Die Struktur rotationsinvarianter

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1 Die Strutur rotationsinvarianter Paley-Wiener-Räume mit einer Anwendung auf Abtastprobleme Von der Faultät für Mathemati, Informati und Naturwissenschaften der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen zur Erlangung des aademischen Grades eines Dotors der Naturwissenschaften genehmigte Dissertation vorgelegt von Diplom-Mathematier Bernd Ohligs aus Mönchengladbach Berichter: Professor Dr. R.L. Stens Universitätsprofessor Dr. E. Görlich Tag der mündlichen Prüfung: 27. November 22 Diese Dissertation ist auf den Internetseiten der Hochschulbibliothe online verfügbar.

2 Die vorliegende Arbeit entstand am Lehrstuhl A für Mathemati unter der Leitung von Herrn Prof. Dr. R.L. Stens. Bei ihm möchte ich mich ganz herzlich für die hervorragende Betreuung und Zusammenarbeit bedanen. Ebenso möchte ich Herrn Prof. Dr. E. Görlich, der freundlicherweise das Korreferat übernahm, meinen Dan aussprechen. Weiterhin dane ich allen Mitarbeitern am Lehrstuhl A für Mathemati für die freundschaftliche Zusammenarbeit, insbesondere den Herren Dr. Gernot Gräßler, Dipl.-Math. Andreas Hass, Dr. Steffen Mainz und Dr. Ralf Zeler.

3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Grundlagen Fourier-Transformationen Hanel-Transformationen Ganze Funtionen vom exponentiellen Typ und Bernstein-Räume Hilbert-Räume mit reproduzierendem Kern Abtastentwiclungen in Hilbert-Räumen mit rk Sphärische Funtionensysteme Gegenbauer-Polynome Kugelfuntionen Lagrange-Interpolation Paley-Wiener-Räume und ihre Analoga bezüglich der HT Die lassischen Paley-Wiener-Räume Die lassischen Abtastsätze in P W r = Br Paley-Wiener-Räume und Hanel-Transformationen Abtastung in M ν (J ν,r ) = P W r,ν Quasi-Sampling und ein Dirichlet-Problem 57 5 Rotationsinvariante Paley-Wiener-Räume Charaterisierung mittels radialer Fourier-Laplace-Koeffizienten Der Zerlegungssatz Quasi-Sampling-Entwiclungen

4 2 Inhaltsverzeichnis 6 Sampling-Entwiclungen Abtastentwiclungen auf S n Abtastentwiclungen in P W B, B = K r () Anhang A Bessel-Funtionen 17 B Der Satz von Bochner-Hece 19 Symbolverzeichnis 113 Index 117 Literaturverzeichnis 119

5 Kapitel 1 Einleitung In der Signaltheorie werden verschiedene Funtionenräume als Modelle zur Beschreibung von Signalen benutzt. Eine Klasse solcher Räume sind die Paley-Wiener-Räume. Sie bestehen aus Funtionen (Signalen), deren Fourier-Transformierte einen Träger haben, der ganz in einer vorgegebenen Menge B R n liegt. Solche Signale nennt man bandlimitiert und B den zugehörigen Bandbereich. Dieser Sprachgebrauch stammt aus der Nachrichtentechni und verallgemeinert den Begriff des Frequenzbandes. Die Theorie eindimensionaler Signale, also von Funtionen f : R C, ist dabei sehr gut entwicelt. Das berühmteste Resultat ist wohl der Abtastsatz von Shannon (siehe die Übersichtsarbeit [1] von Butzer, Splettstößer und Stens, sowie die Bücher von Higgins [22] und Zayed [52]), welcher die theoretische Grundlage für die Digitalisierung und Reonstrution analoger Signale liefert. Es gab vielfältige Bemühungen diesen Abtastsatz zu verallgemeinern. Eine dieser Bemühungen galt der Theorie mehrdimensionaler Signale. Hier spielt die geometrische Strutur des Bandbereiches B R n eine entscheidende Rolle. Es gibt einen so genannten regulären mehrdimensionalen Abtastsatz, der so gut wie alle Eigenschaften des (eindimensionalen) Shannon-Satzes aufweist. Die entscheidende Bedingung an den Bandbereich B ist hier, dass es eine disrete Untergruppe {t ; Z n } von R n gibt, so dass {B + t ; Z n } eine Partition des R n bildet (siehe Higgins [22, chapter 14]). Einen solchen Bandbereich nennt man regulär. Für einfache Bandbereiche, wie etwa einen Quader oder allgemeiner ein Parallelepiped im R n, ist diese Bedingung erfüllt, für andere einfache und wichtige Bandbereiche, wie etwa die Kugel K 1 () R n, aber offenbar nicht. Zwei wichtige Charateristia eines Abtast- und Reonstrutionsprozesses sind die Stabilität und die Abtastrate des Prozesses. Unter der Stabilität eines solchen Prozesses versteht man dabei die Eigenschaft, dass leine Fehler im Input des Sampling-Prozesses auch nur zu leinen Fehlern beim Reonstrutionsprozess führen. Unter der Abtastrate des Prozesses versteht man die Anzahl der Abtastpunte pro Zeiteinheit (Volumeneinheit im Falle mehrdimensionaler Signale). Nach einem Resultat von H.J. Landau aus den Arbeiten [28], [29] gibt es für einen stabilen Abtastprozess eine minimale Abtastrate, unterhalb welcher stabiles Sampling nicht mehr möglich ist. Dieser minimale 3

6 4 1. Einleitung Wert trägt den Namen Nyquist-Landau-Rate und ist proportional zum Lebesgue-Maß des zugehörigen Bandbereiches B R n. Der oben zitierte reguläre Abtastsatz ist optimal in dem Sinne, dass er die minimale Nyquist-Landau-Rate annimmt. Für einen beliebig gegebenen Bandbereich B ist aber i.a. nicht lar, ob es einen stabilen Abtastsatz gibt, der diese minimale Rate annimmt. Die Strategie für die Herleitung von Abtastsätzen für solche Gebiete bestand bisher weitgehend darin, einen regulären Bandbereich B zu finden, der den gegebenen Bandbereich überdect. Im Falle des Kreises K 1 () R 2 ann man zum Beispiel als regulären einschließenden Bandbereich das Quadrat [ 1, 1) [ 1, 1) R 2 oder ein einschließendes reguläres Sechsec wählen. Die Wahl des Sechsecs ist nach dem Satz von Landau günstiger, da es den Kreis K 1 () besser approximiert, und der resultierende Abtastsatz daher eine geringere Abtastrate aufweist. Dieser Prozeß ist unter dem Namen hexagonales Sampling beannt (siehe Mersereau [34]). Allen diesen Prozessen gemein ist, dass man in einem größeren Paley-Wiener-Raum als dem vorgegebenen arbeitet. Eine andere Verallgemeinerung des Shannon-Satzes lieferte Kramer in der Arbeit [25], indem er die Fourier-Transformation durch eine allgemeinere Integral-Transformation ersetzte. In Zusammenhang mit dem Kramer-Abtastsatz wurde auch eine gewisse Verbindung zwischen Abtastsätzen einerseits und der Theorie der Randwertprobleme gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen andererseits aufgezeigt (siehe Kramer [25], Campbell [11], Zayed [52]). Insbesondere wurde ein Kramer-Abtastsatz im Zusammenhang mit den Bessel-Hanel-Transformationen gefunden, der aus einem Randwertproblem für die Bessel sche Differentialgleichung entspringt. In dieser Arbeit untersuchen wir speziell die Strutur der so genannten rotationsinvarianten Paley-Wiener-Räume. Dabei nennen wir einen Paley-Wiener-Raum P W B rotationsinvariant, wenn mit edem f P W B und A SO(n) (spezielle orthogonale Gruppe der Ordnung n) auch die Funtion f A, definiert durch f A (x) := f(ax) (x R n ), zu P W B gehört. Hiermit sind insbesondere die Bandbereiche B = K r () R n, r >, erfasst. Der entscheidende Ansatzpunt liegt dabei im Satz von Bochner-Hece (siehe Anhang B), welcher eine gewisse Symmetrie-Eigenschaft der Fourier-Transformation bezüglich der Rotationsgruppe wiederspiegelt. Damit ommen insbesondere die Hanel- Transformationen und der oben zitierten Abtastsatz zur Bessel schen Differentialgleichung ins Spiel. Im Gegensatz zum oben geschilderten Ansatz wollen wir dabei stets im gegebenen Paley-Wiener-Raum P W B bleiben, d.h. zum Beispiel, dass alle Entwiclungsfuntionen g eines Sampling- und Reonstrutionsprozesses zu P W B und nicht etwa zu einem umfasserenden Paley-Wiener-Raum gehören sollen. Betrachten wir speziell den Bandbereich B = K 1 () R n. Für den zugehörigen Paley- Wiener-Raum onstruieren wir zuerst eine Orthonormalbasis. Dazu betrachten wir das folgende Randwertproblem (Dirichlet-Problem) für die Poisson-Gleichung (siehe

