KINEMATIK Bewegungslehre Wie bewegt sich ein Objekt?

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1 . Mechnik Wi eilen in de Voleung Phyik fü Ingenieue die Mechnik uf in die Teilgebiee Mechnik de Menpunk Mechnik de en Köpe (Kp..4) Mechnik de Flüigkeien und Ge (Kp..5) Zunäch weden lo hupächlich ogennne Menpunke ode Punkmen behndel. Nülich gib e keine wiklich punkfömigen Köpe. Ein Menpunk i ein Modell, d enünfige und ugekäfige Egebnie liefe, wenn die Audehnung de Köpe klein ind gegen die Abmeungen de Rumgebie, in dem e ich beweg. Fü ein Elekon in eine Bildöhe iff d zweifelfei zu. Abe uch die Ede knn l Mepunk beche weden, wenn mn die Bhn de Ede um die Sonne beche. Im Modell Menpunk weden Dehungen de Köpe und lle inenen Bewegungen (innee Feiheigde) nich beche. Behndeln wi ein Auo näheungweie l Menpunk, o können wi duchu Weg, Gechwindigkei, Bechleunigung, Aniebkf, Leiung ec. ngeben bzw. beechnen (und fü iele Zwecke eich d u). Ein ele Auo h eine Audehnung, e knn ich um echieden Achen dehen, e gib zhleiche elichen Komponenen, die ich bei Belung efomen, e gib inen Teile, die oieen ode chwingen, Fü eine Fhdynmik-Simulion eich d Modell Menpunk dehlb nich u. Hie weden komplizieee Modelle mi ielen Feiheigden ewende, die Sie be e eehen können, wenn Sie den Mepunk enden hben. Mechnik de Menpunk Wi uneeilen diee Kpiel weie in einen een Teil, in dem wi Bewegungen lediglich (mi mhemichen Modellen) becheiben. Anchließend fgen wi nch den Uchen on Veändeungen de Bewegungzund. D ele Köpe eine Me hben und äge ind, ind hiezu Käfe nöig. Im dien Teil behndeln wi die fü die Mechnik wichigen Ehlungäze Diee eluben e, die Beechnung mechniche Vogänge dduch zu eeinfchen, d Bilnzieunggleichungen ewende weden. Wi weden in llen dei Teilen owohl die Tnlion (gedlinige Bewegung) l uch die Roion (Dehbewegung) behndeln....3 KINEMATIK Bewegunglehe Wie beweg ich ein Objek? DYNAMIK Käfe... Wum? Uche de Beweg. -Ändeung Ehlungäze Ehlung on Enegie Impul Dehimpul E gib be eh, eh kleine Elemeneilchen. Bei einigen don (z.b. Elekonen und Quk) konne bihe keine Suku und keine wikliche Audehnung gemeen weden; ie benehmen ich lo wie punkfömige Objeke, obwohl d (u Günden die hie nich nähe eläue weden) phyiklich eigenlich g nich möglich i. Diee cheinbe Widepuch knn e in de Qunenphyik ufgelö weden. Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S./39

2 Zu Mechnik gehöen nülich uch noch die (wichigen!) Kpiel Sik (Käfe-/ Momenengleichgewich) und die Eliziäheoie. Diee weden wi in de Phyik be nu m Rnde bepechen, d ie in den Ingenieuudiengängen i.d.r. im een Semee in Techniche Mechnik ufühlich behndel weden.. Kinemik Die Kinemik ode Bewegunglehe bef ich mi de Becheibung on Bewegungogängen mi Hilfe on geeigneen Koodinen, Gechwindigkeien, Bechleunigungen ec. Bezugyeme Mn mu ich dübe im Klen ein, d die Becheibung eine Bewegung imme ein ogegebene Bezugyem ouez. De gleiche Bewegungogng knn in unechiedlichen Bezugyemen mi öllig ndeen Zhlen fü O, Gechwindigkei ec. bechieben weden Beipiele: - Sie wefen Ihem Nchbn im fhenden Zug einen Apfel zu. Die Bewegung de Apfel knn Bezugyemd e Zug ode uch om Bhndmm u bechieben weden. - Die NASA chick eine Rumonde zum M. Die Bewegung de Rumonde knn im Bezugyem de Ede, de Sonne ode de M bechieben weden. Fü die echiedenen Flugphen wid mn hie echiedene Syem wählen: De S i iche im edgebundenen Syem m einfchen zu becheiben; fü den ineplneen Flug wid mn ein Bezugyem wählen, in dem die Sonne im Upung de Koodinenyem lieg; fü den Lndenflug wid mn m dgegen ein mgebundene Syem beozugen. - Ein Roboe monie z.b. eine Auocheibe und beweg ich dbei uf Schienen pllel zum Bnd neben dem Auo he. Die Bewegung de Geifm knn hie enwede im Bezugyem de Wekhlle ode im eigenen Koodinenyem de Roboe bechieben weden. Bewegung eine (Me-) Punk wid in be. Bezugyem bechieben z.b. x,y,z-koodinen Bezugyeme Punk P beweg ich Bech. de gleichen Bewegung duch Beobche O / O / O egib echiedene Koodinen (x,y,z) / (x,y,z ) / (x,y,z ) und Gechwindigkeien / / - Ein Schiff fäh uf einem Flu. Seine Gechwindigkei knn eli zum Ufe ode eli zum We ngegeben weden. Je nchdem, wie goß die Sömunggechwindigkei de Flue i, knn de Unechied beächlich ein. x O x z z O y y O z x y Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S./39

3 Wi weden päe uf unechiedliche Bezugyeme (inbeondee uf d ogennne Schwepunkyem ) zuück kommen und uch die Umechnung zwichen echiedenen Bezugyemen behndeln... Gechwindigkei Wi bechänken un zunäch uf die Becheibung on eindimenionlen Bewegungen, d.h. olche Bewegungen, bei denen zu Angbe de Poiion eine einzige Zhl (mi Einhei!) genüg. Die i z.b. de Fll bei eine gedlinigen Bewegung ode bei einem Schienenfhzeug, d ich zw uf eine kuigen Bhn beweg, bei dem be uch die Angbe de Seckenkilomee ueich, um die Poiion nzugeben. Eine eindimenionle Bewegung lä ich duch eine Weg-Zei- Funkion bzw. O-Zei-Funkion ( ) (+Δ) becheiben. I diee Funkion beknn, o knn z.b. ein () Compuepogmm eell weden, d fü beliebige Zeipunke die bi dhin zuückgelege Wegecke beechne Δ Die Weg-Zei-Funkion becheib die geme Bewegung. Al Digmm dgeell ehäl mn du einen gfichen Fhpln. Au de Weg- Zei-Funkion egib ich uch die Gechwindigkei und (bei bechleunigen Bewegungen) die Bechleunigung. De Begiff Gechwindigkei i Ihnen iche beknn. Schon llein u den Einheien (Kilomee/Sunde, Meilen/Sunde, Mee/Sekunde ec. egib ich, w mi Gechwindigkei gemein i. Sug Gechwindigkei A B Weg Zei C Heilbonn D Wi behndeln zunäch den Spezilfll: Konne Gechwindigkei Uhzei 4: 5: 6: 7:... Konne Gechwindigkei Bei eine Bewegung mi konne Gechwindigkei weden in gleichen Zeiinellen imme die gleichen Wegecken zuückgeleg. E gil lo: gleiche Zei gleiche Weg doppele Zei doppele Weg α Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.3/39

