Vektoranalysis Teil 2

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1 kiptum u Volesung Mathematik fü Ingenieue Vektoanalsis Teil Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) Fahhohshule Pfoheim FB-Ingenieuwissenshaften, Elektotehnik/Infomationstehnik

2 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Inhalt 3. Vektoanalsis 3. Einfühung 3.. Vektoen 3.. Felde 3..3 Multiplikation von Vektoen 3. Diffeentiation und Integation von Vektoen 3.. Diffeentiation 3.. Integation 3.3 Raumkuven 3.3. Paametefom von Raumkuven 3.3. Diffeentialgeometie 3.4 Ebenen in R Divegen, Rotation, Gadient 3.5. Nabla-Opeato 3.5. Gadient Divegen Rotation Potential Laplae-Opeato Rehenegeln 3.6 Integale mit Vektoen 3.6. Kuven-, Weg- bw. Linienintegale Wegintegal übe kalafeld Wegintegal übe Vektofeld 3.6. Obeflähenintegale Obeflähenintegal übe kalafeld Obeflähenintegal übe Vektofeld Integalsäte de Vektoanalsis Gaußshe Integalsat tokeshe Integalsat Egänungsaufgaben u Vektoanalsis / Lösungen Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne)

3 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil 3.5 Divegen, Rotation, Gadient bleitung von Vektofelden und kalaen 3.5. Nabla-Opeato smbolishe Vekto, eingefüht von Hamilton, nütlihe Diffeentialopeato + + i j k 3.5. Gadient Die Ändeung eines kalafeldes Φ(,,) (.B. äumlihe Tempeatuveteilung) in benahbaten Punkten + d, + d, + d kann duh das folgende totale Diffeential beshieben weden: d Φ Φ d Φ d Φ + + d Fü den Gadienten von Φ gilt: Φ Φ gad Φ Φ Φ ( Φ ist ein Vektofeld!) und damit ehalten wi fü das totale Diffeential dφ: dφ gadφ d Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 3

4 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Beispiel: Φ(,,) 3² - ³² Bestimme Φ gad Φ in P(,-,-). Φ (3² - ³²)/ i + (3² - ³²)/ j + (3² - ³²)/ k 6 i + (3² - 3²²) j - ³ k Φ P - i - 9 j - 6 k (Vekto!) Divegen Ist jedem Punkt P(,,) eines Gebietes ein Vekto (,,) man eine Vektofunktion (Vektofeld). 3 (,,) (,,) ugeodnet, nennt (,,) Def.: Die Divegen div eines Vektofeldes ist: div also das kalapodukt von Nabla-Opeato und Vektofeld. Das Egebnis ist ein kalafeld. phsikalishe Bedeutung: Beispiel: tömung duh Volumenelement V. De Vekto (,,) besheibe die eitlih konstante tomdihte eine Flüssigkeitsstömung. Es ist paallel de tomihtung und die tomstäke, d.h. die Flüssigkeitsmenge, die po Zeiteinheit duh ein senkeht u liegendes Flähenelement F fließt. In dem unten skiieten Volumenelement V liefet in die u -Ebene paallelen Flähen nu die -Komponente von einen Beitag. Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 4

5 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Po Zeiteinheit fließt die Menge 3 (,,) in die untee Flähe hinein und 3 (,,+ ) aus de obeen Flähe heaus. Wenn die Diffeen beide nteile > ist, spiht man von eine Quelle bw. von eine enke wenn sie < ist. 3 (,, + ) (,, ) 3 3 V mit V bw. wenn : d 3 3 dv Fü die andeen beiden Rihtungen ehalten wi: d dv d dv ddition liefet: d div dv d.h. wi können div als Quellenstäke po Volumenelement (Quellendihte) beeihnen. > div < Quelle quellenfei enke Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 5

6 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Beispiel: tömung im Roh keisfömiges Roh - - v div v, da gleihviel ein wie aus Geshwindigkeits-Pofil duh Randeibung - + Nahweis, daß div v (keine Flüssigkeit geht veloen): v v v ( ) divv Falls bweig bei //: v, div v, + +! Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 6

7 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Rotation Rotation eines Vektofeldes : ot vektoielle Multiplikation Egebnis ist ein Vekto! in kathesishen Koodinaten: ot i j k Phsikalishe Bedeutung: wibelfei ot Wibel, Tubulenen ein Feld ist dann wibelfei, wenn es ein Gadientenfeld ist, d.h., ot gad Φ : - Edshweefeld - E-Feld Beweis: E F gad U E gad E pot + i j k 4 4 ote Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 7

