Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Der Gauß sche Algorithmus eine Lerntheke zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Walter Czech, Krumbach

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1 Reihe 8 S 1 Verlauf Material Der Gauß sche Algorithmus eine Lerntheke zur Lösung linearer Gleichungssysteme Walter Czech, Krumbach Der Schnitt dreier Ebenen (ausschnittsweise). Jeweils zwei Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Eine Anwendung aus der Medizin Klasse: 11/12 Dauer: 8 Stunden Inhalt: Lineares Gleichungssystem (LGS); Gauß- Algorithmus; Ebenengleichung; Schnitt zweier Ebenen; Koordinatendarstellung; Textaufgaben; Anwendungen Ihr Plus: 2 Tandembögen zur gegenseitigen Kontrolle Die Aufnahme eines Computertomographen zeigt das Gehirn eines Patienten. Solche Bilder sind für die Behandlung von Menschen, bei denen man einen Tumor vermutet, von großer Bedeutung. Die Bilder bestehen aus Tausenden einzelner Punkte, die mehr oder weniger geschwärzt erscheinen. Diesen Schwärzungsgrad errechnet der Computer mit einem aufwendigen Verfahren, bei dem unter anderem das Lösen linearer Gleichungssysteme eine Rolle spielt.

2 Reihe 8 S 2 Verlauf Material Didaktisch-methodische Hinweise Je älter die Schüler werden, desto mehr Selbstständigkeit wird von ihnen verlangt. Der moderne Oberstufenunterricht sollte die Schüler deshalb dazu anleiten, sich mathematische Inhalte selbst zu erschließen. Ein solches selbstbestimmtes Lernen befriedigt drei grundlegende Bedürfnisse der Schüler: Sie erleben sich als kompetent, sie fühlen sich von anderen (z. B. der Lehrkraft) unabhängig und sie werden sozial eingebunden, weil sie zum Beispiel mit ihrem Banknachbarn zusammenarbeiten. Fordern und fördern Sie den individuellen Lernprozess Ihrer Schüler durch Aufgaben, die sie sich an einer Lerntheke (M 4 M 8) selbst ausgesucht haben. Die Lerntheke behandelt vorwiegend Inhalte der analytischen Geometrie, insbesondere den Schnitt zweier und dreier Ebenen. Sie umfasst fünf Arbeitsblätter. So bereiten Sie die Lerntheke vor Kopieren Sie die Materialien M 4 M 8 jeweils in Klassenstärke und legen Sie sie auf den Fensterbänken oder einem separaten Tisch stapelweise aus. Ein Exemplar eines jeden Materials stecken Sie in eine Klarsichthülle bzw. laminieren es. Die Lösungen zu M 4 M 8 kopieren Sie ebenfalls in Klassenstärke und legen sie getrennt von den Arbeitsblättern, z. B. auf dem Lehrerpult, aus. M 6 und M 7 bilden dabei eine Einheit. Ein Exemplar der Lösung stecken Sie jeweils in eine Klarsichtfolie bzw. laminieren es. Die Lernerfolgskontrolle (M 9) und ihre Lösung kopieren Sie in Klassenstärke. Jeder Schüler bringt ein großformatiges Heft mit (DIN A4, Karo, mit Rand), in das er die Arbeitsblätter einklebt und die schriftlichen Notizen (Rechnungen) einträgt. Foto: Franz-Michael Becker Eine Lerntheke im Klassenraum

