Dirichlet - Reihen III. 1 Die Möbiussche Umkehrformel

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1 Dirichlet - Reihe III Vortrag zum Semiar zur Fuktioetheorie, Sohia Dahme I ieem Vortrag geht e arum, eiige Dirichlet-Reihe mit multilikative Koeffiziete kee zu lere u e Zuammehag zwiche verchieee Koeffiziete u e zugehörige Reihe äher zu uteruche. Die Möbiuche Umkehrformel Ei Zuammehag zwiche e Koeffiziete zweier Dirichlet-Reihe ka beiielweie urch ie Möbiuche Umkehrformel gegebe ei. Daher efiiere u uteruche wir u zuächt ie Möbiuche Fuktio, um mit ihrer Hilfe a ie Möbiuche Umkehrformel zu erhalte.. Defiitio Die Fuktio µ : N C,, fall =, µ = 0, fall ie Primfaktorzerlegug vo ei Quarat ethält, k, fall i k aarweie verchieee Primfaktore zerfällt, et ma Möbiuche Fuktio.. Lemma Die Möbiuche Fuktio it multilikativ. Bewei Seie m, N mit ggtm, =.. Fall: Die Zahle m u zerfalle i aarweie verchieee Primfaktore, alo m = m,... m,i mit m, < m,... < m,i P, =,...,j mit, <,... <,j P.

2 Die Möbiuche Umkehrformel Da gilt µ m = µ m,... m,i,...,j = i+j = i j = µm µ. }{{} aarweie verchiee a ggtm,=. Fall: Miete eie er Zahle m u ethält ei Quarat. I ieem Fall ethält auch m ei Quarat u e gilt µm = 0 = µm µ. Da µ = gilt, it ie Fuktio icht ietich 0. Somit it ie ach Fall u multilikativ. Mit Hilfe er Möbiuche Fuktio lät ich er Kehrwert er Zetafuktio al Dirichlet-Reihe mit eier multilikative Koeffizietefolge artelle..3 Beiiel Wir betrachte ie Reihe µ =. Die Kovergezabzie ieer Reihe lät ich mit Hilfe vo [Z] Satz wie folgt abchätze: log = N σ b = µ log = N lim u lim u µ log = N lim u = lim u =. Wir zeige u, a ie abolute Kovergezabzie er Reihe geau i liegt, iem wir achweie, a ie Reihe a er Stelle icht abolut koverget it. E gilt µ = µ P =. P We wir u zeige, a ie Reihe P icht koverget it, habe wir eie ivergete Miorate gefue u e folgt ie Behautug. Dazu ehme wir a, iee Hilfreihe ei koverget u efiiere,,... al Auflitug aller Primzahle er Größe ach. Da exitiert ei k N, o a m=k+ m <. Wir efiiere u Q =... k. Für ie Folge + Q mit N gilt u, a keie er Folgeglieer urch eie er Primzahle,..., k teilbar it, a ja jee

3 Die Möbiuche Umkehrformel,..., k ie Zahl Q teilt. Daher i alle Primfaktore vo + Q größer al k. E gibt alo zu jeem N eie eliche Mege J {k +, k +...}, o a ma ie Dartellug + Q = j J r j j erhält. Die rechte Seite it eier er Summae, ie ettehe, we ma a Proukt + + t +... k+ k+ k+3 aumultiliziert. Hierbei it t = j J r j. E gilt u r = + Q t= m=k+ t t= m, t= a ach obiger Überlegug jeer Summa er like Seite i er mittlere Summe ethalte it. Im vorletzte Schritt wure ie Abchätzug vo weiter obe verweet u mit Hilfe er geometriche Summeformel augewertet. Nu folgt alo au er Kovergez vo P / ie Kovergez vo = / + Q. Die it ei Wierruch zur Divergez er Reihe = / + Q, welche ich au er Divergez er Miorate Q + = / ergibt. Igeamt folgt omit ie Divergez er Reihe = µ / u aher hat iee Reihe ihre abolute Kovergezabzie i. Wir köe u für C mit Re > ie Eulerche Prouktetwicklug betrachte u erhalte µ = + µ P + µ P = P = ζ, wobei ie Prouktartellug er Zetafuktio verweet wure, owie µ = u µ r = 0 für r >. Diee Ergebi it hilfreich beim Bewei vo.4 Lemma Für ie Möbiuche Fuktio µ gilt {, fall =, µ = 0, fall >. 3

