1. Die Spielpartie wird vorzeitig abgebrochen.

Transkript

1 Ds Telunsroblem Jüren Zumdck Ene Glücksselrte mt zwe Selern erfordert n Gewnnsele. De Whrschenlchket, en enzelnes Sel zu ewnnen, se für jeden Seler. De Selrte wrd vorzet bebrochen. We st der Gewnn ( e, e Enstz der Seler) ufzutelen?. Enstzmölchketen ) De Aufbe knn n verschedenen Jhrnsstufen estellt werden. Je nch beknnten mthemtschen Modellen ereben sch unterschedlche Lösunen. De Fre, ob de Auftelun jewels erecht st, knn nur dnn bentwortet werden, wenn zuvor defnert wrd, ws unter erecht verstnden werden soll. b) Hstorsche Quellen werden vorestellt und nlsert. c) Ds Problem dent zur Enführun von erchteten Grhen mt endlch velen Zuständen (knn ls Enführun von Mrkow-Ketten denen).. Entwcklun von Strteen m Besel dreer Gewnnsele ) D mxml 5 Sele durcheführt werden, brnt be enem vorzeten Abbruch jedes Gewnnsel 5 des Gewnns. Der Rest wrd hlbert. Selstnd Antel für den Führenden Auftelunsverhältns : : : : 5 5 : : x 5 x x 5 (x-5) : (5-x : 5 5 Verllemenerun für n Gewnnsele x n ( x n ) : (n x (n ) b) (Pcol) Der Führende erhält Anzhl der ewonnenen Sele Anzhl der eselten Sele Selstnd Antel für den Führenden Auftelunsverhältns Verllemenerun für n Gewnnsele, flls x, flls x

2 c) (Crdno) Es seen de Anzhl der Sele, de dem Führenden bs zu enem Se fehlen, und b de Anzhl der Sele, de senem Gener bs zu enem Se fehlen. Der Führende erhält dnn b b Selstnd Antel für den Führenden Auftelunsverhältns : ( ) ( ) 9 : ( ) 7 : ( ) ( ( ( ( ( x)( x) ( ( x x ((-(-) : ((-x)(-x)) ( )( ) ( )( ) Verllemenerun für n Gewnnsele ( n ( n ((n (n ): ((n x)(n x)) ( n ( n ( n x)( n x) d) (Trtl) Der Führende erhält Dfferenz des Selstndes Anzhl der Gewnnsele e e Selstnd Antel für den Führenden Auftelunsverhältns e e e : e e e e e e x x x e e e (x ) : ( x ) Verllemenerun für n Gewnnsele x n (x n) : ( x n) n

3 e) (Pscl) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Selstnd Whrschenlchket für den Führenden, de Prte zu ewnnen 7 8 x x Auftelunsverhältns : 5 7 : : Herletun von : Alle Telfde, de zum Selstnd führen, hben de Whrschenlchket x. Für den Se werden Pfde mt der Whrschenlchket benött mt. Also müssen sch n den Telfd, der zum Selstnd führt, Telfde mt der Whrschenlchket -x ( - nschleßen. Blebt noch zu klären, we vele deser Telfde es jewels bt. Alle dese Telfde enden mt enem letzten Abschntt, der de Whrschenlchket ht. Dher werden noch x x Abschntte benött, de jewels de Whrschenlchket hben. Wetere Abschntte ( - hben de Whrschenlchket. Also bestehen de esuchten Telfde us x Abschntten, von denen Abschntte de Whrschenlchket hben (und enem letzten Abschntt mt der Whrschenlchket ). Es folt erbt sch obe Bezehun. x x. Für

4 Für n Gewnnsele folt: n n x nx. f) (Fermt) Anstz: De 5 Sele werden uf jeden Fll durcheführt.. Fll: Es stehe für Seler A. De nchfolenden Sele können we folt usehen (: Seler A ewnnt; b: Seler B ewnnt): Selkombnton b b b b bb bb bb bb bb bb bbb bbb bbb bbb bbbb Anzhl der Selkombntonen Selkombntonen führen zu enem Gesmtse von Seler A, Kombntonen zu enem Gesmtse von Seler B. Es wrd we be Fermt de Gewnnwhrschenlchket vorusesetzt, d lle Kombntonen lechwert snd.. Fll Es stehe für Seler A Dnn bt es Selkombntonen, de zu enem Gesmtse von A führen, und ene Kombnton, de zu enem Gesmtse von B führt.. Fll Es stehe für Seler A Dnn führen Kombntonen zu enem Gesmtse von A und ene Kombnton zu enem Gesmtse von B. Zusmmenstellun m Psclschen Dreeck: Selstnd Kombntonen, de zu enem Gesmtse für A bzw. B führen Auftelunsverhältns v : 7 : : 5 5( x 5 ( x 5 ( x : (De Zelennummer des Psclschen Dreecks bt n, we vel Sele noch bs zur Gesmtzhl von 5 Selen durchzuführen snd. Für enen Gesmtse von A drf B noch mxml - Sele ewnnen.)

5 Verllemenerun für ds Auftelunsverhältns v: n n ( x n ( x n ( x v : n De Lösunen von Fermt und Pscl snd äuvlent ) Der Selbluf wrd m folenden erchteten Grhen (Mrkoff-Kette) drestellt: Strtzustnd: : für A Endzustände: G A (Gewnn für A), G B (Gewnn für B) Z Z Z : : : Z Z 5 Z : : : G B G A ( ) se de Whrschenlchket für A,en Sel zu ewnnen, dejene für B. se de Whrschenlchket, dss der Seler A vom Zustnd Z us de Prte ewnnt Es ereben sch deselben Auftelunsverhältnsse we be Fermt und Pscl. De ntersuchun der Zustände :, :, : erübrt sch us Smmetreründen m Flle. h) Lösun mthlfe stochstscher Mtrzen: De Mrkoff-Kette lässt sch durch folende Whrschenlchketstbelle drstellen: nch Z Z Z Z Z 5 Z G A G B von (:) (:) (:) (:) (:) (:) Z

6 (:) Z (:) Z (:) P Z (:) P Z 5 (:) Z (:) G A G B In Mtrxschrebwese: bzw. ( ) E ( ) E heßt Fundmentlmtrx der bsorberenden Mrkoffkette. Mthlfe enes CAS lässt sch dese Mtrx schnell blden. Es lt ber uch nch enem Stz us der Mtrzentheore: (E-) - E ² ³.. k (Ist ene nxn-mtrx, so st k de Nullmtrx für k n.,75,,5,5,5,5 Im vorleenden Fll st berets de Nullmtrx.

7 Es folt: ( ) 8 7,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,75,5,5,5,5 E. Lösunen von Fermt und Pscl für ver bzw. n Gewnnsele ) (Pscl) Es wrd obe Formel n x n x n benutzt: Selstnd Whrschenlchket für den Führenden, de Prte zu ewnnen Auftelunsverhältns : : : : : 5 5 : : 5 : : b) (Fermt) Bem Stnde von : erbt sch en Gesmtse von A, wenn er von den noch usstehenden Selen höchstens verlert. Des eht uf 5 Arten. De weteren Fälle snd der folenden Tbelle zu entnehmen. Selstnd Kombntonen, de zu enem Gesmtse für A bzw. B führen Auftelunsverhältns : : : 7 :

8 : : : 5 : : Bzl. der letzten Slte vl. de Formel: n n ( x n ( x n ( x v : n c (Für ds unekürzte Auftelunsverhältns lt: n( x c d ) d