6. im Raum. Kurven und Flächen

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1 Kurven und Flächen 6. im Raum Flächen stellen wir grundsätzlich im dreidimensionalen Raum dar. Du kennst Kegel- und Zlindermäntel aus der räumlichen Geometrie, Dreiecksfl ächen oder Ebenen aus den Anwendungen der analtischen Geometrie im Raum. Mit einem Computeralgebrasstem kannst du auch komplizierte Flächen und Kurven im Raum darstellen. Du kannst dabei die Bedeutung der einzelnen Parameter in der Defi nition der Flächen und Kurven untersuchen und auch ästhetisch ansprechende Bilder erzeugen! 77

2 4.7 Auffi nden einer Polnomfunktion In der Prais kennt man von einer Funktion oft keinen Funktionsterm, sondern nur einzelne Funktionswerte. Diese können z. B. durch Messung ermittelt werden. Manchmal sind auch Etrem- und/oder Wendestellen bekannt oder zumindest abschätzbar. Um verschiedene Fragestellungen beantworten zu können, wird ein mathematisches Modell gesucht. Der Einfachheit halber wird oft eine Polnomfunktion verwendet. 57 Von einer Polnomfunktion. Grades kennt man den Funktionswert f () =,5. Eine Nullstelle liegt bei = 0. Ein lokales Maimum liegt bei f () = 4. Skizziere diese Angaben, ermittle eine Termdarstellung und zeichne anschließend den Graphen. Ausführung: Wir skizzieren die Daten aus der Angabe in einem geeigneten Koordinatensstem. Allerdings lässt diese Skizze den Verlauf der gesuchten Polnomfunktion nicht wirklich erahnen. Wir wählen daher einen rechnerischen Weg: Eine Polnomfunktion. Grades hat allgemein die Form f () = a + b + c + d mit reellen Koeffi zienten a, b, c, d. Um diese 4 Koeffi zienten bestimmen zu können, benötigen wir 4 Informationen (4 Gleichungen). Zur Beschreibung des lokalen Maimums benötigen wir die. Ableitung der Funktion: f () = a + b + c Aus der Angabe ergibt sich: f () =,5 I: a + b + c + d =,5 Nullstelle bei = 0 II: a 0 + b 0 + c 0 + d = 0 f () = 4 III: a + b + c + d = 4 lokales Maimum bei = f () = 0 IV: a + b + c = 0 Als Lösung des Gleichungssstems ergeben sich die gesuchten Koeffi zienten der Polnomfunktion: I: a + b + c + d =,5 II: d = 0 III: 8 a + 4 b + c + d = 4 IV: a + 4 b + c = 0 a = ; b = ; c = ; d = 0 Ergebnis: f () = f 4 H H Smmetriesatz: Eine Polnomfunktion p () = a 4 + b + c + d + e ist () smmetrisch zur -Achse (gerade) b = d = 0 () smmetrisch zum Koordinatenursprung (ungerade) a = c = e = 0 Beweis: () wird in Aufgabe 545 bewiesen. (): Angenommen p () ist ungerade, also p ( ) = p () R, dann folgt: a 4 b + c d + e = a 4 b c d e R a 4 + c + e = 0 R (*) Gleichung (*) gilt insbesondere auch für = 0, = und = : = 0 e = 0 { = a + c = 0 = a + 8 c = 0 } a = c = 0 Umgekehrt, falls a = c = e = 0 folgt: p ( ) = b ( ) + d ( ) = b d = p () p () ungerade 4