3 Reihe 8 S 4 Verlauf Material Auf einen Blick Einstieg: Das Lösen linearer Gleichungssysteme wiederholen (HA = Hausaufgabe) Material Thema Stunde M 1 M 2 M 3 Viehhandel in China Text in Gleichungen übersetzen Eine schrittweise Anleitung zur Lösung von Textaufgaben Lineare Gleichungssysteme (LGS) im Alltag Textaufgaben mithilfe linearer Gleichungssysteme lösen Schnitt oder kein Schnitt Lagebeziehungen beschreiben Ein Versuch mit Schaschlikstäben: Die Lagebeziehung von Geraden im zwei- und dreidimensionalen Raum beschreiben Lerntheke: Der Gauß-Algorithmus zur Lösung eines linearen Gleichungssystems Material Thema Stunde M 4 M 5 Wie Carl Friedrich Gauß Unbekannte eliminierte Einführung der Stufenform eines LGS Vervielfachen und addieren der Gauß sche Algorithmus Elementare Zeilenoperationen üben, die Matrixschreibweise kennenlernen und das LGS in die Stufenform überführen Lineare Gleichungssysteme geometrisch betrachtet Material Thema Stunde M 6 M 7 M 8 LGS mit Parameter und geometrische Deutung eines LGS Ein lineares Gleichungssystem mit einem Parameter lösen; Eigenschaften eines Parameters; ein LGS geometrisch deuten Ebenen schneiden die algebraische Lösung eines LGS Lösung eines LGS als Schnittmenge dreier Ebenen Lineare Gleichungssysteme in Anwendungen Eine Ebenengleichung in Koordinatenform aufstellen; eine Funktionsvorschrift für eine ganzrationalen Funktion inden HA Lernerfolgskontrolle Material Thema Stunde M 9 (LEK) Lineare Gleichungssysteme testen Sie Ihr Wissen! Gauß-Algorithmus; zeichnerische Lösung; geometrische Deutung 8. Minimalplan Beschränken Sie sich auf die Materialien M 4 und M 5. Die Materialien M 1 und M 2 haben die Schüler als Hausaufgabe bearbeitet.

4 S 1 M 1 Viehhandel in China Text in Gleichungen übersetzen Aufgabe Verkauft man 2 Elefanten und 5 Hammel, so kann man sich dafür 13 Schweine kaufen und hat noch 1000 Münzen übrig. Verkauft man 3 Elefanten und 3 Schweine, so kann man dafür genau 9 Hammel kaufen. Verkauft man 6 Hammel und 8 Schweine und legt noch 600 Münzen drauf, so erhält man dafür 5 Elefanten. Was kosteten Elefant, Hammel und Schwein um etwa 200 Jahre v. Chr. in China? So geht s Drücken Sie die Angaben in Form von Gleichungen aus. Beispiele Verkauft man 3 Elefanten und 3 Schweine, so kann man dafür genau 9 Hammel kaufen. Lautet in mathematischer Kurzschrift (als Preis für einen Elefanten x Preis für einen Hammel x Preis für ein Schwein 3 + 3x 3 = 9x 2 3 9x 2 + 3x 3 Verkauft man 6 Hammel und 8 Schweine und legt noch 600 Münzen drauf, so erhält man dafür 5 Elefanten. 6x 2 + 8x = x 2 + 8x 3 = 600 Man erhält so das lineare Gleichungssystem: (I) 2 + 5x 2 13x 3 = 1000 (II) 3 9x 2 + 3x 3 (III) 5 + 6x 2 + 8x 3 = 600 Wir dividieren (II) durch 3, lösen nach auf und setzen die erhaltene Gleichung in (I) und (III) ein. Also: (II ) = 3x 2 In (I) 2 (3x 2 ) + 5x 2 13x 3 = 1000 (IV) 11x 2 15x 3 = 1000 In (III) 5 (3x 2 ) + 6x 2 + 8x 3 = 600 (V) 9x x 3 = 600 Wir bilden (IV) 9 + (V) 11 und erhalten die Beziehung: 135x x 3 = x 3 = 2400 x 3 = 300; also x 2 = 500 (aus (IV) oder aus (V)); =1200 (aus (II )) Ein Elefant kostete 1200 Münzen, ein Hammel 500 Münzen und ein Schwein 300 Münzen. Probe: (I) = 1000

