Die Geometrie des Universums. Max Camenzind Senioren Uni

Transkript

1 Die Geometrie des Universums Max Camenzind Senioren Uni

2 Mike Turner 2009

3 Wie stellen Sie sich unser Universum vor? Wie groß? Wie alt? Struktur? Antike Vorstellung Van Gogh 1889 Einstein 1917 Das Moderne Universum

4 Unsere Themen Der Blick ins Universum bestimmt das Weltmodell Galaxien als Bausteine sichtbaren Universums & CMB bestätigen das Kosmologische Prinzip. 1915: Ohne Einstein kein modernes Universum Gravitation ist Raumkrümmung. Wie konstruiere ich ein Universum? expandierende Kosmische Sphären. Das Universum ist nicht statisch, expandiert Alexander Friedmann 1922, G. Lemaître In jedem expandierenden Universum gilt das Hubble-Gesetz, jedoch nur für z < 0,1!

5 Raum und Zeit bilden eine Einheit Der Mensch ist ein 4-dimensionales Wesen (ct,x,y,z) : Ereignis

6 Ohne Gravitation Welt 4-dimensional und flach Hermann Minkowski 1908 Abstand zwischen Ereignissen: (kartesisch oder Kugelkoordinaten) ds 2 c 2 d 2 c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 ds 2 c 2 dt 2 dr 2 r 2 d 2 r 2 sin 2 d 2

7 Kausale Struktur der RaumZeit Zeitartig Lichtartig, Null Raumartig In jedem Ereignis ist ein Lichtkegel definiert. 3-Raum Beobachtungen sind nur längs Lichtkegel möglich!

8 Einstein revolutioniert die Physik 1915 zeigt Albert Einstein Mit Gravitation wird die Geometrie des Minkowski-Raumes verallgemeinert. Allgemeine Relativitätstheorie (ART) Gravitation ist keine Kraft - Gravitation ist Raumkrümmung Albert Einstein

9 Massen krümmen Raum Auch die Erde krümmt den Raum gemessen mit Gravity Probe B

10 Gravitation RaumZeit = Riemann lokal Minkowski ds 2 n g dx i dx j ij i, j 0 Ein Riemannscher Raum ist eine Punktmenge, auf der man messen kann. Einstein: ein Punkt (t,x,y,z) = Ereignis, n=4. g ij ist der Metrische Tensor (symm. Tensor 2. Stufe) : 10 Funktionen für den 4-dimensionalen Raum n = 4 S² Vorschrift, den Abstand zwischen zwei Punkten zu berechnen. Aus metrischem Tensor folgen Riemann und Ricci Tensoren. Der metrische Tensor bestimmt auch die Geodäten (Trajektorien der frei fallenden Körper) mittels Christoffel-Symbole.

11 Geometrie der Kugelflächen S² rd Sphäre mit Radius r Winkel df (Rektaszension) Großkreise Winkel (Deklination) r sin( ) df Nach Pythagoras: ds² = r² d ² + r²sin² df² ds² = g 11 d ² + g 22 df² g 11 = r², g 22 = r²sin²

12 Die Sphäre S² ist eine 2-dimensionale Riemann-Mannigfaltigkeit sie kann durch 2-dimensionale Karten dargestellt. Winkelsumme im Dreieck > 180 Grad.

13 Krümmung der RaumZeit 1915 R ik 1 2 Rg ik g ik (8 G / c 4 ) T ik Krümmung Kosmol. Konstante Materie R ik Ricci Tensor mit Spur R = R m m: folgt aus Riemann Tensor Albert Einstein 1915: Jede Form der Materie erzeugt Krümmung R (auch Photonen, Felder, Vakuum-Energie?)

14 Bestätigung im Sonnensystem Gravitative Rotverschiebung (30% bei NS). Lichtablenkung an Sonne und Jupiter. Periheldrehung der Planeten, insbesondere von Merkur: 43`` pro Jahrhundert. Shapiro-Laufzeitverzögerung. Diese Effekte treten verstärkt auch bei Binär-Pulsaren auf. Binär-Pulsare zeigen, dass Gravitationswellen existieren (gibt es in Newtonscher Physik nicht).