7 5 Kapitel 4): u = f auf K 1 (), u = auf S n 1 = K 1 (), (1.1) wobei f L 2 (B) gegeben ist, und den Laplace-Operator bezeichnet. Für dieses Problem ist eine Orthonormalbasis von L 2 (B) bestehend aus Eigenfuntionen für (1.1) beannt. Diese Eigenfuntionen bestehen aus Produten von Kugelfuntionen mit radialen Funtionen. Via Fourier-Tarnsformation erhalten wir aus dieser Basis von L 2 (B) eine Orthonormalbasis des Paley-Wiener-Raumes P W B zum Bandbereich B = K 1 (). Die Elemente dieser Basis bestehen dabei, als Folge des Satzes von Bochner-Hece, wiederum aus Produten von Kugelfuntionen mit radialen Funtionen. Diese Orthonormalbasis von P W B hat eine gewisse Sampling-Eigenschaft: Bei der Berechnung der Fourier-Koeffizienten braucht man nicht über den ganzen R n zu integrieren, sondern es genügt über gewisse Sphären mit Mittelpunt im R n zu integrieren. Wir nennen diese Eigenschaft die Quasi-Sampling-Eigenschaft dieser Basis. Insbesondere ist edes Signal aus P W B eindeutig bestimmt durch seine Werte auf diesem disreten System von Sphären im R n und ann aus diesen Werten (stabil) reonstruiert werden. Die zugehörige Orthonormalentwiclung nennen wir eine Quasi-Sampling-Entwiclung. In den folgenden Untersuchungen wird dieses Phänomen genauer untersucht und mit der Strutur der rotationsinvarianten Paley-Wiener-Räume in Verbindung gebracht. Ein anderes Ziel ist der Übergang von den Quasi-Sampling-Entwiclungen zu wirlichen Abtastsätzen, da erst hierdurch eine vollständige Disretisierung erreicht wird. Dazu werden allerdings gewisse Zusatzbedingungen erforderlich sein. Die Strutur der rotationsinvarianten Paley-Wiener-Räume wird in Kapitel 5 untersucht. Ausgangspunt ist die Beobachtung, dass ede Funtion f C(R n ) L 2 (R n ) eindeutig durch ihre so genannten radialen Fourier-Laplace-Koeffizienten c () (f; ρ) bestimmt ist. Die c () (f; ρ) sind dabei definiert durch c () (f; ρ) := f(ρu)y () (u)dσ n 1 (u) (ρ R +, N, 1 ), S n 1 wobei {Y () ; 1 } für edes N eine beliebig aber fest gewählte Orthonormalbasis des Raumes H aller Kugelfuntionen vom Grade auf S n 1, und N dessen Dimension bezeichne. Es stellt sich somit die Frage, welche Eigenschaften die c () (f; ) haben müssen, damit f zum Paley-Wiener-Raum P W B gehört. In Satz 5.13 gelingt eine vollständige Charaterisierung der rotationsinvarianten Paley- Wiener-Räume mittels dieser radialen Fourier-Laplace-Koeffizienten. Es zeigt sich, dass ein Signal f C(R n ) L 2 (R n ) genau dann zu P W B gehört, wenn die radialen Funtionen c () (f) : [, ) C Elemente gewisser Hilbert-Räume mit reproduzierendem Kern sind, welche eng mit den eindimensionalen Paley-Wiener-Räumen zusammenhängen. Diese Räume eindimensionaler Signale werden in Kapitel 3, insbesondere in Abschnitt 3.2, eingeführt, wobei einige Untersuchungen von Higgins aus [19] entscheidend fortgeführt werden. Es sei an dieser Stelle insbesondere auf Satz 3.31 verwiesen, ein zum Satz von Paley-Wiener analoges Resultat bezüglich der Bessel-Hanel- Transformationen.

8 6 1. Einleitung Neben der Charaterisierung der rotationsinvarianten Paley-Wiener-Räume liefert Satz 5.13 für edes f P W B die Entwiclung f(x) = = =1 ( ) x c () (f; x )Y () x, (1.2) x wobei die Reihe im quadratischen Mittel und gleichmäßig auf ganz R n onvergiert. In den Räumen, denen die c () (f; ) angehören, existiert nun eine ganze Reihe von Abtastsätzen, die ebenfalls in Kapitel 3 dargestellt werden. Wendet man diese auf die Entwiclung (1.2) an, so erhält man eine Reihe von Quasi-Sampling-Entwiclungen in P W B, B = K 1 () (siehe Abschnitt 5.3). Dabei stellt sich heraus, dass die aus dem Dirichlet-Problem (1.1) gewonnene Quasi-Sampling-Entwiclung ein Spezialfall dieser Entwiclungen ist. Von diesem Gesichtspunt aus ann man also sagen, dass die Quasi-Sampling-Entwiclungen dadurch entstehen, dass man ein Signal f zuerst in seine Fourier-Laplace-Reihe (1.2) entwicelt, und anschließend auf die radialen Fourier- Laplace-Koeffizienten c () (f) einen passenden Abtastsatz anwendet. Ein weiteres eng mit dem Charaterisierungssatz zusammenhängendes Resultat ist der Zerlegungssatz aus Abschnitt 5.2. Analog zur Zerlegung L 2 (S n 1 ) = H des rotationsinvarianten Hilbert-Raumes L 2 (S n 1 ) in die paarweise orthogonalen, rotationsinvarianten Unterräume H aller Kugelfuntionen vom Grade N, werden hier die rotationsinvarianten Paley-Wiener-Räume P W B in paarweise orthogonale und rotationsinvariante Unterräume H (B), N zerlegt: P W B = H (B). Die Räume H (B), N, bestehen dabei genau aus allen Funtionen f P W B mit c (l) (f; ) = (l N, l ). Diese Zerlegung spielt insbesondere in Kapitel 6 eine wichtige Rolle, wo wir mit Hilfe obiger Quasi-Sampling-Entwiclungen für gewisse Unterräume von P W B zu einer vollständigen Disretisierung gelangen, d.h. Abtastentwiclungen herleiten werden. Diese Räume haben die Gestalt H (B) J für eine endliche Teilmenge J von N. Gemäß (1.2) haben die Signale aus diesen Räumen die Gestalt f(x) = ( ) x x c () (f; x )Y (). x J =1