5 S 2 M 2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) im Alltag Dies sind einige Textaufgaben, die Sie durch ein lineares Gleichungssystem beschreiben und dann mit dem in M 1 dargestellten Verfahren lösen können. Aufgaben 1. Suchen Sie sich zwei Textaufgaben aus und lösen Sie sie. Bezeichnen Sie die unbekannten Größen mit und x Erstellen Sie ein Schema zur Lösung solcher Aufgaben. Präsentieren Sie Ihr Schema an einem Beispiel. Aufgabe 1 Im Elektrofachmarkt Nina und Ben sind in einem Elektrofachmarkt und zahlen wie folgt: Nina: 1 DVD und 2 CDs: 70 Ben: 2 DVDs und 1 CD: 80 Wie teuer ist 1 CD/1 DVD? Lösung: = 30, x 2 = 20 Aufgabe 3 Aus der Algebra von Leonard Euler 20 Personen Männer und Frauen besuchen ein Gasthaus. Die gesamte Zeche beträgt 144 Groschen (entspricht 6 Reichstalern). Jeder Mann gibt 8 Groschen, jede Frau 7 Groschen. Wie viele Männer und wie viele Frauen waren es? Lösung: = 16, x 2 = 4 Leonhard Euler ( ), Pastell von Emanuel Handmann, 1753 (Kunstmuseum Basel) Aufgabe 2 Aus der Landwirtschaft Kaninchen gegen Hühner, wer ist in der Überzahl? Auf einem Bauernhof gibt es Kaninchen und Hühner. Es sind insgesamt 381 Tiere. Alle Tiere zusammen haben 1192 Beine. Wie viele Kaninchen und wie viele Hühner sind auf dem Bauernhof? Lösung: = 215, x 2 = 166 Aufgabe 4 Aus Mathematik in neun Büchern von Liu Hui Der Kauf von 2 Ochsen und 5 Eseln kostet 350 Münzen. Anstatt 10 Esel zu kaufen, kann man auch 1 Ochsen kaufen, muss aber noch 50 Münzen draufzahlen. Was kosteten ein Ochse und ein Esel zur Zeit Liu Huis in China? Info: Im alten China gab es ein Lehrbuch Mathematik in neun Büchern, das wahrscheinlich um 180 v. Chr. vom Mathematiker Shang Cang verfasst wurde und uns in der Bearbeitung von Liu Hui aus dem Jahre 263 n. Chr. überliefert ist. Lösung: = 150, x 2 = 10 Foto: Pixelio, R. Ruth

6 S 3 M 3 Schnitt oder kein Schnitt Lagebeziehungen beschreiben Geraden, die lineare Gleichungen darstellen, können unterschiedlich verlaufen. Wie verhalten sie sich zueinander? Arbeiten Sie mit Ihrem Tischnachbarn zusammen. Jeder von Ihnen braucht 2 Schaschlikstäbe. Kontrollieren Sie sich gegenseitig. Dann tauschen Sie die Rollen. Partner 1 erhält die schwierigere Aufgabe, Partner 2 die leichtere. Schnittpunkt. Die Lösungsmenge ist leer. b) Die Geraden schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt. Dieser Schnittpunkt ist das einzige Element der Lösungsmenge. c) Die Geraden sind identisch. Daher ist jeder der unendlich vielen Punkte auf den Geraden auch Schnittpunkt. Es gibt unendlich viele Lösungen. a) Die Geraden sind entweder parallel aber nicht identisch oder windschief. Sie haben keinen Lösungen Ihres Partners: c) l = {unendlich viele Lösungen} b) l = {genau eine Lösung} a) l = {keine Lösung} Ordnen Sie den Lösungsmengen eine Lagebeziehung der beiden Geraden zu: Nehmen Sie 2 Schaschlikstäbe und legen Sie sie auf den Tisch. Sie stellen je eine Gerade dar. Der Tisch steht für eine zweidimensionale Ebene. Untersuchen Sie, wie die beiden Geraden in der Tischebene zueinander liegen können. Versuchsdurchführung:? Tandempartner 1 (2 Geraden in der Ebene)?? Tandempartner 2 (2 Geraden im Raum) Versuchsdurchführung: Nehmen Sie 2 Schaschlikstäbe in die Hand. Jeder Stab stellt eine Gerade im dreidimensionalen Raum dar. Untersuchen Sie, wie die 2 Geraden im dreidimensionalen Raum zueinander liegen können. Ordnen Sie den folgenden Lösungsmengen eine Lagebeziehung der zwei Geraden zu: a) l = {keine Lösung} b) l = {genau eine Lösung} c) l = {unendlich viele Lösungen} Lösungen Ihres Partners: a) Die Geraden sind parallel, aber nicht identisch. Sie haben keinen Schnittpunkt. Die Lösungsmenge ist leer. b) Die Geraden schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt. Dieser Schnittpunkt ist das einzige Element der Lösungsmenge. c) Die Geraden sind identisch. Daher ist jeder der unendlich vielen Punkte auf den Geraden auch Schnittpunkt. Es gibt unendlich viele Lösungen.

