Partielle Differentialgleichungen

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1 Notizen zur Vorlesung Partielle Differentialgleichungen G. Sweers Sommersemester 009

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3 Inhaltsverzeichnis Einführung. Differentialgleichungen und klassische Lösungen Räume stetiger und differenzierbarer Funktionen Intermezzo zu glatten Rändern Linear und nicht-linear Schwache Ableitungen Schwache und distributionelle Lösungen Kriterien von Hadamard Modelle 3. Transportgleichung Wärmeleitungsgleichung Die Laplace Gleichung Harmonische Funktionen Die schwingende Saite Die Wellengleichung Die Membran Der schwingende Balken Erster Ordnung: Transportgleichungen 5 3. Lineare und semilineare Transportgleichungen Mit konstanten Koeffizienten Allgemeine semilineare Transportgleichungen Quasilineare Transportgleichungen Stoßwellen Verdünnungswellen Klassifizierung zweiter Ordnung Die einfachsten Fälle als Begründung Fall : L = x y Fall : L = x + y Fall 3: L = x y Fall 4: L = x + y Partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung In zwei Dimensionen In höheren Dimensionen Die Wellengleichung und Distributionen 5 5. Die Wellengleichung in Raumdimension Die d-wellengleichung auf einem Intervall iii

4 iv INHALTSVERZEICHNIS 5.3 Intermezzo zu Distributionen Die Wellengleichung in mehr Dimensionen Kirchhoff für Raumdimension Ergebnisse für beliebige Dimensionen Poisson für Raumdimension Raumdimensionen 4 und höher Gebiete mit Rand Die Wärmeleitungsgleichung I Diffusionskern Mittelwert und Maximum Maximumprinzip und Eindeutigkeit Die Wärmeleitungsgleichung II Eindeutigkeit auf beschränkten Gebieten Regularität Existenz auf beschränkten Gebieten Zwei Gegenbeispiele Die Laplace- und Poisson-Gleichungen Fundamentallösung Randwertprobleme Die Methode von Perron Mit Hilfe des Darstellungssatzes von Riesz Durch Variationsrechnung Ein Beispiel Greensche Funktionen auf Halbraum und Kugel Ordnung und Existenz bei Laplace Greensche Funktionen Folgen der Greenschen Funktion auf der Kugel Maximum-Prinzip für harmonische Funktionen Harmonisch auf Kugeln Existenz nach Perron Laplace und Regularität 7. Bemerkungen zur Regularität Regularität und Fundamentallösung Regularität und Rand Lösungen und Abschätzungen Semilineare Laplace-Gleichungen 5. Ein erweitertes Maximum-Prinzip Existenz und Perturbation Schwach harmonisch ist harmonisch Existenz zwischen Ober- und Unterlösung Variationelle Methoden

5 Partielle Differentialgleichungen Kapitel Einführung. Differentialgleichungen und klassische Lösungen Eine partielle Differentialgleichung ist eine Gleichung für eine Funktion, nennen wir sie u : R n R, der Form. x n u F x, u, u, u,..., m u = 0.. Hier ist ein Gebiet, das heißt, eine offene zusammenhängende Teilmenge von R n, und x u u x u =, x x n u u =.., usw. x x n u u x n Die höchste Ableitung die in. erscheint, nennt man die Ordnung der Differentialgleichung. Oft hat eine Variable eine besondere Rolle, nämlich die Zeit, und die wird üblicherweise mit t notiert. Für die Ableitung verwendet man neben t auch t. Die Frage ob und wenn ja, welche Lösungen eine solche Differentialgleichung hat, lässt sich meistens nicht sinnvoll beantworten, wenn nicht passende Rand- oder Anfangswerte gegeben werden. Ein Theorem wie das von Picard-Lindelöf für gewöhnliche Differentialgleichungen, welches für alle partiellen Differentialgleichungen eine Lösung bietet, gibt es nicht. In einer Vorlesung partielle Differentialgleichungen wird man dann auch nicht versuchen, die Theorie für alle zu bringen, sondern man wird sich mit den Typen, die in den Anwendungen auftauchen, beschäftigen. Wir werden dann auch, bevor wir näher auf die verschiedenen Typen eingehen, im nächsten Kapitel erst einige dieser Anwendungen vorzustellen. Bevor wir mit einigen Modellen anfangen, soll man etwas sagen zu Lösung. Definition. Eine Funktion u : R, für die gilt: u C m, und u erfüllt die Gleichung., nennt man eine klassische Lösung von..

6 5. September 00 Kapitel, Einführung. Räume stetiger und differenzierbarer Funktionen Wir wiederholen die Definitionen von C m und die einiger verwandten Funktionenräume. Definition. Sei ein Gebiet in R n. C m ist die Menge aller Funktionen u : R, die m-mal differenzierbar sind und alle diese Ableitungen sind stetig. Bemerkung.. Man definiert C := m N C m. Wenn u : R k m-mal differenzierbar ist, sagt man auch u C m. Nur wenn man explizit machen möchte, dass man Funktionen mit Werten in R k hat, wird C m ; R k geschrieben. Auch begegnet man C m. Die Definitionen dieser Räume sind etwas weniger geradeaus. Definition.3 Sei ein Gebiet in R n.. Man definiert C 0 = C als die Menge aller stetigen Funktionen u : R.. Für m wird C m iterativ definiert als die Menge aller stetigen Funktionen u : R mit: u C m, u ist die Einschränkung von u auf und es gibt g,..., g n C m mit g i x = x i u x für x. Wenn beschränkt ist, ist kompakt und existiert sup x ux wenn u C 0. Für beschränkte Gebiete und u C m ist C m durch also wohldefiniert. u C m = m k=0 sup k ux.. x C m, C m ist ein normierter Vektorraum. Bemerkung.3. Wenn klar ist, welches Gebiet gemeint ist, schreibt man auch sup ux = u. x Übrigens ist auch eine Norm für den Raum L der beschränkten Funktionen auf. Bemerkung.3. Auf nicht abgeschlossenen oder unbeschränkten Gebieten gibt es unbeschränkte stetige Funktionen. So wie C m hier definiert ist, kann man. also nicht als Norm für C m verwenden. Das gleich trifft zu für C m mit unbeschränkt. Proposition.4 Sei m N und sei R n C m, C m ein Banachraum. ein beschränktes Gebiet. Dann ist

7 . Räume stetiger und differenzierbarer Funktionen 5. September 00 3 Beweis. Wir betrachten vorerst den Fall m = 0. Sei {u k } k N C 0, C 0. Dann gilt: eine Cauchy-Folge in. Der Grenzwert ũx := lim k u k x existiert für jedes x, denn {u k x} k N ist eine Cauchy-Folge in R und R ist vollständig.. Gleichmäßige Konvergenz: Sei N ε > 0 derart, dass u k u m < ε für k, m > N ε. Für jedes x gibt es N x,ε derart, dass u m x ũx < ε für m > N x,ε. Man nehme nun m x = max N x,ε, N ε + und finde u k x ũx u k x u mx x + u mx x ũx < ε. Weil dies für beliebiges x gilt, folgt k N ε impliziert u k ũ < ε. 3. Der Limes ist stetig: Sei ε > 0, nehme m genügend groß so dass ũ u m < ε und nehme δ ε,m > 0 derart, dass x y < δ ε,m impliziert u m x u m y < ε. Es folgt ũx ũy ũx u m x + u m x u m y + u m y ũy < 3ε. Es gibt also ũ C 0 derart, dass u k ũ 0 für k. Die Aussage für m = 0 ist bewiesen. Sei nun m und {u k } k N eine Cauchy-Folge in C m, C m. Aus dem ersten Teil dieses Beweises wissen wir, dass es für jede Ableitung α x mit α m eine stetige Funktion g α C 0 gibt mit α lim C k u k g α = 0. x 0 C Wenn lim k x i u k g i = 0 und lim u k g 0 C 0 0 = 0, dann folgt, dass gleichmäßig für [a, a + he i ] k u k a + he i u k a g 0 a + he i g 0 a und u k a + he i u k a = u k x dx i x i Der Hauptsatz für Integrale liefert [a,a+he i ] x i g 0 x = g i x für x [a, a + he i ]. [a,a+he i ] g i x dx i. Ähnliches gilt für jede Ableitung und die Kombination ergibt g α = x α ũ, dass heißt lim k u k ũ C m = 0, oder anders gesagt, {u k } k N ist eine konvergente Folge in C m. Wir haben hier die Multiindex-Notation verwendet: α N n bedeutet α = α,..., α n und man setzt Man schreibt außerdem α = α + α + + α n. α α α αn =.... x x x x n

8 4 5. September 00 Kapitel, Einführung Bemerkung.4. Man begegnet auch C m,γ mit m N und γ 0, ]: { α C m,γ = u C m x ux α } x uy ; sup x y x y γ < für α = m. So sind C 0, die Lipschitz -stetigen Funktionen auf. Man nennt C 0,γ mit γ 0, die zum Exponenten γ Hölder 3 -stetige Funktionen. Die Vektorräume C m,γ werden Hölder-Räume genannt. Schlußendlich gibt es noch einige Funktionenmengen, die sich mit besonderem Benehmen am Rand beschäftigen. Definition.5 Man definiert C m 0 als die Teilmenge von C m der Funktionen u mit k ux = 0 für x und k m. Bemerkung.5. Sei beschränkt. Dann ist C0 m, als eine abgeschlossene Teilmenge von C m, bezüglich der C m -Norm ein Banachraum. Definition.6 Man definiert C0 als die Teilmenge der Funktionen u C mit kompaktem Träger 4. Gelegentlich findet man auch Cc m und C c. Mit C m c meint man die Teilmenge der Funktionen u C m, beziehungsweise Cc, mit kompaktem Träger..3 Intermezzo zu glatten Rändern Bei gewöhnlichen Differentialgleichungen hat man neben dieser Differentialgleichung oft Anfangs- oder Randwerte an einigen Punkten zu erfüllen. Bei partiellen Differentialgleichungen in n Dimensionen werden Anfangs- oder Randwertbedingungen typischerweise auf n -dimensionalen Mannigfaltigkeiten definiert. Haufig hat man zu tun mit Gebieten, die Ecken oder Kanten haben. Solche Gebiete geben spezifische Probleme, die kaum in einer Anfängervorlesung angesprochen werden können. Beispiel.7 Wir definieren die Function u α für α 0, π mit Hilfe von Polarkoordinaten x = r cos ϕ, y = r sin ϕ u α r cos ϕ, r sin ϕ = r π π α sin α ϕ für r [0, ] und ϕ [0, α]. Der Differentialoperator = x + y in Polarkoordinaten wird = r rr r + r ϕ und es folgt u α r cos ϕ, r sin ϕ = = r rr r + r ϕ r πα πα sin ϕ = = r π r α r π π α sin α ϕ + π α r π π α ϕ cos α ϕ = π π π π = r α sin α α ϕ π π r α sin α α ϕ = 0. Rudolf Otto Sigismund Lipschitz, Bönkein 83 - Bonn Otto Ludwig Hölder, Stuttgart Leipzig Sei A R n und u CA. Der Träger von u ist die abgeschlossene Teilmenge von R n definiert durch: supportu = {x A; ux 0}.

9 .3 Intermezzo zu glatten Rändern 5. September 00 5 Außerdem gilt π u α cos ϕ, sin ϕ = sin α ϕ, u α x, 0 = u α r cos α, r sin α = 0. Wir haben eine Lösung vom Randwertproblem { u α = 0 in α, u α = sin π α ϕ auf α. Hier ist α = {r cos ϕ, r sin ϕ ; 0 < r < und 0 < ϕ < α} und α der Rand des Gebietes. Trotz der Tatsache, dass der Sinus eine unendlich oft differenzierbare Funktion ist, ist die Lösung nicht unbedingt differenzierbar. Die Differenzierbarkeit in 0 hängt ab von der Öffnung α: r u α r cosϕ, r sinϕ = π α r π π α sin α ϕ und nur für α π existiert v u α 0 wenn v = cos α, sin α. Skizzen zu diesen Funktionen u α findet man in Abbildung.. Abbildung.: Funktionen u α mit α =,,..., 6. Das Beispiel zeigt, dass bei Ecken eine Lösung nicht unbedingt differenzierbar sein muss. Es bedeutet auch, dass man um Ergebnisse genau formulieren zu können, die Regularität des Randes genau klassifizieren soll. Für den Rand des Gebietes R n schreibt man. Dieser Rand ist definiert durch = {x R n ; für alle ε > 0 gilt B ε x und B ε x c }. Definition.8 Sei R n ein Gebiet. Man sagt C m, wenn man für jedes Kompaktum K, endlich viele lokale kartesische Koordinatensysteme y i, y i,..., y n { } M i und Funktionen ψ i C m R n hat derart, dass es offene Blöcke B i = die K überdecken, und B i = { y R n ; a i k < y i k < b i k { y i n > ψ i y i, y i,..., y i n i= } mit k n mit i M gibt, } ; y B i B i. Die Blöcke können also rotiert sein bezüglich der Standardbasis. Man nimmt sie offen damit diese Blöcke sich notwendigerweise überlappen müssen und sich keine Singularitäten bei der Verknüpfung verstecken können. Aus der zweiten Bedingung folgt außerdem, dass das Gebiet mit C 0 lokal immer an einer Seite des Randes liegt. Ein typisches Bild findet man in Abbildung..

10 6 5. September 00 Kapitel, Einführung Abbildung.: Mit Hilfe von lokalen Koordinaten auf Blöcke B i und Funktionen ψ i wird die Regularität von definiert. Abbildung.3: Ein Gebiet, dass nicht unsere C 0 -Bedingung erfüllt. Beim Doppelspitz liegt nicht an einer Seite vom Rand. Beispiel.9 Für einen HyperKubus = 0, n in R n mit n gilt C 0,. Beispiel.0 Für eine HyperKugel = B 0 in R n mit n gilt C. Man braucht mindestens n + Blöcke B i. Beispiel. Nicht jedes Gebiet hat ein C 0 -Rand. Siehe Abbildung.3. Noch etwas müßte man noch festlegen. Wenn man eine Funktion hat, die nur auf dem Rand definiert ist, wann kann man eine solche Funktion differenzierbar nennen? Definition. Sei R n ein Gebiet mit C k und sei m k. Sei { ψ i} eine Menge endlich vieler Funktionen wie in Definition.8. Dann nennt man u C m, wenn y i,..., y i n u y i,..., y n, i ψ i y i,..., y i n C m, für jedes dieser ψ i. Bemerkung.. Man kann zeigen, dass diese Definition nicht abhängt von der gewählten Menge { ψ i}, wenn diese den Rand wie in Definition.8 beschreiben. Bemerkung.. Die Definition wird angepasst wenn es einen Teil des Randes betrifft.

11 .4 Linear und nicht-linear 5. September Linear und nicht-linear Wir nehmen an, dass die Differentialgleichungen in den folgenden Definitionen alle von Ordnung m sind. Definition.3 Partielle Differentialgleichungen der Form α a α x u x = fx.3 x α N n α m mit a α und f gegeben und u gesucht, nennt man linear. Diese Differentialgleichung heißt linear, weil der Differentialoperator L = α a α x x α N n α m linear ist: Wenn Lu = f und Lu = f, dann gilt für beliebige c, c R, dass L c u + c u = c f + c f. Die einfachste Änderung, die uns eine nicht-lineare Differentialgleichung liefert, ist die folgende: Definition.4 Partielle Differentialgleichungen der Form α a α x u x = fx, u.4 x α N n α m mit a α und f gegeben und u gesucht, nennt man semilinear. Es ist das Recht des Buchhalters wenn er sagt, dass linear ja auch semilinear sei. Eine folgende Erweiterung ist: Definition.5 Partielle Differentialgleichungen der Form a α x, u, u,... m u α u x = fx, u, u,... m u.5 x α N n α =m mit a α und f gegeben und u gesucht, nennt man quasilinear. Die restlichen partiellen Differentialgleichungen nennt man völlig nichtlinear..5 Schwache Ableitungen Für punktweise definierte Funktion ist die Definition einer partiellen Ableitung eindeutig. Gelegentlich wird man aber eine Definition brauchen für die Ableitung einer Funktion, die nur als Äquivalenzklasse festgelegt ist. Wir erinnern an die L p -Räume.

12 8 5. September 00 Kapitel, Einführung Definition.6 Sei p [, ]. Dann ist L p der Raum der Lebesgue-messbaren Funktionen f, für die gilt: f L p < mit { f L p = fx p dx /p für p [,, ess sup { f x ; x } für p =. Definition.7 Sei f eine Lebesgue-messbare Funktion. Man sagt xi f existiert als schwache Ableitung in L lokal wenn es g L lokal gibt mit f x xi ϕ x + g x ϕ x dx = 0 für alle ϕ C0. Wenn f auf eine klassische Ableitung nach x i hat, dann folgt aus einer partiellen Integration, dass f x xi ϕ x + xi f x ϕ x dx = 0 für alle ϕ C0. Definition.8 Sei k N und p [, ]. Man definiert den Sobolev 5 -Raum W k,p als die Menge der Äquivalenzklassen der Funktionen u : R derart, dass u und deren schwache Ableitungen der Ordnung α mit α k in L p liegen. Bemerkung.8. W k,p, W k,p mit Norm u W k,p = ist ein vollständiger Banach-Raum. α k α ux x p dx /p.6 Schwache und distributionelle Lösungen Wie man bei gewöhnlichen Differentialgleichungen schon gesehen hat, kommt man mit klassischen Lösungen nicht immer aus. Man erinnere sich an das Reibungsproblem bei zum Beispiel einem bremsenden Fahrzeug. Man konnte da nur eine Lösung definieren, wenn man an einzelnen Stellen zuliess, dass da die Differentialgleichung nicht erfüllt ist. Beispiel.9 Die Reibungskraft für zwei sich übereinander bewegende feste Körper ist annäherungsweise nur abhängig vom Vorzeichen der relativen Geschwindigkeit: c für v > 0, F v = 0 für v = 0, c für v < 0. Sei v die Geschwindigkeit des Fahrzeugs und m die Masse, so gilt für die Beschleunigung v : mv = F v. 5 Sergei Lwowitsch Sobolew, , war ein Russischer Mathematiker der arbeitete auf Partiellen Differentialgleichungen, Funktionalanalysis, Numerischer Mathematik und... Uranisotopenanreicherung.

13 .6 Schwache und distributionelle Lösungen 5. September 00 9 Es gibt keine klassische Lösung. Wenn man jedoch die Integralform der Gleichung betrachtet: m vt v0 = t 0 F vs ds dann findet man die folgende Lösung wenn v0 > 0: { v0 c vt = t für t [0, t m ], 0 für t > t := c mv0. Für t = t ist v nicht differenzierbar und deswegen ist v keine klassische Lösung. v 0 Abbildung.4: Skizze zu einer Geschwindigkeit t vt aus Beispiel.9. Bei gewöhnlichen Differentialgleichungen hat man also gelegentlich den Lösungsbegriff erweitern müssen und das hat man gemacht indem man die Differentialgleichung ersetzte durch eine Integralgleichung. Bei partiellen Differentialgleichungen ist die Sache etwas schwieriger, denn in welche Richtung soll man integrieren? Wie soll man von einer partiellen Differentialgleichung höherer Ordnung zu einem System erster Ordnung kommen? Auch hier gibt es kein Lösungsmittel, das alle Flecken rausbringt und wir müssen uns einschränken und brauchen dafür eine zweite Klassifizierung der Differentialgleichungen. Für semilineare partielle Differentialgleichungen kann man, wenn die Koeffizienten a α genügend glatt sind, den Lösungsbegriff relativ leicht erweitern. Definition.0 Man nennt u C eine distributionelle Lösung der Gleichung.4 wenn u x α a x α x ϕ x fx, uϕ x dx = 0.6 für alle ϕ C 0. α N n, α m Bemerke, dass diese Definition nur Sinn macht wenn a α genügend glatt ist, a α C m. Wenn dies gilt, dann ist x α aα x ϕ x und das Integral wohldefiniert. Es ist übrigens nicht notwendig, dass u C. Es reicht wenn für diese Funktion ein Integral definiert ist. Es gibt auch den Begriff schwache Lösung. Dabei werden nicht alle partielle Ableitungen zur Testfunktion ϕ gebracht sondern nur die Hälfte. Definition. Man nennt u C m eine schwache Lösung der Gleichung α,β N n, α, β m α aα,β x β x x u x = fx, u

14 0 5. September 00 Kapitel, Einführung wenn α,β N n, α, β m für alle ϕ C 0. β x u x a α,β x α x ϕ x fx, uϕ x dx = 0.7 Bemerkung.. Die Spaltung zwischen den Ableitungen α und β ist nicht eindeutig. Für einzelne Probleme soll man genau definieren was mit einer schwachen Lösung gemeint ist. Um zu zeigen, dass klassische Lösungen auch schwache oder distributionelle Lösungen sind, brauchen wir eine Version des Hauptlemmas der Variationsrechnung: Lemma. Sei u C. Wenn uxϕxdx = 0 für alle ϕ C0, dann gilt u = 0. Beweis. Wenn u 0, dann gibt es x 0 mit u x 0 0. Nehmen wir an, dass ux 0 > 0, dann folgt aus der Stetigkeit von u, dass es eine Umgebung B ε x 0 gibt derart, dass ux c := ux 0 > 0 für x B ε x 0. Nehmen wir ϕ C0 B ε x 0 mit ϕ 0 in B ε x 0 und ϕ c > 0 in B ε/ x 0, so folgt uxϕxdx > 0, ein Widerspruch. Dass es eine solche Funktionen ϕ in dem letzten Beweis gibt, möge das Beispiel { ϕ ε x = e x ε für x < ε,.8 0 für x ε, deutlich machen. Man kann zeigen, dass auf dem Kreisrand x = ε diese Funktion nicht nur stetig ist sondern, dass da auch alle Ableitungen existieren. Man verwende dazu, dass lim p t t e t = 0 für jedes Polynom p. Abbildung.5: Skizze zu der Testfunktion ϕ ε aus.8 mit ε =. Das folgende Ergebnis zeigt die Verbindung zwischen klassischen und schwachen Lösungen.

15 .7 Kriterien von Hadamard 5. September 00 Proposition.3 Für semilineare Gleichungen gilt: Klassische Lösungen sind distributionelle Lösungen. Wenn u C m eine distributionelle Lösung der Gleichung.4 ist, so ist u eine klassische Lösung. Bemerkung.3. Schwache Lösungen liegen zwischen distributionel und klassisch und ein ähnliches Ergebnis gilt. Beweis. Durch partielle Integration findet man, wenn der auswärtige Normalenvektor ν = ν,..., ν n auf wohldefininiert ist und wenn die Ableitungen von f und g bezüglich x i stetig sind, dass fx x i gxdx = fxgx n i dσ x x i fx gxdx. Wenn gx = 0 oder fx = 0 für x, dann entfällt der mittlere Term und es folgt fx x i gxdx = x i fx gxdx..9 So kann man.6, wenn u C m und ϕ C0 angenommen worden ist, auch schreiben als a α x α x u x fx, u ϕ x dx = 0..0 α N n, α m Zum Beweis soll man bemerken, dass ϕ einen kompakten Träger K hat. Man kann zeigen dass es gibt mit K, und C. Im Integral.0 kann man durch ersetzen und öfters.9 anwenden. Das bedeutet klassische Lösungen sind distributionelle Lösungen und, mit Hilfe des obigen Lemmas, distributionelle Lösungen in C m sind klassisch..7 Kriterien von Hadamard Eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung braucht n unabhängige Bedingungen um höchstens eine Lösung zu haben. War es bei einem Anfangswertproblem einer gewöhnlichen Differentialgleichung noch relativ einfach Bedingungen anzugeben wo es genau eine Lösung gibt, nämlich die Bedingungen aus dem Satz von Picard-Lindelöf, war es bei Randwertproblemen schon schwieriger. Und bei Randwertproblemen war die Existenz bei linearen wiederum einfacher als bei nicht-linearen. Für partielle Differentialgleichungen wird es sehr vom Type abhängen, welcher Art von Anfangs- oder Randwerte genau eine Lösung geben werden. Aber auch hier wird das Ziel sein, Bedingungen zu suchen derart, dass die Differentialgleichung mit festgelegten Anfangs- oder Randwerten die Kriterien von Hadamard 6 erfüllt: 6 Jacques Salomon Hadamard, , Französischer Mathematiker, hat seine Spuren hinterlassen in vielen Teilgebieten der Mathematik.

16 5. September 00 Kapitel, Einführung Eindeutigkeit: Das Problem hat höchstens eine Lösung. Existenz: Das Problem hat mindestens eine Lösung. Robustheit: Wenn man das Problem ein wenig ändert, ändert sich die Lösung auch nur wenig. Die dritte Eigenschaft wird auch als Stabilität oder stetige Abhängigkeit der Eingangsdaten benannt. Wenn ein Problem diese drei Eigenschaften hat, nennt man es wohlgestellt. Manchmal sagt man auch wohldefiniert.

17 Partielle Differentialgleichungen Kapitel Modelle Dieses Kapitel versucht eine Verbindung herzustellen zwischen physikalischen Voraussetzungen und mathematisch formulierten Problemstellungen. Solche Modellierungsvorgänge sind eine Kunst an sich und bewegen sich außerhalb der üblichen Mathematik bei der man versucht aus einigen Axiomen eine zweifelsfreie Theorie aufzubauen. Modellierung fängt an mit Beobachtungen, Experimenten und Vermutungen, wie der Zusammenhang zwischen Ursache und Ergebnis erklärt werden kann. Die Mathematik an sich kann nicht erklären wieso ein solches Model korrekt wäre. Wenn aber die mathematischen Schlußfolgerungen zu unerwarteten Ergebnissen oder sogar zu einem Widerspruch führen würden, müßte man sich ernsthaft Sorgen machen über die Richtigkeit des Models.. Transportgleichung Man stelle sich vor, dass sich eine Flüssigkeit oder ein Gas unter dem Einfluß einer Strömung bewegt. Diese Strömung ist gegeben durch ein Vektorfeld, dass die lokale Geschwindigkeit v x, t der Teilchen beschreibt. Die Variable x R oder R 3 beschreibt die Stelle und t die Zeit. Man möchte wissen wie die Dichte ρ = ρ x, y, t ist. Sei t eine beschränkte Menge dieser Flüssigkeit. Wenn man t weiter in der Zeit ist, hat diese Menge sich etwas deformiert zu t + t unter Einfluß des Vektorfeldes. Siehe Figur.. Abbildung.: Von t zu t + t hat t sich bewegt nach t + t. 3

18 4 5. September 00 Kapitel, Modelle Weil die Masse erhalten bleibt, gilt t+ t ρ x, t + t dx = t ρ x, t dx. Diese Identität benutzt man wie folgt für die Ableitung der Differentialgleichung: = Es gilt t 0 = ρ x, t + t dx t t+ t ρ x, t + t ρ x, t dx + t t lim t 0 t und für das Ein- und Ausströmen: lim t 0 t t+ t\t t t+ t\t ρ x, t dx = t\t+ t ρ x, t + t dx. ρ x, t + t ρ x, t dx = t ρ x, t dx. t t t\t+ t ρ x, t + t dx = ρ x, t v x, t ν dσ x. t Hier ist t der Rand von t und ν der auswärtige Normalenvektor. Weil folgt t ρ x, t v x, t ν dσ x. = t t ρ x, t + ρ x, t v x, t t Weil diese letzte Gleichung für jedes Teilgebiet t gilt, hat man ρ x, t v x, t dx. dx = 0..3 t ρ x, t + ρ x, t v x, t = 0..4 Physikalisch beschreibt diese Gleichung die Erhaltung der Masse. Wenn v gegeben ist, ist.4 eine Differentialgleichung erster Ordnung für die unbekannte Dichte ρ. Man nennt eine solche Differentialgleichung eine Transportgleichung. In der Ableitung dieser Differentialgleichung haben wir einen Integralsatz benutzt. Zur Erinnerung: Lemma. Sei R n ein beschränktes Gebiet und derart, dass der auswärtige Normalenvektor ν = ν,..., ν n auf wohldefiniert ist. Dann gilt für u C ; R, v C ; R n und w C ; R n folgendes: x i u x dx = v x dx = w x dx = w x νdσ x = u x ν i dσ x, v x νdσ x, w x dσ ν x.

