Hausaufgabe 1 (Induktion):

Transkript

1 Prof Dr J Giesl M Brokshmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Husufgben sollen in Gruppen von je 2 Studierenden us dem gleihen Tutorium berbeitet werden Die Lösungen der Husufgben müssen bis Fr, , 11:45 in der Globlübung bgegeben werden Alterntiv ist es möglih, die Lösungen in den Tutorien m Mittwoh bzugeben oder bis Fr, Uhr im Abgbeksten im Flur des LuFG I2 einzuwerfen (Ahornstr 55, E1, 2 Etge) Nmen und Mtrikelnummern der Studierenden sowie die Nummer der Übungsgruppe sind uf jedes Bltt der Abgbe zu shreiben Heften bzw tkern Sie die Blätter! Die Tutorufgben werden in den jeweiligen Tutorien gemeinsm besprohen und berbeitet Am finden die letzten Tutorien zur Vorlesung Formle Systeme, Sprhen, Prozesse sttt Dort werden Sie die Möglihkeit hben, unter Anleitung des Tutors vershiedene klusurrelevnte Aufgben us dem Semester zu wiederholen Am findet die letzte Vorlesung Formle Systeme, Sprhen, Prozesse im Sommersemester 2010 sttt Husufgbe 1 (Induktion): (5 Punkte) Gegeben sei ein NFA M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) Wir konstruieren dmit die linkslinere Grmmtik G = (Q, Σ, P, q o ) mit den Produktionen P = {q p p δ(q, ), q Q, Σ} {q ɛ q F } Beweisen Sie, dss für lle p, q Q, w Σ gilt: p ˆδ(q, w) q G wp1 Hinweis: Beweisen Sie beide Rihtungen getrennt Verwenden Sie für eine Induktion über die Wortlänge und für eine Induktion über die Ableitungslänge Wir zeigen zuerst p ˆδ(q, w) q G wp ( ) per Induktion über die Länge des Wortes w Induktionsnfng: Sei w = 0, dh w = ɛ Sei p ˆδ(q, ɛ) Dnn gilt p = q und die Ableitung q 0 G q = p existiert Wir nehmen nun ls Induktionshypothese n, dss für beliebige n N 0 die Aussge ( ) für Wörter der Länge n bereits gilt Induktionsshritt: Sei w = n + 1 mit w = w, w Σ n, Σ Dnn gibt es ein q mit p δ(q, ) und q ˆδ(q, w ) Nh Induktionshypothese gilt q G w q Nh Konstruktion gilt ußerdem q p P Dmit können wir die Ableitung q G w q q p w p = wp bilden Wir zeigen nun die Rükrihtung q G wp p ˆδ(q, w) ( ) per Induktion über die Länge n der Ableitung Induktionsnfng: Sei n = 0, dh q 0 g q = ɛq Es gilt offensihtlih q ˆδ(q, ɛ) Wir nehmen nun ls Induktionshypothese n, dss für beliebige n N 0 die Aussge ( ) für Ableitungen der Länge n bereits gilt Induktionsshritt: Nh Konstruktion von G gibt es nur linkslinere Regeln Es gibt lso ein q Q mit einer Regel q p mit q n G w q q p w p = wp Nh Induktionshypothese gilt q ˆδ(q, w ) und nh Konstruktion der Regel q p gilt uh p δ(q, ) Dmit gilt dnn direkt p ˆδ(q, w) 1 Dies ist Lemm 404 us der Vorlesung 1