4 Im Weg-Zei-Digmm ehäl mn eine Gede. Ande ugedück: D Vehälni on 3 Weg : Zei i in dieem Fll imme gleich: K con. Bei eine Bewegung mi konne Gechwindigkei gil: ~ ; Weg i popoionl zu Zei Jede Popoionliäelion X ~ Y knn miel eine Popoionliäkonnen C in eine Gleichung X C Y übefüh weden. Im Fll unee Weg-Zei- Popoionliä, ~, ehlen wi o Bei eine Bewegung mi konne Gechwindigkei i de in de Zei zuückgelege Weg popoionl zu Zei. Die Gechwindigkei i dbei die Popoionliäkonne, e gil [Gl...] Im Weg-Zei-Digmm knn mn die Gechwindigkei m Seigungdeieck bleen. Die Gechwindigkei i die Seigung de Geden (im llgemeinen Fll, bei nich konne Gechwindigkei: Seigung de Kue!) im --Digmm:. Bechen Sie be, d die u de Mhemik beknne geomeiche Inepeion Seigung n α (mi dem Seigungwinkel α) diek und uneände nu ewende weden knn, wenn die Mßbfkoen fü die Zei- und die Weg-Ache gleich ind (wenn lo d Digmm mi z.b. im Mßb ˆ cm und m ˆ cm gezeichne wude). In dieem Fll könne de Zhlenwe { } de Gechwindigkei (de Tngen eine Winkel h keine Einheien!) gemäß {} { } n α u dem im Digmm {} bgeleenen Seigungwinkel α beimm weden. Zeichne mn die Gechwindigkei l Funkion de Zei uf, o ehäl mn (bei konne Gechwindigkei) eine wgeeche Linie. Die Fläche une diee Linie i de zuückgelege Weg. 3 Seigungdeieck: Seigung im Weg-Zei-Digmm Gechwindigkei Fläche Fläche im Gechwindigkei-Zei-Digmm Weg Al Popoionlzeichen wid ~ gelegenlich uch d Zeichen ewende. Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.4/39

5 Bihe hen wi ougeez "WEG": ei S zuückgelege Weg "ZEIT": D.h., fü unee Weg-Zei-Funkion ( ) gl fü : ( ) ei S egngene Zei. Im Digmm egib ich dmi eine Upunggede. Abe: Auf dem Bhnfhpln fäh z.b. nich jede Zug um Uh bei km b. Um uch Bewegungen becheiben zu können, die nich zu Zei und beim O beginnen, ewenden wi eine ew llgemeinee O-Zei-Funkion, die ohne diee peziellen Anfngbedingungen ukomm. Zu Becheibung de O können wi bei eine gedlinigen Bewegung z.b. eine de Koodinen (x, y, ode z) ewenden, ode wi ewenden weiehin den Buchben (z.b. bei eine kummlinigen Bewegung uf eine ogegebenen Bhn). Wi wollen nun eine Bewegung mi konne Gechwindigkei, die zu einem Zeipunk m O beginn, mhemich becheiben. Die Anfngbedingungen luen lo: ( ) De ei dem S zuückgelege Weg i: Die ei dem S egngene Zei i: D die Gechwindigkei konn i gil: Weg ~ Zei, lo: ( ) ( ) ~ Mi de Gechwindigkei l Popoionliäkonnen egib ich die Gleichung ( ) ( ) α Δ S Δ Wenn mn die leze Gleichung nch uflö, o eknn mn, d ie einen konnen Teil und eine on de Zei bhängigen Teil enhäl: { + ( ) 443 bh. on Wi bezeichnen den konnen Teil mi und ehlen + [Gl...] (bzw. mi ndeen Buchben: x + x, y + y, h + h, ) Im O-Zei-Digmm egib ich wiede eine Gede. Diee i be echoben, läuf lo nich nowendigeweie duch den Upung. Die Gede chneide die -Ache bei bechen Sie be, d die Bewegung nich unbeding zum Zeipunk beginnen mu; de Achenbchni egib ich lediglich du, d mn die Gede bi zu expolie. Die Gede elb wid duch ihe Seigung (die Gechwindigkei) und einen beliebigen Punk (z.b. den Spunk ( ) ) fegeleg. Au dem Digmm können wi wiede die Gechwindigkei u dem Seigungdeieck bleen. E gil: Δ Δ [Gl...3.] Übung: Ein Fhzeug fäh mi de Gechwindigkei km/h. Wie lnge buch e fü km? Ein Rdfhe buch fü eine Secke 5 km die Zei 5 Min., Wie goß i eine Gechwindigkei (in km/h, in m/)? Die Schllgechwindigkei in Luf i 34 m/. Welche Secke leg Schll in m zuück?! kon.! Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.5/39