8 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 8 Beispiel: Wibel in tömung? v / Kugel um P(,5//) deht sih im Uheigesinn, da v des Wasses links und ehts unteshiedlih goß ist. Dehahse ist die - hse: ω ω beehne ot: ( ) ot v P v v v v v v Kugel deht sih P P + ω ω! ot Rotation! Kugel (//): ot v deht sih niht! Zusammenfassung: Opeatoen im Kathesishen Koodinatensstem div gad ot div gad Φ Φ Φ Φ ot 3 3 div B : es gibt keinen magnetishen Monopol div E ρ : Ladungen sind Quellen des E-Feldes E-Tehnik: Mawell-Gleihungen in diffeentielle Fom ot E B & E-Feld eeugt B-Feld

9 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Potential geg.: Vektofunktion i + j + 3 k Ist ein konsevatives Feld (.B. Gavitation, E-Feld), dann gilt: ot ein Potential eistiet d.h. muß sih als Gadientenfeld sheiben lassen (da ot gad Φ imme Null ist): gad Φ mit ot kann nahgewiesen weden, ob ein Feld konsevativ ist! E-Tehnik MB : E -gad U : F gad E pot / D : F mg d(mg) /d andes heum: ein Potential Φ eistiet nu, wenn ot v, d.h. wibelfei ist (Helmholt- Bedingung) Beispiel: Potential Φ / : Potential eine Punktladung. Beehne das ugehöige E-Feld. E gad Φ gad kathesishe Kood.: ² + ² + ² ( ² + ² + ² ), 5 3 E 3 3 E ~ 3 Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 9

10 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Laplae-Opeato ei Φ ein kalafeld, dann ist V gad Φ Φ ein Vektofeld und divv V div gad Φ Φ wiedeum ein kalafeld. ( ) ( ) Diese weimalige nwendung des Nabla-Opeatos beeihnet man als -Opeato (Delta- ode Laplae-Opeato). ( ) Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ,,,, Φ Laplae-Opeato: + + Potentialtheoie: Lösungen de Diffeentialgleihung Φ fü vogegebene Randbedingungen finden. Beeihnung: Φ Laplae-Gleihung Φ Poisson-Gleihung Lösungen beide Gleihungen oft seh shwieig! Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne)

11 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Rehenegeln Es folgen ohne Beweis einige Rehenegeln, die manhmal seh hilfeih sein können. lle Regeln lassen sih leiht komponentenweise bestätigen (gute Übung!). Φ + Ψ Φ + Ψ a) ( ) V + W V + W b) ( ) V + W V + W ) ( ) d) ( ΦV) ( Φ) V + Φ( V ) e) ( ΦV) ( Φ) V + Φ( V ) f) ( V W) W( V) V( W ) g) ( V W) ( W ) V W( V) ( V ) W + V( W ) h) ( VW) ( W ) V + V( W) + W ( V) + V ( W ) V V V bw ot ot V gad div V V i) ( ) ( ) ot gad Φ j) ( Φ) V div ot V k) ( ). ; V ( V, V, V ) 3 Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne)

12 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil 3.6 Integale mit Vektoen 3.6. Kuven-, Weg- bw. Linienintegale Wegintegal übe kalafeld geg.: skalae Funktion Φ(,,) Paametedastellung: Φ((t),(t),(t)) Φ(t) P (t) P C Weg ( t ) von P ( ( t ) ) P ( ( t ) ): ( t ) ( t ) i + ( t ) j + ( t ) k Definition: Integal übe Weg entlang de Kuve t Φds Φ( t) & dt t ( von "uve") d d d mit ds d + d + d dt dt + dt + dt & dt (vgl. Bogenlänge, Kap ) Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne)

13 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Beispiel: haubenlinie Gegeben: kalafeld Φ(,,) ² + ² + ² Weg entlang Kuve, die duh beshieben wid: ( t) ( t) ( t) ost sin t ; t π (eine Umdehung) t h Paametefom des kalafeldes: Φ(t) os²t + sin²t + t² + t² sin t & os t ; & sin ² t + os ² t + π Umlauf t Φds Φ( t) & dt ( + t²) dt t π π t³ t + + 8π ³ π π ( 3 4π ² ) Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 3

