Vielteilchentheorie. Skript zur gleichnamigen Vorlesung Sommersemester 2008, Universität Hamburg

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1 Vielteilchentheorie Skript zur gleichnamigen Vorlesung Sommersemester 2008, Universität Hamburg Prof. Dr. Michael Potthoff Hamburg,

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3 Inhaltsverzeichnis Quantenstatistik 9. Prinzipien der Quantenmechanik Quantenmechanisches N-Teilchen-System Gemischter Zustand, Dichteoperator Shannon-Information Großkanonische Gesamtheit Zweite Quantisierung Systeme identischer Teilchen Hilbert-Raum der physikalischen Zustände (Anti-)symmetrisierte Produktzustände Besetzungszahldarstellung Erzeuger und Vernichter Darstellung von Observablen Spezielle Observablen Unitäre Transformationen Unterscheidbare Teilchen Feldoperatoren Quantisierung der Schrödinger-Gleichung Ideale Quanten-Gase und Mean-Field-Theorie 5 3. Ideales Fermi- und Bose-Gas Ideales Gas aus Quasiteilchen Response-Größen und Korrelationsfunktionen Verallgemeinerters Ritzsches Prinzip Wick-Theorem Mean-Field-Theorie Wechselwirkende Viel-Elektronen-Systeme 8 4. Gittermodelle Hubbard-Modell Grenzfälle und Phasendiagramm Symmetrien

4 4 INHALTSVERZEICHNIS 4.5 Anderson-Modelle Mehrband-Modelle Effektive Niederenergie-Modelle Heisenberg- und t-j-modell Kondo-Modell Kondo-Gitter-Modell Green-Funktionen 5. Spektroskopien Spektraldichte Linear-Response-Theorie Frequenzabhängige Green-Funktion Retardierte und avancierte Green-Funktion Linear Response, statischer Limes Bewegungsgleichung Selbstenergie und Dyson-Gleichung Einfache Anwendungen Atomares Hubbard-Modell Hubbard-I-Näherung und Mott-Isolator

5 Vielteilchentheorie geplanter Inhalt: Quantenmechanik, Quantenstatistik Zweite Quantisierung Ideale Quanten-Gase und Mean-Field-Theorie Wechselwirkende Viel-Elektronen-Systeme Effektive Niederenergie-Modelle Spontane Symmetriebrechung Anregungen von Viel-Teilchen-Systemen Green-Funktionen Diagrammatische Störungstheorie Funktionaltheoretische Methoden Dynamische Mean-Field-Theorie Korrelationsinduzierter (Mott) Isolator mögliche weitere Themen: Pfadintegrale Magnetische Ordnung Supraleitung Numerische Verfahren Dichte-Funktional-Theorie Quanten-Cluster-Theorien Unordnung

6 Literaturauswahl umfassend, einführend: W. Nolting: Grundkurs Theoretische Physik, Band 7 (Vieweg) E.K.U. Gross, E. Runge: Veilteilchentheorie (Teubner) A. L. Fetter, J. D. Walecka: Quantum Theory of Many-Particle Systems (McGraw-Hill) G. D. Mahan: Many-Particle Physics (Plenum) spezielle Themen: P. Nozières, D. Pines: The Theory of Quantum Liquids (Addison-Wesley) E. H. Lieb, D. C. Mattis: Mathematical Physics in One Dimension (Academic) F. Gebhard: The Mott Metal-Insulator Transition (Springer) A. C. Hewson: The Kondo Problem to Heavy Fermions (Cambridge University Press) H. E. Stanley: Phase Transitions and Critical Phenomena (Academic) W. Nolting: Quantentheorie des Magnetismus I, II (Teubner) G. Czycholl: Theoretische Festkörperphysik (Vieweg) spezielle Methoden: A. A. Abrikosow and L. P. Gorkov and I. E. Dzyaloshinski: Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics (Prentice-Hall) R. M. Dreizler and E. K. U. Gross: Density Functional Theory (Springer) J. W. Negele, H. Orland: Quantum Many-Particle Systems (Addison-Wesley) H. Eschrig: The Fundamentals of Density Functional Theory (Teubner)

7 Viel-Teilchen-Theorie: Motivation reale Systeme sind meist als quantenmechanische Viel-Teilchen-Systeme aufzufassen (z.b. Atomkerne, Atome, Moleküle, Nanostrukturen, Mesoskopische Systeme, Festkörper) meist Systeme mit (starker) Wechselwirkung Beschreibung von Vielteilchensystemen daher i.allg. nicht reduzierbar auf Ein-Teilchen-Konzepte Bild unabhängiger Teilchen nicht haltbar Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen erzwingt (Anti-)Symmetrisierung der Viel-Teilchen-Wellenfunktion Ψ(r, σ, r 2, σ 2,...) Formalismus der zweiten Quantisierung (Erzeuger, Vernichter) Viel-Teilchen-Wellenfunktion von 0 23 Teilchen uninteressant neue Basisgrößen, z.b. Erwartungswerte, Korrelationsfunktionen, Green- Funktionen, zu diskutieren Ein-Teilchen-Problem (H Ψ = E Ψ ) im wesentlichen lösbar (ggfs. numerisch), Viel-Teilchen-Problem i.allg. nicht exakt lösbar neue Methodik erforderlich (Mean-Field-Ansätze, Feynman-Diagramme, QMC, Pfadintegral, Funktionaltheoretische Methoden, etc.) qualitativ neue Phänomene: Fermiflüssigkeiten, Luttinger-Flüssigkeiten, Schwerfermionenverhalten, Kondo- Effekt, Bose-Einstein-Kondensation, Supraleitung, kollektiver Magnetismus, Mott-Isolatoren, (Quanten-)Phasenübergänge, etc.

8 8 INHALTSVERZEICHNIS

9 Kapitel Quantenstatistik. Prinzipien der Quantenmechanik Zustand bzw. Ψ H mit Ψ Ψ = Ψ Ψ Zustandsraum: { Ψ } = H (Projektor) Hilbert-Raum Observable: hermitesche Operatoren auf H: A = A mögliche Messwerte: Eigenwerte a r von A A a r, γ = a r a r, γ (γ =,..., g r, g r : Entartung von a r ) a r, γ Eigenzustand von A zum Eigenwert a r QM: keine sichere Vorhersage einzelner Messungen prinzipielle Unvorhersagbarkeit, auch bei vollständiger Präparation eines reinen Zustands Ψ objektive WK Quantenstatistik: gemischte Zustände mit weiteren ( subjektiven ) WK 9

10 0 KAPITEL. QUANTENSTATISTIK Messung von A am System im Zustand Ψ liefert a r mit WK P(a r ) = a r Ψ 2 = Ψ a r a r Ψ = Π(a r ) Ψ Π(a r ): Projektor auf den Unterraum zum Eigenwert a r bei Entartung von a r : P(a r ) = γ a r, γ Ψ 2 = Ψ g r γ= Systemzustand nach der Messung (mit Resultat a r ): Π(a r ) Ψ a r, γ a r, γ Ψ = Π(a r ) Ψ Kollaps, akausale Entwicklung Präparation eines reinen Zustands Ψ. Messung eines vollständigen Satzes kommutierender Observabler a r, b s,... = Π(a r )Π(b s ) Ψ Erwartungswert von A bei Messung im Zustand Ψ: A Ψ = r P(a r )a r = r,γ a r, γ Ψ 2 a r = Ψ a r, γ a r a r, γ Ψ = Ψ A Ψ r,γ zeitliche Entwicklung des Zustands: Ψ = Ψ(t) Anfangsbedingung: Ψ(t 0 ) = Ψ 0 Dynamik: Hamilton-Operator H = H(q, p) klassische Hamilton-Fkt. aber [q, p] = i Bewegungsgleichung i d Ψ(t) = H Ψ(t) dt Schrödinger-Gleichung formale Lösung: Ψ(t) = exp ( i ) H(t t 0) Ψ(t 0 ) = U(t t 0 ) Ψ(t 0 ) mit Zeitentwicklungsoperator U (H nicht explizit zeitabhängig) Zeitabhängigkeit eines Erwartungswerts: A t = Ψ(t) A Ψ(t) Schrödinger-Bild

11 .2. QUANTENMECHANISCHES N-TEILCHEN-SYSTEM = Ψ(0) e i Ht Ae i Ht Ψ(0) = Ψ(0) A(t) Ψ(0) Heisenberg-Bild mit: A(t) e i Ht Ae i Ht Schrödinger-Bild: A = A(q, p) Operatoren zeitunabhängig Ψ(t) Zustände zeitabhängig Schrödinger-Gleichung Heisenberg-Bild Operatoren zeitabhängig Heisenberg-Gleichung Zustände Ψ zeitunabhängig Heisenberg-Gleichung (A nicht explizit zeitabhängig): i d dt A(t) = i d dt ( e i Ht Ae i Ht) = [A, H](t) Erhaltungsgrößen: [A, H] = 0 Energieerhaltung: [H, H] = 0 A = const. H = const..2 Quantenmechanisches N-Teilchen-System Ein-Teilchen-Hilbert-Raum: H ONB von H : { φ α } φ α φ β = δ αβ (Orthonormierung) φ α φ α = (Vollständigkeit) α α: diskreter Index! (konzeptionell: Teilchen in einer (makroskopischen) Box vermeidet formale Schwierigkeiten bei überabzählbaren Basis) Ein-Teilchen-Hilbert-Raum des i-ten Teilchens: H (i)