19 . Wärmeleitungsgleichung 5. September Wärmeleitungsgleichung In vielen Fällen wird v in.4 bestimmt durch die Dichte ρ. Wenn es sich um eine Flüssigkeit in einem porösen Medium handelt, gilt das Gesetz von Darcy: ρ x, t v x, t = c P x, t wobei P der Druck ist. Wenn Druck und Dichte proportional sind, P = c ρ, findet man mit.4 und c = c c, dass t ρ x, t = ρ x, t v x, t = c P x, t = c ρ x, t. Ähnliches gilt für die Wärmeleitung. Das Wärmeleitungsgesetz das Gesetz von Fourier besagt T x, t v x, t = c T x, t. Nennt man c die Wärmekapazität, so gilt für die Energiedichte ρ = c T. Auch hier folgt mit.4: t T x, t = T x, t v x, t = c T x, t und die Wärmeleitungsgleichung t T x, t c T x, t = 0. Sorgt zusätzlich eine Wärmequelle f x, t im Innern für eine extra Zufuhr, dann bekommt man die inhomogene Wärmeleitungsgleichung T x, t k T x, t = f x, t..5 t Wenn wir die Wärmeverteilung in einem isolierten Körper betrachten, dann soll keine Wärme herein oder hinaus strömen. Das bedeutet, dass am Rande gilt T x, t ν = 0 für x und t > 0. Diese Randwertbedingung ist nach Neumann benannt worden. Sie kann man auch schreiben als T x, t = 0 für x und t > 0. ν Wenn man die Temperatur am Rande vorschreibt, heißt das eine Dirichlet Randwertbedingung. Das Rand-Anfangswertproblem für die Temperaturverteilung eines isolierten Körpers ist das folgende Problem: T x, t k T x, t = 0 für x, t t R+, T x, t = 0 für x, t ν R+,.6 T x, 0 = T 0 x für x. Lemma. Sei T C R + 0 eine Lösung von.6, so gilt T x, t dx = T x, 0 dx. Bemerkung.. Dies ist ein Erhaltungssatz. T x, t = 0 bedeutet, das keine Wärme ν herausfließt und die totale gespeicherte Wärme erhalten bleibt.

20 6 5. September 00 Kapitel, Modelle Beweis. Betrachtet man so folgt I t = t = k und It ist konstant. It = T x, t dx = T x, t dx, t T x, t ν dσ x = k T x, t dx = k T x, t dx ν T x, t dσ x = 0 Statt zu isolieren, kann man auch das Problem betrachten wo die Temperatur am Rand festgehalten wird, sagen wir auf 0: T x, t k T x, t = 0 für x, t t R+, T x, t = 0 für x, t R +, T x, 0 = T 0 x für x. Lemma.3 Sei T C R + 0 eine Lösung von.6 oder.7, so gilt T x, t dx T x, 0 dx. Beweis. Betrachtet man Et = T x, t dx, so folgt E t = t T x, t dx = T x, t t T x, t dx = k T x, t T x, t dx = k T x, t T x, t ν dσ x k T x, t T x, t dx = k T x, t dx 0. Man bemerke, dass T x, t T x, t ν dσ x = gilt sowohl für.6 als auch für.7. T x, t ν T x, t dσ x = 0.7 Korollar.4 Es gibt höchstens eine Lösung T C R + 0 für das Anfangs/Randwertproblem.6. Dies trifft auch zu für Problem.7. Beweis. Wenn.6 oder auch.7 zwei verschiedene Lösungen T und T haben, betrachte man T = T T. Die Function T erfüllt das Anfangs/Randwertproblem mit T = 0 am Anfang und am Rand. Aus Lemma.3 folgt 0 T x, t dx T x, 0 dx = 0 und dann auch T x, t = 0 für x, t R, ein Widerspruch.

21 .3 Die Laplace Gleichung 5. September 00 7 Die Wärmeleitungsgleichung ist verwandt mit der Gleichung für die Strömung durch ein poröses Medium. Weil der Druck als Funktion der Dichte schneller als linear zunimmt, nämlich P = u m, wird die dazu gehörige Differentialgleichung Man nennt.8 die Poröse-Medien-Gleichung. t u x, t k u x, tm = Die Laplace Gleichung Die Differentialgleichung k u x = fx nennt man die stationäre Wärmeleitungsgleichung oder Poisson Gleichung. Für einen Potentialfluss hat man die Gleichung u = 0..9 Hier ist u das Potential und v = u die Geschwindigkeit. Diese Gleichung beschreibt eine Strönung wo die Dichte/Wärme nicht Zeitabhängig ist. Die Differentialgleichung in.9 heißt die Laplace Gleichung. Eine Funktion u C die.9 erfüllt, nennt man harmonisch auf..3. Harmonische Funktionen Aus der Vorlesung Funktionentheorie soll man sich an einige schöne Ergebnisse für harmonische Funktionen in Dimensionen erinnern. Eine solche Eigenschaft von harmonischen Funktionen lässt sich auch in höheren Dimensionen zeigen: Proposition.5 Mittelwertsatz für harmonische Funktionen Wenn u C und u = 0 in, dann gilt für jede Kugel B r x 0 = {x R n ; x < r} mit B r x 0, dass u x u x 0 dσ x = 0..0 B rx 0 Bemerkung.5. Benennt man den Flächeninhalt der Kugel mit Radius mit ω n = dann kann man.0 wie folgt schreiben: B rx 0 B 0 dσ x,. u x dσ x = r n ω n u x 0. Anders gesagt, u x 0 nimmt den Durchschnittswert auf dem Kugelrand B r x 0 an. Eine Kugel mit Radius r hat dann Flächeninhalt r n ω n.

22 8 5. September 00 Kapitel, Modelle Bemerkung.5. Die Gleichung in.0 kann man auch wie folgt formulieren: ux = u y dσ ω n r n y.. Wenn. gilt für alle r R so gilt auch ux = n ω n r n B rx B rx u y dy.3 für alle r R und umgekehrt. Von. zu.3 kommt man durch r 0 r n uxdr mit u aus. zu integrieren. Die umgekehrte Richtung folgt aus r r n ux mit u aus.3. Beweis. Wir werden den Satz beweisen für x 0 = 0. Für n 3 und x 0 gilt folgendes x n = x n x n = n x n = n x n n x x x n+ = 0. So finden wir mit partieller Integration einerseits x n r n u x dx = B r0\b ε0 = x n r n u x dσ x x n r n u x dx B r0\b ε0 ν B r0\b ε0 = n r n u x dσ x ε n u x dσ x, B r0 B ε0 und andererseits = B r0\b ε0 x n r n u x dx = B r0\b ε0 x n r n ν u x dσ x x n r n u x dx B r0\b ε0 = 0 ν u x dσ x ε n ν u x dσ x. B r0 Zusammen folgt r n u x dσ x ε n B r0 B ε0 B ε0 u x dσ x = ε n x n B ε0 x u x dσ x..4 Wir betrachten die einzelnen Terme aus.4. x Weil u x beschränkt ist, sage wir der Betrag ist kleiner c x, so findet man x x u x dσ x c ω n ε n. B ε0 Also gilt lim ε 0 ε n n B ε0 x x u x dσ x = lim ε 0 O ε = 0.

23 .4 Die schwingende Saite 5. September 00 9 Auch gilt, weil u C B r 0, dass u x u 0 dσ x u x u 0 dσ x B ε0 B ε0 c x dσ x c ε ε n ω n, und es folgt, dass B ε0 lim ε n u x dσ x = lim ε 0 B ε 0 ε0 ε n u 0 dσ x + O ε B ε0 Mit.4 findet man nun für ε 0, dass r n u x dσ x = ω n u 0, B r0 = ω n u 0. und somit das gewünschte Ergebnis für n. Für n = ist das Ergebnis in der Vorlesung Funktionentheorie bewiesen. Man kann auch den obigen Beweis wiederholen mit x n ersetzt durch ln x. Aus Proposition.5 folgt dass, wenn man auf dem Rand B r x 0 eine harmonische Funktion u ändert, auch u x 0 sich aendert. Man findet sogar folgendes starke Ergebnis. Korollar.6 Wenn u C harmonisch ist auf und ein Extremum innerhalb von hat, so ist u eine Konstante. Beweis. Nehmen wir an, u hat ein Maximum in x 0. Weil offen ist, gibt es r 0 > 0 mit B r0 x 0 und für jedes r 0, r 0 gilt u x 0 = uxdσ r n x ux ω n r n 0 dσ x = u x 0. ω n B rx 0 B rx 0 Diese Ungleichung ist streng und gibt einen Widerspruch, wenn u nicht identisch u x 0 ist auf B r x 0. Es folgt also, dass u konstant ist auf B r0 x 0. Man wiederholt diese Argumente für jedes x B r0 x 0, x B r x usw. Die Annahme, dass offen und zusammenhängend ist, erlaubt es uns ganz mit Kugeln zu überdecken. Auf jede Kugel in ist u konstant, also ist u auch konstant auf..4 Die schwingende Saite Nehmen wir zur Modellierung an, dass diese Saite aus einer Reihe kleiner Massen besteht, die elastisch verbunden sind. Wir nehmen an, dass die Spannung in der Saite konstant ist. Sei u x, t die vertikale Auslenkung an der Stelle x zur Zeit t. Betrachten wir das Teil zwischen x x und x + x, dann wirken durch die Spannung S die folgenden Kräfte auf dieses Teil: F rechts = F links = S + u x x + x, t u x x + x, t S + u x x x, t u x x x, t,.

24 0 5. September 00 Kapitel, Modelle Addiert man diese beiden Kräfte und entwickelt man nach x, so folgt: F rechts + F links = S x +u xx,t u xx,t x + O x. x +u xx,t Abbildung.: Kräfte wirkend in einer schwingende Saite. Wir vereinfachen die Herleitung durch die Annahme, das diese Saite sich nur vertikal bewegt. Aus dem zweiten Gesetz von Newton, F = t mv, folgt für das Teil der Saite zwischen x x und x + x dass x S u x x, t x + O x x + x = t + u x x, t ρ t u x, t dx. + u x x, t x x Dividiert man durch x und nimmt den Grenzwert für x 0, dann folgt x S u x x, t = t + u x x, t ρ t u x, t. + u x x, t Für u x x, t, also für kleine Auslenkungen vernachlässigt man diesen Term und man findet mit c = S/ρ, dass.5 Die Wellengleichung u tt x, t c u xx x, t = 0..5 Wenn man eine kompressible Flüssigkeit oder Gas betrachtet, hat man erstens den Erhaltssatz aus.4: t ρ x, t + ρ x, t v x, t = 0..6 Wir betrachten nun den Fall, wo der Druck p proportional zur Dichte ρ ist: p x, t = c ρ x, t.7 und verwenden wieder das zweite Gesetz von Newton: F = mv mit der Kraft F und t dem Impuls mv. Die zugehörige Kräftegleichung, Impulsänderung von U = Druck auf U, wird t ρ x, t v x, t dx = p x, t ν dσ x,.8 U Lex II. Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur. Gesetz II. Die Änderung einer Bewegungsgröße ist der eingeprägten Bewegungskraft proportional und er folgt der Geraden, entlang welcher diese Kraft eingeprägt wird. U

25 .6 Die Membran 5. September 00 für ein beliebiges Gebiet U. Mit wohldefiniertem auswärtigem Normalenvektor folgt aus dieser letzten Gleichung: t ρ x, t v x, t dx = p x, t dx. Dann gilt auch U Kombiniert man.9,.6 und.7, dann folgt Die Differentialgleichung nennt man die Wellengleichung..6 Die Membran U t ρ x, t v x, t = p x, t..9 p = t ρ v = t ρ v = t t ρ = c t p. t p t, x c p t, x = 0.0 Ähnlich wie bei der Saite ist bei einer elastischen Membran die Kraft gleich der Spannung multipliziert mit der Krümmung. Nur ist nicht so ganz klar welche Krümmung wir nehmen müssen, denn Funktionen x, y u x, y können sich in zwei Richtungen krümmen. Einen etwas einfachere Ansatz ist folgender. Statt das Kräftegleichgewicht darzustellen betrachten wir die Energie. Wir nehmen an, dass bei einer eingespannten Membran die Energie proportional zum Flächeninhalt ist. Wenn wir die Membran parametrisieren durch x, y x, y, u x, y R, dann wird diese Energie als Funktional der Funktion u wie folgt: E elastisch u := + u x + u yd x, y.. Lässt man außerdem Kräfte zu, die mit Dichte f x, y an der Stelle x, y vertikal eine Kraft ausüben, hat man zusätzlich einen Potentialterm durch Kraft mal Weg: E potentiel u := f u d x, y. Die totale Energie ist E total u := + u x + u y f u d x, y Das Prinzip der kleinsten Wirkung, auch Hamiltonisches Prinzip genannt, wird angewendet. Dieses Prinzip sagt, dass die Funktion, die das passende physikalische Verhalten repräsentiert, dieses Funktional Die Physiker würden sagen: diese Wirkung minimiert. Mathematisch heißt das, dass das Funktional größer wird, wenn wir die Lösung u stören mit εφ: E total u + εφ E total u für alle ε R und φ C. Sir William Rowan Hamilton

26 5. September 00 Kapitel, Modelle Wenn die Funktion ε E total u + εφ differenzierbar ist, dann gilt ε E total u + εφ = 0 für alle φ C.. ε=0 Für u, φ C ist. gleich u φ f φ + u x + u y dx, y = 0. Wenn außerdem gilt, dass u C, dann können wir für φ C0 partiell integrieren und es folgt u f φ dx, y = 0. + u x + u y Weil dieses Integral gleich 0 ist für alle solche φ, findet man u = f..3 + u x + u y Auch hier vereinfacht man für u x + u y die Gleichung zu u = f. Beispiel.7 Für konstante f [0, ], = B 0 und h 0 so dass f + h = gilt, kann man zeigen, dass u x, y = + h x y h die Differentialgleichung.3 löst. Für f > kann man zeigen, dass es keine Lösungen gibt! Es gibt auch Membrane, die sich nicht durch x, y, ux, y parametrisieren lassen. Zum Beispiel kann man zeigen, dass ϕ, θ R cos ϕ sin θ, R sin ϕ sin θ, R cos θ + R mit ϕ, θ [0, π] [0, arcsin /R] eine Oberfläche parametrisiert, die man auch als Lösung zulassen sollte. Diese Lösung lässt sich nicht als Funktion von x, y schreiben. Abbildung.3: Einige Lösungen zu Beispiel.7 mit f gleich.4,.8,. und.4. Die Skizzen in Abbildung.4 lassen sich nicht durch x, y, u x, y parametrisieren. Statt dessen kann man r ϕ, θ cos ϕ sin θ, r ϕ, θ sin ϕ sin θ, r ϕ, θ cos θ versuchen. liefern auch beim Funktional keine Minima. Sie sind zwar stationäre Punkte für dieses Funktional, sind aber kein Minimum sondern ein Sattelpunkt. Seifenblasen versuchen ihren Flächeninhalt zu minimieren und haben darum die in. genannte Energie. Sie haben aber nicht die oben genannte potentielle Energie. Sie minimieren. unter der Nebenbedingung, dass ihr Volumen konstant ist.

27 .7 Der schwingende Balken 5. September 00 3 Abbildung.4: Einige Membrane die sich nicht durch x, y, ux, y parametrisieren lassen; f ist gleich.4,.,.8 und.6. Wie man erwarten sollte: Kugeloberflächen..7 Der schwingende Balken Die Energie einer aufgespannte Saite zwischen 0, 0 und l, 0 ist proportional zu der Zunahme der Länge durch die Auslenkung: E elastisch,s u = s l 0 l + u x dx s u x dx. 0 Wenn man statt einer Saite einen Balken betrachtet, der an beiden Enden in die vertikale Richtung zurück gehalten wird, wird die elastische Energie durch das Quadrat der Krümmung verursacht: E elastisch,b u = σ l 0 u l xx + u x 3 dx σ u xx dx 0 für kleine Auslenkungen. Hat man zusätzlich eine Kraft, die Saite oder Balken lokal seitwärts biegt, findet man E total,s u = E total,b u = l 0 l 0 s u x f u dx, σ u xx f u dx. Testen mit ϕ unter Anwendung des Hamiltonischen Prinzips und durch partielle Integration folgt für S: su xx = f, für B: σu xxxx = f. Wenn wir das zeitabhängige Problem betrachten und die Kraftdichte durch die vertikale Beschleunigung verursacht wird, finden wir die linearisierte Gleichung eines schwingenden Balkens: u tt x, t σu xxxx x, t = 0..4

28 4 5. September 00 Kapitel, Modelle

29 Partielle Differentialgleichungen Kapitel 3 Erster Ordnung: Transportgleichungen 3. Lineare und semilineare Transportgleichungen 3.. Mit konstanten Koeffizienten Eine sehr einfache Differentialgleichung aus dieser Klasse ist v u x = fx für x R n. 3. Hier sind v R n \ {0} und f : R n R gegeben und u ist gesucht. Wir betrachten eine Kurve x t = x 0 + t v. Dann gilt u x t = v u x t t und wenn wir uns auf eine solche Kurve beschränken, kann man 3. leicht lösen. Für U t := u x t und F t := f x t wird die Differentialgleichung U t = F t. Also hat man Zurückgeführt auf 3. folgt U t = U t 0 + t t 0 F s ds. u x 0 + t v = u x 0 + t 0 f x 0 + s v ds 3. und diese Funktion erfüllt die Differentialgleichung auf der Geraden durch x 0 in der Richtung v. Kennt man u x auf einer n -dimensionalen Mannigfaltigkeit M, die mit jeder Geraden {x 0 + t v; t R} höchstens einen Punkt gemeinsam hat, dann hat man eine Lösung der Differentialgleichung auf = {x 0 + t v; x 0 M und t R}. Etwas haben wir nicht beachtet. Wenn x M ux M nicht differenzierbar ist, kann man auch nicht erwarten, dass u für u in 3. definiert ist. Im schwachen Sinne ist es trotzdem eine Lösung. 5

30 6 5. September 00 Kapitel 3, Erster Ordnung: Transportgleichungen M v x 0 Abbildung 3.: Die Werte vorgeschrieben auf der grünen Kurve geben eine Lösung auf dem hellgrünen Gebiet. Man kann u nicht beliebig vorschreiben auf der Fortsetzung die rote Kurve. Beispiel 3. Wir suchen eine Lösung von { ux x, y + u y x, y =, u x, 0 = x. Die Differentialgleichung kann man schreiben als u x, y =. Betrachtet man die Kurven xt yt = x0 0 + t und setzt man U t = u xt, yt, dann bekommt man die gewöhnliche Differentialgleichung U t = t u xt, yt = u xt, yt = mit der Anfangsbedingung U0 = u x0, y0 = u x 0, 0 = x 0. Man findet Also gilt Ut = U0 + t = x 0 + t. u xt, yt = Ut = x 0 + t xt = x 0 + t und yt = t. Es folgt u x 0 + t, t = x 0 + t und man findet eine Lösung auf ganz R, nämlich ux, y = x y + y.

31 3. Lineare und semilineare Transportgleichungen 5. September Allgemeine semilineare Transportgleichungen Die Differentialgleichung die gemeint ist, ist die folgende: v x u x = fx, ux für x R n. 3.3 Hier ist v und f gegeben und wir nehmen an, dass v C R n ; R n und f C R n R; R. Zusätzlich soll eine Randwertbedingung erfüllt sein: mit M eine n -dimensionale Mannigfaltigkeit. Das Problem lösst man in zwei Schritten. u x = u 0 x für x M 3.4 Man löse erstens x t = v x t. Wenn x v x die Lipschitzbedingung erfüllt, gibt es für jedes x 0 M genau eine Lösung von dem Anfangswertproblem { x t = v x t, 3.5 x 0 = x 0. Dies folgt aus dem Satz von Picard-Lindelöf. Die Lösung t x t; x 0 ist stetig differenzierbar. Die Lösungen von 3.5 nennt man die charakteristischen Kurven für 3.3. Aus der Eindeutigkeit und der Tatsache, dass x t = v x t autonom ist, folgt: Lemma 3. Sei v C R n ; R n. Wenn zwei charakteristische Kurven t x a t und t x b t zu der semilinearen Transportgleichung 3.3 sich schneiden, sind sie identisch : es gibt T R mit x a t = x b t + T für alle t R. Sei t x t; x 0 eine Lösung von 3.5 und schreibe U t = u x t; x 0. Definiere F t, u = f x t; x 0, u. Wenn u 3.3 erfüllt, dann gilt U t = x t; x 0 u x t; x 0 = v x t; x 0 u x t; x 0 = = f x t; x 0, u x t; x 0 = F t, U t. Wenn x, u f x, u die Lipschitz-Bedingung erfüllt, erfüllt t, u F t, u die Lipschitz-Bedingung. Auch hier kann man den Satz von Picard-Lindelöf anwenden um genau eine Lösung zu finden zu { U t = F t, U t, 3.6 U 0 = u 0 x 0. Schreibe für diese Lösung t U t; u 0 x 0. Für die Funktion u die lösen soll, findet man u x t; x 0 = U t; u 0 x 0. Es ist noch nicht klar, ob u so tatsächlich wohldefiniert ist in einer Umgebung von M. Die Funktion könnte mehrfach oder sogar überhaupt nicht definiert sein. Wir brauchen dafür die folgende Bedingung.

32 8 5. September 00 Kapitel 3, Erster Ordnung: Transportgleichungen Bedingung 3.3 Sei M eine n -dimensionale C -Mannigfaltigkeit in R n und sei v C R n ; R n ein Vektorfeld. Wir schreiben ν x für ein Normalenvektor an M in x M. Man sagt die Transversalitätsbedingung ist erfüllt wenn v x ν x 0 für alle x M. 3.7 Proposition 3.4 Sei M eine n -dimensionale C -Mannigfaltigkeit in R n und sei v C R n derart, dass die Transversalitätsbedingung 3.7 erfüllt ist. Sei außerdem f C R n R und u 0 C M. Dann gibt es lokal genau eine Lösung x u x von { v x u x = fx, u x, 3.8 u x = u 0 x für x M. Bemerkung 3.4. Die Lösungen lassen sich sogar definieren auf dem ganzen Gebiet, dass diese charakteristischen Kurven überdecken. Bei diesen Kurven kann mehreres passieren: sie hauen ab nach ; sie häufen sich in einem Punkt; sie kommen zurück zu der Mannigfaltigkeit und auch Kombinationen sind möglich. Genaueres erfahren Sie in einer Vorlesung Dynamische Systeme. Beweis. Weil M eine n -dimensionale C -Mannigfaltigkeit in R n ist, gibt es in der Nähe von x M ein lokales Koordinatensystem für M Durch die Bedingung in 3.7 gibt Ψ : B 0 R n M R n. y,..., y n, t Ψ y,..., y n + t v Ψ y,..., y n ein lokales Koordinatensystem für R n in der Nähe von x M. Nun betrachten wir Weil y,..., y n, t x t; Ψ y,..., y n. 3.9 y x t; Ψ y,..., y n 0,...,0,0 = y Ψ y,..., y n 0,...,0, t x t; Ψ y,..., y n 0,...,0,0 = v x m, und diese Ableitungen stetig sind, ist auch 3.9 lokal ein wohldefiniertes Koordinatensystem. Anders gesagt, die Funktion u mit u x t; Ψ y := U t; Ψ y ist wohldefiniert. Wegen Lemma 3. und der Transversalitätsbedingung ist u sogar eindeutig definiert auf = { x t; Ψ y ; t [ 0, T Ψy und y M }. Hier ist TΨy 0, ] entweder definiert durch das maximale Existenzinterval oder durch die Bedingung x T Ψy ; Ψ y M. Die Konstruktion zeigt uns, dass die Differentialgleichung erfüllt ist und weil jeder Punkt in einer kleinen Umgebung eindeutig über eine charakteristische Kurve zurück zu führen ist auf ein Anfangswertproblem für eine gewöhnliche Differentialgleichung, ist diese klassische Lösung lokal eindeutig.

33 3. Quasilineare Transportgleichungen 5. September 00 9 Beispiel 3.5 Finde die Lösung von { ux x, y + y u y x, y =, u x, = x +. Die Differentialgleichung kann man schreiben als u x, y =. y Wir suchen erst die charakteristischen Kurven: x t y = t y t und finden x t y t = x0 + t y 0 e t Wählen wir die Konstanten derart, dass für t = 0 genau s, erreicht wird, folgt x t s + t = y t e t. Nun setzen wir U t = u x t, y t und suchen die Lösungen von { U t = U 0 = s + nämlich U t = t + s +. Es folgt. u s + t, e t = t + s +. Gehen wir zurück zu den Standardkoordinaten folgt Für y 0 ist die Lösung nicht bestimmt. u x, y = x + + ln y für x, y R R Quasilineare Transportgleichungen Gemeint sind Differentialgleichungen der Form v x, u u x = f x, u x. Wenn versucht wird, hier diese Methode mit den charakteristischen Kurven anzuwenden, bemerkt man, dass diese Kurven abhängig sind von der Lösung u. Das bedeutet, dass man das Finden dieser Kurven nicht mehr abtrennen kann von dem Lösen entlang dieser Kurven. Trotzdem gibt es die Möglichkeit beides gleichzeitig zu tun! Man betrachte das folgende System von n + Gleichungen { x t = v xt, U t, U t = f x t, U t.

34 30 5. September 00 Kapitel 3, Erster Ordnung: Transportgleichungen y ux,y x Abbildung 3.: Skizzen zu Beispiel 3.5. Links die charakteristischen Kurven und rechts die Lösung. In rot ist die Bedingung ux, = x + dargestellt. Hat man Anfangswertbedingungen u x = u 0 x für x M eine n -dimensionale Mannigfaltigkeit, bekommt man für jedes x 0 M das folgende Anfangswertproblem: x t = v xt, U t, U t = f x t, U t, x 0 = x 0 und U 0 = u 0 x 0. Wenn v und f differenzierbar sind, kann man den Satz von Picard-Lindelöf anwenden um eine eindeutige Lösung zu finden bei jedem x 0 M. Schreiben wir für die Lösung t x t; x 0, u 0, U t; x 0, u 0 Wenn u x wohldefniniert ist durch dann gilt u x t; x 0, u 0 := U t; x 0, u 0 x t; x 0, u 0 u x t; x 0, u 0 = U t; x 0, u 0 = f x t; x 0, u 0, U t und folgt für x = x t; x 0, u 0 v x u x = f x, u x. Auch hier gilt ein ähnliches Ergebnis wie in Proposition 3.4: Proposition 3.6 Sei M eine n -dimensionale C -Mannigfaltigkeit in R n. Sei v C R n+ ; R n, f C R n R und u 0 C M. Wenn v und u 0 derart sind, dass v x, u 0 x ν x 0 für alle x M, 3.0 dann gibt es lokal genau eine Lösung x u x von { v x, u x u x = fx, u x, u x = u 0 x für x M. 3.

