2 Bewegung. 2.1 Einleitung. 2.2 Kinematik Koordinatensystem

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1 Bewegung.1 Einleitung Vereinfacht lässt sich sagen, dass sich die Kinematik (Bewegungslehre) mit der Beschreibung von Bewegungen eines Massepunkt beschäftigt. In ihr werden die Bewegungsabläufe dargestellt, ohne dass zunächst nach den Ursachen für eine Bewegung gefragt wird. Die Kinematik stellt das Handwerkszeug bereit, welches später in der Kinetik bei der Betrachtung dieser Bewegungen und deren Ursachen benötigt wird. Bewegung hat eine Ursache und die Kinetik behandelt die Beziehung zwischen einer Kraft und einem Bewegungsablauf. Um Bewegungsabläufe darstellen zu können, benötigen wir wie in der Statik ein System von Koordinaten. Innerhalb eines solchen Systems wird die Messung von Geschwindigkeit und Beschleunigung möglich. Als Sonderfälle von Bewegungsabläufen werden wir den freien Fall und die Kreisbewegungen kennenlernen.. Kinematik In der klassischen Kinematik benötigen wir zur Beschreibung einer Bewegung einen geeigneten Referenzrahmen und Gleichungen, die Bewegungen beschreiben...1 Koordinatensystem Auch bei der Bewegungslehre wird zunächst ein kartesisches Koordinatensystem verwendet (Abb..1). Wie schon im vorhergehenden Kapitel über die Statik wird die Lage eines Punktes P definiert durch den Vektor r mit seiner -, y- und z-komponente (s. Abb. 1.8): r = i + yj + zk (.1)

2 14 Book Studium TitleGenerale Physik z k r i j y Abb..1 Kinematisches Bezugssystem., y und z sind die Achsen des Koordinatensystems; i, j und k sind Einheitsvektoren und r der Vektor im Raum. Bewegung heißt Änderung eines Ortes mit der Zeit t. Deshalb erweitern wir Gleichung.1 folgendermaßen: r( t) = (t) i + y(t) j + z(t) k (.) Daneben gibt es weitere mögliche Koordinatensysteme, die auch miteinander in Beziehung gesetzt werden können, z. B. Polarkoordinaten oder Zylinderkoordinaten für die Darstellung dreidimensionaler Bewegungen... Bewegungsgleichungen Änderungen der Lage eines Massepunkt mit der Zeit werden in Geschwindigkeit gemessen: v = lim[ r(t + t) r( t )]/ t = lim r/ t = dr/ dt = ṙ t 0 t 0 (.3) Wenn Δt für ein Zeitinterval steht, dann bedeutet lim t die Reduzierung t 0 dieses Intervals auf immer kleinere Werte im Endeffekt praktisch gegen null und mathematisch ausgedrückt wird dann aus Δ ein kleines d. Unter Berücksichtigung von Gleichung. erhält man: v = i + y j + z k (.4)

3 Bewegung 15 oder v = v i + v j + v k y z (.5) Ändert sich nun auch die Geschwindigkeit mit der Zeit, spricht man von Beschleunigung. Sie kann positiv oder negativ sein. Die entsprechenden Gleichungen lauten: a = lim v/ t = dv/ dt t 0 (.6) Auch hier werden Zeit- und Geschwindigkeitsintervalle wieder infinitesimal klein gemacht. Unter Berücksichtigung von Gleichung.4 ergibt sich: a = d r/ dt = i + yj + z k (.7) bzw. a = a i + a y j + a z k (.8) Zur Vereinfachung sollen nur Bewegungen in der Ebene betrachtet werden. Die Gleichungen mit kartesischen Koordinaten vereinfachen sich dadurch, dass die z-achse kollabiert, folgendermaßen: r( t) = (t) i + y(t) j (.9) v( t) = ( t ) i + y (t) j (.10) a( t ) = (t) i + y(t) j (.11) Die Gleichungen.10 und.11 lauten als Skalarfunktionen wie folgt: 1 v = s/ t[ms ] (.1) a = v/ t[ms ] (.13)