12 2 KAPITEL. QUANTENSTATISTIK ONB von H (i) : { φ (i) α } N-Teilchen-Hilbert-Raum: H N = H () H (2) H (N) (Tensorprodukt) ONB von H N : { φ () α φ (2) α 2 φ (N) α N } Index oben: Teilchen Produktzustände Index unten: vollständiger Satz von Quantenzahlen es folgt: dim H N = N i= dim H (i) = (dim H ) N falls H endlichdimensional bzw. dim H (i) = dim H beachte: Definition von H N nur für unterscheidbare Teilchen (s.u.) Orthogonalität: φ () α φ (2) α 2 φ (N) α N φ () β φ (2) β 2 φ (N) β N = φ () α φ () β φ (N) α N φ (N) β N = δ α β δ αn β N Vollständigkeit: α,...,α N φ () α φ (N) α N φ () α φ (N) α N = Bestimmung eines Energie-Eigenzustands: Darstellung des Hamilton-Operators H in ONB H = φ () α φ (N) α N φ () α φ (N) α N H φ () β φ (N) β N φ () β φ (N) β N α,...,α N,β,...,β N mit r = (α,..., α N ), s = (β,..., β N ) ist: H = H rs r s rs

13 .2. QUANTENMECHANISCHES N-TEILCHEN-SYSTEM 3 Eigenwerte/-zustände von H Eigenwerte/-zustände der Matrix H rs H rs = r H s Matrixdimension: N dim H (i) = (dim H ) N (bei gleichen Dimensionen) i= für Diagonalisierung von Matrizen Matrixdimension 3, also: Aufwand (dim H ) 3N Aufwand e N Bestimmung der Grundzustandsenergie mit Hilfe des Ritzschen Prinzips: mit E 0 = min Ψ H Ψ Ψ Ψ Ψ = c α,...,α N φ () α φ (N) α N α,...,α N c α,...,α N Variationsparameter, Anzahl e N Minimierung der Funktion E 0 ({c α,...,α N }): Aufwand e N gegeben N-Teilchen-Zustand Ψ = c α,...,α N φ () α φ (N) α N α,...,α N Berechnung des Erwartungswerte einer Observablen A: Ψ A Ψ = c α,...,α N c β,...,β N φ () α φ (N) α N A φ () β φ (N) α,...,α N,β,...,β N 2N-fache Summe mit jeweils dim H Termen e N Summanden Aufwand e N Operieren mit N-Teilchen-Zuständen: Aufwand e N aber: reiner Zustand enthält zu viel Information Ausweg durch quantenstatistische Beschreibung? β N

14 4 KAPITEL. QUANTENSTATISTIK.3 Gemischter Zustand, Dichteoperator Mikrozustand: Ψ reiner Zustand bei unvollständiger Information: Ψ k mit WK p( Ψ k ) = p k gemischter Zustand gemischter Zustand = Satz von reinen Zuständen mit zugehörigen WK Zustand Ψ k ist eine Zufallsgröße zusätzliche statistische Beschreibung definiere Dichteoperator ρ = k p k Ψ k Ψ k Operator im Hilbert-Raum (aber nicht als Observable aufzufassen) beachte: Ψ k können als Zustände nach einer Messung einer Observablen (oder einen Satzes von Observablen) B mit paarweise exklusiven und vollständigen Messresultaten (Eigenwerten) b k aufgefasst werden die Aussagen A k : System im Zustand Ψ k sind daher paarweise exklusiv und vollständig (Partition) in diesem Fall ist { Ψ k } eine ONB die wesentlichen Eigenschaften des Dichteoperators hängen aber nicht von der Orthonormalität ab Eigenschaften: Normierung: ({ Ψ k } ONB) Sp ρ = k Sp ρ = Ψ k ρ Ψ k = k p k = Positive Definitheit: sei Φ beliebig: Φ ρ Φ = Φ k p k Ψ k Ψ k Φ = k p k Φ Ψ k 2 0

15 .3. GEMISCHTER ZUSTAND, DICHTEOPERATOR 5 ρ 0 Hermitizität: ( ) ρ = p k Ψ k Ψ k = p k Ψ k Ψ k = ρ ρ = ρ umgekehrt: k k ρ = ρ, ρ 0, Sp ρ = Eigenwerte reell, nicht negativ, Summe: Eigenwerte als WK interpretierbar Operator mit diesen Eigenschaten charakterisiert (eindeutig!) einen gemischten Zustand { Ψ k, p k } reiner Zustand als Spezialfall: p k = δ kk0 ρ = k p k Ψ k Ψ k = Ψ k0 Ψ k0 weiter gilt: Sp (ρ 2 ) = Ψ k ρ Ψ l Ψ l ρ Ψ k = k,l k p 2 k Ψ k Ψ k = k p 2 k Sp (ρ 2 ) = ρ = Ψ Ψ für ein Ψ ρ reiner Zustand Motivation der Definition von ρ = p k Ψ k Ψ k k alle messbare Größen: direkt durch ρ darstellbar! System mit WK p k im Zustand Ψ k. Messung von A. WK a r zu messen: P(a r ) = k P(a r System im Zustand Ψ k ) p k beachte: System im Zustand Ψ k bilden eine Partition es ist: also: P(a r ) = k Π(a r ) Ψk p k mit Π(a r ) = g r γ= (Marginalisierungsregel) a r, γ a r, γ

16 6 KAPITEL. QUANTENSTATISTIK P(a r ) = Ψ k n n Π(a r ) Ψ k p k k n = n Π(a r ) Ψ k p k Ψ k n = Sp (Π(a r )ρ) = Sp (ρπ(a r )) n k P(a r ) ist also nur über den Dichteoperator von Ψ k und p k abhängig Erwartungswert einer Observablen A: A = a r P(a r ) = a r Sp (ρπ(a r )) r r = Sp ( ρ r a r Π(a r ) ) = Sp (ρa) nur über Dichteoperator von Ψ k und p k abhängig somit: A ρ = Sp (ρa) und P(a r ) = Π(a r ρ speziell für einen reinen Zustand ρ = Ψ Ψ : A Ψ = Sp( Ψ Ψ A) = n Ψ Ψ A n = Ψ A n n Ψ = Ψ A Ψ n n und: P(a r ) = Π(a r ) Ψ =... = Ψ γ a r, γ a r, γ Ψ = γ a r, γ Ψ 2 Beispiel: 2-dimensionaler Hilbert-Raum Basis: = ( 0 ) = ( 0 normierter reiner Zustand: ( ) α Ψ = = α + β ( α 2 + β 2 = ) β kohärente Superposition reiner Zustände normierter gemischter Zustand: )

17 .4. SHANNON-INFORMATION 7 ρ = α 2 + β 2 ( α 2 + β 2 =, Sp ρ = ) inkohärente Mischung reiner Zustände ) ) ρ = α 2 ( 0 (, 0) + β 2 ( 0 (0, ) = ( α β 2 beachte: Sp ρ 2 = α 4 + β 4 < für α 0, α unterschiedliche Messresultate, z.b. Observable S x = ( (( ) ( )) α σ x ρ = Sp (ρσ x ) = Sp 0 β 2 0 ( ) 0 α 2 = Sp β 2 = 0 0 dagegen: σ x Ψ = (α, β ) ( 0 0 (Interferenz von WK-Amplituden) ) ( α β ) = (α, β ) ( β α Dichteoperator des reinen Zustands ρ Ψ : ( ) ( α α ρ Ψ = Ψ Ψ = (α, β 2 βα ) = ) β αβ β 2 Interferenzterme fehlen auf der Nebendiagonalen von ρ ) ) ) = α β + β α = 2 σ x.4 Shannon-Information Versuch mit Elementarereignissen k (Ereignisse paarweise exklusiv und vollständig, Partition ) definiere Shannon-Information: σ = σ({p k }) = k p k ln p k mittlerer Informationswert = ln p k Anzahl der notwendigen, vorab festgelegten, binären Fragen zur Festlegung des Ereignisses k ln 2 Bsp: M = 6 gleichwahrscheinliche Elementarereignisse (4 4-Schachbrett)

18 8 KAPITEL. QUANTENSTATISTIK p k = /6 4 binäre Fragen, also 4 ln 2 = ln 2 4 = ln 2 4 = ln p k Eigenschaften: σ(p,..., p M ) 0 σ(p,..., p M ) = 0 p k = δ kk0 für ein k 0 (minimale Unkenntnis) Beitrag von k zu σ klein für p k (kaum neue Info) oder p k 0 (wegen x ln x 0 unwichtig für mittlere Info) für p k = M = const. (Gleichverteilung) ist σ(p,..., p M ) = Monotonie M k= M ln M = lnm σ M σ( M,..., ) monoton wachsend M (größere Unkenntnis bei wachsender Anzahl gleichwahrscheinlicher Möglichkeiten) Stetigkeit σ(p,..., p M ) stetig in allen Argumenten Additivität σ(p,..., p M ) = σ(p, p 3,..., p M ) + pσ( p p, p 2 p ) für p = p + p 2 (folgt durch direktes Nachrechnen) Unkenntnis unabhängig davon, ob EE in Klassen zusammengefasst werden Monotonie, Stetigkeit und Additivität bestimmen σ eindeutig bis auf eine Konstante (Shannon)

