Kinematik des Punktes 2. Kinetik des Massenpunktes 9. Bewegung eines Systems von Massenpunkten 15. Schwingungen 45. Relativbewegung 59

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1 Inhatsvezeichnis Kineatik des Punktes Kinetik des Massenpunktes 9 ewegung eines Systes von Massenpunkten 15 Kineatik des staen Köpes 1 Kinetik des staen Köpes 8 Schwingungen 45 Reativbewegung 59 Hydodynaik 6 1

2 1. Kineatik des Punktes ufgabe 1.1 uf de Einfädespu eine utobahnauffaht fäht ein PKW it de Geschwindigkeit v 1 = 60 k/h. uf geiche Höhe fäht auf de utobahn ein LKW it de konstanten Geschwindigkeit v = 80 k/h. 00 Weche escheunigung a = const. uß de PKW aufbingen, wenn e a Ende de Einfädespu 0 vo de LKW auf die utobahn übewechsen wi? a = 1, 98 /s ufgabe 1. Ein Student wi unbedingt den Zug eeichen, u pünktich zu Voesung zu koen. s de Zug it konstante escheunigung a geade osfäht (t = 0), befindet e sich noch i bstand vo Zug und äuft it konstante Geschwindigkeit v S de btei hintehe. Unte wechen edingungen hat de Student nu eina die Mögichkeit, auf den Zug aufzuspingen? Wie goß sind dann die Geschwindigkeiten von Student und Zug, die Stecke, die de Student aufen uß und die Zeit t, nach de e aufspingen kann? t = v S a ufgabe 1.3 [ v s ] Ein Fahzeug bewegt sich geäß de skizzieten Geschwindigkeits Zeit Diaga. eechnen Sie die auftetenden escheunigungen, den in 6 Minuten zuückgeegten Weg und 10 zeichnen Sie die Diagae s(t), a(t), v(s) und a(s). 5 s = t [s]

3 ufgabe 1.4 H v F ẋ s v Die esatzung eines Suchfugzeuges, das it eine konstanten Geschwindigkeit v F in eine Höhe H übe de Meeesspiege fiegt, wi Schiffbüchigen in eine Segeboot, das in deseben Richtung it de konstanten Geschwindigkeit v teibt, ein Lebensittepaket abwefen. In weche bstand s uß de bwuf efogen, dait das Paket genau hinte de oot ins Wasse fät? De Luftwidestand füht in hoizontae Richtung zu bbesen des Paketes it ẍ = c o ẋ. In vetikae Richtung kann de Luftwidestand venachässigt weden. s = 1 c o n ) H (c o g v H F + 1 v g ufgabe 1.5 F Situation zu Zeit t = 0 K 3 Ein Fuchs F bewegt sich it konstante Geschwindigkeit v F auf ein uhendes Kaninchen K zu. Zu Zeitpunkt t = 0, as das Kaninchen den Fuchs beekt, betägt de bstand zwischen den beiden Tieen. Das Kaninchen vesucht in geade Linie seinen au zu eeichen. Hiebei ennt es it konstante escheunigung a K bis es seine Höchstgeschwindigkeit v K eeicht hat. nschießend äuft es it v K nach. De Fuchs wi de Kaninchen den Weg abschneiden und bewegt sich it v F ebenfas geadinig auf zu. a) Wie ange ist die Zeitspanne T, wähend de das Kaninchen u sein Leben füchten uß? b) Wie goß uß die escheunigung a K des Kaninchens indestens sein, dait es geade vo de Fuchs seinen au eeicht (Hinweis fü die Rechnung: Fuchs und Kaninchen eeichen zu geichen Zeit) und nach weche Zeit τ eeicht das Kaninchen seine Höchstgeschwindigkeit v K? a) T = v K + 1 v K a K b) a K = v K v F 4 ( 3 v F v K ) 3

4 ufgabe 1.6 H 01 Ein LKW hebt übe ein dehnstaes Sei (Länge H), das übe eine Roe gefüht wid, ein Gewicht an. De LKW bewegt sich it konstante Geschwindigkeit v o. Zu Zeit t = 0 faen die Punkte,, C zusaen. estien Sie die Geschwindigkeit v(t) und die escheunigung a(t) des Gewichts. C v 0 a(t) = v o H (v ot + H ) 3/ ufgabe ϕ C Zwei Punkte in de Ebene beginnen geichzeitig ewegungen von nach C bzw. von nach C. Punkt 1 bewegt sich ängs eines Vietekeisbogens ( Radius ) it eine ahnbescheunigung popotiona zu Winkegeschwindigkeit: a t = kω. Die nfangsgeschwindigkeit in ist ω o. Punkt bewegt sich ängs eine Geaden it konstante escheunigung a 0. Seine nfangsgeschwindigkeit ist Nu. Wie goß uß die Entfenung in bhängigkeit von den gegebenen Gößen, ω 0, a 0, k gewäht weden, wenn beide Punkte geichzeitig in C einteffen soen? = 1 [ ( )] kπ a 0 k n ω ufgabe 1.8 ϕ 1 M Zwei Punkte beginnen i Punkt eines Keises (Radius ) geichzeitig ewegungen von nach. Punkt 1 bewegt sich ängs des Duchesses it eine escheunigung popotiona seine Geschwindigkeit (a = k v). Seine nfangsgeschwindigkeit in ist v o. Punkt bewegt sich ängs des Keisbogens it de konstanten Winkebescheunigung ϕ. Seine nfangsgeschwindigkeit ist Nu. Wie goß uß ϕ in bhängigkeit von den gegebenen Gößen, v o, k sein, wenn beide Punkte geichzeitig in ankoen soen? ϕ = [ n πk ( k v o + 1 )] 4

5 ufgabe 1.9 ϕ Zwei Punkte, die sich auf eine Keisbahn i Uhzeigesinn bewegen, beginnen geichzeitig von und aus ihen ewegungen, jeweis it de nfangswinkegeschwindigkeit ϕ o. De Punkt wid it de ahnbescheunigung a = const., de Punkt it a = a bescheunigt. a)nach weche Zeit t teffen sich die Punkte zu esten Ma? b)ei weche Winke ϕ teffen sie sich? c)wie goß ist de etag de escheunigung von bei Zusaenteffen? π a) t = a b) ϕ = π + ϕ o π a ufgabe 1.10 s 1 s v = v 0 / v = v 0 Ein Punkt, de sich auf eine Keisbahn (Radius ) bewegt, wid auf die Häfte seine nfangsgeschwindigkeit abgebest. Wähend des esvoganges ist das Podukt aus Tangentiabescheunigung (Vezögeung) und Geschwindigkeit konstant. a) Eitten Sie die Geschwindigkeit v in bhängigkeit von s, wenn die nfangsgeschwindigkeit v o und de esweg s 1 vogegeben sind. b) Weche Zeit t 1 wid fü den esvogang benötigt? c) Wie goß sind die etäge de escheunigung zu eginn und a Ende des esvoganges? Hinweis : ax + bdx = (ax + b) 3 3a a) v(s) = ( 7 s + 1) 1/3 v o 8 s 1 b) t 1 = 9 7 s 1 v o 5

6 ufgabe 1.11 (1.5 π 4 ) Ein Punkt wid auf de skizzieten ahn von übe und C und daübe hinaus it s konstante ahnbescheunigung a 0 bis zu Ruhe abgebest. De etag des escheunigungsvektos und die ahngeschwindigkeit sind C i Punkt C it a C = 5a 0 bzw. v C = a 0 bekannt. Zu Zeit t = 0 befindet sich de Punkt bei. estien Sie in bhängigkeit von und a 0 : a) den Küungsadius de Keisbahn, b) die ahngeschwindigkeit v bei, c) die Zeitdaue t C von nach C, d) die zuückgeegte ogenänge s R und die Zeitdaue t R bis de Punkt zu Ruhe kot. a) = / b) v = a 0 c) t C = /a 0 d) s R = ufgabe 1.1 y ϕ P g x Eine Geade g bewegt sich paae zu x-chse it de konstanten Geschwindigkeit v y = c und schneidet dabei einen Keis i Punkt P. Eechnen Sie die Geschwindigkeit und die escheunigung des Punktes P sowie deen etäge. v P = c sin ϕ a t = c cosϕ sin 3 ϕ c a n = sin ϕ 6

