2 Zeitabhängige Prozesse mit Rückkopplung

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1 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung Zeiabhängige Prozesse, die ein Gedächnis zeigen, können nich durch lokale Gleichungen, also Gleichungen, die nur den momenanen Zusand des Sysems enhalen, vollsändig beschrieben werden. Solche Prozesse, die Zusände aus der Vergangenhei berücksichigen, heißen nich-markovsche Prozesse. In den Arbeien [47 5] wurden Modelle vorgesell, die solche Rückkopplungen und dami Gedächnis enhalen. Dabei wurde nich von ersen Prinzipien ausgegangen, sondern es sind rein phänomenologische Ansäze, die zur Erweierung bekanner Populaionsmodellen bzw. Raengleichungen führen, wie sie im vorangegangenen Abschni vorgesell wurden. Diese Modelle sind Ausgangspunk der Unersuchungen dieser Arbei zu zeiabhängigen Prozessen mi Gedächnis und sollen deshalb hier vorgesell werden. Die Anwendung solcher Modelle beschränk sich dabei bei weiem nich nur auf die Populaionsdynamik. Konzepe und Mehoden aus der saisischen Physik werden auch in Bereichen, wie z. B. in der biologische Evoluion [4], der Poliik [5] bzw. zur Beschreibung von Finanzmärken [53 56], von komplexen Sysemen vom Herzschlag bis zum Weer [57], der medizinischen Versorgung [58] bis zur Ökologie [59] verwende, um die grundlegenden Prozesse zu erfassen und zu beschreiben. Ähnlich zur saisischen Physik besehen die erwähnen Syseme aus einer großen Anzahl mieinander wechselwirkenden Einheien. So sind z. B. individuelle Agenen, die Finanzransakionen durchführen, denkende Einheien, deren jeweiligen Wechselwirkungen im Deail nich besimm werden können. Komplexe Syseme im ökonomischen Zusammenhang unerscheiden sich in dieser Hinsich von denen in der Physik unersuchen Sysemen. Nichsdesoroz enwickeln sich Finanzdaen nach Gesezen und Mehoden, die ebenfalls in der saisischen Physik von Relevanz sind. Einige Zeireihen finanzieller Daen lassen sich via Zufallsprozess, z. B. der Brownschen Bewegung, beschreiben [6]. Ein Grund, warum man versuch Finanzsyseme mi Mehoden, die eigenlich für physikalische Syseme enwickel wurden, zu beschreiben, is die Herausforderung, die Dynamik sark flukuierender Syseme mi einer großen Anzahl wechselwirkender Elemene zu versehen [6, 6]. Dabei werden durchaus auch einfache Modelle diskuier, deren Grundlage direk in Markszenarien liegen und deren Dynamik, die von generellen Ineresse sind, auf mikroskopischer Ebene unersuch werden. Einen anderen Ansaz finde man in [63], in dem direk die Dynamik des Geldes modellier wird, wobei die dor aufreenden Evoluionsgleichungen komple anders im Vergleich zu denen in dieser Arbei unersuchen sind. Die Bücher von Banks und Murray [4, 4] bieen einen breien Querschni an Evoluionsgleichungen für die verschiedensen Anwendungsgebiee und Anwendungen. Dor werden auch wesenliche Lösungsmehoden anschaulich präsenier. Was haben die Evoluionsgleichungen, die im obigen Konex und in dieser Arbei verwende werden gemeinsam? Sie sollen die zeiliche Änderung einer physikalisch messbaren Größe beschreiben und haben die Form von Raengleichungen, bei denen die Änderung durch Gewinn- und Verluserme erfass wird. In der Populaionsdynamik wären solche Gewinnbzw. Verluserme, die Geburen- bzw. Serberaen, die in einfachen Modellen genügen, um

2 . Kumulaive Rückkopplung die zeiliche Enwicklung der Anzahl an Migliedern der Populaion zu berechnen, siehe dazu Abschni.3 bzw. [7,, 4 4, 56, 64, 65]. Neben der Populaionsdynamik finden solche Raengleichungen Anwendung in der Reakionskineik, d. h. zur Beschreibung chemischer Reakionen. In diesem Fall is die relevane physikalische Variable die Teilchenzahl einer chemischen Spezies N() bzw. die Konzenraion = N() /V. Im Folgenden sei die relevane, zu unersuchende Größe mi bezeichne. Je nach Anwendungsgebie ensprich das dann enweder der Konzenraion der Miglieder einer Populaion oder einer chemischen Subsanz [64, 66 69]. In der Mehrzahl der Modelle wird die Änderung als insanan angenommen. Die beschreibenden Gleichungen sind zeilokal, d. h. die zeiliche Änderung is gleich Gewinn- bzw. Verlusermen zum gleichen Zeipunk, wobei diese Terme i. Allg. eine Funkion f von sind (f = f[]). Prinzipiell is dies aber nur eine Näherung zu Prozessen, die mi Transpor verbunden sind. Die Änderung einer Größe kann als Response auf eine reibende Kraf oder einem Konzenraionsgradienen erfolgen, welche die Änderung verursachen. Diese Anwor muss nich immer insanan erfolgen, im Gegeneil, im Einzelfall is sie zeiverzöger. In den meisen Fällen is die dieser Zeiverzögerung ensprechende Skala im Vergleich zu den andere Zeiskalen, die die Dynamik des Gesamsysems ausmachen, vernachlässigbar. Solche Zeiskalen sind z. B. die Reakionszei bzw. Transporzei. Prinzipiell müsse die Güligkei der Näherung, die auch Markovsche Näherung genann wird, dann überprüf werden.. Kumulaive Rückkopplung In diesem Abschni wird ein verallgemeineres Loka-Volerra-Modell vorgesell, bei dem zu den bekannen Termen (siehe Abschni.3 bzw. [3 7, 46, 7]) ein kumulaiver Rückkopplungserm hinzugefüg wurde, sodass die Evoluionsgleichung durch folgende Form ˆ = r u p () λ p(ξ) dξ (.) dargesell werden kann. Dieses Modell wurde in [7] und [7] vorgesell, haupsächlich um mahemaisch mehodische Ideen zur Approximaion und numerische Lösungen zu illusrieren. Eine geschlossene (explizie) Lösung dieser Gleichung (.) is nich möglich. Dies is sicherlich auch ein Grund, warum in vielen Modellierungen Rückkopplungs- bzw. Gedächniseffeken nich häufig verwende werden, auch wenn diese poenziell sinnvoll wären. Das lieg daran, dass die Komplexiä im Vergleich zu lokalen Evoluionsgleichungen durch die Hinzunahme der Rückkopplungserme anseig. So wird für λ aus der wohlbekannen logisischen Gleichung (λ = ), welche eine Differenzialgleichung is, für die ein umfassendes Reperoire an Lösungsmöglichkeien beseh, eine Inegro-Differenzialgleichung. Die ersen beiden Terme auf der rechen Seie sind lokal und die aus der logisischen Gleichung bzw. dem Pearl-Verhuls-Modell bekannen Terme (siehe Gleichung (.4) und in den oben genannen Lieraursellen). Der erse lineare Term is ein Wachsumserm, der mi der Geburenrae r > gewiche wird, welche eine inverse Zeiskala repräsenier. In der Anfangsphase der Enwicklung einer Populaion vieler Syseme genüg dieser lineare Term, der auf ein exponenielles Anwachsen der Anzahl der Populaionsmiglieder hinausläuf. Dieses exponenielle Verhalen führ naürlich zu einem unbeschränken Wachsum der Populaion oder der zu Ein Reprin dieser Arbei finde man in [73], in der auch eine umfassende Lise weierführender und ergänzender Lieraur aufgelise is. 4

3 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung beschreibenden relevanen Größe. Deshalb wurde das Malhus-Gesez [3], durch den zweien Term in Gleichung (.4) bzw. (.) erweier. Der quadraische Term, der mi der Rae u > gewiche wird, sorg dafür, dass das Wachsum beschränk bleib und für große Zeien die Populaion bzw. Konzenraion in einen saonären Wer münde: lim = p s. Manchmal dien dieser saionäre Wer (Fixpunk, Grenzwer) auch als zweier Parameer im Pearl-Verhuls-Modell und wird im Konex der Populaionsdynamik ragende Kapaziä K genann, weil sie die maximale Zahl der das Sysem aufnehmenden Miglieder der Spezies in einem vorgegebenen Reservoir markier. Der drie Term p(ξ) dξ, der die Änderung der relevanen Größe im Modell (.) besimm und der die Verallgemeinerung bzw. Neuerung ausmach, liefer ein erses Beispiel für rückgekoppele Differenzial- bzw. Evoluionsgleichungen. Mi der Zeiinegraion über die relevane Variable über den gesamen Zeibereich = (o. B. d. A. dem Beginn des Experimens) bis zur momenanen Zei wird die gesame Geschiche der relevanen Größe erfass. Die momenane zeiliche Änderung wird durch die gesame Vergangenhei der Größe besimm, deshalb wird diese Ar von Gedächnis kumulaiv genann. Alle Änderungen in der Vergangenhei, wie ewa Muaionen in der Populaion, Klimaänderungen, die zu Wüsenbildung und Überdüngung führen, haben einen Einfluss auf die Geburen- und Serberae. Genauso können falsche Invesiionen oder fehlgeschlagene Spekulaionen in kumulaiver Weise dazu beiragen, dass der derzeiig zur Verfügung sehende Geldberag verringer wird. Die Sensiiviä dieses Termes auf die Evoluion wird durch die Rae λ geseuer. Wie schon in Abschni.3 beschrieben, is für λ = das Modell (.), das dann äquivalen zu Gleichung (.4) is, exak lösbar. Der Langzeigrenzwer p s dieses Falles is der Quoien aus den beiden in Gleichung (.) verbleibenden Raen r /u. Bei λ änder sich dieses Langzeiverhalen. In [47, 48] wird das Modell (.) uner physikalischem Gesichspunk auch im Zusammenhang nich-markovscher Evoluionsgleichungen unersuch und zusäzlich dazu der Fall λ < berache, der in [7 73] ausgespar blieb. Dabei sehen der lokale Teil und der Gedächniserm gerade bei diesem Fall in Konkurrenz zueinander. Die vier Parameer, r die Geburenrae (mi der Einhei /s), u die Serberae (mi der Einhei /[p] s), λ die Särke der Rückkopplung (mi der Einhei /[p] s ) und die Anfangsbedingung p (mi der Einhei [p]), die allesam als konsan über den gesamen Zeiraum angenommen werden, besimmen das Verhalen der relevanen Größe. Durch Skalierung der Zei und der relevanen Größe kann die Anzahl der das Verhalen besimmenden Parameer auf zwei reduzier werden. So sind mögliche Zeiskalen /r und u /λ, während mi p s = r /u, λ /u bzw. p skalier werden kann. In [7, 73] wurden diese Skalierungen p ( ) = u r p ( r ), p ( ) = u ( u ) r p λ, p 3 ( 3 ) = λ ( r p 3 r ) bzw. ( p 4 ( 4 ) = u u ) λ p λ 4 verwende. Man verifizier leich, dass für die zweie der oberen Skalierungen, die dimensionslose Gleichung κ p ˆ ( ) = p ( ) p ( ) p ( ) p (ξ) dξ mi κ = λ r u (.) folg, wobei κ ein dimensionsloser Parameer is, der eine Kombinaion aus allen drei Raen is. Für die anderen drei Skalierungsmöglichkeien seh dieser Parameer bzw. sein inverser 5