2 Tutorufgbe 2 (Kontextsensitive Sprhen): Um zu zeigen, dss L i für i {1, 2} eine kontextsensitive Sprhe ist, geben Sie jeweils eine monotone Grmmtik G i n, so dss L(G i ) = L i gilt Geben Sie ußerdem eine Ableitung für ds Wort w i mit Ihrer Grmmtik n ) L 1 = { n b n n n N 0 } und w 1 = bb b) L 2 = { n b m n d m n, m N >0 } und w 2 = bbbddd ) S ɛ (1) S T (2) T T BC (3) T BC (4) CB BC (5) B b (6) bb bb (7) bc b (8) C (9) Hier werden mit Regeln (3) und (4) für jedes Terminlsymbol jeweils gleih viele B und C erzeugt Diese sind noh niht notwendigerweise in der rihtigen Ordnung, können ber mit Regel (5) Shritt für Shritt so geordnet werden, dss kein B mehr rehts von einem C steht Nun knn mn von den -Symbolen uf der linken Seite usgehend jeweils ds erste Nonterminl in ein Terminl umwndeln Beispielbleitung für bb (bgeleitete Teile sind jeweils unterstrihen): S (2) T (3) T BC (4) BCBC (5) BBCC (6) bbcc (7) bbcc (8) bbc (9) bb 2

3 b) S NM (1) S M (2) N NY (3) N Y (4) M bmd (5) M bxd (6) Y b by (7) Y X X (8) X (9) Hier werden die Teillängen n, m durh die Anzhl der N- bzw M-Produktionen festgelegt Während die -, b- und -Terminle bereits beim Verwenden der N und M-Produktionen ufgebut werden, wird ds Nonterminl Y verwendet, um die Anzhl der noh zu erzeugenden -Terminle zu zählen Ds Nonterminl X wird genu einml erzeugt und mrkiert die Stelle, n der die -Terminle eingefügt werden müssen Mit Hilfe von Produktion (7) werden dnn die vor den bereits erzeugten b stehenden Y im Wort nh rehts vershoben, bis sie X erreihen Dort werden sie dnn durh ein ersetzt Zuletzt knn X durh ein einziges ersetzt werden Beispielbleitung für bbbddd (bgeleitete Teile sind jeweils unterstrihen): S (1) NM (4) Y M (5) Y bmd (5) Y bbmdd (6) Y bbbxddd (7) by bbxddd (7) bby bxddd (7) bbby Xddd (8) bbbxddd (9) bbbddd Husufgbe 3 (Kontextsensitive Sprhen): ( = 9 Punkte) Um zu zeigen, dss L i für i {3, 4, 5} eine kontextsensitive Sprhe ist, geben Sie jeweils eine monotone Grmmtik G i n, so dss L(G i ) = L i gilt Geben Sie ußerdem eine Ableitung für ds Wort w i mit Ihrer Grmmtik n ) L 3 = {w {, b, } (w) = b (w) = (w)} und w 3 = bb b) L 4 = {(b) n (b) n () n n N 0 } und w 4 = bbbb 3

4 ) L 5 = { n b m k n, m, k N >0 n m k} und w 5 = bb ) S ɛ (1) S T (2) T T T (3) T ABC (4) AB BA (5) AC CA (6) BA AB (7) BC CB (8) CA AC (9) CB BC (10) A (11) B b (12) C (13) Hier werden mit den Regeln (3) und (4) eine beliebige Anzhl von ABC-Gruppen erzeugt Mit Hilfe der Regeln (5)-(10) können diese dnn frei vertusht werden Mit den Regeln (11)-(13) werden die Nonterminle dnn in die entsprehenden Terminle übersetzt Beispielbleitung für bb (bgeleitete Teile sind jeweils unterstrihen): S (2) T (3) T T (4) ABCT (4) ABCABC (8) ACBABC (6) CABABC (7) CAABBC (8) CAABCB bb 4