3 4. Differentialrechnung Eigenschaften von Funktionen Aufgaben 58 Ermittle die Gleichung jener Polnomfunktion. Grades, deren Funktionsgraph in E (0 0) und in E (4 ) Etrempukte besitzt. 59 Ermittle die Gleichung jenes Polnoms. Grades, dessen Funktionsgraph in H (0 5) einen Hochpunkt und in P ( 0) den Anstieg besitzt. 540 Ermittle die Gleichung jenes Polnoms. Grades, dessen Funktionsgraph in H ( ) einen Hochpunkt und in W (0 ) einen Wendepunkt besitzt. 54 Ein Polnom. Grades hat bei = eine Wendestelle und bei = eine Etremstelle. Die Wendetangente hat die Gleichung t W : =. Bestimme den Funktionsterm! 54 Der Graph einer Polnomfunktion. Grades besitzt den Wendepunkt W ( ) und geht durch den Punkt P (0 ). In P besitzt die Funktion die Steigung 9. Wie lautet der Funktionsterm? 548 Begründet: Eine Polnomfunktion. Grades ist eindeutig festgelegt, wenn ein Etrempunkt und ein Wendepunkt bekannt sind. Sucht konkrete Beispiele! Kann man diese Aussage verallgemeinern? 549 Die Ergebnisse einer Messung wurden in ein Diagramm eingetragen. Lest aus dem Diagramm Funktionswerte, Nullstellen und Etremstellen ab und gebt eine geeignete Polnomfunktion 4. Grades an. 6 (,44 5,67) 5 4 (0, 0,79) Von einer Polnomfunktion. Grades weiß man, dass ihre Ableitung bei = und bei = null ist. Weiters liegen die Punkte ( 5) und ( ) am Funktionsgraph. Wie lautet der Funktionsterm? 544 Ein Polnom. Grades hat bei = 4 einen Wendepunkt mit Wendetangente + = 6 und schneidet die -Achse bei = 0. Wie lautet der Funktionsterm? 550 Wie (5 5,67) Beweist Teil () des Smmetriesatzes (siehe Seite 4). Geht dabei analog zum Beweis von Teil () vor! ( 0) Der Graph einer Polnomfunktion 4. Grades ist smmetrisch zur -Achse und hat in N (0 0) eine Nullstelle und in W ( 5) einen Wendepunkt. Wie lautet der Funktionsterm? Hinweis: Verwende den Smmetriesatz! 547 Begründet: Eine Polnomfunktion. Grades ist eindeutig festgelegt, wenn vier Punkte ihres Graphen bekannt sind. Sucht konkrete Beispiele! Kann man diese Aussage verallgemeinern? Alam/Olaf Doering 5

4 Vermischte Aufgaben 85 Gib die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius der Kugel + + z = 8 an. Berechne weiters die Koordinaten des Punktes P (4 4 z), der auf der Kugel liegt (es gibt zwei Lösungen). 85 Gib die Gleichung der Kugel mit Mittelpunkt M (4 4 6) an, die auf der -Ebene ruht (d. h. sie von oben berührt). 854 Gegeben ist die Kugel k[m (0 0 0), r = 9]. a) Untersuche die Lage der Punkte P (4 4 7), Q (5 4 8) und R (6 5 ) in Bezug auf diese Kugel. b) Bestimme die fehlende Koordinate so, dass der Punkt S ( < 0 6 6) auf der Kugel liegt. c) Berechne den Winkel zwischen den Tangentialebenen τ und τ an die Kugel in den Punkten P und S. 855 Bestimme die Schnittpunkte S und S der Geraden g: X = ( 0 ) ( 5 +t 4 mit der Kugel k, ) 8 die durch die Durchmesserendpunkte A ( 5 5) und B ( 5 7 9) festgelegt ist. Unter welchem Winkel erscheint die Strecke S S vom Mittelpunkt der Kugel aus? 856 Berechne den Schnittwinkel zweier Tangentialebenenτ und τ, die die Kugel k[m ( 0 9), r = ] in den Durchstoßpunkten mit der Gerade g: X = ( ) + t ( 6 0 ) berühren. 857 Eine Kugel berührt die z-ebene und die z- Ebene, ihr Mittelpunkt liegt auf der Geraden g: X (t) = ( ) ( + t 6 im ersten Oktanten. ) 4 Bestimme die Kugelgleichung sowie den Flächeninhalt jenes Kreises, den die -Ebene von der Kugel abschneidet. 858 Eine Kugel mit Mittelpunkt M ( 4 5) berührt die -Ebene. a) Berechne die Koordinaten des Berührpunktes und gib die Gleichung der Kugel an. b) Gib die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius des Schnittkreises der Kugel mit derz-ebene an und überprüfe, ob der Punkt P ( 0 5) auf dem Schnittkreis liegt. 