35 3. Quasilineare Transportgleichungen 5. September 00 3 Beweis. Dieser ist ähnlich wie der für Proposition 3.4. Beispiel 3.7 Wir betrachten { u x, y ux x, y + u y x, y = 0, u x, 0 = π arctan x. 3. Um dieses System zu lösen mit dem obigen Ansatz betrachtet man x t = U t mit x 0 = s, y t = mit y0 = 0, U t = 0 mit U0 = π arctan s. Es folgt wenn wir nach t integrieren und anschließend die Anfangswerte einsetzen, dass und U t = U0 = π arctan s, y t = y0 + t = t, xt = x0 + t 0 Uτdτ = s + t π arctan s, Ut = u xt, yt = u s + t π arctan s, t = π arctan s. 3.3 Wenn wir versuchen die Lösung in x und y darzustellen, dann folgt t = y und s sollen wir lösen aus x = s + y π arctan s. Das ist nur möglich wenn y, denn nur dann ist die Funktion s s y arctan s monoton. y 0 3 u x,y x 0 Abbildung 3.3: Skizzen zu Beispiel 3.7. Links die teilweise sich überschneidenden charakteristischen Kurven und rechts eine Skizze zu den Parametrisierungen s, t xt; s, yt; s, Ut; s. In rot ist die Bedingung ux, 0 = π arctan x dargestellt. Die Mannigfaltigkeit s, t xt; s, yt; s, Ut; s lässt sich nur bedingt als Graphen einer Funktion x, y u x, y darstellen.

36 3 5. September 00 Kapitel 3, Erster Ordnung: Transportgleichungen 3.. Stoßwellen Bei quasilinearen Transportgleichungen gibt es also Probleme, weil charakteristische Kurven abhängen von der Lösung selber. Das bedeutet, dass die Differentialgleichung für die charakteristische Kurven nicht autonom ist und die Lösungen zu den verschiedenen Anfangswerten sich schneiden können. Bei einer autonomen Differentialgleichung mit Lipschitz-Bedingung ist solches nicht möglich. In diesem Abschnitt werden wir erklären wie man bei einem solchen Fall vorgeht. Wir werden uns beschränken auf zwei Dimensionen und sogar auf Anfangswertprobleme der Gestalt: { ut + F u x = 0 für t > 0 und x R, 3.4 u x, 0 = u 0 x für x R. Kommen wir zurück auf Beispiel 3.7. Die Differentialgleichung u u x + u y = 0 nennt man die unviskose Burgersgleichung. Üblicherweise wird sie geschrieben als u t + u = 0, 3.5 x wobei t die Zeit- und x die Raumvariable ist. Sie wird als ein einfaches Modell für eine eindimensionale Strömung gesehen wie zum Beispiel für die Verkehrsdichte im Straßenverkehr. Im letzten Beispiel haben wir gesehen, dass sich dieses Modell an bestimmten Stellen nicht mehr eindeutig fortsetzen lässt. Man hat nun zwei Möglichkeiten: Entweder verwirft man dieses Modell als nicht tauglich oder man erweitert den Lösungsbegriff, das heißt, man lässt allgemeinere Lösungstypen zu. Eine erste Möglichkeit die man für 3.4 in betracht zieht, ist wenn man statt 3.5 die viskose Burgersgleichung betrachtet: u t + u = εu x xx, 3.6 mit 0 < ε. Diese Gleichung ist zweiter Ordnung und passt nicht in dieses Kapitel. Die zweite Möglichkeit wäre zum Beispiel distributionelle Lösungen zu betrachten. Wir passen die Definition von distributionelle Lösung an für beschränkte Funktionen und nehmen zusätzlich die Anfangswertbedingung mit herein: Definition 3.8 Wir nennen u L R R + eine Integrallösung von 3.4, wenn u ϕ t + F u ϕ x dxdt + u 0 x ϕ x, 0 dx = 0 für alle ϕ Cc R [0,. R + R R 3.7 Dieses Integral ist so gewählt, dass die Integralgleichung für klassischen Lösungen erfüllt ist. Denn für u C R [0, und ϕ Cc R [0, gilt mit partieller Integration nach t beziehungsweise nach x, dass u ϕ t dxdt = u 0 x ϕ x, 0 dx u t ϕ dxdt, R + R R R + R F u ϕ x dxdt = F u x ϕdxdt, R + R R + R und 3.4 liefert 3.7. Und umgekehrt, wenn u C R [0, ist und 3.7 erfüllt, dann folgt sowohl die Differentialgleichung im klassischen Sinne als auch die Anfangswertbedingung. Johannes Martinus Burgers , Technische Hogeschool Delft, 940.

37 3. Quasilineare Transportgleichungen 5. September Die Frage ist nun, ob diese Definition auch reicht, um eine Lösung auszuwählen die fast überall eindeutig definiert ist. Oder, anders gesagt, welche characteristische Kurven sollen wir in dem mehrfach belegten Gebiet folgen? Eine vernünftige Lösung scheint zu sein, dass wir annehmen, dass es eine trennende Kurve gibt. An dieser trennenden Kurve wird die Lösung einen Sprung haben. 3 3 Abbildung 3.4: Welche Unstetigkeitskurve ist die richtige? Nennen wir das Gebiet links von der Stoßwelle l und rechts r. Die Trennkurve nennen wir S und wir nehmen an, dass sie C ist. Links und rechts haben wir klassische Lösungen u l und u r. Es folgt 0 = u ϕ t + F u ϕ x dxdt = R + R = u l ϕ t + F u l ϕ x dxdt + u r ϕ t + F u r ϕ x dxdt l r F ul F ur = ϕ ν S u l dσ + ϕ ν l S u r dσ r F ul F u = ϕ r ν u l u l dσ. r Weil dies für alle Testfunktionen ϕ gilt, folgt F ul F u r u l u r S ν l = 0. Wir kennen so die Richtung von S. Eine Parametrisierung von S findet man durch F γ ul γτ F u τ = r γτ mit γ 0 = S u l γτ u r γτ 0, 3.8 wenn S 0 der Anfang der Unstetigkeitskurve ist. Statt 3.8 kann man auch wie folgt parametrisieren x τ F ul γτ F u r γτ t = u l γτ u r γτ x 0 mit = S τ t und man findet die Kurve xt, t durch x t = F u l xt, t F u r xt, t. u l xt, t u r xt, t Die Geschwindigkeit der Unstetigkeit an der Stelle S = x t ist v S = x t. Anders gesagt, es gilt:

38 34 5. September 00 Kapitel 3, Erster Ordnung: Transportgleichungen Bedingung 3.9 Die Rankine-Hugoniot-Bedingung 3 u l u r v S = F u l F u r. 3.0 Diese Bedingung soll wie folgt gelesen werden. Das Teilgebiet, wo die Unstetigkeitskurve liegen sollte, also das Gebiet wo mehere charakteristische Kurven aufeinander treffen, wird durch charakteristischen Kurven von rechts und durch charakterischen Kurven von links beschrieben und sogar auch noch durch charakteristischen Kurven dazwischen. Man definiert da u l durch die charakterische Kurven von links und u r durch die charakteristischen Kurven von rechts. Auf dem Teilgebiet ist nun sowohl u l als u r definiert und so auch die Bedingung in 3.0. Beispiel 3.0 Wir kommen zurück auf Beispiel 3.7. Welche Unstetigkeitskurve erfüllt die Rankine-Hugoniot-Bedingung? Für das Randwertproblem 3. gilt F u = u und folgt v S = u l u r u l u r = u l + u r. Wir können zeigen, dass die Unstetigkeitskurve durch x t, t mit x t = πt parametrisiert wird. Denn an der Stelle πt, t mit t > 0 treffen sich die linke und die rechte charakteristische Kurve für s r = s l = µ t wobei µ t die positive Lösung von µ = t arctan µ sei. Es gilt, dass x t = u l + u r = π arctan s l + arctan s r = π. Die passenden Bilder stehen in Abbildung 3.5. Die Kurve {x t, t ; t } ist eine Stoßwelle. 3 0 y u x,y x 3 4 Abbildung 3.5: Die Unstetigkeitskurve, die die Rankine-Hugoniot-Bedingung erfüllt. Vergleichen Sie mit Abbildung 3.3 Pierre-Henri Hugoniot , Französischer Mathematiker und Artillerieoffizier. 3 William John Macquorn Rankine 80 87, Schottischer Physiker, Bauingenieur und Dichter: The Three Foot Rule When I was bound apprentice and learnt to use my hands Folk never talked of measures that came from foreign lands Now I m a British Workman, too old to go to school So whether the chisel or file I hold, I ll stick to my three-foot rule. Some talk of millimetres and some of kilograms And some of decilitres to measure beer and drams But I m a British Workman, too old to go to school So by pounds I ll eat, and by quarts I ll drink, and I ll work by my three-foot rule. A party of astronomers went measuring the Earth And 40 million metres they took to be its girth Five hundred million inches though, go through from pole to pole So let s stick to inches, feet and yards and the good old three-foot rule. The great Egyptian pyramid s a thousand yards about And when the masons finished it they raised a joyful shout The chap that planned that building, I m bound he was no fool And now tis proved beyond a doubt he used a three-foot rule. Here s health to every learned man that goes by common sense And would not plague the workman by any vain pretence But as for those philanthropists who d send us back to school Oh! bless their eyes, if ever they tries to put down the three-foot rule. J. M. RANKINE

39 3. Quasilineare Transportgleichungen 5. September Verdünnungswellen Lösungen, wie sie in Definition 3.8 definiert sind, erlauben es, Anfangswerte u 0 in L R zu nehmen. Betrachten wir das Problem { u x, t ux x, t + u t x, t = 0, 3. u x, 0 = u 0 x. mit u 0 x = { 0 für x < 0, für x 0. Die Lösung mit Hilfe der charakteristischen Kurven findet man durch x t = U t mit x 0 = s, T t = mit T 0 = 0, U t = 0 mit U0 = u 0 s, nämlich U t = u 0 s, xt = s + t u 0 s, T t = t. 3. Für s < 0 finden wir xt = s und so folgt ux, t = 0 für x < 0 und t 0. Für s 0 gilt xt = s + t, und es folgt ux, t = für x t 0. Also { 0 für x < 0 und t 0 u x, t = für x t und t 0 Diese Methode gibt uns aber keine Lösung auf der Menge {x, t ; t > 0 und x [0, t}. Mathematisch gibt es viele Möglichkeiten, dieses Dreieck zu füllen. Wir geben mal drei an: { 0 für x < t und t 0, u x, t = 3.3 für x t und t 0, { 0 für x < t und t 0, u x, t = für x t und t 0, für x 0 und t 0, 3 u x, t = x/t für x 0, t und t für x t und t 0. Keine dieser drei Funktionen ist eine klassische Lösung. Die erste hat ein Problem auf der geraden x = t; die zweite auf x = t; die dritte sowohl auf x = 0 als auch auf x = t. Die Funktionen in und 3 sind beide Integrallösungen. Welche würde physikalisch passen? In der Physik gibt es die sogenannte Entropie-Bedingung. Grob kann man diese Bedingung wie folgt beschreiben: Man meide Unstetigkeitskurven wenn sie nicht notwendig sind. Wenn die Geschwindigkeit x t einer charakteristischen Kurve xt, t rechts von einer Unstetigkeit größer wäre als die Geschwindigkeit einer charakteristischen Kurve links von dieser Unstetigkeit bräuchte man keine Unstetigkeit, sondern hätte es durch eine Funktion wie in 3.5 lösen können. Wenn für u t + F u x = 0 die Funktion F u x eine Unstetigkeit in S hat, sagt man:

40 36 5. September 00 Kapitel 3, Erster Ordnung: Transportgleichungen 3 Abbildung 3.6: Wie füllt man das leere Dreieck? Abbildung 3.7: Einige Möglichkeiten; die in der Mitte und rechts wären mathematisch vertretbar; physikalisch sinnvoll ist wegen der Entropie-Bedingung nur die rechte Lösung. Bedingung 3. Die Entropie-Bedingung ist erfüllt für eine Lösung von 3.4, wenn an einer Unstetigkeitsstelle S gilt F u l > F u r. 3.6 Wenn S = {σt, t ; t t, t }, dann ist mit 3.6 gemeint, dass F lim x σt u x, t > F lim x σt u x, t für alle t t, t. Die Geschwindigkeit der charakteristischen Kurve an der Stelle x, t ist übrigens F u x, t, denn wenn x τ, t τ eine charakteristische Kurve ist, gilt x τ F t = u x τ, t τ τ und folgt t = τ und x τ = F u x τ, τ. Für eine streng konvexe Funktion F ist F eine streng wachsende Funktion und bedeutet 3.6 u l > u r. Man sieht nun auch sofort, dass diese Entropie-Bedingung für einen Unterschied sorgt bezüglich die Zeit-Richtung. Bei charakteristisch Kurven war es nicht wesentlich in welcher Richtung man entlang geht; die Rankine-Hugoniot und die Entropie-Bedingung sind richtungsabhängig. Definition 3. u is eine physikalische relevante Lösung von 3.4, wenn u konstant ist entlang charakteristischen Kurven mit Ausnahme von Unstetigkeitskurven S, und

41 3. Quasilineare Transportgleichungen 5. September wenn es eine Unstetigkeitskurve S gibt, ist da die Rankine-Hugoniot Bedingung und die Entropie-Bedingung erfüllt. Bemerkung 3.. Diese Bedingungen liefern das folgende: Wenn die anfängliche charakteristische Kurven, ein Teilgebiet eindeutig beschreiben, ist die Lösung konstant entlang jede dieser Kurven. Wenn ein Teilgebiet mehrfach durch charakteristischen Kurven beschrieben wird, ist dieses Teilgebiet derart aufgeteilt, dass bei der Grenzkurve die Rankine-Hugoniot- Bedingung und die Entropie-Bedingung erfüllt sind. Das heißt, die Grenzkurve wird bestimmt von 3.0 und man darf bei dieser Kurve nur eine Unstetigkeit in der von 3.6 festgelegter Richtung haben. Unstetigkeitskurven, die diesen Bedingungen erfüllen, nennt man Stoßwellen 4 Wenn ein Teilgebiet nicht durch die anfänglichen charakteristischen Kurven beschrieben wird, sind da neue charakterischen Kurven zu definieren. Die Entropie- Bedingung erlaubt nur Unstetigkeiten in eine Richtung und verhindert so das Entstehen von Unstetigkeitskurven am unteren Rand dieses Teilgebiets. Das bedeutet, das man an der Stelle, wo dieses Gebiet sich auftut, nur eine stetige Verdünnungswelle 5 als Lösung zulassen kann. Bemerkung 3.. Man kann zeigen, dass die Rankine-Hugoniot-Bedingung und die Entropie-Bedingung, derartig sind, dass die die Lösungen von 3.4 in der Abhängigkeit vom Anfangswert robust sind. Die genaue Beschreibung in welchem Sinne geben wir hier nicht. Die physikalische relevante Lösung zu hat eine Verdünnungswelle. Diese Lösung ist die dritte Möglichkeit 3.5. Eine Skizze findet man in Abbildung 3.8. y u x,y x Abbildung 3.8: Eine physikalische Lösung zu Shock wave. 5 Als Überseztung von rarefaction wave.

42 38 5. September 00 Kapitel 3, Erster Ordnung: Transportgleichungen

43 Partielle Differentialgleichungen Kapitel 4 Klassifizierung zweiter Ordnung 4. Die einfachsten Fälle als Begründung Wir betrachten in dieser Abschnitt partiellen Differentialgleichungen rein zweiter Ordnung in zwei Dimensionen und mit konstante Koeffizienten. Das heißt, diese Differentialgleichungen sind wie folgt: au xx + bu xy + cu yy + du x + eu y + fu = ϕ, 4. mit a, b, c, d, e, f R. Eine solche Differentialgleichung ist rein zweiter Ordnung wenn d = e = f = 0: au xx + bu xy + cu yy = ϕ 4. Wenn wir x durch ξ und y durch η in den zugehörigen Differentialoperator ersetzen, finden wir das Symbol der Differentialgleichung. Für 4. beziehungsweise 4. ist dieses Symbol L ξ, η = aξ + bξη + cη + dξ + eη + f, L 0 ξ, η = aξ + bξη + cη. Wenn a 0 gilt, dürfen wir durch Skalierung a = setzen in 4.. Wir nehmen deshalb an, dass a =. Auf dem Fall a = 0 kommen wir noch zurück. Seien nun τ, τ Lösungen der algebraischen Gleichung τ + bτ + c = 0, 4.3 nämlich τ, = b ± b c, dann gibt es Grundsätzlich drei Möglichkeiten:. τ τ R.. τ = τ R. 3. τ, τ C \ R und τ = τ. ad. Wenn τ τ R folgt ξ τ η ξ τ η = ξ + bξη + cη. 39

44 40 5. September 00 Kapitel 4, Klassifizierung zweiter Ordnung Man kann 4. mit a = umschreiben als { x τ y v = ϕ, x τ y u = v, 4.4 ein System erster Ordnung. Dieses System kann man in zwei Schritten als zwei Transportgleichungen lösen. Wenn τ τ kann man für 4. σ, σ R finden derart, dass ξ τ η + σ ξ τ η + σ = ξ + bξη + cη + dη + eξ + σ σ. Dann kann man 4. mit a = umschreiben als x τ y 0 u σ x τ y v f σ σ σ u v = 0 ϕ. 4.5 Dieses System lässt sich nicht mehr lösen als zwei aufeinanderfolgende Transportgleichungen aber kann man mit ähnliche Methoden angehen. Wir kommen nun zurück auf a = 0. Für a = 0 und b 0 gilt ähnliches als soeben beschrieben, denn 0ξ + bξη + cη = bξ + cη η, und man kommt wie vorher weiter, wenn man nun die Rollen von x und y vertauscht. Wenn a = b = 0 und c 0 ist man in der nächsten Kategorie. ad. Wenn τ = τ klappt diese Aufspaltung nicht unbedingt. Für 4. findet man x τ y u = ϕ und dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung. Für 4. findet man x τ y + σ u + λ x µ y + ρ u = ϕ. Wenn µ λτ kann man diese letzte Differentialgleichung nicht als System erster Ordnung schreiben. Ein typisches Beispiel einer solchen Differentialgleichung ist u xx u y = ϕ. ad 3. Wenn die Wurzeln von 4.3 nicht reell sind, scheint es zuerst hoffnungslos diese Differentialgleichung zu spalten denn wie soll man mit komplexe Termen umgehen? Ein typisches Beispiel ist u xx + u yy = ϕ. 4.6 Das zugehörige Symbol ist L ξ, η = ξ +η = ξ iη ξ + iη. Lässt man komplexe Zahlen zu, dann kann man 4.6 mit ϕ = 0 auch schreiben als und findet man Lösungen x i y x + i y u = 0 u x, y = α x + iy + β x iy. Die Verbindung zwei-dimensionaler harmonischer Funktionen mit holomorpher Funktionen sollte nicht überraschen nach einer Vorlesung Funktionentheorie. Wir werden drei typische Gleichungen zu diesen unterschiedlichen Fällen betrachten.

45 4. Die einfachsten Fälle als Begründung 5. September Fall : L = x y Betrachten wir u xx u yy = f. Diese Gleichung kann man auch schreiben als x + y x y u = f 4.7 und man könnte sie lösen, indem man nacheinander den charakteristischen Kurven in Richtung, und in Richtung, folgt. In dem neuen Koordinatensystem x = s + t und y = s t wird dies etwas leichter. Setzen wir U s, t = u s + t, s t und F s, t = fs + t, s t, so ändert sich die Differentialgleichung 4.7 in Es gilt nämlich für V s, t = v s + t, s t, dass und ähnlich s t U = F. 4.8 s + t s V s, t = v x s + t, s t + v y s + t, s t s = v x s + t, s t v y s + t, s t, t V s, t = v x s + t, s t v y s + t, s t. s t s Welche Art Randwertbedingungen würde eindeutig eine Lösung bestimmen? Betrachten wir den Fall = B 0. Für 4.8 finden wir und als nächstes U s, t = U s, ϕs + t U s, t = t U ψt, t + t ϕs s t U ψτ, τ dτ + ψt t F σ, t dσ 4.9 ϕs s ψτ F σ, τ dσdτ. 4.0 Hier beschreibt t = ϕs einen Randteil für t als Funktion von s und beschreibt s = ψt einen Randteil für s als Funktion von t. Um die Integrale in 4.0 festzulegen durch eine Bedingung am Rande hat man die Möglichkeit rechts unten und links oben ; ähnlich für 4.9 wird es links unten oder rechts oben. Betrachten wir den Fall unten, dann hat man ϕ s = s und ψ t = t. Für ein Paar x, y werden die Integralkurven in Abbildung 4. skizziert. Schreiben wir Γ [α,β] = {cos ϕ, sin ϕ ; α ϕ β}. Wenn man u auf der ganzen Kreisscheibe festlegen will, braucht man t U auf Γ [ 3 4 π, 7 4 π] und U auf Γ [ 3 4 π, 4 π]. Aus Symmetriegründen, man vertausche s und t, passt auch U auf Γ [ 3 4 π, 7 4 π] und su auf Γ [ 3 4 π, 4 π]. Auf einem Rand wo U und v U bekannt sind, mit v ein nicht-tangentialer Richtung, und wenn U C gilt, kennt man alle Richtungsableitungen. So kann man sich sogar überzeugen, dass auch folgendes passt: U auf Γ [ 3 4 π, 9 4 π] und νu auf Γ [ 5 4 π, 7 4 π]. Wenn man sich dieses Beispiel genau anschaut, kann man folgendes Ergebnis bekommen

46 4 5. September 00 Kapitel 4, Klassifizierung zweiter Ordnung x,y t s Abbildung 4.: Links: Für x, y braucht man u t auf dem roten Randteil und u im grünen Randpunkt. Rechts: Um u auf der ganzen Kreisscheibe festzulegen braucht man u t auf dem roten Randteil und u auf dem grünen Randteil. Proposition 4. Sei ein Gebiet in R mit C. Man setzt Γ R = {x ; es gibt zwei aufwärts gerichtete charakteristische Kurven in x}, Γ G = {x ; es gibt nur eine aufwärts gerichtete charakteristische Kurve in x}. Wenn die Randwerte es erlauben stetig sind und mögliche Kompatibilitätsbedingungen erfüllen kann man mit Hilfe der charakteristische Kurven, eine distributionelle Lösung in C von u tt u xx = f in, u = u 0 auf Γ R Γ G, ν u = v 0 auf Γ R, konstruieren. Wenn die Randwerte zweimal differenzierbar sind und mögliche zusätliche Kompatibilitätsbedingungen erfüllen, ist diese Funktion u sogar in C. Bemerkung 4.. Kompatibilitätsbedingungen müssen erfüllt sein wenn Γ R oder Γ G nicht zusammenhängend sind oder tangential an charakteristischen Kurven verlaufen. Beweis. Die Konstruktion einer Lösung entlang charakteristischen Kurven liefert die Existenz einer schwachen Lösung. Ist diese Lösung eindeutig? Ja, ein direkter Beweis ist sehr geometrisch. Es geht zurück auf U st = F. Man sucht eine Zick-Zack-Kurve entlang s konstant und t konstant die auf dem roten Rand anfängt. Und wieso ist die Lösung in C wenn die Randwerte es erlauben? Erstens soll u 0 und v 0 genügend glatt sein. Zweitens, wie man in Abbildung 4. sehen kann, ist Γ R und auch Γ G nicht unbedingt zusammenhängend. Um eine C -Lösung zu finden soll jeder Sprung von einer Komponente Γ R Γ G zu Γ R und Γ G kompatibel sein. 4.. Fall : L = x + y Statt x, y R werden wir wechseln zu x, x R. Betrachten wir also die partielle Differentialgleichung u x x + u x x = f. Wie nehmen auch ein spezielles Gebiet, nämlich die Einheitskugel B 0. Das heißt, wir betrachten u = f auf B 0.

47 4. Die einfachsten Fälle als Begründung 5. September Abbildung 4.: Auf dem roten Rand Γ R gibt man u und ν u an, auf dem grünen Γ G nur u, und man hat höchstens eine Lösung. Wir betrachten eine besondere Funktion auf B 0 B 0: G x, y = log 4π x y y log x y. 4. y Weil x y y y = x y, x y x y, = y x x, y + y y + y y, y = y sieht man, dass G x, y = G y, x. Außerdem findet man, dass G unendlich oft differenzierbar ist sowohl in x als y wenn x { y, y/ y }. Auf B 0 B 0 betrifft das nur x y. Es gilt Weil = x x log x y = x x log x y = x y x y = 4 x y x y x y x y 4 = 0. log x y y y = log x z + log y mit z = y/ y ist auch diese Funktion harmonisch. Es folgt, dass x G x, y harmonisch ist außerhalb von y. Weiter gilt G x, y = 0 für y =. Sei u eine Lösung von u = f CB 0. Dann gilt = lim ε 0 = B 0 B 0 B 0\B εx G x, y u y dy = lim G x, y u y dy ε 0 B 0\B εx G x, y ν u y νy G x, y u y dσ y + G x, y u y dy B 0\B εx νy G x, y u y dσ y lim G x, y ν u y νy G x, y u y ε 0 B dσ y. εx

48 44 5. September 00 Kapitel 4, Klassifizierung zweiter Ordnung Für y B ε x gilt G x, y = O log ε und νy G x, y = x y π x y ν y + O = πε + O. Es folgt für ε 0, dass B εx B εx G x, y ν u y dσ y = πεo log ε 0, ν G x, y u y dσ y = πε Zusammen wird es: u x = B 0 νy G x, y u y dσ y πε + O u x + O ε u x. B 0 Diese Formel liefert uns eine Eigenschaft einer Lösung zu G x, y u y dy. 4. { u = f in B 0, u = u 0 auf B Wir fassen dieses Ergebnis zusammen in: Proposition 4. Sei f CB 0 und u 0 C B 0. Wenn u C B 0 eine Lösung ist von 4.3 und G ist als in 4., dann gilt 4.. Die interessante Frage wäre, ob man, für u 0 und f gegeben, eine Lösung u von 4.3 mit Hilfe von u x = νy G x, y u 0 y dσ y G x, y f y dy. 4.4 B 0 finden würde. Das ist tatsächlich so aber braucht noch einen Beweis. Eine zweite interessante Frage ist, ob es die einzige Lösung zu 4.3 ist. Diese Frage lässt sich sofort beantworten: B 0 Proposition 4.3 Es gibt höchstens eine Lösung u C B 0 zu 4.3. Beweis. Wenn es zwei Lösungen geben würde, nennen wir sie u und u, dann ist w = u u eine harmonische Funktion und gilt w = 0 auf B 0. Wegen Korollar.6 hat w kein Extremum innerhalb von B 0. Es folgt dass w 0 auf B 0. Ähnliches gilt für w. Dann gilt also w = 0 auf B 0 und wären u und u identisch. Bemerkung 4.3. Diesen letzten Beweis kann man verwenden für beliebige Gebiete.