5 b) S ɛ (1) S T (2) T bt HK (3) T bhk (4) KH HK (5) bh bb (6) bh bb (7) bk b (8) K (9) Die Grmmtik ist bis uf die Terminlsymbole identish zur Grmmtik für L 1 = { n b n n n N 0 } Beispielbleitung für bbbb (bgeleitete Teile sind jeweils unterstrihen): S (2) T (3) bt HK (4) bbhkhk (5) bbhhkk (6) bbbhkk (7) bbbbkk (8) bbbbk (9) bbbb ) S T bx (1) S bx (2) T T bc (3) T T bc (4) T T C (5) T bc (6) T C (7) Cb bc (8) CX X (9) X (10) Hier werden - und b-symbole erneut beim initilen Aufbu mit Hilfe der Produktionen für S und G generiert Mit X wird die Stelle im Wort mrkiert, in der im Folgenden die -Symbole erzeugt werden müssen, deren Zhl von der Anzhl der erzeugten C-Nonterminle bhängt Diese werden mitten im Wort erzeugt und können dnn mit Regel 8 nh rehts bewegt werden 5

6 Beispielbleitung für bb (bgeleitete Teile sind jeweils unterstrihen): S (1) T bx (3) T bcbx (4) CbCbX (8) CbbCX (8) bcbcx (8) bbccx (9) bbcx (9) bbx (10) bb Tutorufgbe 4 (Synhronisiertes Produkt): while (true) { ; /* wit for x!= 1 */ while (x = 1); print ( ); } x := 0; /* wit for x!= 0 */ while (x = 0); print ( b ); Progrmm P 1 Progrmm P 2 ) Modellieren Sie den Kontrollfluss von P 1 durh einen NFA M 1 mit 3 Zuständen, sowie den den Kontrollfluss von P 2 durh einen NFA M 2 mit 4 Zuständen Verwenden Sie hierbei für beide Automten die Signtur Σ = {,, x := 0,, print( ), print( b )} b) Berehnen Sie ds unsynhronisierte Produkt M 1 M 2 Geben Sie den resultierenden NFA n ) Modellieren Sie die booleshe Vrible x des Progrmms durh den NFA B x Berehnen Sie den NFA M := (M 1 M 2 ) B x und geben Sie die Automten B x und M n d) Ist es möglih, dss Progrmm P 1 und P 2 (wenn sie gleihzeitig usgeführt werden) die Zeihenfolge b usgeben? Begründen Sie ihre Antwort mit dem NFA M ) 6

7 q 0 q 1 q 2 print( ) q x := 0 3 q 4 q print( b ) 5 q 6 b) (q 0, q 3 ) (q 1, q 3 ) (q 2, q 3 ) x := 0 print( ) x := 0 x := 0 (q 0, q 4 ) (q 1, q 4 ) (q 2, q 4 ) print( ) (q 0, q 5 ) (q 1, q 5 ) (q 2, q 5 ) print( b ) print( ) print( b ) print( b ) (q 0, q 6 ) (q 1, q 6 ) (q 2, q 6 ) print( ) ) 7

8 x := 0 b 0 b 1 x := 0 (q 0, q 3, b 0 ) (q 1, q 3, b 1 ) x := 0 x := 0 (q 0, q 4, b 0 ) (q 1, q 4, b 0 ) print( ) (q 2, q 4, b 0 ) (q 1, q 4, b 1 ) (q 1, q 5, b 1 ) print( b ) (q 1, q 6, b 1 ) d) Nein, der NFA M beshreibt keinen Pfd, uf dem nh einem print( b ) noh ein print( ) folgen knn Husufgbe 5 (Synhronisiertes Produkt): (4 Punkte) q 3 q 4 b b q 1 q 2 q 5 Gegeben seien die DFAs M 1 und M 2 Berehnen Sie: ) M 1 M 2 8

9 b) M 1 M 2 ) b b (q 1, q 3 ) (q 2, q 3 ) b b (q 1, q 4 ) (q 2, q 4 ) b b (q 1, q 5 ) (q 2, q 5 ) b) 9

