Rechnerstrukturen Formelsammlung

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1 Recherstrukture Formelsammlug 1 Leistugsbewertug : Befehlsazahl. T(): Ausführugszeit der Befehle. f: Taktfrequez des Prozessors. Millio Istructios Per Secod: MIPS = T() 10 6 aalog: Millio Floatig Poit Operatios Per Secod (MFLOPS). Cycles Per Istructio: 2 Cache CPI = f MIPS 10 6 r H : Hit-Rate für de Cache. t H : Zugriffszeit auf de Cache (beim Cache-Hit). t M : Zugriffszeit auf de Hauptspeicher bzw. die ächste Cache-Stufe (beim Cache-Miss). Mittlere Speicherzugriffszeit: t avg = r H t H + (1 r H ) t M Abbildugsvorschrifte für die Adresse k bei verschiedee Cache- Arte: Direkt abgebildet: Idexgröße: i Bits. k wird i die (k mod i)-te Cache-Zeile abgebildet. Vollassoziativ: I de erste freie Block abbilde, falls der Cache voll ist wird eie Ersetzugsstrategie (z.b. Least Recetly Used) agewadt. -fach satzassoziativ: Idexgröße: j Bits. k wird i de (k mod j)- te Satz abgebildet, ierhalb dieses Satzes wie bei Vollsassoziativität verfahre. 1

2 3 Maßzahle für parallele Systeme Die Ausführugszeit T = T comp +T comm +T idle eies parallele Programmes ist die Zeit zwische dem Starte der Programmausführug auf eiem der Prozessore ud dem Zeitpukt, a dem der letzte Prozessor die Arbeit a diesem Programm beedet hat. Sie setzt sich zusamme aus: Berechugszeit T comp : Die Zeit, die für Recheoperatioe verwedet wird. Kommuikatioszeit T comm : Die Zeit, die für Sede- ud Empfagsoperatioe verwedet wird. Utätigkeitszeit T idle : Die Zeit, die mit Warte (z.b. auf Nachrichte) verbracht wird. Die Übertragugszeit T msg = t s + t w L ist die Zeit, die für das Verschicke eier Nachricht bestehed aus L Dateworte zwische zwei Prozess(or)e beötigt wird. Sie setzt sich zusamme aus: Startzeit t s. Trasferzeit t w pro übertrageem Datewort. P(1): Azahl der Operatioe des Programms auf eiem Eiprozessorsystem. P(): Azahl der Operatioe des Programms auf Prozessore. T(1): Ausführugszeit auf eiem Eiprozessorsystem (i Takte). T(): Ausführugszeit auf Prozessore (i Takte). Vereifached gilt: T(1) = P(1), da auf eiem Prozessor jede Operatio i eiem Takt ausgeführt wird. T() P(), da auf Prozessore pro Takt mehr als eie Operatio ausgeführt werde ka. Beschleuigug S() = T(1) T() mit 1 S(). 1) Effiziez E() ist die relative Verbesserug pro Prozessor: E() = S() 1) I der Praxis ka z.b. durch Cache-Effekte auch der theoretisch umögliche Fall < S() eitrete (sog. superlieare Beschleuigug). 2

3 Es gilt: 1 E() 1. Der auf eiem -Prozessor-System erforderliche Mehraufwad R() für Kommuikatio, Sychroisatio ud Orgaisatio: R() = P() P(1) Es gilt: 1 R(). Der Parallelidex I() gibt die mittlere Azahl paralleler Operatioe pro Zeiteiheit a: I() = P() T() Die Auslastug U() ist der ormierte Parallelidex: U() = I() = R()E() = P() T() Folgeruge: Der Parallelidex ist eie obere Schrake für die Beschleuigug: 1 S() I() Die Auslastug ist eie obere Schrake für die Effiziez: 1 E() U() 1 Amdahls Gesetz: Sei a der Bruchteil des Programms, der ur sequetiell bearbeitet werde ka (0 a 1). Da gilt: Es folgt: T() = T(1) (1 a) + T(1) a S() = T(1) T() = 1 1 a + a = S() 1 a 3