4 . Kumulaive Rückkopplung Wer jeweils als Vorfakor der drei Terme auf der rechen Seie der Gleichung (.). Die Grenzfälle κ bzw. κ dienen zur exaken Berechnung von Näherungslösungen, die im Deail in [7, 73] diskuier und analysier werden. Dabei sellen diese Näherungslösungen eine Grundlage zum Tes numerischer Verfahren zur direken Berechnung der Lösungen der Inegro-Differenzialgleichung (.) dar (siehe [7]). Aus der formalen Lösung der Gleichung (.) ˆ ˆτ p ( ) = p exp p (τ) p (ξ) dξ dτ (.3) κ läss sich sofor fessellen, dass, wenn p > gil, auch p ( ) für alle Zeien. Diese Fessellung is gerade für die Anwendung in der Populaionsdynamik von Wichigkei, da dor die Anzahl der Miglieder einer Populaion per se posiiv bzw. Null is. Eine weiere Möglichkei, das Modell zu analysieren und dessen Eigenschafen feszusellen, beseh darin, folgende Größe R() = λ einzuführen. Diese neue Größe ermöglich es, Gleichung (.) mi ˆ = [r u R()] p(ξ) dξ (.4) R() = λ, (.5) in einer Ar Phasenraumbeschreibung zu berachen, wobei das obere Vorzeichen in der ersen Gleichung λ > ensprich. Die beiden Ansäze (.) und (.5) sind äquivalen. Das Sysem (.5) beseh aus zwei Gleichungen für die Größen und R(), wobei lezere über die Beziehung (.4) naürlich von der relevanen Größe abhäng und beide Größe somi nich unabhängig voneinander sind. R() kann als eine über den Zeiraum der Messung akkumuliere Diche berache werden. Voreil des Sysems is, dass beide Gleichungen lokal sind und somi bekanne Mehoden aus der Behandlung gewöhnlicher Differenzialgleichungen [5] angewende werden können. Auch beseh die Möglichkei, aus der Berachung dieses Sysems, Rückschlüsse über das Verhalen der Lösung zu erlangen, ohne diese explizi zu lösen [7]. So kann man eine Lösung p(r) in der folgenden Ar p(r) = ( p p s λ ) u exp ( u ) λ R + ( p s ± λ u R ) u (.6) aufsellen. Für das Sysem relevane Trajekorien gehen von der posiive p-achse aus, d. h. (R, p) = (, p ) mi p >. Wie in Gleichung (.3) gezeig worden is, gil dann > für alle >. Mi der Beziehung (.4) folg, dass R() monoon seig und R() > für alle >, d. h. die Trajekorien liegen im. Quadranen des Phasenraums. Aus dem Sysem (.5) kann man ablesen, dass für die Punke der Nullisokline I : r u R() = saionär is, also gil. Für Zusände (R, p) unerhalb von I gil > und somi wächs. Dagegen fäll, wenn die Zusände (R, p) oberhalb bzw. rechs von I liegen, weil dor < gil. Is also p <, so wächs bis die Linie I erreich is, danach fäll monoon, wenn größer wird, d. h. in diesem Fall ha sein Maximum auf I. Solle bei der Skalierung p ( ) seh κ vor dem kumulaiven Inegralerm, bei p 3 ( 3 ) seh κ vor dem quadraischen Term und bei p 4 ( 4 ) seh κ vor dem linearen Term 6

5 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung der Sarwer p sein, so nimm für wachsende ab, womi sofor klar is, dass p in diesem Fall Maximum is. Insgesam kann dann geschlussfolger werden, dass nach oben durch sein endliches Maximum beschränk is und nach unen durch Null. Mihilfe der Beziehung (.6) folg daraus, dass auch R() beschränk is, also es gil: ˆ lim R() = lim λ p(ξ) dξ = R <. Für Sarwere p lieg das Maximum p m von auf I. Der Wer von p m p ( e ) kann uner Verwendung von (.6) zu p m = p s λ ( ) u ln + κ u λ p und R e = λ ) ( u ln + κ u λ p (.7) berechne werden, wobei R e R ( e ) der Wer von R() (siehe Gl. (.4)) an der Exremselle e is. Eine grafische Darsellung des R p Phasenraums mi dem Richungsfeld des Sysems (.5) is in der Abbildung.(a) dargesell. Der Wer für κ λ /r u wurde auf /3 fesgeleg, wobei dabei r, u und λ als posiiv angenommen wurden. In dieser Figur sind auch die Trajekorien p(r) aus der Beziehung (.6) aufgeragen. Die numerische Berechnung erfolge durch das klassische Vorwärs-Euler-Verfahren. Die fese Schriweie wurde zu =, 5 gewähl und die zu verschiedenen Sarweren p gehörenden Trajekorien in das Richungsfeld eingezeichne, um das oben beschriebene Verhalen zu illusrieren. Neben den Trajekorien finde man dor auch die Nullisokline I, die im Phasendiagramm durch die Linie, die von (R, p) = (, ) nach (R, p) = (, ) läuf, gekennzeichne is. Sie markier die Maxima von für p... Der Fall u = Ähnlich wie für λ = läss sich der Fall, bei welchem der Parameer u in Gleichung (.) verschwinde (u = ), exak berechnen und man folger = p ( + A) e /τ ( + A e /τ ) mi τ(r, λ, p ) = r + λ p, A(r, τ) = r τ + r τ. (.8) Beache sei, dass man ein ähnliches Ergebnis auch für einen allgemeineren Kern der Form R() = λ pµ (ξ) dξ mi einem Exponenen µ erhalen kann: = p ( + A) /µ e /µ τ ( + A e /τ ) /µ, wobei die Parameer A und τ dann aber bezüglich des Exponenen µ modifizier sind. Eine Eigenschaf rückgekoppeler Syseme, die aus der vereinfachen Gleichung (.) abgelesen werden kann, is, dass die Zeiskala τ = τ(r, λ, p ) neben den einzelnen Raen auch den Sarwer enhäl. Diese Kopplung wird in den nun zu diskuierenden zwei Fällen offensichlicher, wobei die Fälle r τ > und r τ < unerschieden werden. Für r τ < is der Parameer A, siehe Gleichung (.8), posiiv. Dieser Fall ri ein, wenn λ p > gil. Eine solche Realisierung sei in Abbildung.(b) gezeig. In dieser Abbildung is sowohl die analyische Lösung (.8) als auch die mi explizier Euler-Mehode [74] für gepaar mi Recheckregel für die numerische Inegraion 7

6 . Kumulaive Rückkopplung.5.5 =, 5 =,.5.5 m m R() (a) Phasenraumporrai des Sysems (.5) im p R Raum, Richungsfeld für κ = /3 und Separarizen (.6) für verschiedene Sarwere p =,... mi p =, und p =, 5;, 5;, 75; (b) Numerische Lösung der Gleichung (.) für die Schriweien =, 5 und =, im Vergleich zur analyischen Lösung (.8) für den Spezialfall u = mi r =, λ = /3 und p = / λ =.6 u =, 5,.5.8, 5.4.6, 5.3.4,., 5., (c) Numerische Lösung der Gleichung (.) mi fixieren Parameern r =, u = und variablen λ (d) Numerische Lösung der Gleichung (.) mi fixieren Parameern r =, λ = und variablen u Abbildung.: Illusraion zur Lösung der mi einem kumulaiven Gedächnis erweieren Pearl-Verhuls-Gleichung. Phasenraumporrai des zu dieser Gleichung korrespondierenden Sysems (.5) mi Richungsfeld und speziellen Trajekorien für verschiedene Sarwere, numerische Lösungen der Gleichung (.) im Vergleich zu Spezialfällen, sowie Variaion der Parameer λ, u bzw. der dimensionslosen Größe κ = λ /r u zwei Schriweien =, 5 und =, berechnee Lösung aufgeragen, um diese zu Hier wie auch im Folgenden werde eine der möglichen dimensionslosen Varianen von (.) angenommen, 8

