Die Thetafunktion als Lösung der Wärmeleitungsgleichung

Transkript

1 De Thetafunkton als Lösung der Wärmeletungsglechung Schrftlche Ausarbetung des Vortrages m Januar 26 gehalten m Semnar Ellptsche Funktonen und Modulformen be Prof. Dr. Gamst, Prof. Dr. Hortmann und Prof. Dr. Oeljeklaus vorgelegt von Johannes Jaersch an der Unverstät Bremen m WS 26 1

2 Enletung Dese Ausarbetung faßt zusammen und ergänzt menen Vortrag über de Thetafunkton als Lösung der Wärmeletungsglechung, den ch m Rahmen des AlZAGK-Semnars Ellptsche Funktonen und Modulformen gehalten habe. De Thetafunkton θ(z, τ) = n Z exp (π(n2 τ + 2nz)), welche als Hlfsfunkton zur Konstrukton ellptscher Funktonen zu vorgegebenen Null- und Polstellen verwendet werden kann, wrd sch m Folgenden als ene Fundamentallösung der Wärmeletungsglechung t 2 = auf der Kreslne R/Z herausstellen. Es wrd enletend das physkalsche Modell erläutert, das zur partellen Dfferentalglechung t 2 = als Beschrebung der Wärmeletung n enem homogenen Stoff führt. De Funkton θ(x, 4πt) wrd dann zunächst heurstsch als Lösung hergeletet, anschleßend wrd se als Fundamentallösung nachgewesen: es glt θ(, 4πt) δ als Dstrbuton für t. Mt Hlfe der Fundamentallösung können also Lösungen der homogenen Glechung mt belebger perodscher Anfangsbedngung f C (Wärmevertelung zur Zet t = ) gewonnen werden. Abschleßend wrd mttels der Jacobschen Thetatransformatonsformel en Zusammenhang mt dem Gaußkern K(x, t) = 1 4πt exp [ x2 4t ] hergestellt. 1 Physkalsches Modell der Wärmeletung Zur Modellerung der Wärmeletung stellt man sch Wärme als ncht komprmerbare Flüssgket vor, welche alles durchfleßt. De gemessene Temperatur an enem Punkt x st dabe proportonal zur Menge an Wärmeenerge pro Volumen V um x. En ausglechender Wärmefluß fndet statt n Rchtung ener Regon gerngerer Temperatur, proportonal zur Dfferenz der Temperatur n deser Rchtung. Wärme dffundert, so daß ene glechmäßge Vertelung der Konzentraton von Wärmeenerge pro Volumen errecht wrd. Wr gehen von enem hnschtlch Wärmekapaztät und Wärmeletfähgket homogenen und temperaturunabhänggen Stoff aus. Man stellt fest, daß dese Modellannahmen auch für andere Dffusonsprozesse geegnet snd, we z.b. für de Vermschung zweer Flüssgketen durch Dffuson. Zur mathematschen Formulerung beschrebe u(x, t) de Temperatur am Ort x zur Zet t. Um de Veränderungsgeschwndgket der Wärmeenerge E n ener Regon D anzugeben, zerlegt man D n nfntesmal klene Volumna V. Lokal st nach Modellannahme E u V mt der ortsabhänggen spezfschen Wärmekapaztät σ(x) als Proportonaltätskonstante. Also st E t = σ(x) u t V. Damt ergbt sch de Veränderungsgeschwndgket der Wärmeenerge E n der Regon 2