14 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Wegintegal übe Vektofeld geg.: Vektofeld i + j + k 3 Weg ( t ) von P nah P (wie 3.6..) P (t) d P C Beispiel: Edfeld : - mg k F mg Definition: Integal de Tangentialkomponente von längs ("oientietes Kuvenintegal"): P d d d + d + d d + d + d P keine Infomation übe Kuvenvelauf htung: Weg nu in hsenihtung, beliebige Wege mit Paametedastellung möglih! in Paametedastellung (vgl. kalafeld): t d d d d dt ( ) ( & + & + 3 &) t Hie geht Kuvenfom in Integation ein! ( ( t), ( t), ( t) ) ( t) (,,, t) ( ( t), ( t), ( t) ) ; ( t) ( t) ; & ( ( t), ( t), ( t) ) ( t) 3 Tangentenvekto t t d t dt ( ) ( ( ) & ) t (s.o.) Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 4

15 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Integation auh diekt mit Linienelement d möglih, abe meistens kompliiete! Bemekungen: Integal hängt i.. niht nu vom nfangs- und Endpunkt des Integationsweges, sonden auh vom eingeshlagenen Vebindungsweg ab. wid de Integationsweg in umgekehte Rihtung duhlaufen, gilt: d d Beeihnungen: d Integal entlang Weg bw. Kuve d Integal entlang geshlossene Kuve : Zikulation von längs (nwendung:.b. tömungs-/eodnamik) Phsik, Tehnik: Kaft F ; Weg s d F ds W ( beit ) fü Ebene (D) analog Beispiel : Beehne Linienintegal mit Paametedastellung t t t ² ; ( ) ; t ² & ; d + dt + dt t t + t t dt ( & &) ( ² ² ) ( 4 ² ² ) 5 d t³ dt t 4 [ ] 5 t Weg : t Pinipielles Vogehen: Wegdastellung (in Paametefom) in fü,, einseten Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 5

16 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Beispiel : Beehne das Linienintegal übe d. Vektofeld auf den Wegen P P und P P 3. P3 3² ² (t) P P 3 : Integation mit Paametedastellung des Weges. P P P P : ohne Paametedastellung (entlang hse) 3² ² ; Weg von P (,, ) P (,, ) 34 3 d d + d + d ( 3 ) hie entlang hse : d d ; d d ( 3² + 6 ) d 3 ² d [ ³ ] P P 3 : mit Paametedastellung ; Weg von P (,,) P 3 (,,) Paametedastellung Weg ( t) t t mit t & ( t ) t Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 6

17 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil d t t t Weg: t t ( & + & + & ) dt [( 3² + 6) 4 + ² ] ( 3t ² + 6t4t ² + t³ ) dt ( 6tt ² + t³ ) t t dt dt d 3t² t³ + 5t Wegunabhängigkeit Ein Kuvenintegal d ist wegunabhängig, wenn die Integabilitätsbedingung fü ein ebenes Vektofeld äumlihes Vektofeld,, 3 3 efüllt ist. Bemekung: Ein Kuvenintegal ist dann wegunabhängig, wenn das Vektofeld als Gadient eine otsabhängigen Funktion Φ (Potential) dastellba ist: Φ gad d h Φ Φ,.. Φ ( Φ : patielle bleitung n. ) Φ Q Q Q d gadφ d Φ d + Φ d + Φ d dφ Φ Q Φ P P P P Q ( ) ( ) ( ) P Das Vektofeld heißt dann konsevativ bw. Potentialfeld Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 7

18 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Beispiel: - ET : E gad U - MB : F gad E pot / D: E pot m g (E pot ) m g F G Wegintegal kann duh Potentialdiffeen beehnet weden: de pot /d mg de pot mg d E pot mg + C Ist das Linienintegal übe wegunabhängig ( konsevativ), so gilt ebenfalls: ot (Wibelfeiheit) Im Falle de Wegunabhängigkeit ist das Kuvenintegal längs eines geshlossenen Weges Null: d Beispiel: Zeigen ie, daß fü das ebene Vektofeld 3²² i + ³ j das Linienintegal übe einen geshlossenen Weg Null ist. a) mit Integabilitätsbedingung ( ² ² ) 3 6² ( ³ ) 6² q. e. d b) mit Weg.B. von P (,) nah P (,), P (,) nah P 3 (,) und nah P (,) uük. P P3 P d d + d + d P P P3 Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 8