859 Die Kugel k[m (u v w > 0), r = 5] berührt die -Ebene im Punkt T ( 4 0). a) Berechne die Kugelgleichung. b) Berechne Mittelpunkt und Radius des Schnittkreises mit der z-ebene. 860 Fasst die Eigenschaften der Schraubenlinie (Heli) zusammen und erklärt, wie der Durchmesser, die Achsenrichtung, die Anzahl der Windungen, die Höhe der Schraubenlinie und Rechts- und Linksschraube mithilfe der Parameter festgelegt werden! 86 Gib eine mögliche Parameterdarstellung der Schraubenlinie aus den angegebenen Daten und den Grafi ken an! a) Radius r =, Ganghöhe h =, t [0; 4 π[ Rechtsschraube z,0,0,5,0,0,0 b) Radius r =, Ganghöhe h =,t [0; 8 π[ Linksschraube z,0,0,5,0,0,0,0,0 9

5 . Differentialrechnung Grundlagen Sprache der Mathematik 9 Ein Rennwagen beschleunigt aus dem Stand. Nach t Sekunden hat er b (t) Meter zurückgelegt. Was GK bedeuten folgende Ausdrücke in diesem Zusammenhang? a) b (4) b (0) b) b (5) b () c) b ( + h) b () d) b (a) b () für a > e) lim h 0 h g) b (4) h) b (4) i) b () b (a) b () a für a > f) lim a b (a) b () a für a > 40 Die Abbildung zeigt die Änderung einer Größe = f (t) in Abhängigkeit von der Zeit t. Entscheide für GK jede der folgenden Aussagen, ob sie für diese Funktion zutrifft!. Die mittlere Änderungsrate im Intervall [; ] ist positiv.. Die momentane Änderungsrate bei t = ist gleich null.. Der Differenzenquotient im Intervall [0; ] ist etwas größer als. 4. Der Differentialquotient ist im dargestellten Ausschnitt genau zweimal gleich null. 5. f ist an jeder Stelle des dargestellten Ausschnitts differenzierbar. richtig falsch f 0 t 4 Beurteile folgende Schlussfolgerungen (richtig/falsch) für die Funktion = f () GK und begründe deine Entscheidung. richtig falsch. f ist im Intervall Ι monoton steigend. f ist in Ι differenzierbar.. f () = 0 f hat in = keine Tangente.. f ist im Intervall Ι nicht positiv. f ist in Ι streng monoton fallend. 4. f () = 0 f hat in = sicher eine waagrechte Tangente. 5. f ist im Intervall Ι negativ. Die Funktionswerte von f nehmen in Ι kontinuierlich ab. 6. f (4) ist nicht defi niert. f ist an der Stelle = 4 nicht differenzierbar. 4 Erkläre den Zusammenhang (Gemeinsamkeiten und Unterschiede) zwischen dem Differenzen- und GK dem Differentialquotienten. Fertige dazu auch geeignete Skizzen an! 4 Erkläre die Bedeutung folgender Begriffe aus der Differentialrechnung und gehe insbesondere darauf ein, wie sie sich im Graphen einer Funktion wiederspiegeln. Fertige geeignete Skizzen an! GK a) Tangente und -nsteigung b) Sekante und -nsteigung c) Grenzwert einer Funktion d) durchschnittliche und momentane Änderungsrate e) stetig f) differenzierbar 77