3 D zur Zet t als t E(t) = σ(x) u(x, t)dx. (1) D t De Veränderung der Wärmeenerge n enem Volumen D wrd nach Modellannahme ausschleßlch durch den ausglechenden Wärmefluß bedngt, welcher durch de Oberfläche S von D n Rchtung gerngerer Temperatur stattfndet. Zur Beschrebung des Wärmeflusses te(t) durch S n D zerlegt man S n nftnesmal klene Flächenstücke A und stattet S mt dem äußeren Normalenenhetsfeld n(x) aus. Dann st der Wärmefluß E t durch A nach D E t u(x, t) A n mt der ortsabhänggen thermschen Wärmeletfähgket K(x) als Proportonaltätskonstante. Zur Orenterung des Wärmeflusses beachtet man, daß be postver Abletung von u(x, t) längs n(x), d.h. be zunehmender Temperatur außerhalb von D, der Wärmefluß ns Innere von D postv beschreben wrd. Damt folgt t E(t) = S K(x) u(x, t)dx = n Mt dem Dvergenzsatz st K(x) u(x, t)ds = (1) und (2) ergeben S,n t E(t) = D S K(x) u(x, t) n(x)dx = D σ(x) t u(x, t)dx = S,n K(x) u(x, t)d S. [K(x) u(x, t)]dx. (2) D [K(x) u(x, t)]dx (3) für belebge Regonen D. Also müssen de Integranden n (3) glech sen. Es folgt σ(x) u(x, t) = [K(x) u(x, t)] (4) t Nmmt man weter an, daß σ(x) = σ und K(x) = K konstant snd und setzt k := K σ, so folgt t u(x, t) = k 2 u(x, t) (5) Es genügt, Lösungen ũ(x, t) für k = 1, d.h. von t 2 = (6) zu betrachten; Lösungen von (5) erhält man durch u(x, t) := ũ(x, 1 k t). 3

4 2 Lösen der Dfferentalglechung t 2 = auf R/Z 2.1 Lösungsansatz mttels Fourerentwcklung Man gewnnt de Thetafunkton als Lösung der Wärmeletungsglechung auf R/Z heurstsch durch Fourerentwcklung. Beschrebe f ene perodsche Anfangsbedngung und se u(x, t) ene perodsche Lösung der Wärmeletungsglechung. Dann muß gelten: u gestatte n x ene Fourerentwcklung. 2 u(x, t) = u(x, t) t x (7) u(x + 1, t) = u(x, t) (8) u(x, ) = f(x). (9) u(x, t) = k Z c k (t) exp [2πkx] (1) (7) und (9) lefern mt (1) c k (t) = 4π2 k 2 c k (t) (11) c k () = f(k) (12) mt dem k-ten Fourerkoeffzenten f(k) von f. Deses Anfangswertproblem wrd gelöst durch c k (t) = f(k) exp [ 4π 2 k 2 t] (13) Mt der Integraldarstellung von f(k) gbt das u(x, t) = k Z = k Z f(y) exp [ 2πky] exp [ 4π 2 k 2 t] exp [2πkx]dy (14) f(y) exp [2πk(x y)] exp [πk 2 (4πt)]dy (15) Nach Defnton der Thetafunkton θ(z, τ) = n Z exp (π(n2 τ + 2nz)) für I(τ) >, z C folgt aus (15) für t > 2.2 θ(x, 4πt) st reellwertg u(x, t) = Man verfzert, daß θ(x, 4πt) R. Denn es st f(y)θ(x y, 4πt)dy (16) = [f θ(, 4πt)](x). (17) θ(x, 4πt) = exp [ 4π 2 k 2 t] exp [2πkx] }{{}}{{} k Z R C (18) 4

5 Mt der Eulerschen Formel also θ(x, 4πt) = k> exp [ 4π 2 k 2 t]cos[2πkx] R (19) 2.3 Nachwes von θ(x, 4πt) als Fundamentallösung Man rechnet nach, daß θ(x, 4πt) für t > de Dfferentalglechung t 2 = löst. Denn es st: t θ(x, 4πt) = 2 4π 2 k 2 exp [ 4π 2 k 2 t]cos[2πkx] = θ(x, 4πt). (2) x2 k> Zur normalen Konvergenz der gledwese dfferenzerten Abletung der Thetafunkton n (2) bemerkt man, daß 2 4π 2 k 2 exp [ 4π 2 k 2 t] cos [2πkx] k> 2 k> 4π 2 k 2 q k2 < mt q = exp [ 4π 2 t] < 1. Damt löst auch [f θ(, 4πt)](x) de Wärmeletungsglechung für t >, denn aufgrund der domnerten Konvergenz kann unter dem Integral dfferenzert werden. Zum Nachwes der Randbedngung zegt man θ(, 4πt) t δ n der Topologe der Dstrbutonen. Damt folgt t f(x y)θ(y, 4πt)dy f(x) für f C mt Perode 1. Betrachte dazu für ene belebge perodsche Testfunkton φ: φ(x)θ(x, 4πt)dx (21) φ bestzt ene absolut und glechmäßg konvergente Darstellung als Fourerrehe: φ(x) = m Z a m exp [2πmx] (22) Damt folgt = = m,n Z φ(x)θ(x, 4πt)dx (23) m,n Z a m exp [ 4π 2 n 2 t] exp [2π(n + m)x]dx (24) a m exp [ 4π 2 n 2 t] exp [2π(n + m)x]dx } {{ } für n+m (25) = n Z a n exp [ 4π 2 n 2 t] (26) t φ() (27) 5