7 ufgabe 1.13 ϕ 0 P Ein Zeige äuft it konstante Winkegeschwindigkeit ω = ϕ u. E füht den Punkt P auf eine Keisbahn it de Radius o. Eitten Sie die ahngeschwindigkeit von P. ϕ [0, π] v = o ϕ ufgabe 1.14 ϕ P Eine Stange deht sich u den Punkt it de Winkegeschwindigkeit ω(t) = bt wobei b = const.. uf ih wid ein Punkt P it de adiaen Geschwindigkeit ṙ = v o at veschoben. a) estien Sie die ahninie (ϕ) von P [nfangsbedingung: (ϕ = 0) = 0]. b) Wechen gößten bstand 1 eeicht de Punkt P und wieviee Udehungen hat die Stange dann ausgefüht? a) (ϕ) = a v b ϕ + o b ϕ b) 1 = 1 v o a ufgabe 1.15 Eine Kuve eine Vesuchsstecke kann it gute Näheung duch die Geichung y = αx beschieben weden. Wie schne daf ein Fahzeug die kitische Stee diese Kuve höchstens duchfahen, dait die auftetende Noabescheunigung nicht göße as c g (g = Edbescheunigung) wid? Zahenwete: α = 1 k 1 ; c = 0, 8; g = 9, 81 /s v zu = 5 k/h 7

8 ufgabe 1.16 C P b b ϕ Ein Roh C (Länge b) otiet it konstante Winkegeschwindigkeit ω i Uhzeigesinn. I Inneen des Rohes befindet sich de Köpe P, de übe ein undehnbaes Sei CP de Länge b i Punkt befestigt ist. Infoge de Dehung des Rohes wid de Köpe P nach außen gezogen. estien Sie den etag de Geschwindigkeit und den etag de escheunigung des Köpes P in bhängigkeit von ϕ. 5 3 cosϕ v = bω a = bω 41 9 cosϕ ufgabe 1.17 y (ϕ) P De Punkt P bewegt sich entang de gegebenen ahn (Spiae) (ϕ) = 0 (1 + ϕ) it konstante Radiageschwindigkeit v. Zu Zeitpunkt t = 0 sei ϕ = 0. eechnen Sie: ϕ x a) die Funktionen (t) und ϕ(t), b) die ahngeschwindigkeit zu Zeitpunkt t = 0, c) die Radiabescheunigung a (t). a) (t) = v t + 0 ϕ(t) = v 5 t b) v(t = 0) = 0 v c) a (t) = 1 v 4 0 8

9 . Kinetik des Massenpunktes ufgabe.1 v 0 α h Wagen Von eine Tu (Höhe h) so ein Stein in einen Wagen gewofen weden, de sich it konstante Geschwindigkeit w auf eine Geaden bewegt. De Stein ( unte de Winke α zu Hoizontaen abgewofen ) so den Wagen teffen, wenn diese den küzesten bstand zu Tu hat. Gundiß a) Wie goß uß die bwufgeschwindigkeit v o des Steins sein? Tu ϑ W Wagen b) Nach weche Zeit t wid de Wagen getoffen? c) n weche Ot (Winke ϑ) befindet sich de Wagen zu Zeitpunkt des bwufs? d) ei weche Winke α eeicht v o ein Miniu? a) v o = b) t = g cos α (h + tanα) (h + tan α) g d) tanα = h ufgabe b v 0 Ein Haewefe eziet eine Weite. α Wie goß ist die hiezu efodeiche bwufgeschwindigkeit v o und weche Kaft hat h e unitteba vo de bwuf in den en aufzunehen? Die in de Skizze vewendeten Gößen,, b, h, und α = 45 o sind gegeben. g v o = ( b) h + ( b) g( b) F = [h + ( b)] 9

10 ufgabe.3 uf ein schäges Födeband (Winke α zu Hoizontaen), das it de konstanten Geschwindigkeit v o abeitet, wid eine Kiste it de Gewicht G gesetzt. Nach weche Zeit t R hat die Kiste die geiche Geschwindigkeit wie das and, wenn de Reibungskoeffizient zwischen and und Kiste µ ist? t R = v o g(µ cosα sin α) ufgabe v µ µ Eine Punktasse wid it de Geschwindigkeit v o in ein waagecht iegendes Spiefed eingeschossen. De Reibungskoeffizient zwischen Masse und ande ist µ, de zwischen Masse und oden µ. Nach wievie Udehungen n ist die Geschwindigkeit auf 1/10 des nfangswetes v o gesunken? ( ) n = 1 4πµ n µvo + µg µ v o µg ufgabe.5 H h s Ein Massenpunkt wid aus de Ruheage in osgeassen und geitet eibungsfei auf de skizzieten ahn. In veäßt de Massenpunkt die ahn und bewegt sich fei i Edschweefed. estien Sie fü den Wuf : a) die Wufhöhe h, b) die Wufweite s. a) h = H b) s = H 10

11 ufgabe.6 Konstuktion 1 v 0 h Eine as Massenpunkt ideaisiete owingkuge (Masse ) geitet eibungsfei it de Geschwindigkeit v o auf de Rückauf eine owingbahn. Ende des Rückaufes wid de Massenpunkt auf eine Keisbahn it de Radius auf die Höhe h = gefüht. Konstuktion a) Wie goß uß die Geschwindigkeit v o bei de Konstuktion 1 indestens sein, dait de Massenpunkt die obee Ebene eeicht? ϕ v 0 h b) Wie goß uß die Geschwindigkeit v o in bhängigkeit vo Winke ϕ bei de Konstuktion indestens sein, dait de Massenpunkt die obee Ebene eeicht? Wie goß uß de Winke ϕ indestens gewäht weden, dait v o inia wid? a) v o = 5g b) v o (ϕ) = g(1 + 3 cosϕ), it ϕ π ϕ in = 48. o ufgabe.7 α C b S ϕ Die Masse eines Fadenpendes (Länge ) wid in de duch den Winke α gegebenen Lage ohne nfangsgeschwindigkeit osgeassen. In de vetikaen Lage schägt de Faden des Pendes gegen einen dünnen Stift S, u den sich dann die Masse i weiteen bewegt. a) Wie goß uß de usenkwinke α indestens sein, dait die Masse geade noch den Punkt C eeicht? b) Wie goß ist die Fadenkaft S in bhängigkeit von ϕ? c) Wie goß ist die Tangentiabescheunigung i Punkt? d) n weche Stee de ahn ist die Fadenkaft unstetig und wie goß ist de Spung S in de Fadenkaft? ( a) α = accos 1 5 ) b b) S(ϕ) = 3g(1 ( + cos ) ϕ) b d) S = 5g 1 11

12 ufgabe.8 H uf eine chtebahn fäht ein Wagen (Punktasse ) von it de nfangsgeschwindigkeit v o duch die skizziete ahn nach. Gundiß Wechen Übehöhungswinke α uß die Steikuve bei aufweisen, dait keine seitiche Fühungskaft auf den Wagen wikt? tanα = gh + v o g Schnitt - α ufgabe ϕ ϕ a Ein Massenpunkt (Masse ) geitet ohne Reibung auf de Obefäche eines Habzyindes (Radius ). Die ewegung beginnt bei ϕ o = 60 o it de nfangsgeschwindigkeit Nu. ei weche Winke ϕ 1 veäßt de Massenpunkt die Unteage und in weche bstand a vo Zyinde tifft e auf den oden? ϕ 1 = 35, 6 o ; a = 0,