19 .5. GROSSKANONISCHE GESAMTHEIT 9 Shannon-Information eines gemischten Zustands ρ = p k Ψ k Ψ k : k σ = σ({p k }) = k p k ln p k p k Eigenwerte von ρ, Ψ k Eigenzustände Ψ k Eigenzustände von ρ ln ρ, Eigenwerte: und somit: ρ ln ρ Ψ k = p k ln p k Ψ k p k ln p k = Ψ k ρ ln ρ Ψ k σ = k Ψ k ρ lnρ Ψ k σ = Sp (ρ lnρ) Beispiel von oben: σ = σ( α 2, β 2 ) = α 2 ln α 2 β 2 ln β 2 maximale Unkenntnis für σ =max., also für α 2 = β 2 = /2 gemischter Zustand maximaler Unkenntnis: ( ) /2 0 ρ = = ( ) (, 0) + 0 / oder: ρ = ( /2 0 0 /2 ( 0 ) (0, ) ) = ( ) 2 (, ) + ( System mit WK /2 in Zustand mit Spin in ±x-richtung ) 2 (, ).5 Großkanonische Gesamtheit typische Situation: System mit Energie- und Teilchenaustauschkontakt Kontrollparameter: Temperatur T bestimmt mittlere Energie

20 20 KAPITEL. QUANTENSTATISTIK chemisches Potenzial µ bestimmt mittlere Teilchenzahl gemischter Zustand der GK Gesamtheit, ρ =? MaxEnt-Prinzip σ(p,..., p M ) = max mit Nebenbedingungen p k = k k k p k E k = H (E k = Ψ k H Ψ k ) p k N k = N (N k = Ψ k N Ψ k ) notwendige Bedingung für σ = max: 0 = ( ) p k ln p k λ 0 p k λ p k E k λ 2 p k N k p k k k k k also: 0 = ln p k λ 0 λ E k λ 2 N k p k = const. exp( λ E k λ 2 N k ) Bedeutung der Lagrange-Parameter: damit: λ 0 Normierung λ = k B T p k = const.e (E k µn k )/k B T normierte Wahrscheinlichkeiten: mit p k = Z e β(e k µn k ) β = k B T und der Zustandssumme Z(T, µ) = k großkanonisches Potenzial e β(e k µn k ) = e βω Ω(T, µ) = k B T ln Z(T, µ) λ 2 = µ k B T

21 .5. GROSSKANONISCHE GESAMTHEIT 2 Formulierung mit Dichteoperator: ρ = Z e β(h µ N) Z = Sp e β(h µ N) Berechnung des Erwartungswerts einer Observablen A es sei (o.b.d.a.) dann folgt: H = H 0 + λa A = Sp (ρa) = Z Sp Ae β(h 0 λa) = λ ( k BT) ln Sp e β(h 0+λA) also A = Ω λ Berechnung von Ω(T, µ, λ) bzw. von Z(T, µ, λ): Z = Sp e βh = φ () α φ (N) α N e βh φ () α φ (N) α,...,α N α N Übung Aufwand e N Fazit Quantenstatistik: keine Verbesserung bzgl. des Komplexitätsproblems aber: angemessene Beschreibung eines Viel-Teilchen-Systems

22 22 KAPITEL. QUANTENSTATISTIK

23 Kapitel 2 Zweite Quantisierung identische Teilchen: (Anti-)symmetrisierung der Zustände notwendig Umformulierung der üblichen QM mit Erzeugern und Vernichtern Quantisierung der Schrödinger-Gleichung als klassische Feldgleichung (s.u.) 2. Systeme identischer Teilchen identische Teilchen: Teilchen mit vollständig übereinstimmenden inneren Teilcheneigenschaften (Masse, Ladung, Spin,...) Identische Teilchen sind ununterscheidbar klassisch: unterscheidbar, da (prinzipiell) Trajektorie jedes einzelnen Teilchens verfolgt werden kann p KM 2 3 t=0 t>0 q quantenmechanisch: Konzept der Trajektorie sinnlos Vertauschung von Teilchen darf zu keinen messbaren Konsequenzen führen N-Teilchen-Hilbert-Raum: 23

24 24 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG H N = H () H (2) H (N) ONB { φ () α φ (2) α 2 φ (N) α N } Ein-Teilchen-Hilbert-Raum: H (i) ONB { φ (i) α } identische Teilchen: H (i) isomorph zu H (j) definiere Vertauschungsoperator P ij : (auf Basis) P ij φ () α φ (i) α i φ (j) α j φ (N) α N = φ () α φ (j) α i φ (i) α j φ (N) α N oder (Wirkung auf Ein-Teilchen-Zustände): P ij φ () α φ (i) α i φ (j) α j φ (N) α N = φ () α φ (i) α j φ (j) α i φ (N) α N (es wird vereinbart, dass Zustände in einem Tensorprodukt kommutieren) es gilt: P ij = P ij und P 2 ij = Teilchenvertauschung darf Messwerte nicht ändern! Ψ A Ψ = P ij Ψ A P ij Ψ für beliebige physikalische Observable A und beliebigen physikalischen Zustand Ψ H N : Ψ A Ψ = Ψ P ijap ij Ψ A = P ijap ij [P ij, A] = 0 also auch: Ψ Ψ P ij = P ij Ψ Ψ Ψ Ψ P ij Ψ = P ij Ψ Ψ Ψ P ij Ψ = ε Ψ aber ε = ±, denn P ij = P ij und P 2 ij = somit: P ij Ψ = ± Ψ Bsp.: (für α i α j ) P ij ( φ (i) α i φ (j) α j ) = ( φ (j) α i φ (i) α j ) ± ( φ (i) α i φ (j) α j )

25 2.2. HILBERT-RAUM DER PHYSIKALISCHEN ZUSTÄNDE 25 Produktzustände nicht physikalisch Bsp.: r (i) Ortsoperator des i-ten Teilchens P ijr (i) P ij = r (j) r (i) r (i) nicht physikalisch Bsp.: H = N i= P ijhp ij = H H physikalisch p (i)2 2m + α 2 i j r (i) r (j) Fermionen Bosonen P ij Ψ = Ψ P ij Ψ = + Ψ antisymmetrische symmetrische Zustände symmetrische symmetrische Observable ε = ε = + (Vorzeichenkonvention) halbzahliger Spin ganzzahliger Spin (Spin-Statistik-Zusammenhang QFT) 2.2 Hilbert-Raum der physikalischen Zustände physikalisch erlaubte Zustände aus: Ψ H (ε) N Bsp: H (ε) N H N ist (anti-)symmetrisch φ () α φ(2) α H(+) 2 ( φ () α φ (2) β ± 2 φ(2) α φ () β ) H (±) 2 (normiert für α β) N = 2: (anti-)symmetrisierte Produktzustände H (ε) Verallgemeinerung auf N > 2: definiere Permutationsoperator P (auf Basis)

26 26 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG P φ () α φ (N) α N = φ (i ) α φ (i N) α N wobei (i,..., i N ) Permutation P der Zahlen,..., N definiere Vorzeichen der Permuation: ( ) P = ( ) p mit p = Anzahl der Transpositionen, aus denen sich die Permutation aufbaut P ist unitär, P = P definiere damit (Anti-)Symmetrisierungsoperator S (ε) N S (ε) N = N! Eigenschaften: ε P P P (S (ε) N )2 = S (ε) N (Idempotenz) (S (ε) N ) = S (ε) N (Hermitizität) also: S (ε) N Projektoren S (+) N S ( ) N = S ( ) N S (+) N = 0 also: orthogonale Projektoren Übung es gilt: Ψ H N S (ε) N Ψ H (ε) N denn: P ij S (ε) N Ψ = P ij ε P P Ψ = ε P P Ψ N! N! mit P = P ij P wegen ε P = εε P ist also: P ij S (ε) N Ψ = ε N! also: S (ε) N Ψ (anti-)symmetrisch da Ψ H N beliebig war, ist auch: P ε P P Ψ = ε ε P P N! P P P Ψ = εs (ε) N Ψ