6 wegen n Z a n = φ() und der glechmäßgen Konvergenz von n Z a n exp [ 4π 2 n 2 t] auf R +. Das zegt θ(, 4πt) t δ und damt glt lm[f θ(, 4πt)](x) t = lm t = lm t =δ( f) = f() =f(x) f(x y)θ(y, 4πt)dy f(y)θ(y, 4πt)dy mt f(y) = f(x y) 3 Jacobsche Thetatransformatonsformel Lemma Jede n enem Parallelstrefen D = {z = x + y C : a < y < b}, a < b analytsche Funkton f mt Perode 1 läßt sch n ene normal konvergente Fourerrehe f(z) = n Z a n exp [2πnz] entwckeln. Dabe snd de Fourerkoeffzenten gegeben durch a n = f(z) exp [ 2πnz]dx mt I(z) (a, b) belebg. Bewes. Man zegt zunächst, daß es ene analytsche Abbldung g : R C gbt, so daß f(z) = g(exp [2πz]) glt, wobe R = {z C : exp [ 2π] < z < exp [ 2πa]} das Rnggebet bezechne, welches das Bld von D unter der Abbldung q : z exp [2πz] st. Man defnert g(q(z)) := f(z). Das st wohldefnert, denn es st q(z) = q(z ) genau dann, wenn z z Z und dann st f(z) = f(z ). Zum Nachwes, daß g analytsch st, stellt man fest, daß de Abbldung q lokal konform st, also auch hre Umkehrabbldung analytsch st. Wegen q lefert nämlch der reelle Umkehrsatz zunächst, daß q als Abbldung von R 2 C lokal en C Dffeomorphsmus st. Da de Menge der nverterbaren C lnearen Abbldungen ene Gruppe bldet, st de Abletung der Umkehrabbldung komplex lnear, de Umkehrabbldung also analytsch. Damt st g lokal als Kompostum analytscher Abbldungen gegeben, also selbst analytsch. Es läßt sch de auf dem Kresrng R analytsche Abbldung g n ene normal konvergente Laurentrehe entwckeln, nämlch: g(z) = n Z a n z n (28) 6

7 mt a n = 1 2π = = = ζ =exp [ 2πy],y (a;b) g(ζ) dζ (29) ζn+1 g(exp [2πz]) exp [2πz] exp [2πz] n+1 dx (3) g(exp [2πz]) dx (31) exp [2πnz] f(z) exp [ 2πnz]dx (32) durch de Substtuton ζ = exp [2πz] mt z = x + y, y (a; b). Lemma exp [πzu 2 ]du = 1 z, z H Bewes. Zege zunächst, daß z exp [πzu2 ]du und z z 1 n H analytsch snd. Für z exp [πzu2 ]du genügt es zu zegen, daß für jedes a > de Funkton z exp [πzu 2 ] auf {z C : I(z) > a} ene ntegrerbare Majorante bestzt. Dese st exp [πau 2 ]. De Funkton z z mt z := exp [ 1 2 log z ], welche über den Hauptzweg des Logarthmus defnert wrd, st analytsch für z H. Man zegt de Glechhet der Funktonen für z = y, y >. Mt dem Identtätssatz folgt dann de Glechhet der analytschen Funktonen auf dem Gebet H. Es st mt der Substtuton u π y = v äquvalent zu 1 y 1 π exp [ πyu 2 ]du = y 1 (33) exp [ v 2 ]dv = y 1. (34) Dese Glechhet aber folgt aus dem Wert des Gaußntegrals exp [ v2 ]dv = π. Theorem (Jacobsche Thetatransformatonsformel). θ(w, 1 z ) = z exp [πz(n + w) 2 ] n Z w C, z H 7