6 thema Geschwindigkeit und Beschleunigung Der freie Fall Fotolia.com/Ulrich Kammertöns Isaac Newton (64 77) ist ein Gigant der Wissenschaft. Er hat grundlegende Gesetze der Phsik entdeckt und für seine phsikalischen Forschungen auch in der Mathematik epochale Leistungen vollbracht. So hat er neben Gottfried Wilhelm Leibniz die Differentialrechnung entwickelt, um die Geschwindigkeit und die Beschleunigung bewegter Objekte eakt beschreiben zu können. Er verwendet für die Ableitung die Punktnotation, die in der Phsik und in der Technik noch immer üblich ist. Durch die Funktion s (t) wird die Bewegung eines Körpers beschrieben. Wir schreiben: s (t) = v (t) Geschwindigkeit s (t) = a (t) Beschleunigung 78 MEV Verlag/Johann Kaiser Der berühmte italienische Phsiker Galileo Galilei hat angeblich am Schiefen Turm zu Pisa die Gesetze der Fallbewegung entdeckt. Von ihm stammt die Erkenntnis, dass alle Körper unabhängig von ihrer Masse gleich schnell fallen würden, wenn kein Luftwiderstand vorhanden wäre. In diesem Fall ist der freie Fall eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Ein Fallschirmspringer, der aus dem Flugzeug springt, wird im selben Maß beschleunigt wie ein Stein, der in einen Brunnen fällt oder ein Blumentopf, der von der Kante eines Fensterbrettes kippt. Alle diese Bewegungen werden durch folgende Weg-Zeit-Funktion beschrieben: s (t) = 4,9 t (in m) Daher gilt: s (t) = v (t) = 9,8 t (in m/s) und: s (t) = a (t) = 9,8 (in m/s ) Die Beschleunigung ist konstant und natürlich gleich der Erdbeschleunigung: g 9,8 m/s Nach diesem einfachen Modell nimmt die Geschwindigkeit jedes frei fallenden Körpers um 9,8 m/s zu, das sind etwa 5 km/h. Nach ca. einer halben Minute würde ein Fallschirmspringer die Schallmauer durchbrechen! Hier müssen wir offensichtlich den Luftwiderstand berücksichtigen. Für einen Fallschirmspringer mit einer Masse von 65 kg ergibt eine etwas aufwendigere mathematische Analse unter realistischen Annahmen folgende Geschwindigkeits-Zeit-Funktion: v (t) = 50 e 0,4 t + e 0,4 t (in m/s) Zeige, dass die oben angegebene Geschwindigkeitsfunktion einen Grenzwert hat, und bestimme diesen. Zeichne sie gemeinsam mit der Funktion v (t) = 9,8 t in ein Diagramm und entscheide, für welche Zeitspanne das einfachere Modell ausreichend genau ist. Zeige mit obigen Angaben, dass für die Geschwindigkeitsfunktion des Fallschirmspringers gilt: v (t) = 50 tanh (0, t)

7 Fotolia.com/LichtRaum Fotografi e Für die Weg-Zeit-Funktion des Fallschirmspringers gilt: s (t) = 50 [5 ln (e 0,4 t + ) t 5 ln ] Überprüfe, dass gilt: s (t) = v (t) = 50 e 0,4 t + e 0,4 t 4 Zeichne die Weg-Zeit-Funktion des Fallschirmspringers gemeinsam mit der Funktion s (t) = 4,9 t in ein Diagramm und entscheide, für welche Zeitspanne das einfachere Modell ausreichend genau ist. 5 Zeige, dass für die Beschleunigungsfunktion des Fallschirmspringers gilt: a (t) = v 40 (t) = und zeichne e 0,4 t + + e 0,4 t diese Funktion für die ersten Sekunden. Harmonische Schwingungen Project Photos Project Photos Der Prototp einer harmonischen Schwingung ist eine Masse, die an einer Feder gleichmäßig aufund abschwingt. Wenn die Schwingung zeitlich beschrieben wird, erhalten wir die Auslenkung s als Funktion der Zeit t. Die maimale Auslenkung aus der Ruhelage der Feder bezeichnen wir als die Amplitude r der Schwingung. Die Funktion s (t) ist periodisch, im Falle einer harmonischen Schwingung ist sie sogar eine einfache Sinusfunktion der Form: s (t) = r sin (ω t) Amplitude Auslenkung s Maimum Ruhelage Minimum Zeit t Es gilt ω = πf, wobei f die Frequenz der Schwingung ist. Die Frequenz