6 Ulchll (US) in Köpegewebe h eine Gechwindigkei on c. 5 m/. ) Wie lnge buch US fü die Secke on 3 cm? b) Wie lnge buch Röngenhlung fü die gleiche Secke? 8 Die Lichgechwindigkei im Vkuum i c 3 m/. ) Wie lnge buch d Lich ihe Deckenlmpe bi zum Fußboden? b) Welche Secke leg Lich (im Vkuum) in n zuück? Die Lichgechwindigkei in einem Medium i c n c n We: n, 33, Luf: n, 73 ) Welche Secke leg Lich in We in, µ zuück? b) In welche Zei W duchque Lich die Secke in We (Zhlenbeipiel: µm); welche Secke L leg Lich in de gleichen Zei im Vkuum zuück ( opiche Weg )? d) Wie goß i die Diffeenz de opichen Wege in 5 cm Luf und 5 cm Vkuum? ) Becheiben Sie in Woen die im Digmm Sug-Heilbonn (Seie 3) dgeellen Bewegungen de Fhzeuge A D! Welche Bedeuung hbe die Schnipunke zweie Linien (e gib zwei echiedene Aen on Schnipunken!)? b) Die Fhecke HN-Sg. ei 6 km. Beimmen Sie (näheungweie) die Gechwindigkeien de Fhzeuge! Ein Punk uf einem Rd mi dem Rdiu,8 m beweg ich mi de Gechwindigkei 8 m/. Wie lnge buch e fü 4 Umdehungen? Ein Ding e zum Zeipunk 7 bei 3 m und beweg ich mi de konnen Gechw. m /. Beimmen ie die O-Zei-Funkion ( )! Wo befinde e ich zum Zeipunk 3, 3 4, 4 5? Zeichnen Sie die O -Zei- Funkion ()! (Siehe uch: Gnuplo-Dei kin_d_bp gechw_con.pl) Ein Köpe e zum Zeipunk bei x,5 m und beweg ich mi de konnen Gechwindigkei,75 m/. Sellen Sie die O -Zei-Funkion x ( ) uf, kizzieen Sie x ( )! Beechnen Sie die Poiion de Köpe zu den Zeien, 3, 4! Beechnen Sie den Zeipunk 5, zu dem de Köpe x 5 6,5 m eeich! Ein Fhzeug befinde ich um 5 Uh bei x 4 km und fäh mi konne Gechwindigkei. Um 5:5 Uh i e bei x 5 km. Beimmen Sie x ()! Wnn eeich d Fhzeug x? Ein Fhzeug A e bei bei x 9 km mi de Gechwindigkei 3 A km/h, ein Fhzeug B e zum Zeipunk 4 h bei x mi de Gechwindigkei B 5 km/h. ) Skizzieen Sie die Bewegungen in einem x--digmm! b) Beimmen Sie die beiden O-Zei-Funkionen x A ( ) und x B ( )! c) Wnn komm B bei x und wnn komm A bei x n? d) Die beiden Fhzeuge begegnen ich zum Zeipunk m O x. Beechnen Sie und x! Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.6/39

7 Zummenfung ode: W - Häen - Wi - Lenen Können? Die Gechwindigkei i die Seigung im O-Zei-Digmm ( ( ), x( ), K!) Eine Bewegung mi konne Gechwindigkei egib im O-Zei-Digmm eine Gede Wenn wi die (bi jez) konne Gechwindigkei l Funkion de Zei ufgen, dnn ehlen wi nülich lediglich eine wgeche Linie. Eine Bewegung mi konne Gechwindigkei egib im Gechwindigkei-Zei-Digmm eine wgeche Linie konne Gechwindigkei konne Seigung im O-Zei-Dig. O-Zei-Dig. Gede + Gechwindigkei-Zei-Dig. Eine goße Gechwindigkei egib eine eil neigende Gede, eine kleine Gechwindigkei eine flche Gede, Gechwindigkei Null eine wgeche Gede. Negie Gechwindigkei (fllende Gede) bedeue, d ich eine Objek engegen de on un gewählen poiien Achenichung beweg. goß klein Null negi ( ückwä ) Die Fläche une de Gechwindigkei- Zei-Linie egib die bi zum Zeipunk zuückgelege Secke (ohne die Anfngpoiion). Fläche: Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.7/39

8 ... Veändeliche Gechwindigkei In de Regel elufen Bewegungen höchen zeiweie ode näheungweie mi konne Gechwindigkei. Z.B. becheiben die Skizzen Folgenden Abluf im O-Zeibzw. Im Gechwindigkei-Zei- Digmm: Ein Fhzeug eh zunäch m Spunk dnn bechleunig e (Gechwindigkei eig), im --Digmm egib ich eine nch oben gekümme Kue nchließend fäh f FZ einige Zei mi kon. Gechw. (Gede im -- Digmm, wgeeche Linie im --Digmm) dnn bem e, ink, die --Kue i nch unen gekümm bi eeich wid und d FZ m Ziel eh (con.) O-Zei-Digmm eh (m Spunk) Bechl. Fh mi kon. Gechw. Gechwindigkei-Zei-Digmm Bemen eh (m Zielpunk) Eine Bewegung mi eändeliche Gechwindigkei zeig ich lo im O-Zei-Digmm l (gekümme) Kue. Bei eine Bewegung mi eändeliche Gechwindigkei müen wi (wie übigen bei jede ndeen zeibhängigen Göße uch) zwichen dem Momennwe und dem Duchchniwe unecheiden. Mn knn z.b. duchu in eine Sunde nu 3 km zuücklegen und ozdem kuze Zei 6 km/h fhen. Milee Gechwindigkei Gemweg Gemzei eändeliche Gechwindigkei Momenne Gechwindigkei () Oeändeung Δ Zeiinell Δ welche? Die milee Gechwindigkei (Duchchnigechwindigkei) i de Quoien on gemem zuückgelegen Weg und Gemzei. Die Momenngechwindigkei dgegen egib ich u de Wegecke, die in einem (kuzen) Zeiinell 3 zuückgeleg wid. 3 Die Fge, wie klein d Zeiinell ein mu, behndeln wi weie unen. Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.8/39

9 Beipiele: Ein Fhdchomee mi d (kuze) Zeiinell fü eine Rdumdehung, e beimm dmi (näheungweie) die Momenngechwindigkei Bei de Vekehübewchung mi Rd (Doppleeffek), Lepiole, Konkchleifen ode (deifch-) Lichchnke wid ebenfll die Momenngechwindigkei emiel. We die Kme echzeiig ieh und o de Meung bem, de knn eine Momenngechwindigkei u.u. echzeiig eingen Neuee Übewchungyeme in (GB, A, I, NL, ) beimmen die Zei fü eine längee Secke mi zwei Kme und uomiche Kennzeichenekennung. Sie beechnen du die milee Gechwindigkei kuzfiige Bemen hilf dnn nich meh Übungbeipiel: Ein Fhzeug fäh jeweil ) die Hälfe de Zei b) die Hälfe de Secke mi de Gechwindigkei 4 km/h bzw. 8 km/h Beechnen Sie jeweil die milee Gechwindigkei! Milee Gechwindigkei (z.b. bei eine Bewegung mi ückweie konne Gechwindigkei) Wi bechen eine Bewegung, bei de die Gechwindigkei jeweil fü eine gewie Zeipnne (bzw. uf einem gewien Weg) konn bleib. Selbeändlich i die nich exk eliieb, d die Gechwindigkei ich nich ugenblicklich änden knn. Die Becheibung ell eine Veeinfchung d, die in ielen Fällen zuläig i. Vouezung i, d die Bechleunigungbzw. Bemphen, bei denen ich die Gechwindigkei ände, eh kuz ind. E i hie einfche, wenn wi die einzelnen Zeiinelle 4 mi,, K und die einzelnen Secken 4 mi,, K i i K N gil dnn: ) ) M i M N bezeichnen. Fü d Inell Numme ( ) Zei M i M N Gechw. M i M N N i Weg M M i N i N () Alo i bezeichne hie die Zeidue fü die einzelne Teilecke (nich den Zeipunk) und die i bezeichne die einzelne Teilecke (nich die Koodine bzw. Poiion)! Ohne diee Definiion müen wi in den nchfolgenden Gleichungen umändliche ( - ) ; ( - ) ec. cheiben! Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.9/39

