhe kleiner als ie Dicke er laminaren Grenzschicht ist, ann wir ie turbulente Strömung (als Kernströmung) von er Anwesenheit er Wanrauhigkeit nicht beeinflusst. Entgegen ist er Fall bei größeren Wanrauhigkeiten, ie aus er Grenzschicht in turbulenten Kern er Strömung einringen. Der Druckabfall (Druckverlust) infolge er verteilten Strömungsverluste (innere Reibung un Reibung mit en Wänen) ist für eine turbulente Strömung (ähnlich wie bei laminarer Strömung) gegeben urch L p turb D H c. Wierstan un Druckverlust Der Gesamtwierstan (1) ist ie Summe aus Reibungswierstan () un Druckverlustwierstan (3). Was ie Messungen betrifft, so ergibt sich (1) aus einer einfachen Kraftmessung un (3) urch Integration er Druckverteilung über en Körper. Der in er Regel schwerer messbare Anteil () stellt sich ann als Differenz er Terme (1) un (3) ar. Für eine Minimierung es Gesamtwierstanes (3) gelten folgene Aussagen: Der Reibungswierstan () ist aurch zu minimieren, ass man nach Möglichkeit für eine laminare Grenzschicht sorgt. Der Druckverlustwierstan (3) kann man im Falle er Umströmung eines Körpers nur aurch verringern, ass man ie Ablösestelle möglichst weit ans Körperheck

6 Page 6 of 1 verschiebt. Beie Einflüsse überlagern sich un variieren teilweise gegenläufig, un somit sollen beie gleichzeitig optimiert (.h. en Kompromiss suchen) weren...1 Umströmungsprobleme Der Wierstan eines Körpers in eine Strömung ist gegeben urch c F W A c w wobei c w er Wierstansbeiwert oer er c-wert un A eine charakteristische Bezugsfläche beeuten. Der imensionslose c-wert hängt von allen Kennzahlen es Problems wie Re, Ma usw. ab. Hierunter weren zwei Beispiele von solchen Strömungen vorgestellt: Im Beispiel 1 (mpg, 1.6 MB) wir mit Hilfe einer Animation ie Umströmung eines Zyliners in einem Winkanal untersucht, wobei er Zyliner geringfügig asymmetrisch im Kanal angeorert ist. Daurch entsteht eine turbulente Strömung mit relativ intensiven Verwirbelungen hinter em Zyliner. Die Farbe zeigt ie Druckverteilung an, wobei rot für hohe un blau für tiefe Druckwerte stehen. Im Beispiel wir ie Umströmung eines Sattelschleppers bei Leerfahrt in einem Winkanal in zwei Varianten animiert. Die Farbe zeigt auch hier ie Druckverteilung an, wobei wie oben rot für hohe un blau für tiefe Druckwerte stehen. Im Beispiel, Variante 1 (mpg, 0.6 MB) ist nur ie Druckverteilung mit er turbulenten Strömung un Verwirbelungen hinter Fahrzeug vorgestellt. Im Beispiel, Variante (mpg, 3.3 MB) sin auch ie Teilchen währen er Umströmung argestellt... Durchströmungsprobleme Hier geht es vornehmlich um ie Bestimmung es Druckverlustes c p v v wobei v bezeichnet hier en Verlustkoeffizienten un hängt wie c w von en imensionslosen Kenngrößen es Problems ab. Beispiele Für en Fall er plötzlichen Erweiterung eines Rohres, also für en so genannten Bora-Carnot-Stossverlust kann er Druckverlustkoeffizient im Falle einer