9 7 Für beliebiges aber festes ρ > folgt hieraus die Darstellung f(ρu) = J =1 ρ c () (f; ρ)y () (u) (u S n 1 ), d.h. es gilt f(ρ ) span{y () ; J, 1 } für alle ρ >. Da J endlich ist, önnen wir einen endlichen Interpolationsprozess zur Reonstrution von f(ρ ) aus einem geeigneten fundamentalen Knotensystem anwenden. In Verbindung mit den obigen Quasi-Sampling-Prozessen gelangen wir so zu einer vollständigen Disretisierung der Signale aus J H (B), sofern J endlich ist. Ein beliebiges Signal aus P W B läßt sich weiterhin gemäß (1.2) beliebig genau durch Elemente der Räume m H (B) (m N ) = approximieren und auf die approximierenden Signale önnen wir die obigen Abtastsätze anwenden. Alle diese Entwiclungen zeigen deutlich die sphärische Symmetrie der unterliegenden Räume und verallgemeinern einige der im Falle der Dimension n = 2 erzielten Resultate von Blaže [4], [5], Star [46], Star und Sarna [47] (siehe auch: Higgins [21, p. 81] und das Kapitel von Star in [32]). Diese Entwiclungen liefern insbesondere (Ansätze für) Abtastentwiclungen, die von Interesse sind wenn zum Beispiel im lassischen Abtastsatz von Shannon nicht alle Knoten verfügbar sind. Im R 2 önnen wir uns zum Beispiel auf einen beliebigen Winelbereich W α,β = {ρ(cos θ, sin θ); ρ >, α < θ < β} R 2 mit α < β 2π zurücziehen. Es sei an dieser Stelle noch darauf hingewiesen, dass Campbell in der Arbeit [12] die Entwiclungen aus Satz 4.7 für die Dimensionen n = 2 und n = 3 auf unabhängigem und etwas anderem Wege hergeleitet hat (siehe auch [39, pp ]). Campbell deutet ferner an, wie diese Ergebnisse im Falle der Dimension n = 2 auf elliptische Bandbereiche verallgemeinert werden önnen. Ferner gibt Campbell eine Quasi-Sampling- Entwiclung für Signale an, deren Bandbereich ein Zylinder im R 3 ist. Ein ähnliches Phänomen, wie die hier dargestellten Quasi-Sampling-Entwiclungen (welche man auch als eine Art Quadraturformel für die Elemente des Paley-Wiener- Raumes P W B ansehen ann), ist in den letzten Jahren in der Theorie der mehrdimensionalen numerischen Quadratur (Kubatur) aufgetreten (siehe die Arbeiten [6], [7] von Boanov und Petrova. Abschließend sei erwähnt, dass Benedetto und Wu (siehe [3]) das Problem betrachteten für einen beliebigen onvexen, ompaten und symmetrisch zum Ursprung gelegenen Bandbereich B R n einen Fourier-Frame zu finden. Die Existenz eines solchen Frames liefert dann (manchmal) Entwiclungen im zugehörigen Paley-Wiener-Raum P W B, welche eine Art Sampling-Eigenschaft besitzen (siehe [2, p. 2]). Die angegebenen Reonstrutionsalgorithmen sind aber i.a. nicht onstrutiv (siehe auch [12, p. 119]).

10 8 1. Einleitung

11 Kapitel 2 Grundlagen Für n N bezeichne R n den n-dimensionalen reellen eulidischen Raum versehen mit dem anonischen Salarprodut x y := n = x y und der eulidischen Norm x := x x für x = (x 1,..., x n ) t, y = (y 1,..., y n ) t R n. Weiter bezeichne λ n das n- dimensionale Lebesgue-Maß auf R n. Für λ 1 schreibe meist nur λ. Ist E R n eine (Lebesgue-)messbare Menge und f : E C eine (Lebesgue-)messbare Funtion, so setze für p R, 1 p < : { f p := E f(x) p dλ n (x)} 1/p. Weiter bezeichne f das wesentliche Supremum von f, definiert durch { } f := wessup{ f(x) ; x E} := inf sup x E N f(x) ; N R n, λ n (N) =. Die Lebesgue-Räume L p (E), 1 p, sind dann definiert durch L p (E) := {f : E C; f p < } und f p heißt die L p -Norm von f L p (E). Alle diese Räume sind Banach-Räume, wenn man Funtionen, die fast überall übereinstimmen, identifiziert. Speziell L 2 (E) wird zu einem Hilbert-Raum, wenn man noch das Salarprodut f, g L 2 (E) := f(x)g(x)dλ n (x) (f, g L 2 (E)) E einführt. Insbesondere sind damit die Räume L p (R n ) und L p (R + ), R + := (, ) R, eingeführt. Weiter bezeichne S n 1 := {x R n ; x = 1} die Einheitssphäre im R n. Beanntlich ist S n 1 eine (n 1)-dimensionale Untermannigfaltigeit des R n und für eine Funtion f : S n 1 C bezeichnet S n 1 f(u)dσ n 1 (u) 9

12 1 2. Grundlagen das Lebesgue-Integral von f über S n 1 (falls Existent). σ n 1 wird auch ((n 1)- dimensionales) Oberflächenmaß auf S n 1 genannt und S n 1 := Sn 1 dσ n 1 = 2πn/2 Γ(n/2) (2.1) ist die ((n 1)-dimensionale) Oberfläche von S n 1. Hier und im Folgenden bezeichnet Γ die Eulersche Gammafuntion. Es ist nun lar, wie die Räume L p (S n 1 ), 1 p, definiert sind. Der Raum L 2 (S n 1 ) wird wiederum zu einem Hilbert-Raum, wenn man das Salarprodut S n 1 f(u)g(u)dσ n 1 (u) (f, g L 2 (S n 1 )) einführt. Häufig benutzt wird im Folgenden das Lemma 2.1 (Siehe [16, S. 144]) Sei f L 1 (R n ). Dann ist für (Lebesgue-)fast alle r R + die Funtion f(r ) : S n 1 C aus L 1 (S n 1 ), und es gilt ( ) f(x)dλ n (x) = f(ru)dσ n 1 (u) r n 1 dλ(r). n S n 1 Wir betrachten nun Räume stetiger Funtionen. Seien X = (X, T ) ein (nicht leerer) topologischer Raum und C = (C, T nat ) der Körper C der omplexen Zahlen versehen mit der natürlichen Topologie. Es bezeichne dann C(X) := {f : X C ; fstetig} die C-Algebra aller stetigen, omplexwertigen Abbildungen von X. Für f C(X) setze nun f := sup{ f(x) ; x X} und C B (X) := {f C(X); f < }. Für f C B (X) schreibe auch f CB statt f. (C B (X), CB ) ist eine Banach- Algebra. R n, C n, n N, sowie Teilmengen dieser Räume seien stets mit der natürlichen Topologie versehen. Für ede ompate Teilmenge K von R n bzw. C n gilt C B (K) = C(K). Insbesondere ist C(S n 1 ) eine Banach-Algebra. Weiter sei C (X) die Menge aller Funtionen f C(X), für die es zu edem ε > eine (von f und ε abhängige) ompate Menge K X gibt, so dass f(x) < ε für alle x X \ K. C (X) ist eine abgeschlossene Unteralgebra der Banach-Algebra C B (X) und somit insbesondere selbst eine Banach-Algebra. Insbesondere gilt C (R n ) = {f C(R n ); lim f(x) = }, x C (R + ) = {f C(R + ); lim f(x) = lim f(x) = }, x + x + C (R + ) = {f C(R + ); lim f(x) = }, x + worin R + := [, ) die Menge aller nichtnegativen reellen Zahlen bezeichne.

13 2.1. Fourier-Transformationen Fourier-Transformationen In diesem Abschnitt stellen wir einige der Resultate der lassischen Fourier-Analysis zusammen, welche im Folgenden benötigt werden. Bezüglich der hier nicht gegebenen Beweise wird auf [48], [9] bzw. [18, pp ] verwiesen. Für f L 1 (R n ) ist die Fourier-Transformierte f definiert durch F 1 f(x) := f (x) := 1 (2π) n/2 n f(t)e ix t dλ n (t) (x R n ). Lemma 2.2 a) f C (R n ) mit f (2π) n/2 f 1 für alle f L 1 (R n ). Insbesondere ist die Abbildung F 1 : L 1 (R n ) C (R n ) ein beschränter linearer Operator. b) Für f L 1 (R n ) L 2 (R n ) ist f L 2 (R n ) mit f L 2 ( n ) = f L 2 ( n ). Da L 1 (R n ) L 2 (R n ) dicht in L 2 (R n ) ist, folgt aus Teil b) des letzten Lemmas, dass sich F 1 eindeutig zu einem isometrischen linearen Operator auf L 2 (R n ) fortsetzen lässt. Dieser Operator ist suretiv, somit unitär, heißt Fourier-Plancherel-Operator und wird mit F 2 bezeichnet. Ist f L 1 (R n ) L 2 (R n ), so gilt F 1 f(x) = F 2 f(x) für λ n -fast alle x R n. Für f L 2 (R n ) schreibe daher ebenfalls F 2 (f) =: f. Dann gilt: lim r f 1 ( ) (2π) n/2 t r Hierfür schreibt man auch f(t)e i t dλ n (t) L 2 ( n ) = (f L 2 (R n )). f (x) = l.i.m. (2) 1 f(t)e ix t dλ n (t) (f L 2 (R n )). r (2π) n/2 t r Der zu F 2 inverse Operator ist ebenfalls unitär und gegeben durch (F 2 ) 1 f := f mit f (x) = l.i.m. (2) 1 f(t)e ix t dλ n (t) (f L 2 (R n )). r (2π) n/2 t r Insbesondere ist (f ) = (f ) = f, f L 2 (R n ), und für alle f, g L 2 (R n ) gelten die Parseval-Relationen: f(x)g(x)dλ n (x) = f (x)g (x)dλ n (x), (2.2) n n n f(x)g(x)dλ n (x) = n f (x)g (x)dλ n (x). (2.3)