10 Bechen Sie: Die Wegücke,, K enpechen im --Digmm den Flächen une dem jeweiligen Kuenücken (duch unechiedliche Schffu gekennzeichne). Die geme Fläche, lo die Summe ge diee Teilecken, i die Gemecke ge. Die milee Gechwindigkei egib ich u. Alo ge mu uch die Fläche ge une de wggeechen Linie (bei ) die Gemecke ge egeben! 5 E i lo ge ge K K + + K K 3 3 () 3 Im Weg-Zei-Digmm wid eine Bewegung mi de mileen Gechwindigkei duch eine Gede dgeell, die nch de gleichen Zei beim gleichen Weg ende wie die eigenliche Bewegung. 3 Milee Gechwindigkei: fü ückweie konne Gechwindigkei: ge [Gl ] ge N i i ge i N ge i i Die bedeue: Die milee Gechwindigkei egib ich l gewichee Miel 6 : Jede We wid mi einem Wichungfko muliplizie, d Egebni wid ufummie und m Schlu duch die Summe de Wichungfkoen diidie. Beim zeilichen Miel ind die Wichungfkoen duch die jeweiligen Zeiinelle gegeben. 5 Die gil llgemein: Den Mielwe eine zeibhängigen phyikliche Göße X() (z.b. Spnnung, Tempeu, Duck, Bechleunigung, ) ehäl mn, indem mn im X() - -Digmm eine wgeeche Linie einzeichne, die die gleiche Fläche zu -Ache einchließ. 6 Vegl. z.b. die Beechnung eine gewicheen Noenduchchni: Summe ( Noe * Wichungfko) / Summe (Wichungfkoen) Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S./39

11 Übung: Welche Bewegung becheiben die folgenden --Digmme? Wie goß i hie jeweil milee Gechwindigkei? ) b) c), 3 3 () () () d) e) f) 4, 5 5 () () () Momenne Gechwindigkei () E wude weie oben chon geg, d ich die momenne Gechwindigkei () egib l: () Dbei i Oeändeung Δ Zeiinell Δ Δ ein genügend kleine Zeiinell. Wie klein mu Wi bechen dzu l Beipiel einen.5 Bewegungogng, bei. dem ich ein Köpe on x u mehfch.5 zwichen x > und. x < hin und he beweg und eine -.5 Gechwindigkei duend ände. -. ) Wie goß i die -.5 Momenngechwindigkei bei? /m () Δ ein? Weg-Zei-Digmm Zei / Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S./39

12 ) Wi nehmen zunäch ein Zeiinell on Δ 5, bechen lo den Zeium on 7,5 bi,5. Die Diffeenz zwichen Anfng- und Endpoiion in diee Zei i 43,89 mm und u dem Seigungdeieck egib ich die Gechw. zu 8,778 mm/ lleding beweg ich de Köpe öllig nde! 3) Wi egößen einen Auchni u dem Digmm, o d wi nu noch den Zeium on 7,5 bi,5 ehen Mi Δ egib ich 7,979 mm/ /m /m Weg-Zei-Digmm.5 ()..5 (.4389 m ) / ( 5 ).8778 m/ Zei / Weg-Zei-Digmm. ().5. (.7979 m ) / ( ).7979 m/ Zei / 4) Mi Δ, egib ich.9.8 () Weg-Zei-Digmm 7,945 mm/.7 Jez i de Unechied zwichen de wiklichen Bewegung (blue Kue) und de Hypoenue de Seigungdeieck (oe Linie) kum meh zu ehen /m (.589 m ) / (. ).7945 m/ Zei / Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S./39

13 4) Die Vegößeung zeig be noch kleine Abweichungen, mi Δ,5 egib ich f de gleiche We wie im oheigen Schi, 7,944 mm/ /m.5.48 () Weg-Zei-Digmm (.397 m ) / (.5 ).7944 m/ Zei / 5) mi Δ, egib ich wiede 7,944 mm/, () Weg-Zei-Digmm lo (uf 4 Dezimlen genu) de gleiche We wie oben! /m (.589 m ) / (. ).7944 m/ Zei / 6) In de lezen Vegößeungufe (mi Δ, ) ieh mn pkich keinen Unechied meh zwichen de geden Linie u dem Seigungdeieck und de bluen, (upünglich kummen ) Linie de Bewegung. 7,944 mm/ /m Weg-Zei-Digmm () (.589 m ) / (. ).7944 m/ Zei / Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.3/39