4 Die Möbiuche Umkehrformel Bewei Wir betrachte ie Folge a N mit a = u a = 0 für alle >. Mit Hilfe er Faltugformel au [Z] 3 gilt für C mit Re > ie Gleichug a = = = ζ ζ = µk k k= = µ =. m= m = µ = Auf Gru er Eieutigkeit er Koeffiziete eier abolut kovergete Dirichlet- Reihe folgt µ = a, wa zu zeige war..5 Satz Möbiuche Umkehrformel Seie f u g zwei Fuktioe vo N ach C. Gilt für alle N ie Gleichug f = g, o gilt für alle N ebefall g = µ f u umgekeht. We f u g i ieer Beziehug zueiaer tehe, o it g multilikativ geau a, we f multilikativ it. Bewei Wir beweie zuächt e erte Teil e Satze. Zur Vereutlichug etzt ma ert eimal Werte für i f ei u erhält o ie folgee Gleichuge: f = g g = f f = g + g g = f f f 3 = g + g3 g3 = f 3 f f 4 = g + g + g4 g4 = f 4 f... 4

5 Die Möbiuche Umkehrformel Ma ieht u, a eie Dartellug vo g i er Form g = a, f exitiert, wobei ie Koeffiziete a, uabhägig vo f u g i. Ziel it e u, iee a, geauer zu betimme. Dazu wählt ma ei 0 N beliebig au u etzt g = 0 für alle > 0. Da it ie Reihe G = 0 g g = = = abolut koverget für alle C. Weiterhi etzt ma F = = f. Für alle C mit Re > gilt mit er Faltugformel ζ G = k= k gm m m= = = g. Au er Eieutigkeit er Koeffiziete eier Dirichlet-Reihe folgt u g = f N ζ Gm = F G = ζ F = k= g µk k m= = µ f N, f m m = = µ f wobei ie letzte Äquivalez au er Eieutigkeit er Koeffiziete eier kovergete Dirichlet-Reihe folgt. Da 0 beliebig gewählt war, gilt ie Äquivalez für alle N. Zum zweite Teil e Satze: Sei g multilikativ u, m N mit ggt, m =. Da gilt f f m = ge gc = ge gc = gec = g = f m. e m c ec m ec m m 5

6 Die Möbiuche Umkehrformel Sei f multilikativ u, m N mit ggt, m =. Da gilt g gm = µ f c c c e m = µ ce m m ec m µ f e = e f ec = µ m m c,e m m µ µ f e f c e c f = gm..6 Bemerkug Die Äquivalez au.5 lät ich auch mit Hilfe vo.4 zeige. Sei f = g = g/. Da folgt i em ma e urch m, m eretzt µ f = µ f = µ e / = m g m = µ g, m m g e m = µ g e e µ = g. m Sei g = µ f = µ f. Nu zeigt ma aalog g = g = f m m = e / µe f e µ = f. m = e µ f e = m µ f m Ei Soerfall e zweite Teil vo.5 liegt vor, we ie Reihe G = = abolut koverget it. I ieem Fall lät ich ie Auage mit Hilfe vo [Z] Satz beweie. Da gilt: g it multilikativ G beitzt eie Eulerche Prouktetwicklug F = ζg beitzt eie Eulerche Prouktetwicklug g f it multilikativ 6

7 Beiiele zu Dirichlet-Reihe mit multil. Koeffiziete Beiiele zu Dirichlet-Reihe mit multilikative Koeffiziete Wir efiiere zu Begi eiige zahletheoretiche Fuktioe. Da i Fuktioe mit Defiitiomege N u Werte i eier Teilmege vo C.. Defiitio a Die Fuktio ν : N R bilet auf ie Azahl er Primteiler vo ab, wobei ie Primteiler mit Vielfacheit gezählt were. Weiter efiiere wir λ = ν. b Die Fuktio ω : N R bilet ab auf ie Azahl er verchieee Primteiler vo. c Die Fuktio ϕ : N N, / heißt Eulerche Fuktio. Wir efiiere r = #{a, b Z a + b = } al ie Azahl er Möglichkeite, eie atürliche Zahl al Summe vo zwei Quarate arzutelle. e Die Fuktio χ auf e atürliche Zahle ei efiiert urch, fall mo 4, χ =, fall mo 4, 0, fall 0 mo. f Wir führe u och eie Bezeichug ei: L = χ = = Der Bewei e folgee Satze it ehr aufweig u etzt ie Keti er Theorie zur Dartellug eier Zahl al Summe vo zwei Quarate vorau. Au ieem Gru wir er hier augelae. Nachzulee it er i Hary/Wright: A Itrouctio to the Theory of Number.. Satz Für alle N gilt 4 r = χ. 7