15 Albert Einstein Deutsch Allgemeine Relativität (1915); Statisches, geschl. Universum (1917) W. de Sitter Holländer Vakuum-Energiegefülltes expand. Universum de Sitter (1917) A. Friedmann Russe H.P. Robertson Amerikaner G. Lemaître Belgier A.G. Walker Britisch Allgemeine Herleitung der Metrik eines isotropen und homogenen Universums in ART Robertson-Walker Metrik (1935-6) Väter des Modernen Universums Entwicklung eines homogenen, expandierenden Universums Friedmann Modelle (1922/1924) Ur-Atom 1927 / 1931 hat den Big Bang erfunden

16 Weder Erde noch Sonne im Zentrum des Universums! Kosmologisches Prinzip (Milne 1933) 1. Wir befinden uns an keiner ausgezeichneten Position des Universums ( kein Zentrum). 2. Das Universum ist isotrop. Erst von nachgewiesen!

17 Isotropie der Galaxienverteilung auf Sphären SDSS DR7 600 Mpc 420 Mpc Jeder Punkt ist eine Galaxie

18 Isotropie der CMB-Strahlung

19 ???? Isotropie der Photosphäre Penzias & Wilson 1965 COBE (NASA) BOOMERanG, Maxima 1998 WMAP (NASA) Planck (ESA)

20 COBE 1993 T-Anisotropien 2006 Temperaturschwankungen DT = 30 µk in der Hintergrundstrahlung, auf Skalen > 7 Grad, aufgenommen durch COBE (Mission )

21 WMAP Photosphäre isotrop Auflösung 14 reicht nicht ; Mpc X DT 5 10 T Rot: wärmer Blau: kühler DT < micro-kelvin um <T> = 2,725 Kelvin

22 Konstruktion des Universums Fortsetzung des antiken Modells! Jeder Beobachter sieht einen andern Teil Kuiper-Gürtel Planeten-Sphären Fixstern- Sphären Galaxien- Sphären Photo- Sphäre

23 Wir sind scheinbar im Zentrum des Universums r = 0 Jede Kugel- Schale: r = const Dr = 100 Mpc Big Bang Kosmische Sphären Galaxien- Sphären Photosphäre des Universums 3000 K 2,725 K Kugelschalen expandieren mit der Zeit r a(t) r

24 r = 0 Modernes Universum Kosmische Sphären je tiefer umso jünger Photosphäre Universum CMB 1965 Strahlungs-Sphäre? a 0 Alter des Universums in Mrd. Jahren

25 Welche Geometrie hat Kosmos? Wie sieht der Raum aus ds 2? Aus Kosmologischen Prinzip (Isotropie um jeden Punkt) räumliche Krümmung überall konstant. Nur 3 Möglichkeiten: 3-Sattel negative Krümmung: K < 0 3-Sphäre positive Krümmung: K > 0 Flacher E 3 keine Krümmung: K = 0

26 Die Geometrie des Universums Abstand der Kugelschalen Kugelschalen mit Radius a(t)r Räumliche Krümmung {+1,0,-1} r,,f sind co-moving Koordinaten ( Labels für Galaxien). t: ausgezeichnete kosmische Zeit (gemessen von Atomuhren im Zentrum von Galaxienhaufen Virgo, Coma, ). dx = a(t) dr : Distanzen gestreckt (isotrope Expansion). a(t) ist eine Funktion der Zeit und r bleibt konstant. a(t) ist als Skalenfaktor des Universums bekannt und mißt die universelle Expansionsrate des Universums. a(t 0 ) = 1 normiert, wobei t 0 die heutige Zeit (Alter d. Univ.).