49 4. Die einfachsten Fälle als Begründung 5. September Fall 3: L = x y Diese Gleichung erscheint bei der Wärmeleitung. Weil y die Zeit darstellt werden wir t statt y benutzen. Ein einfaches physikalisches Problem wäre die Temperaturverteilung in einem Stab. Wir nehmen an, dieser Stab ist isoliert außer an den beiden Enden. Die anfängliche Temperatur nehmen wir 0 und die Enden halten wir auf 0. Das Problem wird: t x u = 0 in 0, l 0, T, u x, 0 = 0 auf 0, l, u0, t = ul, t = 0 auf 0, T. Wenn man u x, 0 = sin kπ l x statt 0 hätte, findet man als Lösung u x, t = e kπ l t sin kπ l x. Man kontrolliert direkt, dass sowohl die Differentialgleichung als die Rand- und Anfangsbedingungen erfüllt sind. Hat man u x, 0 = 38 k= c k sin kπ x folgt, weil die Differentialgleichung linear ist, als l Lösung k=0 38 u x, t = c k e kπ l t sin kπ x. l k= Als nächstes wenden wir an, dass 4 k + π = k + π sin x l und versuchen für die Lösung u x, t = 0 k=0 4 k + π für 0 < x < l k+π e l t k + π sin x. 4.5 l Konvergiert diese Reihe? Erfüllt sie die Differentialgleichung? Erfüllt sie die Rand- und Anfangsbedingungen? Die Antwort ist zweimal positiv und einmal fast überall. Schreibt man u x, t = 0 Abbildung 4.3: Eine Skizze der Funktion in 4.5 k=0 4 k+ e l π t k + π sin x, 4.6 k + π l

50 46 5. September 00 Kapitel 4, Klassifizierung zweiter Ordnung dann folgt e l π t < für t > 0 und zeigt man, dass die Reihe in 4.6 absolut konvergent ist. Innerhalb des Konvergenzradius ist Ableiten nach z := e l π t wohldefiniert und mit Hilfe der Kettenregel existiert auch die Ableitung nach t. Ähnliches gilt für höhere Ableitungen und Ableitungen nach x. Weil man so der Limes in der Ableitungen und der Limes in der Summe vertauschen kann für t > 0, folgt aus t x e k+π l t sin k + π l x = 0, dass die Differentialgleichung erfüllt ist für t > 0. Diese absolute Konvergenz liefert auch u 0, t = 0 = u l, t für t > 0. Die Stetigkeit von u bei t = 0 ist nur erfüllt für x 0, l. Um dies zu zeigen verwendet man ein Version vom Konvergenztest von Abel: Lemma 4.4 Abel Sei {a n } n N n=0 a nr n für r [0, ] und es gilt C. Wenn n=0 a n konvergiert, dann konvergiert lim r a n r n = n=0 a n. Beweis. Wenn n=0 a n konvergiert, hat n=0 a nz n einen Konvergenzradius R und konvergiert n=0 a nr n für r <. Wenn n=0 a n konvergiert, gibt es zu jedem ε > 0 einem N ε N derart, dass n=n a n < ε für alle N > N ε. Dann folgt für m > N > N ε dass m a n a n a n < ε. 4.7 n=n n=n n=0 n=m+ Außerdem gilt es für m > N, dass a n r n = a n r m + a m n k=n r k+ r k und Es folgt m a n r n = n=n m a n r n n=n = m a n r m + n=n m n=n m m a n r m + n=n m a n k=n n=n k=n r k+ r k k a n r k+ r k. m m a n r m k + a n r k+ r k n=n k=n n=n m m a n r m k + a n r k+ r k n=n ε r m + m k=n k=n n=n ε r k+ r k = ε r N ε und ähnlich wie in 4.7 hat man a n r n 4ε. 4.8 n=n

51 4. Die einfachsten Fälle als Begründung 5. September Die Konvergenz von n=n a nr n ist also gleichmäßig bezüglich r [0, ]. Betrachte das Polynom pr = N ε n=0 a nr n. Nehme δ > 0 derartig, dass r < δ impliziert p pr < ε, 4.9 so folgt aus 4.7, 4.8 und 4.9, dass a n a n r n < 7ε. Das Lemma ist bewiesen. n=0 n= Fall 4: L = x + y Wenn wir versuchen auf ähnlicher Art das folgende Problem zu lösen t + x u = 0 in 0, l 0, T, u x, 0 = 0 auf 0, l, u0, t = ul, t = 0 auf 0, T, bekommt man die Formel u x, t = 0 k=0 4 k+π e l t k + π sin x. 4.0 k + π l Auch hier müssen wir uns fragen, ob diese Reihe konvergiert? l l l l l Abbildung 4.4: Wir vergleichen die Approximationen für t =.0 und n {, 3, 6, 5, 5} aus 4. and 4.. In Abbildung 4.4 stehen Skizzen zu den ersten Termen aus 4.5 und 4.0: u n x, t = 0 n k=0 4 k+π k + π e l t k + π sin x l 4.

52 48 5. September 00 Kapitel 4, Klassifizierung zweiter Ordnung u n x, t = 0 n k=0 4 k+π e l t k + π sin x k + π l 4. Es hat den Anschein, dass die Formel aus 4. nicht konvergiert für t =.0. Kann man sich mit analytischen Mittel überzeugen? 4. Partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung 4.. In zwei Dimensionen Die allgemeine Form einer partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung sahen wir schon in 4.: au xx + bu xy + cu yy + du x + eu y + fu = ϕ, 4.3 mit a, b, c 0, 0, 0. Das Symbol ist L ξ, η = aξ + bξη + cη + dξ + eη + f. 4.4 Definition 4.5 Sei das Symbol wie in 4.4. Dann heißt 4.3 elliptisch, wenn es λ R gibt so dass L ξ, η = λ die Gleichung einer Ellipse darstellt; hyperbolisch, wenn es λ R gibt so dass L ξ, η = λ die Gleichung einer Hyperbel darstellt; parabolisch, wenn es λ R gibt so dass L ξ, η = λ die Gleichung einer Parabel darstellt. Bemerkung 4.5. Wenn a,..., e von x und y abhängt, dann kann es sein, dass der Typ verschieden ist an verschieden Stellen. Hyperbolisch und elliptisch wird bestimmt durch a, b, c Lemma 4.6 Sei λ R. i. Wenn L ξ, η = λ eine Ellipse darstellt, dann gilt b < ac. ii. Wenn b < ac gilt, dann beschreibt L ξ, η = λ mit ξ, η R entweder eine Ellipse, oder einen Punkt oder die leere Menge. i. Wenn L ξ, η = λ eine Hyperbel darstellt, dann gilt b > ac. ii. Wenn b > ac gilt, dann beschreibt L ξ, η = λ mit ξ, η R entweder eine doppelte Hyperbel oder zwei sich schneidenden Geraden. i. Wenn L ξ, η = λ eine Parabel darstellt, dann gilt b = ac und d e { a Span b b, c }. 4.5 ii. Wenn b = ac und 4.5 gilt, beschreibt L ξ, η = λ eine Parabel. { Span ϕ, ψ } { } = c ϕ + c ψ; c, c R.

53 4. Partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung 5. September Für konstante Koeffizienten kann man 4.3 auch schreiben als a b d + + f u = ϕ. b c e a b Lemma 4.7 Seien µ, µ die Eigenwerte von b c µ µ > ist elliptisch. µ µ < ist hyperbolisch. µ µ = 0 und 4.5 gilt 4.3 ist parabolisch. Beispiel 4.8 Die Tricomi-Gleichung u xx + xu yy = 0 ist elliptisch für x > 0 und hyperbolisch für x < 0. Beispiel 4.9 Die Differentialgleichung u xx + u xy + u yy + u x + u y = ϕ gehört nicht zu einer dieser drei Typen, denn 4.5 ist nicht erfüllt. Mit der Koordinatentransformation s = x + y und t = x y wird die Differentialgleichung 4u ss + u s = ϕ und die ist eine gewöhnliche Differentialgleichung. 4.. In höheren Dimensionen Eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in n Dimensionen kann man wie folgt schreiben: M + v + c u = f, 4.6 mit M eine symmetrische und reelle n n Matrix, v R n und c R und f eine vorgeschriebene Funktion. Definition 4.0 Man nennt die partielle Differentialgleichung in 4.6 elliptisch, wenn alle Eigenwerte von M entweder alle positiv oder alle negativ sind; hyperbolisch, wenn n unabhängige Eigenvektoren von M Eigenwerte mit dem gleichen Vorzeichen haben und der letzte Eigenvektor einen Eigenwert mit dem entgegengesetzten Vorzeichen hat; parabolisch, wenn n unabhängige Eigenvektoren von M Eigenwerte mit dem gleichen Vorzeichen haben, der letzte Eigenwert 0 ist und v Spaltenraum M.. Bemerkung 4.0. Man erinnere sich aus der Vorlesung Lineare Algebra, dass eine symmetrische und reelle n n Matrix M einen Basis aus Eigenvektoren besitzt. Man sollte sich auch erinnern, dass für eine n n Matrix die Determinante dem Produkt der Eigenwerte mit algebraischer Multiplizität gleicht: det M = n λ i M. i= Es gilt übrigens auch, dass n i= M ii =: spur M = n i= λ i M.

54 50 5. September 00 Kapitel 4, Klassifizierung zweiter Ordnung Bemerkung 4.0. Lemma 4.7 zeigt, dass diese Klassifizierung auch gilt für Differentialgleichungen zweiter Ordnung in zwei Dimensionen. Bemerkung Diese Aufteilung umfasst nicht alle Möglichkeiten. Die wichtigsten partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung aus physikalischen Modellen sind aber erfasst. Wenn die Differentialgleichung Koeffizienten hat, die nicht konstant sind, kann die Klassifizierung ortsabhängig sein. Dann wird klassifiziert, indem man den Parameter enfriert. Das heißt, man nennt eine semilineare Differentialgleichung n a ij x xi xj u x + i,j= n b j x xj u x = f x, u 4.7 elliptisch beziehungsweise parabolisch, hyperbolisch an der Stelle x 0, wenn L := j= n a ij x 0 xi xj + i,j= n b j x 0 xj elliptisch beziehungsweise parabolisch, hyperbolisch ist. Bei einer quasilinearen Differentialgleichung j= n a ij x, ux, ux xi xj u x = f x, ux, ux 4.8 i,j= wird dieses Einfrieren sogar von der Lösung selber abhängen. Man nennt 4.8 elliptisch beziehungsweise hyperbolisch an der Stelle x 0, wenn es ist. L := n a ij x 0, ux 0, ux 0 xi xj i,j= Beispiel 4. Eine einfache Differentialgleichung für eine stationäre Potentialströmung von einem Gas in zwei Dimensionen ist c u x uxx u x u y u xy + c u y uyy = Hier ist u das Potential und u die Geschwindigkeit. Weil c det u x u x u y u x u y c u = c ux c u y ux u y = c c u y ist 4.9 elliptisch für u < c und hyperbolisch für u > c. Bei einer solchen Potentialströmung ist c die Schallgeschwindigkeit in diesem Gas. Diese Gleichung trifft auch zu wenn das Gas Luft ist. Überschall- und Unterschallflug sind dann auch wesentlich verschieden.

55 Partielle Differentialgleichungen Kapitel 5 Die Wellengleichung und Distributionen Eine typische hyperbolische partielle Differentialgleichung ist die Wellengleichung: u tt c u = Die Variable t repräsentiert meistens die Zeit; = n i= x i ist die Summe der zweiten Ableitungen bezüglich der Raumvariablen. In Raumdimension beschreibt diese Gleichung zum Beispiel die Schwingungen einer Saite, in Dimension die Wellen in einem Teich und in Dimension 3 beschreibt sie, wie die Stimme eines Sängers sein Publikum erreicht. 5. Die Wellengleichung in Raumdimension Die Wellengleichung in einer Dimension haben wir schon betrachtet in Paragraph 4... Die folgende partiellle Differentialgleichung ist gemeint: u tt x, t c u xx x, t = fx, t. Diese Differentialgleichung ist hyperbolisch. Man kann durch Skalierung c = hinbekommen, so wie es in Paragraph 4.. gemacht wird. Weil c genau die Geschwindigkeit ist, mit der die Wellen sich seitwärts bewegen, lässt man der Anschaulichkeit halber c oft auch stehen. Die Funktion f ist gegeben, und man versucht, bei geschickt gewählten Anfangs- und Randwerten die Existenz einer eindeutigen Lösung zu zeigen. Das Anfangswertproblem ist ein solches Problem. u tt x, t c u xx x, t = fx, t für x R und t > 0, ux, 0 = u 0 x für x R, u t x, 0 = v 0 x für x R, 5. Proposition 5. Die Formel von d Alembert Sei f = 0, u 0 C R und v 0 C R. Dann hat 5. genau eine Lösung in C R [0,, nämlich u x, t = u 0x ct + u 0x + ct + c 5 x+ct x ct v 0 ydy. 5.3

56 5 5. September 00 Kapitel 5, Die Wellengleichung und Distributionen t x u x,t Abbildung 5.: Skizze der Lösung nach d Alembert von 5. mit u 0 x = e x und v 0 x = in rot. +x 6 in blau Bemerkung 5.. Wenn u 0 C R und v 0 C R, dann liefert 5.3 immer noch eine schwache Lösung u C R [0,. Beweis. Wenn f, u 0 und v 0 diesen obengenannten Funktionenräumen angehören, ist u zweimal stetig differenzierbar. Die erste Anfangsbedingung folgt direkt: Man findet u x, 0 = u 0 x. u t x, t = cu 0x ct + cu 0x + ct + v 0x + ct + v 0x ct, und es folgt Nochmals nach t ableiten ergibt u t x, 0 = v 0 x. u tt x, t = c u 0x ct + c u 0x + ct + cv 0x + ct cv 0x ct. Die Ableitungen nach x sind u x x, t = u 0x ct + u 0x + ct + c v 0x + ct c v 0x ct, u xx x, t = u 0x ct + u 0x + ct + c v 0x + ct c v 0x ct. Die Differentialgleichung ist erfüllt, und u in 5.3 ist eine Lösung. Das diese Lösung die einzige ist, findet man, durch Verfolgung der charakteristischen Kurven. Proposition 5. Prinzip von Duhamel Sei f C R [0,, u 0 = v 0 = 0. Dann hat 5. genau eine Lösung in C R [0,, nämlich u x, t = t 0 U x, t; s ds 5.4 wobei U, ; s für s > 0 die Lösung ist von U tt x, t; s c U xx x, t; s = 0 für x R und t > s, Ux, t; s = 0 für x R und t = s, U t x, t; s = f x, s für x R und t = s. 5.5 Bemerkung 5.. Die Funktionen x, t U x, t; s sind wohldefiniert für t s. Dies bedeutet auch, dass u in 5.4 wohldefiniert ist.

57 5. Die d-wellengleichung auf einem Intervall 5. September Bemerkung 5.. Die Differentialgleichung ist linear. Das bedeutet, dass die Summe von 5.3 und 5.4 eine Lösung liefert für 5. mit u 0, v 0 und f ungleich 0. Beweis. Aus Proposition 5. folgt U x, t; s = c x+ct s x ct s f y, s dy. Wenn f C R [0,, dann ist auch x, t, s U x, t; s zweimal stetig differenzierbar. Man findet und Weil u x, 0 = u t x, t = U x, t; t + t u tt x, t = U t x, t; s s=t = fx, t + U t x, t; s ds = t 0 t = fx, t + c u xx x, t. 0 t 0 U t x, t; s ds U tt x, t; s ds = c U xx x, t; s ds = U x, 0; s ds = 0 und u t x, 0 = sind auch die Anfangsbedingungen erfüllt. 0 0 U t x, 0; s ds = 0, Noch eine Bemerkung zu 5.3 und 5.4: In 5.3 steht, wie sich der Einfluß der Anfangswerte u 0 und v 0 auswirkt. In 5.4 sieht man, wo f an der Stelle x, t seinen Einfluss hat. Umgekehrt kann man sehen, wie der Wert von u x, t abhängt von u 0, v 0 und f. Man nennt diese Teilgebiete Einflußbereich und Abhängigkeitsbereich. Für u 0 sind es Kegelflächen. Für v 0 und f sind es Einflußkegel und Abhängigkeitskegel 3. Siehe Abbildung Die d-wellengleichung auf einem Intervall Wie man in Paragraph 4.. schon gesehen hat, kann man für beschränkte Gebiete eine Lösung finden, wenn man die Funktionen u 0, v 0 und f geschickt fortsetzt. Wir betrachten dies in den nächsten Beispielen. Für gt = t f t, s ds mit stetig differenzierbarem f gilt 0 t+h g t = lim f t + h, s ds Cone of influence 3 Cone of dependance = lim h 0 h h h 0 t+h t 0 f t + h, s ds + = ft, t + t 0 t 0 t 0 f t, s ds = f t + h, s f t, s ds h f t t, s ds. =

58 54 5. September 00 Kapitel 5, Die Wellengleichung und Distributionen x ct,t x ct,t x,t x ct,t x ct,t x,t x ct,s t x ct,s t x,t x,s Abbildung 5.: Oben: Das Einflußgebiet und das Abhängigkeitsgebiet zu u 0. Mitte: Der Einflußkegel und der Abhängigkeitskegel zu v 0. Unten: Der Einflußkegel und der Abhängigkeitskegel zu f. Beispiel 5.3 Betrachte das Anfangs-Randwertproblem u tt x, t c u xx x, t = fx, t für x > 0 und t > 0, ux, 0 = u 0 x für x > 0, u t x, 0 = v 0 x für x > 0, u0, t = 0 für t > Man definiere fx, t = ū 0 x = v 0 x = { fx, t für x 0, f x, t für x < 0, { u0 x für x 0, u 0 x für x < 0, { v0 x für x 0, v 0 x für x < 0, und betrachte 5. mit diesen erweiterten rechten Seiten. Wenn f0, t, u 0 0 und v 0 0 nicht identisch 0 sind, sind diese erweiterten Funktionen nicht länger stetig. Und sogar wenn diese Kompatibilitätsbedingung erfüllt ist, reicht es noch nicht für die Differenzierbarkeit. Sei ū x, t nun definiert durch 5.3 und 5.4. Dann folgt aus der antisymmetrischen Fortsetzung von f, u 0 und v 0, dass auch x ūx, t antisymmetrisch ist, das heißt ūx, t = ū x, t. Ist also die Kompatibilitätsbedingung erfüllt, findet man durch ux, t = ūx, t x 0 eine distributionelle Lösung u C [0, [0,.

59 5.3 Intermezzo zu Distributionen 5. September Beispiel 5.4 Für das Anfangs-Randwertproblem u tt x, t c u xx x, t = fx, t für x > 0 und t > 0, ux, 0 = u 0 x für x > 0, u t x, 0 = v 0 x für x > 0, u x 0, t = 0 für t > 0, 5.7 findet man eine Lösung durch symmetrische Fortsetzung. Beispiel 5.5 Für das Anfangs-Randwertproblem u tt x, t c u xx x, t = fx, t für x 0, l und t > 0, ux, 0 = u 0 x für x 0, l, u t x, 0 = v 0 x für x 0, l, u0, t = ul, t = 0 für t > 0, 5.8 findet man eine Lösung durch periodische Fortsetzung. Man definiert { u ũ 0 x = 0 x für x [0, l, u 0 l x für x [l, l, [ x ū 0 x = ũ 0 x l. l] Hier ist [s] = max {k N; k s}. Auf ähnliche Weise werden f, t und v 0 fortgesetzt. Eine solche Fortsetzung findet man in Abbildung 5.3. L L L 3 L 4 L Abbildung 5.3: Periodische Fortsetzung einer auf [0, L] definierten Funktion, die außerdem antisymmetrisch ist bezüglich 0 und L. 5.3 Intermezzo zu Distributionen Die Physik hat der Mathematik die Dirac-δ-Funktion 4 gebracht. Diese δ-funktion soll folgende Eigenschaften haben: R n δ x ϕ x dx = ϕ 0 für jedes ϕ C 0 R n. Wenn δ eine integrierbare Funktion wäre, folgt aus dem Satz von Lusin, dass δ stetig ist auf jedem beschränkten Gebiet mit Ausnahme einer beliebig kleinen Menge. Wenn δ stetig ist in x 0, folgt mit dem Hauptlemma der Variationsrechnung Lemma., dass δx = 0. Es gilt also δ = 0 fast überall. Dann folgt aber, dass R n δ x ϕ x dx = 0, ein Widerspruch. Das bedeutet nicht, dass es diese Dirac-δ-Funktion nicht gibt, sondern, dass wir etwas mehr Sorgfalt walten lassen müssen, wenn wir dieses δ definieren. Dazu brauchen wir Objekte, die den Begriff der Funktion erweitern. Diese Erweiterung hat den Namen Distribution bekommen. Ganz allgemein kann man eine Distribution auffassen als ein Element eines Dualraums: 4 Paul Adrien Maurice Dirac, 90 Bristol GB 984 Tallahassee USA, Nobel Preis in Physik 933

60 56 5. September 00 Kapitel 5, Die Wellengleichung und Distributionen Definition 5.6 Der Dualraum B zum Funktionenraum B ist der Vektorraum der stetigen linearen Abbildungen von B nach R. Es ist üblich, den Namen Distribution zu reservieren für stetige lineare Abbildungen auf speziellen Funktionenräumen B. Beispiel 5.7 Sei y mit ein beschränktes Gebiet in R n. Definiere δ y : C R durch δ y ϕ = ϕy für alle ϕ C. 5.9 Diese Abbildung ist linear: δ y c ϕ + c ϕ = c ϕ + c ϕ y = c ϕ y + c ϕ y = c δ y ϕ + c δ y ϕ und stetig: δ y ϕ = ϕy ϕ C. Das heißt δ y C. Beispiel 5.8 Sei ein beschränktes Gebiet in R n. Jede Lebesgue-integrierbare Funktion f auf mit f L < liefert eine Abbildung F f auf C definiert durch F f ϕ = fxϕxdx. 5.0 Die Linearität folgt sofort. Für Stetigkeit betrachte man: F f ϕ fx ϕx dx ϕ C fx dx = f L ϕ C. Lemma 5.9 Wenn F eine stetige lineare Abbildung auf C [a, b] ist, dann ist F, definiert durch F ϕ := F ϕ, eine stetige lineare Abbildung auf C [a, b]. Bemerkung 5.9. Ähnliches gilt in höheren Dimensionen mit partiellen Ableitungen. Beweis. Die Linearität von F folgt aus der Linearität von F, die Stetigkeit von F aus der von F : F ϕ = F ϕ ϕ C[a,b] ϕ C [a,b] für alle ϕ C [a, b]. Beispiel 5.0 Betrachtet man f : R R, definiert durch fx = sign x, dann ist die zugehörige Abbildung F auf C 0 [, ] definiert als F ϕ = f x ϕ x dx = Es gilt für F auf C [, ] C 0 [, ], dass F ϕ = F ϕ = 0 0 ϕ xdx ϕxdx ϕxdx. ϕ xdx = = ϕ0 ϕ ϕ + ϕ0 = ϕ0 = δ ϕ.

61 5.3 Intermezzo zu Distributionen 5. September Bezeichnen wir mit C m B Rn den Vektorraum der m-mal stetig differenzierbaren Funktionen mit beschränkten Ableitungen bis und inklusive Ordnung m, dann ist C m R n eine Norm auf C m B Rn. Definition 5. Die zwei wichtigste Klassen von Distributionen sind wie folgt: Betrachte C0 R n, der Vektorraum der beliebig oft differenztierbaren Funktionen mit kompaktem Träger. Eine lineare Abbildung F : C0 R n R, die stetig ist bezüglich einer C m R n -Norm mit m N, nennt man eine Schwartz-Distribution. Sei Cs.f. Rn := { u C R n ; lim x x α D β u x = 0 für alle Multiindizes α, β }, der sogenannte Vektorraum der schnell fallenden beliebig oft differenzierbaren Funktionen. Eine lineare Abbildung F : Cs.f. Rn R, die für ein m N stetig ist als Abbildung von Cs.f. Rn, m nach R, mit der Norm m, definiert durch u m := sup a m β m x R n x α D β u x, 5. nennt man eine temperierte Distribution. Die Stetigkeit bedeutet hier, dass es c > 0 gibt mit F u c u m für alle u C s.f. R n. Bemerkung 5.. Es gibt keine vernünftige Norm auf C0 R n, die diesen Vektorraum vollständig sein lässt. Aber auch ohne Norm kann man diesem Vektorraum mehr Struktur geben: Man kann Konvergenz in C 0 R n wie folgt definieren: Sei {f k } k N C 0 R n und f C 0 R n. Dann sagt man f k f in C 0 R n, wenn es. eine kompakte Teilmenge K R n gibt mit support f k, support f K, und. für jedes m N gilt f k f C m K 0 wenn k. Ähnlich kann man auch Cauchy-Folgen definieren. Eine Menge M ist abgeschlossen wird dann definiert durch konvergente Folgen in M haben einen Limes in M und offen als das Komplement ist abgeschlossen. Den Vektorraum C 0 R n mit dieser Topologie nennt man D R n. Mit Hilfe der Topologie kann man Stetigkeit von C0 Urbild jeder offenen Menge ist offen. R n nach R definieren: Das Die Schwartz-Distributionen sind die stetigen linearen Funktionale von D R n nach R. Man schreibt D R n. Bemerkung 5.. Ähnlich kann man Konvergenz in C s.f. Rn definieren: für jedes m N gilt f k f m 0 wenn k. Hier ist m als in 5.. Den Vektorraum C s.f. Rn mit dieser Topologie versehen nennt man S R n. Die temperierte Distributionen sind die stetigen linearen Funktionale von S R n nach R. Man schreibt S R n. Reguläre Distributionen sind Distributionen aus D R n oder S R n, welche sich wie in 5.0 mit Hilfe einer Funktion definieren lassen.