27 2.3. (ANTI-)SYMMETRISIERTE PRODUKTZUSTÄNDE 27 P ij S (ε) N = εs(ε) N PS (ε) N = εp S (ε) N sei S (0) N S (0) N jetzt gilt: = S(+) N S( ) N ist ein zu S (ε) N orthogonaler Projektor Übung mit: H N = H (+) N H (+) N = S (+) N H N H ( ) N = S ( ) N H N H (0) N = S (0) N H N H ( ) N H (0) N (orthogonale Summe) 2.3 (Anti-)symmetrisierte Produktzustände Produktzustände (bilden Basis von H N ) φ () α φ (N) α N definiere (anti-)symmetrisierte Produktzustände: es ist φ α φ αn (ε) = S (ε) N φ () α φ (N) α N φ α φ αn (ε) H (ε) N beachte: { φ α φ αn (ε) } bilden keine Basis, sind i. allg. linear abhängig! beachte: dimh (ε) N < dimh N φ αi φ αj (ε) = ε φ αj φ αi (ε) Beispiel: H ( ) N φ α φ αn ( ) = N! P ( ) P P φ () α φ (N) α N

28 28 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG = N! det φ () α φ (N) α φ () α N φ (N) α N (mit Entwicklungssatz nach Leibniz) Slater-Determinante falls α i = α j für i j, folgt φ α φ αn ( ) = 0 Pauli-Prinzip damit ist auch: φ α φ αn (ε) 2 Zustände nicht normiert i.allg. sei Ψ N (ε) H (ε) N dann gilt: Ψ N (ε) = = = nach Anwenden von S (ε) N Ψ N (ε) = Zerlegung der Eins: φ () α φ (N) α N φ () α φ (N) α N Ψ N (ε) α,...,α N φ () α φ (N) α N φ () α φ (N) α N S (ε) N Ψ N (ε) α,...,α N φ () α φ (N) α N (ε) φ α φ αn Ψ N (ε) α,...,α N auf beiden Seiten folgt: α,...,α N φ α φ αn (ε) (ε) φ α φ αn Ψ N (ε) φ α φ αn (ε) (ε) φ α φ αn = (ε) H N α,...,α N 2.4 Besetzungszahldarstellung Vereinbarung einer Anordnung der Basiszustände: α =,..., d Standardordnung: φ, φ 2,, φ d mit d = dim H Besetzungszahldarstellung eines (anti-)symmetrisierten Produktzustands:

29 2.4. BESETZUNGSZAHLDARSTELLUNG 29 n, n 2,..., n d = K ε φ φ φ φ 2 φ 2 φ d φ d (ε) mit Normierungskonstante K ε ( n, n 2,..., n d n, n 2,..., n d = ) und: n i = Anzahl der Teilchen im Zustand φ i Besetzungszahl für φ α,..., φ αn (ε) : n i = Anzahl Indizes mit α j = i Produktzustand: φ 8 φ 4 φ φ 5 φ 4 φ 8 φ 8 Teilchen N (anti-)symmetrisierter Produktzustand in Besetzungszahldarstellung: Ein Teilchen φ φ 2 φ d Zustände φ 3... (Teilchen ohne Identität) es gilt: (Beweis s.u.) { n, n 2,..., n d } ist ONB von H (ε) N (NB: α n α = N) Orthonormalität: n, n 2,, n α, n, n 2,, n α, = δ n n δ n 2 n 2 Vollständigkeit: n α nα=n n 2 n, n 2,, n α, n, n 2,, n α, = (ε) H N n α Bsp.: N = 2 Teilchen Produktzustand: φ () α φ(2) β H N=2 (Anti-)symmetrisierter Produktzustand:

30 30 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG S (±) 2 φ () α φ(2) β = ( φ () α 2! φ(2) β ± φ(2) α φ() β ) = ±S (±) 2 φ (2) α φ() β = K± 0 n α = n β = 0 H (±) 2 Normierung: (K ± reell) K± 2 = (±) S N φ() α φ(2) β 2 = 4 = 4 K ± = ( φ () α φ(2) β ± φ(2) α φ() β ) ( φ () α φ(2) β ± φ(2) α φ() β ) ( φ () α φ (2) β φ() α φ (2) β + φ(2) α φ () β φ(2) α φ () β ) ± φ () α φ(2) β φ(2) α φ() β ± φ(2) α φ() β φ() α φ(2) β = 4 ( + ± δ αβ ± δ αβ ) = 2 ( ± δ αβ) 2 ± δ αβ allgemein: (s.u.) K ε = N! α n α! K = N! Fermionen: n α = 0, (aufgrund des Pauli-Prinzips) Ein Teilchen φ φ 2 φ d Zustände φ 3... M = dim H ( ) N = ( d N ) Bosonen: n α = 0,, 2,... Ein Teilchen φ φ 2 φ 3... φ d Zustände ( ) M = dim H (+) d + N N = N

31 2.4. BESETZUNGSZAHLDARSTELLUNG 3 Beispiel: N=2 Teilchen, d=3 Orbitale (also dimh = d = 3) K ε φ φ (ε) = 200 K ε φ φ 2 (ε) = 0 K ε φ φ 3 (ε) = 0 ε K ε φ 2 φ (ε) = 0 K ε φ 2 φ 2 (ε) = 020 K ε φ 2 φ 3 (ε) = 0 ε K ε φ 3 φ (ε) = 0 ε K ε φ 3 φ 2 (ε) = 0 K ε φ 3 φ 3 (ε) = 002 = 0 für Fermionen = 0 für Fermionen = 0 für Fermionen dimh N = 9 = 3 2 dimh (+) N = 6 = dimh ( ) N = 3 = ( 3 2 ( ) ) dimh (0) N = 0 (nicht typisch!) Beweis der Orthonormalität: Normierung: es seien α,..., α N standardgeordnet (ε) n,...,n d n,...,n d (ε) = K 2 ε (ε) φ α φ αn φ α φ αn (ε) = K 2 ε N! P ε P φ () α φ (N) α N P φ () α φ (N) α N = für P = (für Fermionen einzige Möglichkeit, ε P = +) = für P mit Teilchenpermutationen innerhalb von n α gleichen Zuständen = 0 sonst Anzahl der P, die liefern: Π α (n α!) also: (ε) n,...,n α,..., n d n,...,n α,...,n d (ε) = K 2 ε N! Π α(n α!)

32 32 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG K ε = Π N! α(n α!) Vollständigkeit: α nα=n n n 2 n α N; n, n 2,, n α, (ε)(ε) N; n, n 2,, n α, = Kε 2 φ α φ αn (ε) (ε) φ α φ αn (K ε = K ε (n, n 2,...)) α,...,α N = Kε 2 φ α φ αn (ε) (ε) φ α φ αn α,...,α N k ε = H (ε) N α,...,α N : alle Indizes unabhängig (Vollständigkeitsrelation von oben) α,...,α N : nur standardgeordnete Indextupel Mehrfachzählung in α,...,α N : k ε = Anzahl der Möglichkeiten, die N Teilchen so zu verteilen, dass n sich in φ befinden, n 2 sich in φ 2 befinden, etc. das sind gerade Orthogonalität: N! Π α (n α!) = K2 ε Möglichkeiten (ε) n,, n d n,, n d (ε) = K 2 ε (ε) φ α φ αn φ α φ α N (ε) = K 2 ε ε P P (δ α α N! δ P α N α ) N = δ n n δ n d n d K2 ε = δ n n δ n d n d N! Π α(n α!) definiere Fock-Raum

33 2.5. ERZEUGER UND VERNICHTER 33 H (ε) = N=0,,... H (ε) N Hilbert-Raum aller N = 0, N =,... - Zustände dimh (ε) =dimh (ε) 0 +dimh (ε) + = (direkte, orthogonale Summe) speziell: dimh (ε) 0 = (Vakuumzustand), dimh (ε) = d (s.o.) { n,, n d (ε) } (ohne NB) ist eine ONB des Fock-Raums! 2.5 Erzeuger und Vernichter ONB von H (ε) : { n n 2 n α n d (ε) } Definition von c α und c α auf ONB Erzeuger c α c α n, n 2,, n α, (ε) = ε Nα n α + N + ; n, n 2,, n α +, (ε) mit: = n α + N + ; n, n 2,, n α +, (+) (Bosonen) = ( ) Nα N + ; n, n 2,,, ( ) (Fermionen) N α = α n β β= c α : H (ε) N H (ε) N+ es folgt (vollständige Induktion) n,...,n d (ε) = (c ) n n! (c d )n d nd! 0 Die Bedeutung von N α zeigt sich z.b. bei der Herleitung der fundamentalen Antikommutatorrelationen. Übung Die Reihenfolge im Produkt ist strikt zu beachten! c ist der Erzeuger für der erste Basisorbital φ gemäß der Standardordnung. 0 H 0 ist der Vakuumzustand, 0 0 =, dim H 0 =, 0 0 = 0

34 34 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG Vernichter es gilt: c α = (c α ) (ε) N; n α c α N ; n α (ε) = ε Nα n α + (ε) N + ; n α + N ; n α (ε) = ε Nα n α + δ N+,N ( δ nα+,n ) α = ε N α n α δ N,N ( δ nα,n α ) = ε N α n α (ε) N; n α N ; n α (ε) N; n α (ε) c α N; n α (ε) = ε Nα n α N ; n α (ε) = n α N ; n α (+) (Bosonen) = ( ) Nα N ; n α ( ) (Fermionen) c α : H (ε) N H (ε) N c α, c α sind keine Observablen! Vertauschungsrelationen: für Bosonen und α β ist: c α c β n α n β (+) = n β + c α n α n β + (+) = n β + n α + n α + n β + (+) = c β c α n α n β (+) [c α, c β ] = 0 für α β und (trivial) für α = β analog: [c α, c β ] = 0 für α, β beliebig analog: [c α, c β ] = 0 für α β für α = β ist: c α c α n α (+) = n α + c α n α + (+)