10 b, b, (q 1, q 3 ) (q 2, q 4 ) b b, (q 2, q 5 ) (q 3, q 2 ) (q 1, q 5 ) (q 4, q 1 ) b b Tutorufgbe 6 (Petrinetze): In dieser Aufgbe sollen Sie Petrinetze nutzen, um Prozesse us dem Alltg zu modellieren Verwenden Sie die unterstrihenen Begriffe ls Stellen und Trnsitionen und wählen Sie geeignete Knten zwishen diesen, um die im Aufgbentext dokumentierten Zusmmenhänge drzustellen ) Wir betrhten ein Cllenter Dort gibt es Agenten, die Anrufe entgegennehmen und den berihteten Problemfll im internen Tiketsystem registrieren Im Folgenden versuhen die Agenten nun, ds Problem direkt zu lösen, zb mit Hilfe eines Frgenktloges und Stndrdntworten Gelingt dies, ist der Problemfll bgeshlossen und der Agent steht für einen weiteren Anruf zur Verfügung In llen nderen Fällen wird der Problemfll eskliert und im Tiketsystem ls ungelöstes Problem mrkiert, dmit ein Tehniker den Fll nlysieren knn Erstellen Sie nun ein Petrinetz, ds diesen Prozess dokumentiert b) Wir betrhten nun die Tehnik-Abteilung eines Softwre-Unternehmens In einem internen System werden berihtete Probleme verwltet Ht ein Tehniker gerde keine ndere Aufgbe, knn eines dieser Probleme nlysiert werden Dbei wird ein minimler Testfll erstellt, der ds Problem reproduziert Dnh knn sih der Tehniker wieder nderen Aufgben zuwenden Mit Hilfe des Testflls knn ein Tehniker diesen lösen Um zu verhindern, dss ds Problem wieder eingeführt wird, wird der Testfll ls Regressionstest gespeihert Erstellen Sie nun ein Petrinetz, ds diesen Prozess dokumentiert ) Erklären Sie, wie Sie die beiden Petrinetze sinnvoll miteinnder verbinden können Beshreiben Sie, welhe Komponenten sih in den beiden Netzen entsprehen und welhen Prozess ds Ergebnis modelliert 10

11 ) Agenten Anruf entgegennehmen Problemfll direkt loesen esklieren Ungeloestes Problem b) Probleme nlysieren Tehniker Testfll loesen Regressionstest ) Die Stellen Ungeloest im Cllenter-Petrinetz und Probleme im Petrinetz für die Tehnik-Abteilung entsprehen sih Die Komposition der beiden Netze n dieser Stelle entspriht dnn der Übergbe eines Problems n einen Tehniker 11

12 Husufgbe 7 (Petrinetze): (3 + 2 = 5 Punkte) In dieser Aufgbe sollen Sie Petrinetze nutzen, um Prozesse us dem Alltg zu modellieren Verwenden Sie die unterstrihenen Begriffe ls Stellen und Trnsitionen und wählen Sie geeignete Knten zwishen diesen, um die im Aufgbentext dokumentierten Zusmmenhänge drzustellen ) Wir betrhten den Übungsbetrieb einer Vorlesung Formle Sprhen, Automten und Petrinetze Hier werden Übungsblätter bereitgestellt, die dnn von Studierenden berbeitet werden Die so entstehenden Übungsbgben können dnn entweder in einem Tutorium bgegeben oder in den Abgbeksten geworfen werden Abgben im Tutorium lnden direkt uf dem Korrekturstpel eines Tutors Abgben im Übungsksten werden von einem Assistenten sortiert (wenn er dfür Zeit ht) und kommen dnn uf den Korrekturstpel eines Tutors Erstellen Sie nun ein Petrinetz, ds diesen Prozess dokumentiert b) Wir betrhten nun die Arbeit von Tutoren Übungsbgben vom Korrekturstpel werden korrigiert, wenn der Tutor gerde keine nderen Verpflihtungen ht Bei der Korrektur wird ein Rükgbestpel ufgebut Gleihzeitig entsteht eine Punkteliste Die korrigierten Übungsbgben vom Rükgbestpel werden zurükgeben, wenn ein Tutor gerde niht nderweitig beshäftigt ist, meist im Tutorium Außerdem werden die Punkte von der Punkteliste eingetrgen, wenn der Tutor Zeit ht Erstellen Sie nun ein Petrinetz, ds diesen Prozess dokumentiert ) Uebungsbletter Studierende berbeiten Uebungsbgben im Tutorium bgeben Assi in Abgbeksten werfen Korrekturstpel sortieren Unsortiert b) 12