19 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil P P 3² ² d d P P : Paametedastellung 3 t t mit t t ( ) ; & ( ) t Bem: Geade P3 P d dt + dt t t + t t dt & ( ) ( & & ) ( 3( )² ² ( ) ( )³ ) t t t 4 4 ( 3( t + t²) t² ( ) + ( 3t + 3t ² t³) t ) dt ( 3t ² + 6t ³ 3t + t 6t ² + 6t ³ t ) dt t t ( t² t³ t t ) dt [ t³ t t t² ] t P P ³ d 3 d umme alle Teilsteken! Beispiel: Konsevatives Kaftfeld, Potential und beit a) Beweise, daß ( + ³) i + ² j + 3² k ein konsevatives Kaftfeld ist. Bedingung: ot bw. Integabilitätsbedingung fü äumlihes Vektofeld ot 3² 3² b) Beehnen ie das ugehöige kalapotential. gad Φ (da ot muß ein kalafeld eistieen!) Φ Φ Φ Φ + ³ ² 3² Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 9

20 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil 3 Gleihungen fü das Potential: Φ/ + ³ (*) Φ/ ² (**) Φ/ 3² (***) das sind 3 DGL s, die integiet weden: (*) : Φ ² + ³ + C (,) (**) : Φ ² + C (,) (***) : Φ ³ + C 3 (,) lle 3 Gleihungen besheiben das Potential Φ, d.h., sie müssen übeeinstimmen. Dies ist nu de Fall, wenn: C, C ³ und C 3 ² Φ ² + ³ ( + evt. Konstante, die beim Diffeenieen heausfällt) (Pobe!) ) Beehnen ie die veihtete beit W, wenn ein Massepunkt von P (,-,) nah P (3,,4) bewegt wid. W P d Φ ( 3,, 4) Φ (,, ) ( + ) + P Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne)

21 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil 3.6. Obeflähenintegale Obeflähenintegal übe kalafeld n n.. d d mit positiv gekümmt R R: Pojektion von auf -Ebene : sufae (Obeflähe) n : Nomalenvekto, auf d, n Flähenintegal übe kalafeld Φ(,) übe geshlossene Flähe: Φ(, ) d mit d d d kathesishe Koodinaten fü Flähen paallel u -Ebene d d dϕ bei Polakoodinaten Beispiel: a n geg.: Φ(,) ² + ² und Wüfel mit Kantenlänge a d ges.: Obeflähenintegal duh obee Flähe (in -Rihtung) R a a a a [ 3 ] ( ) 3 Φ(, ) d ( ² + ²) d d ³ + ² d a³ + a ² d [ 3 ³ ³ ] a + a a a 3 3 a 4 a Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne)

22 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Obeflähenintegal übe Vektofeld Flähenintegal übe Vektofeld übe geshlossene Flähe: d n d entspiht Fluß von duh Flähe ( n ) in kathesishen Koodinaten: d d d n d n ( n k ) R n k : Einheitsvekto in -Rihtung. d Bsp: Mawell: D d Q (Ladung) k R d d Koodinaten Kathesishe - Zlinde- Kugel- d Flähenelement d d ( n k ) dϕ d : Radius ² sinϑ dϑ dϕ : Radius bgl. -Ebene ϕ π ϑ π, ϕ π gilt auh fü kalafeld (n. Kap ) vgl. Doppelintegale Mathematik Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne)

23 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Beispiel : Beehnen ie den Fluß des Vektofeldes duh den skiieten Wüfel mit de Kantenlänge. 4 n fü ote Flähe -j Ges.: I d Einelintegation übe alle 6 Wüfelseiten, anshließend alle Komponenten addieen: I ges I + I + I 3 + I 4 + I 5 + I 6. Fluß duh -Ebene ( n j ): 4 I d n d ( j ) d d d 4 d d 4 d d d d. Fluß duh -Ebene, ( n j ): 4 I d n d d d Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 3

24 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil 4 4 ( ) [ ] d d d d d d d d [ ] 3. Fluß duh -Ebene ( n k ): 4 4 I3 d n d d d d d [ ] d d d d 4. Fluß duh -Ebene ( n i ): I 4 d nd 4 d d d d 4 [ ] d d d d estlihe Flähen (I 5 und I 6 ) als Übungsaufgabe: I ges I + I + I 3 + I 4 + I 5 + I 6 - +, ,5 Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 4

25 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 5 Beispiel : Beehnen ie den Fluß des Vektofeldes duh eine Halbkugel mit Radius : Halbkugel mit Nomalenvekto n Lösung: ( ) + dd dd n d d I mit (obee Halbkugel) längee Rehnung füht auf I. (elativ aufwendig, einfahe mit Integalsäten, s.u.)