14 12 2. Grundlagen 2.2 Hanel-Transformationen Hanel-Transformationen sind lineare Integraltransformationen vom Fourier-Typ. Sie ommen in dieser Arbeit ganz natürlich ins Spiel, da sie eng mit gewissen Symmetrie- Eigenschaften der Fourier-Transformation zusammenhängen. Siehe [53, chapter 21] und die dort zitierte Literatur für die folgenden Definitionen und Resultate. Definition 2.3 Sei ν R, ν 1/2, und f L 1 (R + ). Die Hanel-Transformierte der Ordnung ν von f ist dann definiert durch H ν f(x) := F ν (x) := f(t) xtj ν (xt)dλ(t) (x > ), worin J ν die Bessel-Funtion erster Art der Ordnung ν bezeichnet. Die Funtion K ν : R + R + R, mit K ν (x, t) := xtj ν (xt) (x, t R + ), wird im Folgenden Bessel-Hanel-Kern der Ordnung ν genannt. Bemerung 2.4 a) Da J ν ( ) auf R + stetig und beschränt ist, ist H ν f(x) für edes f L 1 (R + ) und alle x R + wohldefiniert. b) Für ν = 1/2 bzw. ν = 1/2 gilt zj1/2 (z) = 2 π sin(z) bzw. zj 1/2 (z) = 2 π cos(z) und somit ist H 1/2 gleich der Fourier-Sinustransformation F s bzw. H 1/2 gleich der Fourier-Kosinustransformation F c. Lemma 2.5 a) Für edes ν > 1/2 ist die Hanel-Transformation H ν der Ordnung ν ein beschränter linearer Operator von L 1 (R + ) in C (R + ). b) Für f L 1 (R + ) L 2 (R + ) ist H ν f L 2 (R + ) und es gilt H ν f 2 = f 2. Da L 1 (R + ) L 2 (R + ) dicht in L 2 (R + ) liegt, ann die Hanel-Transformation der Ordnung ν eindeutig zu einem isometrischen linearen Operator auf L 2 (R + ) fortgesetzt werden. Dieser Operator ist wiederum suretiv, somit unitär, und wird Hanel- Plancherel-Operator vom Grade ν genannt. Der Einfachheit halber bezeichnen wir ihn ebenfalls mit H ν. Es gilt für edes f L 2 (R + ): r lim H ν(f; ) f(t) tj ν ( t)dλ(t) =. L 2 ( + ) r Weiter ist wohlbeannt, dass der Hanel-Plancherel-Operator selbstinvers ist, d.h. es gilt H 1 ν = H ν und somit für edes f L 2 (R + ) (Hanel-Umehrformel): f(x) = l.i.m. (2) r r H ν (f; t) xtj ν (xt)dλ(t).

15 2.3. Ganze Funtionen vom exponentiellen Typ und Bernstein-Räume Ganze Funtionen vom exponentiellen Typ und Bernstein-Räume Mit H(C n ), n N, bezeichnen wir die C-Algebra aller ganzen Funtionen auf C n. Dabei heißt eine Funtion g : C n C ganz, wenn es eine für alle z C n absolut onvergente Potenzreihe a n z gibt, so dass g(z) = n z (z C n ). Sei σ = (σ 1,..., σ n ) t R n + und g H(C n ). g heißt dann ganze Funtion vom exponentiellen Typ σ, falls es zu edem ε > eine Konstante A ε > gibt, so dass für alle z = (z 1,..., z n ) t C n gilt: { n } g(z) A ε exp (σ + ε) z. (2.4) Eine Funtion g H(C n ) heißt ganze Funtion vom sphärischen exponentiellen Typ σ R 1 +, falls es zu edem ε > eine Konstante A ε > gibt, so dass gilt: n g(z) A ε exp (σ + ε) z 2 = A ε exp{(σ + ε) z 2 } (z C n ). =1 Der Raum aller ganzen Funtionen vom (sphärischen) exponentiellen Typ σ wird im Folgenden mit E σ (SE σ ) bezeichnet. Ist σ R 1 +, so schreibe auch E σ für E (σ,...,σ) t. Da für alle z C n 1 n n n z z 2 z, n =1 =1 =1 folgen die Inlusionen (siehe [38, pp ]) E σ/ n SE σ E σ. Insbesondere gilt SE σ = E σ für alle σ im Falle n = 1. =1 Lemma 2.6 a) Seien n N, σ, g H(C n ) sowie M(ρ) := M g (ρ) := z sup n, z 2 ρ g(z) (ρ ). Dann gilt g SE σ genau dann, wenn es zu edem ε > eine Konstante A ε < gibt, so dass M(ρ) A ε e (σ+ε)ρ (ρ ).

16 14 2. Grundlagen b) Sei g : C C ganz, d.h. g H(C), mit Potenzreihenentwiclung g(z) = c z (z C) um z =. Dann gilt: = g E σ lim sup! c σ. Beweis a) Ist g SE σ, so gibt es zu edem ε > ein A ε <, so dass g(z) A ε exp (σ + ε) z (z C). Dann folgt aber für alle ρ. Umgeehrt gilt M(ρ) := sup g(z) A ε exp (σ + ε)ρ z σ g(z) M g ( z ) A ε exp (σ + ε) z für alle z C, und somit folgt die Behauptung. Bezüglich b) siehe [38, p. 1]. Für σ R n + und 1 p sind die Bernstein-Räume Bp σ B p σ := {f E σ; f n L p (R n )}. definiert durch: Die Bernstein-Räume sind allesamt Banach-Räume unter der eweiligen L p -Norm, B 2 σ speziell ein Hilbert-Raum, und es gilt (siehe [38, p. 126] sowie [1, p. 6] und die dort zitierte Literatur) B 1 σ Bp σ Bp σ B σ (1 p p ). Die sphärischen Bernstein-Räume SBσ p sind analog definiert und es gelten die entsprechenden Inlusionen. Weiter gilt für g Bσ die gegenüber (2.4) verschärfte Abschätzung (siehe [38, p. 115]) { n } g(z) g exp σ y (z = x + iy, x, y R n ). (2.5) =1 2.4 Hilbert-Räume mit reproduzierendem Kern Die Paley-Wiener-Räume sind so genannte Hilbert-Räume mit reproduzierendem Kern. Wir werden immer wieder auf einige elementare Eigenschaften solcher Räume zurücgreifen und die benötigten Resultate an dieser Stelle zusammenfassen. Für die hier nicht gegebenen Beweise sei auf [1], [35, chapter 2] oder [42] verwiesen. Sei H ein linearer Raum von omplexwertigen Funtionen, die alle auf einer nichtleeren Menge D definiert seien. Ferner sei, : H H C ein Salarprodut auf H, so dass der resultierende Raum ein Hilbert-Raum ist.