27 FLRW Geometrie des Universums Einstein-de-Sitter Lemaître Ansatz

28 Das Friedmann-Universum erklärt Dieses Friedmann-Modell des expandierenden Universums erklärt folgendes: 1. wie Photonen im Universum propagieren globale Lichtkegelstruktur; 2. die kosmische Rotverschiebung z; 3. das Hubble-Gesetz und seine nichtlineare Erweiterung für z > 0,1; 4. Distanzen im Universum als Func(z); 5. Winkeldurchmesser als Func(z). 6. Alter des Universums als Func(z).

29 1. Lichtausbreitung: längs Null-Geodäten Wie propagieren Photonen im expandierenden Universum? Betrachte Photon emittiert bei (r e ) längs einer Linie mit konst Länge und Breite (d = 0 = df). Die Trajektorie ist eine Null-Geodäte (Eigenzeit = 0): c d c dt R ( t) dr 0 k = 0 2

30 Lichtausbreitung unter Expansion Bewegungsgleichung eines Photons (a = R): c 2 dt 2 r( t) R t 0 2 ( t) dr cdt R( t) 2 Comoving distance = mitbewegte Distanz nimmt ab.

31 2. Kosmologische Rotverschiebung

32 Da rechte Seiten identisch X X Der erste Term hebt sich gegen letzten weg Wellenlängen werden durch die Expansion gestreckt!

33 Kosmische Rotverschiebung = Expansion des Raumes Universum war früher kleiner / Lemaître 1927 Zeit Zei t e Zeit t 0

34 Kosmische Sphären werden durch z nummeriert Rotverschiebung z Interessant ist es, Verteilung für z > 1 zu bestimmen! Mrd. von Galaxien Lichtlaufzeit in Mrd. Jahren Wir sind hier

35 Strukturen wachsen durch Selbstgravitation

36 Herleitung des Hubble-Gesetzes Quasar 3C 273 Pfeile geben an, um wieviel die Emissionslinie nach rot verschoben ist. z = (l B l 0 )/l 0 Frage: Rotverschiebung z = 0,158 welche Distanz D?

37 = Hubble-Gesetz & Bedeutung H 0

38 Was ist wahr? Was ist falsch? Falsch: Hubble hat die Expansion des Raumes 1929 gefunden. Hubble hat nur die Rotverschiebungen von Vesto Slipher, die er nicht mal zitierte, mit seinen Cepheiden-Distanzen von Galaxien zufällig korreliert! Hubble glaubte nie an die Expansion des Raumes. Wahr: Lemaître hat die Expansion des Raumes theoretisch 1927 postuliert und daraus den Ursprung der kosmischen Rotverschiebung von Galaxien erklärt, sowie das Hubble-Gesetz theoretisch hergeleitet und empirisch untermauert. Das war absolut genial! De Sitter hat dies verpasst Vorschlag: E-ELT als Lemaître-Telescope

39 Wer war Georges Lemaître? *1894 in Belgien / 1920 / 1927 / 1933 / 1951

40 Homogeneous Universe of Constant Mass and Increasing Radius k=1 G. Lemaître 1927 / übersetzt in MNRAS 1931 According to the theory of relativity, a homogeneous universe may exist, ; There is no centre of gravity. Space is elliptic, i.e. of uniform positive curvature 1/R². Metrik Ansatz: ds² = c²dt² - R²(t)ds² (1) The volume of space has a finite value ²R³. When a light source is near enough, we have the approximate formula ( heute: Hubble-Gesetz ) (23) cz = (R /R) r z + 1 = dt 0 /dt 1 = R 0 /R 1 where r is the distance of the source. Obs Emission

41 David L. Block 2012: Hubble-Konstante in der Übersetzung 1931 unterschlagen.

42 Lemaître 1931: The Beginning of the World from the Point of View of Quantum Theory SIR ARTHUR EDDINGTON 1 states that, philosophically, the notion of a beginning of the present order of Nature is repugnant to him. I would rather be inclined to think that the present state of quantum theory suggests a beginning of the world very different from the present order of Nature. Thermodynamical principles from the point of view of quantum theory may be stated as follows: (1) Energy of constant total amount is distributed in discrete quanta. (2) The number of distinct quanta is ever increasing. If we go back in the course of time we must find fewer and fewer quanta, until we find all the energy of the universe packed in a few or even in a unique quantum. Uratom