7 Page 7 of 1 turbulenten Strömung auch analytisch bestimmt weren (aber ies ist nur einen Einzelfall) A 1 1 A 1 Für ie plötzliche Verengung gilt es 1 A 1 A 1 mit 0,6 1,0 1,5 für A A 1 0 0,3 0,6 Für en Fall einer Blene im Rohr gilt es A 1 A 1 3 A mit A 1 Im Falle eines geraen Rohrs ohne weitere Hinernisse gilt es Anere Experimentellwerte für verschieene Rohrkonfigurationen un Hinernisse kann man aus er Literatur (wie z.b. Strömung un Druckverlust, Wagner, W., Vogel-Verlag) entnehmen. Als ein Beispiel ist ie stationäre 3D Strömung urch en Einlasskanal eines Dieselmotors (1-Zyliner-Diesel-Forschungsmotors er Firma AVL) vorgestellt. Mehrere weitere graphische Darstellungen für instationäre, kompressible, quasi-1d Strömung urch as Ansaugrohr ieses Motors finet man hier (pf,.7 MB). Beispiel Man bestimme ie Einteilung es stationär eintretenen Massenstroms,.h. as

8 Page 8 of 1 m 3 Durchflussverhältnis m 3_1, in er Rohrverzweigung sowie en Druck p 1 beim m 1 Eintritt im Rohr 1, wenn ie Geschwinigkeit an ieser Stelle c 1 10ms 1 beträgt. Das strömene Flui ist Wasser mit er Dichte 1000kg m 3. Stromabwärts kommunizieren ie Rohre un 3 mit er Umgebung, wobei Abmessungen sin gegeben: 1 0.1m 0.08m m L 1 1m L 1.5m L m z 1 0m z 0m z 3 L 3 p 0 1bar Die Druckverlustkoeffizienten sollen aus er folgenen Tabelle entnommen weren:. Folgene Hinweise: o Die obigen -Werte beziehen sich auf Eingangsrohr 1 un o Beim Austritt zur Umgebung gelten 0 1, 30 1 auf Rohrzustan bezogen. Empfohlener Lösungsweg: Ein Durchflussverhältnis wir zuerst gewählt (z.b. m 3_1 0. ) weren aus er Tabelle (ev. urch lineare Interpolation) ermittelt. c c 3 un p 1 weren aus Bernoulli-Gleichung 1- un 1-3 un aus Kontinuitätsgleichung berechnet. Von en zwei Lösungen er resultierenen. Ornungsgleichung muss nur ie passene gewählt weren! Man beachte hier, ass c c max wobei c c max, wenn m 3_1 0. Ein neues Durchflussverhältnis m 3_1n wir ermittelt.

9 Page 9 of 1 m 3_1n m 3_1 Wenn 1.5 %, weren m 3_1 m 3_1n un ie Schritte bis 5 wieerholt. m 3_1n Lösung I. Vorbereitung er Gleichungen Bernoulli-Gleichung auf 1- p 1 c 1 gesamt verfügbare sp. Energie beim Eintritt in Rohr 1 gz 1 p 0 c gesamt verfügbare sp. Energie beim Austritt aus Rohr gz c 1 L 1 1 c L 0 1 sp. Energieverlust sp. Energieverlust entlang es Rohrs 1 entlang un im un im T-Stück Austritt es Rohrs Bernoulli-Gleichung auf 1-3 p 1 c 1 gesamt verfügbare sp. Energie beim Eintritt in Rohr 1 gz 1 p 0 c 3 gesamt verfügbare sp. Energie beim Austritt aus Rohr 3 gz 3 c 1 L 1 13 c 3 L sp. Energieverlust sp. Energieverlust entlang es Rohrs 1 entlang un im un im T-Stück Austritt es Rohrs 3 Kontinuitätsgleichung m 1 m m 3 1 c1 c 1 c1 3 c3 c 3 3 c In Bernoulli-Gleichungen weren ie Terme zusammengefasst p 1 p 0 p 1 p 0 L 1 L c g z 1 z c 1 0 (1-) 1 L 1 L 3 c g z 1 z 3 c (1-3) 1 3 p 1 wir nun zwischen en Gleichungen (1-3) un (1-) eliminiert L c L g z z 3 c c 1 0 3

10 Page 10 of 1 c 3 wir aus er Kontinuitätsgleichung eingesetzt un nach c resultiert eine. Ornungsgleichung in c b 1 c b c b 3 0 zusammengefasst. Es mit en Koeffizienten b 1 1 L L b 1 c 1 1 L b 3 c L 3 30 c g z z 3 II. Anwenung es Lösungsweges 1. Schritt m 3 m 3_1 0.3 wobei m 3_1 m 1. Schritt 3 c3 1 c m 3_ ( 0.0 0) m 3_ ( ) Schritt b 1 1 L L 0 b b 1 c 1 1 L 3 m 30 b s