35 2.5. ERZEUGER UND VERNICHTER 35 = n α + n α + n α (+) und c α c α n α (+) = n α c α n α (+) = n α nα n α (+) c α c α c α c α = n α + n α = [c α, c β ] = δ αβ analog: Fermionen für Bosonen und Fermionen gilt also: Übung [c α, c β ] ε = 0 [c α, c β ] ε = 0 [c α, c β ] ε = δ αβ ([A, B] + = AB + BA Antikommutator) Wirkung von c α auf (anti-)symmetrisierte Produktzustände es seien α,..., α N standardgeordnet, dann ist c α φ α φ αn (ε) = c α n n 2 n α (ε) K ε n!n 2! n α! = ε Nα n α + n n 2 n α + (ε) N! n!n 2! n α! = ε Nα n α + (N + )! N! n!n 2! (n α + )! φ α φ α (ε) also: = N + ε Nα φ α φ α (ε) = N + φ α φ α φ αn (ε) c α φ α φ αn (ε) = N + φ α φ α φ αn (ε) (n α +-mal)

36 36 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG damit gilt auch (durch Iterieren der Formel): φ α φ αn (ε) = N! c α c α N 0 Mit dem Einfügen von φ α an die erste Position geht evtl. die Standardordnung verloren. Bezüglich der φ α φ αn ist die Standardordnung noch gegeben. Das Resultat gilt aber auch allgemein, denn bei Permutation der Orbitale tritt links und rechts in der Gleichung dasselbe Vorzeichen auf. 2.6 Darstellung von Observablen eine allgemeine physikalische Observable besteht aus Ein- und Zwei-Teilchen- Anteilen: A = N i= i: Teilchenindex A (i) + 2 beachte: [A, P] = 0 i j i,j=,..,n A (i,j) 2 (Bsp.) Hamilton-Operator N p 2 i H = 2m + 2 es ist: A = A = α,...,α N i= i j i,j=,..,n ( = (ε) H ) N e 2 4πε 0 r i r j β,...,β N φ α φ αn (ε)(ε) φ α φ αn A φ β φ βn (ε)(ε) φ β φ βn Matrixelement des Ein-Teilchen-Anteils: N (ε) φ α φ αn A (i) φ β φ βn (ε) i= = φ () α φ (N) α N N i= A (i) φ β φ βn (ε) denn: [ i ] A (i), S (ε) N = 0

37 2.6. DARSTELLUNG VON OBSERVABLEN 37 N = φ α A (i) φ αi φ αn φ β φ βn (ε) i= N = φ α A (i) φ αi φ αn ε P P φ β φ βn i= N! P = ( ε P β P β φ () α N! A () φ () β φ (2) α 2 φ (2) β 2 φ (N) α N φ (N) β N P β = N! einsetzen... + ) + φ () α φ () β φ (N ) α N φ (N ) β N φ (N) α N A (N) φ (N) β N P β ε P β P β + P β wirkt hier (äquivalenterweise) auf β- statt auf Teilchenindizes. ( φ α A φ β δ α2 β 2 δ αn β N ) + δ α β δ αn β N φ αn A φ βn jeder der N Terme liefert gleichen Beitrag! z.b. letzter Term: Umbenennung der Summationsvariablen: α α 2 und β β 2 α N α und β N β 2N Vertauschungen, so dass ursprüngliche Ordnung von φ α φ αn (ε) und (ε) φ β φ βn wiederhergestellt wird Faktor ε 2N = jeder der N! Terme der P-Summe liefert gleichen Beitrag! ursprüngliche Ordnung im Matrix- für jedes P: Umbenennung der β i element p Vertauschungen der φ βi ursprüngliche Ordnung in (ε) φ β φ βn

38 38 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG also folgt: damit Faktor ε p, sowieso expliziter Faktor ε p also: ε 2p = N i= A (i) = N α,...,α N = N α β φ α φ αn (ε) φ α A φ β δ α2 β 2 δ αn β (ε) N φ β φ βn β,...,β N α 2,...,α N φ α φ αn (ε) φ α A φ β (ε) φ β φ α2 φ αn mit c α φ α φ αn (ε) = N + φ α φ α φ αn (ε) (s.o.) folgt weiter: N i= A (i) = N c α α β α 2,...,α N N φ α2 φ αn (ε) φ α A φ β (ε) φ α2 φ αn c β N also: = c α (ε) H φ α A φ β c β = c α φ α A φ β c β N α β α β N i= A (i) = φ α A φ β c α c β αβ Interpretation: Teilchen hüpft mit Übergangswahrscheinlichkeitsamplitude φ α A φ β vom Orbital φ β nach φ α analog: Übung mit 2 i j i,j=,...,n A (i,j) 2 = 2 φ α φ β A 2 φ γ φ δ c αc β c δc γ αβγδ φ α φ β A 2 φ γ φ δ = φ () α φ(2) β A(,2) 2 φ () γ φ(2) δ Beachte unterschiedliche Reihenfolge der Indizes! Interpretation: Das Wechselwirkungsmatrixelement φ α φ β A 2 φ γ φ δ bewirkt eine Streuung zweier Teilchen aus den Orbitalen φ γ, φ δ in die Orbitale φ α φ β

39 2.7. SPEZIELLE OBSERVABLEN 39 (Bsp.) Nichtwechselwirkende Teilchen in äußerem Potenzial H = ( p 2 ) i i 2m + V (r i) = H (i) i H = p2 2m + V (r) ONB von H : { ε n } mit H ε n = ε n ε n Erzeuger, Vernichter: c n, c n H = ε m H ε n c m c n = mn n ε n c n c n (Bsp.) System mit Coulomb-Wechselwirkung H = t αβ c αc β + U αβγδ c αβ 2 αc β c δc γ αβγδ mit t αβ = φ α H φ β Hopping und U αβγδ = φ α φ β H 2 φ γ φ δ Coulomb-WW-Parameter (Bsp.) Nur ein Orbital: dim H =, ONB: { } beliebiger Operator: A = ωc c + vc c cc (ω, v reell) Fermionen: A = ωc c 2.7 Spezielle Observablen Besetzungszahloperator n α = c αc α es ist n α = (c αc α ) = n α hermitesch, Observable und n α n,...,n d (ε) = c α c α n,...,n d (ε)

40 40 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG also: = ε Nα n α c α n,...,n α,...,n d (ε) = ε 2Nα n α 2 n,..., n α,...,n d (ε) n α n...n α... n d (ε) = n α n...n α...n d (ε) Basiszustände sind Eigenzustände von n α Teilchenzahloperator N = α n α es ist: N n n d (ε) = α n α n n d (ε) = N n n (ε) es gilt: (für Fermionen und Bosonen!) Übung [c α, n β ] = δ αβ c α c α sind Leiteroperatoren! (vergleiche: [J ±, J z ] = J ± für Drehimpuls, J ± = J x ± ij y ) Bosonen: mit cc c c = und ˆn = c c ist A = ωc c vc c + vc cc c = (ω v)ˆn + vˆn 2 (Bsp.) Nur ein Orbital Bosonen: A = ωc c vc c + vc cc c = (ω v)ˆn + vˆn 2 Eigenzustände: n ( ) = n! (c ) n 0 Eigenwerte: a n = (ω v)n + vn ( 2 harmonischer Oszillator: H = ω ˆn + ) 2 Hilbert-Raum eines Spin-/2-Teilchens (ε =, Fermion): H = H (Bahn) H (Spin) ONB von H : { ϕ α } = { ψ i χ σ } mit α = (i, σ) i indiziert räumliche Orbitale

41 2.7. SPEZIELLE OBSERVABLEN 4 σ =, indiziert Spin-Orbitale ( ) ( 0 χ =, χ 0 = Erzeuger, Vernichter, Besetzungszahloperator, Teilchenzahloperator: c iσ, c iσ, ˆn iσ, ˆN = definiere Doppelbesetzung es ist: d i = ˆn i ˆn i = ˆn i ˆn i d i = d i = d 2 i i ) σ ˆn iσ Erwartungswert in einem beliebigen Zustand: 0 d i Übung beachte: d i = ˆn i ˆn i ˆn i ˆn i i.allg. definiere ( e : empty) es ist e i = ( ˆn i )( ˆn i ) = e i + ˆn i + ˆn i d i für Spin-/2-Fermionen definiere: mit S i = (S ix, S iy, S iz ) S iz = 2 (n i n i ) S ix = 2 (S i+ + S i ) S iy = 2i (S i+ S i ) es gilt: S i+ = c i c i S i = c i c i = S i+ kompakt: S i = S i S i± = S ix ± is iy