14 Bechen Sie: Wi hben in llen Digmmen imme die gleiche Funkion () gezeichne! Bei genügend ke Vegößeung (enpich genügend kleinem Δ ) wid u de gekümmen Linie näheungweie eine Gede. Bei eine Geden i be die Seigung unbhängig on de Göße de Δ -Inell! Wenn wi die Seigung eine gekümmen Kue n einem beimmen Punk beimmen wollen, dnn müen wi Δ o klein mchen, d die Kue pkich mi de Hypoenue (lo de chägen Seie ) de Seigungdeieck zummenfäll! Die geh ( Sz u Mhemik ) wenn die bechee Funkion () eig i (keine Lücken h und keine Spünge mch ) Die i in de Phyik (im Gegenz zu Mhemik) be eigenlich kein Poblem: Ein Köpe i zu jedem Zeipunk igendwo und e knn nich in Null Zei on A nch B kommen! Alo ind phyiklich innollen O-Zei-Funkionen () imme eig! und keine Ecken h (iehe weie unen!) Am obigen Beipiel ehen wi: Die Momenngechwindigkei () egib ich l Tngeneneigung de Weg-Zei-Kue () beim Zeipunk. Mhemich bedeue d, wi hbe duch de imme kleine wedenden Δ -Inelle euch, duch Zhlenechnung (numeich) den Genzwe (Lime) on Δ Δ fü den Fll d Δ gegen Null geh zu beechnen. Küze lä ich d in eine mhemichen Fomel udücken: Δ d Seigung ( ) lim Δ ( ) &() [Gl...5.] Δ d WHWL K? Die Gechwindigkei i die ". Ableiung de O nch de Zei": () d d Ableien (im Sinne on die Seigung eine Funkion beechnen) wid uch diffeenzieen gennn. E gib echiedene Möglichkeien, die mhemiche Opeion de Nch-de-Zei- Diffeenzieen zu cheiben: Au de Schulmhemik iche beknn: mi einem Sich ( ): ( ) Ncheil: E wid nich deulich, d nch de Zei diffeenzie wid (Wenn mn nu Funkion y(x) nch x diffeenzie, i d kein Poblem. In de Phyik gib e be of z.b. Funkionen x()), bei denen dnn eben die unbhängige Vible i! Wenn mn peziell duf hinweien möche, d nch de Zei diffeenzie weden mu, dnn cheib mn dem Sich einen Punk ( & ): & ( ) Ncheil: Bei hndchiflichen Noizen (z.b. uf eine chlech gepuzen Tfel) könne ein Pünkchen chon ml übeehen weden ode unbebichig n de flchen Selle ufuchen! d () Zu beozugen i dehlb die Scheibweie l Diffeenilquoien : d Diee Scheibweie einne n die Hekunf: Au den Diffeenzen Δ, Δ weden duch den Genzübegng die o gennnen Diffeenile d und d. Bechen Sie: D d i dbei eine Rechenochif, e bilde mi dem bzw. eine Einhei (und df keinefll geenn ode g geküz weden). Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.4/39

15 An diee Selle wid nich weie uf die Beechnung de Ableiung eingegngen. Die können Sie im Fch Mhemik lenen (ode hben e chon gelen). Fll Sie beim Diffeenzieen de mhemichen Gundfunkionen (Poenzen, in, co, log, exp, ), bei zummengeezen Funkionen, bei de Anwendung on Poduk-, Quoienenode Keenegel ec, noch Pobleme hben, dnn ollen Sie diee Kpiel dingend mi Hilfe eine guen Mhebuch (z.b. Ppul) nchbeien. Meke: Sie müen d können, nich Ih Tchenechne! E bleib noch zu kläen Gib e O-Zei-Funkionen (), die mn nich diffeenzieen knn? Nich diffeenzieen knn mn z.b. Funkionen, die eine Spung mchen ode die n eine Selle nich definie ind. Dübe müen wi un in Phyik keine Sogen mchen: Ein Köpe knn nich in Null Zei on A nch B pingen, ußedem befinde e ich zu jede Zei igendwo. Gib e phyiklich innolle O-Zei-Funkionen () "mi Ecken" (Mhe : nich eig diffeenziebe Funkionen)? Auch Ecken in ()-Funkionen ind "künlich", d.h. ie ind nu ein mhemiche Poblem, uf Gund eine zu goben phyiklichen Modell! An eine Ecke wüde ich die Gechwindigkei ugenblicklich (in Null Zei!) eänden. Die i bei de Bewegung eine mebehfeen Köpe be nich möglich. Gechwindigkeieändeungen benöigen uf Gund de Meäghei imme ew Zei, d on unendliche Käfe nöig wäen! h Sinnolle Weg-Zei-Funkionen ind lo eig-diffeenzieb. Wenn in einem Modell nich eig diffeenziebe Weg-Zei- Funkionen ufuchen, o bedeue d nu, d d Modell meh de wenige k eeinfch wude. Beipiel: Wi becheiben, wie eine Shlkugel uf eine he Seinple fäll und do bpll. Beim Aufeffen uf de Ple ände ich in küzee Zei d Vozeichen de Gechwindigkei on - nch +. In einem een, goben Modell de Vogng h die Weg-Zei-Funkion n diee Selle eine Ecke. Abhilfe: D Modell mu ebee weden, in dem die Eliziä de Kugel beückichig wid. Duch die eliche Vefomung de Kugel wid diee (genue: ih Schwepunk!) zunäch uf Gechwindigkei Null gebem und nchließend wiede nch oben bechleunig. Übung:. Skizzieen Sie fü obige Beipiel (Kugel fäll uf Shlple) die Weg-Zei-Funkion und die Gechwindigkei-Zei-Funkion!. Mhe-Übung fü Fek: Die Weg-Zei-Funkion de einfühenden Beipiel (b Seie 4) -λ i: () in( ω) e ( + b + c ) - - mi den Konnen: ω,, λ,,, m, b, m/, c, m/ Beechnen Sie die Gechwindigkei zum Zeipunk! (D Eg. i 7,944 mm/ - egleiche numeiche Beechnung/Digmme!) Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.5/39

16 .. Bechleunigung Wenn die Gechwindigkei nich konn bleib, dnn pechen wi on eine bechleunigen Bewegung. Dbei knn die Gechwindigkei göße ode uch kleine weden. Bechleunige Bewegung Gechwindigkei ände ich! (+) bzw. (-) Die Gechwindigkei i lo eine Funkion de Zei : ()... Konne Bechleunigung (Gleichfömig bechleunige Bewegung) Wi bechen l Beipiel zunäch wiede eine linee Funkion (), d.h. in gleichen Zeiinellen ände ich die Gechwindigkei um den gleichen Beg. Zuäzlich nehmen wi zunäch n, d die Gechwindigkei bei Null i. Seigungdeieck: Seigung im Gechwindigkei-Zei-Digmm Bechleunigung Fläche Fläche im Bechleunigung -Zei-Digmm Gechwindigkei Al näche Beipiel bechen wi eine Bewegung mi konne Bechleunigung, be mi eine Anfnggechwindigkei., die übell die gleiche Seigung h. Die Fläche im Bechleunigung-Zei-Digmm egib ich wie ohe zu. Sie beückichig lo nu die Veändeung de Gechwindigkei ei Beginn ( ) und NICHT die Anfnggechwindigkei!. E egib ich wiede eine linee Funkion ( ) Fläche im --Digmm ( ) ( ) + () + Seigungdeieck: Δ Δ Δ Δ Fläche Δ Seigung im Gechwindigkei-Zei-Digmm Bechleunigung Δ Fläche im Bechleunigung -Zei-Digmm Veändeung de Gechwindigkei im becheen Zeiinell Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.6/39