13 ufgabe.10 µ p d h id 1 id p x id 1 zeigt den Faschenhas eine vekokten Sektfasche. Die eühfäche zwischen Fasche und Koken (Höhe h, Duchesse d) ist auh (Reibungskoeffizient µ). Zwischen Koken und Faschenhas wikt eine konstante Duckspannung σ D. Die Reibspannung τ R gehocht de eziehung τ R = µ σ D. I nfangszustand x = 0 (id 1) wid die Fasche geschüttet und es baut sich ein konstante Innenduck p auf, de so goß ist, daß de Koken geade anfängt, sich zu bewegen (id 1). Wähend de Koken heausgepeßt wid, beibt de Duck p konstant (id ). a) estien Sie die esutieende Reibungskaft R fü den in id skizzieten Zustand. b) estien Sie die Geschwindigkeit ẋ des Kokens in bhängigkeit von x. c) Mit weche Geschwindigkeit v h veäßt de Koken die Fasche? d) Weche Höhe x h eeicht de Koken bei anschießenden feien Fug? a) R = µπd(h x) σ D [ 1 c) v h = h 4 pπd 1 ] µσ Dπdh g d) x h = v h g + h ufgabe gatt h auh µ C I Punkt auf de skizzieten ahn (Höhe h) iegt ein Massenpunkt in Ruhe. E wid osgeassen und geitet ängs de gatten geküten ahn bis zu Punkt. Von ab ist die ahn hoizonta und auh. Wie goß uß de Reibungskoeffizient µ sein, wenn de Massenpunkt i Punkt C (Entfenung von ) iegen beiben so? µ = h 13

14 ufgabe.1 H µ C 0011 auh b ϕ gatt Ein Massenpunkt (Masse ) duchäuft aus de Ruheage heaus die aus eine auhen, schiefen Ebene (Reibungskoeffizient µ) it anschießende gatten Keisbogen bestehende ahn. a) Wie hoch uß seine Ruheage H sein, dait e geade den Scheite C de Keisbahn eeicht? b) Wie goß sind dann die Geschwindigkeit v(ϕ) und die Noakaft N(ϕ) in eine beiebigen Punkt de Keisbahn? c) Wo und unte weche Winke tifft de Massenpunkt nach Veassen de Keisbahn auf de schiefen Ebene auf? a) H = 1 b µ 3 µ b) N(ϕ) = 3g (1 + cosϕ) ufgabe.13 c C h µ eibungsfei α auh h Ein Köpe de Masse wid duch eine gespannte Fede fotgescheudet. In de gezeichneten Lage ist die Fede entspannt. a) Wie goß uß die Geschwindigkeit des Köpes i Punkt sein und unte weche Winke α uß e fotgescheudet weden, dait e geade tangentia in die obee Öffnung C tifft? b) Wie stak uß dann die Fede gespannt weden? c) Wie goß uß de Reibungskoeffizient de ahn sein, dait de Köpe auf de Rückweg genau in zu Stehen kot? a) α = 6, 57 o v = 1, 118 gh c) µ = 1, 5 14

15 3. ewegung eines Systes von Massenpunkten ufgabe C 1 estien Sie fü den abgebideten Seizug die escheunigung de Masse 1. Die Roen sind asseos ( 1 = = ). ẍ = 1 17 g 1 x 1 1 ufgabe 3. 1 x feien Ende eines in sta eingespannten asseosen ettes de Länge ist eine asseose Roe eibungsfei dehba geaget. Übe die Roe äuft ein asseoses dehnstaes Sei, an dessen Enden die Punktassen 1 und (Masse jeweis ) befestigt sind. Das Sei haftet an de Roe. Die auf de ett iegende Punktasse 1 geitet (Reibungskoeffizient µ). Eitten Sie die Lageeaktionen in in bhängigkeit von de Lage x de Punktasse 1. V = 1 (3 + µ) g M = g (x µ ) 15

16 ufgabe 3.3 v 0 µ M = 5 gatt uf eine Masse M, die sich eibungsfei auf de Unteage bewegen kann, utscht eine Masse it de Geschwindigkeit v o. De Reibungskoeffizient zwischen den beiden Massen sei µ. a) Nach weche Zeit T sind die Geschwindigkeiten von M und geich, und wie goß ist die geeinsae Geschwindigkeit v? b) Wechen Weg x M hat die Masse M bis zu Eeichen de geeinsaen Geschwindigkeit zuückgeegt? a) T = 5 6 v o µg, v = 1 6 v o b) x M = 5 7 v o µg ufgabe Zwei Köpe (Massen 1 und ) iegen auf eine Scheibe, die it konstante Winkegeschwindigkeit ω u eine vetikae chse otiet. Die beiden Köpe iegen i bstand 1 bzw. von de Dehachse und sind duch ein Sei vebunden, das übe eine Roe gefüht wid. ω 1 µ 0 Wie goß daf die Winkegeschwindigkeit ω höchstens sein, wenn die Köpe nicht utschen soen (Hafteibungskoeffizient µ o )? ω 1 + µ o g

17 ufgabe µ µ h Dei Massen 1, und 3 sind duch ein asseoses und undehnbaes Sei iteinande gekoppet. Das Syste wid aus de gezeichneten Ruheage osgeassen. a) Wie goß ist die escheunigung a? b) Wie goß sind die Seikäfte? c) Nach weche Zeit t und it weche Geschwindigkeit v eeicht die Masse 1 den oden? d) Übepüfen Sie die ufteffgeschwindigkeit it Hife des beitssatzes. a) a = 1 µ µ 3 3 g h c) t = a, v = ha ufgabe 3.6 4h 1 h gatt P uf eine gatten ahn können zwei Punktassen ( 1 =, = /) geiten. Die Massen weden aus de skizzieten usgangsage ohne nfangsgeschwindigkeit osgeassen und stoßen i Punkt P zusaen. a) Wie goß sind die Geschwindigkeiten beide Massen unitteba vo de Stoß und unitteba danach (Stoßzah e)? b) is zu weche Höhe h geitet die Masse 1 nach de Stoß? a) v 1 = ev 1 = e gh b) h = e h 17

18 ufgabe 3.7 α H h s Stahkugen fü die Hesteung von Kugeagen soen auf ihe Güte gepüft weden. Dazu äßt an die Kugen aus de Höhe H = 1 auf eine u α = 10 o geneigte, gatte Stahpatte faen. Nu die Kugen, deen Stoßzah e > 0, 7 ist, soen die Hüde übespingen können. Wie sind h und s zu wähen, wenn h die Scheitehöhe de Wufpaabe eine Kuge it e = 0, 7 ist? s = 0, 377 h = 0, 41 ufgabe 3.8 v 0 M Ein ett (Masse M) uht auf zwei asseosen Roen. uf de einen Ende des ettes iegt ein Kotz (Masse ). Gegen den Kotz stößt eine Punktasse (ebenfas Masse ) it de Geschwindigkeit v o ; de Stoß sei eastisch. a) Wie goß ist die Geschwindigkeit w von ett und Kotz, wenn de Kotz eativ zu ett zu Ruhe gekoen ist?(zwischen ett und Kotz hesche Reibung, µ ist gegeben.) b) Wie ange dauet de Rutschvogang? a) w = v o + M b) t = v o µg M + M 18

19 ufgabe c µ, µ v 0 M Eine Masse hat die Geschwindigkeit v o und stößt voeastisch it de Masse M zusaen. Daaufhin utscht M auf auhe ahn (Reibungskoeffizient µ und Haftungskoeffizient µ o ) auf die Fede it de Fedesteifigkeit c zu und dückt diese u die Stecke a zusaen. a) Wie goß sind die Geschwindigkeiten von und M unitteba nach de Stoß? b) U weche Stecke a wid die Fede zusaengedückt? c) Wid M von de Fede wiede nach echts bewegt? d) Wo beibt M schießich iegen? Gegeben: µ = 0, 1 ; µ o = 0, 15 ; c = Mg a) v = 1 1, 1 g, b) a = 0, ; M = 3; v o = 1, 1 g ufgabe 3.10 Eine Rakete steigt it kontinuieiche usstoß senkecht nach oben. Die Gesatasse bei Stat (Rakete + Teibstoff) sei o. Po Zeiteinheit wid die Masse µ it de Geschwindigkeit w eativ zu Rakete ausgestoßen (µ und w konstant). Eitten Sie die Geschwindigkeit v(t) und die Steighöhe z(t) unte Venachässigung de Reibung und de nnahe g = g o = const.. eechnen Sie fü fogende Zahenwete die Geschwindigkeit und die Höhe de Rakete bei ennschuß: M Rak = 7000 kg ; M T = kg ; t enn = 160 s; w = 0 /s v(t) = w n o o µt gt, v(t = 160 s) = 40 /s ufgabe 3.11 α Ein Tankwagen (Leegewicht L g, Fügewicht F g) steht auf eibungsfei geageten Räden an eine Hang (Neigungswinke α). us eine Venti bei wid Füssigkeit it konstante Geschwindigkeit w ausgestoßen. 19 a) estien Sie fü einen konstanten Massenausstoß µ die Geschwindigkeit v(t) it de sich de Tankwagen bewegt. b) Wie goßußde Massenausstoß indestens sein, dait de Tankwagen ausschießich begauf fäht? a) v(t) = gt sin α w n L + F µ t L + F b) µ in > L + F g sin α w