42 42 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG S iµ = c 2 iσσ (µ) σσ c iσ σσ mit den Pauli-Matrizen: ( ) 0 σ (x) = 0 σ (y) = µ = x, y, z ( 0 i i 0 ) σ (z) = ( 0 0 ) Drehimpulsalgebra: Übung [S ix, S iy ] = i S iz (und zyklisch) [S ix, S jy ] = i δ ij S iz (und zyklisch) S i : Spin des Orbitals i falls i die Plätze eines Gitters indiziert (ein Orbital ψ i pro Platz): lokaler Spin m i = S i / bzw. µ i = gµ B S i / : lokales magnetisches (Spin-)Moment Eigenwerte von S iz = (n i n i )/2: 0, ± /2 Eigenwerte von Siz 2 : 0, 2 /4 Eigenwerte von S 2 i = 3S2 iz : 0, 3 2 /4, also S = 0 und S = /2 Übung S i ist kein Spin-/2! beachte: S (j) : Spin des j-ten Elektrons, j =,..., N (keine Obs.), (S (j) ) 2 = 3 2 /4 S i : Spin am i-ten Gitterplatz, i =,..., L (Observable), S 2 i const. (Def.) Gesamtspin N S = S (j) j= 2. Quantisierung: S = iσ () S () i σ () c iσc i σ = iσ ii σσ iσσ 2 σ iσ c iσc iσ = c iσ iσσ 2 σ σσ c iσ also: N L S = S (j) = S i j= i=

43 2.8. UNITÄRE TRANSFORMATIONEN Unitäre Transformationen abkürzende Schreibweise: α φ α { α } ONB von H unitäre Transformation der Ein-Teilchen-Basis: α = U αα α mit U unitär α { α } ONB von H wie transformieren sich Erzeuger und Vernichter? betrachte: c α 0 = α = U αα α = U αα c α 0 α α also: α = α U αα α c α = α U αα c α c α = α U αα c α Ableitung der letzten Gleichung durch Adjungieren, (...) : konjugiert komplex. Alternative: Die Gleichung c α φ α φ αn (ε) = N + φ α φ α φ αn (ε) zeigt, dass sich c α genauso transformiert wie φ α es gilt: α c α = ( α α α = ( α also: und damit: β α U α α U αβ α c α = α c α α α A = c α α A β c β + 2 αβ ) U α α α (U β ) β α ) c β α c β = α α c α c α α = c α α α α αβγδ c α c β αβ A 2 δγ c γ c δ = c α α A β c β + c α 2 c β α β A 2 δ γ c γ c δ α β α β γ δ forminvariant!

44 44 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG fundamentale Vertauschungsrelationen: [c α, c β ] ε = δ α β etc. Transformation der Matrixelemente: α A β = αβ U α α α A β U ββ 2.9 Unterscheidbare Teilchen betrachte System aus N unterscheidbaren Teilchen Hamilton-Operator: H N = Hilbert-Raum: ONB: N i= H (i) H N = H () H (N) { φ () α φ (N) α N } Beispiele: ) paarweise verschiedene Teilchen H-Atom: Elektron, Proton 4 verschiedene Atome: H, He, Li, Be φ 8 φ 4 φ φ 5 φ 4 φ 8 φ 8 Teilchen N M = d N keine relevanten Beispiel-Systeme 2) identische Teilchen, aber räumlich getrennt qubits, Zweiniveausysteme, lokale Spins mit S = /2 System harmonischer Oszillatoren (atomare Schwingungen)

45 2.9. UNTERSCHEIDBARE TEILCHEN 45 φ 3 φ φ 2 M = d N... φ d φ φ 2 φ 3 physikalisch wichtige Beispiele... φ d φ φ 2 φ 3... φ d Ein Teilchen Zustände Begründung der Unterscheidbarkeit: prinzipiell sind auch identische Teilchen, die räumlich getrennt sind (kein Überlapp von Wellenfunktionen), ununterscheidbar und somit als Bose-/Fermi-System zu behandeln, aber die Behandlung als unterscheidbare Teilchen liefert dieselben Ergebnisse: betrachte Messung einer lokalen Observablen A, d.h. N A = A (i) i= Erwartungswert in (anti-)symmetrisiertem Produktzustand: A = K± 2 φ() α φ (N) α N S (±) N N i= A (i) S (±) N φ() α φ (N) α N die Teilchen befinden sich in paarweise verschiedenen Ein-Teilchen-Zuständen dim H = Nd Besetzungszahlen n α = 0, K 2 ± = N! bei Beschreibung mit ununterscheidbaren Teilchen! N A = N! φ () α φ (N) α N A (i) S (±) N φ () α φ (N) α N i= = N (±) P φ () α φ (N) α N A (i) φ () α P() φ (N) i= P α P(N) wegen n α = 0, liefert nur P = einen nichtverschwindenden Beitrag: N A = φ () α φ (N) α N A (i) φ () α φ (N) α N i= A = φ () α φ (N) α N A φ () α φ (N) α N Erwartungswert im Produktzustand (wie für unterscheidbare Teilchen) Argument erweiterbar: Ψ A Φ = Ψ S (ǫ) N AS(ǫ) N Φ

46 46 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG für Ψ = c α,...,α N φ () α φ (N) α N α,...,α N Φ = d α,...,α N φ () α φ (N) α N α,...,α N falls α aus den ersten d, α 2 aus den zweiten d Zuständen, etc. 2.0 Feldoperatoren ONB { α }, unendlichdimensional und kontinuierlich ONB { r }, kontinuierlich, Ortseigenzustände r r = δ(r r ) d 3 r r r = Spinfreiheitsgrade werden der Einfachheit halber in diesem Abschnitt nicht berücksichtigt. Wegen der Überabzählbarkeit der Basis sind die Betrachtungen hier nur mit eventuellen Zugeständnissen an die mathematische Exaktheit durchführbar. Vorsicht ist auf jeden Fall geboten bei naiver Übertragung von Resultaten, die nur für den diskreten Fall Sinn machen (z.b. Besetzungszahldarstellung). Transformation: α = d 3 r r r α = d 3 r U rα r mit: U rα = r α = φ α (r) (, kontinuierlich) (Def.) Feldoperatoren Vernichter, Erzeuger in neuer Darstellung ψ(r) c r ψ (r) c r (in jedem Raumpunkt sind Operatoren ψ und ψ definiert) es ist:

47 2.. QUANTISIERUNG DER SCHRÖDINGER-GLEICHUNG 47 [ ψ(r), ψ (r ) ] [ = α r c α, ] α r c ε α α α ε = α r α r δ αα = r α α r = r r α α α [ ψ(r), ψ (r ) ] = δ(r ε r ) Hamilton-Operator für System mit Coulomb-WW in äußerem Potenzial ( = ): ( H = d 3 r ψ (r) ) 2m + V (r) ψ(r) + d 3 r d 3 r ψ (r)ψ (r ) e2 2 4πε 0 r r ψ(r )ψ(r) (Def.) Teilchendichteoperator ˆn(r) = δ(r ˆr i ) i ˆn(r) = = d 3 r d 3 r Man beachte den Unterschied zwischen dem Ortsvektor und dem Ortsoperator des i-ten Teilchens! d 3 r ψ (r ) r δ(r ˆr) r ψ(r ) d 3 r ψ (r ) r δ(r r ) r ψ(r ) = d 3 r ψ (r ) r r ψ(r) ˆn(r) = ψ (r)ψ(r) 2. Quantisierung der Schrödinger-Gleichung Einheiten: = System wechselwirkender Teilchen (z.b. Coulomb-Wechselwirkung) üblicher Übergang von KM zur QM: Newton-Mechanik von Massenpunkten Lagrange-Formalismus Hamilton- Formalismus, H = H(q i, p j ) Quantisierung: [q i, p j ] = iδ ij Alternative: klassische Feld-Theorie Lagrange-Formalismus Hamilton-Formalismus Quantisierung

48 48 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG Ψ(r, t) beschreibe ein klassisches Feld Bewegungsgleichung? Ansatz: Schrödinger-Gleichung i ( t Ψ(r, t) = ) 2m + V (r) Ψ(r, t)... hier gemeint als klassische dynamische Grundgleichung, die die Newton sche Bewegungsgleichung für Punktteilchen ersetzt! Interpretation von Ψ(r, t): Ψ(r, t) 2 = ρ(r, t) ist die Teilchendichte Aus der Schrödinger-Gleichung folgt die Kontinuitätsgleichung, die hier die Erhaltung der Teilchenzahl ausdrückt. Geladene Materie führt (klassisch, nichtrelativistisch) zu einem elektrostatischen Potenzial V C (r) = e2 d 3 r ρ(r ) 4πε 0 r r Grundgleichung der klassischen Feldtheorie (nicht-linear!): i ( t Ψ(r, t) = ) 2m + V (r) Ψ(r, t) + e2 d 3 r Ψ(r, t) 2 Ψ(r, t) 4πε 0 r r Lagrange-Funktion L = L[Ψ(r), t Ψ(r)] Lagrange-Gleichung: d δl dt δ t Ψ(r) δl δψ(r) = 0 äquivalent zur Bewegungsgleichung, falls L = d 3 rψ (r)i t Ψ(r) d 3 rψ (r) L ist eine Funktion von (kontinuierlich) unendlich vielen generalisierten Koordinaten Ψ(r) und Geschwindigkeiten t Ψ(r), also ein Funktional. Für die Ableitungen (Funktionalableitungen, δ) behandeln wir die unabhängigen Variablen als diskret. ( 2m + V (r) ) Ψ(r)