43 Georges Lemaître am CalTech erklärt im Januar 1933 AE den Big Bang Als der lange Vortrag seines Gegenübers endete, erhob sich der Mann mit dem struppigen Haar und dem grauen Anzug (Albert Einstein) feierlich und klatschte in die Hände. "Das ist die wundervollste und befriedigendste Erklärung der Entstehung der Welt, die ich je gehört habe", sagte er zu seinem Gegenüber. Schwer zu sagen, was erstaunlicher war: dass der Applaudierende kein geringerer war als Albert Einstein. Oder, dass der berühmte Physiker einem Mann gratulierte, der einen Priesterkragen trug. Der Belgier erhielt dieses Kompliment von niemand Geringerem als Albert Einstein. Es war der Beginn einer Wissenschaftsrevolution. Das Universum entstand im Bruchteil einer Sekunde aus einem winzigen Uratom.

44 Hubble-Gesetz mit Supernovae H 0 ist die Hubble Konstante, H 0 = 63 +/- 10 km/s/mpc Calán/Tololo Daten

45 Hubble-Gesetz ist global falsch Camenzind 2011

46 Lichtkegel im statischen Universum Zeitartige Weltlinie Raumartige Weltlinie

47 Lichtkegel in der Gödel RaumZeit

48 Mit der Zeit ist ein immer größerer Bereich überblickbar Die Hubble-Sphäre R H = c/h(t) Einstein-de-Sitter a(t) ~ t 2/3 R H = 3ct/2 Unsere Weltlinie Rückwärts- Lichtkegel birnenförmig wächst mit der Zeit Heute Das ganze Universum

49 Lichtkegel ist birnenförmig

50 Beobachtbares Universum füllt den Lichtkegel

51 Materieverteilung im Rückwärtslichtkegel Rotverschiebung z Quasar Sphäre BOSS Survey Rückblickzeit in Mrd. Jahren Computer Simulation Äquatorebene d = 0 Strukturen werden immer jünger, je weiter entfernt.

52 HS wird entleert

53 Die Hubble-Sphäre c/h(t) ~ const ist der kosmische Horizont in LCDM Bereich jenseits nie beobachtbar Zeit in Mrd. Jahren Nie beobachtbar Horizont LCDM Hubble-Sphäre R H = c/h(t) Unsere Weltlinie Rückwärts- Lichtkegel Heute Distanz in Mrd. LJ

54 LCDM Ereignishorizont & Teilchenhorizont Beobachter Der Rückwärts-Lichtkegel ist birnenförmig (light cone). Teilchenhorizont (particle horizon) markiert die max. Distanz, die Photonen von t=0 bis zu einer Zeit t zurücklegen können. Ereignishorizont (event horizon): Wieviel vom Universum kann ich überblicken, wenn ich unendlich lange warte? Alle Galaxien werden aus dem Ereignishorizont entschwinden!

55 Beobachtbares Universum endlich Unser Platz Q Rotverschiebung z

56 Big Bang t = 0: Rand des Universums Strahlungssphäre: Photon-dominiertes neutrales Plasma 1 e - auf 2 Mrd. Phot..... Photosphäre Universum 2,725 K LJ... Temperatur nimmt zu T K...

57 löst Olbers Paradoxon Warum ist der Nachthimmel dunkel? Nur 100 Mrd. Galaxien sichtbar!

58 Fazit: Expansion in jedem expandierenden Universum tritt die kosmische Rotverschiebung auf 1+z = 1/a Maß für die Expansion; Wellenlängen werden durch die Expansion gestreckt: l Beob = l em (1+z); kosmische Rotverschiebung ist kein Dopplereffekt (Lemaître 1927); in jedem expandierenden Universum ist Hubble-Relation cz = H 0 d erfüllt, z<0,1 beobachtbares Universum endlich!