17 2.4. Hilbert-Räume mit reproduzierendem Kern 15 Definition 2.7 Man nennt H dann einen Hilbert-Raum mit reproduzierendem Kern, falls es eine Funtion : D D C mit den folgenden Eigenschaften gibt: a) (, y) H für edes y D; b) f(y) = f, (, y) für alle f H und y D. nennt man in diesem Fall einen reproduzierenden Kern für H und b) die reproduzierende Eigenschaft. Falls ein reproduzierender Kern existiert, ist er eindeutig bestimmt. Ein einfaches hinreichendes und notwendiges Kriterium für die Existenz eines reproduzierenden Kerns ist im folgendem Lemma gegeben: Lemma 2.8 Sei H ein Hilbert-Raum von auf D definierten, omplexwertigen Funtionen. Dann besitzt H genau dann einen reproduzierenden Kern, wenn das Auswertungsfuntional l y (f) := f(y), f H, für edes y D stetig ist, d.h. falls es für edes y D eine Konstante M y < gibt, so dass f(y) M y f H für alle f H. Folgende elementare Eigenschaften von Hilbert-Räumen mit reproduzierendem Kern werden des öfteren benutzt: Lemma 2.9 Sei H ein Hilbert-Raum mit reproduzierendem Kern, dann gilt: a) Die schwache Konvergenz einer Folge in H impliziert deren puntweise Konvergenz auf ganz D gegen das gleiche Grenzelement. Trägt D eine Topologie T, so dass die Abbildung T : (D, T ) (H, H ) mit T y := (, y) (y D) stetig ist, so ist die Konvergenz gleichmäßig auf eder ompaten Teilmenge von D. b) Die stare Konvergenz einer Folge in H impliziert deren puntweise Konvergenz auf ganz D gegen das gleiche Grenzelement. Die Konvergenz ist gleichmäßig auf eder Teilmenge von D, auf der (x, x) beschränt ist. c) Ist {ϕ n } n eine Schauder-Basis von H mit Biorthonormalbasis {ϕ n} n, so gilt für alle y D: (x, y) = n ϕ n (y)ϕ n(x) im Sinne der staren Konvergenz und somit auch puntweise für alle x D.

18 16 2. Grundlagen d) Ist {ϕ n } n sogar eine Orthonormalbasis von H, so gilt für alle y D: (x, y) = n ϕ n (y)ϕ n (x) wiederum im Sinne der staren Konvergenz und somit auch puntweise für alle x D. e) (x, y) = (y, x) (x, y D). f) (, x) 2 H = (x, x) (x D). g) (x, x) und (x, y) 2 (x, x)(y, y) für alle x, y D. Lemma 2.1 Sei wieder H ein Hilbert-Raum mit reproduzierendem Kern, dann gilt: a) Jeder abgeschlossene Unterraum U von H ist ebenfalls ein Hilbert-Raum mit reproduzierendem Kern. Bezeichnet U den zugehörigen reproduzierenden Kern, so ist der Operator P f(y) := f, U (, y) H (f H, y D) (2.6) der orthogonale Proetor von H auf U. b) Sei H = U U mit abgeschlossenem Unterraum U. Dann gilt (x, y) = U (x, y) + U (x, y) (x, y D). (2.7) Folgerung 2.11 Sei H wieder ein Hilbert-Raum, von auf D definierten omplexwertigen Funtionen, mit reproduzierendem Kern. Ist dann H = = H (direte orthogonale Summe) eine Zerlegung von H in paarweise orthogonale, abgeschlossene Unterräume H und bezeichnet den reproduzierenden Kern von H, für alle N, so gilt für edes y D (, y) = (, y) (2.8) im Sinne der schwachen Konvergenz in H und somit auch = (x, y) = (x, y) (x, y D) (2.9) = im Sinne puntweiser Konvergenz, wobei die Reihe absolut onvergiert, d.h. es gilt ( (x, y)) l 1 (N ) für alle x, y D.

19 2.5. Abtastentwiclungen in Hilbert-Räumen mit rk 17 Beweis Mittels vollständiger Indution folgt aus Lemma 2.1 b), dass (n) (x, y) := n (x, y) (x, y D) = für edes n N der reproduzierende Kern des abgeschlossenen Unterraumes n = H von H ist. Nach Lemma 2.1 a) ist P n f(y) := f, (n) (, y) H (y D) die orthogonale Proetion von f H auf n = H. Nach Voraussetzung gilt aber lim n P n f f H = und somit wegen Lemma 2.9 b) auch lim f, n (n) (, y) H = lim P n f(y) = f(y) = f, (, y) H n für edes f H, d.h. ( (n) (, y)) n onvergiert für edes y D schwach gegen (, y) und dies ist die Behauptung von (2.8). (2.9) folgt nun aus Lemma 2.9 a). Da ede schwach onvergente Folge beschränt ist, folgt weiter n (y, y) = = n (, y) 2 H = (n) (, y) 2 H M y < = für alle n N und somit ( (y, y)) l 2 (N ) für alle y D. Mit Lemma 2.9 g) folgt nun der Rest der Behauptung. Beispiel: Jeder endlich-dimensionale Hilbert-Raum H, von auf D definierten omplexwertigen Funtionen, besitzt einen reproduzierenden Kern. Ist N := dim H N und {ϕ n } N n=1 eine Orthonormalbasis von H, so gilt (x, y) = N ϕ (y)ϕ (x) (x, y D). (2.1) =1 2.5 Abtastentwiclungen in Hilbert-Räumen mit reproduzierendem Kern Wir wollen hier urz den allgemeinen Rahmen der lassischen Abtastentwiclungen darlegen. Sei dazu H ein Hilbert-Raum, von auf einer Menge D (bei uns wird dies immer eine Teilmenge eines eulidischen Raumes sein) definierten Funtionen, mit reproduzierendem Kern : D D C. Weiter sei A eine abzählbare (d.h. eine endliche oder abzählbar unendliche) Indexmenge. Unter einer Abtastentwiclung in H verstehen wir dann eine für alle f H gültige Darstellung der Form f(t) = n f(t n )S n (t) (t D), (2.11)

20 18 2. Grundlagen worin die Entwiclungsfuntionen S n, n A, aus H, sowie die Abtastpunte bzw. Knoten t n, n A, aus D seien. Ist die Indexmenge A unendlich, so sei die Konvergenz der Abtastreihe in (2.11) im Sinne der Norm von H und somit auch puntweise für alle t D zu verstehen. Nehmen wir weiter an, dass es sich bei obiger Entwiclung um eine Orthogonalentwiclung in H handelt, d.h., dass das System (S n ) n eine Orthogonalbasis von H ist, so folgt f(t n ) = f, S n H S n, S n H = f, (, t n ) H (f H, n A) und somit notwendig S n, S n 1 H S n = (, t n ) für alle n A. Ist umgeehrt ((, t n )) n eine Orthogonalbasis von H, so folgt f, (, t n ) H = f(t n ) (f H, n A), und somit f(t) = f(t n ) (t, t n) (f H, t D), (t n, t n ) n wobei die Reihe in der Norm des Raumes H und somit auch puntweise für alle t D onvergiert. Definition 2.12 Seien H und A wie oben. Eine Orthogonalbasis (S n ) n von H heißt dann Sampling-Basis in H, falls ein System (t n ) n von Knoten aus D existiert, so dass f(t n ) = f, S n H (f H, n A). S n, S n H Wir haben damit gezeigt (siehe auch [22, pp ]): Lemma 2.13 Seien H, und A wie oben. a) Ist (S n ) n eine Sampling-Basis in H bezüglich des Knotensystems (t n ) n D, so gilt notwendig S n, S n H 1 S n = (, t n ) für alle n A. b) Ist (, t n ) n eine Orthogonalbasis in H, so ist es auch eine Sampling-Basis in H bezüglich (t n ) n. Es gilt dann f(t) = n f(t n ) (t, t n) (t n, t n ) (f H, t D), (2.12) wobei die Reihe in der Norm von H und somit auch puntweise für alle t D onvergiert. Weiter gilt die Parseval-Gleichung f 2 H = n 1 (t n, t n ) f(t n) 2 (f H, t D). (2.13) Für einen umfassenderenden Überblic über die Theorie der Abtastentwiclungen sei auf die Übersichtsartiel [8] und [1] sowie die Monografien [22], [23] und [52] verwiesen.