20 ufgabe 3.1 Zwei Jungen ( 1 = 70 kg, = 50 kg) stehen a Heck eines uhenden ootes (M = 00 kg). Zunächst äuft de este Junge zu ug des ootes und spingt it eine Geschwindigkeit von v o = 3 /s eativ zu oot ins Wasse. Dann äuft de zweite Junge zu ug und spingt ebenfas it eine Geschwindigkeit von v o = 3 /s eativ zu oot ins Wasse. Das oot geite eibungsfei i Wasse. a) Wie goß ist die Geschwindigkeit v des ootes nach de bspung des zweiten Jungen? b) Wie ändet sich die Geschwindigkeit ṽ des ootes, wenn die beiden Jungen geichzeitig zu ug aufen und geichzeitig it eine bspunggeschwindigkeit von v o = 3 /s eativ zu oot ins Wasse spingen? a) v = ( 1 + ) M ( + M)( M) v o b) ṽ = M v o ufgabe 3.13 M Ein uhendes oot (Masse M, Länge ), auf dessen Heck ein Mann (Masse ) steht, beüht it seine ug einen ootssteg. Nun geht de Mann it konstante Geschwindigkeit w eativ zu oot zu dessen ug, wobei das oot i Wasse eibungsfei geiten kann. ei Eeichen des ugs vesucht e auf den Steg zu spingen. α s a) Weche Geschwindigkeit v hat das oot, wähend de Mann zu ug geht? b) U weche Stecke s bewegt sich das oot dabei duch das Wasse (bis zu nkunft des Mannes a ug)? c) Mit weche Geschwindigkeit v M (eativ zu Wasse) uß de Mann indestens vo oot spingen, dait e den Steg eeicht? De bspung efoge unte de vogegebenen Winke α zu Hoizontaen. d) Wie goß ist die Geschwindigkeit v des ootes nach de bspung? e) Wievie beit uß de Mann indestens eisten, u vo Heck des ootes auf den Steg zu geangen? Es so angenoen weden, daß das oot sich nu hoizonta i Wasse bewegen kann. a) v = + M w, b) s = + M, d) v = M cosα g sin α + M 0

21 4. Kineatik des staen Köpes ufgabe 4.1 R ϕ ϕ estien Sie fü den skizzieten Seizug die Geschwindigkeiten bzw. Winkegeschwindigkeiten de Roen und 3, wenn die Roe 1 sich it konstante Winkegeschwindigkeit ϕ 1 deht. ϕ = 1 + R ϕ 1 3 ufgabe 4. O ϕ Die ewegung de Roe in eine hoizontaen Nut wid duch den O gesteuet, de u die Vetikae die ewegung ϕ = (π/4) cos ωt ausfüht. n de Roe ist ein Hebe konstante Länge geenkig befestigt, dessen Endpunkt in eine vetikaen Schiene geiten kann. a) Wie goß ist die escheunigung a (ϕ) des Punktes? b) Wie goß ist die Geschwindigkeit v (t) des Punktes? a) a (ϕ) = ω ϕ sin ϕ + cos ϕ cos 3 ϕ ( π 16 ϕ ) ω b) v (t) = tanϕ 1 tan ϕ ϕ cos ϕ 1

22 ufgabe 4.3 ω 1, ω 1 Z ω S P R Z S I Lage sind eine Stange S und ein Zahnad Z 1 dehba geaget. Das Zahnad deht sich it ω 1 const., die Stange it ω S = const.. Das Zahnad Z 1 ist it eine zweiten Zahnad Z, weches i Punkt de Stange geaget ist, i Eingiff. Gesucht sind fü die skizziete Steung die Geschwindigkeit und die escheunigung des Punktes P. a P = [ω S (R + ) + R ω 1] e x [ ] R + R ω S + ω 1 e y ufgabe 4.4 P C D ω K ω S K P 1 E S I skizzieten Panetengetiebe dehen sich das Käfigad K (Radius ) it de Winkegeschwindigkeit ω K und das Sonnenad S (Radius ) it de Winkegeschwindigkeit ω S u ihe geeinsae Dehachse D. Die Panetenäde P 1, P und P 3 sind so angeodnet, daß ihe Mittepunkte, und C auf den Ecken eines geichseitigen Deiecks iegen. Wie goß sind: P 3 a) de bstand d M des Moentanpos des Panetenades P 1 vo Rand des Käfigades K, b) die Winkegeschwindigkeit ω P des Panetenades P 1, c) die Winkegeschwindigkeit ω D des geichseitigen Deiecks C, d) de etag de escheunigung a E fü den Punkt E des Panetenades P 1? a) d M = 1 + ω b) ω S p = ω K + ω S ω K c) ω D = 1 3 (ω K ω S ) d) a E = 6 [(ω K ω S ) + 3(ω K + ω S ) ]

23 ufgabe 4.5 y ϕ x ϕ E De skizziete Robotea wid duch zwei voneinande unabhängige Motoen in den Geenken bewegt. Die Winke ϕ 1 und ϕ sind vogegebene Funktionen de Zeit: ϕ 1 (t), ϕ (t). a) Geben Sie die ahn x(t), y(t) des Endpunktes E i eingezeichneten aufesten x, y Koodinatensyste an. b) eechnen Sie die Geschwindigkeit v(t) des Punktes E. Wie goß ist v in de Moent, da de gesteckt ist? c) Seien nun ϕ 1 (t) = ω 1 t, ϕ (t) = ω t, wobei ω 1 und ω konstant sind. estien Sie das Vehätnis ω 1 /ω so, daß sich E ängs eine Geaden bewegt. Geben Sie die Geichung de Geaden an. a) x(t) = [sin ϕ 1 (t) + sin(ϕ (t) ϕ 1 (t))], c) ω 1 ω = 1 ufgabe 4.6 In de aßstäbich dagesteten ebenen Getiebe ist die stae Stange C duch die veschiebbaen Muffen M 1 und M gefüht. In de skizzieten Lage hat die Muffe M 1 die Geschwindigkeit v 1 und die escheunigung a 1. estien Sie etag und Richtung de Geschwindigkeit des Punktes C sowie Winkegeschwindigkeit und Winkebescheunigung de Stange C. C v C = v 1 ω = v 1 ω = a 1 v 1, a 1 M 30 M 1 3

24 ufgabe 4.7 O ϕ ω Das dagestete Getiebe besteht aus staen Das dagestete Getiebe besteht aus staen Stäben, die i Punkt biegesteif, in, C und D geenkig iteinande vebunden sind. Die Stange DE ist waagecht gefüht. Die Stange CG ist in F waagecht veschiebich und dehba geaget. Die Kube O deht sich u O it konstante Winkegeschwindigkeit ω. estien Sie die Geschwindigkeiten de Punkte D und G in de gezeichneten Steung (ϕ = 45 o ). (Gaphische Lösung it de Maßstab a ω = ) Gegeben: O = = C = D = CF = a; FG = a v G = 0, 8 a ω D C F E G 4

25 ufgabe 4.8 ei eine Doppekubetieb sind die Geenke und C duch eine hoizonta gefühte Stange ve- bunden. Die Kube O deht sich it de Winkegeschwindigkeit Ω = 10 s 1. estien Sie fü den Winke ϕ = 30 o : a) die Geschwindigkeiten de Punkte,, C und D nach Göße und Richtung, b) die Winkegeschwindigkeit ω de Kube OD. (Gaphische Lösung it Hife de Moentanzenten zweckäßig.) bessungen: O = c ; C =, 5 c ; = 5, c ; CD = 4 c ; OD =, 9 c a) v = 0 c/s v = v C = 13, 3 c/s v D = 10, 5 c/s b) ω = 3, 6 s 1 D ω Ω O ϕ C