8 Beiiele zu Dirichlet-Reihe mit multil. Koeffiziete.3 Lemma Die Fuktioe ϕ, λ, ω, χ u 4r i multilikativ. Bewei Seie, m N mit ggt, m =. Die Fuktioe ϕ, λ, ω, 4 r u χ i alle icht ietich Null u e gilt ϕm = m m = m m = ϕϕm, λm = νm = ννm = ν νm = λλm, ωm = ω+ω = ω ωm. Die Multilikativität er Fuktio χ folgt au er Defiitio er Multilikatio auf Retklae. Die Fuktio 4 r it multilikativ, a ie beie Fuktioe 4 r u χ ach. i er i.5 verlagte Relatio tehe u χ multilikativ it. Nu zeige wir, a ie hier vorliegee Defiitio er ϕ-fuktio äquivalet it zur bereit au er lieare Algebra bekate Dartellug..4 Lemma Für alle N gilt ϕ = #{ N;, ggt, = } u e Weitere ϕ =. Bewei Wir wolle zuächt ie erte Auage beweie. Dazu verwee wir ie Notatio f = #{ N;, ggt, = }. Die hier eu ageführte Dartellug f it ebefall multilikativ. E gilt ämlich für teilerfreme, m N, a f m geau er Azahl vo Möglichkeite etricht, eie Zahl, ie kleier al m u teilerfrem zu m it, mit eier Zahl, ie kleier u teilerfrem zu it, zu multiliziere. Die gilt, a ja m u ach Vorrauetztug teilerfrem i. Ma erhält alo f m = f f m. Daher geügt e zu zeige, a für alle r mit P u r N gilt f r = # { N; r, ggt, r = } = r r = r / = ϕ r. 8

9 Beiiele zu Dirichlet-Reihe mit multil. Koeffiziete Dabei wure verweet, a uter e Zahle,..., r geau jee -te urch teilbar u omit icht teilerfremzu r it. Nu zur zweite Auage. Wir efiiere M = {m {,..., } ; ggtm, = }. Au ggtm, = folgt, a ggtm/, / = it. Nu etzt ma q = m/ u erhält, a ie Mächtigkeit vo M er Azahl er Zahle q etricht, ie kleier al / i u azu teilerfrem. E folgt omit #M = ϕ/. Jetzt betrachtet ma = # {,... } = # M = ϕ/ = ϕ. E haelt ich hier um eie ijukte Vereiigug vo M, a jee m {,..., } geau i eie ieer Mege M vorkommt, ämlich i erjeige mit = ggtm,. Damit gilt alo ie obige Behautug. I er folgee Tabelle i eiige Dirichlet-Reihe mit multilikative Koeffiziete u ere abolute Kovergezabzie aufgeführt: Nr. f f σ a ζ µ /ζ 3 ζ 4 τ ζζ 5 σ k ζζ k k + 6 λ ζ/ζ 7 λ ζ 8 χ L 9 4 r ζl 0 ϕ ζ /ζ ω ζ /ζ µ ζ/ζ 3 ζ 3 /ζ 4 σ k σ l ζζ kζ lζ k l/ζ k l 5 ζ 4 /ζ Die Dartelluge bi 5 wure bereit gezeigt. Zu e Dartelluge 3 bi 5 bereche wir u och ie abolute Kovergezabzie. 9