4 4 Dyamische Verbidugstrukture - Permutatioe Seie b, b 1,..., b 2, b 1 Adressbits. Mischpermutatio M(b, b 1,..., b 2, b 1 ) = (b 1,..., b 2, b 1, b ) (Rotiere ach liks). Kreuzpermutatio 2) K(b, b 1,..., b 2, b 1 ) = (b 1, b 1,..., b 2, b ) (Vertausche des höchstwertige mit dem iedrigstwertige Adressbit). Tauschpermutatio T(b, b 1,..., b 2, b 1 ) = (b, b 1,..., b 2, b 1 ) (b 1 wird egiert). Umkehrpermutatio U(b, b 1,..., b 2, b 1 ) = (b 1, b 2,..., b 1, b ) (Reihefolge der Bits umkehre). 5 Statische Verbidugsstrukture Verbidugsgrad g: Azahl der Kate a de Kote. Durchmesser d: Maximale Pfadläge zwische zwei Kote. (Miimale) Bisektiosbreite B: Zerlegt ma eie Graphe i zwei gleich große, zusammehägede Teile, ud betrachtet die Azahl der Kate, die diese Schitt kreuze, so ist B die kleiste solche Azahl uter alle mögliche Schitte. Diskoektivität: D = # Kote. B Kosteeffektivität: Eff = g max{d, D}. 6 Zuverlässigkeit Nichtegative reelle Zufallsvariable ud ihre Dichtefuktioe: L Lebesdauer mit Dichte f L. B Fehlerbehadlugsdauer mit Dichte f B. D Sicherheitsdauer mit Dichte f D. Dazu die Verteiluge für X = L, B, D. 2) auch: Butterfly. F X (t) = t 0 f X (s)ds 4

5 Fehlerwahrscheilichkeit F L (t): Die Wahrscheilichkeit, dass ei zu Begi fehlerfreies System ierhalb des Zeitraums [0, t] fehlerhaft wird. Es gilt F L (0) = 0 ud lim t F L (t) = 1. Überlebeswahrscheilichkeit R(t) = 1 F L (t) mit R(0) = 1 ud lim R(t) = 0, wobei R mooto falled ist. t Mittlere Lebesdauer E(L) ist der Erwartugswert der Zeitdauer bis zum erste Fehler: E(L) = 0 t f L (t)dt = 0 R(t)dt Ausfallrate z(t): Die pro Zeiteiheit ausfallede Kompoete bezoge auf die och fehlerfreie Kompoete: z(t) = f dfl(t) d(1 R(t)) L(t) R(t) = dt R(t) = dt R(t) dr(t) dt = R(t) Ist die Ausfallrate z(t) = λ kostat, so ergibt sich folgede Lösug der Differetialgleichug: λ R(t) = dr(t) dt = R(t) = e λt Verfügbarkeit V ist die Wahrscheilichkeit, ei System zu eiem beliebige Zeitpukt fehlerfrei azutreffe: V = E(L) E(L) + E(B) Dabei ist E(B) die mittlere Behadlugsdauer für die Reparatur eies Systems. Die Verfügbarkeit also der mittlere Zeitateil, i dem ei System fuktiosfähig ist, im Verhältis zur mittlere Zeit, die ei System fuktiosfähig ist oder repariert wird. Gefährdugswahrscheilichkeit F D (t): Wahrscheilichkeit, dass ei zu Begi sicheres System im Zeititervall [0, t] i eie gefährliche Zustad gerät. Sicherheitswahrscheilichkeit S(t) = 1 F D (t) 5