7 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung vergleichen bzw. die Qualiä der Numerik abzuschäzen. Ähnlich wie im logisischen Fall (λ = ) erfolg ein Ansieg für Sarwere p <. Da das kumulaive Gedächnis durch die unerschiedlichen Vorzeichen in Konkurrenz zum linearen Wachsumserm seh, wird für kein nichrivialer saionärer Wer erreich, sondern die Lösung fäll bis auf Null ab. Nachdem ein Maximum zur Zei ( ) r + λ p + r m = r + λ p ln r + λ p r ( ) + r τ = τ ln = τ ln(a) r τ durchlaufen wurde, wobei zur Zei m der Sarwer p wieder angenommen wird, verschwinde für große Zeien. Dies spiegel den oxischen Effek des Gedächnisses (negaive Rückkopplung) wider. Die Kurve zeig also im Spezialfall u = eine Spiegelsymmerie zur Achse = m, wenn man sie sich für negaive Zeien forgesez vorsell. Das Maximum ha einen Wer von p( m ) = p m = r / λ + p. Die numerischen Ergebnisse simmen selbs für die relaiv große Schriweie =, gu mi der analyischen Lösung (.8) überein, wie man Abbildung.(b) ennehmen kann. Die größen Differenzen gib es im Bereich des Maximums. Is der zweie Fall r τ > realisier, der mi λ p < gleichbedeuend is, so änder sich das Verhalen des Sysems drasisch. Das Sysem zeig dann ein singuläres Verhalen nach der endlichen Zei s m, d. h. nach dieser endlichen Zei ende die zeiliche Enwicklung in einem Crash, wenn man voraussez, dass der Sarwer p posiiv is. Während für λ > ungünsige äußere Bedingungen vorliegen, die zu einer Auslöschung der relevanen Größe führen, gil für den umgekehren Fall λ <, der gleichbedeuend mi einer posiiven Rückkopplung is, dass die Evoluion in einer Singulariä ende. Die Zei, an welcher die Singulariä aufri, kann alernaiv aus dem Sysem (.5) errechne werden: s = ˆ λ p(ξ) m. Ebenso lassen sich der kriische Wer und die Trajekorien im Phasenraum p(r) = p + r λ R λ R als Grenzfall u von Gleichung (.6) oder direk aus dem Sysem (.5) verifizieren, welche in diesem Fall eine Parabel is... Zusäzlicher Verluserm - Der Fall u Das allgemeine Modell (.) enhäl neben dem linearen Wachsumserm und dem kumulaiven Gedächniserm noch einen zusäzlichen (quadraischen) Verluserm, der das Verhalen im Vergleich zum im vorangegangenen Abschni diskuieren Fall u = änder. In der Abbildung.(a) sind alle drei Parameer r, u und λ posiiv. Ähnlich wie für den Fall u =, muss auch in diesem allgemeinen Fall unerschieden werden, ob λ posiiv oder negaiv is. Wenn λ negaiv is, dann konkurrieren beide nichlinearen Terme mieinander. Is dagegen λ >, wie auch in Abb..(a), ha die Trajekorie im Phasenraum ein Maximum (enweder am Sarwer oder auf I, siehe Gl. (.7)), welches immer posiiv is. Das Maximum ha einen Wer, der kleiner is als der saionäre Wer p s (λ = ), d. h. es gil p p m < p s. sodass in den Abbildungen und der Beschreibung auf Einheien verziche wird. 9

8 . Kumulaive Rückkopplung Die Abhängigkei bzw. der Einfluss des nichlinearen Verluserms u p () wird in der Abbildung.(d) dargesell. Der Parameer u änder das generelle Verhalen nich. Es is idenisch zum Fall u =. In der Abbildung.(d) is die Variaion des Parameers u aufgeragen. Dor sind r und λ posiiv gewähl und der Sarwer p =,, sodass zunächs anseig bis zum Erreichen eines Maximums, dann abfäll und für große Zeien verschwinde. Nichsdesoroz ha der quadraische Term, der durch den Parameer u geseuer wird, einen Einfluss auf Deails der einzelnen Kurven. So hängen die Höhe des Maximums und die Zei, nach dem dieses erreich wird, von der Größe u ab. Je größer u is, deso kleiner wird das Maximum, da mi posiivem u ein zusäzlicher Verlus verbunden is. Die numerischen Ergebnisse aus Abbildung.(d) sind in Übereinsimmung mi den aus der Phasenraumanalyse gefundenen Ergebnissen, also p(r e ) < p m. Für kleine u kann Gleichung (.6) zu p(r e ) = p m u r λ [p + r 3 λ ] + O ( u ) = p m κ [p + r 3 λ ] + O ( u ) enwickel werden. Weierhin wird das Maximum bei seigendem u zu früheren Zeien m angenommen, d. h. es gil m (u) < m (u = ). Die Symmerie bezüglich der Zeiachse m, die im Fall u = aufri, wird durch den quadraischen Term gebrochen. Die Zei ab dem Maximum bis zum erneuen Erreichen des Sarweres p is größer als m. Je größer u (je kleiner κ), deso größer wird der Unerschied zwischen diesen beiden Zeiinervallen. Dies wird in der Abbildung.(d) verdeulich, in der der Parameer u bei konsanen anderen Parameern variier wird. Während bei u =, 5 kaum eine Abweichung zu beobachen is, wird diese für u = 5 mehr als deulich. Hier erkenn man auch, dass der see Abfall nach für große Zeien mi seigendem u bzw. kleiner werdendem κ verlangsam wird. Wie beeinfluss nun das kumulaive Gedächnis die zeiliche Enwicklung des Sysems? Die Särke des Gedächnisses wird repräsenier durch die Größe des Parameers λ. Schon ein beliebiges (infiniesimales) λ > führ dazu, dass kein posiiver saionärer Wer erreich wird, sondern p( ) = gil. In Abbildung.(c) sei die Variaion von λ aufgeragen, wobei die anderen Sysemparameer erneu fesgehalen wurden. Eine Vergrößerung von λ bedeue eine Vergrößerung von κ, weil beide direk proporional zueinander sind, deshalb is die oben erwähne Diskrepanz zwischen der Zei zum Erreichen des Maximums m und der Zei zum erneuen Erreichen des Sarweres von diesem Maximum gerade bei kleinen Weren von λ offensichlich, während bei seigendem λ die symmerische Form der Kurve des Falls u = immer besser erreich wird. Bei seigendem λ > is ebenfalls zu beobachen, dass zum einen m immer kleiner wird, also das Maximum immer früher erreich wird und dass dieses immer kleiner wird, d. h. der oxische Effek des kumulaiven Gedächnisses wird mi seigendem λ dominan. Bisher wurde der Fall der negaiven Rückkopplung λ < für das Modell (.) weder in [7] noch in [7, 73] berache. In der Diskussion zum Fall u = wurde schon fesgesell, dass für λ < eine Singulariä nach einer endlichen Zei aufri. Dies erinner an die Resonanzkaasrophe für kleine Schwingungen. Wie im Fall der Resonanzkaasrophe kann diese verhinder werden, in dem man einen Reibungserm einbezieh. Diese Rolle wird im Modell (.) durch den Term u p () eingenommen. Diese Analogie wird ebenfalls deulich, wenn man die zu Gleichung (.) bzw. dem Sysem (.5) äquivalene Differenzialgleichung zweier Ordnung d w d + ew [ u dw ] d + λ = (.9) berache, wobei die Subsiuion w() = ln benuz wurde. In Analogie zu dem mechanischen Beispiel der Schwingungen kann für die Gleichung (.9) ein erses Inegral eingeführ

9 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung werden: E = (ṗ ) ± λ p = p ẇ + λ e w mi w() = ln, wobei E einer Energie ensprich, für deren zeilichen Änderung folgende Relaion gil de d = F mi F = u ṗ p Der zusäzliche quadraische Verluserm spiel hier die Rolle eines Dissipaionserms. Nun soll das Verhalen für den Fall λ < und u weier diskuier werden. Tri dieser Fall auf, verschieb sich der Zeipunk der Singulariä s m ins Unendliche. Deshalb is der Parameer u von großer Relevanz im Fall λ <, weil für dieses Vorzeichen von λ der quadraische Term der einzige Verluserm is. Die Lösung is dennoch unbeschränk und es gil für, wobei asympoisch exp ( λ /u) beobache wird. Diese asympoische Lösung läss sich auch schon aus der Gleichung (.9) ablesen, wo offensichlich ẇ = λ /u eine Lösung liefer. Uner dem Einfluss des kumulaiven Gedächnisses änder sich das Verhalen des Sysems oal. Bei dem Modell (.) handel es sich um eine Ar Spielmodell, welches nur einen Freiheisgrad und keine räumliche Variaion enhäl. Nichsdesoroz reffen im Modell jedoch Eigenschafen wie die Nichlineariä und Rückkoplung in Form eines vergangenheisabhängigen, kumulaiven Terms aufeinander, was in ähnlicher Ar und Weise auch in komplexeren Modellen vorkommen kann. Ein Beispiel für ein solches Modell bzw. eine Klasse solcher Modelle is mi der Ausbreiung von Epidemien gegeben, die auf einem Gier simulier werden. In [75, 76] werden genau solche Modelle, die die Ausbreiung von Epidemien durch gerichee Perkolaion und deren Verallgemeinerung durch Einbeziehen einer Immunisierung in den Gesamprozess beschreiben, vorgesell. Die gerichee Gierplazperkolaion finde auf einem Gier mi den Gierpunken ( r, ) sa, wobei eine ganzzahlige Zeikoordinae is. Zum Gierplaz ( r, ) beseh eine Verbindung (Bonds genann) zu einer besimmen Anzahl von Vorgängergierpunke ( r, ). Vorgegeben wird eine Quelle an Gierpläzen zum Zeipunk =. Es beseh mi der Wahrscheinlichkei p eine Verbindung zwischen dieser Quelle und dem Gierpunk ( r, ), wenn mindesens einer seiner Vorgänger ( r, ) mi der Quelle verbunden is, ansonsen is er nich verbunden. Dies definier einen Markov-Prozess. Für diese Wahrscheinlichkei exisier ein kriischer Wer p c, wofür gil: Wenn p < p c, dann nimm die Anzahl der mi der Quelle verbundenen Pläze exponeniell ab für, während für p > p c die Anzahl wie d wächs, wobei d die Dimension is. Nahe des kriischen Weres p c wird das Verhalen auf großen Skalen durch universelle kriische Exponenen beschrieben. Die gerichee Perkolaion dien als eine Möglichkei, die Ausbreiung von Epidemien zu simulieren. Infiziere Pläze sind dann solche, die mi der Quelle verbunden sind. Mi der Wahrscheinlichkei p überräg ein infizierer Zusand ( r, ) zum Zeipunk + die Infekion auf einen seiner Nachbarn. In diesem Modell erfolg eine augenblickliche Erholung von der Infekion und es beseh auch die Möglichkei, dass dieser Plaz erneu infizier wird. In [75, 76] wird das Modell leich modifizier, indem man eine Ar Immunisierung der Pläze annimm. Diese Verallgemeinerung des Modells führ dazu, dass die beschreibenden Gleichungen nich-markovsch, also nichlokal bzw. gedächnisbehafe, werden. Diese nich-markovsche Eigenschaf ri in [76] ebenfalls kumulaiv in folgender Form auf: φ( x, ) = D φ( x, ) r φ( x, ) u φ ( x, ) λ φ( x, ) e w φ( x, ) d + ξ( x, ), (.) engl. direced (sie-) percolaion, kurz DP.