17 Δ Wenn i, dnn gil umgekeh Δ Δ. Die i wiede die Fläche im Δ Bechleunigung-Zei-Digmm. Die Veändeung de Gechwindigkei im becheen Zeiinell egib ich lo l Fläche une de ()-Linie. I konn, dnn i d die Fläche eine Recheck, nämlich Δ. Wenn bei die Gechwindigkei Null i, dnn gil einfch. Mi Anfnggechwindigkei ( ) dgegen mu beche weden, d die Fläche nu die Veändeung de Gechwindigkei nzeig, e i lo ( ). Noch ew llgemeine können wi eine Bewegung mi konne Bechleunigung bechen, die zu einem Zeipunk mi de Gechwindigkei beginn. Auch hie i d Weenliche, d die Veändeung de Gechwindigkei popoionl zu egngenen Zei i: ( ) ~ ( ) Die Popoionliäkonne i hie die Bechleunigung. Fü () gib e dnn wiede echiedene Aen de mhemichen Becheibung: ( ) ( ) { + ( ) bh. on! kon.! α Δ S Seigung-Deieck: Δ [Gl...6.] Δ Δ Ein () Digmm mi konne Seigung (lo eine Gede!) becheib lo eine Bewegung mi konne Bechleunigung. An de Gedeneigung knn dnn die Bechleunigung bgeleen weden: Bechleunigung goß klein Null negi ( Vezögeung ) WHWLK? Die (momenn-) Bechleunigung i die Seigung im () - Digmm! Die Fläche im ()-Digmm egib die Veändeung de Gechwindigkei im becheen Zeiinell Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.7/39

18 ... Veändeliche Bechleunigung Hie müen wi (wie bei de Gechwindigkei, egleiche milee Gechwindigkei und Momenngechwindigkei) zwichen Momennwe und Mielwe de Bechleunigung unecheiden. Wi bechen l Beipiel eine Bewegung, bei de die Bechleunigung on einem poiien Anfngwe line uf Null bink. Die Gechwindigkei wäch dnn eig n, be die Seigung de Gechwindigkei-Zei-Kue nimm ändig b. () momenne Bechleunigung Tngeneneigung! milee Bechleunigung () () () ( ) Seigung de Tngene im Gechwindigkei-Zei-Digmm momennebechleunigung Fläche im Bechleunigung -Zei-Digmm Veändeung de Gechwindigkei im becheen Zeiinell wgeeche Linie mi gleiche Fläche milee Bechleunigung Wi hen gefunden, d ich die (momenne) Gechwindigkei l Ableiung de O nch de Zei egib (egleiche Gl...5., Seie 4). In de gleichen Weie beimmen wi jez die momenne Bechleunigung. Dzu beechnen wi zunäch l Δ Δ, ekleinen dnn d Zeiinell Δ und ehlen chließlich im Genzfll Δ die Ableiung on nch : Die Bechleunigung i die Seigung im () Digmm und wid beechne l ". Ableiung de Gechwindigkei nch de Zei" Δ Δ d d () lim () & () Δ Beückichig mn, d chon die ee Ableiung on nch i () d d [Gl...7.], o egib ich: Die Bechleunigung i die. Ableiung de Gechwindigkei nch de Zei ode die ". Ableiung de O nch de Zei" d-zwei nch d--qud d d d () d d & [Gl...8.] d d d Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.8/39

19 Bei Bewegungen mi nich konne Bechleunigung 7 egib ich im () Digmm keine Gede und im () Digmm keine wgeeche Linie (Konne) meh. Die gundlegende Beziehung zwichen Gechwindigkei und Bechleunigung bleib be ehlen: Die (momenn-) Bechleunigung i die Veändeung de Gechwindigkei po Zei, lo die Seigung im () Digmm Die Fläche une de () Kue Ändeung de Gechwindigkei (lo: Zei ) egib die Gechwindigkei bzw. Zei genue die Veändeung de Gechwindigkei im becheen Zeium....3 Allgemeine Zummenhng zwichen O, Gechwindigkei und Bechleunigung O Gechwindigkei Bechleunigung!! jeweil diffeenzieen!! Wie ehlen wi d. Gechwindigk. u d. Bechleunigung? Wie ehlen wi d. O u d. Gechwindigkei? Bechleunigung Gechwindigkei O!! jeweil inegieen!! d () d () 7 In de Pxi ind Bewegungen mi konne Bechleunigungen ehe die Aunhme (uch wenn in de Schule mei nu diee einfche Fll behndel wid). Snfe Anfhen und Abbemen eine KFZ z.b. bedeue imme eine zeibhängige, ich eig ändende Bechleunigung. Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.9/39

20 WHWL K? Weg, O, Poiion O-Veändeung Zei egib Gechwindigkei o Seigung beechnen! o Ableiung: d d Gechwindigkei * Zei egib O-Veändeung o O-Veändeungen ufummieen, Fläche beechnen o Inegl: d Gechwindigkei Gechwindigk.-Veändeung Zei egib Bechleunigung o Seigung beechnen! o Ableiung: d d Bechleunigung * Zei egib Gechwindigkei -Veändeung o Gechwindigkei - Veändeungen ufummieen, Fläche beechnen o Inegl: Bechleunigung d Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S./39

21 .. Beipiele, kon zue, uch ohne Ineglechnung (Deieckfläche!), Deieck-Bech einbuen, mi Gnuplo-Dig.!. Übungufgben V() Dig., bleen, -Ableen, Weepe geben, Funkion ufellen Einfche Fk. ngeben, diff/inegieen Polynom, in, co, exp, ln, q... Beipiele. Me chwing n Fede: ( ) A in( ω ) geg.: Ampliude A cm Fequenz f bzw. Keifequenz ω π f m () () / m,,5 -,5 chwingende Me () -,,,4,6,8 / Beimmen Sie die Gechwindigkei () l Funkion de Zei owie die Bechleunigung () l Funkion de Zei! Beechnen Sie die Gechwindigkei zum Zeipunk.3, die Bechleunigung zum Zeipunk.3 π ( ) owie den Mximlwe de Gechwindigkei und Bechleunigung! Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S./39

22 Nehmen Sie Ih Egebni fü () und beimmen Sie du wiede () und ()! Zeichnen Sie die Funkionen (), (), () (ode len Sie die Ihen Si-Knech mchen)! b. "Exponeniell-gebeme Bewegung": geg.: Gechwindigkei: ( ) e λ mi m/ u. λ.5 / Beimmen Sie Bechl. () und Weg ()! (bei ei ()!) / m exp.-ged.-bewegung / gleichfömig bechleunige Bewegung d d con. () d? () () d? Wichige Anw.: Bechl. im Schweefeld de Ede (Wuf, feie Fll) g 9.8 m/ [Gl...9.] (nu in de Nähe de Edobefläche!!!!) con. Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S./39