7 S 5 M 4 Wie Carl Friedrich Gauß Unbekannte eliminierte Ein Vergleich der beiden nachfolgenden Gleichungssysteme zeigt Ihnen, dass System (B) wesentlich einfacher zu lösen ist als System (A). Seine Stufenform gestattet es nämlich, von unten nach oben eine Unbekannte nach der anderen zu bestimmen. (A) 2 = 1 (I) + 3 x 2 = 2 (II) x x 3 = 2 (III) (B) 2 x 3 = 1 (IV) x x 3 = 1 (V) x 3 = 4 (VI) Ein Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme kannten die Chinesen bereits 200 v. Chr. Carl Friedrich Gauß ( ) einer der größten Mathematiker aller Epochen entdeckte dieses Verfahren neu und wandte es systematisch an. Von Gauß stammen fundamentale Beiträge zur Zahlentheorie, Geometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik sowie wichtige Entdeckungen auf den Gebieten Astronomie und Elektromagnetismus. Die Grundidee des Gauß schen Algorithmus besteht darin, ein gegebenes lineares Gleichungssystem etwa von der Form (A) so umzuformen, dass es die Stufenform (B) erhält. Natürlich darf sich bei diesen Umformungen die Lösungsmenge nicht ändern. Man darf daher nur Äquivalenzumformungen anwenden. Äquivalenzumformungen sind: 1. Vertauschen zweier Gleichungen 2. Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl c r \ {0} Carl Friedrich Gauß ( ) 3. Ersetzen einer Gleichung durch die Summe (oder Differenz) eines Vielfachen (Faktor 0) dieser Gleichung und eines Vielfachen (Faktor 0) einer anderen Gleichung. Lithographie: Siegfried Detlev Bendixen in Astronomische Nachrichten 1828 Aufgaben 1. Bringen Sie System (A) durch äquivalente Umformungen auf die Form von System (B). Besprechen Sie mit Ihrem Banknachbarn, wie Sie dabei am sinnvollsten vorgehen. 2. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der beiden Gleichungssysteme. Merke: Was ist ein Algorithmus? Das Gauß sche Verfahren ist eine eindeutige, endliche Vorschrift zur schematischen Lösung eines linearen Gleichungssystems. Solche Vorschriften nennt man in der Mathematik Algorithmen.