10 . Kumulaive Rückkopplung wobei mi φ die lokale Akiviä bezeichne sei, die ein koninuierliches Feld uner dem Wirkungsinegral is und, welche in Verbindung mi der Besezungswahrscheinlichkei des Giers seh und somi als eine vergröbere Diche der akiven Gierpläze dienen kann. Für das Rauschen ξ( x, ) wird angenommen, dass es sich um weißes Rauschen (Gaußsches Rauschen) mi den Eigenschafen ξ( x, ) = und ξ( x, ) ξ( x, ) = u δ d ( x x ) δ( ) handel. Die Gleichung (.) is ein Beispiel für eine sochasische Reakions-Diffusionsgleichung. Berache man nun nur den Reakionserm der Gleichung (.) bzw. den deerminisischen Aneil, wenn man räumliche Homogeniä voraussez (φ( x, ) und ξ( x, ) ), dann sell man eine Analogie zwischen den Evoluionsgleichungen = r λ e w p( ) d = r ũ p () λ ˆ p( ) d fes, wenn man für die Parameer folgende Relaionen r r λ + w p, ũ w und λ r w verwende. Dies kann überprüf werden, wenn man die zu den Inegro-Differenzialgleichungen korrespondierende gewöhnliche Differenzialgleichung höherer Ordnung berechne und die Koeffizienen vergleich. Somi können die Berachungen aus [47, 48], zumindes für den homogenen Fall mi [76] verglichen werden. Dazu modifiziere man Gleichung (.) derar: = r u p () λ e w p( ) d = r ũ p () λ ˆ [ p ( ) v p( ) ] d, dass man den zusäzlichen quadraischen Term aus (.) mi r r λ + w p, ũ u + w, λ w u und v r /u erhäl.

11 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung. Gedächnisgeriebenes Ginzburg-Landau-Modell In diesem Unerabschni sollen die Ergebnisse, die man deaillier in [47, 49] finde, für ein weieres Modell, das dem aus den vorangegangenen Abschni ähnel, zusammengefass werden. Auch hier is das Anliegen, die generellen dynamischen Eigenschafen von Evoluionsgleichungen, wie Nichlineariäen, Bifurkaion usw. beizubehalen, diese aber geziel zu erweiern und zwar durch verzögere Rückkopplung. Die Reardierungseffeke des hier vorgesellen Modells werden charakerisier durch einen Gedächniskern K. Solch ein Gedächniskern kann berechne werden, wenn man dem bekannen Projekionsoperaorformalismus [9, 77] folg. Auch verallgemeinere Fokker-Planck-Gleichungen mi Gedächnis [78] als eine Ar von nichlinearen Evoluionsgleichungen können als Beispiel dienen, wo solch ein Gedächniskern aufri. Die Form und die Relevanz des Gedächniserms wurde in [78] mi analyischen und in [3, 3] mi numerischen Mehoden diskuier. Die Verwendung von Gedächnisermen in Evoluionsgleichung mihilfe des Projekionsoperaorformalismus zeig sich als bedeuend im Sudium von Einfrierprozessen in Gläser [, 79, 8]. In dem hier vorgesellen Modell erhäl man nichriviale analyische Ergebnisse, dadurch, dass der Gedächniskern K in selbsorganisierender Ar und Weise von der Basisgröße abhäng, d. h. der Kern zusandsabhängig is. Genauer gesag werde hier ein zeiabhängiges Ginzburg-Landau- Modell (GLM) unersuch. Dieses wird durch einen Gedächniserm erweier, wobei die dabei aufreende Rückkopplung nichlinear in der Basisgröße is. Dabei sind die Nichlineariäen, die dem GLM inhären sind, und der zusäzliche Gedächniserm von gleicher Ordnung, sodass zwischen diesen eine Ar Webewerb safinde. Die Ergebnisse hängen davon ab, wie sark das Gedächnis is. Auch hier wird diese Särke wieder über einen Parameer (λ) geseuer. Zusammen mi dem Sarwer p, der ebenso die Ergebnisse besimm, wird das p λ-phasendiagramm diskuier, das aufgrund der Rückkopplung im Vergleich zum nichrückgekoppelen Fall reichhaliger is. Die Basisgöße selle hier einen Ordnungsparameer dar, d. h. kann durchaus auch negaive Were annehmen im Gegensaz zur Populaionsdynamik. Die Resrikionen an die Größe müssen je nach Anwendung beache werden. Die Evoluionsgleichung, die wir in diesem Abschni berachen wollen, ha folgende Form: = r(p) u(p) λ ˆ K [ ; p(ξ)] p( ) d. (.) Der erse Term charakerisier einen Wachsumserm, der alle Zuwächse beinhale. Die Eingangsrae r(p) kann i. Allg. auch von dem insananen Wer von abhängen. Wenn man in einem Fall, in dem die Rae mi r(p) = r > angenommen wird, als eine besimme Menge an Geld inerpreier, so bedeue das, dass r Prozen des vorhandenden Geldes als Einkommen zur Verfügung seh. Is ein Ordnungsparameer im Zusammenhang mi Phasenübergängen, wie z. B. dem Übergang zwischen para- und ferromagneischen Verhalens bei einer kriischen Temperaur T c, dann is r proporional zur reduzieren Temperaur (r τ r = (Tc T ) /T c) und r > bedeue dann, dass man sich in der Tiefemperaurphase befinde. Allein dieser Wachsumserm würde ähnlich wie in der Populaionsdynamik zu einem exponeniellen Anwachsen der Größe führen. Um einen sabilen Zuwachs für posiive Raen r und u zu garanieren, wird der Verluserm zu u(p) p angenommen, was mi dem zeiabhängigen GLM korrespondier. Das generelle Verhalen der Größe, deren zeiliche Enwicklung von Gleichung (.) wiedergegeben wird, änder sich nich, wenn andere Poenzen von p für die Raen verwende werden. Offensichlich ri ein Webewerb zwischen Wachsum- und Verluserm auf, wenn 3

12 . Gedächnisgeriebenes Ginzburg-Landau-Modell man zunächs nur die ersen beiden Terme berache bzw. λ is, der dazu führ, dass für große Zeien ( ) in einen sabilen Fixpunk münde. Dieses Verhalen wird sark modifizer durch den Gedächniserm. Ein solcher Term kann als ein durch eine Rückkopplung verursacher Term versanden werden. Es wird angenommen, dass die Änderungsrae zum derzeiigen Zeipunk durch die Rae zu einem früheren Zeipunk < besimm wird. Es gib ein generelles Schema, Gleichungen vom Typ (.) zu berechnen [, ], wobei man von mikroskopischen Gleichungen sare. Der Typus der Basisgleichung dieses Abschnis enseh dabei, wenn man alle irrelevanen Variablen herausprojezier und dann eine der Gleichung (.) ähnliche erhäl, in der der Kern K in selbskonsisener Weise aufri. Der Parameer λ in Gleichung (.) charakerisier die Särke des Gedächnisses bzw. der Rückkopplung. Das Vorzeichen dieses Parameers besimm die Ergebnisse esseniell, wenn man annimm, dass der Kern K posiiv defini is. So bedeue λ <, dass eine Ansammlung von Kapial zu früheren Zeipunken ( p( ) > ) zu einem zusäzlichen Wachsen zum Zeipunk führ, während λ > genau das Gegeneil verursachen würde. Gleichungen vom Typus (.) reen auch bei der Behandlung des Verhalens von Gläsern im Rahmen der Modenkopplungsheorien auf [, 79, 8], wobei die dor aufreenden Kerne K posiiv defini angenommen werden. Im erwähnen Projekionoperaorformalismus finde man, dass der Kern K von der relevanen Variable selbs abhäng, insofern kann man die Gedächniseffeke als selbsorganisier bezeichnen. Es schein aufgrund dieses Beispiels als sinnvoll, dass die Zeiskala des Gedächniskerns K() ebenso von besimm wird, also gil K [; ] = K []. Somi is der Gedächniserm fesgeleg durch im Zeibereich. Weierhin sei K eine reguläre Funkion von, sodass der Kern in Poenzen von enwickelbar is (siehe dazu auch [8]), d. h. K() = p α () c ν p ν (), ν= wobei der ineressanese Fall für α = realisier is, wenn man Terme höherer Ordnung vernachlässig. Für diese Wahl von α seh der Gedächniserm u. U. in direker Konkurrenz zum nichlinearen Term mi dem Vorfakor u in Gleichung (.). Die Gleichung für die deaillieren Unersuchungen, die das generelle Verhalen der Rückkopplung widerspiegeln, laue dann = r u p 3 () λ ˆ p ( ) p( ) d, (.) wobei angenommen wird, dass r > und u >, während für λ beide Vorzeichen zugelassen sein sollen, wie schon erwähn. Gil λ >, so sind beide nichlineare Terme Verluserme, wohingegen eine negaive Rückkopplung (λ < ) zu einer Webewerbssiuaion zwischen beiden Termen führ. Diese Wahl des Gedächnisse zeig eine Kopplung zwischen verschiedenen Zeiskalen. In der Nähe der oberen Grenze des Inegrals gil für den Gedächniserm K() = p (), d. h. die momenane Änderung der Größe is gekoppel an den Wer p( = ) = p zur Zei =. Für die unere Grenze is der Sarwer der Rae p( = ) direk gekoppel an den insananen Wer K(). Somi sell der Gedächniserm eine gewichee Kopplung der Zeiskalen dar. Von dieser Kopplung kann man erwaren, dass das Verhalen des Sysems durch die Gedächniseffeke deulich geänder wird. 4