62 58 5. September 00 Kapitel 5, Die Wellengleichung und Distributionen Abbildung 5.4: Darstellung einer Funktion aus DR. Eine solche Funktion ist unendlich oft differenzierbar und hat einen kompakten Träger. Abbildung 5.5: Darstellung einer Funktion aus SR. Eine solche Funktion ist unendlich oft differenzierbar und schnell fallend. Lemma 5. Sei f CR L R und definiere für ϕ in C0 R oder Cs.f. R F f ϕ = fxϕxdx. 5. Dann ist F f eine reguläre Distribution in D R und S R. Wenn f C R und f, f L R, gilt außerdem, dass Beweis. Es folgt F f ϕ = R R F f = F f. fxϕxdx f L R ϕ und F f eine reguläre Distribution in D R und S R. Die zweite Behauptung beweist man wie folgt. Wenn ϕ einen kompakten Träger hat, sagen wir ϕx = 0 für x > M, folgt F f ϕ F f ϕ = f xϕx + fxϕ x dx = = M M R f xϕx + fxϕ x dx = [fxϕx] M x= M = 0. Weil ϕ schnell fallend ist, verwenden wir, dass x fx = f sds f L R und folgt aus lim x fxϕx = lim x fxϕx = 0, dass F f ϕ F f ϕ = lim M [fxϕx]m x= M = 0. Wir betrachten nochmals ϕ ε aus.8: ϕ ε x = { e x ε für x < ε, 0 für x ε, 5.3

63 5.3 Intermezzo zu Distributionen 5. September und setzen ψ ε x = ϕ ε x R n ϕ ε x dx. 5.4 Ein Bild zu diesen Funktionen findet man in Abbildung.5. Setze Ψ ε u y = ψ ε y x u x dx für u C B R n. 5.5 R n Für ε > 0 ist die Abbildung Ψ ε : C B R n C B R n wohldefiniert, und es gilt u C B R n = Ψ ε u C R n C B R n. Definition 5.3 Der Operator Ψ ε : C B R n C B R n aus 5.5 nennt man den Friedrichs schen Glätter oder Mollifier. Lemma 5.4 Sei u C B R n. Es gilt Für u C B Rn gilt sogar lim Ψ ε u y = uy. 5.6 ε 0 Ψ ε u y δ y u u C B R n ε. 5.7 Bemerkung 5.4. Man kann dieses Ergebnis wie folgt lesen: {Ψ ε y} ε>0 sind reguläre Distributionen, die die Dirac-δ-Funktion an der Stelle y approximieren, wenn ε 0. Bemerkung 5.4. Weil 5.6 gilt, sind Ψ ε u für ε > 0 unendlich oft differenzierbare Funktionen die u C B R n punktweise approximieren. Wenn u C B Rn ist diese Approximation wegen 5.7 sogar gleichmäßig. Beweis. Da ψ R n ε xdx = und u stetig ist, gilt Ψ ε u y uy = ψ ε y x u x u y dx R n ψ ε y x sup u z u y dx = sup u z u y 0 für ε 0. R n z B εy z B εy Wenn u CB Rn, hat man u z u y u C B R n z y, und es folgt die letzte Ungleichung. Beispiel 5.5 Man könnte versuchen Distributionen als Anfangswerte zu zulassen. Wir betrachten u tt x, t c u xx x, t = f x, t für t > 0 und x R, ux, 0 = u 0 x für x R, 5.8 u t x, 0 = v 0 x für x R, und nehmen hier statt die Funktion u 0 die δ-distribution δ y und setzen v 0 = f = 0. Man bekäme formell eine distributionelle Lösung u, t = δ y ct + δ y+ct D R. Hätte man u 0 = i δ y i, würde man durch die Linearität u, t = i δ y i ct + δ yi +ct als Lösung haben. Für eine allgemeine Anfangsbedingung u 0 kann man formell schreiben wir tun mal als ob δ y eine Funktion wäre: u 0 x = δ y x u 0 y dy. y R

64 60 5. September 00 Kapitel 5, Die Wellengleichung und Distributionen Die Lösung wäre = y R ux, t = y R δ y ct x + δ y+ct x u 0 y dy δ y x + ct + δ y x ct u 0 y dy = u 0 x + ct + u 0 x ct. 5.9 Wenn auch dies ganze mathematisch erst noch mal zwielichtig ist, kann man leicht kontrollieren, dass das Endergebnis vernünftig ist. Für u 0 C R ist 5.9 tatsächlich die klassische Lösung, die wir schon vorher sahen. Beispiel 5.6 Man betrachte f x = x. Dann ist f und f nicht überall definiert. Definiert man F f D R oder S R durch F f ϕ = f x ϕ x dx, R dann folgt F f ϕ = F R f ϕ = ϕ0. sign x ϕ x dx, Man bemerke, dass f x = sign x für x 0. Man zeigt diese Behauptungen durch partielle Integration: und F f ϕ = F f ϕ = [ 0 = lim xϕ x] 0 m m = 0 F f ϕ = F f ϕ = R 0 x ϕ x dx = m ϕ x dx + R ϕ x dx lim m 0 ϕ x dx = 0 sign x ϕ x dx = xϕ x dx 0 [ m xϕ x] m 0 [ = lim ϕ x] 0 lim [ ϕ x] m m m m 0 R sign x ϕ x dx, 0 xϕ x dx = ϕ x dx = ϕ x dx ϕ x dx = 0 = ϕ0 = δ ϕ. Im Sinne von Distributionen gilt also: = sign und sign = δ. Beispiel 5.7 Sei f L lokal Rn definiert durch fx = x n. Dann ist F f ϕ = x n ϕ x dx R n

65 5.3 Intermezzo zu Distributionen 5. September 00 6 wohldefiniert für ϕ D R oder S R. Es folgt F f ϕ = F f ϕ = x n ϕ x dx = lim R n = lim x n ϕ x x n ϕ x νdσ x + ε 0 x =ε = lim ε 0 ε 0 x >ε x >ε x n ϕ x dx = ε n O ε n n x n x ϕ x x x =ε x dσ x + 0 x n ϕ x dx = = lim n x ε 0 x =ε n x ϕ x x x dσ x = n ω n ϕ0. = Wir nehmen ω n = B dσ wie auf Seite 7. Dann gilt im Sinne von Distributionen: 0 n n ω n Hier ist δ das n-dimensionale Dirac-Funtional in 0: = δ. δ ϕ = ϕ0 für ϕ S R.

66 6 5. September 00 Kapitel 5, Die Wellengleichung und Distributionen

67 Partielle Differentialgleichungen Kapitel 6 Die Wellengleichung in mehr Dimensionen 6. Kirchhoff für Raumdimension 3 Das Anfangswertproblem auf dem ganzen Raum ist u tt x, t c ux, t = fx, t für t > 0 und x R 3, ux, 0 = u 0 x für x R 3, u t x, 0 = v 0 x für x R Wir versuchen anzugeben wie man zu einer Lösungsformel kommt und betrachten dazu erst den radialsymmetrischen Fall: u x, x, x 3, t = U x, t. Weil in 3 Dimensionen u x = r r r r ur r= x gilt, wird die Differentialgleichung wie folgt t c r rr r U r, t = 0. Setzen wir V r, t = ru r, t so folgt mit Hilfe von r rr r r V r, t = r rr r V r r, t V r, t r = r r rv r r, t V r, t = r V rr r, t, = dass t c r V r, t = 0. Die Lösungen dieser letzten Gleichung haben die Form V r, t = Φ r ct + Ψ r + ct, und man findet U r, t = r Φ r ct + Ψ r + ct. r Es bedeutet, dass wir formell Lösungen von 5. finden, die wie folgt sind: u x, t = Φ x ct + Ψ x + ct. x x 63

68 64 5. September 00 Kapitel 6, Die Wellengleichung in mehr Dimensionen Diese Funktionen erinnern uns an die mit Hilfe von charakteristischen Kurven definierten Lösungen in einer Raumdimension. Eine Funktion u x, t = Φ x ct wäre eine radialsymmetrische Welle, die sich mit Geschwindigkeit c nach außen bewegt. Analog einer x Raumdimension könnte man eine Distribution als generalisierte Lösung ansetzen: Als Distribution wäre das: F u,t ϕ = = ϕxdσ x = ct ct x =ct u x, t = x δ x ct = δ x ct. ct R ct 3 z = δ x ct ϕxdx = ϕ ctz dσ z =: ct ϕ ctω dω. ω S Für ω S schreiben wir weiter ω =. Es gilt lim t 0 F u,t ϕ = 0 und lim t F u,t ϕ = lim c ϕ ctω + c t ω ϕ ctω dω = 4πc ϕ0. t 0 t 0 ω = Ähnlich wäre u x, t = δ x y ct eine Welle, die in y startet. Wie in einer Dimension kann man vermuten, dass x u x, t = R 4πc 3 t δ x y ct v 0ydy = v 4πc 0 ydσ y t y x =ct eine Lösung wäre für f = u 0 = 0 von 6.. Die folgende Proposition sagt sogar, dass man auch für u 0 eine verwandte Formel findet. Theorem 6. Die Formel von Kirchhoff Sei f = 0, u 0 C 3 R 3 und v 0 C R 3. Dann hat 6. eine Lösung in C R 3 [0,, nämlich u x, t = v 4πc 0 ydσ y + t u t 4πc 0 ydσ y 6. t y x =ct y x =ct Bemerkung 6.. Betrachtet man wiederum das Einflussgebiet und das Abhängigkeitsgebiet wie auch in einer Dimension, dann bekommt man zwei Kegelrände die schematisch die Bodenplatte soll R 3 darstellen in Abbildung 6. dargestellt sind. Bemerkung 6.. Die Formel in 6. kann man auch wie folgt schreiben: u x, t = tv 4πc t 0 y + u 0 y + u 0 y y x dσ y y x =ct Beweis. Wir zeigen erst, dass die Anfangsbedingungen erfüllt sind. Weil v 0 stetig differenzierbar und u 0 zweimal stetig differenzierbar ist, folgt für die erste Randwertbedingung: lim t 0 4πc t y x =ct v 0 ydσ y = lim t 0 t v 0 x + ctωdω = 0, 4π ω = lim t u t 0 4πc 0 ydσ y = t y x =ct = lim u 0 x + ctω + ctω u 0 x + ctω dω = u 0 x; t 0 4π ω =

69 6. Kirchhoff für Raumdimension 3 5. September Abbildung 6.: Einfluss- und Abhängigkeitsgebiet in 3 Dimensionen. Nach oben die Zeit; in blau das dreidimensionale! R 3 für t = 0. für die zweite Randwertbedingung: lim t t 0 4πc t und = lim t 0 4π ω = y x =ct v 0 ydσ y = v 0 x lim t u t 0 4πc 0 ydσ y = t y x =ct 3 cω u 0 x + ctω + ct ω i ω j xi xi u 0 x + ctω = lim t 0 i,j= c ω u 0 x + ctωdω = 0. 4π ω = Beim letzten Schritt haben wir benutzt, dass ω i xi u 0 x + ctωdω x i u 0 x ω i dω+ ω = ω = ω = dω = ct u C B ctx dω = O t. Bevor wir zeigen können, dass die Differentialgleichung erfüllt ist, brauchen wir das folgende Lemma. Lemma 6. Sei u C B R 0 mit B R 0 R n und n >. Dann gilt u y n dy = n ω n y <R ω n y = u0 uy ν dσ n ω n R n y uy dσ y =R ω n R n y. y =R Bemerkung 6.. Für n = 3 folgt u y dy = u0 4π y 4πR y <R Beweis. Man braucht Gauß, v udx = y =R uy ν dσ y uy dσ 4πR y. y =R v u v u dσ x + die Tatsache, dass y y n harmonisch außerhalb 0 ist, v u dx, y n = y n = n y n y = n n y n y y + n y n = 0

70 66 5. September 00 Kapitel 6, Die Wellengleichung in mehr Dimensionen und, dass y y n integrierbar ist bei 0: = lim ε 0 u y u y y n dy = lim ε 0 ε< y <R y n dy = y n u y + u y y n νdσ y + y <R y =R y =ε + ε< y <R y n = lim ε 0 y =R = R n u y ν + u y n R n dσ y + y =R u y dy = y n u y ν + u y n y n y y =ε + lim = u y νdσ R n y n y =R R n ε 0 y =ε y =R y dσ y = y ε n u y ν + u y n ε n dσ y = u y dσ y + lim ε 0 O ε + n ω n u0. Beim letzten Schritt ist verwendet worden, dass der Flächeninhalt von B ε 0 gleich ω n ε n ist. Fortsetzung des Beweises von Theorem 6... Wir zeigen nun, dass der Differentialgleichung erfüllt ist und fangen an mit dem Teil, der zu v 0 gehört: c c t x v 4πc 0 ydσ y = x v 0 x + ctωdω = t y x =ct 4π ω = = c t x v 0 x + ctωdω = c t v 0 x + ctωdω = 4π ω = 4π ω = = c v 0 x + zdσ z = 4πt z =ct z =ct 4π z v 0x + zdσ z = ct = t r=0 z =r 4π z v 0x + zdrdσ z = t z <ct 4π z v 0x + zdz = = t v 0 x + v 0 x + z ν dσ z + v 4πct 4πc t 0 x + z dσ z =. z =ct z =ct Beim letzten Schritt ist das Lemma verwendet worden. Es folgt weiter, dass = 4π t z =ct = t 4π z =ct = t 4πc lim ε 0 = t 4πc lim ε 0 z v 0x + z ν dσ z + ω = ε<r<ct z =ct z v 0x + z dσ z z ν z v 0x + z dσ z ε< z <ct z ν z v 0x + z dz r r r v 0 x + rω r dr dω

71 6. Ergebnisse für beliebige Dimensionen 5. September = t 4πc lim ε 0 ω = t = t v 0 x + ctωdω 4π ω = = t 4πc t y x =ct ct v 0 x + ctω ε v 0 x + εω dω v 0 ydσ y. Für den zweiten Teil können wir uns nun kurz fassen: c x t u 4πc 0 ydσ y = c t x t y x =ct 4πc t = c t t u 4πc 0 ydσ y. t Der Beweis ist komplett. y x =ct y x =ct u 0 ydσ y Auch hier kann man für f das Prinzip von Duhamel verwenden. Da dieses Prinzip in jeder Dimension gilt, betrachten wir gleich die allgemeine Version. 6. Ergebnisse für beliebige Dimensionen Proposition 6.3 Prinzip von Duhamel Sei f C R n [0,, u 0 = v 0 = 0. Wenn für jedes s 0 die Funktion x, t U x, t; s C {x, t, s ; x R n und 0 s t < } eine Lösung ist von U tt x, t; s c Ux, t; s = 0 für x R n und t > s, Ux, t; s = 0 für x R n und t = s, U t x, t; s = f x, s für x R n und t = s, 6.3 dann ist eine Lösung von u x, t = t 0 U x, t; s ds. 6.4 u tt x, t c ux, t = f x, t für x R n und t > 0, ux, 0 = 0 für x R n, u t x, 0 = 0 für x R n. Beweis. Ähnlich wie in einer Dimension zeigt man: 6.5 t t 0 U x, t; s ds = t U x, t; s s=t + = t U x, t; s s=t + t t 0 t t U x, t; s ds = t t U x, t; s ds = t U x, t; s ds = f x, s + t c U x, t; s ds. Die Ableitung der Kirchhoffschen Formel mag rädselhaft erscheinen. Wenn man hinterher zeigen kann, dass das Ergebnis stimmt, soll uns das eigentlich keine Sorgen bereiten.

72 68 5. September 00 Kapitel 6, Die Wellengleichung in mehr Dimensionen Trotzdem ist es vernünftig, dieser Ableitung etwas Beachtung zu geben. Die Idee ist wie folgt gekommen. Die -Differentialoperator ist drehungsinvariant: u R = u R für beliebige Drehungen R denn sei M eine orthogonale Matrix, so findet man n n u Mx = M ji M ki k j u Mx = = i= j,k= n MM T jk k j u Mx = j,k= n n M ji M ki k j u Mx = j,k= i= n δ jk k j u Mx = u Mx, Proposition 6.4 Euler Poisson Darboux Wenn t, x u t, x eine Lösung ist von { u tt x, t c ux, t = 0 für x R n und t > 0, ux, t = gx und u t x, t = hx für x R n, 6.6 dann ist B Ur, t := rx y B rx y 6.7 mit Gr := B rx g y dσ y B rx dσ y j,k= und Hr := B rx h y dσ y B rx dσ y eine Lösung von { Utt r, t c r n r r n r Ur, t = 0 für r > 0 und t > 0, Ur, t = Gr und U t r, t = Hr für r > Bemerkung 6.4. Die Differentialgleichung in 6.9 nennt man die Euler-Poisson- Darboux Gleichung. Diese Proposition liefert uns auch die Eindeutigkeit der Lösung in Raumdimension 3. Theorem 6.5 Das Anfangswertproblem für die Wellengleichung in 6. hat höchstens eine Lösung in C R 3 [0,. Beweis. Wenn 6. zwei Lösungen hat, sagen wir u und u, dann löst w = u u das Randwertproblem mit f = u 0 = v 0 = 0. Nehmen wir an, es gibt w x, t 0. Ohne Verlust der Allgemeinheit nehmen wir x = 0. Weil invariant unter orthogonalen Abbildungen ist, folgt U tt c r r r r U = 0 für B Ur, t = w y, t dσ r0 y dσ. B r0 y Setzen wir V r, t = rur, t so folgt r r r r U = r r r r r V = r r V + r r V = r r V und weiter, dass V r, t eine Lösung der Wellengleichung in einer Dimension ist mit V r, 0 = V t r, 0 = 0 für r > 0 und V 0, t = 0. Diese Lösung ist eindeutig und daher gilt V r, t = 0 für alle r, t > 0 und auch Ur, t = 0 für alle r, t > 0. Dann findet man w 0, t = 4π und dies ist ein Widerspruch. M SO3 w M0, t dσ = 4π U0, t = 0,

73 6.3 Poisson für Raumdimension 5. September Poisson für Raumdimension Eine Lösungsformel wie die von Kirchhoff lässt sich in Dimensionen nicht direkt herleiten. Wenn man die Formel in drei Dimensionen verwendet für Funktionen die in einer Richtung konstant sind, bekommt man eine Formel für das zweidimensionale Problem. Anders gesagt, statt { u tt x, t c ux, t = 0 für x R und t > 0, ux, 0 = u 0 x und u t x, 0 = v 0 x für x R 6.0, betrachten wir das ähnliche Problem in R 3 mit ũ 0 x, x, x 3 = u 0 x, x und ṽ 0 x, x, x 3 = v 0 x, x. Die Kirchhoffsche Formel gibt uns eine Lösung ũx, x, x 3, t, nämlich ũx, x, x 3, t = ṽ 0 ydσ y + t ũ 0 ydσ y. 4πc t y x =ct y R 3 4πc t y x =ct y R 3 Weil ũ 0 und ṽ 0 jedoch nicht von x 3 abhängen, hängt auch ũ nicht von x 3 ab. Es folgt außerdem, dass ũ 0 y, y, y 3 dσ y = u 0 y, y dσ y = y x =ct, y R 3 y x,x,0 =ct, y R 3 = u 0 z + wz dz. z x ct, z R Hier beschreibt w die Höhe y 3 der Sphäre als Funktion von z, z, das heißt y, y, y 3 = z, z, w z, z mit w z, z = c t z z. Die folgt weil man zwei Hälften hat. Mit dem üblichen Gewichtsfaktor der Parametrisierung + wz ct = + findet man: z c t z = c t z Theorem 6.6 Die Formel von Poisson Sei u 0 C 3 R und v 0 C R. Die Lösung von 6.0 ist für x R und t > 0 ux, t = v 0 z dz + t 4πc z x ct c u 0 z dz. t z x 4πc z x ct c t z x 6. Bemerkung 6.6. Betrachtet man wiederum das Einflussgebiet und das Abhängigkeitsgebiet wie auch in einer Dimension, dann bekommt man in Dimension zwei gefüllte Kegel die in Abbildung 6. dargestellt sind. Bemerkung 6.6. Wenn man auch für eine rechte Seite f x, t lösen möchte, kann man wiederum das Prinzip von Duhamel verwenden.

74 70 5. September 00 Kapitel 6, Die Wellengleichung in mehr Dimensionen Bemerkung Diese Idee in der Dimension abzusteigen wird Hadamard zugeschrieben. Bemerkung Man kann die Formel in 6. wie folgt umschreiben; u x, t = v 0 y + tu 0 y + u 0 y y x dy. 4πc y x ct c t y x Abbildung 6.: Einfluss- und Abhängigkeitsgebiet in Dimensionen; die Zeit nach oben und in blau x, t R {0}. Die Eindeutigkeit der Lösung in zwei Raumdimensionen folgt aus der Eindeutigkeit in drei Raumdimensionen. 6.4 Raumdimensionen 4 und höher Wir betrachten erst die ungeraden Raumdimensionen. Wenn wir da Existenz, Eindeutigkeit oder sogar eine explizite Formel für eine Lösung gefunden haben, können wir mit dem Absteigetrick von Hadamard auch die geraden Raumdimensionen angehen. Wir definieren für eine Funktion x, t u x, t die 6.6 erfüllt, wie in 6.7 die Funktion r, t U r, t. Ähnlich werden auch G und H wie in 6.8 definiert. Lemma 6.7 Sei n 3 ungerade. Wenn r, t U r, t eine n + -mal differenzierbare Lösung ist von { Utt r, t c r n r r n r Ur, t = 0 für r > 0 und t > 0, 6. Ur, t = Gr und U t r, t = Hr für r > 0, dann ist r, t Ũ r, t, definiert durch Ũ r, t = r n 3 r r n U r, t eine Lösung von { Ũ tt r, t c r Ũr, t = 0 für r > 0 und t > 0, Ũr, t = Gr und Ũtr, t = Hr für r > 0, 6.3 für G r = r r n 3 r n G r und H r = r r n 3 r n H r. Beweis. Schreibe k = n 3. Man zeigt mit vollständiger Induktion nach k, dass r r r k r k+ f r = r r k+ r k+ r f r.

75 6.4 Raumdimensionen 4 und höher 5. September 00 7 Daraus folgt c r Ũ r, t = c r = c r n 3 r r r n 3 r n U r, t = r r r n r U r, t = = r r n 3 r n c r n r r n r U r, t = = t r r n 3 r n U r, t = t Ũ r, t. Die zugehörige Anfangsbedingungen kontrolliert man sofort. Man kann nun wieder raten, wie die Lösungsformel in ungeraden Dimensionen sein wird für die Wellengleichung: u tt x, t c ux, t = 0 für t > 0 und x R n, ux, 0 = u 0 x für x R n, u t x, 0 = v 0 x für x R n. 6.4 Verwendet man den Absteigetrick von Hadamard, dann findet man auch eine Formel für gerade Raumdimensionen. Die Eindeutigkeit einer solchen Lösung kann man mit Hilfe von Lemma 6.7 wie in Theorem 6.5 beweisen. Theorem 6.8 Sei n N, m = [ n ], f = 0, u0 C m+ R n und v 0 C m+ R. Wenn n ungerade ist, hat 6.4 die folgende Lösung: u x, t = C n t n 3 t c n t Es gilt C n = ω nn n y x =ct v 0 ydσ y + t t n 3 t Wenn n gerade ist, hat 6.4 die folgende Lösung: u x, t = D n t n t c n Es gilt D n = ω nnn n Wie vorher ω n = B 0 dσ. y x ct + t t n t c n v 0 y c t y x dσ y + y x ct c n t y x =ct u 0 ydσ y. u 0 y dσ y. c t y x Die Beweise dieser Formeln sind ähnlich wie die für die Formeln von Kirchhoff 6. und Poisson 6..

76 7 5. September 00 Kapitel 6, Die Wellengleichung in mehr Dimensionen 6.5 Gebiete mit Rand Eine natürliche Frage ist was passiert wenn man die Wellengleichung nicht auf ganz R n sondern nur auf ein Gebiet R n lösen möchte. Man kann zeigen, dass das folgende Anfangs/Randwertproblem sinnvoll ist im Sinne von Hadamard: u tt x, t c ux, t = f x, t für t > 0 und x, ux, 0 = u 0 x für x, u t x, 0 = v 0 x für x, u x, t = ϕ x, t für x, t R Nur in einigen einfachen Fälle, wie zum Beispiel beim Halbraum = R n R +, kann man einen expliziten Formel für die Lösung herleiten. Für allgemeinere Gebiete gibt es kaum derartige explizite Formel und müssen wir andere mathematische Werkzeuge anwenden. Aber auch ohne solchen Formeln kann man die Fragen von Hadamard zu ein solches Problem angehen und für 6.5 Existenz, Eindeutigkeit und Robustheit zeigen. Theorem 6.9 Sei ein beschränktes Gebiet in R n. Dann hat 6.5 höchstens eine Lösung eine Lösung in C [0,. Beweis. Wenn es zwei Lösungen gäbe, sagen wir u und u, dann wäre u = u u eine Lösung von 6.5 mit f = u 0 = v 0 = ϕ = 0. Betrachte die Funktion Et = ut x, t + c u x, t dx. Man nennt diese Funktion die Energie. Es gilt E t = ut x, t u tt x, t + c u x, t u t x, t dx = = ut x, t u tt x, t + c u x, t u t x, t dx = = ν u x, t u t x, t dσ x + u t x, t u tt x, t c u x, t dx = 0. Im letzten Schritt verwenden man, dass u tt x, t c u x, t = 0 und dass aus u x, t = 0 für x, t R + folgt u t = 0 auf R +. Also gilt E t = E 0 = ut x, 0 + c u x, 0 dx = 0. Hier verwendet man u x, 0 = u t x, 0 = 0. Weil in E t die Summe zweier Quadraten ist, folgt u t x, t = 0 = u x, t für alle x, t R +. Wenn alle Ableitungen 0 sind, ist die Funktion konstant. Weil u am Rand 0 ist, gilt u = 0 auf R +. Es gibt also nur eine Lösung.

77 Partielle Differentialgleichungen Kapitel 7 Die Wärmeleitungsgleichung I Eine typische Frage bei der parabolischen Differentialgleichung t u = 0 betrifft die Lösung des Anfangswertproblems { t u x, t u x, t = 0 für x, t R +, 7. u x, 0 = u 0 x für x. Der Wert u t, x stellt die Temperatur an der Stelle x zur Zeit t dar bei durch u 0 gegebenen Anfangswerten. Wenn = R n braucht man keine Randwerte. Wenn es einen Rand gibt, kann man aus physikalischen Gründen vermuten, dass ein solcher Rand die Lösung mitbestimmt. Es wäre möglich den Fall zu betrachten, dass der Rand isoliert ist, und dies würde bedeuten, dass keine Wärme herausfliesst: ν u x, t = 0 für x. Statt eines isolierten Randes könnte man am Rand die Temperatur festlegen: u x, t = ϕ x, t für x. Im Gegensatz zu der Wellengleichung werden wir bei der Wärmeleitungsgleichung sehen, dass dieser Einfluss vom Randverhalten sich mit unendlicher Geschwindigkeit im Gebiet verbreitet. Physikalisch widerspricht es der Annahme, dass sich nichts schneller als die Lichtgeschwindigkeit verbreiten kann. 7. Diffusionskern Die Wärmeleitungsgleichung in Raumdimension t x u x, t = 0 7. hat die folgende Skalierungseigenschaft. Wenn x, t u x, t eine Lösung ist, dann ist x, t u cx, c t für jede c R + auch eine Lösung. Weil dies für jedes c > 0 gilt, könnte man vielleicht sogar c = t / nehmen und es wäre x t x, t u, eine Lösung. Dann hätte man eine Funktion die nur von einer Variablen abhängt, nämlich ξ := x t. Setzt man v ξ = u ξ, so folgt für v die folgende Differentialgleichung: 0 = x t x v x t = v x t t t v x t t = = t ξ v ξ + v ξ, 73

78 74 5. September 00 Kapitel 7, Die Wärmeleitungsgleichung I und diese gewöhnliche Differentialgleichung kann man lösen: und man findet Wenn wir c = 4π und c 3 = 0 setzen folgt ξ v ξ + v ξ = 0, v ξ v ξ = ξ oder v ξ = 0, ln v ξ = 4 ξ + c, v ξ = c e 4 ξ t x u x, t = v x t = c e 4 ξ dξ + c 3. U x := lim t 0 u x, t = 0 für x < 0, für x = 0, für x > 0. Im Sinne von Distributionen gilt x U = δ und mit einer Verschiebung x U y = δ y. Dies läßt uns vermuten, dass man eine Lösung von { t u x, t xu x, t = 0 für x, t R R +, u x, 0 = u 0 x für x R, 7.3 bekommen könnte durch u x, t = R x y u 0 y x t 4π e 4 ξ dξ dy. Es gilt x x y t 4π e 4 ξ dξ = 4πt e x y 4t und das folgende Theorem. Theorem 7. Wenn u 0 C b R beschränkt und stetig, dann ist u : R R + R wohldefiniert durch Es gilt: u x, t = 4πt Die Standardrechnung mit Polarkoordinaten: R e x y 4t u 0 ydy für t > 0. e 4 ξ dξ = e 4 x e 4 y dxdy = π/ re 4 r drdϕ = 4π.