23 () d + () () d + + "unbeimme Inegle" bei jede Inegion eine "Inegionkonne"!, Bedeuung: Gechw. u. O "zum Zeip. " Beimmung: u Anfngbedingungen einfche Beipiel: bei ei gegeben () und () lo einfch () on: Anf.-Bed. in bzw. einezen,, beimmen! Kinemik- Skizze nfeigen, Koodinenyem u. Richungen felegen! Wo i fü Sie? Welche Richung i +? Nullpunk de Zeiche felegen! Welchen Zeipunk bezeichnen Sie l? llgemeine Fomel Bp.: gleichf. Bechl. Bechleunigung be.! () K con.. Inegion eine Inegionk. () d K ( ) +. Inegion eine weiee Ineg.-kon. Anfngbedingungen () ( ) d K () : ( ) ufcheiben ( ) : + + ( ) ( ) : ; Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.3/39

24 in u. einezen, ( ) Inegionkon. be. ( ) K K ; O-/Gechw.-Zei-Bez. () K ( ) K () Ein Koodinenyem - eine Zei! ( ) on : Ode mi beimmen Ineglen Mhe: unbeimme Inegl f( x) d x F( x) + C [Gl...] b [Gl...] beimme Inegl f( x) d x Fb ( ) F ( ) keine unbe. Konne C! Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.4/39

25 Anfngbedingungen in beimme Inegl einezen Bp.: con. ; ( ) ; ( ) () ( ) ( ) d () ( ) () ( ) ( ) d () ( ) + ( ) (***) umuliplizieen, umellen Egebni kennen wi chon! gleiche Egebni! einfche? (***) Bem: Dellung l ( ) ( ) K + K + K wie bei (***) i dnn beonde innoll u. übeichlich, wenn O und/ode Gechwindigkei nich bei onden bei beknn ind und/ode die Bechleunigung b wik! Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.5/39

26 Beipiel Deieck-Bechleunigung Wi bechen ein nfe Anfhen, d.h. ein Köpe oll uf eine Endgechwindigkei bechleunig weden, ohne d die Bechleunigung ( ) Spünge mch. Eine einfche Möglichkei dfü i, d () innehlb de Zei line on Null uf die Mximlbechleunigung nwäch, und dnn bi zum Zeipunk wiede line bi uf und x ( ). Null bink. E ei ( ) Bechleunigung Dmi ehäl mn fü die Bechleunigung (mi Fllunecheidung fü die zwei Phen): () () ( ) < (I) (II) (I) (II) Anmekungen: Fll I: () oll mi line on Null n nwchen. Dmi egib ich fü Fll I eine Upunggede mi Seigung, lo () I. Fll II: E gib (wie meien) mehee Wege, um zu Bechleunigung im Fll II zu kommen:. Velängen Sie die fllende Gede ückwä bi zu, de Achenbchni i, die Seigung om Beg wie bei I, jedoch negi, lo: II ().. Gehen Sie om Punk bei (Mximum) u. Do i. Ab fäll () mi de (negien) Seigung. Alo i II () ( ) 3. Gehen Sie om Punk bei (Nullduchgng) u. Do i. Vo fäll ( ) mi de (negien) Seigung. Alo i II () ( ) Alle dei Anäze liefen d gleiche Egebni! Übung: Zeigen Sie, d die dei Egebnie idenich ind! Sellen Sie zu Übung die Gleichung fü ( ) uf, wenn die Phe mi bfllende < Gechwindigkei Bechleunigung (II) die doppele Zei due ( ) 3 Die Gechwindigkei ehlen wi duch Inegion u de Bechleunigung: () () d. Dbei müen wi nülich wiede die Fllunecheidung bechen und unbeding uf die Anfng- bzw. Anchlubedingungen chen. Diee ind: Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.6/39

27 Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.7/39 Fü Fll I : ( ) Fü Fll II : ( ) ( ) II I, D eig ein mu, mu die Fomel fü Fll II fü d gleiche Egebni liefen wie die Fomel fü Fll I! Hinwei: Die Gechwindigkeien fü die Zeipunke und können wi unmielb u den Deieckflächen beimmen: ( ) und ( ). Sie ollen die ewenden, um die llgemeinen Fomeln fü () zu übepüfen! Fü Fll I egib ich duch Inegion: () () I I d () d I Wegen ( ) i die Inegionkonne Null. Auch wenn wi d beimme Inegl () ( ) ( ) d uechnen, ehlen genu o chnell und einfch d Egebni: () ( ) { d I I Übung: Übepüfen Sie, ob Sie fü d ichige Egebni ehlen (egl. Deieckfläche)! Fü Fll II ewenden wi d beimme Inegl () ( ) ( ) d. Alo: () ( ) ( ) + d E egib ich ( Nchechnen!) : () ( ) ( ) + Dmi egib ich fü () ingem: () ( ) ( ) < + (II) (I) O

28 ..3 Bew. in meheen Dimenionen "kummlinige Bew."..3. O- u. Gechw.-Veko z ( ) ( ) ( ) 3 3 ( ) 4 4 x y Oeko () i Funkion de Zei! Becheibung eine Bewegung im Rum: 3 Koodinen 3 Funkionen de Zei x(), y(), z() Zummenfung zu einem Veko: Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.8/39

29 () x Oeko () y () z Gechwindigkei-Veko () () d x d ( + Δ) () Δ d d y lim lim Δ Δ Δ Δ d d d z d [Gl...] [Gl...3.] () Richung on : Tngene de Bhnkue! () Δ (+Δ) Beipiel: Bew. mi kon. Gechwindigkei gegeben: O u. Gechw. bei O [m] Gechw. [m/] x-komp. 3 y-komp. 5 - z-komp. - Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.9/39

30 E i () K und omi () + mi K K K KK con. K Wo i de Köpe zum Zeipunk? ( ) K K Beechnen Sie den Beg de Gechw.! K Wnn i de Köpe bei y? Wo (x,y,z!) i e dnn? K K ( ) K K Welche Winkel i zw. ( ) und ( )? α K Zeichnen Sie in ein "y-x-digmm" die Bhn de Köpe, den Oeko zum Zeipunk und! Kennzeichnen Sie uf de Bhn die Poiion de Köpe in -Schien zwichen und!..3. Bechleunigung-Veko Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.3/39

31 () Bhn de Köpe () (+Δ) (+Δ) () Ändeung de Gechwindugkei- Veko (+Δ) Δ Bechleunigung-Veko Gechwindigkei zum Zeip. : ( ) zum Zeip. + Δ : ( + Δ ) -Ändeung: Δ Ändeung Δ de Gechw.-Veko : Beg Richung Beg und Richung Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.3/39