13 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung.. Analyische Ergebnisse - Spezielle und saionäre Lösungen Dieser Abschni dien zur Zusammenfassung der analyischen Ergebnisse zur Lösung der Gleichung (.), die als ein weieres Beispiel für eine dynamikverändernde Rückkopplung gelen kann. Is der Parameer λ =, so is Gleichung (.) eine Bernoullische Differenzialgleichung, deren Lösung miels Sandardmehoden [5, 74] zu p () = p s + (w ) e Λ mi w = p s p, p = p( = ) (.3) besimm wird. Der Wer p s = ± r/u sell dabei die nichsaionäre Langzeilösungen dar. Die Größe w, die in Gleichung (.3) eingeführ wurde, miss den Zuwachs. Eine lineare Sabiliäsanalyse führ zu p s + (p p s ) e Λ mi Λ = r. Die saionäre Lösung häng nich direk von p ab, sondern nur das Vorzeichen enscheide, welcher Zweig von p s angenommen wird. So gil: Je nach Vorzeichen des Sarweres p wird enweder der posiive Zweig (p > > ) oder der negaive Zweig (p < < ) für > und somi auch im Langzeilimes angenommen. Wenn man dies im Konex von finanziellen Transakionen inerprerieren wolle, würde dies bedeuen, dass, wann immer man mi einem posiven Kapial beginnen solle, man nie in den Schuldenbereich kommen würde. Die Einbeziehung eines Gedächniserms änder das Verhalen drasisch. Deshalb wurde in [47, 49] der Effek der Rückkopplung auf den Zuwachs w geprüf. Für einen nichnegaiven Gedächniserm in Gleichung (.) kann man die Lösung miels Laplace-Transformaion (siehe Anhang A..) finden, wobei die Laplace-Transformaion über L {} P (z) = exp ( z ) d definier is. Die Laplace-Transformiere besimm man dann zu P (z) = p z u B(z) +λ A(z) r +λ A(z) mi A(z) = L {p ()} und B(z) = L {p 3 ()}. Um die saionäre Lösung zu erhalen, d. h. eine zeipersisene Lösung, verwende man den Ansaz = f + φ() in der Zeidomäne bzw. P (z) = f /z +Φ(z) nach der Laplace-Transformaion, wobei die Funkion Φ(z) als regulär für z angenommen werden muss. Die Größe f repräsenier den Ordnungsparameer im Grenzfall. Neben der rivialen Lösung f exisieren zwei weiere neue Zweige nichrivialer Lösungen F ± = f ±(κ, w) p = κ ( + κ) [ ± sgn (p κ) sgn ( + κ) + 4 w ( + κ) κ ], κ = λ u. (.4) Der dimensionslose Parameer κ = λ /u kann sowohl posiiv als auch negaiv sein, weil λ beide Vorzeichen annehmen kann und u immer als posiv angenommen wird. Geh man vom verschwindenden Gedächnis aus, so gil f ± (κ =, w) = p s = ± r/u, unabhängig vom Sarwer p. Dominier das Gedächnis bzw. berache man den Grenzwer κ für eine unendliche Gedächnissärke, dann gil F + = und F =, wobei die Parameer r und u dann irrelevan sind. Dies is konsien mi dem Fall, bei welchem man von Beginn an mi r = u = rechne. Einen weieren Spezialfall kann man berachen, wenn p = p s, also w = gil. Dann sind die saionären Were F + = bzw. F = /+κ. 5

14 . Gedächnisgeriebenes Ginzburg-Landau-Modell Phasendiagramm Mi einer linearen Sabiliäsanalyse werde in diesem Abschni das Phasendiagramm abhängig vom Sarwer p und dem dimensionslosen Parameer κ diskuier. Wenn man die Skalierung = r und p = p /p s durchführ, nimm Gleichung (.) die Form an : p( ) = p( ) p 3 ( ) κ ˆ p ( ) p( ) d. (.5) Die lineare Sabiliäsanalyse wird durch den Ansaz = f +φ() in Gleichung (.) bzw. dem dimensionslosen Pendan (.5) durchgeführ. Dieser Ansaz resulier in eine lineare Gleichung für φ(), deren Lösung exponeniellen Charaker ha (φ() exp ( Λ )). Für den so genannen Sabiliäsexponenen gil dann Λ = f (3 u + λ) r bzw. dimensionslos Λ ± r = + F ± 3 + κ (3 + κ) + w + κ ( + κ F ± w ), κ. (.6) Der Parameer κ = λ /u charakerisier den Einfluss des Gedächnisses bzw. die Wechselwirkung und Konkurrenz beider nichlinearer Terme in Gleichung (.). Die Sabiliä der saionären Lösungen (.4) in Abhängigkei vom Parameer κ wird nun unersuch, wobei man den Spezialfall κ = separa behandel. Wenn die Gedächnissärke λ posiiv is oder alernaiv κ > gil, dann sind beide nichlinearen Terme mi den Kopplungskonsanen u und λ Verluserme und so wird das Gedächnis nur die saionäre Lösung modifizieren. Wenn der Sarwer p > is und weierhin noch gil, dass dieser größer is als der saionäre Wer ohne Gedächnis p s, also w < gil, dann führ die Zeiverzögerung zu einem reduzieren Gewinn p s < f + < p. Für den umgekehren Fall w > gil p < f + < p s. Somi lieg der saionäre Wer mi Gedächnis unerhalb des Weres ohne und man ha also keine zusäzliche Erhöhung des Kapials. Beide Lösungen sind sabil für κ >. Sare man mi Schulden, is also der Sarwer p <, so is die sabile Lösung f und die Ergebnisse sind gülig in der gleichen Weise wie für f +. Das Verhalen und der generelle zeiliche Verlauf von is vergleichbar mi dem Fall, in dem das Gedächnis abwesend is (κ =, s. Gl. (.3)). Wenn jedoch λ < is, so änder sich die Siuaion, weil dann die nichlinearen Terme der Gleichung (.) direk in Konkurrenz zueinander sehen. Dann häng das Verhalen dramaisch von den beiden Verhälnissen κ = λ /u < bzw. w = ps /p ab. Um die komplee Lösungsvielfal zu diskuieren, bedarf es der Unerscheidung in drei verschiedene Fälle (i) u < λ <, (ii) λ = u (κ = ) und (iii) 3 u < λ < u. Die lezere Resrikion, 3 < κ < is der offensichlichen Tasache geschulde, dass für κ < 3 beide saionären Lösungen insabil sind, wie man leich dem zweien Teil der Gleichung (.6) ennehmen kann. (i) < κ < bzw. λ < u. Dieser Fall der (im Vergleich) kleinen Gedächnissärke häl zwei reelle Lösungen F ±, für die mihilfe von Gleichung (.4) F + (p > ) = F (p < ) bzw. F (p > ) = F + (p < ), (.7) Der Einfachhei halber werden die dimensionslosen Größen p und im folgenden ohne die Tilden geschrieben. 6

15 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung gil, berei. Deshalb genüg es für die weiere Diskussion dieses Falls, sich auf p >, also ein posiives Sarkapial zu beschränken. Wenn w > gil, dann erhäl man eine posiive Lösung, für die man folgende Relaionen p < p s < f + (κ, w) oder F + (κ, w) > schlussfolgern kann. Mi diesem Ergebnis kann man mihilfe (.6) nachweisen, dass der Sabiliäsexponen Λ + > is und die Lösung somi im gesamen Bereich < κ < sabil. Eine kleine negaive Gedächnissärke führ zu einem Zuwachs des Ordnungsparameers. Dieser Zuwachs is größer als der, den man beobache, wenn keine Gedächniseffeke angenommen werden. Is jedoch w < bzw. p s < p, dann exisier ein kriischer Wer κ c oberhalb welchem der Ordnungsparameer sein Vorzeichen ändern kann, d. h. wenn man mi einem posiiven Sarwer p beginn, so kann die Größe negaiv werden und saionäre Lösungen f < für große Zeien annehmen. Dieser Übergang zum negaiven Zweig der saionären Lösung is nich möglich ohne Gedächnis. Dor sind beide Zweige klar separier, d. h. ein posiiver Sarwer p is verbunden mi einer posiiven Lösung und einem posiiven saionären Wer p s und umgekehr. Um diesen Übergang genauer zu sudieren, analysier man den Sabiliäsexponenen Λ genauer. Aus Gleichung (.6) kann man ableien, dass im Inervall / < w < für < κ < nur eine sabile Lösung exisier. Is dagegen < w < /, dann is der Exponen Λ + nur für κ c < κ < posiiv. Den kriischen Wer besimm man aus der Gleichung κ (3 + κ) = 4 w. Diese Gleichung drien Grades ha drei reelle Lösungen, wobei man nur eine davon im Inervall < κ < finden kann. Die kriische Gedächnissärke berechne man aus folgender Relaion κ c = 3 sin(ϕ) cos(ϕ) mi ϕ = 3 arccos ( w ) und w <. Wenn w is, dann gil für den kriischen Parameer λ c u p s 3 p Is κ > κ c, so wird die saionäre Lösung F + insabil und als Konsequenz dessen wird die in diesem Bereich immer sabile Lösung F angenommen, d. h. die Größe änder ihr Vorzeichen, überschreie die -Achse. Aufgrund der Symmerie (.7) kann auch die umgekehre Siuaion erfüll sein, sodass man ausgehend von einem negaiven Wer zu einem posiiven saionären Wer endier. Diese Verhalen wird klar durch das Gedächnis verursach und kann zumindes qualiaiv an der Gleichung (.) bzw. dem dimensionslosen Äquivalen (.5) erklär werden. Sare man mi einem Sarwer p > und nimm weier die Exisenz einer Zei an, zu der verschwinde, p( ), so kann dies nur realisier werden, wenn p( ) < im gesamen Inervall < < is. Ein weierer Abfall is nur für λ < garanier, wie man aus Gleichung (.) ablesen kann. (ii)κ =. In diesem Fall sind beide Verluserme ausbalancier und die Gedächnissärke is auf λ = u fesgeleg. Nun is der Sarwer p der freie Parameer. Beide saionären Were sind enare mi F = w. Das Vorzeichen des Sarweres besimm wieder das Vorzeichen von im gesamen Parameerraum. Der Sabiliäsexponen berechne sich zu Λ r = w.. 7

