Einführung in die numerische Modellierung

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1 Numerische Modellierung von Naturgefahren mit dem Softwaresystem BASEMENT Workshop vom 6. Oktober 2006 an der VAW ETH Zürich Einführung in die numerische Modellierung von Strömung und Sedimenttransport in offenen Gerinnen in einem Gebirgsland von Naturge.. mit BASEM Ziel: Begriffe einführen Gleichungen und numerische Probleme erläutern Schwierigkeiten aus Sicht des Anwenders Fokus: Sedimenttransport Roland Fäh

2 Flood-Routing-Verfahren Hydrologische Verfahren Z (t) ( ) St () = K xzt () + 1 x At () A (t) Z (t) A (t) Hydrodynamische Verfahren

3 Prozesse

4 1d resp. 2d Abflusstiefe h (x,y,t) (x,t) Fliessgeschwindigkeit u (x,y,t),v(x,y,t) (x,t) Kontrollvolumen y x

5 Massenerhaltung dh Q in h Q out h: Abflusstiefe [m] Q: Volumenfluss [m 3 /s] Δx ( ) dh B Δ x = Q Q Δt in out Volumenänderung in der Zeit Δt B: Breite [m] A: Durchströmte Fläche [m 2 /s] A Q + = qlat t x Bietet kaum Probleme Lässt sich leicht überprüfen

6 Druck Druck Impulserhaltung m* b ( ) d mv = = Kräfte dt P l I Fl G I Fr ΔI Δt = ΔI Konvektive Konvektive Beschleunig. fbeschleunig. +ΔP + G R Gewicht Gewicht Reibung Reibung R x P r S + S = b f 0 Normalabfluss (Strickler) 2/3 v = k h S st f Zeitliche Zeitliche Änderung Änderung des des Impulses Impulses Q t 2 Q + ga( h Sb + Sf ) = 0 Staukurve: Q(t)=const. x A x 2 Q h + + ga Sb + S f = 0 De Sain-Venant Gleichung x A x Problem: Nichtlinearität Schliessbedingung

7 Reibung Kornreibung: c f ks 12h = 5.75log ks = (1.5 4.) d 90 Reibungskoeffizient f laminar Übergang Übergang glatt rauh k s /h Formreibung: Re=uh/ν h Riffel λ Δ λ: Wellenlänge der Düne Δ: Wellenhöhe Δ/λ: Steilheit

8 Feststofftransport Gliederung nach Transportmechanismen Strömungsinduziert Schwebstofftransport Geschiebetransport Gesamttransport Strömungs- und Gravitationsinduziert Seitlicher Transport Murgang Gravitationsinduziert Böschungskollaps Hangstabilität/Bergsturz 8

9 Geschiebe- vs. Schwebstofftransport Altes Thurquerprofil [m ü.m.] [m] Übergang fliessend > Murgang 9

10 Mehrkornmodell d m

11 Massenerhaltung im Activelayer dh Δx β k %-Volumen der Fraktion k qs in qs in Q in h zb zb Δx hm hm S k Sf k Q out qsout qsout am Gesamtvolumen [-] p Porosität [-] S k Austausch Suspension [ms -1 ] Sf k Austausch Boden [ms -1 ] Sl k lokaler Zu- oder Wegfluss [ms -1 ] ( 1 p) ( β hm) k + t qs x k +S k Sf Sl = 0 k k k Sortiergleichungen: Bestimmungsgleichung für β k

12 Bestimmungsgleichung für zb Δx qs in zus 2 zb hm Sf k qsout zb: Sohlenkote [m] qs: Geschiebefluss [m 3 /ms] hm: Dicke des Activelayers [m] S k : Austausch Suspension [ms -1 ] Sf k : Austausch Boden [ms -1 ] Sl k : lokaler Zu- oder Wegfluss [ms -1 ] ( p) ( zb hm zus ) Sfk = 0 t ( ) nk k = 1 nk k = 1 zb qsk 1 p + + Sk + Slk = 0 t x Bodenevolutionsgleichung Exnergleichung