8 Bewes. Se z H. Betrachte f(w) := n Z exp [πz(n + w)2 ], w C. Zum Nachwes der normalen Konvergenz varere w n enem Kompaktum K. Es glt: R(πz(n + w) 2 ) = π(n 2 I(z) + 2nI(zw) + I(zw 2 )) = πi(z)n 2 (1 + 2 n I(zw) + I(zw2 ) n 2 ) Wegen der Beschränkthet von w K folgt R(πz(n + w) 2 ) < πi(z) n2 2 für fast alle n Z. Also st n Z exp [πz(n + w)2 ] m wesentlchen beschränkt durch n Z qn2 < mt q := exp [ 1 2I(z)π] < 1. Daher st de Rehendarstellung von f normal konvergent, f also analytsch. Aufgrund von f(w + 1) = n Z exp [πz((n + 1) + w)2 ] = f(w) hat f de Perode 1 und bestzt nach Lemma ene normal konvergente Fourerentwcklung f(w) = n Z a n exp [2πnw] (35) mt a n = f(w) exp [ 2πnw]du, w = u + v, v R belebg. (36) a n = exp [πz(n + w) 2 2πnw]du (37) n Z Vertauschung von Integraton und Summaton sowe de Substtuton u + n = u lefern a n = n Z n+1 wegen der Perodztät der Exponentalfunkton. a n = n exp [πzw 2 2πnw]du (38) exp [πzw 2 2πnw]du (39) Quadratsche Ergänzung zw 2 2nw = z(w n z )2 n2 z gbt a n = exp [ π n2 z ] exp [πz(w n z )2 ]du (4) Wähle nun v so, daß w n z R, also w n z Substtuton u u k lefert dann = u + k R für en k R. Ene wetere a n = exp [ π n2 z ] exp [πzu 2 ]du (41) 8

9 Mt Lemma st dann und damt f(w) = n Z a n = exp [ π n2 z z ] exp [πn 2 ( 1 z )] z 1 (42) 1 exp [2πnw] (43) = θ(w, 1 z ) z 1 (44) 3.2 Zusammenhang zwschen θ(x, 4πt) und dem Gaußkern K(x, t) = 1 4πt exp [ x2 ] 4t Proposton Für f C mt Perode 1 st [f θ(, 4πt)](x) = [f K(, t)](x), x R, t >. Bewes. Mttels der Thetatransformatonsformel (setze w = y und z = man fest: Damt folgt 4πt ) stellt θ(y, 4πt) (45) = 1 exp [π 4πt 4πt (n + y)2 ] (46) n Z = 1 4πt n Z exp [ (n + y)2 ] (47) 4t [f θ(, 4πt)](x) (48) = f(x y)θ(y, 4πt)dy (49) Mt der Substtuton n + y = v und der Perodztät von f ergbt sch : = 1 4πt n Z = 1 4πt n+1 n f(x v + n) exp [ v2 ]dv (5) 4t f(x v) exp [ v2 ]dv (51) 4t = [f K(, t)](x) (52) 9

10 Lteratur [1] R. Busam, E. Fretag: Funktonentheore. Sprnger, Berln etc.,1993 [2] G. B. Folland Fourer analyss and ts applcatons. The Wadsworth Brooks / Cole mathematcs seres, 1992 [3] G. B. Folland: Introducton to partal dfferental equatons. Prnceton Unversty Press, Prnceton, New Jersey, 1995 [4] D. Mumford: Tata Lectures on Theta I. Brkhäuser, Boston etc