16 . Gedächnisgeriebenes Ginzburg-Landau-Modell Daraus folg direk, dass für p < p c = p s die Lösung sabil und im umgekehren Fall insabil is. Für diesen Spezialfall wird klar, dass das Sysem sensiiv gegenüber dem Sarwer p is, denn es gil f /p, d. h. kleine Sarwere führen zu großem saionären Wer und umgekehr. Dies zeig den Einfluss des Gedächnisses auf die saionären Were eines nichlinearen Modells. (iii) 3 < κ <. Im Gegensaz zu den anderen beiden Fällen sind die beiden Lösungen F ± (p > ) posiiv und es gil: [ F ± (p > ) = κ ] κ ( + κ) + 4 w (κ + ) >, d. h. kann sein Vorzeichen nich ändern. Aus symmerischen Gründen (.7) wird bei negaivem Sarwer auch ein negaiver saionärer Wer angenommen, deshalb kann auch hier die Diskussion auf p > beschränk werden. Für w > sind die Lösungen reell, wenn κ κ = w + w w bzw. κ κ = w w w. Ansonsen erhäl man Λ + Λ p p κ κ (a) Λ + (κ, p ) (b) Λ (κ, p ) 6 4 Λ + Λ p (c) Λ + (κ, p ) Λ (κ, p ) κ Abbildung.: Darsellung des Vorzeichens der Sabiliäsexponenen Λ +, Λ bzw. Λ + Λ (Bisabiliäsgebie), welche aus einer linearen Sabiliäsanalyse berechne wurden (siehe Gleichung (.6)), abhängig von den Sysemparameern p und κ = λ /u. Λ ± > blau, Λ ± < ro, Λ ± komplex viole 8

17 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung komplexe Lösungen. Die Sabiliäsexponenen erfüllen folgende Relaionen Λ ± < für 3 < κ < κ 3 und Λ > für κ 3 < κ <, wobei κ 3 die für diesen Bereich gülige Lösung der Gleichung κ (3 + κ) = 4 w (κ + ) is. Im Inervall κ 3 < κ < exisier nur eine sabile Lösung F. Solle w im Bereich / < w < liegen, dann sind die Sabiäsexponenen Λ + > für 3 < κ 4 < κ < und Λ > für κ 5 < κ < posiiv und κ 4 bzw. κ 5 besimm man aus der Lösung der Gleichung κ (3 + κ) = 4 w. F is im gesamen Bereich 3 < κ < insabil, während die Lösung F + für κ 4 < κ < sabil is, wenn < w < / erfüll is. Das Gesamverhalen sei in den Abbildungen. zusammengefass. Blaue Gebiee markieren den Parameerbereich, in dem Λ ± (bzw. beide Sabiliäsexponenen) posiiv sind, demzufolge is der Fixpunk f ± sabil, während die jeweiligen saionären Were in roen Gebieen insabil sind, da hier Λ ± < gil. Lieg das Parameerpaar (κ, p ) in dem violeen Gebie, so exisier keine reelle Lösung. Der aus Gleichung (.4) besimme saionäre Wer nimm für diesen Bereich komplexe Were an und somi auch der Sabiliäsexponen. Durch die Symmerie (.7) kann der Sabiliäsexponen Λ durch Spiegelung an der Achse p der Größe Λ + dargesell werden (vergleiche dazu Abbildungen.(a) und.(b)). Die Topologie der Sabiliäsgebiee der beiden saionären Were is im Vergleich zum nichrückgekoppelen Fall λ = bzw. κ = deulich komplexer, wie man Abbildung. ennehmen kann. Neben der Änderung der Fixpunke (saionären Were) ri auch eine Änderung der generellen zeilichen Enwicklung von auf, die im nächsen Unerpunk durch numerische Unersuchungen näher beleuche werden soll... Numerische Unersuchungen Mi den saionären Lösungen (.4) und deren Sabiliä ha man eine Übersich über das Langzeiverhalen der Lösung. Wie nun der generelle zeiliche Verlauf von is, kann nich analyisch besimm werden. Demzufolge wurde die Inegro-Differenzialgleichung (.) numerisch unersuch. Die Kombinaion aus Rückkopplung, woraus in den korrespondierenden Gleichungen Inegraion und Differenziaion verknüpf werden, und Nichlineariäen machen das Problem (.) und dessen numerische Behandlung sehr komplizier. Besonders in den Bereichen, wo das qualiaive Verhalen der Lösung von dem des nichrückgekoppelen Falles abweich, bedarf es einer besonderen Sorgfal bei der Anwendung von numerischen Mehoden. Nichsdesoroz wurde zur Unersuchung von Gleichung (.) ein einfaches numerisches Schema verwende [47, 49], um das qualiaive Verhalen der Größe für die oben erwähnen Fälle zu unersuchen. Tiefergehende numerische Mehoden zur Behandlung von zeiverzögeren Differenzialgleichungen finde man in [8 88] und Referenzen darin. Wenn man diskree Zeischrie n = n τ einführ, wobei τ die (fese) Schriweie is, dann erhäl man die zur Evoluionsgleichung (.) korrespondierende diskree Evoluionsgleichung [ ] n p n+ = p n + τ r p n up 3 n λ vj n p n j (p n+ p n ), (.8) mi der man rekursiv die Were bzw. eine Approximaion zu den diskreen Zeien n, also p( n ) p n, berechne. Für die Diskreisierung des Falungsinegrals wurde eine allgemeine j= 9

18 . Gedächnisgeriebenes Ginzburg-Landau-Modell Regel verwende, bei der die Gewiche v n j folgende Bedingungen erfüllen: [v n, v n,..., v n n, v n n] = [Θ,,...,, Θ] und dami n vj n = n +. j Diese Θ-Mehode wurde für eine Inegro-Differenzialgleichung anderen Types in [84] zur numerischen Analyse verwende und enhäl als Spezialfälle die explizie Euler-Mehode (Θ = ), die Trapezregel (Θ = /) und die implizie Euler-Mehode (Θ = ). Zur Analyse von (.) wurde haupsächlich die explizie Euler-Mehode verwende. Konzenrier wurde sich dabei meis auf die Fälle, die ein besimmes Verhalen vermuen lassen, welches in dem nichrückgekoppelen Fall nich aufauchen kann, so der schon erwähne Fall, dass sein Vorzeichen wechsel bzw. wenn beide Fixpunke sabil sind (Bisabiliä). Der erse Fall, dass sein Vorzeichen änder, is realisier, wenn die Were p bzw. κ sich in den roen Inseln befinden, die in den Abbildungen.(a) bzw..(b) im Bereich < κ < und p > bzw. p < isolier von den anderen Sabiliäsgebieen aufreen. Als Beispiel zur Illusraion wurde p = und κ =, 8 gewähl, womi dieses Werepaar in dem besagen Gebie lieg, wie man mi Abbildung.(a) verifizieren kann. In diesem Gebie gil Λ + <, d. h. f +, 6 is ein insabiler Fixpunk. Dagegen ha Λ für das Parameerwerepaar ein posiives Vorzeichen, d. h. f 8, 6 is nach linearer Sabiliäsanalyse sabil. Aus der Gleichung (.) bzw. Gleichung (.5) kann der anfängliche Ansieg p() = p ( p ), der für p = negaiv is, berechne werden. Dami gil, dass zunächs monoon fäll. Da f + unerhalb von p lieg (p > f + ), muss neben dem rivialen (insabilen) Fixpunk auch der insabile Fixpunk f + überquer werden, dami der sabile f erreich wird. Deshalb erware man für diese Wahl des Parameerpaares (p, κ) eine Änderung des Verhalens, welches man im nichrückgekoppelen Fall beobache. Sowohl der saionäre Wer, als auch der zeiliche Verlauf der Funkion können diesbezüglich abweichen. Auch das Monoonieverhalen kann durch die Rückkopplung veränder werden. Genau diese durch die zusandsabhängige Rückkopplung induziere Änderung des zeilichen Verlaufs beobache man in Abbildung.3. Hier is sowohl die zeiliche Evoluion von als numerische Lösung der Gleichung (.5) mi der Diskreisierung (.8) (für τ =,, Θ = (explizies Euler-Verfahren), p = und κ =, 8), als auch der Phasenraum [, ] aufgeragen. Man erkenn in der Abbildung einen sufenförmigen Abfall, wobei um die einzelnen Sufen Oszillaionen zu finden sind. Die erse Sufe, die erreich wird, is der insabile Fixpunk f +. Ein solches Verhalen wurde auch schon für andere zeiverzögere Differenzialgleichungen fesgesell [8] und erforder spezielle, dem Problem angepasse, numerische Verfahren, die von der gewählen Diskreisierung (.8) abweichen, dennoch soll diese als Grundlage der numerischen Lösung dienen, auch wenn eine deailliere Unersuchung gerade in dem Bereich der Oszillaionen ausseh bzw. im Rahmen dieser Arbei nich möglich war. Zu diesem Zweck wurde zunächs die Schriweie τ variier, um den Einfluss auf die numerische Lösung nachzuvollziehen. In Abbildung.4 sei der zeiliche Verlauf für verschiedene Schriweien τ und die verschiedenen Mehoden (explizie Euler-Mehode Θ =, Trapezregel Θ = / und implizie Euler-Mehode Θ = ) dargesell. Für die relaiv große Schriweie τ =, erkenn man den anfänglichen Abfall von. Die Lösung münde gedämpf oszillaorisch in einem saionären Wer, der für die einzelnen Mehoden verschieden is. Für Θ =, der explizien Euler-Mehode, ensprich dieser Wer f +. Dieser saionäre Wer wurde jedoch in der linearen Sabiliäsanalyse als insabil befunden. Auch die Diskrepanz zwischen den einzelnen Mehoden deuen darauf hin, dass die numerische Lösung, zumindes für diese Schriweie, die zeiliche Enwicklung von nich richig widerspiegel. Dies wird unmielbar deulich, 3