21 2.6. Sphärische Funtionensysteme Sphärische Funtionensysteme Im Folgenden bezeichne X einen der Räume C(S n 1 ) oder L 2 (S n 1 ). Eine Funtion F : S n 1 C heißt zonal mit Achse t S n 1, falls F (x) = f(t x) (x S n 1 ) (2.14) mit einer Funtion f : [ 1, 1] C. Ist Y ein Untervetorraum von X, so heißt Y t := {F Y ; F ist zonal mit Achse t} (2.15) der axiale Kern von Y mit Achse t. Man sieht unmittelbar, dass Y t ein Untervetorraum von Y ist. Für A R n n bezeichne A t die zu A transponierte Matrix und E n R n n die n-dimensionale Einheitsmatrix. O(n) := {A R n n ; AA t = E n = A t A} ist dann die volle orthogonale Gruppe vom Grade n, SO(n) := {A O(n); det A = 1} die spezielle orthogonale Gruppe vom Grade n und für t S n 1 bezeichne SO t (n) := {A SO(n); At = t} die Untergruppe aller A SO(n) mit Fixpunt t. Entsprechend ist O t (n) erlärt. Ist F : S n 1 C und A O(n), so sei F A : S n 1 C die durch F A (x) := F (Ax) (x S n 1 ) (2.16) definierte Funtion. Eine analoge Definition macht natürlich für eden sphärisch symmetrischen Definitionsbereich D R n Sinn. Dabei heißt D R n sphärisch symmetrisch, falls Ax D für alle x D, A O(n). Das Salarprodut aus L 2 (S n 1 ) hat folgende wichtige Invarianzeigenschaft gegenüber orthogonalen Transformationen (siehe [41, p. 11]): F A, G A L 2 (S n 1 ) = F, G L 2 (S n 1 ) (F, G L 2 (S n 1 ), A O(n)). (2.17) Definition 2.14 Sei D R n sphärisch symmetrisch und Y ein Vetorraum von auf D definierten, omplexwertigen Funtionen. Y heißt rotationsinvariant, falls F A Y für alle F Y und A O(n). Bezüglich der Integration zonaler Funtionen gilt (siehe [41, p. 21], [36, p. 1]): Lemma 2.15 Seien F und f wie in (2.14) gegeben. Dann ist F genau dann messbar, wenn f messbar ist, und im Falle F folgt S n 1 F (u)dσ n 1 (u) = S n f(τ)(1 τ 2 ) (n 3)/2 dλ(τ). (2.18) Bemerung 2.16 Die obige Formel ist ein Spezialfall der Fun-Hece-Formel (siehe Satz 2.34 für = und Y () = 1 H ).

22 2 2. Grundlagen Teil a) ii) des folgenden Lemmas folgt sofort aus Lemma Der Beweis der restlichen Aussagen ist entweder trivial oder in [41, pp. 1-11] zu finden. Lemma 2.17 a) Seien n 2, F : S n 1 C zonal mit Achse t S n 1 und f die Funtion aus (2.14). i) F C(S n 1 ) genau dann, wenn f C[ 1, 1]. ii) F L 2 (S n 1 ) genau dann, wenn 1 1 f(τ) 2 (1 τ 2 ) (n 3)/2 dλ(τ) <, (2.19) d.h. falls f L 2 w ( 1, 1) mit dem Gewicht w(τ) := (1 τ 2 ) (n 3)/2, τ ( 1, 1). b) i) Für n 2 ist F X genau dann zonal mit Achse t S n 1, wenn F A = F für alle A O t (n). ii) Für n 3 ist F X genau dann zonal mit Achse t S n 1, wenn F A = F für alle A SO t (n). Satz 2.18 (Siehe [41, pp ]) Sei n 2 und X ein rotationsinvarianter Untervetorraum von C(S n 1 ) mit reproduzierendem Kern G : S n 1 S n 1 C )(bezüglich des von L 2 (S n 1 ) induzierten Salarprodutes). Dann existiert eine eindeutig bestimmte Funtion g C[ 1, 1], so dass G(x, y) = g(x y) (x, y S n 1 ). (2.2) Bemerung 2.19 a) Eine Funtion G wie in (2.2) nennen wir bizonal, da sie in beiden Argumenten zonal ist. b) Der axiale Kern Y t von Y mit Achse t ist der größte Untervetorraum von Y, welcher invariant gegenüber Rotationen ist, die t S n 1 festhalten Gegenbauer-Polynome Im nächsten Abschnitt werden einige Eigenschaften der so genannten Gegenbauer- Polynome (auch ultrasphärische Polynome genannt) benutzt, da sie eng mit den reproduzierenden Kernen gewisser Räume von Kugelfuntionen zusammenhängen. Unter den verschiedenen Möglicheiten die Gegenbauer-Polynome einzuführen wählen wir den Zugang über die Rodriguez-Formel (siehe z.b. [41, pp. 22-3], [44], [14] oder [31]). Sei λ > 1/2 ein reeller Parameter. Das Gegenbauer-Polynom C λ vom Grade N zum Index λ ist dann definiert durch C λ (t) := (1 ( ) t2 ) λ+1/2 d (1 t 2 ) +λ 1/2 ( 2) (λ + 1/2) dt (t ( 1, 1)), (2.21)

23 2.6. Sphärische Funtionensysteme 21 worin 1 (z) := (z + ) (z C, N ) = das sogennante Pochammer-Symbol bezeichne (wobei das leere Produt ( = ) wie üblich gleich Eins gesetzt wird: (z) := 1). Wir stellen einige Eigenschaften der Gegenbauer-Polynome zusammen: Für alle N und λ > 1/2 gilt: C λ ist ein Polynom vom exaten Grad. Es gilt C λ( t) = ( 1) C λ(t) für alle t R, d.h. Cλ gerade (ungerade) ist. ist gerade (ungerade) wenn C λ (1) = 1 (Normierung). Aus diesen Eigenschaften schließt man sofort, dass C λ (t) = 1, C λ 1 (t) = t (t R) (2.22) für alle λ > 1/2 gilt. Die Gegenbauer-Polynome höherer Ordnung ann man dann mit Hilfe der dreigliedrigen Reursionsformel ( + 2λ)C λ +1(t) = 2( + λ)tc λ (t) C λ 1(t) ( N, t R) (2.23) berechnen. Zum Beispiel gilt also (1 + 2λ)C λ 2 (t) = 2(1 + λ)tcλ 1 (t) Cλ (t), C λ 2 (t) = 2(1 + λ) 1 + 2λ t λ (t R). Weiter erennt man aus der Reursionsformel, dass die C λ reellwertig sind, d.h. es gilt C λ(t) R für alle N, λ > 1/2, t R. Wichtig ist weiter die folgende Orthogonalitätsrelation: Es gilt für alle λ > 1/2, λ : 1, l, Cl λ (t)cλ (t)(1 t2 ) λ 1/2 dt = 2 1 2λ 1 (Γ(λ ))2 l! (l + λ)γ(l + 2λ), l =. (2.24) D.h. die Folge der Gegenbauer-Polynome (C λ) zum Index λ bildet ein Orthogonalsystem im Hilbert-Raum L 2 w( 1, 1) mit dem Gewicht w(t) = (1 t 2 ) λ 1/2 (t ( 1, 1)). Dieses System ist sogar total in L 2 w( 1, 1), d.h. aus ϕ, C λ L 2 w( 1,1) = 1 1 ϕ(t)c λ (t)(1 t2 ) λ 1/2 dt = ( N )

24 22 2. Grundlagen folgt notwendig ϕ = L 2 w ( 1, 1), d.h. ϕ(t) = für Lebesgue-fast-alle t ( 1, 1). Mit anderen Worten, das System ( C λ), mit C λ (t) := ( 2 2λ 1 (Γ(λ + 1 ) 1/2 2 ))2! C λ (t) ( + λ)γ( + 2λ) ( N, t R), bildet für edes λ > 1/2, λ, eine Orthonormalbasis in L 2 w ( 1, 1). Wir betrachten noch einige wichtige Spezialfälle: Für λ = erhalten wir die Chebyshev-Polynome erster Art T := C, N. Für diese Polynome gilt die explizite Darstellung T (t) = cos( arccos t) ( N, t 1), wobei arccos : [ 1, 1] [, π] den Hauptzweig des arccos bezeichnet. Dies erennt man am einfachsten mit Hilfe der Reursionsformel (2.23), die für die T übergeht in T +1 (t) = 2tT (t) T 1 (t) ( N, t R). Die Folge der Chebyshev-Polynome (T ) bildet ein totales Orthogonalsystem im Raume L 2 w( 1, 1) mit dem Gewicht w(t) = (1 t 2 ) 1/2, t ( 1, 1). Genauer gilt (den Fall λ = hatten wir oben ausgeschlossen): 1, l, T l (t)t (t)(1 t 2 ) 1/2 π dt = 1 2, l =, (2.25) π, l = =. D.h. das System ( T ), mit 2 2 π T (t) = cos( arccos t), 1, π T (t) := 1 T (t) = 1, =, π π bildet eine Orthonormalbasis im Raume L 2 w ( 1, 1) mit dem Gewicht w(t) = (1 t2 ) 1/2. Im Falle λ = 1/2 erhalten wir die Legendre-Polynome P := C 1/2, N. Für diese Polynome existiert eine explizite Darstellung wie bei den Chebyshev-Polynomen, aber nun wird das Gewicht w besonders einfach, es gilt nämlich w(t) = 1 für alle t ( 1, 1). Wir erhalten aus (2.24): 1, l, P l (t)p (t)dt = 2 1 2l + 1, l =, (2.26) d.h. das System ( P ), mit P (t) := P (t) ( N, t [ 1, 1]), 2 bildet eine Orthonormalbasis im Raume L 2 w ( 1, 1) = L2 ( 1, 1).