4 16 Book Studium TitleGenerale Physik.3 Kinetik Die Kinetik führt nun das, was wir über die Kraft gehört haben, mit der Bewegung zusammen. Bewegung kommt nur zustande, wenn eine Kraft auf einen Körper wirkt. Grundlage der weiteren Überlegungen ist wiederum der Massepunkt. Newton hatte erkannt, dass die Änderung der Bewegung proportional zur Kraft F geschieht, die auf eine Masse m wirkt und zwar in Richtung der aufgebrachten Kraft. Die Proportionalität wird sichergestellt durch die Masse selbst: F dv/ dt = m dv/ dt = ma (.14) oder skalar: F = ma (.15) deren Einheit das Newton [N] ist. Eine weitere Erkenntnis Newtons war, dass jeder Kraft gleichzeitig eine Gegenkraft entgegenwirkt. Das wurde bereits in der Statik in anderem Zusammenhang mit actio = reactio festgestellt. Auf die Kinetik übertragen bedeutet das, dass auch der Bewegung eine Verharrung entgegensteht, die als Trägheit oder Widerstand des Massepunktes verstanden werden kann. Das ist auch aus der Umformung von Gleichung.14 ersichtlich: F + ( ma) = 0 (.16) Die Newtonschen Gleichungen gelten selbstverständlich für unmittelbar wie auch aus der Ferne einwirkende Kräfte. Betrachten wir nun den Fall, dass zwei Massepunkte gegenseitig Kraft aufeinander ausüben (Abb..). Wir haben die Kräfte F 1 und F 1 mit den zugehörigen Massepunkten m 1 und m. Nach Gleichung.16 gilt aber: F1 + F1 = 0 (.17) d F m 1 F 1 1 m Abb.. Kräfte zweier Massen. m 1 und m sind zwei Massen mit den zugehörigen Kräften F 1 bzw. F 1, getrennt durch den Abstand d.

5 Bewegung 17 Werden die Kräfte durch die Massen m 1 und m selbst und zwar durch ihre Anziehung erzeugt, dann erhalten wir das Gravitationsgesetz: 1 1 ( 1 ) F = F = k m m / d (.18) mit k als universelle Gravitationskonstante und d als Abstand zwischen m 1 und m..3.1 Freier Fall Wir unterscheiden zwischen Masse und Gewicht. Das Gewicht ist eine Eigenschaft der Masse und proportional zu ihr. Bei uns auf der Erde wird das Gewicht durch die Erdanziehung bestimmt und kann gemessen werden. Der Proportionalitätsfaktor lässt sich über die Messung der Beschleunigung eines frei fallenden Körpers ermitteln. Nehmen wir Gleichung.14. Der Kraft F entspricht das Gewicht G, der Beschleunigung a entspricht die Erdbeschleunigung g. Dann gilt: G = m g oder in Skalarschreibweise : G = m g (.19) g beträgt 9,8067 [m s - ]. Beträgt eine Masse 1 [kg], dann wird diejenige Kraft, die ihr eine Beschleunigung von 9,8067 [m s - ] verleiht, als 1 Kilopond [kp] definiert. Daraus ergeben sich folgende Beziehungen: und - 1[N]=1[kg m s ] 1[kp] = 9,8067[N] (.0) (.1) Unter Verwendung der Gleichungen.1 und.13 ergibt sich für die Fallhöhe: h = gt / (.) und für die Fallgeschwindigkeit: v = gh (.3)

6 18 Book Studium TitleGenerale Physik.3. Impuls Was geschieht, wenn eine Kraft kurzzeitig auf eine Masse wirkt und deren Bewegungsgröße (Geschwindigkeit) verändert insbesondere, wenn die Kraft eine ruhende Masse in Bewegung setzt? Diesen Vorgang nennt man Impuls. Dabei wirkt die Kraft während eines definierten Zeitintervals (Umformung von Gleichung.14): F( t) dt = d(m v) (.4) Für das konkrete Zeitintervall {t 1,t } bedeutet dies: t F(t)dt = m[ v(t ) v(t )] t1 1 (.5) Der Impuls ergibt sich dann zu: 1 p = m v [ kg m s ] bzw. [ Ns] (.6).3.3 Kreisbewegungen Wir gehen von der gleichförmigen Kreisbewegung eines Massepunktes aus, d. h. dieser bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit (einer konstanten Drehzahl) um ein Zentrum herum (Abb..3). Die Entfernung vom Mittelpunkt ist der Radius r. In einem Zeitintervall Δt überstreicht der Masse punkt einen Drehwinkel Δφ, dem eine Bogenlänge von s = r φ (.7) ϖ r v Abb..3 Kreisbewegung. ϖ ist der aiale Vektor der Winkelgeschwindigkeit, r der Radius und v die Tangentialgeschwindigkeit.