13 Korrekturstpel korrigieren Ruekgbestpel Tutoren zuruekgeben Punkteliste eintrgen Tutorufgbe 8 (Erreihbrkeit): Gegeben sei folgendes Petrinetz P : 1 t 1 2 t 3 3 t 2 ) Berehnen Sie die Inzidenzmtrix D = D + + D b) Zeigen oder widerlegen Sie, dss folgende Ableitungsequenzen existieren Geben Sie im Flle der Existenz die Folge der usgelösten Trnsitionen n und im Flle der Nihtexistenz einen Beweis mit Hilfe von Stz 525 Hinweis: Verwenden Sie zum Konstruieren einer Folge für die Ableitung m m eine Lösung x der Gleihung m = m + x D (0, 0, 0) (3, 0, 2) (0, 0, 0) (3, 2, 1) ) D + =

14 D = D = b) Nh Stz 525 der Vorlesung, existiert eine solhe Trnsitionenfolge niht, d (3, 0, 2) = x D keine Lösung ht Wir suhen eine Lösung für x in D T x = (3, 2, 1) T Dies ist der Fll für x = (3, 1, 0) T (dh drei ml die Trnsition t 1 und ein ml die Trnsition t 2 ) Wir suhen nun eine Reihenfolge dieser Trnsitionen, in der sie nwendbr sind: (0, 0, 0) t 1 (1, 1, 0) t 2 (1, 0, 1) t 1 (2, 1, 1) t 1 (3, 2, 1) Husufgbe 9 (Erreihbrkeit): Gegeben sei folgendes Petrinetz P : (2 + 2 = 4 Punkte) t 1 1 t 2 t t 4 4 t 5 ) Berehnen Sie die Inzidenzmtrix D = D + + D b) Zeigen oder widerlegen Sie, dss folgende Ableitungsequenzen existieren Geben Sie im Flle der Existenz die Folge der usgelösten Trnsitionen n und im Flle der Nihtexistenz einen Beweis mit Hilfe von Stz 525 Hinweis: Verwenden Sie zum Konstruieren einer Folge für die Ableitung m m eine Lösung x der Gleihung m = m + x D (0, 0, 0, 0) (1, 1, 1, 1) (0, 0, 0, 0) (1, 2, 3, 4) 14

15 ) D + = D = D = b) Wir suhen eine Lösung für x in D T x = (1, 1, 1, 1) T Dies ist der Fll für x = (1, 2, 1, 1) T Wir suhen nun eine Reihenfolge dieser Trnsitionen, in der sie nwendbr sind: (0, 0, 0, 0) t 1 (1, 0, 0, 0) t 2 (1, 1, 0, 1) t 4 (0, 1, 1, 0) t 3 (1, 0, 1, 1) t 2 (1, 1, 1, 2) t 5 (1, 1, 1, 1) Wir suhen eine Lösung für x in D T x = (3, 2, 1) T Dies ist der Fll für x = (1, 5, 3, 3, 1) T Wir suhen 15

16 nun eine Reihenfolge dieser Trnsitionen, in der sie nwendbr sind: (0, 0, 0, 0) t 1 (1, 0, 0, 0) t 2 (1, 1, 0, 1) t 2 (1, 2, 0, 2) t 2 (1, 3, 0, 3) t 2 (1, 4, 0, 4) t 2 (1, 5, 0, 5) t 3 (2, 4, 0, 6) t 3 (3, 3, 0, 7) t 3 (4, 2, 0, 8) t 4 (3, 2, 1, 7) t 4 (2, 2, 2, 6) t 4 (1, 2, 3, 5) t 5 (1, 2, 3, 4) 16