49 2.. QUANTISIERUNG DER SCHRÖDINGER-GLEICHUNG 49 2 d 3 rd 3 r Ψ (r)ψ (r ) e2 4πε 0 r r Ψ(r )Ψ(r) Ψ und Ψ werden (statt Real- und Imaginärteil) als unabhängige Variablen betrachtet. denn: d δl dt δ t Ψ(r) = i t Ψ (r) ( δl δψ(r) = Ψ (r) ) 2m + V (r) d 3 r Ψ (r)ψ (r ) e2 2 4πε 0 r r Ψ(r ) 2 (Bewegungsgleichung folgt durch Adjungieren) kanonisch konjugierter Impuls: Π(r) = δl δ t Ψ(r) = iψ (r) Legendre-Transformation Hamilton-Funktion H = H[Ψ(r), Π(r)] H = d 3 rπ(r) t Ψ(r) L = d 3 r iψ (r) t Ψ(r) L also: H = + 2 ( d 3 rψ (r) ) 2m + V (r) Ψ(r) d 3 rd 3 r Ψ (r)ψ (r ) e2 4πε 0 r r Ψ(r )Ψ(r) d 3 r Ψ (r )Ψ (r) e2 4πε 0 r r Ψ(r ) Quantisierung: Ψ(r), Π(r) ψ(r), π(r) wobei ψ(r), π(r) Operatoren sind, die durch die kanonischen Vertauschungsrelationen festgelegt sind: [ψ(r), π(r )] = iδ(r r ) also (mit π = iψ ): oder: [ψ(r), iψ (r )] = iδ(r r ) [ψ(r), ψ (r )] = δ(r r )

50 50 KAPITEL 2. ZWEITE QUANTISIERUNG H = + 2 ( d 3 r ψ (r) d 3 r Dies definiert aber gerade die oben eingeführten Feldoperatoren! Man bekommt also den schon bekannten Hamilton-Operator. ) 2m + V (r) ψ(r) d 3 r ψ (r)ψ (r ) e2 4πε 0 r r ψ(r )ψ(r) Die Herleitung macht die Begriffe 2. Quantisierung und Quantenfeldtheorie plausibel. Im Falle eines fermionischen Systems wären ad hoc Antikommutatorrelationen anzusetzen, das entspricht einer veränderten Korrespondenzregel. Spin und andere nicht-klassische Observablen können natürlich nicht aus einem klassischen Ansatz abgeleitet werden. Interessanterweise zeigt hier die klassische Feldtheorie (für Materie!) wegen der Schrödinger- Gleichung schon (fälschlicherweise) die typischen Wellenphänomene (Beugung, Tunneln). Austausch-Wechselwirkung (und Korrelationen) bleibt ein quantenmechanisches Konzept (V C ist nur der Hartree-Anteil der Wechselwirkung). vergl.: Hartree-Fock-Approximation: d 3 r d 3 r ψ (r)ψ (r ) e2 2 4πε 0 r r ψ(r )ψ(r) d 3 r ψ (r) = d 3 r d 3 r e 2 ψ (r )ψ(r ) 4πε 0 r r d 3 r ψ (r)u(r, r )ψ(r ) ψ(r) d 3 r ψ (r) d 3 r e 2 ψ (r )ψ(r) ψ(r ) 4πε 0 r r mit: U(r, r ) = δ(r r ) d 3 r e 2 ψ (r )ψ(r ) 4πε 0 r r e2 ψ (r )ψ(r) 4πε 0 r r Dies als Vorgriff auf eine spätere Diskussion.

51 Kapitel 3 Ideale Quanten-Gase und Mean-Field-Theorie Einheiten: k B =, = 3. Ideales Fermi- und Bose-Gas allgemeines freies System: H = αβ t αβ c αc β t: Matrix H hermitesch t hermitesch U unitär, so dass U tu = ε ε Diagonalmatrix mit Elementen ε m sei c m = U αm c α (unitäre Transformation der Ein-Teilchen-Basis) α dann ist: ) H = αβ c α(uεu ) αβ c β = m ( α U αm c α ε m β U mβ c β = m ε m c mc m H ist diagonal Eigenzustände im Ein-Teilchen-Raum: m = c m 0 = α U αm α 5

52 52KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE oder: wechselwirkungsfreie Teilchen in äußerem Potenzial: H in erster Quantisierung: H = ( ) p 2 i i 2m + V (r i) Lösen der Schrödinger-Gleichung: ( ) p 2 2m + V (r) ε n = ε n ε n Ein-Teilchen-Basis { n } H in zweiter Quantisierung bereits diagonal: H = m ε m c m c m Ideales Quanten-Gas: H = m ε m c m c m exakt lösbares Modell (für Fermionen oder Bosonen) Demonstrationsmodell der statistischen Physik insbesondere Bosonen: Phasenübergang in freiem System! Fermionen: approximative Beschreibung von Leitungselektronen Bezugspunkt für wechselwirkende (nicht-ideale) Systeme großkanonischer Hamilton-Operator: H = H µ ˆN Zustandssumme: Z = Sp e βh = (ε) n n 2 e β(h µ ˆN) n n 2 (ε) n n d = (ε) n n 2 e β m (εm µ)ˆnm n n 2 (ε) n n 2 = (ε) n n 2 e β m (εm µ)nm n n 2 (ε) n n 2

53 3.. IDEALES FERMI- UND BOSE-GAS 53 = e β(εm µ)nm n n 2 m = e β(εm µ)nm m n m Fermionen: = (e (εm µ)/t ) nm m n m=0 = ( + e (εm µ)/t ) m großkanonisches Potenzial: Ω = T ln Z = T m ln( + e β(εm µ) ) es folgt die komplette Thermodynamik des Fermi-Gases mittlere Besetzungszahl: n m = ˆn m = c mc m = Ω ( A = Ω/ λ, H = H 0 + λa) ε m = T = + e β(εm µ)( β)e β(εm µ) e β(εm µ) + = f(ε m µ) Fermi-Verteilungsfunktion f(e) = e βe + im Sommerfeld-Modell (freie Elektronen in Volumen V ) ist: ε m ε(k) = k2 2m ONB: { k, σ } ebene Wellen n m n(k) k diskret, aber 3 k = (2π) 3 /V 0 für V

54 54KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE n(k) T=0 k F T>0 k Definitionen für T = 0: f(ε(k) µ) = Θ(µ ε(k)) ε F µ(t = 0): Fermi-Energie k mit ε(k) = ε F : Fermi-Wellenvektor {k ε(k) = ε F }: Fermi-Fläche (Sommerfeld-M.: Kugeloberfläche) machen diese Konzepte Sinn für wechselwirkende Systeme? Teilchenzahl: N = ˆN = n(k) = 2 n(k) kσ k für T = 0 gilt: N = 2 V (2π) 3 d 3 kθ(ε F ε(k)) = 2 V (2π) 3V FS Teilchenzahl = von der Fermi-Fläche eingeschlossenes Volumen im k-raum! wechselwirkende Systeme: Luttinger-Theorem Innere Energie: U = Ω Ĥ = Ĥ = λ = n(k)ε(k) (mit H λh, λ = ) kσ Temperaturabhängigkeit? definiere Ein-Teilchen-Zustandsdichte ρ 0 (ω) = Anzahl Zustände m mit ω < ε m < ω + pro = ( Θ(ω + ε m ) ) Θ(ω ε m ) m m

55 3.. IDEALES FERMI- UND BOSE-GAS 55 = m δ(ω ε m ) für 0 damit ist: N = U = dωf(ω µ)ρ 0 (ω) dωf(ω µ)ωρ 0 (ω) Sommerfeld-Entwicklung: (F(ω): T-unabhängig, regulär in Fermi-Schicht) µ dωf(ω µ)f(ω) = dωf(ω) + α n T 2n F (2n ) (µ) n= ( mit α n = 2 ) ζ(2n) und ζ(n) = (Riemannsche ζ-fkt.) 2 2n pn dωf(ω µ)f(ω) = µ p= dωf(ω) + π2 6 T 2 F (µ) + O(T/µ) 4 damit gilt für tiefe T (N = N(µ) µ = µ(n), N fest): µ = ε F π2 6 T 2ρ 0 (ε F) ρ 0 (ε F ) + U = E 0 + π2 6 T 2 ρ 0 (ε F ) + ( ) U C V = = π2 T 3 Tρ 0(ε F ) + = γt + N,V vergleiche klassisches ideales Gas: U = 3N 2 T, C V = 3N/2 extrem starke Unterdrückung von C V! Abschätzung: für T 0 Übung C V U T U T Pauli-Prinzip: nur Elektronen in der Fermi-Schicht werden thermisch angeregt: C V (Anzahl der Elektronen in der Fermi-Schicht T) T Breite der Fermi-Schicht: T, Höhe der Zustandsdichte ρ(ε F ) C V Anzahl der Elektronen in der Fermi-Schicht ρ 0 (ε F )T allgemeine Argumente! gültig für wechselwirkende Elektronensysteme?