26 ufgabe 4.9 G F E D De skizziete aggea sei in den Punkten und befestigt. De Hubzyinde CD wid it de konstanten Geschwindigkeit v ausgefahen. C estien Sie in de gezeichneten Lage: a) die Geschwindigkeit des aggezahns G. Maßstab: v = b) die escheunigung des Punktes D. v Maßstab : CD = a) v G = 4, 9 v 6

27 ufgabe 4.10 De Stab des skizzieten Getiebes deht sich it konstante Winkegeschwindigkeit ω u. estien Sie fü die dagestete Lage: a) zeichneisch die Moentanpoe Π C, Π EF, Π FC de Stäbe C, EF und FC, b) die Geschwindigkeiten v, v C de Punkte, C und tagen Sie diese in den Geschwindigkeitspan ein, c) die Winkegeschwindigkeiten ω C und ω CD de Stäbe C und CD, d) die escheunigung a C des Punktes C und egänzen Sie den escheunigungspan. Gegeben: = 3, C = EF = CF = 4, CD = DE = 8. Längenaßstab: = Geschwindigkeitsaßstab: ω = escheunigungsaßstab: ω = b) v = 3 ω, v C = 4 ω ; c) ω C = 3 5 ω, ω CD = 1 ω ; d) a C = ω Geschwindigkeitspan escheunigungspan D ω E C F a 7

28 5. Kinetik des staen Köpes ufgabe 5.1 z R z = x /R x y Gegeben sei ein Köpe it hoogene Massenveteiung, de von eine otieenden Paabefäche gebidet wid. Gesucht ist das Massentägheitsoent bezügich de z chse. Θ z = 1 3 R ufgabe usgangsage Eine zyindische Waze (Masse, Radius ) ot an eine asseosen Faden ab (nfangsgeschwindigkeit ẋ S (0) = 0). a) estien Sie die Geschwindigkeit des Schwepunktes de Waze in bhängigkeit von de Höhe x S. S x b) estien Sie die escheunigung des Schwepunktes de Waze. a) ẋ S = 4 3 g x S b) ẍ S = 3 g ufgabe Rand eine hoogenen Keisscheibe ϕ (Masse, Radius ) ist eine Punktasse (Masse 1 = ) angebacht. Zu Zeit t = 0 ehät de Köpe in de gezeichneten Lage die M Winkegeschwindigkeit ϕ o und beginnt auf de Ebene zu oen. estien Sie die Geschwindigkeit v M des Scheibenittepunktes M in bhängigkeit von ϕ. v M = 11 4 ϕ o + g (1 cosϕ) cosϕ

29 ufgabe 5.4 /4 ϕ Ein dünne hoogene aken (Länge, Masse ) ist in fei dehba geaget und wid duch ein Sei in hoizontae Lage gehaten. a) Wie goß sind die Winkegeschwindigkeit ϕ und die Winkebescheunigung ϕ nach de Duchschneiden des Seies in bhängigkeit von ϕ? b) Wie goß sind die Lageeaktionen fü ϕ = 0 und fü ϕ = π/? 4 g a) ϕ = 7 sin ϕ ϕ = 1 g 7 cosϕ b) ϕ = 0 : H = 0, V = 4 7 g ufgabe 5.5 M 0 x Ein Fahzeug, veeinfacht dagestet duch zwei hoogene zyindische Wazen, die duch einen aken (Masse o ) vebunden sind, ot auf eine hoizontaen ahn infoge eines Moents M, das von de Moto auf die hintee Waze abgegeben wid. estien Sie: a) die escheunigung ẍ des Fahzeugs, b) die Käfte in den Radagen und. a) ẍ = M (3 + o ) ufgabe S Θ S, M Eine Roe 1 (Masse M, Massentägheitsoent Θ S ) ist duch einen Faden übe Uenkoen (venachässigbae Massentägheitsoente) it de Köpe (Masse ) vebunden. Die Roe 1 fät i Edschweefed, wobei de Faden abgewicket wid. Wie goß sind die Winkebescheunigung und die Schwepunktsbescheunigung de Roe? Mg ϕ = Θ S ( + M) + M ẍ S = g Θ S(M ) + M Θ S (M + ) + M 9

30 ufgabe S Θ S = 1 3 S S 1 Zwei Punktassen (Massen 1 und ) und eine hoogene Roe (Masse 3, Radius, Massentägheitsoent Θ S = 1 3 ) sind, wie skizziet, übe zwei dehnstae, asseose Seie vebunden (das Sei S ist auf de Roe aufgewicket und kann aboen). estien Sie die escheunigung de Masse ẍ 1 = g ufgabe 5.8 Θ M R 1, Θ 1 ufgabe 5.9 M 0,, Θ 1, 1, Θ 1 3 x De Köpe 3 (Gewicht M g) ist it eine asseosen Sei übe die Uenkoe (Massentägheitsoent Θ, Radius ) it de Schwepunkt de Roe 1 (Gewicht g, Massentägheitsoent Θ 1, Radius R) vebunden. uf de Roe 1 ist ein asseoses Sei aufgewicket, das an de Decke befestigt ist. Die Gewichte sind so gewäht, daß sich de Köpe 3 nach unten bewegt. Wie goß ist die escheunigung des Köpes 3? ẍ 3 = g M M + + Θ + Θ 1 R Mit de skizzieten Syste wid das Gewicht G 3 (Masse 3 ) nach oben gezogen. Die Roen 1 und sind eibungsfei geaget; die Uenkoe ist asseos. Das konstante ntiebsoent M o geift an de Wee 1 an; zwischen beiden Roen besteht Haftung. Gegeben: M o, 1,, 3, 1,, Θ 1, Θ. Gesucht: a) die escheunigung ẍ des Gewichts G 3 nach oben; b) die ufagekaft in. a) ẍ = Θ 1 1 M o 1 3 g + Θ + 3 b) = g M o + Θ 1 ẍ

31 ufgabe 5.10 x Θ 1 M 0, Θ R Das Sei eines Kans wid auf zwei iteinande fest vebundenen Seitoen (Radien, R; Gesatassentägheitsoent Θ 1 ) aufgewicket. Sei hängt übe eine dehbae Roe (Radius 1 (R ), Masse, Massentägheitsoent Θ ) eine Masse. a) Wie goß ist die escheunignung ẍ de Masse, wenn auf die Toe das konstante ntiebsoent M o wikt? b) Wie goß uß M o sein, dait sich die Masse nach oben bewegt? a) ẍ = M o (R + ) g 1 + Θ 1 + Θ (R + ) b) M o > g (R + ) ufgabe 5.11 g µ 1 Θ 1, Θ 1 ω 0 C Ein aken ( Masse, Länge ) ist in geenkig geaget. In ist eine Roe 1 ( Radius 1, Masse, Massentägheitsoent Θ 1 ) dehba geaget. Sie otiet it eine nfangswinkegeschwindigkeit ω 0. Zu Zeit t = 0 wid die Roe 1 auf die uhende Roe ( Radius Massentägheitsoent Θ ) aufgesetzt. eide Roen haben auhe Obefächen ( Reibungskoeffizient µ ), so daß duch Rutschen die Roe 1 abgebest und die Roe in ewegung gesetzt wid. a) Wie goß sind die Lagekäfte in? b) Nach weche Zeit t oen die beiden Roen aufeinande ab ( kein Rutschen )? a) x = 3 µg y = 1 g b) t = 1 ω 0 Θ 1 Θ 3µg(Θ 1 + Θ 1 ) 31

32 ufgabe , 1, Θ 1 S 1 S W R ,, Θ Zwei Wazen 1 und sind auf eine geeinsaen chse geaget. Sie können sich unabhängig voneinande dehen. Die Waze 1 ot auf eine hoizontaen Ebene und ist übe ein Sei S 1 it de Köpe 3 vebunden. Das u die Waze geschungene Sei S ist an de Wand W befestigt. estien Sie: a) die Geschwindigkeit und die escheunigung de geeinsaen chse. b) die Seikaft S 1. a) ẍ = g b) S 1 = 3 g Θ 1 R + Θ Θ 1 R + Θ Θ 1 R + Θ ufgabe , Θ 1 x 0 1 1, Θ 0 = 1 = = 3 estien Sie fü das skizziete Roensyste (Stufenoe 1 und hoogene, zyindische Waze ) die Schwepunktsbescheunigung ẍ. Fü weches Massenvehätnis / 1 bewegt sich die Roe nach unten? ( 1 ) ẍ = g 4Θ > 1 3