10 Beiiele zu Dirichlet-Reihe mit multil. Koeffiziete Im vorherige Vortrag wure mit Hilfe er Faltugformel achgewiee, a ie Reihe = / für alle C mit Re > kovergiert. Nu gilt mit [Z] Satz, a iverget it, σ b = lim u log = N lim u log N = = lim u =. Damit folgt alo, a ie Reihe ie Kovergezabzie σ b = hat. Nu zur Kovergezabzie er Dartellug 5. E wure bereit gezeigt, a ie Reihe = σ k/ für alle C mit Re > k + kovergiert. E gilt mit [Z] Satz, a σ k iverget it, N k+ σ b = lim u = lim u log = N σ k k + lim u logk + Dabei verweet ma ie Abchätzug log = N k = k +. N N k x k x = k + Nk+. = 0 Die Kovergezabzie er Reihe liegt alo bei k +. lim u log k+ Da τ = σ, hat ie Reihe 4 ihre Kovergezabzie i u Reihe 3 i. Wir betrachte u ie Dartellug 6 geauer. Die Kovergezabzie ieer Reihe lät ich wie folgt abchätze: log = N σ b = λ log = N lim u lim u λ log = N lim u = lim u =. E gilt, a ie Reihe omit für Re > abolut koverget it, mit [Z] Satz u er Formel für geometriche Reihe λ = + λ P + λ +... P +... P r = P + P = ζ ζ, 0

11 Beiiele zu Dirichlet-Reihe mit multil. Koeffiziete iem ma im letzte Schritt a bereit bekate Eulerroukt für ζ verweet. Al Nächte leite wir ie Dartellug 7 her. Auf Gru er Dartellug 6 erhalte wir mit Hilfe er Faltugformel ζ = ζ ζ ζ = λkk m = λ k= m= =. Die Dartellug 8 gilt ach.. Die Dartellug 9 erhält ma auf Gru vo., er Dartellug 8 u er Faltugformel auf em abolute Kovergezbereich er Reihe: = 4 r = = χ = = χ = = ζl. Nu betrachte wir ie Dartellug 0. Au er Defiitio vo ϕ folgt, a ϕ für alle N gilt. Auf Gru er Abchätzug log = N σ b = ϕ log = N lim u = lim u ϕ log = N lim u lognn + / logn + = lim u = lim u + log = it ie Reihe für Re > abolut koverget. [Z] Satz it awebar, a weiterhi ϕ multilikativ it. E gilt alo mit er Formel zur geometriche Reihe u a ϕ r = r / für r it ϕ = + ϕ P + ϕ + ϕ P / P r + P ϕ r r P r / r + + r= ϕ r r / P + P = P P ζ =. P ζ

12 Beiiele zu Dirichlet-Reihe mit multil. Koeffiziete Ma ka iee Ietität auch leicht mit Hilfe vo.4 u er Faltugformel zeige. E gilt ämlich ζ ϕ = = ϕ = = = = = = ζ. Nimmt ma a, a ie Reihe eie Kovergezabzie σ b < hat, o folgt, a ei ε > 0 exitiert, oa ie Reihe für = ε abolut koverget it, a hier σ b = σ a gilt. Da i aber i er obere Rechug beie Reihe auf er like Seite abolut koverget i eier Umgebug vo. Darau folgt ach [Z] Seite 9, a auch ie rechte Seite abolut koverget i eier Umgebug vo it. Ma erhält u aber eie Wierruch, a ie Zetafuktio i icht abolut koverget it. Somit ivergiert ie hier betrachtete Reihe i u hat aher ie Kovergezabzie. Nu zur Dartellug. Auf Gru er Defiitio erhält ma für alle P ie Gleichug ω =. Uter Verweug er Eulerche Prouktartellug gilt auf em abolute Kovergezgebiet er Reihe ω = + ω P + ω + ω P + r= + P r P + r P = ζ ζ. P Dartellug zeigt ma wieer mit Hilfe er Eulerche Prouktetwicklug. Weiterhi wir verweet, a µ = = it u für r > tet µ r = 0 gilt. Daher erhält ma µ = + µ P + µ + µ P P P = ζ ζ.

13 Beiiele zu Dirichlet-Reihe mit multil. Koeffiziete Wir wolle u Dartellug 3 achweie. Mit [K] Aalyi I Kaitel IV Beiiel 4. b gilt r r = r + r r = r + r r = =. Au r = r + u er Eulerche Prouktetwicklug folgt = + P P P P + r r + P P auf em abolute Kovergezbereich er Reihe. 3 = ζ3 ζ r + r + Die Dartellug 4 wir hier icht achgewiee, aber ma ieht, a au ihr mit l = 0 u k = 0 a ofort ie Dartellug 5 folgt. Literatur [Z] D. B. Zagier: Zetafuktioe u quaratiche Körer, Sriger 98 [K] A. Krieg: Skrite zur Aalyi I IV