19 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung (a) (b) Phasenraumdarsellung (, ) Abbildung.3: Der zeiliche Verlauf und der Phasenraum (, ) als numerische Lösung der Gleichung (.5) mi der Diskreisierung (.8) für τ =,, Θ = (explizies Euler-Verfahren), p = und κ =, 8 wenn die Schriweie um eine Größenordnung erniedrig wird, also τ =, gewähl wird. Auch für diese Wahl fäll zunächs vom Sarwer p = ab und man beobache Oszillaionen um den (insabilen) Fixpunk f +. Im Vergleich zu τ =, sind die Oszillaionen ausgepräger und für alle drei Mehoden um den gleichen Wer (f + ), ohne jedoch in diesem Fixpunk einzulaufen. Die Oszillaionen wachsen an und nach einer gewissen (endlichen) Zei, die für die einzelnen Mehoden verschieden is, erfolg ein erneuer seiler Abfall, bei der die Achse überschrien wird. Der Wer = is ebenfalls ein insabiler Fixpunk, um den allerdings keine bzw. nur angedeuee Oszillaionen safinden. Die Größe fäll weier ab, allerdings nich bis zum sabilen Fixpunk f, sondern auf einen Wer zwischen und f, um den erneu oszillier und das Szenario sich wiederhol, also nach anseigenden Oszillaion ein Abfall auf einen erneuen Zwischenwer erfolg. Man kann diese Zwischenwere als measabile Zusände des Sysems bezeichnen, die man besonders gu aus der Phasenraumdarsellung.3(b) ablesen kann. Erniedrig man die Schriweie τ weier (siehe Abbildung.4(c) τ =,, siehe Abbildung.4(d) τ =,, siehe Abbildung.4(e) τ =, 5 und siehe Abbildung.4(f) τ =, ), so gleichen sich die numerischen Lösungen für die verschiedenen Mehoden (in diesem Zeifenser) immer mehr an. Für τ =, wurde für große Zeien für Θ = / und Θ = numerische Insabiliäen beobache, d. h. die Oszillaionen bleiben nich beschränk, sondern wachsen immer weier an, siehe Abbildung.5. Dies is der Einfachhei der numerischen Behandlung geschulde. Wird die Schriweie auf τ =, erniedrig (siehe Figur.5(d)), so ri diese Insabiliä wie sie in Abbildung.5(b) für τ =, und Θ = / (Trapezregel) beobache wird nich auf (bzw. ers zu nich dargesellen/berechneen späeren Zeipunken auf). Gerade diese numerische Insabiliäen legen eine dezediere numerische Unersuchung des Modells bezüglich der Sabiliä, der Fehleranalyse, Schriweienabhängigkeien ec., auch mehodisch, in dem Parameerbereich, in dem solche Oszillaionen aufreen, nahe. Adapive Verfahren, d. h. Ver- 3

20 . Gedächnisgeriebenes Ginzburg-Landau-Modell fahren, bei denen die Feinhei der Diskreisierung dynamisch veränder werden, wobei man besser lokale Effeke erfassen kann, würden die numerischen Eigenschafen deulich verbessern. Dies würde den Rahmen dieser Arbei jedoch sprengen. Es sei erneu auf die diesbezüglich weierführende Lieraur [8 9] und Referenzen darin hingewiesen. Oszillaorische Lösungen und dami vom nichrückgekoppelen Fall abweichende Trajekorien finden man auch im Bisabiliäsgebie, d. h. die Exponenen der linearen Sabiliäsanalyse Λ + und Λ sind beide posiiv, also sind sowohl f + als auch f sabil. Im nichrückgekoppelen Fall enscheide das Vorzeichen des Anfangsweres p darüber, welcher der beiden saionären Were angenommen wird. In den Figuren.6 sind Beispiele für Trajekorien im zeilichen Verlauf bzw. im Phasenraum (, ) für kleine Sarwere p, aufgeragen. Im ersen Bild der Serie.6(a) erkenn man, dass ausgehend vom Sarwer p =, die Lösung zunächs monoon anseig, dann jedoch Oszillaionen um den saionären Wer f + einsezen. Dies kann analog durch eine spiralförmige Annäherung an den Fixpunk (, ) (f +, ) in der Phasenraumabbildung für den gleichen Sarwer fesgesell werden (siehe Abbildung.6(b)). Verkleiner man den Sarwer auf z. B. p =, 5, so läuf die Lösung nich in den Fixpunk f + ein, sondern die Oszillaionen nehmen mi wachsender Zei zu und der funkionale Verlauf und das Vorzeichen von änder sich (siehe Abbildungen.6(c) und.6(d)). Dies kann auf ein chaoisches Verhalen hindeuen, welches bei anderen nichlinearen verzögeren Modellen ebenfalls beobache wurde [44, 8, 9, 93]. Das Beispiel p =, zeig deulich den Übergang von f + zu f, gefolg von anseigenden Oszillaionen. Je kleiner der Sarwer p wird, deso näher befinde sich die Trajekorie am insabilen Fixpunk p s, umso größer sind die Ampliuden der Oszillaionen und umso kürzer is die Zei, in der sich die Trajekorie in der Nähe der sabilen Fixpunke f + und f aufhäl (siehe Figuren.6(e) und.6(f)). Ähnlich wie für den vorher diskuieren Fall bedarf es einer genauen numerischen Analyse dieses Bereiches und dem Problem angepasse numerische Verfahren, um den evenuellen Übergang in den chaoischen Bereich zu erfassen bzw. zu beschreiben. 3

21 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung (a) τ =, (b) τ =, (c) τ =, (d) τ =, (e) τ =, 5 (f) τ =, Abbildung.4: Numerische Berechnung von durch die Rekursionsvorschrif (.8) der koninuierlichen Gleichung (.) bzw. des dimensionslosen Pendans (.5) für verschiedene Mehoden der Diskreisierung der Inegraion [Θ =... implizie Euler-Mehode (blau), Θ = /...Trapezregel (ro) und Θ =...explizie Euler-Mehode (grün)] und Schriweien τ, wobei die Parameer p = und κ =, 8 gewähl wurden. 33

22 . Gedächnisgeriebenes Ginzburg-Landau-Modell (a) τ =, (b) τ =, (c) τ =, 6 (d) τ =, Abbildung.5: Numerische Insabiliäen in der Lösung für die verschiedenen Mehoden Θ = (explizie Euler-Mehode), Θ = (implizie Euler-Mehode) und Θ = / (Trapezregel) für große Zeien, wobei für die Parameer p = und κ =, 8 gil. 34

23 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung (a) für p =, (b) (, ) für p =, (c) für p =, 5 (d) (, ) für p =, (e) für p =, (f) (, ) für p =, Abbildung.6: Der zeiliche Verlauf der Trajekorie und der Phasenraum (, ) im Bisabiliäsgebie (s. Abb..(c)) für verschiedene Sarwere p und konsanen Parameer r = u =, λ =, 5 bzw. κ =, 5 besimm durch das explizie Euler-Verfahren (Θ = ) mi der Schriweie τ =,. Die roen Linien bzw. Punke markieren die saionären Were f + bzw. f. 35