7 entspricht. Die zugehörige Winkelgeschwindigkeit beträgt dann: Bewegung 19 ω = φ / t[ rad s 1 ] (.8) Die eigentliche Bahngeschwindigkeit des Massenpunktes errechnet sich zu: v = s / t = r( φ / t) = rω (.9) Die ausgeführten Zusammenhänge lassen sich auch in Vektorformulierung festhalten. ϖ nennt man den aialen Vektor der Winkelgeschwindigkeit, r ist der Radiusvektor und v die Bahngeschwindigkeit. ϖ verhält sich wie eine Rechtsschraube beim Eindrehen. Für die Bahngeschwindigkeit errechnen wir das Vektorprodukt: v = ϖ r (.30) v nennt man auch Tangentialgeschwindigkeit, da sie sich immer tangential zur Kreisbewegung und damit rechtwinklig zum mitrotierenden Radiusvektor ausrichtet. Wiewohl die Bahngeschwindigkeit stets gleich bleibt, so ändert sich doch fortwährend die Richtung des Geschwindigkeitsvektors. Eine Änderung entweder der Richtung (was hier der Fall ist) oder des absoluten Betrages (was hier nicht der Fall ist) kann aber nur aufgrund einer Beschleunigung entstehen, der Bahnbeschleunigung. Sie errechnet sich durch: a = v / r = ω r r (.31).3.4 Inertialsysteme In Abwesenheit einer Kraft verharrt ein Körper entweder im Zustand der Ruhe oder der geradlinigen gleichförmigen Bewegung. Das Bezugssystem, in dem diese Vorgänge stattfinden, darf weder Drehbewegungen ausführen noch selbst beschleunigen. Dann spricht man von einem Inertialsystem. In diesem Zusammenhang ist die sogenannte Galilei-Transformation von Bedeutung. Angenommen wir haben zwei Bezugssysteme, von denen sich eines geradlinig gegenüber dem anderen mit der Geschwindigkeit v in -Richtung bewegt, so kann man den Übergang von einem Bezugssystem zum anderen durch folgende Transformation beschreiben: = + vt; y = y ; z = z (.3)

8 0 Book Studium TitleGenerale Physik Wenn gilt = + vt; y = y ; z = z dann handelt es sich bei beiden Bezugssystemen um Inertialsysteme. Durch Differenzieren (Geschwindigkeit) und nochmaliges Differenzieren (Beschleunigung) ergibt sich für die Kräfte, dass beim Übergang von einem Inertialsystem zu einem anderen alle Gesetze der Mechanik unverändert bleiben (Relativitätsprinzip der klassischen Mechanik). Mathematische Vertiefung Ein kurzer Ausflug in die Infinitesimalrechnung (Abb..4). Differentiation y y y c y = c y = c y = c y y c y = c y = c Integration Abb..4 Beziehungen zwischen Differenzial und Integral. Die Differentiationen sind oben von rechts nach links laufend dargestellt, die korrespondierenten Integrationen unten von links nach rechts. Auszüge aus Newtons Philosophiae naturalis principia mathematica Grundsätze oder Gesetze der Bewegung 1. Gesetz: Jeder Körper beharrt in seinem Zustande der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern.