32 Bechleunigung () d x d x d d ( + Δ) () Δ d d y d y lim lim Δ Δ Δ Δ d d d d z d z d d [Gl...4.] Tngenil- Bechleunigung Noml-Bechleunigung llg. Fll Richung bleib kon. Richung ände ich Richung und ände ich bleib kon. änden ich. Tngenilbechleunigung: Veko zeig zu "Inneneie de Kue"! d d d nu de Beg on ände ich! () d (+d). Nomlbechleunigung: (+d) d () d nu die Richung on ände ich! + d! Bem.: fü eine Nomlbechl. und "infinieiml kleine" d bzw. d i ( ) () 3. beliebige Richung: wid zeleg in eine Komp. pllel zu Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.3/39

33 und eine Komp. enkech zu : + II bzw. Gechw.-Ändeung d d + d II (+d) d d () d..3.3 Übelgeung on Bewegungbläufen Supepoiionpinzip Gleichzeiig blufende Bewegungen eine Köpe beeinfluen einnde nich Wenn diee Bewegungen einzeln ncheinnde blufen wid de gleiche Bewegungzund eeich Ein (kompliziee) Bewegungbluf knn in einzelne (einfchee) Teil-Bewegungen "zeleg" weden Beipiel: Flugzeug - Wind V w V F V ge Bechleunigungen, Gechwindigkeien, Oekoen ekoiell ddieen! Bem: Die gil nich meh uneände, wenn die Gechw. eh goß (egleichbmi de Lichgechw.) weden! Reliiä! Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.33/39

34 Beg.:.) Phyik - Bewegungen öen ich nich ( Bech. de gl. Bew. in ech Bezugyemen) b.) Mhe: Inegl ( Σ $!) "linee Opeion" f( x) + gx ( ) dx f xdx+ gxd x [ ] ( ) ( ) "e ddieen, dnn Inegl inegieen, dnn ddieen" Bechleunigung Gechwindigkei Oeko Bew. Bew. Gem-Bew. + d d d ( + ) d + d d d ( + ) d + [Gl...5.] Meke: gleiche Egebni, egl ob Sie. Bechleunigungen "" ddieen, du "" und "" uechnen ode. fü jede Bew. einzeln "" uechnen, dnn "" ddieen ode 3. fü jede Bew. einzeln "" uechnen, dnn "" ddieen Bp.: wgeeche Wuf Übelgeung on Bew. : kon. Gechwindigkei Bew. : kon. Bechleunigung y O x g Anfngbed.: x(), x() y(), y() Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.34/39

35 (Abwuf im Upung, y-ache nch oben) Bew. :ho. Bew. mi kon Gechw. Bechleunigung Gechwindigkei Bew. :e. Bew. mi kon. Bechl. Gem-Bew. ( ) ( ) g g ( g) g Oeko g g [Gl...6.] Bp. : chiefe Wuf y g Übelgeung on Bew. : kon. Gechwindigkei O φ x Bew. : kon. Bechleunigung Anfngbed.: Abwuf bei x y (gegeben) Abwufgechw., Winkel zu Hoiz.: ϕ (geg.) Zel. de Anfng-Gechw. in x- u. y-komp.: coϕ in ϕ Bew. : kon Gechw. Bew. : kon. Bechl. g Bechl. g ( g) Gechw. coϕ in ( g) ϕ Gem-Bew. g g + Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.35/39

36 O. + coϕ + x in ϕ + y g g + + ode: Bew. : ho. Bew. mi kon Gechw. x coϕ Bew. : e. Bew. kon. Bechl., Anfnggechw. inϕ y Egebni (wie oben): ( ) g x + + coϕ in ϕ y + coϕ + x g + inϕ + y [Gl...7.] [Gl...8.] Bhnkue yy(x), Wufweie, Wufhöhe, opim. Abwufwinkel ec Keibewegung zunäch: gleichfömige Keibewegung: con.! nu Nomlbechl.! II y φ R x Richung on ände ich duend bechleunige Bewegung! Richung on? Tngene!, d, und zu "Kueninneneie" zeig ( ) zeig zum Keimielpunk! "Zenipelbechleunigung" Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.36/39

37 con. Bogenlänge (mi ( )!) Mi ϕ im Bogenmß ϕ R ϕr ϕ( ) R ω Winkelgechwindigkei (Keifequenz) ω ω : R [Gl...9.] llg. ω "Winkeländeung po Zei", d ϕ ω ϕ & d [Gl...] ϕ ωd, hie: ϕ ω π Peiodendue T: ωt π ω Fequenz f T Dehbewegung:, ω π f [Gl...] T Winkel ϕ Einh.: (d.) Bogenmß!!! Winkelgechwindigkei ω Einh.: / Winkelbechleunigung α Einh.: / Bp.: gleichf. bechl Dehbewegung αcon. ; ω( ) ω ; ϕ( ) () α( ) ω d [Gl...] () ω( ) ϕ d [Gl...3.] ϕ () ( ) ( ) d ω() ω α ( ) ω ω α () ( ) ( ) d ϕ() ϕ α ( ) + ω ( ) ϕ ϕ ω -dim. Bewegung Vegleich O, Weg Winkel ϕ Dehbewegung Gechwindigkei & Winkelgechwindigkei ω ϕ& Bechleunigung & && Winkelbechleunig. α ω& ϕ&& Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.37/39

38 Vegleich wid fogeez! Meke: uch eine gleichfömige Keibewegung i eine bechleunige Bewegung!!!! z.zw.d.ü.: Becheiben Sie die gleichf. Keibewegung eine Köpe in de x-y-ebene duch den Oeko ()! geg.: Winkelgechw.: ω Bhndiu: R, Deh.: engegen dem Uhzeige., Anfngbed.: bei ei de Köpe y K K () ( ) Wie goß i? Löung duch.) Nch-Denken b.) Nch-Rechnen Beimmen Sie ϕ()! Beimmen Sie echneich den Gechw.-Veko () Zeigen Sie echneich, d i! Löungwege wie oben! ( ) d d Beimmen Sie echneich den Bechleunigung-Veko () Zeigen Sie, d i, d.h. () ( K) ( )! Zeigen Sie echneich, dß i! zeilich konn i! Zeigen Sie, d () d d ( ) Egebni: Zenipelbechleunigung z ω R [Gl...4.] R Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.38/39

39 Phyik Kinemik.doc, Pof. D. K. Ruchnbel, HHN,..4 :57 S.39/39