13 Gesuchte Grössen Primäre Unbekannte Wasser h q r Sediment C g zb β g β g Sekundäre Unbekannte Geschiebetrieb qbx qby Austauschschicht hm Quellterme S g Sf g Sekundäre Unbekannte sind Funktionen der primären Variabeln F(h,q,r,zb,β g,c g )

14 Empirische Schliessbedingungen Geschiebetrieb qsxk = qsxxk + qsxyk + qsxgk qsx xk : Geschiebetrieb aufgrund der Strömung in x-richtung qsx yk : lateraler Geschiebetrieb aufgrund Strömung in y-richtung qsx gk: Rein gravitationsinduzierter Feststofftransport

15 Schliessbedingungen: Geschiebetransport Geschiebetransport aufgrund Strömung in x-richtung qsx k xk k = β k ϕ = + (1 ϕ k ) ξ qb k ( ) 3/2 qb τ τ cr ( ) τ = θ ρ ρ cr cr s w m τ = ξ kkτ cr k β γ cr, h d ξ k = 0.85 m d u w * ln( ) k k k gd qb k : Transportkapazität (z.b. Meyer-Peter) β k : Anteil der Kornklasse k ϕ k : Faktor für Zuweisung zur Transportart (Geschiebe/Suspension) ξ k : Hiding Function w k : Sinkgeschwindigkeit wk = F( dk, ν, ρ, C) Kalibrierung?

16 Beispiel zum Thema Geschiebetriebformel Meyer-Peter vs. Meyer-Peter-Hunziker 0.3 Thur bei Altikon Geschiebetrieb QP03 MP QP55 MP QP03 MPH QP53 MPH Zeit [h] Hydrograph Mittlere Sohlenlage [m ü.m.] Endlage Messung Ausgangslage Endlage MP Endlage MPH Was ist richtig? Längsprofil [km] Q (m3/s) Time (s)

17 Gleichungen Lösung Modell Ausschnitt der Wirklichkeit Zeitlich Anfangsbedingungen: h(t 0,x,y), q(t 0,x,y)... Räumlich Randbedingungen: Q(t), Qs(t) Hydrologie Sedimentzufluss? RB beinhalten grösste Unsicherheit

18 Randbedingungen Typ der RB: Charakteristiken > schiessen/strömen

19 Probleme bei Messung der Feststoffe Q, C Q, C Grosse Abweichungen in der Bilanz!

20 Schwebstoffbeziehung C = a Q b Konzentration [g/m3] Abfluss [m3/s] Datum

21 Randbedingung Geschiebe Thur: Längenprofil Aufweitung Altikon Mittlere Sohlenkote RB: Geschiebzufluss Transportkapazität Messung 2004 Simulation 2005 Messung [km] Mittlere Sohlenkote RB: Geschiebezufluss Transportkapazität - 1% Messung 2005 Messung 2004 Simulation [km] RB Feststofftransport > sensitiv

22 Mathematik Numerik u t F( u) + = x 0 explizit implizit Finite Differenzen Finite Volumen Finite Elemente Δu Δt ΔF( u) + = Δx 0 Welches ist das beste Verfahren?

23 Lösungsstrategie Flachwassergleichungen lösen Abflusstiefe h Fliessgeschwindigkeit u,v Transportgleichung für Suspension Konzentration C k Massenbilanz in Austauschschicht Kornverteilung β k Globale Massenbilanz Sohlenkote zb Iteration Loop über Zeitschritte Reibungsbeiwert Entkoppelt vs. Simultan

24 Grundsätzliches zu numerischen Methoden Zeitintegration Räumliche Diskretisierung Genauigkeit Stabilität Konvergenz Modellgleichungen u t u t F( u) + = 0 x u + c = 0 x Lineare Wellengleichung