einer Schwingung gibt an, wie oft die Feder pro Sekunde auf- und abschwingt. Aus dem Weg-Zeit-Diagramm ist es einfacher, die Schwingungsdauer T abzulesen. Sie ist die Zeit, die die Feder benötigt, um einmal auf- und abzuschwingen. Frequenz und Schwingungsdauer sind eng verknüpft: T = f Nun gilt: s (t) = v (t) = r ω cos (ω t) und: s (t)= a (t) = r ω sin (ω t) Die Beschleunigung ist wieder periodisch und schwingt sogar im Rhthmus der Weg-Zeit-Funktion: s (t) = ω s (t) Diese Gleichung hat einiges an phsikalischem Hintergrund: das. Newton sche Aiom und das Hooke sche Gesetz (siehe Aufgabe 8). Sie ist aber auch mathematisch sehr interessant: Es handelt sich um eine sogenannte Differentialgleichung. Ordnung. Ihre Unbekannte ist die Weg-Zeit-Funktion s (t), die samt ihrer. Ableitung in der Gleichung vorkommt. 6 Wie hängen die Schwingungsdauer und die Periode der Sinusfunktion zusammen? Begründe! 7 Lies aus dem Weg-Zeit-Diagramm die Amplitude und die Schwingungsdauer ab. Schreibe die Weg-Zeit-Funktion s (t) auf. 8 Recherchiere das. Newton sche Aiom und das Hooke sche Gesetz und erkläre so die phsikalische Bedeutung der Gleichung: s (t) = ω s (t) 0 s π π π 4π 5π t 79 Mehr zu diesem Thema gibt es unter:

8 Meine Kapitelcheckliste zu Differentialrechnung Grundlagen Ich weiß (d. h. ich kenne, ich kann beschreiben, sagen, erklären, verdeutlichen, ) Ich kann (d. h. ich kann darstellen, berechnen, interpretieren, begründen, finden ) Ich übe z. B. Aufgaben thema Differenzenquotient was ein Differenzenquotient ist. den Zusammenhang eines Differenzenquotienten mit der mittleren Änderungsrate. thema Differentialquotient Differenzenquotienten berechnen. Differenzenquotienten grafisch darstellen. einen Differenzenquotienten als mittlere Änderungsrate interpretieren. mittlere Änderungsraten mit dem Differenzenquotienten beschreiben , 8 was ein Differentialquotient ist. dass der Differentialquotient durch einen Grenzübergang aus dem Differenzenquotienten entsteht. den Zusammenhang eines Differentialquotienten mit der Steigung einer Tangente. dass der Differentialquotient eine momentane Änderungsrate ist. Differentialquotienten berechnen. Tangenten ermitteln. einen Differentialquotienten als momentane Änderungsrate interpretieren. momentane Änderungsraten mit dem Differentialquotienten beschreiben , 66, 44 8, 8 80, 8 thema Differenzieren Ableitung Stetigkeit was die Ableitung einer Funktion ist. was Differenzieren bedeutet. was eine stetige und was eine differenzierbare Funktion ist. die Ableitung einer Funktion mittels Grenzübergang berechnen. anhand des Graphen einer Funktion entscheiden, ob sie stetig und ob sie differenzierbar ist. 88 0, 0 thema Differenzieren Rechenregeln die Summenregel. die Produktregel. wie konstante Summanden und Faktoren differenziert werden. Regeln zum Ableiten von Potenz- und Polnomfunktionen. die Quotientenregel. die Kettenregel. Ableitungsregeln für elementare Funktionen. die Ableitung einer Funktion mithilfe der Ableitungsregeln berechnen. Ableitungsregeln für einfache Funktionen beweisen., 6, 45, 54, 6, 76 08, 5 80