11 Page 11 of 1 b 3 c L 3 30 c g z z 3 b m 3 3 s Die Nullstellen sin: b b b 1 b 3 c c m 1 > c m b 1 s s ie als unplausibel (viel zu groß) verworfen wir b b b 1 b 3 c c m b 1 s 1 c1 c c 3 c m s 3 Den Druck. Schritt p 1 braucht man noch nicht zu berechnen. 3 c3 m 3_1n m 3_1n c1 5. Schritt m 3_1n m 3_ % m 3_1n also > 1,5 % un eine weitere Iteration wir benötigt! 1. Schritt,. Iteration m 3_1 m 3_1n. Schritt,. Iteration m 3_ ( 0.0 0) m 3_ ( ) Schritt,. Iteration

12 Page 1 of 1 b 3 c L 3 30 c g z z 3 b m 3 3 s Die Nullstellen sin: b b c b 1 b b c b 1 b 1 b 3 b 1 b 3 c c m s m s > 1 c m s ie als unplausibel (viel zu groß) verworfen wir c 3 1 c1 3 c c m s. Schritt,. Iteration m 3_1n 3 c3 1 c1 m 3_1n Schritt,. Iteration m 3_1n m 3_ % m 3_1n also < 1,5 % un keine weitere Iteration wir benötigt! Der Eingangsruck wir berechnet p 1 p 0 c gz c 1 L c L 0 c 1 gz 1 p bar.5 Ähnlichkeitsbetrachtungen Im Falle, ass Rückschlüsse über as Strömungsverhalten eines Fluis gemacht weren soll, wobei Messergebnisse nur für anere Fluie (üblich Wasser un Luft) bekannt sin, weren Ähnlichkeitsbetrachtungen eingesetzt.

13 Page 13 of 1 Als Beispiel kann eine Luftströmung, ie sehr schwer zu Visualisieren ist, urch eine Wasserströmung simuliert, wo as Visualisieren kein Problem arstellt. Um ie Wasser- ie Luftströmung zu simulieren, sollen ie in iesen Fall wichtigen Kennzahlen ientische Werte in beien Strömungen haben. Beispiel Für ie Untersuchung er Strömungsprozesse bei er Lufteinströmung in en Zyliner eines -Takt-Motors weren im Stationärbetrieb Visualisierungen mit Wasser (als Testflui) bei p W 1bar, t W 30 C statt Luft urchgeführt. Stationär beeutet hier, ass er Kolben un ie offenen Ventile in festen Positionen bleiben. Das urch ie Ventile im Zyliner einringene Wasser wir vom Zyliner urch seitlich im unteren Teil er Zylinerwan urchgeführte Bohrungen abgeführt. Die Strömung es Wassers kann somit als stationär betrachtet weren. a) Man prüfe, ob ie Luftströmung mit c L 80ms 1, p L 1bar un t L 5 C in 0 iesen Fall als inkompressibel betrachtet weren arf,.h. ob 5 % ist, wobei 0 hier 0 ie Luftichte im Kessel- oer Stauzustan ist. b) Welches Strömungsgeschwinigkeitsverhältnis zwischen Wasser un Luft soll aus Ähnlichkeitsgrünen (.h. ie Strömungsart soll in beien Fällen erhalten bleiben) genommen weren? Gegebene Zahlenwerte: J R L 87.0 kg K T K 1. Lösung

14 Page 1 of 1 1 a) 0 1 Ma 1 p L L R L t L T 0 L kg m 3 1 a p L a m L s c L Ma Ma 0.31 a Ma Ma % 0.h. ie Luftströmung arf in iesem Fall als inkompressibel betrachtet weren! c L L b) Re L Re W L c W L W c L c W L W W m L m s s L 8.76 W.h. c L c W 8.76