25 Zeitdiskretisierung n+1 t Δt v cr P u t u + vch = x 0 n A Δx Δt U = U v U U 2Δx ( ) n+ 1 n n n i i Ch i i Explizit: Implizit: i-1 i i+1 (, ) + 1, 1 U = f U U U n+ 1 n n n i i i i Kein Gleichungssystem vchδt Δx (..., ) + 1, 1,..., + 1, 1... U = f U U U U U U n 1 n n n n 1 n 1 n 1 i i i i i i i x vchδt 1 Δx Gleichungssystem: falls nichtlinear > Iteration Courant-Friedrich-Levy Zahl (CFL)

26 Berechnungszeit Δx Δt = v Ch Strömungsfeld Suspension Exnergl. v Ch = v± gh 7 m/s v Ch = v 1 m/s df(u) u v du Ch = 1 km/year 2 h1-fr ( ) 1d: Δx = m Δt= 10 s 2d: Δx = 5-30 m Δt= 1 s Geschiebehaushaltstudie? Parallelisieren

27 Mathematik Numerik u t F( u) + = x 0 explizit implizit Finite Volumen Δu Δt ΔF( u) + = Δx 0

28 Rechengitter Gitterqualität: Genauigkeit und Konvergenz hängen ab von Orthogonalität α 45º < α <135º aspect ratio: dx b /dy b <2 dy a A B expansion ratio: dx b /dx a < 1.2 dx a dx b

29 Beispiel zum Thema Gitterqualität Längsprofil [m ü.m.] Sohle krit. Wasserspiegel Wasserspiegel Energielinie Längsprofil [km] 667 [m ü.m.] Sohle krit. Wasserspiegel Wasserspiegel Energielinie [km]

30 Räumliche Diskretisierung Δt C C F F Δx Fluss über Zellseite ( ) 1/2 + 1/2 n+ 1 n n n i = i + i i (,, ) n n n n i+ 1/2 = i 1 i i+ 1 F f C C C Upwind scheme (1. Ord.) n i+ 1/2 = n ( i ) n ( i ) F f C n i+ 1/2 = + 1 F f C if u>0 if u<0 C i-1 u i-1 C i Ci+1 i-1/2 i i+1/2 i+1 Central scheme ( ) ( ) F f C f C n n n i+ 1/2 = 0.5 i + i+ 1 Higher order Upwind scheme C i-1 i-1 C i C L C R C i+1 i-1/2 i i+1/2 i+1

31 Einfluss verschiedener Rechenschemen C t C + u = 0 x mit Anfangsbedingung: Cx (,0) = 1 für 0 x 0.3 Cx (,0) = 0.2 für 0 x 0.3 und Randbedingung: C(0, x) = 1.0 und u(0, t) = konst. = 1.0 C central 2. order C upwind 1. order 1.0 t= t= t0 0.5 t x x C upwind 3. order C higher order 1.0 t= t= t0 0.5 t x x

32 Zur Genauigkeit von Rechenschemen u t u + c = 0 x ux (, t) U i n i n Richtige Lösung Näherungs Lösung U U U U Δt 2Δx n+ 1 n n n i i + c i+ 1 i 1 = 0 2 u u Δt Δx + c = utt uxx +... t x 2 6 Abbruchfehler 2 3 n+ 1 Δx Δx Ui = u+δx ux + uxx + uxxx n Δx Δx Ui 1 = u Δx ux + uxx uxxx n+ 1 Δt Ui = u+δt ut + utt Fehler (numerische Diffusion) proportional zu Δt und Δx 2 1. Ordnung in der Zeit 2. Ordnung im Raum

33 Numerische Diffusion: Einfluss Gitter V Ch vchδ t=δx dx Numerical diffusion

34 Schlussbemerkungen Modell: Physik Mathematik Numerik Randbed. Ermessenspielraum Erfahrung Keep it simple!

35 Danke Roland Fäh