8 S 7 M 6 LGS mit Parameter und geometrische Deutung eines LGS Das hier vorgestellte lineare Gleichungssystem unterscheidet sich von den Gleichungssystemen, die Sie bisher kennengelernt haben: Es hat einen Parameter m r. (I) = 1 (II) x 2 + m x 3 = -1; m r (III) x 2 + m 2 x 3 = 1 Aufgabe 1: Lineare Gleichungssysteme (LGS) mit einem Parameter lösen a) Setzen Sie in obigem LGS m = -1. Lösen Sie das LGS, das Sie so erhalten. b) Zeigen Sie, dass das LGS für m = 2 nicht lösbar ist. c) Ermitteln Sie die Lösungsmenge des LGS in Anhängigkeit von m. d) Beschreiben Sie die einzelnen Schritte des Gauß schen Eliminationsverfahrens. e) Welche Bedingung muss m erfüllen, damit für den in Aufgabenteil c) ermittelten -Wert gilt: > 1? f) Zeigen Sie, dass das folgende System für alle k 2 genau eine Lösung hat. (I) x x 3 = 3 (II) 17 = 3 (III) 16 + k x 2 = 3 Aufgabe 2: Ein lineares Gleichungssystem geometrisch deuten Gegeben sind die linearen Gleichungssysteme System (A): (I) = 2 (II) x x 3 = 6 und x 3 x 2 System (B): (III) = -1 (IV) 3 x x 3 = 9 System A a) Warum haben die Systeme (A) und (B) jeweils unendlich viele Lösungen? Begründen Sie. b) Die Systeme (A) und (B) definieren jeweils eine Gerade. Zeigen Sie, dass diese Geraden sich in genau einem Punkt schneiden. Geben Sie die Koordinaten dieses Punktes an. c) Bestimmen Sie mithilfe des Gauß schen Algorithmus die Lösungsmenge des LGS, das entsteht, wenn Sie die Gleichungen des Systems (A) mit denen des Systems (B) zu einem Gesamtsystem zusammenfassen. Dieses Gesamtsystem besteht dann aus 4 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Es hat (aber) genau eine Lösung.

9 S 8 M 7 Ebenen schneiden die algebraische Lösung eines LGS Der Gauß sche Algorithmus ist nur eine Möglichkeit, ein LGS zu lösen. Man kann sich auch klarmachen, dass eine lineare Gleichung mit drei Unbekannten eine Ebene im Raum repräsentiert. Dann bedeutet das Lösen des LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten, dass man einen Schnittpunkt der drei Ebenen im Raum ermittelt. Diesen Weg nennt man die algebraische Methode. Beispiel Betrachten Sie das folgende LGS: (I) = 8 (II) 2 = 11 (III) + 2 x 3 = 13 Aufgaben 1. Ermitteln Sie die Lösungsmenge mithilfe des Gauß schen Algorithmus. 2. Deuten Sie die drei Gleichungen des LGS als die Gleichungen dreier Ebenen: E 1 : = 8 E 2 : 2 = 11 E 3 : + 2 x 3 = 13 Präsentieren Sie Ihre Überlegungen zur Bestimmung der Schnittmenge der drei Ebenen anhand einer Reihe von Folien. Ermitteln Sie die Schnittmenge der Ebenen (1) E 1 und E 2 sowie (2) E 1 und E 3. Unten sind die drei Ebenen E 1, E 2 und E 3 ausschnittsweise im Schrägbild dargestellt. Überlegen Sie sich eine geeignete Abfolge der Folien. 3. Zeigen Sie, dass die Ebenen E 1 : E 2 : x 2 E 3 : = 8 keinen gemeinsamen Punkt haben können. 4. Zeigen Sie, dass die Ebenen E 1 : E 2 : x 2 E 3 : unendlich viele Punkte gemeinsam haben. x 3 x 2