33 ufgabe R α µ uf de auhen schiefen Ebene (Neigungswinke α, Reibungskoeffizient µ) ot die hoogene Toe 1 (Masse 3, Massentägheitsoent Θ S = 6 ) und de Kotz (Masse ) utscht. eide Köpe sind duch ein Sei vebunden, das auf die Toe aufgewicket wid. a) Steen Sie die ewegungsgeichungen auf. b) Fü wechen Reibungskoeffizient µ ist die ewegung geichföig? 3R sin α + (sin α µ cosα) (R + ) a) ϕ = g 5R + 4R + 8 [ ] b) µ 3R = 1 + tanα (R + ) ufgabe 5.15 W R 01 µ 01 K Übe eine Stufenwaze W (Gewicht G W = Mg, Massentägheitsoent Θ ) ist ein Sei geschungen, an de ein Köpe K (Gewicht G K = g) hängt. Die Waze ist in geaget und kann gegenübe de auhen Unteage (Reibungskoeffizient µ) utschen. a) Wie goß ist die escheunigung des Köpes K? b) Wie goß ist die Lagekaft in? c) Wie goß daf µ sein, dait sich das Syste bewegt? ( 1 µ ) Mµ R R a) ẍ = g ( 1 µ R ) + Θ R b) = µ(mg + g ẍ) c) u < R + M 33

34 ufgabe 5.16 S 3 R Θ S 3 ufgabe 5.17 F S µ 01 α Θ ϕ 1 1 µ x 3 ϕ ufgabe 5.18 Ruhezustand de ese c c gatt h etiebszustand de ese µ M 0 0 ϕ 3 Θ 1 1 Zwei Köpe 1 und 3 (Massen 1 und 3 ) sind duch Seie (venachässigbae Masse) it de Stufenoe (Massentägheitsoent Θ S ) vebunden. Das Sei S 1 ist auf de goßen Rad (Radius R) de Stufenoe und das Sei S 3 auf de keinen Rad (Radius ) de Stufenoe aufgewicket. Die Stufenoe wid duch das Gewicht von 3 angetieben, sodaß de Köpe 1 auf de auhen schiefen Ebene (Neigungswinke α) hochgezogen wid. Wie goß ist die escheunigung des Köpes 1? ẍ 1 = g 3R 1 R (sin α + µ cosα) 1 R Θ S Ein Köpe 3 (Masse 3 ) hängt, übe ein Sei vebunden, an eine Zahnad 1 (Radius 1, Massentägheitsoent Θ 1 ), das auf de Innenvezahnung des Hohades (Radius, Massentägheitsoent Θ ) abot. Das Hohad wid duch einen eskotz abgebest, de it eine Kaft F gegen das Hohad gedückt wid (Reibungskoeffizient µ). Wie goß ist die escheunigung ẍ 3 des Köpes 3? ẍ 3 = 3g µf Θ Θ + 3 Wie goß ist die Winkegeschwindigkeit ω(ϕ) bei de feien Rückdehung eine Teefonwähscheibe? De Mechanisus funktioniet fogendeaßen: Eine vogespannte Spiafede sogt fü ein konstantes Rückdehoent M o. Die Fiehkaftbese wikt nach fogende Schea: I Ruhezustand iegen die Schwepunkte de zwei esassen (Masse ) auf de Radius o, die Luftspate haben die Weite h, die Feden (Fedesteifigkeit c) sind entspannt. I etiebszustand (d.h. bei Rückdehung de Wähscheibe) eiben die beiden Massen (Reibungskoeffizient µ) auf de esfäche (Radius ). ω(ϕ) = ( Mo µ + ch ) ( 1 e µϕ) 34

35 ufgabe 5.19 M x Θ 0011 x P x a Ein schwees Sei (Masse M) wid auf eine in eibungsfei dehba geagete Roe (Massentägheitsoent Θ, Radius ) so geegt, daß zwischen den beiden Seienden de Höhenunteschied x besteht. Das Syste setzt sich it den nfangsbedingungen ẋ(0) = 0, x(0) = x in ewegung. a) Steen Sie fü die este ewegungsphase (x a) die ewegungsdiffeentiageichung des Punktes P auf. b) Wie goß ist die Geschwindigkeit des Punktes P an de Stee x = a?c) estien Sie die Funktion x(t) fü die ewegung des Punktes P. ufgabe 5.0 v 0 x µ v 1 S gatt ϕ, ϕ g Θ gatt dx Hinweis: x b = acosh x b g M a) ẍ = (π + a)(θ + M) x = K x b) ẋ(a) = K(a x ) c) x(t) = x cosh( Kt) Ein hoogene dünne Stab (Länge, Masse ) utscht zunächst auf eine gatten hoizontaen ahn it de nfangsgeschwindigkeit ẋ(0) = v o auf eine stistehende, auhe Tanspotwaze (Radius, Massentägheitsoent Θ, Reibungskoeffizient µ). Dann utscht de Stab auf de Waze; dabei iegt e auf de Waze und it seine hinteen Punkt auf de ahn auf. nschießend ot de Stab auf de Waze ab. a) Geben Sie den Dehipus L () des Gesatsystes (Waze und Stab) as Funktion von ẋ und ϕ an. b) estien Sie die ufagekaft in in bhängigkeit von x. c) estien Sie das Moent M () ae äußeen auf das Gesatsyste (Waze und Stab) wikenden Käfte. d) Wie goß ist die Geschwindigkeit v 1, it de de Stab die Waze veäßt? e) Wie goß ist de duch die Reibung entstandene Veust an echanische Enegie E? a) L () = ẋ + Θ ϕ, b) = g 1 Θ 1 + Θ v o 35 x x, d) v 1 = Θ v o, e) E =

36 ufgabe 5.1 α v 0 ω 0 Ein hoogene Stab (Masse, Länge ) stößt gegen eine gatte Wand (Stoßzah e). Unitteba vo de ufteffen hat de Stab die Schwepunktsgeschwindigkeit v o, die Winkegeschwindigkeit ω o und den Neigungswinke α zu Wand. a) Wie goß sind die Schwepunktsgeschwindigkeit und die Winkegeschwindigkeit des Stabes unitteba nach de Stoß? b) Fü weche Schwepunktsgeschwindigkeit v o ist die Winkegeschwindigkeit nach de Stoß Nu? a) ω = (1 3 e cos α)ω o cos α(1 + e) v o cos α 1 b) v o = 3 e cos α (1 + e) cosα ω o ufgabe 5. y b P a v 0 α S x ω 0 Ein Fahzeug (Masse, Massentägheitsoent Θ S ) kot auf gatte Fahbahn ins Scheuden und stößt it de Punkt P gegen die Leitpanke. De Stoß sei senkecht zu Leitpanke vopastisch, in Richtung de Leitpanke tete keine Stoßkaft auf (Leitpanke gatt). Vo de Stoß habe das uto die Geschwindigkeit v o (unte de Winke α gegen die x chse) und die Winkegeschwindigkeit ω o. Gesucht sind die Geschwindigkeitskoponenten und die Winkegeschwindigkeit ω nach de Stoß. ω = Θ Sω o bv o sin α Θ S + b v x = v o cosα 36

37 ufgabe 5.3 M Ein asseoses Sei ist ehas u eine fei dehba geagete Waze (Masse M, Radius ) geschungen. n seine Ende ist ein Kotz (Masse ) befestigt. Das Sei stafft sich, wenn de Kotz u die Höhe H gefaen ist. ei diese Stoß so kein Enegieveust aufteten. H a) Wie goß ist die Winkegeschwindigkeit ϕ 1 de Waze und die Geschwindigkeit v 1 des Kotzes nach de Stoß? b) Wie goß uß das Massenvehätnis M/ indestens sein, dait sich de Kotz nach de Stoß nach oben bewegt? gh 4 a) ϕ 1 = + M v 1 = gh M + M M b) > ufgabe 5.4 a a/ a/ P 1 S x y h Ein Pende besteht aus eine hoogenen, quadatischen Scheibe (Seitenänge a, Masse, Massentägheitsoent Θ S = a /6) und zwei staen asseosen Stäben. Es wid aus de Höhe h osgeassen und stößt i Punkt P gegen eine stae Wand. De Stoß sei idea eastisch. eechnen Sie die Kaftstöße an de Stoßstee P, i Lage und in den Stäben 1 und. Â x = 9 a gh Θ, Â y = 0 a Ŝ 1 = S = 5 Âx 37