25 2.6. Sphärische Funtionensysteme Kugelfuntionen Kugelfuntionen spielen eine zentrale Rolle in dieser Arbeit. Mit ihrer Hilfe erhalten wir eine Zerlegung von L 2 (S n 1 ) in paarweise orthogonale, rotationsinvariante Unterräume und wir werden dieses Ergebnis benutzen um eine analoge Zerlegung von rotationsinvarianten Paley-Wiener-Räumen herzuleiten (siehe Abschnitt 5.2). Wir stellen hier die im Folgenden benötigten Tatsachen über Kugelfuntionen zusammen, wobei wir hauptsächlich den Darstellungen in [48, pp ], [26] und [41] folgen. Andere gute Darstellungen der Theorie der Kugelfuntionen sind z.b. in [27], [36], [13] und [49] zu finden, wobei in [13] und [49] der Zusammenhang zur Darstellungstheorie ompater Gruppen in den Vordergrund gestellt wird. Eine Funtion f : R n C heißt homogen vom Grade N, falls f(ax) = f(x) für alle x R n und a > gilt. Bezeichnen wir mit P die Menge aller Polynomfuntionen auf R n (mit omplexen Koeffizienten), so sieht man leicht, dass P P genau dann homogen vom Grade ist, wenn P eine Darstellung der Form P (x) = c α x α (x R n ) α = hat, wobei α = (α 1,..., α n ) N n einen Multiindex, α := α 1 + +α n dessen Ordnung und x α das Monom x α 1 1 x α 2 2 x αn n bezeichne. Wir nennen P dann auch eine Polynomfuntion vom homogenen Grad und P bezeichne die Menge aller dieser Polynome, d.h. es sei P = P : Rn C; es existieren c α C, so dass P (x) = c α x α, x R n. Die Menge aller Monome x α, α =, bildet offensichtlich eine Basis von P und eine einfache ombinatorische Überlegung zeigt dann (siehe [26]): ( ) ( ) n + 1 n + 1 (n + 1)! d := dim P = = =. (2.27) n 1 (n 1)!! Die Menge A der räumlichen Kugelfuntionen vom Grade im R n ist nun definiert als die Menge aller harmonischen Polynome vom homogenen Grad auf R n, d.h. A := {P P ; P (x) =, x R n }. α = Hierin bezeichnet den n-dimensionalen Laplace-Operator, d.h. es gilt := 2 x x 2 n Weiter sei H := {Y : S n 1 C; Y = P S n 1, P A } die Menge der Kugelflächenfuntionen bzw. urz die Menge der Kugelfuntionen vom Grade. Aufgrund der Homogenität von P A sieht man sofort, dass die Abbildung P Y := P S n 1 ein Isomorphimus der Räume A und H ist. Zur Bestimmung der Dimension von A, benutzen wir (siehe [48, pp ])

26 24 2. Grundlagen Lemma 2.2 Für 2 und P P gilt P P 2. Die Abbildung ϕ : P P 2, ϕ(p ) := P (P P ), ist daher wohldefiniert und darüberhinaus linear und suretiv. Da A = er(ϕ) folgt dim A = dim P dim P 2 = d d 2 und mit (2.27) ( ) ( ) n + 1 n + 3 := dim H = dim A = 2 (n + 3)! = (n + 2 2) (2.28)!(n 2)! für 2. Da edes Polynom vom Grade leiner als 2 harmonisch ist folgt weiter a := dim H = dim A = d = 1, a 1 := dim H 1 = dim A 1 = d 1 = n. Man bestätigt nun sofort, dass (2.28) auch noch für {, 1} gilt. Zusammenfasssend gilt also (n + 3)! := dim H = dim A = (n + 2 2)!(n 2)! Folgerung 2.21 Speziell erhält man aus (2.29): a) dim H = 2 (n = 2, 1); b) dim H = (n = 3, ); c) dim H = ( + 1) 2 (n = 4, ). ( N, n 2). (2.29) Weiter gilt folgender Satz (siehe [48, p.14], [43, p. 243], [15, p. 127]), welcher im Beweis des Charaterisierungssatzes in Kapitel 5.1 benutzt wird und auch ansonsten wichtige Folgerungen beinhaltet. Satz 2.22 (Calderón-Zerlegung) Sei P P. Dann gibt es Polynome P A 2, =, 1,..., l = [/2], so dass P (x) = P (x) + x 2 P 1 (x) + + x 2l P l (x) (x R n ). Folgerung 2.23 Die Restrition eines eden algebraischen Polynoms in n reellen Veränderlichen auf die Einheitssphäre S n 1 des R n läßt sich als endliche Summe von Kugelfuntionen darstellen. Wir nennen eine Teilmenge G eines linear normierten Raumes (X, ) fundamental, falls die Menge aller endlichen Linearombinationen von Elementen aus G dicht in X liegt, d.h. falls X = span(g) gilt. Unter Verwendung des Approximationssatzes von Weierstraß in Verbindung mit der letzten Folgerung sowie der Tatsache, dass C(S n 1 ) dicht in L 2 (S n 1 ) liegt, folgt dann (siehe auch [48, p. 141]):

27 2.6. Sphärische Funtionensysteme 25 Lemma 2.24 Das System aller Kugelfuntionen H auf S n 1 ist sowohl fundamental in (C(S n 1 ), ) als auch in L 2 (S n 1 ). = Weiterhin wichtig ist die folgende Orthogonalitätsrelation (siehe [48, pp ]): Lemma 2.25 Kugelfuntionen Y () und Y (l) vom Grade bzw. l mit l sind orthogonal bezüglich des Salarprodutes von L 2 (S n 1 ), d.h. es gilt: Y (), Y (l) L 2 (S n 1 ) = Y () (u)y (l) (u)dσ n 1 (u) =. S n 1 Eine direte Folgerung aus diesen Eigenschaften ist die folgende Orthogonalzerlegung des Raumes L 2 (S n 1 ). Satz 2.26 a) L 2 (S n 1 ) ist die direte orthogonale Summe der endlich dimensionalen Unterräume H, N : L 2 (S n 1 ) = H. = b) Für edes N sei {Y () ; = 1,..., } eine Orthonormalbasis von H. Dann hat edes ϕ L 2 (S n 1 ) eine eindeutige Darstellung (Orthonormalentwiclung) ϕ = Y () (ϕ), (2.3) = Y () (ϕ) = =1 ϕ, Y () L 2 (S n 1 )Y (), (2.31) wobei die Reihe in (2.3) in der L 2 (S n 1 )-Norm gegen ϕ onvergiert. Die obige Entwiclung ist unter dem Namen Fourier-Laplace-Entwiclung beannt und die Koeffizienten ϕ, Y () L 2 (S n 1 ) heißen die Fourier-Laplace-Koeffizienten von ϕ bezüglich der Y (). c) Es gilt die Parsevalgleichung ϕ 2 L 2 (S n 1 ) = Y () 2 L 2 (S n 1 ), (2.32) = Y () 2 L 2 (S n 1 ) = =1 ϕ, Y () L 2 (S n 1 ) 2. (2.33)