10 S 9 M 8 Lineare Gleichungssysteme in Anwendungen Merke: Aufstellen einer Ebenengleichung in Koordinatenform Jede Ebene E lässt sich durch eine Koordinatengleichung a + bx 2 + cx 3 = d; a, b, c, d r beschreiben, bei der mindestens einer der Koeffizienten a, b, c 0 ist. Man wählt drei Punkte A, B und C, die auf der Ebene liegen, und löst das dadurch entstehende lineare Gleichungssystem mit den Variablen a, b und c und dem Parameter d. Der Parameter d wird in der Regel so gewählt, dass die Variablen a, b und c ganzzahlig sind. Beispiel Gegeben sind die Punkte A(1-3 2), B(2 2 15) und C(-4 1-5). Dann lautet das entsprechende lineare Gleichungssystem: (I) (II) (III) a 3b + 2c = d 2a + 2b + 15c = d 4a + b 5c = d Die Lösung lautet: 3 a= d; 5 2 b = d; 5 1 c = d 5 Setzt man nun d := -5, so erhält man eine Koordinatengleichung der Ebene: E: 3 + 2x 2 = -5 Aufgabe 1: Aufstellen einer Ebenengleichung in Koordinatenform Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E, die durch die Punkte A(1 0 2), B (0 2 3), C (-1 2 0) geht. Sie können hier d := 1 setzen Aufgabe 2: Die Gleichung einer ganzrationalen Funktion aufstellen Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 5. Grades, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, in T(1-2) einen Tiefpunkt hat und durch den Punkt P(2 20) geht. Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion 5. Grades lautet: f(x) = ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f Stellen Sie Gleichungen auf und lösen Sie diese. Dabei hilft Ihnen die Übersetzungstabelle. Übersetzungstabelle ist symmetrisch zur y-achse. ist punktsymmetrisch zum Ursprung. geht durch den Punkt A(3 2). f(3) = 2 hat in A(3 2) einen Tiefpunkt. f(3) = 2 und f (3) Es treten nur gerade Exponenten von x auf. Es treten nur ungerade Exponenten von x auf.

11 S 1 Lösungen und W Tipps zum Einsatz M 2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) im Alltag Die Aufgabentexte lassen sich jeweils in mathematische Kurzschrift übersetzen: ein System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten. Es gibt drei verschiedene Methoden, um ein solches LGS zu lösen: das Gleichsetzungs-, Einsetzungs- und Additionsverfahren (RAAbits I/C, Reihe 35). Welchem Verfahren man den Vorzug gibt, lässt sich nur individuell entscheiden. Es gibt kein allgemeingültiges Rezept, bei welchem LGS welche Lösungsmethode zielführend ist. Erst mit viel Routine bekommt man ein Gefühl dafür, wie man am besten vorgeht. Hier wurde das Additionsverfahren angewendet. Diese Methode eignet sich auch, um LGS mit mehr als zwei Gleichungen zu lösen. Ein Schema zur Lösung solcher Aufgaben Zunächst sucht man sich alle relevanten Werte aus dem Text heraus. Man markiert sie z. B. mit einem Textmarker. Anschließend stellt man Gleichungen auf und löst diese. So erhält man die zu berechnenden Werte. Lösungen zu den Textaufgaben: Aufgabe 1 Kosten für eine DVD: Kosten für eine CD: x 2 Es gelten die Gleichungen: (I) + 2x 2 = 70 (II) 2 = 80 Wir multiplizieren (I) mit -2 und addieren dies zu (II): (II ) 3x 2 = -60, also x 2 = 20. Eingesetzt in (I) erhalten wir = = 30. Eine DVD kostet 30, eine CD kostet 20. Aufgabe 3 Aufgabe 2 Anzahl der Kaninchen: Anzahl der Hühner: x 2 Es gelten die Gleichungen: (I) = 381 (II) 4 + 2x 2 = 1192 Wir multiplizieren (I) mit -4 und addieren dies zu (II): (II ) 2x 2 = -332, also x 2 = 166. Eingesetzt in (I) erhalten wir = = 215. Auf dem Bauernhof gibt es also 215 Kaninchen und 166 Hühner. Aufgabe 4 Anzahl der Frauen: Anzahl der Männer: x 2 Es gelten die Gleichungen: (I) = 20 (II) 7 + 8x 2 = 144 Wir multiplizieren (I) mit -7 und addieren dies zu (II): (II ) x 2 = 4. Eingesetzt in (I) erhalten wir = 16. Im Gasthaus waren 16 Frauen und 4 Männer. Kosten für einen Ochsen: Kosten für einen Esel: x 2 Es gelten die Gleichungen: (I) 2 + 5x 2 = 350 (II) 10x = Wir multiplizieren (II) mit 2 und addieren dies zu (I): (II ) 25x 2 = 250, also x 2 = 10. Eingesetzt in (I) erhalten wir = 150. Ein Ochse kostete 150 Münzen, ein Esel 10 Münzen.