38 ufgabe 5.5 Daufsicht 0 S 1 S b ϕ c S Die abgebidete Tü (Masse, eite b, Dicke b) wid so heftig geöffnet, daß sie it de Winkegeschwindigkeit ϕ gegen die i bstand c von de Dehachse angebachten Stoppe stößt (Stoßzah e). a) Wie goß ist die Stoßkaft Â, die in den ngen wikt? b) Wie uß c gewäht weden, dait  Nu wid? a)  = b 6c b) c = b 3 (1 + e) (b 3c) ϕ ufgabe ϕ v 0 Eine dünne hoogene Stange (Masse, Länge ) ist in ihe obeen Ende in eine ozen venachässigbae Masse, de eibungsfei hoizonta gefüht wid, fei dehba geaget. Die Stange bewegt sich in otechte Lage it de konstanten Geschwindigkeit v o, bis de ozen gegen einen nschag stößt (Stoßzah e). a) estien Sie die Geschwindigkeit in unitteba nach de Stoß. b) Wie goß sind die Geschwindigkeit des Schwepunktes und die Winkegeschwindigkeit de Stange unitteba nach de Stoß? c) eechnen Sie fü e = 1 und v o = 4 3 g den axiaen usschagwinke ϕ ax de Stange nach de Stoß. a) v = e v o v o b) ω = 3 (1 + e) 4 c) ϕ ax = 60 o 38

39 ufgabe 5.7 y x Eine Punktasse (Masse 1 ) vebindet sich i pastischen Stoß it eine hoogenen dünnen Stab (Länge, Masse ). Vo de Stoß befindet sich de Stab in Ruhe, und die Punktasse hat die Geschwindigkeit v 1 = (v 1x, v 1y ). a) Wie goß sind die Geschwindig- 1 v 1 keitskoponenten v x und v y des Stabschwepunktes, sowie die Winkegeschwindigkeit ω des Stabes unitteba nach de Stoß? b) eechnen Sie den Veust E K an kinetische Enegie des Systes. a)v x = v 1x, ω = 6 1 (4 1 + ) v 1x b) E K = 1 ( 1 + ) v 1y + 1 (4 1 + ) v 1x ufgabe 5.8 a h e e Eine Hante, bestehend aus zwei Punktassen = = und eine Vebindungsstange (Masse, Länge a), wid aus de Höhe h osgeassen. Die Hante tifft it den beiden Massen geichzeitig auf eine gatte Unteage, die aus zwei veschiedenen Mateiaien besteht (Stoßzah e bzw. e ). estien Sie: a) die Geschwindigkeit ẋ S des Schwepunktes, sowie die Winkegeschwindigkeit ϕ de Hante nach de Stoß, b) die Stoßkäfte, die an den Punktassen angeifen. a) ẋ S = 1 ẋs (e + e ), ϕ = ẋs a (e e ) b) F = 1 ẋ S( e e ) 39

40 ufgabe , M P v 0 0 4, M 3 uf eine gatten hoizontaen Unteage iegt ein Keuz das in O dehba geaget ist. Jede Schenke hat die Länge 4 und die Masse M. Eine Scheibe it de Radius und de Masse stößt in de Lage 1 i Punkt P it de Geschwindigkeit v o gegen das Keuz. Die Stoßzah sei e. a) Wie goß sind die Winkegeschwindigkeit des Keuzes und die Schwepunktsgeschwindigkeit de Scheibe nach de Stoß? a) ϕ 1 = d) e = 1 3(1 + e) 9 + Θ v o b) M = 9 64eπ [3π 4(1 + e)] c) ϕ = b) Fü weches Massenvehätnis M/ kot es in de Lage eneut zu Stoß? c) Wie goß sind die Winkegeschwindigkeit des Keuzes und die Schwepunktsgeschwindigkeit de Scheibe nach de zweiten Stoß (Die Stoßzah ist wiede e)? d) Wie goß uß die Stoßzah e sein, dait das Keuz nach de zweiten Stoß in Ruhe beibt? 3 Θ + 9 (1 + e)(1 e)v o ufgabe 5.30 a v S ω Ein hoogene, dünne Stab de Masse stößt pastisch auf eine uhende Punktasse 3. Unitteba vo de Stoß fät de Moentanpo Π des Stabes it de inken Stabende zusaen, und die Winkegeschwindigkeit des Stabes ist ω. Π x 3 a 3 4 y a) Man eitte die Winkegeschwindigkeit ω des Stabes und die Lage des Moentanpoes Π unitteba nach de Stoß. b) Wievie Enegie veiet das Syste bei Stoß? a) ω = 5 ω b) E = 7 00 a ω 40

41 ufgabe 5.31 Seitenansicht Daufsicht gatt µ C α h Ein Massenpunkt (Masse ) utscht aus de Höhe h auf de ahn C heab. Die ahn ist i eeich geade und auh (Länge, Reibungskoeffizient µ) und ab gatt. I Punkt C stößt de Massenpunkt (Stoßzah e) hoizonta auf eine Nase de in D eibungsfei geageten Scheibe (Massentägheitsoent Θ D ). a) Wie goß ist die Winkegeschwindigkeit ω de Scheibe unitteba nach de Stoß? a C b) Wie goß ist die Stoßkaft F i Punkt C? D a) ω = a (1 + e) Θ D + a g(h µ cosα) b) F = Θ D a ω ufgabe 5.3 y z x M v 0 a Ein stae Roto (Massentägheitsoent Θ x, Masse M) ist in x Richtung eibungsfei veschiebich geaget und deht sich it de konstanten Winkegeschwindigkeit ω o u die x chse. Eine Punktasse tifft it de Geschwindigkeit v o i bstand a senkecht auf den dehenden Roto und beibt dain stecken. Wie goß sind die Winkegeschwindigkeit ω und die Geschwindigkeit v x des Rotos nach de Stoß? Θ x ω = Θ x + a ω o v x = + M v o ufgabe 5.33 ω 0 S α 0 P K 1 v 0 Ein hoizonta anfiegende a (Radius, Masse, Massentägheitsoent Θ S, Geschwindigkeit v o, Winkegeschwindigkeit ω o ) stößt (Stoßzah e) i Punkt P gegen die auhe Kante K eine Wand. Es wid angenoen, daß de a wähend des Stoßes in K haftet. Wie goß uß bei gegebene Winke α die nfuggeschwindigkeit v o sein, dait de a nach de Stoß vetika nach oben abpat? Θ S sin α v o = ω o (Θ S + ) e cos α sin α 41

42 ufgabe 5.34 v 0 α Ein it de konstanten Geschwindigkeit v o auf eine Ebene oende dünne hoogene Keising (Masse, Radius ) stößt gegen eine schiefe Ebene. De Keising so wähend des Stoßes haften und danach weite oen. a) Wie goß ist die Schwepunktsgeschwindigkeit v des Keisings unitteba nach de Stoß? ufgabe 5.35 g x c h α b) is zu weche Höhe h ot de Keising die schiefe Ebene hinauf? a) v = v o (1 + cosα) b) h = v o (1 + cos α) 4g Ein hoogene dünne Keising (Radius, Masse ) ot aus de Ruheage (Höhe h) ohne zu geiten entang de ahn hinab, die i Punkt in eine hoizontae Ebene übegeht. In C stößt de Ring gegen eine schiefe Ebene (Neigungswinke α) und ot nun, ebenfas ohne zu geiten, die Ebene hinauf. a) estien Sie die Schwepunktsgeschwindigkeit v S sowie die Winkegeschwindigkeit ω des Rings unitteba vo de Stoß in C. b) estien Sie unte de nnahe, daß de Ring an de geneigten Ebene abot ohne zuückzupaen, seine Schwepunktsgeschwindigkeit v S und seine Winkegeschwindigkeit ω unitteba nach de Stoß in C. c) Wechen Weg x egt de Ring auf de geneigten Ebene bis zu Ukehpunkt seine ewegung zuück? a) v S = g(h ), b) ω = 1 + cosα g(h ), c) x = (1 + cosα) (h ) 4 sin α ufgabe 5.36 S, Θ S a v 1 1 α Eine Kuge (Masse 1 ) stößt it de Geschwindigkeit v 1 gegen einen uhenden Kege (Masse, Massentägheitsoent Θ S bezügich des Schwepunktes, bstand a, Steigungswinke α des Keges). Kuge, Kege und oden sind idea gatt. De Stoß sei idea eastisch. Wie goß sind die Schwepunktsgeschwindigkeit und die kinetische Enegie des Keges nach de Stoß? v = 1 cosαv cos α + 1 a Θ S 4