28 26 2. Grundlagen Bemerung 2.27 Die Orthonormalbasis {Y () ; = 1,..., } von H aus obigem Satz ann stets reellwertig gewählt werden. Dies erennt man wie folgt: Alle obigen Überlegungen gelten auch, wenn sie auf die entsprechend definierten reellen Vetorräume angewendet werden. Insbesondere gilt die Dimensionsformel (2.29) immer noch. Wählt man dann eine Basis des reellen Raumes H, so sieht man sofort, dass diese auch im omplexen Raum H linear unabhängig und somit eine Basis ist. Die Räume H, N, haben weiterhin die folgende Invarianzeigenschaft. Lemma 2.28 Für edes N ist der Raum H ein rotationsinvarianter Unterraum von L 2 (S n 1 ), d.h. es gilt f A H für alle f H und A SO(n). Als endlich-dimensionaler Hilbert-Raum von auf S n 1 definierten, omplexwertigen Funtionen besitzt H einen reproduzierenden Kern G : S n 1 S n 1 C. Da H C(S n 1 ) L 2 (S n 1 ) rotationsinvariant ist, folgt aus Satz 2.2, dass dieser Kern bizonal ist, d.h. es existiert eine Funtion g C[ 1, 1], so dass G (x, y) = g (x y) (x, y S n 1 ). (2.34) Einige elementare Eigenschaften von G sind in folgendem Lemma zusammengestellt. Lemma 2.29 gilt: a) Ist { } Y () 1,..., Y a () G (u, v) = =1 eine beliebige Orthonormalbasis von H, so Y () (v)y () (u) (u, v S n 1 ). b) G ist reellwertig und symmetrisch, d.h. es gilt G (u, v) = G (v, u) für alle u, v S n 1. c) Rotationsinvarianz: Ist A SO(n), so gilt: G (Au, Av) = G (u, v) für alle u, v S n 1. d) G ist auf der Diagonalen von S n 1 S n 1 onstant. Genauer gilt: e) Für ede Orthonormalbasis G (u, u) = S n 1 (u S n 1 ). { } Y () 1,..., Y a () von H gilt: =1 Y () (u) 2 = S n 1 (u S n 1 ). f) G (u, v) S n 1 (u, v S n 1 ).

29 2.6. Sphärische Funtionensysteme 27 Beweis Die Behauptung von a) folgt sofort aus (2.1). Nach Bemerung 2.27 existiert stets eine reellwertige Orthonormalbasis von H. Wählt man nun eine solche reelle Basis in a), so folgt sofort die Reellwertigeit von G und daraus die Symmetrie mit Lemma 2.9 e). c) folgt sofort aus (2.34). Weiter folgt aus (2.34) G (u, u) = g (u u) = g (1) für alle u S n 1. Dies zeigt schon die Konstanz von G auf der Diagonalen von S n 1. Um diese Konstante zu berechnen beachten wir, dass nach a) und (2.34) gilt: = Y () (u) 2 = G (u, u) = g (1). Unter Beachtung der Orthonormalität der Y () = ergibt sich hieraus aber: g (1) S n 1 = g (1)dσ n 1 (u) = Y () (u) 2 dσ n 1 (u) = S n 1 S n 1 und somit die Behauptung von d) und e). Die Behauptung von f) ist nun eine Konsequenz von d) und Lemma 2.9 g). Weniger elementar ist der Satz 2.3 (Siehe [41, pp ]) Für edes N und t S n 1 ist der zonale Kern (H ) t = { Y () H ; Y () ist zonal mit Achse t } von H mit Achse t eindimensional, genauer gilt: (H ) t = span{c (n 2)/2 ( t)} ( N, t S n 1 ), wobei C (n 2)/2 das Gegenbauer-Polynom vom Grade zum Index (n 2)/2 bezeichnet. Andererseits gilt auch (H ) t = span{g ( t)} ( N, t S n 1 ). Daher existiert eine Konstante c(n, ) C, so dass g (u t) = c(n, )C (n 2)/2 (u t) für alle u S n 1. Da C (n 2)/2 (1) = 1 folgt mit (2.34)und Lemma 2.29 d) für u = t: Wir erhalten somit die c(n, ) = c(n, )C (n 2)/2 (t t) = g (t t) = G (t, t) = S n 1. Folgerung 2.31 Für edes N ist der reproduzierende Kern G von H gegeben durch G (u, v) = S n 1 C(n 2)/2 (u v) (u, v S n 1 ).

30 28 2. Grundlagen Mit Lemma 2.29 a) erhalten wir hieraus weiterhin sofort: Folgerung 2.32 (Additionstheorem) { } Für ede Orthonormalbasis Y () ; 1 von H gilt: =1 Y () (v)y () (u) = S n 1 C(n 2)/2 (u v) (u, v S n 1 ). Folgerung 2.33 (Orthogonale { Proetion} auf H ) Für ede Orthonormalbasis Y () ; 1 von H ist durch Y () (ϕ; u) = =1 ϕ, Y () L 2 (S n 1 )Y () (u) die orthogonale Proetion von ϕ L 2 (S n 1 ) auf H gegeben und diese hat die basisunabhängige Darstellung Y () (ϕ; u) = a ϕ(v)c (n 2)/2 S n 1 (u v)dσ n 1 (v) (u S n 1 ). S n 1 Es gibt noch zwei fundamentale Resultate im Zusammenhang mit den Kugelfuntionen, welche in dieser Arbeit eine zentrale Rolle spielen. Das eine ist der Satz von Bochner- Hece, welcher im Anhang B mit Beweis angegeben wird und einen Zusammenhang mit gewissen Symmetrie-Eigenschaften der Fourier-Transformationen herstellt. Das andere Resultat ist der Satz von Fun-Hece (Siehe [41, p. 5], [37, p. 195]), welchen wir insbesondere im Beweis des Satzes von Bochner-Hece benutzen werden. Satz 2.34 (Fun-Hece) Sei n 3. Für ede Funtion h L 1 ( 1, 1) und edes t S n 1 gilt: mit S n 1 h(u t)y () (u)dσ n 1 (u) = F n, (h)y () (t) (Y () H ), 1 F n, (h) := S n 2 1 h(ξ)c (n 2)/2 (ξ)(1 ξ 2 ) (n 3)/2 dξ. Bemerung 2.35 Der Satz gilt auch für n = 2, wenn man sich auf messbare Funtionen h : ( 1, 1) C mit 1 1 h(ξ) (1 ξ 2 ) 1/2 dξ < beschränt. Dies ist insbesondere für alle h L ( 1, 1) der Fall.

31 2.7. Lagrange-Interpolation Lagrange-Interpolation Bezüglich der folgenden Resultate und Notationen sei auf das Buch [41, pp ] von Reimer verwiesen. Seien D eine Menge, X ein endlich-dimensionaler C- Vetorraum, von auf D definierten, omplexwertigen Funtionen, und N := dim(x) N. Mit X bezeichnen wir den (algebraischen) Dualraum von X. Ist t D gegeben, so wird durch (f) := f(t) (f X) (2.35) f t ein lineares Funtional ft X definiert. Ein solches Funtional heißt Auswertungsfuntional (an der Stelle t D). Ein System T := {t 1,..., t N } D heißt dann ein fundamentales Knotensystem für X, falls die Auswertungsfuntionale ft 1,..., ft N eine Basis des Dualraumes X bilden. Lemma 2.36 Sei X wie oben. a) Ist {f 1,..., f N } eine Basis für X und T = {t 1,..., t N } D, so ist T genau dann ein fundamentales Knotensystem für X, falls det(f (t )) N,=1. (2.36) b) Es existiert mindestens ein fundamentales Knotensystem T D für X. c) Ist T = {t 1,..., t N } D fundamental, so existieren eindeutig bestimmte Elemente L 1,..., L N X, so dass L (t ) = δ (, {1,..., N}). (2.37) d) Ist X ein Hilbert-Raum mit reproduzierendem Kern : D D C, so ist T = {t 1,..., t N } D genau dann fundamental, wenn {(, t 1 ),..., (, t N )} eine Basis von X ist. Die Funtionen L aus (2.37) heißen Lagrange-Fundamental-Funtionen. Seien nun X ein beliebiger (d.h. nicht notwendig endlich-dimensionaler) Vetorraum von auf D definierten, omplexwertigen Funtionen, X N ein N-dimensionaler Untervetorraum von X, T = {t 1,..., t N } D ein fundamentales Knotensystem bezüglich X N und {L 1,..., L N } das zugehörige System der Lagrange-Fundamental-Funtionen. Der Lagrange-Interpolationsoperator Λ : X X N bezüglich des Knotensystems T ist dann definiert durch N Λ(f, t) := f(t )L (t) (f X, t D). (2.38) =1 Λ ist ein Proetionsoperator, d.h. Λ ist ein linearer Operator von X auf X N mit Λ 2 = Λ (Idempotenz). (2.39)