26 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Integalsäte de Vektoanalsis Bedeutung: leihtee Integation von Vektoen bei - Elektiität und Magnetismus - Hdomehanik und Wämeausbeitung - Diffeentialgleihungen mit Potentialen (Mawell-Gl.) (hie niht behandelt) Gaußshe Integalsat V sei ein deidimensionale Beeih (Volumen), de von eine geshlossenen Flähe begent wid. Ist ein Vektofeld mit stetige bleitung, so gilt mit n als positive (nah außen geihtete) Flähennomale: V div dv n d wötlih : Das Obeflähenintegal de Nomalkomponente eines Vektofeldes übe eine geshlossene Flähe ist gleih dem Volumenintegal de Divegen von übe den duh die Flähe umshlossenen Beeih. Beispiel: Mawell: D d Q divd ρ (Ladungsdihte) in Kathesishen Koodinaten: mit div d d d d 3 dv + + ( osα + osβ + 3 os γ ) V V Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 6

27 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil wobei α, β und γ die Winkel wishen n und den positiven hsen bilden. Beehnung übe Rihtungskosinusse: n i os α ; n j os β ; n k osγ Phsikalishe Deutung: Wenn das Geshwindigkeitsfeld v eine tömung ist, so kann das Flüssigkeitsvolumen V F, das d in t duhstömt, ausgedükt weden als ( gesamte Obeflähe, welhe das Volumen V umshließt): V ( v t) F n d v n d t (V F Quade mit Basis d und shäge Höhe v t) v t Vol n d eineseits gilt fü das Flüssigkeitsvolumen, welhes po ekunde duh d stömt: V F v n d gesamtes Flüssigkeitsvolumen po ek. duh : VF, ges v n d andeeseits gilt: Die Menge de Flüssigkeit, die im Inneen eeugt bw. abgefüht wid ist: V, F eeugt inv V div v dv (div v Quelldihte) Massen- / Volumenehaltung: V F, ges duh V F, eeugt in V v n d V div v dv Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 7

28 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Beispiel: Beehnen ie den Fluß des Vektofeldes Wüfel mit Hilfe des Gaußshen Integalsates. duh den unten skiieten 4 Gesuht: I d Lösung: n d V div dv I + + V 3 d d d d d d 4 + V ( 4 ) ( 4 ) d d d d d d V d: d d: ( ) 4 d d: 4 d I,5 vgl. Rehnung mit Obeflähenintegal (Bsp. Wüfel, s.o): gleihes Egebnis Fait: Rehnung mit Gaußshem Integalsat einfahe! Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 8

29 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil tokesshe Integalsat Mit Hilfe des Gaußshen Integalsates kann ein Volumenintegal in ein Obeflähenintegal (bw. umgekeht) übefüht weden. De nun behandelte Integalsat von tokes elaubt dagegen die Dastellung eines Obeflähenintegal duh ein Kuvenintegal (bw. umgekeht). sei eine Flähe, die eine geshlossene Randkuve besitt. Ist ein Vektofeld mit stetige bleitung, so gilt mit n als positive (nah außen geihtete) Flähennomale: d ot d mit d n d wötlih : Das Kuvenintegal de Tangentialkomponente eines Vektos längs eine geshlossenen Kuve C ist gleih dem Obeflähenintegal de Nomalkomponente de Rotation von übe eine beliebige Flähe, die C als Randkuve besitt. Beispiel: Mawell Ed ote in Kathesishen Koodinaten: mit ot osα + os β + osγ d ( d d 3 d) + + wobei α, β und γ die Winkel wishen n und den positiven hsen bilden. Beehnung übe Rihtungskosinusse: n i os α ; n j os β ; n k osγ Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 9

30 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Beispiel: Veifikation des at von tokes sei die obee Hälfte de Kugelshale: sei de Rand von. ² + ² + ² Konventionell mit Wegintegal: d ( d + d + 3 d) (( ) d ² d ² d) De Rand von ist de Keis in de -Ebene mit Mittelpunkt im Uspung und Radius. Vewendung von Polakoodinaten ( ): os t ; sin t ; fü t π ( Umlauf) ( ) ( & + & + 3 &) ( sin + os ) t d d d dt t t dt t π π π t t ( ) sin ² os dt ( t t t ) dt ( t t t) dt ( os sin ) sin sin ² sin os Paametedastellung einseten π t sint 4 sin ² t π π Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 3

31 Volesungsskipt "Mathematik : Vektoanalsis, Teil Mit at von tokes: Rotation: ot + k ot n d k n d R dd (R: Pojektion auf -Ebene) Beehne Flähenintegal übe Keis mit : ² ² [ ] d d ² d ² + asin π + π π ( Flähe eines Keises mit Radius ) Pof. D.-Ing. Nobet Höptne (nah eine Volage von Pof. D.-Ing. Tosten Benkne) 3