79 7. Diffusionskern 5. September u erfüllt die Differentialgleichung in 7.3; lim t 0 ux, t = u 0 x; u C R R + und für u, fortgesetzt durch u 0 für t = 0, gilt u C b R [0,. Bemerkung 7.. Die Funktion x, t 4πt / e 4 x /t nennt man die Fundamentallösung oder Diffusionskern für die Wärmeleitungsgleichung in Raumdimension. Bemerkung 7.. Es gibt zwei wesentliche Unterschiede zu der Wellengleichung.. Die Lösung der Wärmeleitungsgleichung hat unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit.. Auch wenn u 0 nur stetig ist, ist u, t für t > 0 unendlich oft differenzierbar. Bei der Wellengleichung ist die Lösung u, t genauso oft differenzierbar wie u 0 und einmal weniger als v 0. Beweis. Gleichmäßig beschränkt folgt aus 4πt e x y 4t u 0 ydy R 4πt R e x y 4t u 0 dy = u 0. Stetigkeit und Differenzierbarkeit jeder Ordnung folgt für t > 0 und x R aus den Eigenschaften von exp 4 x y /t und dominierter Konvergenz, Grenzwert und Integral kann man vertauschen. Also gilt u C R R +. Die Differentialgleichung folgt aus t x 4πt e x y 4t u 0 ydy = t x 4πt e x y 4t u 0 ydy = 0 für t > 0. R R Für die Stetigkeit bei t = 0 bemerkt man, dass lim t 0 4πt R e x y 4t u 0 ydy = lim t 0 4π e 4 ξ u 0 x ξ tdξ. R Mit 4π R e 4 ξ dξ = folgt es, dass u x, t u 0 x = 4π ξ >t 4 e 4 ξ u 0 x ξ t u 0 x dξ. Schreiben wir R = ξ >t /4 + ξ <t /4, dann folgt für t 0 4π ξ >t 4 e 4 ξ u 0 x ξ t u 0 x dξ 4 4π u 0 t 4 e 4 ξ dξ 0, und wegen der Stetigkeit von u 0, dass 4π e 4 ξ u 0 x ξ t u 0 x dξ sup { u 0 y u 0 x ; y x < t /4} 0. ξ <t 4

80 76 5. September 00 Kapitel 7, Die Wärmeleitungsgleichung I Es gilt also lim t 0 ux, t = u 0 x und diese Konvergenz ist gleichmäßig auf beschränkten Intervallen und sogar gleichmäßig auf R wenn u 0 gleichmäßig stetig ist. Weil u x, t u 0 y u x, t u 0 x + u 0 x u 0 y folgt wiederum mit der lokal gleichmäßigen Stetigkeit von u 0 dass lim x,t y,0 t 0 ux, t = u 0 y und so auch die Stetigkeit der Erweiterung von u, t bei t = 0 mit u 0. Beispiel 7. Man bekommt eine Lösung von 7.3 mit durch mit u C R R + C 0 R [0, \ {, 0, 0, 0,, 0} 0 für x,, für x [, 0, u 0 x = für x [0,, 0 für x [,, x + u x, t = erf t x erf x t erf t erfξ = π ξ 0 e s ds. Obwohl diese Funktion nicht-stetige Anfangswerte hat, ist sie für t > 0 sogar unendlich oft differentierbar. Skizzen zu dieser Funktion findet man in Abbildung 7.. Abbildung 7.: Die Funktion aus Beispiel 7. aus zwei Richtungen Für die Wärmeleitungsgleichung in mehr Dimensionen { t u x, t u x, t = 0 für x, t R n R +, u x, 0 = u 0 x für x R n, 7.4 hat man: Theorem 7.3 Wenn u 0 C b R n beschränkt und stetig, dann ist u : R n R + R wohldefiniert durch Es gilt: u x, t = 4πt n/ e x y R n 4t u 0 ydy für t >

81 7. Diffusionskern 5. September u erfüllt die Differentialgleichung in 7.4; lim t 0 ux, t = u 0 x; u C R n R + und für u, fortgesetzt durch u 0 für t = 0, gilt u C b R n [0,. Bemerkung 7.3. Die Funktion p definiert durch p n x, t = 4πt n/ e 4 x /t 7.6 nennt man die Fundamentallösung oder Diffusionskern für die Wärmeleitungsgleichung in Raumdimension n. Beweis. Wir zeigen, dass x, t 4πt n/ e 4 x /t für t > 0 die Differentialgleichung erfüllt: t t n/ e 4 x /t = t n/ n + 4 x t e 4 x /t, t n/ e 4 x /t = x t n/ e 4 x /t = t n/ n + x x t e 4 x /t. 4 Der Rest des Beweises ist ähnlich wie in einer Dimension. Wir betrachten anschließend die Wärmeleitungsgleichung mit einer Wärmequelle f: { t u x, t u x, t = fx, t für x, t R n R +, u x, 0 = 0 für x R n 7.7. Dazu nehmen wir die Lösungen U, ; s von { t U x, t; s U x, t; s = 0 für x R n und t > s, U x, s; s = fx, s für x R n. 7.8 Man bekommt eine Lösung von 7.8 durch eine Zeitverschiebung in 7.5: U x, t; s = 4πt s n/ Ähnlich wie für die Wellengleichung hat man: e x y R n 4t s fy, sdy. 7.9 Theorem 7.4 Duhamel Sei f Cb Rn [0,. Für die Funktion u : R n R + R definiert durch mit U wie in 7.9, gilt u x, t = t u erfüllt die Differentialgleichung in 7.7; lim t 0 ux, t = 0; u C R n [0,. 0 U x, t; s ds,

82 78 5. September 00 Kapitel 7, Die Wärmeleitungsgleichung I Beweis. Weil f Cb Rn [0, findet man U, ; s Cb Rn [s, und es folgt t t U x, t; s ds = U x, t; s s=t Man bekommt t t t U x, t; s ds = U x, t; s s=t t U x, t; s ds = f x, t + t t t U x, t; s ds. t U x, t; s ds = f x, t und aus der Beschränkheit von f, die zur Beschränktheit von U führt, dass lim t 0 t 0 U x, t; s ds = 0. Die letzte Aussage folgt aus U, ; s C b Rn [s,. 7. Mittelwert und Maximum Für harmonische Funktionen ist in Proposition.5 gezeigt, dass im Zentrum einer Kugel der Mittelwert über der Kugeloberfläche angenommen wird. Ein Ergebnis ähnlicher Art gilt für die Wärmeleitungsgleichung. Weil t und x sich nicht gleich verhalten, ist das Ergebnis komplizierter. Definition 7.5 Wir definieren eine Wärmeleitungskugel W x, t, r R n R durch { } W x, t, r = y, s R n R; s < t und 4π t s n/ x y e 4t s < r n. 7.0 Bemerkung 7.5. Sei p n der Diffusionskern. Dann gilt: x y 4π t s n/ e 4t s < r n < r n p n x y, t s. Bemerkung 7.5. Einige Eigenschaften von W x, t, r. W x, t, r C für r > 0. Eine Wärmeleitungskugel ist ein konvexes Gebiet mit als dem hoechsten Punkt x, t. Anders gesagt, x, t liegt in der Mitte oben auf W x, t, r. Sei v C {s, t ; 0 s t < }. Dann gilt für die rechte Ableitung von t vs, tds, dass: 0 + t t 0 = lim h 0 t+h vs, tds = lim h 0 h t+h t t vs, t + hds + 0 = vt, t + Ähnliches gilt auch für die linke Ableitung. vs, t + hds t 0 0 h t 0 vs, tds = vs, t + h vs, t ds h + t v s, t ds. =

83 7. Mittelwert und Maximum 5. September Abbildung 7.: Eine Wärmeleitungskugel W x, t, r mit dem Punkt x, t in rot. Für y, s W x, t, r gilt mit c n = n πe n/. Das letztere folgt aus Weiter gilt x y n = π n/ t 4π r < s < t und x y < c n r π x y n 4 t s sup n/ α>0 n/ e x y α n e α r n = 4t s 4π t s n/ e n n/ r n. πe y, s W x, t, r ry, r s W rx, r t,. Lemma 7.6 Sei W 0, 0, r wie in 7.0. Es gilt y dyds =. r n 4s W 0,0,r W 0,0,r Beweis. Der Ausdruck hängt nicht von r ab, denn es gilt y r n 4s dyds = ry r n 4 r s rn dy r ds = W 0,0, Wir substituieren σ = s und y = σz. Es folgt: = W 0,0, z Rn n+ y 4s dyds = 4π e z /n 4σ z z R n σ=0 n = ω n π n/ n [σ n ] 4π e z /n 0 t=0 z dz = e t t n/ dt = x y 4t s W 0,0, 4σ σ n dσdz = ω n e r r n+ dr = π n/ n r=0 ω n π n/ n Γ n+ =. y 4s dyds. Für den Flächeninhalt ω n der Einheitssphäre in R n gilt nämlich ω n = nπ n/ /Γ n+ Theorem 7.7 Mittelwerteigenschaft für die Wärmeleitungsgleichung Wenn die Funktion u C U, mit U R n R + ein offenes Gebiet, die Wärmeleitungsgleichung t u x, t u x, t = 0 auf U erfüllt, dann gilt u x, t = 4r n W x,t,r für jede Wärmeleitungskugel W x, t, r U. u y, s x y t s dyds.

84 80 5. September 00 Kapitel 7, Die Wärmeleitungsgleichung I Beweis. Ohne Verlust der Allgemeinheit können wir annehmen, dass x = 0 und t = 0. Wir betrachten φ r = u y, s y 4r n W 0,0,r s dyds = = u ry, r s ry 4r n W 0,0, r s rn+ dyds = u ry, r s y 4 W 0,0, s dyds. Es gilt φ r = 4 = r n+ W 0,0, W 0,0,r y u ry, r s + rs t u ry, r s y s dyds = y y y u y, s + 4s s tu y, s dyds = Schreiben wir ψ y, s, r = log r n p n y, s = n log r n log 4πs + y 4s so folgt ψ y, s, r = y s und sψ y, s, r = ns 4 y s. Bemerke, dass ψ y, s, r = 0 auf W 0, 0, r. Wir finden wenn wir nach y, nach s und wieder nach y partiell integrieren, dass = y r n+ W 0,0,r 4s y u y, s + y ψ y, s, r su y, s dyds = = y r n+ W 0,0,r 4s y u y, s ψ y, s, r n su y, s + y s u y, s = r n+ Also gilt W 0,0,r = r n+ = n r n+ y 4s + sψ y, s, r y u y, s n ψ y, s, r s u y, s n s y u y, s n ψ y, s, r u y, s dyds = W 0,0,r W 0,0,r ψ y, s, r u y, s + ψ y, s, r u y, s dyds = 0. φ r = lim φ ρ = lim ρ 0 ρ 0 4ρ n W 0,0,ρ wegen der Stetigkeit von u. u y, s y dyds = u 0, 0 s dyds = dyds = 7.3 Maximumprinzip und Eindeutigkeit Für harmonische Funktionen folgt aus Korollar.6, dass eine harmonische Funktion ihr Maximum nur auf dem Rand annehmen kann. Auch für Lösungen der Wärmeleitungsgleichung gilt ein ähnliches Ergebnis.

85 7.3 Maximumprinzip und Eindeutigkeit 5. September 00 8 t t Abbildung 7.3: 0, T und sein parabolischer Rand P 0, T Definition 7.8 Sei R n offen. Man definiert den parabolischen Rand von 0, T durch P 0, T = {0} 0, T. Theorem 7.9 Das starke Maximumprinzip für die Wärmeleitungsgleichung auf beschränkten Gebiete Sei R n offen, beschränkt und zusammenhängend. Sei u C 0, T C [0, T ] eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung. Dann gilt: max { u x, t ; x, t [0, T ] } = max {u x, t ; x, t P 0, T }. Wenn es x 0, t 0 0, T gibt mit dann ist u konstant auf [0, t 0 ]. u x 0, t 0 = max { u x, t ; x, t [0, T ] }, Beweis. Wir setzen M = max { u x, t ; x, t [0, T ] } und nehmen an, dass es x 0, t 0 0, T ] gibt, mit u x 0, t 0 = M. Dann gilt für jede Wärmeleitungskugel W x 0, t 0, r [0, T ], dass M = u x 0, t 0 = 4r n 4r n W x 0,t 0,r W x 0,t 0,r M x 0 y dyds = M. t 0 s u y, s x 0 y t 0 s dyds Gleichheit tritt nur auf, wenn u y, s = M für y, s W x 0, t 0, r. Wir können r so gross nehmen, dass P 0, T von W x 0, t 0, r berührt wird. In diese Berührungstelle x, t gilt u x, t = M und die erste Aussage ist bewiesen. Sei x, t 0, t 0 und sei x : [t, t 0 ] eine Kurve die x mit x 0 verbindet. Dann verbindet t x t, t den Punkt x, t mit x 0, t 0. Setze t = sup {t [t, t 0 ] ; u x t, t < M}. 7. x 0,t 0 x t,t x,t Es gibt W x t, t, r [0, T ] mit r > 0 und ε > 0 derart, dass x t, t W x t, t, r für t t ε, t. Weil u x t, t = M folgt aus dem ersten Teil des Beweises gilt, dass u x, t = M auf W x t, t, r und dies ist ein Widerspruch zu 7.. Also gilt u x, t = M für x, t [0, t 0 ].

86 8 5. September 00 Kapitel 7, Die Wärmeleitungsgleichung I Korollar 7.0 Eindeutigkeit auf beschränkten Gebiete Sei ein offenes und beschränktes Gebiet in R n und sei T > 0. Das Anfangs-/ Randwertproblem t u x, t = f x, t für x, t 0, T, u x, 0 = u 0 x für x, u x, t = ϕ x, t für x, t 0, T, hat höchstens eine Lösung u in C 0, T C [0, T ]. Beweis. Wenn es zwei Lösungen u und u gibt, wende man Theorem 7.9 an auf w = u u und auf w für jede Zusammenhangskomponente von [0, T ]. Theorem 7. Ein starkes Maximumprinzip für die Wärmeleitungsgleichung auf R n unter einer Wachstumsbedingung Sei T > 0 und sei u C R n 0, T C R n [0, T ] eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung die die folgende Bedingung erfüllt: Es gibt C & A derart, dass u x, t Ce A x für x, t R n [0, T ]. Dann gilt sup {u x, t ; x, t R n [0, T ]} = sup {u x, 0 ; x R n }. Beweis. Nehme an, dass es y, t R n 0, T gibt mit u y, t > M := sup {u x, 0 ; x R n }. Wir nehmen an, dass 4At <. Dann gibt es ε > 0 mit 4A t + ε <. Man definiere für δ > 0 die Funktion δ x y v δ x, t = u x, t exp n/ t + ε t 4 t + ε t und man nehme δ so klein, dass v δ y, t = u y, t δ > M. εn/ Es gilt t v δ x, t = 0 für x, t R n 0, t + ε. Nehme = B r y. Wir haben v δ x, 0 u x, 0 M für x, und für x, t 0, t gilt δ r v δ x, t = u x, t exp n/ t + ε t 4 t + ε t C exp A x δ r exp n/ t + ε t 4 t + ε t C exp A y + r δ exp n/ t + ε 4 t + ε r. Weil A < 4t +ε folgt v δ x, t für x, t B r y 0, t wenn r. Wir können dann r derart groß nehmen, dass v δ x, t M.

87 7.3 Maximumprinzip und Eindeutigkeit 5. September Mit Theorem 7.9 gilt M < sup {v δ x, t ; x, t 0, t } = sup {v δ x, t ; x, t P 0, t } M, ein Widerspruch. Wenn die Annahme 4At < nicht erfüllt ist, teilt man das Intervall 0, t auf in kleinere Intervalle und zeigt das Maximumprinzip nacheinander auf 0, n t, n t, n t, usw. Korollar 7. Eindeutigkeit auf R n bei einer Wachstumbedingung Sei T > 0. Sei u C R n 0, T C R n [0, T ] eine Lösung von { t u x, t = f x, t für x, t R n 0, T, u x, 0 = u 0 x für x R n, die die folgende Wachstumbedingung erfüllt: Es gibt C und A derart, dass Es gibt höchstens eine solche Lösung. u x, t Ce A x für x, t R n [0, T ]. Beweis. Man wende Theorem 7. an auf die Differenz zweier Lösungen.

88 84 5. September 00 Kapitel 7, Die Wärmeleitungsgleichung I

89 Partielle Differentialgleichungen Kapitel 8 Die Wärmeleitungsgleichung II 8. Eindeutigkeit auf beschränkten Gebieten Die Eindeutigkeit für das Anfangs-/ Randwertproblem lässt sich bei beschränkten Gebieten mit C einfacher zeigen. Wenn t u x, t = f x, t für x, t 0, T, u x, 0 = u 0 x für x, u x, t = ϕ x, t für x, t 0, T, 8. zwei Lösungen in C [0, T ] hat, nenne sie u und u, dann können wir Et = w x, t dx 8. mit w = u u betrachten. Es folgt, dass E t = w x, t t w x, t dx = w x, t w x, t dx = w x, t dx 0. Wir haben die Differentialgleichung und partieller Integration verwendet. Weil w x, t = 0 on [0, T ] sind die Randterme gleich null. Weil E 0 = 0 und E t 0 für alle t [0, T ] gilt, folgt 0 Et E 0 = 0. So folgt E t = 0 und die Eindeutigkeit. Diese Energiefunktion E können wir auch verwenden um Eindeutigkeit der Anfangswerte zu zeigen. Dieses Problem ist wesentlich anders, denn eine Lösung rückwärts zu finden ist im Allgemeinen nicht möglich. Theorem 8. Sei f und ϕ in 8. gegeben und u 0 unbekannt. Wenn u, u C [0, T ] Lösungen von 8. sind ohne u 0 vorzuschreiben! und dann gilt u = u auf [0, T ]. u x, T = u x, T, 85

90 86 5. September 00 Kapitel 8, Die Wärmeleitungsgleichung II Beweis. Wir betrachten E t aus 8.. Es gilt E t = 4 w x, t t w x, t dx = = 4 w x, t t w x, t dx = 4 w x, t dx. Auch gilt mit Cauchy-Schwarz, dass E t = w x, t w x, t dx w x, t dx w x, t dx. Wir finden, dass E t EtE t. Wegen unserer Annahme gilt E T = 0. Wenn E t = 0 auf [0, T ] wären wir fertig. Nehmen wir also an, es gibt ein Interval [t, t ] [0, T ] mit E t > 0 für t [t, t. Weil E t > 0 gilt auf dieses Intervall, ist log E t wohldefiniert. Es folgt, dass d log E t = d dt dt Dann ist t log E t convex auf [t, t und E t = E tet E t 0. Et Et log E s t + st s log E t + s log E t für s [0, ]. Anders geschrieben wird es Weil E stetig ist, folgt Dies ergibt einen Widerspruch. E s t + st E t s E t s für s [0, ]. E s t + st E t s E t s = 0 für s 0, ]. 8. Regularität Wir haben gesehen, dass die Lösung der Wärmeleitungsgleichung in R n 0, T mit f = 0 unendlich oft differenzierbar ist, sogar wenn x u x, 0 nur stetig ist. Dies gilt auch für die Wärmeleitungsgleichung in 0, T mit R n. Obwohl wir keine explizite Lösung zur Verfügung haben und sogar noch nicht mal die Existenz einer Lösung gezeigt haben, können wir doch diese Regularität zeigen. Theorem 8. Sei u C 0, T C [0, T ] eine Lösung von 8. mit f x, t = 0. Dann gilt u C 0, T. Beweis. Sei x 0, t 0 0, T. Wir zeigen diese Regularität in x 0, t 0 und definieren dazu die Zylinder Z x 0, t 0, r = { x, t ; x x 0 < r und t 0 r < t < t 0 }.

91 8. Regularität 5. September x 0,t 0 Abbildung 8.: Die Zylinder aus dem Beweis zu Theorem 8.. Nehme an Z x 0, t 0, r 0 0, T und setze Z = Z x 0, t 0, r 0, Z = Z x 0, t 0, 3 4 r 0 und Z3 = Z x 0, t 0, r 0. Sei χ C R n R so definiert, dass für x, t Z, χ x, t =... für x, t Z \ Z, 0 für x, t Z, und definiere v x, t = { χ x, t u x, t für x, t Z, 0 für x, t Z. Bemerke, dass v C R n 0, T C R n [0, T ] gilt, und außerdem v x, 0 = t v x, t = t χ x, t u x, t χ x, t u x, t χ x, t u x, t =: f x, t 8.4 Weil χ x, t = auf Z und χ x, t = 0 auf Z für f x, t = 0 für x, t Z Z c und es gilt, dass f C R n [0, T ]. Mit Duhamel findet man eine Lösung von und weil diese beschränkte Lösung eindeutig ist wegen Theorem 7., folgt x y v x, t = exp f y, s dyds. n/ y,s Z \Z 4π t s 4 t s Für x, t Z 3 gilt χ x, t = und also auch x y u x, t = exp f y, s dyds für x, t Z n/ 3. y,s Z \Z 4π t s 4 t s Es sei bemerkt, dass x, t Z 3 und y, s Z \ Z bedeutet, dass man die singuläre Stelle im Integral, nämlich y, s = x, t, fern bleibt. Es gilt also, dass x y x, t exp C Z n/ 3. 4π t s 4 t s Mit dem Satz zu Majorisierter Konvergenz lässt sich Differenzieren und Integrieren vertauschen und es folgt, dass auch u C Z 3.

92 88 5. September 00 Kapitel 8, Die Wärmeleitungsgleichung II 8.3 Existenz auf beschränkten Gebieten Wir werden hier skizzieren wie man die Existenz einer Lösung zu t u x, t = 0 für x, t 0, T, u x, 0 = u 0 x für x, u x, t = 0 für x, t 0, T, bekommen kann. Man versucht Lösungen zu finden für { t u x, t = 0 für x, t 0, T, u x, t = 0 für x, t 0, T, die folgende Form haben: Für eine solche Lösung gilt u x, t = XxT t. 8.7 und wenn u nicht trivial ist, findet man Das bedeutet wiederum, dass XxT t XxT t = 0 T t T t = Xx Xx. T t T t = Xx Xx Man findet eine passende Funktion u wie in dem Seperationsansatz 8.7, wenn man eine Lösung hat vom zugehörigen Eigenwertproblem. = c. Definition 8.3 Sei R n ein beschränktes und zusammenhängendes Gebiet. Man nennt { X x = λx x für x, Xx = 0 für x, 8.8 wo sowohl die Funktion X C C 0 als auch die Konstante λ R gesucht wird, ein Eigenwertproblem. Für ein Paar X, λ, das dieses Problem erfüllt, nennt man X eine Eigenfunktion und λ den zugehörigen Eigenwert. Bemerkung 8.3. Meistens reicht es wenn die Eigenfunktion nur im schwachen Sinnen das Eigenwertproblem 8.8 erfüllt. Das heißt, man sucht X W, 0 derart, dass Xx ϕx λxxϕxdx = 0 für alle ϕ C0. Wenn das Gebiet keinen glatten Rand hat kann es sein, dass es nur schwache Lösungen gibt. Definition 8.4 Der Raum W, 0 ist definiert als der Abschluß von C 0 in der W, -Norm: W, 0 := C 0 W,, mit f W, = f L + f L.

93 8.3 Existenz auf beschränkten Gebieten 5. September Bemerkung 8.4. Man hat C C 0 W, 0. Wenn mehrdimensional ist, sind Funktionen in W, 0 im allgemeinen nicht mal stetig. Wie bei Eigenvektoren kann man auch eine Eigenfunktion mit einer Zahl multiplizieren und es bleibt eine Eigenfunktion mit dem gleichen Eigenwert. Es ist auch hier üblich, diese abhängigen Eigenfunktionen als eine Eigenfunktion zu benennen. Beispiel 8.5 Das Eigenwertproblem { X x = λx x für 0 < x <, Xx = 0 für x {0, }, hat als Lösungen {X k, λ k ; k N + } mit X k x = sin kπx und λ k = k π. Man kann folgendes zeigen: { X k ; k N +} ist ein vollständiges orthonormales System in L 0,. Orthonormal in L 0, bedeutet Xk, { für k = l, X l = 0 für k l, für f, g = fxgxdx. Vollständig bedeutet, dass es für jede u 0 0 L 0, eine Approximation im L 0, -Sinne gibt: lim n u 0 n k= Xk, u 0 Xk L 0, = 0. Wenn X k eine Eigenfunktion mit Eigenwert λ k für 8.8 ist, dann hat man auch eine Lösung von 8.5 mit u x, 0 = X k x, nämlich Man sieht sofort, dass u x, t = e λ kt X k x. t u x, t = λ k e λ kt X k x + λ k e λ kt X k x = 0, u x, 0 = e λ k0 X k x = X k x, u x, t x {0,} = e λ kt X k x x {0,} = 0. Für u x, 0 = n k= c kx k t findet man als Lösung dieser linearen Differentialgleichung u x, t = n c k e λkt X k x. k= Ohne Beweis beschreiben wir, wie man allgemeine Anfangswerte mit einem solchen Ansatz angehen kann. Behauptung 8.6 Ist folgendes erfüllt:. {X k } k N ist ein vollständiges orthonormales System von Eigenfunktionen in L die 8.8 im schwachen Sinne erfüllen;. {λ k } k N hat höchstens endlich viele negative Eigenwerte;

94 90 5. September 00 Kapitel 8, Die Wärmeleitungsgleichung II 3. u 0 L, dann gilt: Die Funktion u, t L ist für t 0 wohldefiniert durch t u, t L 0, T ; L ; lim t 0 u, t u 0 L 0, = 0; u x, t := lim n n k= e λ kt X k, u 0 X k x; Wenn zusätzlich gilt, dass u 0 W, 0, dann folgt t u, t L 0, T ; W, 0 ; u ist eine schwache Lösung der Differentialgleichung t u = 0. Das heißt hier, für alle ϕ C0 0, T gilt T u x, t t ϕ x, t u x, t ϕ x, t dxdt = 0. 0 Ohne nähere Bedingungen am Rand, wie zum Beispiel C,γ, kann man nicht die Existenz einer klassischen Lösung zeigen. Auch wenn u 0 C kann es sein, dass u, t für t > 0 nicht stetig bis auf ist. Im Innern von 0, T wird die Lösung wie vorher unendlich oft differenzierbar sein. 8.4 Zwei Gegenbeispiele Beispiel 8.7 Wir haben gesehen, dass wenn u C R n 0, T C R n [0, T ] eine Lösung ist von { t u x, t = 0 für x, t R n 0, T, u x, 0 = u 0 x für x R n 8.9, sogar gilt, dass u C R n 0, T. Dies bedeutet, dass das Rückwärtsproblem { t u x, t = 0 für x, t R n T, 0, u x, 0 = u 0 x für x R n, 8.0 nur möglicherweise lösbar ist, wenn u 0 C R n. Aber sogar wenn es der Zufall will, dass 8.0 lösbar ist, zeigt folgendes Beispiel von Hadamard, dass die Robustheit verletzt ist. Sei u ε x, t = εe t/ε sin x/ε. Man berechnet sofort, dass t x u ε x, t = 0 für x, t R R und dass u ε x, 0 = ε sin x/ε ε. Auch gilt für beliebige t < 0, dass lim u ε x, t L R = lim εe t/ε sin x/ε = lim εe t/ε =. ε 0 ε 0 L R ε 0 Das heißt, man kann kleine Störungen beim Anfangswert angeben mit beliebig großen Änderungen in der Lösung.

95 8.4 Zwei Gegenbeispiele September 00 x x u 0 u t t 0.0 Abbildung 8.: Links eine Skizze zu dem Gegenbeispiel von Hadamard mit ε = 5. Rechts die Funktion von Tychonov aus Beispiel 8.8. Beispiel 8.8 Wir haben die Eindeutigkeit gezeigt fu r die Lo sung zu t u x, t = f x, t fu r x, t Rn R+, u x, 0 = u0 x fu r x Rn, 8. wenn die Lo sung zusa tzlich eine Wachstumsbedingung erfu llt: Es gibt C&A mit u x, t CeA x fu r alle x, t R [0,. Tychonov hat sich folgendes Beispiel u berlegt. Man definiere u x, t = X tn φ t n=0 mit φ t = e /t 0 xn fu r x, t R n! fu r t 6= 0, fu r t = 0. Man kann zeigen, dass die Reihe gleichma ßig konvergiert auf kompakten Teilmengen von R R und sogar dass n n n n! x x xn n exp exp. t φ t n! n! t 4t n! t 4t Es folgt u x, t exp x t exp 4t = exp 4x t 4t und lim u x, t = 0. t 0 Dieser Grenzwert gilt fu r jedes x aber die Konvergenz ist nicht gleichma ßig in x! Auch gilt t x X n=0 tn φ t X X xn xn xn n+ n = φ t φ t = 0. n! n=0 t n! n= t n! 8.

96 9 5. September 00 Kapitel 8, Die Wärmeleitungsgleichung II Die Funktion u ist also eine nicht-triviale Lösung von { t u x, t = 0 für x, t R R +, u x, 0 = 0 für x R. 8.3 Es folgt selbstverständlich nicht aus 8., dass die C&A-Bedingung nicht erfüllt ist. Man kann jedoch zeigen, dass die Abschätzung in 8. fast optimal ist und dass u tatsächlich die C&A-Bedingung nicht erfüllt. Mehr Details zu diesen Beispielen findet man im Buch von DiBenedetto.