6 Mittlere Sicherheitsdauer E(D) ist der Erwartugswert der Zeitdauer, bis ei usicherer Zustad auftritt. Fuktioswahrscheilichkeit ϕ(s) (bzw. ϕ(s, t) zum Zeitpukt t) für ei System aus S, bestehed aus de (voeiader uabhägige) Kompoete K i : Nichtfuktioswahrscheilichkeit Reiheschaltug der K i : ϕ( S) = 1 ϕ(s) ϕ( i K i ) = i ϕ(k i ) Parallelschaltug zweier Kompoete K 1, K 2 (d.h. ur eie muss fuktioiere): ϕ(k 1 K 2 ) = 1 [(1 ϕ(k 1 )) (1 ϕ(k 2 ))] = ϕ(k 1 )+ϕ(k 2 ) ϕ(k 1 )ϕ(k 2 ) Allgemeier: ϕ( K i ) = 1 (1 ϕ(k i )) i i Ma darf hier icht ϕ(k 1 ) + ϕ(k 2 ) als Wert für ϕ(k 1 K 2 ) ehme, da hier die Wahrscheilichkeit dafür, dass K 1 ud K 2 beide fuktioiere doppelt eigehe würde. -vo-m-systeme: Gegeseitige (statische) Redudaz, vo isgesamt m Kompoete müsse fuktioiere, damit das Gesamtsystem S fuktioiert; ϕ(k, t) ist gleich für alle Kompoete K: m ( ) m ϕ(s, t) = ϕ(k, t) i (1 ϕ(k, t)) m i i i= Hier werde die Wahrscheilichkeite aller mögliche Ereigisse summiert, bei dere Eitrete das System S och fuktioiere würde. Das sid diejeige Ereigisse, bei dee mehr als Kompoete fuktioiere. Für + j fuktioierede Kompoete gibt es ( ) m +j Möglichkeite, welche der m Kompoete diese + j fuktioierede Kompoete sei köte. I jedem dieser Fälle beträgt die Wahrscheilichkeit ϕ(k, t) +j (für + j fuktioierede) multipliziert mit (1 ϕ(k, t)) m (+j) (für m ( + j) icht fuktioierede Kompoete). 6

7 Dyamisch redudate Systeme: Es gibt für eie Kompoete K 0 Ersatzkompoete K 1,..., K, vor die jeweils eie Diagosekompoete D i geschaltet ist mit ϕ(d i ) = c für alle i = 1,..., : ϕ(s, t) = i=0 ( i 1 ) (1 ϕ(k j, t)) c i ϕ(k i, t) j=0 Es werde die Wahrscheilichkeite summiert, dass für midestes ei i die Kompoete K i fuktioiert, jeweils uter der Voraussetzug, dass die vorherige i Kompoete icht fuktioiert habe ( (1 ϕ(k j, t))) ud dass die erste i Diagosekompoete fuktioiert habe (c i ). Zuverlässigkeitsverbesserug Φ S1 S 2 beim Übergag vom System S 1 zum System S 2 : Φ S1 S 2 = ϕ( S 1) ϕ( S 2 ) = 1 ϕ(s 1) 1 ϕ(s 2 ) 7 Vektorrecher - Pipelie : Azahl der Verabreitugsaufträge (Vektorläge). k: Azahl der Pipeliestufe. τ i : Ausführugszeit der i-te Pipelistufe. τ reg : Verzögerug durch Zwischespeicherug. Taktperiode τ = max{τ 1,...τ k } + τ reg Ausführugszeit T k vo Verarbeitugsaufträge: Mit Pipeliig: T k = + k 1 Ohe Pipeliig: T 1 = k Beschleuigug S k = T 1 T k = ud es gilt lim S k = k. Effiziez E k = S k k = k + k 1 = k k k k( + k 1) = 1 k

8 ud es gilt lim E k = 1. Der Durchsatz D k gibt a, wieviele Verarbeitugsaufträge i eiem Beobachtugszeitraum T k τ tatsächlich ausgeführt werde: D k = τ T k = ud es gilt lim D k = 1 τ (Taktfrequez). τ( + k 1) = 1 τ( k 1 + 1) 8