9 Bewegung 1 Geschosse verharren in ihrer Bewegung, insofern sie nicht durch den Widerstand der Luft verzögert und durch die Kraft der Schwere von ihrer Richtung abgelenkt werden. Ein Kreisel, dessen Theile vermöge der Cohäsion sich beständig aus der geradlinigen Bewegung entfernen, hört nur insofern auf, sich zu drehen, als der Widerstand der Luft (und die Reibung) ihn verzögert. Die grossen Körper der Planeten und Kometen aber behalten ihre fortschreitende und kreisförmige Bewegung, in weniger widerstehenden Mitteln längere Zeit bei.. Gesetz: Die Aenderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt. Wenn irgend eine Kraft eine gewisse Bewegung hervorbringt, so wird die doppelte eine doppelte, die dreifache eine dreifache erzeugen; mögen diese Kräfte zugleich und auf einmal, oder stufenweise auf einander folgend einwirken. Da diese Bewegung immer nach demselben Ziele, als die erzeugende Kraft gerichtet ist, so wird sie, im Fall dass der Körper vorher in Bewegung war, entweder, wenn die Richtung übereinstimmt, hinzugefügt oder, wenn sie unter einem schiefen Winkel einwirkt, mit ihr nach den Richtungen beider zusammengesetzt. 3. Gesetz: Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkungen zweier Körper auf einander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung. Jeder Gegenstand, welcher einen andern drückt oder zieht, wird eben so stark durch diesen gedrückt oder gezogen. Drückt Jemand einen Stein mit dem Finger, so wird dieser vom Steine gedrückt. Zieht ein Pferd einen an ein Seil befestigten Stein fort, so wird das erstere gleich stark gegen den letzteren zurückgezogen, denn das nach beiden Seiten gespannte Seil wird durch dasselbe Bestreben schlaff zu werden, das Pferd gegen den Stein und diesen gegen jenes drängen; es wird eben so stark das Fortschreiten des einen verhindern, als das Fortrücken des andern befördern. Wenn irgend ein Körper auf einen andern stösst und die Bewegung des letztern irgendwie verändert, so wird ersterer, in seiner eigenen Bewegung dieselbe Aenderung, nach entgegengesetzter Richtung, durch die Kraft des andern (wegen der Gleichheit des wechselseitigen Druckes) erleiden. Diesen Wirkungen werden die Aenderungen nicht der Geschwindigkeiten, sondern der Bewegungen nämlich bei Körpern, welche nicht anderweitig verhindert sind, gleich. Die Aenderungen der Geschwindigkeiten, nach entgegengesetzten Richtungen, sind nämlich, weil die Bewegungen sich gleich ändern, den Körpern umgekehrt proportional. Es gilt dieses Gesetz auch bei den Anziehungen, wie in der nächsten Anmerkung gezeigt werden wird. Von den Ursachen des Weltsystems 10. Lehrsatz. Wenn die Materie zweier Kugeln, welche gegeneinander schwer sind, überall in gleichen Abständen von ihrem Mittelpunkte homogen ist; so verhält sich das Gewicht der einen Kugel gegen die andere umgekehrt wie das Quadrat des Abstandes des einen Mittelpunktes vom anderen. (Wolfers J Ph (Hrsg) (187) Sir Isaac Newton s Mathematische Principien der Naturlehre. Oppenheim, Berlin) Zur Refleion Mehrkörperprobleme Die Kinetik eines Punkthaufens spielt insbesondere bei der Himmelmechanik eine wichtige Rolle. Selbst für zwei Körper ist das Anziehungsproblem, also die Wirkung der Gravitationskraft aufeinander, bis heute lediglich unter der Annahme von zwei

10 Book Studium TitleGenerale Physik Punktmassen vollständig gelöst. Viele Wissenschaftler haben sich mit der Lösung des Dreikörperproblems befasst: der Bewegung unter dem Einfluss gegenseitiger Anziehung. Es gibt einige Sonderfälle, u. a. die Untersuchung von Lagrange, die die gegenseitigen Körperabstände durch ähnliche Dreiecke beschreibt. Ansonsten entzieht sich das Dreikörperproblem einer allgemeinen Lösung. Idealisierungen Beschreiben wir die Wirklichkeit oder nur idealisierte Annäherungen, die nirgends in der Natur zu finden sind? Es gibt keinen Massepunkt, kein dt und kein ds. Selbst eperimentell lassen sich diese Entitäten nicht nachvollziehen. Im Gegensatz zur Natur, die sich selbst beschreibt, sind diese Konstrukte Grundlage für Modelle, die zumindest für ein eingeschränktes Spektrum an Fragestellungen einigermaßen zuverlässige Voraussagen ermöglichen. Diese Selbstbeschränkung sollte man bei unseren bisherigen und allen weiteren Betrachtungen im Hinterkopf behalten. Beispielaufgabe: Erde Mond Zu berechnen ist die Masse der Erde. Das Gravitationsgesetz besagt für die Kraft, die zwischen dem Mond und der Erde wirkt: F = km m / r E M mit m E als Masse der Erde, m M als Masse des Mondes und r als Abstand zwischen Erde und Mond. Gleichzeitig gilt für die Zentripetalkraft: F = m v / r Beide Kräfte sind gleich. Nehmen wir für die Bahngeschwindigkeit des Mondes: mit T als Umlaufzeit des Mondes, so erhalten wir: v M = π r/ T km E m M /r = 4m M π r/t woraus folgt: m E = 4π r 3 /kt Lösung: Mit r ( [km]), k (6, [m 3 kg 1 s ]) und T (7,3 [d]), die bekannt sind, ergibt sich für die Erdmasse ein Wert von rund 5, [kg]. Zum Weiterlesen Schiehlen W (1997) Technische Dynamik. Teubner, Stuttgart

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