97 Partielle Differentialgleichungen Kapitel 9 Die Laplace- und Poisson- Gleichungen Die Struktur bei elliptischen Gleichungen zweiter Ordnung ist nicht wesentlich verschieden bei Operatoren mit konstanten oder nicht-konstanten Koeffizienten. Technische Aspekte können leider unverhältnismäßig kompliziert werden bei allgemeinen elliptischen Randwertproblemen. Wir werden uns deshalb oft beschränken auf einen Prototyp elliptischer Differentialgleichungen, nämlich die Poisson-Gleichung u = f. 9. Den Differentialoperator = n i= nennt man Laplace-Operator 3. Setzt man f = 0 in 9., wird sie Laplace-Gleichung genannt. Meistens sucht man Lösungen von 9. auf einem Gebiet R n mit vorgegebenen Randwerten auf. i 9. Fundamentallösung Definition 9. Sei n {, 3, 4,... }. Die Funktion F n : R n [0, ] definiert durch F x = ln x, π nennt man die Fundamentallösung zu. F n x = n ω n x n für n 3, Bemerkung 9.. Man findet eine Fundamentallösung für einen rotationsinvarianten Operator wie wenn man eine passende Lösung von f x = 0 für x > 0 nimmt. Das heißt, man sucht f : R + R derart, dass r n r r n r f r = 0. Siméon Denis Poisson bekam in 80 eine Professur an die L École Polytechnique in Paris. Er war ein Schüler von Pierre-Simon Marquis de Laplace. Stochastiker nehmen oft = n i= x i und für Potentialtheoretiker gilt = n i= x i. 3 Pierre-Simon Marquis de Laplace war ein Schüler von Jean-Baptiste le Rond d Alembert. 93

98 94 5. September 00 Kapitel 9, Die Laplace- und Poisson-Gleichungen Es gilt nämlich und via = f x = n i= f x x x f xi x + f x x = n xi f x x i x + f x x x = i= n x x x x x f r + n f r = r n r r n r f r r = f x + n f x x folgt f r = c r n + c wenn n und f r = c log r + c wenn n =. Die zweite Konstante spielt keine Rolle und c sollte man derart wählen, dass folgendes gilt. Lemma 9. Im Sinne von Distributionen gilt F n = δ 0. Beweis. Man soll zeigen, dass für alle ϕ D R n oder S R n gilt R n F n x. ϕ x dx = ϕ0. Wie bei Proposition.5 verwendet man, dass F n L loc Rn C R n \ {0} und dass F n x = 0 für x 0. Nehmen wir ϕ D R n so gibt es eine Kugel B R 0, die den Träger von ϕ umfasst, und es gilt F n x ϕ x dx = lim F n x ϕ x dx = R n ε 0 B R 0\B ε0 = lim F n x ϕ x F n x ϕ x νdσ x + ε 0 B R 0\B ε0 F n x ϕ x dx = B R 0\B ε0 = lim F n x ϕ x νdσ x lim F n x ϕ x νdσ x. ε 0 B ε 0 ε0 B ε0 Man findet für n >, dass F n x ϕ x νdσ x ε n ϕ B ε0 n ω n F n x ϕ x ϕ 0 νdσ x ε n ϕ ω n B ε0 B ε0 B ε0 dσ x = ϕ n ε, x dσ x ϕ ε. Es folgt R n F n x ϕ x dx = lim ε 0 B ε0 = lim x ε 0 B n ε0 ω n ε n ϕ 0 dσ x = lim ϕ 0 ε 0 ω n F n x ϕ 0 νdσ x = B ε0 dσ x = ϕ 0.

99 9. Fundamentallösung 5. September Für ϕ S R n benutzt man, dass ϕ und ϕ schneller als jedes Polynom nach 0 konvergiert für x. Wenn F n = δ 0 im Sinne von Distributionen, dann gilt im gleichen Sinne auch Anders gesagt F n y = δ 0 y = δ y. R n F n x y ϕ x dx = ϕy. Wenn ϕ = f gilt, so hat man, wenn man x und y vertauscht und F n z = F n z bemerkt, dass ϕ x = F n x y f y dy. 9. R n Man nennt 9. eine Darstellungformel für ϕ = f. Das heißt, wenn für ϕ und f gilt, dass ϕ = f, dann gilt auch 9.. Sie ist noch keine Lösungsformel. Das werden wir nun zeigen: Proposition 9.3 Sei f C0 R n und setze u x = F n x y f y dy. 9.3 R n Dann gilt u C R n und u = f in R n. Beweis. Wenn man bedenkt, dass u x = F n x y f y dy und R n R n F n x y f y dy = 0, dann kann man anscheinend Integral und -Operator nicht vertauschen oder der Satz wäre falsch. x F n x y f y dy = x F n x y f y dy R n R n Falsch Der Grund ist, dass die zweiten Ableitungen von x F n x y nicht integrierbar sind. Die Sätze über majorisierte oder monotone Konvergenz sind nicht anwendbar. Die ersten Ableitungen von x F n x y sind aber lokal integrierbar, und mit majorisierter Konvergenz und einer partiellen Integration folgt u x = F n x y f y dy = x F n x y f y dy = R n R n = y F n x y f y dy = F n x y f y dy. 9.4 R n R n Also ist u differenzierbar und weil f stetig ist und F n x y f y dy = F n z x f x z dy R n R n gilt, findet man, dass u stetig ist, also gilt u C R n.

100 96 5. September 00 Kapitel 9, Die Laplace- und Poisson-Gleichungen Auch gilt, dass xi xj u x = xi F n x y xj f y dy = xi F n x y xj f y dy = R n R n = i F n z j f x z dy R n existiert und sogar stetig ist. Also gilt u C R n. Weiter folgt u x = F n x y f y dy = R n x F n x y f y dy = R n = y F n x y f y dy. R n Wir bohren wieder ein kleines Loch, diesmal um x herum und finden y F n x y f y dy = lim y F n x y f y dy = R n ε 0 R n \B εx = lim y F n x y f y ν dσ y y F n x y f y dy = ε 0 B εx R n \B εx = lim x y ε 0 B n f y dσ x = f x. εx ω n Nicht nur der letzten Schritt ist ähnlich wie im Beweis von Lemma 9.. Dieses Lemma hat als Vorrausetzung, dass f stetig differenzierbar ist und eine kompakten Träger hat. Beide Bedingungen kann man abschwächen. Es reicht wenn f integrierbar ist und wenn die rechte Seite in 9.3 wohldefiniert ist. Wir werden diesem hier nicht weiter nachgehen. Wir möchten die Annahmen nur in einer Richtung etwas abschwächen. Um zu zeigen, dass u definiert durch 9.3 in x 0 zweimal stetig differenzierbar ist reicht es, wenn f in einer Umgebung von x 0 stetig differenzierbar ist. Sei x 0 R n. Man nehme χ C0 χx = Dann gilt u x = B ε x 0 R n derart, dass F n x y χ y f y dy + für x x 0 ε,... für ε < x x 0 < ε, 0 für x x 0 ε. R n \B εx 0 F n x y χ y f y dy. Nehmen wir x B ε x 0, so gilt für y R n \B ε x 0, dass x y ε. Dies bedeutet, das die singuläre Stelle im rechten Integral mindestens ε vom Integrationsgebiet entfernt liegt und somit folgt sogar für f L R n, dass x F n x y χ y f y dy C B ε/ x 0. R n \B εx 0 Für das linke Integral können wir Proposition 9.3 verwenden. Für f C B ε x 0 folgt x B ε x 0 F n x y χ y f y dy C R n.

101 9. Randwertprobleme 5. September Übrigens gilt für f L R n mit kompaktem Träger, dass u in 9.3 wohldefiniert ist und sogar dass x F n x y f y dy C R n. 9.5 R n Es gilt nämlich, dass wenn der Träger von f in B R 0 liegt, dass F n x y f y dy = F n x y f y dy R n B R 0 f L R n F n x ydy C R f L R n. B R 0 Für f 0 kann man den Satz zur majorisierten Konvergenz verwenden um zu zeigen, dass lim F n z y f y dy = lim F n w f w z dw = z x R n z x R n = F n w f w x dw = F n x y f y dy. R n R n Das liefert 9.5. Wir fassen zusammen: Lemma 9.4 Sei f L R n und nehme an, f hat einen kompakten Träger. Dann ist u x = F n x y f y dy. R n wohldefiniert und es gilt u C R n. Wenn außerdem f Bε B C x 0 ε x 0, dann gilt u Bε/ B C x 0 ε/ x und ux = fx für x B ε/ x 0. Bemerkung 9.4. Statt anzunehmen, dass f einen kompakten Träger hat, reicht es wenn f genügend schnell fallend ist: für k R + genügend groß. lim + x k f x = 0 x 9. Randwertprobleme Das eigentliche Problem, an dem man interessiert ist, ist { u = f in, u = ϕ auf. 9.7 Wir werden grob einige Möglichkeiten beschreiben, wie man dieses Problem angehen kann. Vorher geben wir zwei Möglichkeiten an, wie man dieses Problem vereinfachen kann.

102 98 5. September 00 Kapitel 9, Die Laplace- und Poisson-Gleichungen Es sei bemerkt, dass wenn man { v = f in, v = 0 auf, und { w = 0 in, w = ϕ auf, 9.8 für allgemeine f und ϕ lösen kann, man auch 9.7 lösen kann. Denn seien v und w Lösungen von 9.8, dann ist u = v + w eine Lösung von 9.7. Manchmal braucht man aber nur eine der beiden aus 9.8 lösen zu können: Wenn man das rechte Randwertproblem in 9.8 lösen kann, dann kann man auch 9.7 lösen: Setze u = F n x y f y dy und sei w eine Lösung von { w = 0 in, w = ϕ u auf, so findet man, dass u = u + w eine Lösung ist von 9.7. Wenn man das linke Randwertproblem in 9.8 lösen kann und ϕ = Φ C, dann kann man auch 9.7 lösen: Sei v eine Lösung von { v = f + Φ in, für Φ v = 0 auf, so ist u = v + Φ eine Lösung von Die Methode von Perron Für harmonische Funktionen u auf, also u = 0 in, sagt Proposition.5, dass u x 0 = ux dσ ω n r n x für jede Sphäre B r x 0 mit B r x 0. B rx 0 Diese Aussage ist gleichwertig zu u x 0 = n ω n r n B rx 0 ux dx für jede Sphäre B r x 0. Den Flächeninhalt der Einheitssphäre in R n nennen wir ω n ; das Volumen der Einheitskugel in R n ist dann n ω n. Definition 9.5 Eine Funktion u C nennt man superharmonisch auf, wenn u x 0 n ux dx für jede Sphäre B ω n r n r x 0. B rx 0 Eine Funktion u C nennt man subharmonisch auf, wenn u x 0 n ux dx für jede Sphäre B ω n r n r x 0. B rx 0

103 9. Randwertprobleme 5. September Für { u = 0 in, u = ϕ auf, kann man wie folgt verfahren. Ansatz 9. Mit Hilfe des Maximum Prinzips Perron 4 definiert S ϕ = { u C ; u superharmonisch in und u ϕ auf } und setzt ū x = inf { u x ; u S ϕ }. Man kann zeigen, dass ū harmonisch ist auf und dass u ϕ auf. Wenn man zusätzlich annimmt, dass einen netten Rand hat und ϕ stetig ist, kann man sogar zeigen, dass ū C und ū = ϕ auf. Was genau nett ist, soll noch erklärt werden. Das Maximum Prinzip sagt aus, dass eine subharmonische Funktion ein Maximum nur am Rand des Gebietes annehmen kann. Für eine superharmonische Funktion folgt, dass sie ein Minimum nur am Rande annehmen kann und so auch dass ū min {ϕx; x }. 9.. Mit Hilfe des Darstellungssatzes von Riesz Eine zweite Lösungmöglichkeit gibt es, wenn man die schwache Version zum Randwertproblem { u = f in, u = 0 auf, betrachtet. Die schwache Formulierung einer Lösung u ist wie folgt: Man hat u W, 0 derart, dass u v f v dx = 0 für alle v W, 0. Hier ist W, 0 ein Sobolev-Raum, nämlich W, 0 = C 0 W, 9.9 mit u W, = ux + u x / dx. Mit C0 W, ist gemeint, dass W, 0 der Abschluss von C0 ist bezüglich, der W, -Norm. Man kann zeigen, dass W0 ein Hilbert-Raum ist, bezüglich des Skalarproduktes u, v = u x v x dx. Für f L ist v f x v x dx eine stetige lineare Abbildung von W, 0 zu R. 4 Oskar Perron, 880 Frankenthal in der Pfalz 975 München

104 00 5. September 00 Kapitel 9, Die Laplace- und Poisson-Gleichungen Ansatz 9. Mit dem Darstellungssatz von Riesz Für ein beschränktes Gebiet in R n und f L ist v f x v x dx : W, 0 R eine stetige lineare Abbildung. Der Darstellungssatz von Riesz 5 für Hilbert-Räume besagt, dass es u W, 0 gibt mit u, v = f x v x dx für allle v W, 0. Anders gesagt, u ist eine schwache Lösung. Ein Vorteil dieses Verfahrens ist, dass wir kaum Bedingungen an haben. Es ist aber nicht klar und meistens auch nicht richtig, dass dieses u eine klassische Lösung ist Durch Variationsrechnung Hilbert 6 betrachtete das Funktional definiert durch und konnte folgendes zeigen: Ju = J : W, 0 R u x fx ux dx Ansatz 9.3 Mit Hilfe der direkten Methoden der Variationsrechnung Für ein beschränktes Gebiet in R n und f L gibt es u 0 W, 0 derart, dass J u 0 = inf Ju. u W, 0 Für eine solche Funktion u 0 W, 0 gilt also und dann auch, dass Es folgt für die erste Variation dass 0 = J u 0, ψ = J u 0 J u für alle u W, 0, J u 0 J u 0 + εψ für alle ψ W, 0 und ε R. J u 0, ψ := lim J u ε 0 ε 0 + εψ, u x ψ x f x ψ x dx für alle ψ W, 0 und damit, dass die Funktion u 0, die J minimalisiert über u W, 0, eine schwache Lösung ist. 5 Frigyes Riesz, , war ein Ungarischer Mathematiker. 6 David Hilbert, 86 Königsberg 943 Göttingen, war wahrscheinlich der einflussreichste Mathematiker seiner Zeit.

105 9. Randwertprobleme 5. September Ein Beispiel Die verschiedenen Lösungstypen geben auch tatsächlich unterschiedliche Ergebnisse. Man betrachte = {x R n ; 0 < x < } und das Problem { ux = für x, u x = 0 für x. Wenn es eine Lösung u 0 C gibt, ist auch die rotierte Funktion uϕ = u 0 R ϕ eine Lösung mit R ϕ irgendeine Rotation um 0. Sogar u rad := ω n ϕ B u 0 0 R ϕ x dϕ wäre eine Lösung. Weil u rad radialsymmetrisch ist, findet man für U x = u rad x die gewöhnliche Differentialgleichung r n r r n r U r =. Man hat r r n r U r = r n und via r n r U r = c n rn und r U r = cr n n r folgt U r = c + c r n n r. Es gibt aber keine derartige Funktion, die U 0 = 0 = U erfüllt. Es gibt also keine Lösung u C C. Trotzdem kann man aber zeigen, dass u x = n x eine schwache Lösung in W, 0 ist. Der Funktionswert in einem Punkt wird im Raum W, 0 mit R n und n nicht wahrgenommen. Das letztere sieht man am folgenden Beispiel. Die Funktionenfolge ϕ k x = log + k x log + k x konvergiert gegen x in W, 0 B 0 wenn n ϕ k x x Abbildung 9.: ϕ k konvergiert gegen in W, 0 B 0 und nicht in CB 0.

106 0 5. September 00 Kapitel 9, Die Laplace- und Poisson-Gleichungen Es gilt = log + k x 0 B B 0 log + k = ω n k r log + kr r=0 + kr log + k log + k r r n dr = log + k = = O log + k 0 für k. ϕ k W, x dx = Selbstverständlich versucht man nicht den genauen Wert zu finden, sondern man sucht vernünftige Abschätzungen. Wesentlich in diesem Fall ist n, weil nur dann gilt und k r r n + kr log + k 0 log + k k r + k r dr = log + k. k r + k r Der eifrige Student darf es nachrechnen und auch bemerken, dass sich der Rest des Integrals einfacher abschätzen lässt. 9.3 Greensche Funktionen auf Halbraum und Kugel Bevor wir die oben genannten Lösungsmethoden anschauen, werden ein paar Fälle vorgestellt, bei denen man eine fast explizite Lösung geben kann. Beispiel 9.6 Für einige f ist es möglich eine Formel für eine Lösung auf dem Halbraum zu geben: { u = f in R + R n, u = 0 auf {0} R n. Man definiert f x, x,..., x n für x R + R n, f x, x,..., x n =... für x {0} R n, f x, x,..., x n für x R R n. und setzt u x = F n x y f y dy. R n 9.0 Wenn f C [0, R n dann gilt f C R \ {0} R n L R n. Hat f auch noch einen kompakten Träger oder fällt sie genügend schnell für x dann folgt mit Proposition 9.3, dass u = f = f auf R + R n. Man findet aus Symmetriegründen, dass u x, x,..., x n = u x, x,..., x n. Wenn f die Bedingungen von Lemma 9.4 erfüllt, ist u stetig und es folgt, dass u 0, x,..., x n = 0.

107 9.3 Greensche Funktionen auf Halbraum und Kugel 5. September Das heißt, u in 9.0 liefert eine Lösung. Man kann die Funktion in 9.0 noch anders schreiben. Wir setzen x, x,..., x n = x, x,..., x n und finden u x = F n x y f y dy F n x y f y dy = R + R n R R n = F n x y f y dy F n x y f y dy = R + R n R + R n = G x, y f y dy R + R n mit G x, y = F n x y F n x y für x, y R + R n. Man bemerke, dass nur x F n x y eine Singularität innerhalb R + R n y R + R n. hat weil Definition 9.7 Sei R n ein Gebiet. Eine Funktion G : [, ] derart, dass ux = G x, y f y dy für genügend nette Funktionen f eine Lösung von { u = f in, u = 0 auf, gibt, nennt man eine Greensche 7 Funktion. Formell hat eine Greensche Funktion folgenden Eigenschaften: x G x, y = δ y x für x, y ; Gx, y = 0 für x und y. x x x x Abbildung 9.: Halbraum und Kugel haben explizite Greensche Funktionen. 7 Georg Green, , Britischer Mathematiker.

108 04 5. September 00 Kapitel 9, Die Laplace- und Poisson-Gleichungen Beispiel 9.8 Betrachte das Gebiet = B R 0 R n. Definiere die Kelvin-Spiegelung von B R 0 \ {0} zu R n \ B R 0 durch x = R x x. Dann ist eine Greensche Funktion für y G BR 0 x, y = F n x y F n R x y 9. { u = f in BR 0, u = 0 auf B R Für y B R 0 folgt y > R und sieht man, dass x F y n x R y keine Singularität für x B R 0 hat. Man sollte sich fragen was passiert, wenn y = 0. Weil y R x y sieht man, dass F y n x R y F n R. Formell folgt, mit y als Parameter, dass = y R x R y y = y x x y + R 9.3 R für y = 0 sogar unendlich glatt fortsetzbar ist durch G BR 0, y = δ y y R δ y = δ y 9.4 für Funktionen mit Träger innerhalb. Weil 9.3 gilt, kann man x und y vertauschen, folgt x G BR 0 x, y = F n x y F n R y x, und wegen dass x lim x R R y x = y x, G BR 0 x, y = 0 für x B R 0 und y B R Die Gleichungen 9.4 und 9.5 lassen vermuten, dass x, y G BR 0 x, y tatsächlich eine Greensche Funktion ist für 9.. Man verwende dazu die Ergebnisse aus Abschnitt 9..

109 Partielle Differentialgleichungen Kapitel 0 Ordnung und Existenz bei Laplace 0. Greensche Funktionen Am Ende vom letzten Kapitel haben wir eine Lösungsformel für { u = f in BR 0, u = 0 auf B R 0. gefunden: mit G BR 0 x, y = ux = ω nn ln 4π B R 0 G BR 0 x, y fydy 0. + R x R y x y n für n =, y x R y n für n 3. R y R x y 0. Die erste Formel in 0. ergibt sich übrigens direkt durch 9.3 und die Eigenschaften vom Logarithmus. Eine Greensche Funktion existiert für mehr allgemeine Gebiete. Sucht man eine solche Funktion für { u = f in, 0.3 u = 0 auf, dass heißt ux = G x, y fydy ist eine Lösung 0.3, dann kann man sagen, dass mit h, y eine Lösung von G x, y = F n x y h x, y { h, y = 0 in, h, y = F n y auf. 0.4 Im Moment führen diese Überlegungen uns nicht weiter. Für die Existenz einer Greenschen Funktion auf müsste man erst mal 0.4 lösen können. Nur im Fall einer Kugel 05

110 06 5. September 00 Kapitel 0, Ordnung und Existenz bei Laplace hatten wir eine explizite Funktion. Genau für diesen Fall kann man folgendes zeigen. Die Ergebnisse stimmen auch für andere Gebiete, aber das können wir hier noch nicht zeigen. Behauptung 0. Sei R n ein beschränktes Gebiet mit C. Eine Greensche Funktion für { u = f in, 0.5 u = 0 auf, hat die folgenden Eigenschaften:. G F n C, also folgt G C \ D ;. G C \ D ; 3. x G x, y = 0 für x, y \ D ; 4. G x, y = 0 für x und y. 5. G x, y = G y, x für x, y \ D. Hier ist D A = {x, x ; x A} die Diagonale von A A. Bemerkung 0.. Für = B R 0 hat G BR 0 definiert in 0. diese Eigenschaften. Nehmen wir an, hat eine solche Greensche Funktion G und dass außerdem gilt y G x, y C \ {x} für alle x. 0.6 Verwenden wir die Greensche Formel u v v u dx = u ν v v ν u dσ 0.7 für u C mit u = f und v = G x, auf \ B ε x statt, so finden wir u y y G x, y G x, y u y dy = \B εx = u y νy G x, y G x, y ν u y dσ y. 0.8 \B εx Aus Eigenschaften 3 und 4 folgt u y y G x, y dy = 0 und \B εx G x, y ν u y dσ y = 0. Aus Eigenschaft folgt lim u y νin G x, y dσ y = lim u y νin F n x y dσ y = ux, ε 0 B ε 0 εx B εx lim G x, y ν u y dσ y = lim F n x y ν u y dσ y = 0. ε 0 B ε 0 εx B εx Kombinieren wir diese Gleichungen mit 0.8 so folgt mit ε 0, dass G x, y f y dy = ux + u y νy G x, y dσ y.

111 0. Folgen der Greenschen Funktion auf der Kugel 5. September Dies bedeutet, wir haben eine Darstellungsformel für { u = f in, u = ϕ auf, 0.9 bekommen. Proposition 0. Sei G eine Greensche Funktion für mit Eigenschaften wie in Behauptung 0. und sei 0.6 erfüllt. Dann ist der Poisson-Kern K x, y = νy G x, y 0.0 wohldefiniert für y und x \{y}. Wenn 0.9 eine Lösung hat, wird sie dargestellt durch u x = G x, y fydy + K x, y ϕydσ y. 0. Bemerkung 0.. Für viele Gebiete ist 0. sogar eine Lösungsformel für Folgen der Greenschen Funktion auf der Kugel Lemma 0.3 Sei u harmonisch auf R n, dann gilt für jede Kugel B R x 0 mit B R x 0, dass ux = R x x 0 u y Rω n x y n dσ y B R x 0 Bemerkung 0.3. Für x = x 0 finden wir den Mittelwertsatz für harmonische Funktionen, Proposition.5: ux = u y dσ ω n R n y. 0. B R x Bemerkung 0.3. Man sieht, dass G BR 0 x, y > 0 für x, y B R 0 B R 0 und auch, dass K BR 0 x, y > 0 für x, y B R 0 B R 0. Beweis. Weil y G BR 0 x, y = ω n y x x y n x R y x x y R x n R x folgt für y = R und ν = R y dass νy G BR 0 x, y = ω n x y R x y n y R = R x Rω n x y n. Die Greensche Funktion für B R x 0 folgt aus 0. wenn man sie um x 0 verschiebt, das heißt K BR x 0 = R x x 0 Rω n x y n, und mit Proposition 0. folgt das Lemma.

112 08 5. September 00 Kapitel 0, Ordnung und Existenz bei Laplace 0.. Maximum-Prinzip für harmonische Funktionen Theorem 0.4 Sei u harmonisch auf einem Gebiet R n. Wenn u ein Maximum oder Minimum innerhalb hat, dann ist u konstant. Beweis. Nehmen wir an, u hat ein Maximum in x 0. Aus dem Mittelwertsatz, Lemma 0.3 mit x = x 0 folgt, dass u = u x 0 gilt auf jeder Sphäre innerhalb mit x 0 als Zentrum. Weil zusammenhängend ist, kann man für jedes x einen Weg innerhalb finden, der x 0 mit x verbindet, und das Ergebnis folgt, wenn man diesen Weg mit passenden Kugeln überdeckt. x 0 x Abbildung 0.: Man argumentiert von Kugel zu Kugel. Korollar 0.5 Sei R n ein beschränktes Gebiet und sei u C harmonisch innerhalb. Dann nimmt u sein Maximum und sein Minimum an auf. Beweis. Eine stetige Funktion auf der kompakten Menge hat ein Maximum und ein Minimum und wegen des letzten Theorems kann es nicht im Innern liegen. Korollar 0.6 Sei R n ein beschränktes Gebiet. Dann hat { u = f in, u = ϕ auf, 0.3 höchstens eine Lösung u C C. Beweis. Wenn es zwei Lösungen hätte, verwende man das letzte Korollar für die Differenz. Theorem 0.7 Die Ungleichung von Harnack Sei R n ein beschränktes Gebiet und sei u positiv und harmonisch innerhalb. Dann gibt es für jede zusammenhängende offene Teilmenge A mit Ā eine konstante c A derart, dass sup ux c A inf ux. x A x A Carl Gustav Axel Harnack, Tartu damals Rusland, heute Estland 85 Dresden 888.