56 56KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE analog: Kompressibilität, Spin-Suszeptibilität, Schall-Geschwindigkeit, etc. Bosonen s.o.: Z = Sp e β(h µ ˆN) = m (e β(εm µ) ) nm n m=0 = m /( e β(εm µ) ) Konvergenz: e β(εm µ) < m e β(ε 0 µ) < (ε 0 ε m ) µ < ε 0 (ansonsten unphysikalische Resultate) großkanonisches Potenzial: Ω = T ln Z = T m ln( e β(εm µ) ) komplette Thermodynamik des Bose-Gases mittlere Besetzungszahl: n m = n m = c m c m = Ω ε m = b(ε m µ) Bose-Verteilungsfunktion b(e) = e βe 0 b(ε m µ) < mit µ < ε 0 ε m T = 0: b(ε m µ) = 0 für m für N = const muss n 0 = N sein, also µ = ε alle Teilchen im (Ein-Teilchen-)GZ m = 0 T : n m = b(ε m µ) = O() T = T C : Phasenübergang! Bose-Einstein-Kondensation (BEC) T < T C : m = 0 makroskopisch besetzt!, n 0 = O(N) Exp: Rb, T C µk, 995 Phasenübergang im nicht-wechselwirkenden System! Bestimmung von T C :

57 3.. IDEALES FERMI- UND BOSE-GAS 57 N = ˆN = m n m = m b(ε m µ) = m e β(εm µ) = ρ 0 (ω) dω e β(ω µ) mit der Zustandsdichte ρ 0 (ω) = m δ(ω ε m ) freie (V (r) = 0) spinlose Bosonen: m k, ε(k) = k 2 /2m ρ 0 (ω) = ( ) δ ω k2 k 2m = V k 2mδ ( (k + 2mω)(k 2mω) ) (2π) 3 3 k = V (2π) 34π dk k 2 2m 2 2mω δ ( k 2mω ) damit: = V (2π) 34π2mω2m 2 2mω = V 4π 2(2m)3/2 ω /2 N = V 4π 2(2m)3/2 0 ω /2 dω = N(µ, T) e β(ω µ) µ = µ(n, T) bzw. (N fest) µ = µ(t) µ/t klassisch Fermi T T c Bose kritische Temperatur: µ(t C ) = 0 = ε(k = 0) (denn, falls µ > 0, ist n(k = 0) = O() für T > 0) beachte: für T < T C ist die Rechnung nicht korrekt, denn für ω 0 und µ = 0 gilt: ρ 0 (ω) ω 0 n 0 liefert keinen Beitrag zum Integral aber n 0 N!

58 58KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE in einer oder zwei Dimensionen keine BEC! es ist ρ(ω) const., / ω für ω 0 es gilt: N V = dω ω/2 4π 2(2m)3/2 0 e β Cω = 4π 2(2mT C) 3/2 ζ(3/2)γ(3/2) (mit Einführung von und k B ) T C mk B (N/V ) 2/3 Interpretation: λ(t C ) 3 = ( 2πmkB T C ) 3 = 3 (2π3.3 2 (N/V ) 2/3 ) 3/2 V N bei T C : thermische debroglie-wellenlängle Volumen pro Teilchen weitere einfache Rechnungen liefern: ( ( ) T 3/2 ) für T < T C : n 0 = N = O(N) TC Zwei-Phasen-Gemisch (im k-raum!) für T > T C ist n 0 = O() Sprung der Steigung von C V bei T C! (dritte Ableitung von Ω unstetig, Ω, S, C V ) C V = T ( ) S T für 4 He: T C = 3.4K V Exp: λ-übergang bei T C = 2.2K (zwischen He I und He II) Problem: 4 He ist stark w.w. BG! (Bose-Flüssigkeit) Phasenübergänge in wechselwirkenden Fermi-Systemen? 3.2 Ideales Gas aus Quasiteilchen betrachte ideales Quantengas aus N unterscheidbaren Teilchen (identisch, aber räumlich getrennt)

59 3.2. IDEALES GAS AUS QUASITEILCHEN 59 Bsp: Atome (mit Spin S) auf einem Gitter quantisierte Gitterschwingungen = Phononen sind Bosonen! (unahbängig von S), warum? ein Phononengas zeigt keine BEC! warum? Hamilton-Operator, Hilbert-Raum, ONB: H N = betrachte N i= H (i) H N = H () H (2) H (N) { φ () α φ (N) α N } qubits, Zweiniveausysteme, lokale Spins mit S = /2 System harmonischer Oszillatoren (atomare Schwingungen) N = qubit: Hamilton-Operator eines qubits (dim H = 2): H = ε φ φ + ε 2 φ 2 φ 2 ( φ, φ 2 normiert, φ φ 2 = 0) o.b.d.a. (Wahl des Energienullpunkts, Umnumerierung): damit: also: ε = 0 ε 2 = ε φ α = n mit α = n = 0 und α = 2 n = H = ε n=0, n n n beachte spezielle Form der Ein-Teilchen-Energien N = harmonischer Oszillator: Hamilton-Operator eines Oszillators (dim H = ): H = p2 2m + 2 mω2 q 2 wähle Energienullpunkt als GZE, dann gilt für die Eigenenergien: ε n = ε n

60 60KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE mit ε = ω und n = 0,, 2,..., d = Eigenzustände nicht entartet, also: H = ε n n n n=0 beachte spezielle Form der Ein-Teilchen-Energien System von N qubits/oszillatoren (N unterscheidbare Teilchen) Produktzustände: n () n (2) n (N) mit n i = 0, bzw. n i = 0,, 2,... bilden ONB aus Eigenzuständen von H N = mit beachte: N i= H (i) : H N n () n (2) n (N) = E n () n (2) n (N) N E = n i ε i i= n i ε i ist Ein-Teilchen-Energie des i-ten Teilchens ε i = ε (i =,..., N) ist die charakteristische Energieskala des Ein-Teilchen-Hamiltonian H (i) Abbildung: n () n (2) n (N) n, n 2,..., n N (±) vergleiche mit Gas von M identischen Fermionen/Bosonen wobei H M = M m= N = dim H H (m) und der i-te Ein-Teilchen-Basiszustand i ein Zustand mit Ein-Teilchen-Energie ε i ist, also

61 3.2. IDEALES GAS AUS QUASITEILCHEN 6 { i } i=,...,n ONB von H N H = ε i i i i= i = c i 0 Eigenzustand von H M : n,..., n N (±) mit n i = 0, bzw. n i = 0,, 2,... Eigenenergie von H M : es ist: N E = n i ε i i= N M = n i i= N unterscheidbare qubits/harm. Oszillatoren mit Ein-Teilchen-Energien n i ε i (n i = 0, /n i = 0,, 2,...) für qubit/oszillator i äquivalent zu N M = n i freie identische Fermionen/Bosonen mit Ein-Teilchen-Energien ε i i= für i =,..., d und d = N beachte: Fermi-/Bose-Gas mit nicht kontrollierbarer Teilchenzahl M Quasiteilchen GK Beschreibung: Ω = Ω(T) Lagrangeparameter µ wird nicht benötigt, Quasiteilchenzahl M nicht kontrolliert (kein Lagrangeparameter µ = 0) Phononen-, Photonengas bosonische Quasiteilchen: N 0 für T = 0, denn für T = 0 System im GZ, keine Anregungen, keine Quasiteilchen keine BEC

62 62KAPITEL 3. IDEALE QUANTEN-GASE UND MEAN-FIELD-THEORIE 3.3 Response-Größen und Korrelationsfunktionen betrachte quantenmechanisches Viel-Teilchen-System mit Hamiltonian: H = t αβ c αc β + αβ 2 U αβγδ c αc β c δc γ αβγδ großkanonischer Hamiltonian H = H µ ˆN großkanonische Zustandssumme und großkanonisches Potenzial: Z = Sp e β(h µn) (β = /T) Ω = T ln Z = Ω(T, V, µ, {t αβ }, {U αβγδ }) exponentiell schnelles Anwachsen der Hilbert-Raum-Dimension Bestimmung von Ψ H (ε) nicht sinnvoll besser (relevanter, direkt aufs Experiment bezogen): Berechnung der Antwort des Viel-Teilchen-Systems bei vorgegebener (schwacher) Störung hier: statische Störungen zeitabhängige Störungen Linear-Response-Theorie (s.u.) Frage: Wie ändert sich der Erwartungswert einer Observablen A bei kleiner Änderung des Hamiltonians? A = Z Sp Ae βh kann stets als Ableitung von Ω geschrieben werden betrachte dazu die Zerlegung: es gilt: Ω λ = A H = H 0 + λa Der physikalische Hamiltonian kann z.b. für λ = realisiert sein: H = H(λ = ) mit H(λ) = H A + λa.