43 ufgabe α 3 1 Ein dünne hoogene Stab (Länge, Masse ) it den zwei Punktassen 1 und (Massen bzw. ) an den Enden ist in de Mitte it de Wee 3 sta vebunden. Die Wee 3 otiet it de konstanten Winkegeschwindigkeit ω o. Wie goß sind die Lagekäfte in den Lagen und? L L = ω sin α ( 11 6 L cosα 1 ) ufgabe x 0 1 ϕ x Θ S = 4 x x Die vie Massen sind it asseosen Seien iteinande vebunden. Steen Sie die ewegungsgeichungen auf. ( )ẍ 1 + ( 3 ) ϕ = g ( ) ( 3 ) ẍ 1 ( ) ϕ = g ( 3 ) ufgabe M 0 R 1 Θ S α Θ S πr R Ein Födeband (Gesatasse ) ist u zwei Wazen (jeweis Radius R und Massentägheitsoent Θ S ) geschungen. Die untee Waze wid duch ein Moent M o angetieben. Eine hoogene zyindische Waze 1 (Radius 1, Masse 1 ) so so auf de Födeband oen, daß ih Schwepunkt in Ruhe beibt. estien Sie: a) die efodeiche escheunigung des Födebandes, b) das efodeiche ntiebsoent M o. a) ẍ = g sin α b) M o = (4 Θ S R )Rg sin α 43

44 ufgabe 5.40 Θ 1 1 ẍ Θ R R Θ α = 30 R M 3 Eine Stufenoe 1 (Masse 1, Gesatassentägheitsoent Θ 1, Radien und (+R)) ot auf eine schiefen Ebene (α = 30 o ) und ist it eine dehnstaen, asseosen Sei übe die in eibungsfei dehba geagete Roe (Θ, R) it de Roe 3 (, Θ, R) vebunden. Übe die Roe 3 ist ein weitees Sei gefüht, das eineseits bei befestigt ist und an dessen andee Ende die Masse M hängt. a) estien Sie die escheunigung ẍ 1 des Schwepunktes de Roe 1. b) Wie goß uß die Masse M sein, dait das Syste in Ruhe ist? a) ẍ 1 = g(r + )[R + MR 1 (R + )] 1 (R + ) + Θ 1 + Θ + R + 4MR b) M = 1 4 1(1 + R ) 1 ufgabe M 0 0 Das innee Zahnad (Massentägheitsoent Θ o, Radius o ), das duch ein konstantes ntiebsoent M o angetieben wid, ist übe dei keine Zahnäde (Massentägheitsoent jeweis Θ 1, Radius 1 ) it de Zahnkanz de Seitoe (Tägheitsoent Θ, ußenadius ) vebunden. Übe die Seitoe ist ein Sei geschungen, an dessen Ende die Masse hängt. estien Sie it de Pinzip von d ebet die escheunigung de Masse. ẍ = + ( o + 1 ) o + 1 Θ o o M o o g + 3 ( o + 1 ) Θ Θ 44

45 6. Schwingungen ufgabe 6.1 c F 01 0 M Die gezeichnete nodnung besteht aus de Masse M, die duch eine Fede (Fedesteifigkeit c) gefesset ist und aus de Masse, die sich fei bewegen kann. Fü t < 0 wid duch die Kaft F o an M gedückt. Zu Zeit t = 0 wid die Kaft F o pötzich zu Nu. a) estien Sie die Geschwindigkeit v it de sich die Masse nach de bösen von M bewegt. b) Mit weche Fequenz und it weche pitude schwingt die Masse M nach de bösen? a) v = F o c (M + ) b) f = 1 c π M ufgabe c, 3 M Ein stae aken (Masse, Länge ), de in geenkig geaget und in fedend (Fedesteifigkeit c) gestützt ist, tägt an seine Ende die Punktasse it de Gewicht Mg. a) Steen Sie fü keine usenkungen die ewegungsgeichung auf und geben Sie ihe Lösung an, wenn as nfangsbedingungen ϕ = ϕ o und ϕ = 0 gegeben sind. b) Wie goß uß die Fedesteifigkeit c sein, dait das Syste in de dagesteten Lage schwingungsfähig ist? 4 a) ω 9 = c (M + ) g M + 3 ϕ(t) = ϕ o cosωt b) c > 9 4 ( + M)g 45

46 01 01 gatt Θ S, ot gatt M x c α ufgabe 6.3 Eine hoogene Waze (Masse, Radius, Massentägheitsoent Θ S ), deen chse eibungsfei vetika gefüht wid, ot auf eine Kei (Masse M) ab, de auf de schiefen gatten Ebene (Neigungswinke α) geitet. Fühungsschiene und Keifäche stehen senkecht aufeinande. Steen Sie die Geichung fü die ewegung u die statische Ruheage auf. ẍ + c M + sin α + Θ S cos α x = 0 ufgabe 6.4 M c n eine asseosen Fede it de Fedekonstanten c ist ein Koben de Masse M befestigt. Daauf iegt eine Kuge de Masse. Die Fede wid von de Ruheage des Gesatsystes +M aus u die Stecke s zusaengedückt und dann osgeassen (t = 0). a) Weche Ungeichung uß s genügen, dait die Kuge wähend de ewegung des Systes nicht von de Unteage abhebt? b) Fü s = 1 c ( + M) g hebt die Kuge zu Zeit t 1 von de Unteage ab. Wie goß ist t 1? Geben Sie das Weg-Zeit-Gesetz von fü t > t 1 an. c) Mit den Egebnissen von b) beechne an die Wufhöhe H ax von übe de statischen Ruheage von + M. g (M + ) a) s < c c) H ax = 3 g ω 46

47 ufgabe c M c S, Θ Ein Zahnad (Masse, Radius, Massentägheitsoent Θ) äuft auf eine Zahnschiene. Das Zahnad ist duch eine Fede (Fedesteifigkeit c) it de festen Wand vebunden. ußede veschiebt das Zahnad eine eibungsfei geagete Zahnstange (Masse M), die ebenfas duch eine Fede (Fedesteifigkeit c) it de Ugebung gekoppet ist. In de gezeichneten Lage sind die Feden entspannt. Das Zahnad wid zu Zeit t = 0 duch die nfangsgeschwindigkeit v o des Schwepunktes in ewegung gesetzt. estien Sie: a) die ewegungsgeichung fü den Schwepunkt S des Zahnades, b) die Lösung x(t) fü die nfangsbedingungen. ufgabe 6.6 c M a) ẍ + b) x(t) = v o ω 5c + 4M + Θ x = 0 sin ωt Das skizziete Syste besteht aus eine hoogenen Keisscheibe (Masse, Radius ), die an eine Fede (Fedesteifigkeit c) befestigt ist. Das dehnstae asseose Sei haftet an de Keisscheibe und tägt a unteen Ende eine Punktasse (Masse M). estien Sie die Eigenfequenz ω. ω = c 3 + 8M ufgabe R S, Θ S Das Zahnad (Masse, Massentägheitsoent Θ S, Radius ) ist it eine Stange so vebunden, daß es a Zahnkanz (Radius R) aboen kann. a) Steen Sie die ewegungsdiffeentiageichung unte Vewendung de d ebetschen Tägheitskäfte auf. b) Wie goß ist die Eigenfequenz fü keine usschäge? 47 b) ω = g ( (R + ) 1 + Θ ) S