9 . Differentialrechnung Grundlagen Ich weiß... thema Ich kann... Ich übe... Höhere Ableitungen was eine höhere Ableitung ist. den Zusammenhang der. Ableitung mit der Krümmung einer Funktion. 84, 85 höhere Ableitungen berechnen. die Krümmung einer Funktion anhand ihres Graphen und mithilfe der 84. Ableitung beschreiben. Kompetenzen für meine Matu ra Ich kann absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und sie ange messen verwenden. Ich kann den Differenzenquotienten als eine mittlere Änderungsrate deuten und mittlere Änderung sraten damit beschreiben. Ich kann den Differentialquotienten als eine momentane Änderungsrate deuten und mom entane Änderungsraten damit beschreiben. Sehr gut Sehr gut Sehr gut Sehr gut Sehr gut Erfolg Ich weiß, dass der Differentialquotient der Gren zwer t des Differenzenquotienten ist, und kann diese n Zusammenhang verbal und formal beschreib en. Ich kann den Differenzen- und Differentialquo tienten in verschiedenen Konteten deuten und ents prechende Sachverhalte durch den Differenzenbzw. Differentialquotienten beschreiben. Ich kenne einfache Regeln des Differenzieren s und kann diese anwenden. Ich kenne den Begriff der Ableitungsfunktion und kann den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitungsfunktion in deren grafischen Darstellun g erkennen und beschreiben. Ich kann Monotonie und Krümmung einer Funk tion mithilfe von Ableitungsfunktionen beschreiben. 8

10 Teste dein Wissen! 4. Differentialrechnung Eigenschaften von Funktionen 604 Kreuze an, für welche Werte die Aussage zutrifft: GK Nullstelle Etremstelle Wendestelle f () = 0 f () = 0 f () < 0 0 = = = 605 Eine mindestens dreimal differenzierbare Funktion f wird auf ihre charakteristischen Eigen- GK schaften untersucht. Gegeben sind verschiedene Aussagen für f ( 0 ), f ( 0 ), f ( 0 ) und f ( 0 ). Liegt unter diesen Voraussetzungen bei 0 eine Nullstelle N, eine lokale Etremstelle E oder eine Wendestelle W vor? Kreuze jeweils alle korrekten Schlussfolgerungen an! () f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) 0 () f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) 0 () f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) = 0 f 606 Eine Polnomfunktion f hat Grad 4. Gib bei jeder GK Aussage an, ob sie auf f zutrifft oder nicht! richtig falsch. f hat genau 4 Nullstellen.. f hat höchstens lokale Etremstellen.. f hat höchstens zwei Nullstellen. 4. f könnte keine Nullstelle haben. 5. f könnte drei Hochpunkte haben. 6. f hat mindestens eine lokale Etremstelle. 607 Gegeben sind Graphen von f und f. Welche Eigenschaften lassen sich daraus für die Funk- GK tion f schließen? Entscheide für jede Aussage, ob sie richtig oder falsch ist. 4 0 f 4 f (4) f ( 0 ) = 0, f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) > 0 (5) f ( 0 ) > 0, f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) < 0 (6) f ( 0 ) = 0, f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) > 0 Nullstelle Etremstelle Wendestelle () () () (4) (5) (6). f hat zwei lokale Etremstellen.. f hat keinen Wendepunkt.. f hat überall eine positive Krümmung. 4. f hat mindestens eine Nullstelle. 5. f ist eine Polnomfunktion vom Grad. 6. f ist im Intervall [0; ] streng monoton fallend. richtig falsch 8