113 0. Folgen der Greenschen Funktion auf der Kugel 5. September Beweis. Sei R = 3 inf { a b ; a A und b }. Nehme an, dass x, x 0 A und dass x x 0 R. Es folgt, dass B R x 0 B R x und ux = n u y dy ω n n R n B R x n u y dy = ω n n R n B R x 0 ux 0. n Wenn x x 0 > R gilt, dann kann man eine endliche Anzahl, sage k Kugeln B R x i finden mit x i A, die eine Kette von x zu x 0 bilden. Es folgt, dass u x nk ux 0. Dass es höchstens endlich viele braucht, folgt aus der Kompaktheit von Ā und eine endliche Teilüberdeckung aus {B R x ; x A}. 0.. Harmonisch auf Kugeln Lemma 0.8 Sei R n ein Gebiet und sei u harmonisch auf. Dann gilt u C und für jedes k N gibt es C k,n derart, dass D α u x 0 C k,n u y dy ω n r n+k B rx 0 für jede Kugel B r x 0 und k = α mit α N n. Beweis. Für α = 0 folgt diese Aussage aus dem Mittelwertsatz. Durch Lemma 0.3 gilt ux = r x x0 rω n B r/ x 0 u y x y n dσ y und wenn man x B r/4 x 0 nimmt, gilt D α ux = β α C α r l l Dβ x B r/ x 0 r x x 0 rωn Dx α β B r/ x 0 x y u y n dσy r n+ α l u y dσ y C α r α u L B r/ x Aus.3 folgt für z B r/ x 0, dass B r/ z B r x 0 und n uz = ω n r/ n B r/ z u y dy Kombiniert man 0.4 und 0.5 so folgt das Ergebnis. n ω n r/ n u y dy. 0.5 B rx 0 Theorem 0.9 Liouville Wenn u harmonisch und beschränkt ist auf R n, dann ist u konstant. Joseph Liouville, Französischer Mathematiker,

114 0 5. September 00 Kapitel 0, Ordnung und Existenz bei Laplace Beweis. Aus dem letzten Lemma folgt u x C R n+ B R x u y dy und wenn u beschränkt ist, folgt u x C ω n u R für alle R > 0 und x R n. Das bedeutet u x = 0 und u ist konstant. Proposition 0.0 Sei G BR 0 die Greensche Funktion für B R 0 wie in 0. und sei K BR 0 x, y = νy G BR 0 x, y. Dann ist ϕx für x B R 0, u x = K BR 0 x, y ϕydσ y für x B R 0, B R 0 die eindeutige Lösung in CB R 0 C B R 0 von { u = 0 in BR 0, u = ϕ auf B R 0, 0.6 für ϕ C B R 0. Beweis. Die Tatsache, dass K BR 0 x, y = 0 für x B R 0 kontrolliert man direkt; singuläre Stellen von x K BR 0 x, y findet man nur für x B R 0. Man soll nur noch beweisen, dass u stetig ist einschließlich des Randes. Dazu bemerkt man erst, dass K BR 0 x, y dσ y =. B R 0 Diese Identität folgt aus der Darstellungsformel, weil ux = eine Lösung ist von 0.6 mit ϕ =. Sei nun x B R 0 und sei δ > 0 derart, dass y B R 0 und x y < δ = ϕx ϕy < ε. Dann folgt ux ux = ux ϕx = K BR 0 x, y ϕy ϕx dσ B R 0 ε K BR 0 x, y dσ y + ϕ B R 0 L B R 0 K BR 0 x, y dσ y x y <δ ε K BR 0 x, y dσ y + ϕ L B R 0 B R 0 B R 0 x y δ B R 0 x y δ R x Rω n x y n dσ y =. y Wenn x x < δ und x y δ gilt, folgt x y x y x x δ δ = δ x x und ε + ϕ L B R 0 B R 0 R x Rω n δ n dσ y n. ε + ϕ L B R 0 R x R n δ

115 0. Folgen der Greenschen Funktion auf der Kugel 5. September 00 Weil R x = R + x R x R x 0 x R x x gilt, können wir x genügend nahe an x nehmen um ϕ L B R 0 R x R n n δ beliebig klein zu bekommen. Genügend klein wie zum Beispiel ux ux < ε. Weil ε > 0 beliebig ist, ist u stetig in x. Theorem 0. Sei ein Gebiet in R n und sei u C. Dann sind folgende Aussagen gleichwertig. u ist harmonisch. ux = ω nr n B R x u y dσ y für alle B R x mit B R x. Beweis. Die eine Richtung ist der Mittelwertsatz. Für die andere Richtung verwenden wir, dass wir eine Lösungformel haben für harmonische Funktionen auf Kugeln bei vorgeschriebenen stetigen Randwerten. Das heißt, für jede Kugel B R x 0 mit B R x 0 ist wx = R x x 0 Rω n B R x 0 harmonisch innerhalb B R x 0 und stetig auf B R x 0. Man hat also w u CB R x 0 und sogar Dann hat w u die Mittelwerteigenschaft wx ux = u y x y n dσ y wx ux = 0 für x B R x ω n R n B R x wy uy dσ y, und kann die Funktion w u sein Maximum und Minimum nur auf dem Rand annehmen. Wegen 0.7 bedeutet es w = u auf B R x 0 und dass u harmonisch ist. Korollar 0. Sei ein Gebiet in R n und seien {u k } k N C harmonisch auf. Wenn u k lokal gleichmäßig zu u konvergiert, so ist auch u harmonisch auf. Beweis. Wenn u k u konvergiert, dann gilt für jede Kugel in, dass u x = lim u k x = lim u k k ω n R n k y dσ y = B R x = lim ω n R u n k y dσ y = u y dσ k ω n R n y. B R x Wegen Theorem 0. ist u harmonisch. B R x Korollar 0.3 Sei ein Gebiet in R n und seien {u k } k N C harmonisch auf. Nehme an, dass die Funktionen lokal gleichmäßig beschränkt sind. Dann existiert eine Teilfolge {u kl } l N die lokal gleichmäßig gegen eine Funktion u konvergiert die harmonisch ist auf. Beweis. Lemma 0.8 zeigt, dass auf jede Kugel B R x mit B R x die Ableitungen u k gleichmäßig beschränkt sind. Wegen der Offenheit von gibt es r > 0 mit B R+r x und man wende das Ergebnis an auf B r x 0 für x 0 B R x. Dann folgt, dass die u k gleichgradig stetig sind auf B R x. Der Satz von Arzelá-Ascoli besagt, dass es eine konvergente Teilfolge gibt. Korollar 0. liefert die gewünschte Teilfolge.

116 5. September 00 Kapitel 0, Ordnung und Existenz bei Laplace 0.3 Existenz nach Perron Wie schon angekündigt liefert die Methode von Perron für { u = 0 in, u = ϕ auf, 0.8 eine Lösung u C C, angenommen ϕ ist stetig und genügend nett. Wir haben auch gesehen, dass = B 0 \ {0} kein nettes Gebiet ist. Es wird Zeit für eine Bedingung, die uns genügend nett sein läßt. Bedingung 0.4 Ein Gebiet erfüllt die äußere Kugelbedingung, wenn es für jedes x eine 3 Kugel B R n \ gibt mit x B. 0 3 Abbildung 0.: Die äußere Kugelbedingung Bemerkung 0.4. Diese äußere Kugelbedingung läßt sich leicht als reichende Bedingung verwenden. Tatsächlich kann man man diese Bedingung abschwächen. Eine äußere Kegelbedingung e statt u! reicht auch. Leider wird der Beweis aufwendiger. Bemerkung 0.4. Isolierte Punkte als Teil des Randes erfüllen klar weder die äußere Kugelbedingung, noch eine äußere Kegelbedingung. Einen solchen Rand kann man als sehr eigenartig betrachten. Henri Lebesgue hat gezeigt, dass es auch zusammenhängende Ränder gibt, die keine Lösung in C zulassen. Sein Gegenbeispiel in drei Dimensionen in der Form einer hineingerichteten Spitze ist als das Lebesgue thorn bekannt geworden. Theorem 0.5 Perron Sei R n ein beschränktes Gebiet, das die äußere Kugelbedingung erfüllt. Dann gibt es für jede ϕ C eine eindeutige Lösung u C C zu 0.8. Man definiert S ϕ = { u C ; u superharmonisch in und u ϕ auf } und sucht die Lösung durch ux := inf { v x ; v S ϕ }. Wir werden das Theorem in mehreren Schritte beweisen.

117 0.3 Existenz nach Perron 5. September 00 3 Abbildung 0.3: Bild einer Kugel mit einem Lebesgue thorn. Das Horn oder der Dorn ist hier wie folgt definiert: {x, y, z : x + y > exp /z für z > 0}. Lemma 0.6 S ϕ ist nicht leer und für u Sϕ gilt ux min {ϕx; x }. Beweis. Weil ϕ stetig ist auf einer beschränkten und abgeschlossenen Menge existiert min {ϕx; x } und max {ϕx; x }. Die Konstante m = max {ϕx; x } liefert eine konstante Funktion in S ϕ. Weiter gilt es, dass ux min {ux; x } min {ϕx; x } weil eine superharmonische Funktion sein Minimum am Rand annimmt. Lemma 0.7 Sei u, u S ϕ und definiere Dann gilt u S ϕ. ux = min u x, u x. Bemerkung 0.7. Durch wiederholte Anwendung folgt auch: u,..., u k S ϕ impliziert u u k S ϕ, wobei u u k x = min u x,..., u x. Beweis. Sei x 0 und nehme an, ux 0 = u x 0. Dann gilt für B r x 0, dass ux 0 = u x 0 u ω n r n ydσ y uydσ ω n r n y. Die Bedingung u ϕ ist direkt erfüllt. B rx 0 B rx 0 Lemma 0.8 Sei u S ϕ und sei BR x 0. Definiere ũ x = R x x 0 Rω n u x für x \B R x 0, u y x y n dσ y für x B R x 0. B R x Dann gilt ũ u und ũ S ϕ.

118 4 5. September 00 Kapitel 0, Ordnung und Existenz bei Laplace Bemerkung 0.8. Die Änderung einer superharmonischen Funktion u zu ũ u nennt man die harmonic lowering von u. Besser bekannt ist die ähnliche Änderung einer subharmonischen Funktion u zu ũ u als die harmonic lifting von u. Beweis. Die Funktion u ũ ist superharmonisch und identisch 0 auf B R x 0. Wegen Proposition 0.0 ist ũ und darum auch u ũ stetig. Es folgt u ũ 0 in B R x 0. Außerhalb gilt u ũ = 0. Proposition 0.9 Sei beschränkt und ϕ C. Dann ist die Funktion harmonisch. ux := inf { v x ; v S ϕ }. 0.0 Beweis. Sei x 0 und sei {u k } k N S ϕ derart, dass uk x 0 ux 0. Setzen wir U k x := min {u x,..., u k x}, so ist {U k x} k N eine monoton fallende Folge für alle x. Sei B R x 0 und definiere Ũ k wie in 0.9. Auf B R x 0 sind die Funktionen Ũk harmonisch. Korollar 0.3 liefert eine Teilfolge, die nach einer harmonischen Funktion U auf B R/ x 0 konvergiert. Aus dieser Konstruktion folgt U x 0 = u x 0 und U x ux auf B R/ x 0. Wir wollen zeigen, dass Ux = u x auf B R/ x 0. Nehmen wir an, dass es x B R/ x 0 gibt mit U x > ux. Dann gibt es v S ϕ mit Ähnlich wie vorhin betrachten wir U x > vx ux. 0. V k x := min {vx, u x,..., u k x} und finden eine harmonische Funktion V auf B R/ x 0 mit U x 0 = V x 0 und U x V x auf B R/ x 0. Dann folgt aus dem Mittelwertsatz, dass U = V auf B R/ x 0 und ein Widerspruch zu 0.. Also gilt Ux = u x auf B R/ x 0 und u ist harmonisch in B R/ x 0. Weil x 0 beliebig ist, ist u harmonisch auf. Wir müssen noch zeigen, dass diese Lösung u stetig auf ist. Wenn u C dann folgt aus dem Maximum Prinzip, dass die Lösung eindeutig ist. Definition 0.0 Eine Funktion b C heißt eine Barrierenfunktion bezüglich x, wenn. b ist superharmonisch in ;. bx = 0; 3. bx > 0 für x \ {x 0 }. Lemma 0. Wenn die äußere Kugelbedingung erfüllt an der Stelle x, dann existiert eine Barrierenfunktion bezüglich x.

119 0.3 Existenz nach Perron 5. September 00 5 Beweis. Sei B r x eine solche Kugel. Dann definiere für n 3 die Funktion bx = r n x x n. Die Funktion ist sogar harmonisch. Beide andere Eigenschaften in Definition 0.0 zeigt man direkt. Für n = setzt man bx = log x x log r. In zwei Dimensionen kann man Barrierenfunktionen Konstruieren die lokal nur eine äußere Kegelbedingung voraussetzen mit Hilfe der Funktionen, die in Abbildung. dargestellt sind. Proposition 0. Sei ein beschränktes Gebiet, das die äußere Kugelbedingung erfüllt an der Stelle x. Dann gilt für die Funktion u in 0.0, dass lim x x x Beweis. Sei ε > 0. Dann gibt es δ > 0 derart, dass Man nehme k > 0 derartig, dass u x = ϕx. 0. x x < δ und x = ϕ x ϕx < ε. x x δ und x = k bx > ϕx ϕx. Dann gilt für die Funktion w, definiert durch dass w S ϕ. Es gilt also, dass wx := ϕx + ε + k bx ux wx für x. 0.3 Auf ähnliche Art kann man auch eine harmonische Funktion nx finden durch nx := inf { v x ; v S ϕ }. 0.4 Für v S ϕ und v S ϕ folgt v +v S 0 und weil v +v superharmonisch ist, dass v + v 0 auf. Anders gesagt Es folgt dann auch, dass v v auf. ux = inf { v x ; v S ϕ } sup { v x ; v S ϕ } = nx für x. 0.5 Auch hier kann man zeigen, dass es k > 0 gibt mit der Funktion derart, dass Aus folgt wx := ϕx ε k bx wx nx für x. 0.6 wx nx ux wx für x und dass es δ > 0 gibt so, dass für x und x x < δ folgt Weil ε beliebig ist, ist 0. erfüllt. ux ϕx < ε.

120 6 5. September 00 Kapitel 0, Ordnung und Existenz bei Laplace

121 Partielle Differentialgleichungen Kapitel Laplace und Regularität. Bemerkungen zur Regularität Wir haben gezeigt, dass es für f C und R n ein beschränktes Gebiet mit einer äußeren Kegelbedingung, eine Lösung u C C gibt zu { u x = fx für x,. ux = 0 für x. Wenn man vergleicht mit dem eindimensionalen Randwertproblem { u x = fx für x a, b, ux = 0 für x a, b,. dann folgt für., dass für f C [a, b] die Lösung u sogar in C 3 [a, b] liegt. Und wenn man nur f C[a, b] hat, folgt immer noch eine Lösung u C [a, b]. Ganz allgemein kann man für. direkt zeigen, dass f C k,γ [a, b] eine Lösung u C k+,γ [a, b] ergibt. Kann man ähnliches vielleicht auch für. erwarten? Eine extra Schwierigkeit hat man durch den Rand, der im eindimensionalen Fall sehr trivial ist. Wenn wir nun annehmen, dass der Rand sehr schön ist, sagen wir C, oder wenn wir vom Rand weg bleiben, gibt es dann ähnliches? Die Perronsche Methode gibt uns eine Lösung zu. in zwei Schritten:. Man setzt u x = F n x y fydy.3 und bekommt für f C L, dass u C C mit u x = fx für x.. Man findet anschließend eine Lösung u C C von { u x = 0 für x, u x = u x für x..4 Die Funktion u = u u ist die Lösung von.. Die Eindeutigkeit folgt dabei aus dem Maximum-Prinzip. 7

122 8 5. September 00 Kapitel, Laplace und Regularität. Regularität und Fundamentallösung Wenn f C0 k R n gilt, dann kann man für w x = F n x y fydy,.5 R n mit F n die Fundamentallösung aus Definition 9., wie folgt verfahren: xi w x = xi F n x y fydy = R n = xi F n x y fydy = yi F n x y fydy = R n R n = F n x y yi fydy. R n Wir haben schon gesehen, dass man eine Ableitung durch das Integralzeichen schieben kann. Der letzte Schritt folgt aus einer partiellen Integration und der Annahme, dass f einen kompakten Träger hat. Wenn nun yi f beschränkt ist, können wir dies wiederholen: xj xi w x = F n x y yi fydy = R n = xj F n x y yi fydy = F n x y yj yi fydy. R n R n So folgt: Lemma. Für f C k 0 R n und w definiert in.5 gilt w C k+ R n. Mit mehr Mühe kann man sogar zeigen, dass für k N und γ 0, gilt: f C k,γ 0 R n w C k+,γ R n. Die Hölder-Stetigkeit der Lösung ist + besser als die Hölder-Stetigkeit der rechten Seite. Für C0 k R n oder C k, 0 R n und Dimensionen n gilt nicht diese + Verbesserung der Differenzierbarkeit: f C k 0 R n w C k+ R n. Wir werden nun ein Beispiel geben wo f C und die Lösung von. nicht zweimal stetig differenzierbar ist. Beispiel. Die Funktion { x x log log x + x für x 0, 0, u x, x = 0 für x = 0, 0, ist eine Lösung von { u x = fx für x Br 0, ux = 0 für x B r 0, mit r = / e und f x, x = 4x x logx +x x +x logx +x für x 0, 0, 0 für x = 0, 0..6

123 . Regularität und Fundamentallösung 5. September 00 9 Die Funktion f ist stetig auf B r 0 denn die rationale Teilfunktion ist beschränkt und der Logarithmus im Nenner sorgt für Konvergenz gegen 0 für x 0, 0. Man kann auch zeigen, dass u C,γ B r 0 für jede γ <. Die Funktion u ist aber nicht zweimal differenzierbar in 0, 0. Die zweite Ableitung von u nach zum Beispiel x ist nicht definiert in 0, 0 und unbeschränkt bei 0, 0: x x u x, x = log log x + x + + x 4 + x 4 x + x log x + x 4x x x + x log x + x Von den drei Termen hat der erste eine Singularität in 0, 0. Die zwei übrigen Terme kann man stetig durch 0 in 0, 0 fortsetzen. Man kann sich noch fragen, ob denn dieses u tatsächlich die einzige Lösung zu.6 ist. Wenn es eine zweite Lösung u hat betrachte man w = u u. Das Maximum-Prinzip oder der Mittelwertsatz hat zwar als Vorraussetzung, dass w C B r 0 CB r 0, doch man kann zeigen, dass w W,p B r 0 CB r 0 mit p groß reicht. Es folgt so, dass w = 0. u x x u x x u u Abbildung.: Skizzen zu den Funktionen aus Beispiel.:

124 0 5. September 00 Kapitel, Laplace und Regularität.3 Regularität und Rand Um den soeben gezeigten Ansatz zu verwenden, müsste man f : R auf k mal stetig differenzierbare Art erweitern können. Lemma.3 Sei f C k [0, R n. Dann gibt es eine Erweiterung f C k R n. Beweis. Man definiere für x < 0 und x R n mit a m bestimmt durch = f x, x = k+ m= k+ m= a m f mx, x Anders gesagt, a m erfüllt 3 m 3 m.... k k 3 k m k m l a m für l {0,,..., k}..7 a a a 3. a k+ = Dieser Typ von Matrix ist nach Vandermonde benannt und bekanntlich invertierbar wenn die zweite Zeile keine gleichen Zahlen enthält. Es gibt also eine eindeutige Lösung a,..., a k+. Wenn die Gleichungen in.7 erfüllt sind, findet man für l + α k, dass Dann folgt, dass l x α x f 0, x = lim x 0 l x α x = = lim k+ x 0 m= k+ m= k+ m= a m f mx, x a m m l l x α x f mx, x = a m m l l x α x f 0, x = l x α x f 0, x. f x, x = { f x, x für x 0, f x, x für x < 0, eine k-mal stetig differenzierbare Funktion ist. Beispiel.4 Die C -Erweiterung von f C [0, wird auf diese Art definiert und a, a werden bestimmt durch fx = a f x + a f x für x < 0 f 0 = lim x 0 fx = a f 0 + a f 0 = a + a f 0, f 0 = lim x 0 f x = a f 0 a f 0 = a a f 0. Man löst = a + a und = a a, und findet a = 3 und a =. =..

125 .3 Regularität und Rand 5. September Π 4 Π 3 Π Π Π Π Π 3 Π 4 Π 5 Π Abbildung.: Die Funktion fx = 9e x + cos x auf [0, und ihre C 0 -, C - und C -Erweiterung auf R. Abbildung. zeigt, dass die Erweiterung bedeutend größer sein kann als die ursprüngliche Funktion. Man kann jedoch zeigen, dass diese Vergrößerung beschränkt ist. Für den Operator E k : C k b [0, Rn C k b Rn, definiert durch { E k f x, x = fx, x für x, x [0, R n, k+ m= a mf mx, x für x, x R R n, mit a m anhängig von k als in.7, kann man folgendes zeigen: Lemma.5 Es gibt C k derart, dass E k f C k b R n C k f C k b [0, R n für alle f C k b [0, R n. Anders gesagt: E k : C k b [0, Rn C k b Rn ist ein beschränkter linearer Operator. Beweis. Weil E k f C k b Rn gilt E k f C k b R n = E k f C k b [0, R n + E k f C k b R R n = k+ f C k b [0, R n + für alle f C k b [0, Rn. m= a m α + α k m α α x x α f { + k + max am m k} f C k m k+ b [0, Rn Proposition.6 Sei R n ein beschränktes Gebiet mit C k. Dann gibt es einen beschränkten linearen Operator E k, : C k C k 0 R n mit E k, fx = fx für x und f C k.

126 5. September 00 Kapitel, Laplace und Regularität Beweis. Wir geben nur eine Skizze. Für gibt es wie in Definition.8 beschrieben, eine Überdeckung des Randes mit Blöcken {B i } l i=. Sei {χ i} l i=0 eine Zerlegung der Eins derart, dass support χ i B i für i =,..., l. Auf jedes dieser Blöcke kann man den Rand in lokalen Koordinaten beschreiben durch x i = ψ i x i,..., x i n und durch x i > ψ i x i,..., x i n. Weil ψ i C k kann man den Rand glatt bügeln durch S i x i, x i,..., x i n = x i ψ i x i,..., x i n, x i,..., x i n, und lokal wird eine Funktion zu einer auf dem Halbraum transformiert durch Formal schreiben wir S i f y, y = f y + ψ i y, y. E k, f = l Si E k Si χ i f i= und die Tatsache, dass diese Definition den gewünschten Erweiterungsoperator liefert, darf der Leser selbst überprüfen. Auch kann man sich davon überzeugen, dass E k, f einen kompakten Träger hat, der nur abhängt von {χ i } l i=. Korollar.7 Sei R n ein beschränktes Gebiet mit C k. Dann gilt für jedes f C k mit k k, dass w C k + für w x = F n x y E k, f y dy. R n Bemerkung.7. Für x gilt wx = E k, f x = f x. Dies bedeutet, dass man eine Lösung von. bekommt, wenn man { u = 0 für x, u = w für x,.8 löst und u = w u nimmt. Weil u C folgt für f und wie in Korollar.7, dass u C k +. Möchte man sogar die Regularität einschließlich des Randes zeigen, kann man für Gebiete, die die äußeren Kugelbedingungen erfüllen, die Funktion u mit Oberlösungen und Unterlösungen annähern und mit Harnackschen Ungleichungen Abschätzungen erzeugen, die dafür sorgen, dass man u C zeigen kann. Für höhere Regularität betrachtet man ein Problem wie.8 nun für xi u usw..4 Lösungen und Abschätzungen In diesem Abschnitt beschreiben wir einige Ergebnisse für Lösungen von { u = f in, u = 0 auf,.9 in verschiedenen Rahmen. Um diese Ergebnisse zu beweisen wäre eine Spezialvorlesung nötig.

127 .4 Lösungen und Abschätzungen 5. September 00 3 Theorem.8 Seien k N und γ 0,. Sei R n ein beschränktes Gebiet mit C k+3. Dann gibt es für jedes f C k,γ genau eine Lösung u C k+,γ zu.9. Außerdem gibt es eine Konstante c,k,γ > 0 derart, dass für jedes f C k,γ und die zugehörige Lösung u gilt: u C k+,γ c,k,γ f C k,γ. Für ein Beweis schaue man nach in [6]. Wir haben in Abschitt 9.. bemerkt aber nicht bewiesen, dass es bei einem beschränkten Gebiet für f L eine schwache Lösung u W, 0 gibt zu.9. Eine schwache Lösung heißt hier: u W, 0 und u v f v dx = 0 für alle v W, 0..0 Der Raum W, 0 wurde in 9.9 definiert. Die Sobolev-Räume W k,p findet man in Abschnitt.5. Theorem.9 Nehmen wir k N und p,. Sei R n ein beschränktes Gebiet mit C k+3. Sei u W, 0 die schwache Lösung vom Type.7. Wenn zusätzlich f W k,p gilt, dann folgt u W k+,p. Außerdem gibt es eine Konstante c,k,p > 0 derart, dass für jedes f W k,p und zugehörige Lösung u W, 0 W k+,p gilt: u W k+,p c,k,p f W k,p. Für einen Beweis schaue man bei [3, Seite 37] für p = oder in [6] für allgemeine p,. Wie verhalten sich diese beide Typen von Lösungen? Eine Richtung der Zusammanhang möge deutlich sein, nämlich dass C k,γ W k,p für beschränkte Gebiete und dass es sogar c,k,γ > 0 gibt mit u W k, c,k,γ u C k,γ für alle u Ck,γ. Kann man auch in die umgekehrte Richtung eine Inklusion erwarten? Manchmal. Die sogenannte Sobolev Einbettungen geben Antwort auf diese Art Fragen. Man braucht innere! Kegelbedingungen für das beschränkte Gebiet R n bei den folgenden Abschätzungen: Wenn k m und k n p > m n q dann gilt u W k,p c,k,p,m,q u W m,q. Wenn k n p > m + γ dann gilt u W k,p c,k,p,m,γ u C m,γ. Wenn man ganz genau wäre, müßte man bei der letzten Abschätzung eigentlich sagen, dass es für jede Äquivalenzklasse U W k, einen Vertreter u C m,γ gibt mit U W k, c,k,p,m,γ u C m,γ. Man kann diese Ergebnisse kombinieren für zum folgenden.

128 4 5. September 00 Kapitel, Laplace und Regularität Korollar.0 Sei R n ein beschränktes Gebiet mit C 3. Dann gibt es für jedes f C genau eine schwache Lösung u W, 0 zu.9. Außerdem gilt u C, und es gibt c > 0 derart, dass für jedes f C und die zugehörige Lösung u gilt: u C c f C. Beweis. Wenn f C, dann gilt f L p für alle p, also auch für p =. Dann gibt es genau eine schwache Lösung in u W, 0 die sogar in W,p liegt für alle p,. Für p > n folgt, dass u C,ε für ε 0, n p. Die Abschätzungen folgen: u C u C,ε c u W,p c f L p c 3 f C. Die Konstanten hängen nur von und n ab. Man kann p = n und ε = 4 wählen. Diese Überlegungen führen dazu, dass man für f C und C 3 nur eine Lösung u W,p C findet, und im Allgemeinen nicht in C. Das bedeutet, dass man eine Gleichung u = f nicht punktweise ux = fx für alle x lesen soll, sondern nur u = f fast überall in.

129 Partielle Differentialgleichungen Kapitel Semilineare Laplace-Gleichungen. Ein erweitertes Maximum-Prinzip In diesem Abschnitt betrachten wir { u x + cxux = fx für x, ux = 0 für x,. mit c C. Theorem. Starkes Maximum-Prinzip Sei c 0. Wenn u W,p C eine Lösung ist von. mit 0 f C und p, dann folgt, dass entweder u > 0 in oder u = f = 0 in. Wir werden diese Aussage in mehreren Schritten beweisen. Das erste Ergebnis ist eine schwächere Version des obigen Theorems. Proposition. Schwaches Maximum-Prinzip Sei c 0. Wenn u W,p C eine Lösung ist von. und 0 f C und p, dann folgt, dass u 0 in. Beweis. Nehmen wir an, dass min u = u x 0 < 0. Weil u stetig ist, gibt es eine Kugel B r x 0 mit ux < 0 für alle x B r x 0. Wir können r sogar so groß wählen, dass es x B r x 0 gibt mit ux = 0. Es folgt auch, dass fx cxux 0 auf B r x 0 und damit, dass u superharmonisch ist auf B r x 0. Wir finden einen Widerspruch zu ux = 0. Also folgt u 0 in. Lemma.3 Sei R n ein beschränktes Gebiet und sei u C eine nichtnegative Funktion. Wenn es x 0, x gibt mit ux 0 > 0 = ux, dann gibt es x 4, x 5 und R > 0 mit. u x 4 = 0 und x 4 B R x 5 ;. u x > 0 für x B R x 5 \ {x 4 }; 5