24 .3 Verzögerungskonrolliere Reakionen.3 Verzögerungskonrolliere Reakionen Meanfield-Gleichungen, in denen Flukuaionen vernachlässig werden, wurden in den vorangegangenen Unerabschnien im Zusammenhang mi der Populaionsdynamik verwende, wobei ein weieres wesenliches Anwendungsfeld die Beschreibung der Kineik chemischer Reakionen darsell. Will man den zeilichen Verlauf einer chemischen Reakion unersuchen, d. h. den Umsaz bzw. die Umwandlung von chemischen Subsanzen, so berache man diese Soffumwandlung als Soffmengenänderung. Das Verschwinden von Reakionparnern und das Erscheinen von Reakionsproduken werde durch die Abnahme bzw. Zunahme der Soffmenge der Reakionseilnehmer (Reakanen) charakerisier. Dabei muss beache werden, dass diese Änderung der Soffmenge nich unabhängig voneinander geschieh, sondern miels Reakionsgleichungen über die söchiomerischen Fakoren ν i bzw. µ i mieinander verknüpf is [8, 4, 64, 66, 67, 69]. Eine solche chemische Gleichung, die n verschiedene Spezies X, X,..., X n enhäl, ha folgendes Schema k r ν X + ν X + + ν n X n EGGGGG GGGGGC µ X + µ X + + µ n X n, (.9) kh welches als symbolische Reakionsgleichung bezeichne wird, siehe auch [64]. Neben den hermodynamischen Eigenschafen, z. B. den Energieumsäzen während der Reakion, sind es v. a. die Transporeigenschafen der Reakanen, die aus physikalischer Sich eine enscheidende Rolle spielen und einen großen Einfluss auf die Reakionskineik haben. Dies äußer sich im Aufreen verschiedener kineischer Regime, je nach Einfluss der einzelnen Prozesse auf die Reakion. Zunächs müssen die reagierenden Teilchen, bevor sie mieinander reagieren, in räumlicher Nähe sein, also zueinander geführ werden, d. h. ein wesenlicher Prozess is der Transpor der Teilchen durch den Reakor (Reakionsgefäß). Der genanne Prozess kann auf mikroskopischer Ebene durch die ungeordnee Bewegung der Teilchen im Wärmebad, der Brownschen Bewegung, erfolgen. Die ungeordnee Bewegung der Teilchen führ zum Ausgleich von Konzenraionsgradienen und wird als makroskopischer Prozess Diffusion genann. Sind die Reakanen in räumlicher Nähe, kann nun die Reakion je nach Akivierungsenergie, welche die jeweilige Reakion oder Soffumwandlung benöig, sofor oder verzöger oder gar nich erfolgen. Diesem Prozess kann man eine charakerisische Zei τ R zuordnen. Die Größe τ R sell die (milere) Zei dar, die die Reakanen, die sich in einem gewissen Absand zueinander befinden, bis eine soffliche Umwandlung safinde. Mi dieser Reakionszei is der Vergleich zum Transporprozess (hier speziell der Diffusion), der durch die Zeiskala τ D charakerisier is, möglich. Durch die Relaion beider Zeien kann man zwei Grenzfälle ausmachen. Zum einen sei die Diffusionszei τ D, d. h. die (milere) Zei, die von einem Teilchen benöig wird, um ein gewisses Volumen V der linearen Ausdehnung L zu durchwandern deulich kleiner als die Reakionszei τ R, dann ha man es mi dem reakionslimiieren bzw. reakionskonrollieren Fall zu un (τ D τ R ). Dieser Fall bedeue, dass der Transpor der Ausgangsproduke so schnell erfolg, dass die Reakionsgeschwindigkei einzig und allein davon besimm wird, wie schnell bzw. uner welchen Umsänden die Soffumwandlung erfolg. Man geh davon aus, dass an jedem Or gleiche Konzenraionen der Soffe, also homogene Bedingungen, vorliegen, da evenuelle Konzenraionsgradienen relaiv schnell beseiig werden. Gues Umrühren is eine Möglichkei solche Bedingungen zu erreichen. Es lieg also eine globale Konzenraion vor, die der Quoien aus Teilchenzahl N() und dem Volumen V is, in dem sich die Teilchen befinden. bei Reakionen in der flüssigen Phase bzw. im flüssigen Lösungsmiel 36

25 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung Der komplemenäre Grenzfall (τ R τ D ) bedeue, dass sobald die zur Reakion gefordere Siuaion zweier Teilchen gegeben is, eine soforige Reakion erfolg, d. h. dass für diesen Fall das Zueinanderbringen der reagierenden Einheien, der Transpor, die maßgebende Rolle spiel. Dieses Regime wird als diffusionskonrollieres bzw. diffusionslimiieres Regime bezeichne. In den Arbeien [5, 5] wurden chemische Reakionen im reakionslimiieren Regime unersuch, bei denen die Reakanen nich gleichzeiig zugänglich sind. Dies wurde phänomenologisch durch die Einführung eines Verzögerungserms erfass, d. h. die nichlinearen klassischen Raengleichungen, die in vielen physikalischen Phänomenen komplexer Syseme aufreen, wurden diesbezüglich verallgemeiner. Als Grundlage dienen einfache Reakionen, die als Teilreakionen in komplexen Reakionen aufreen können, wie z. B. die Annihilaionreakion einer Teilchensore A + A oder die Vereinigungsreakion einer Spezies A + A A. Gleichung (.9) veranschaulich die Reakion bzw. den Reakionsschri symbolisch. Man ordne den einzelnen Teilchenaren X, X,..., X n die (globalen) Konzenraionen p j () mi j =,,..., n zu, womi für die Zahl Z r der Reakionsereignisse pro Einheisvolumen und pro Zei Z r = k h n j= p ν j j (.) (für die Hinreakion) gil. Die Reakionskonsane k h, deren Inverse die Reakionszei τ R /k h markier, repräsenier die Rae der Reakionen, wenn die für eine Reakion erforderliche Konfiguraion der Teilchen gegeben is. Die zeiliche Enwicklung der Konzenraionen im reakionslimiieren Fall wird dann mi einem Sysem gekoppeler nichlinearer (gewöhnlicher) Differenzialgleichungen beschrieben, deren Komponenen folgende Differenzialgleichung erfüllen dp i d = (µ i ν i ) k h n j= p ν j j (ν i µ i ) k r n j= p µ j j mi i =,..., n. (.) Wenn beide Richungen der Reakion safinden, also Hin- und Rückreakion, erreich das Sysem i. Allg. einen Gleichgewichszusand, den man dadurch erfassen kann, dass die Zeiableiungen in Gleichung (.) verschwinden. Daraus folger man direk das Massenwirkungsgesez k h k r = n j= p µ j ν j j, welches eine nichriviale Beziehung zwischen den Reakionskonsanen für die Hin- und Rückreakion bereisell. Als ein Beispiel soll Schlögls erses Modell dienen [68] C + X k k EGGGGGG GGGGGGC C + X und X GGGGGAB, k das ähnlich wie eine Kombinaion aus der oben erwähnen Annihilaionsreakion bzw. der Vereinigungsreakion einer Spezies mi einer sponanen Bildung von Teilchen A durch eine geeignee Reskalierung der Zei auf die Form dp d = r u p (), (.) gebrach werden kann. Die Form der Gleichung (.) is schon aus dem logisischen Wachsum [4 7] bekann. Diese Zeienwicklung sei dahin gehend verallgemeiner, dass die Reakion ers safinde, wenn eine hinreichende Menge an Reakanen akkumulier wurde, wodurch 37

26 .3 Verzögerungskonrolliere Reakionen der Reakionsprozess bzw. der zeiliche Verlauf der Diche sich enscheidend änder. Solche Verzögerungsprozesse haben ypischerweise einen verändernden Effek auf das Langzeiverhalen von. So kann das Sysem einen saionären Zusand auch dann erreichen, wenn die Bildungsrae r verschwinde. Dies würde ohne Verzögerung nich der Fall sein, sondern zu einer algebraischen Abnahme in der Zei führen. Im Allgemeinen charakerisier man im reakionslimiieren Regime die Zeienwicklung der Diche durch Wachsums- und Verluserme, die mi gewissen Raen gewiche sind. Nimm man an, dass die Zeienwicklung der Diche auch von vergangenen Zusänden abhäng, so solle die Änderung der Diche auch von der Diche bzw. deren Änderung zu < abhängen. Dies beschreib man durch einen zusäzlichen Gedächniserm in Gleichung (.), womi man nich-markovsches Verhalen erhäl ˆ dp d = r u p () µ K(, ; p) p( ) d. (.3) Solch ein Term modellier die Ar und Weise wie eine anfängliche Konzenraion akkumulier wurde durch einen verzögeren Transpormechanismus, der z. B. durch die Umgebung der Reakanen verursach wird. So können in dem Zeiinervall τ = die Reakanen angereicher werden und eine Änderung der Konzenraion zum Zeipunk verursachen. Die Gleichung (.3) sell ein weiere Realisierung der allgemeiner gehalenen Gleichung (.) dar. Es erfolg eine Kopplung direk an die Änderungsrae im Zeiinervall im Gegensaz zu den viel öfer sudieren Modellen, in denen die Kopplung an die Diche erfolg [4, 4, 94]. Die Arbei [5] bzw. [5], in denen das dynamische Verhalen des Sysems, welches durch Gleichung (.3) repräsenier wird, näher unersuch wurde, enhäl roz der einfachen Form eine wichige Eigenschaf von Evoluionsmodellen, die Nichlineariä. Werden diese mi dem neuen Besandeil der Rückkopplung verbunden, enseh ein völlig neues dynamisches Verhalen, welches das Sudium dieser Modelle ineressan erscheinen läss. Das obige Beispiel kann gleichzeiig dazu dienen, die in der mahemaischen Lieraur verwendeen Begriffe und Mehoden im physikalischen Konex zu erfassen, exisier doch eine Vielzahl an (mahemaischer) Lieraur, die sich vorrangig mi der Exisenz und Eindeuigkei der Lösungen so genanner neural verzögerer Differenzialgleichungen beschäfig [44, 83, 95 97]..3. Exerne Rückkopplung - Diskree Verzögerung Der Gedächniskern K K(, ; p) repräsenier die Ar und Weise der Rückkopplung. In diesem Abschni seien häufig berachee Kerne verwende, um den Einfluss der Rückkopplung auf die Dynamik des Sysems zu unersuchen. Man unerscheide zwei wesenliche Aren der Rückkopplung, zum einen die diskree Verzögerung, bei der ein oder mehrere Verzögerungszeien die Rückkopplung dominieren bzw. die vereile Verzögerung, bei der die Rückkopplung durch eine gewisse Vereilung, die über eine Gewichsfunkions ausgedrück wird, gekennzeichne is. Zunächs werde die diskree Verzögerung mi einer Verzögerungszei τ, womi eine zusäzliche Zeiskala bereigesell is, beguache. Der Kern, der dieser Rückkopplung ensprich, laue K(, ; τ) = δ( τ). Verwende man diese Dela-Disribuion in der dimensionslosen Variane von Gleichung (.3), die man durch den Übergang p p r /u, /r und κ = µ /r bekomm, so führ dies auf d d in Gl. (.) sind dies r und u = p () κ dp( τ) d. (.4) 38

27 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung In der Gleichung (.4) erfolg die Rückkopplung nich bezüglich der Größe, wie man es in den meisen Rückkopplungsmodellen z. B. in der Populaionsdynamik finde [4, 4, 44], sondern zur Änderungsrae. Dieser Typ von verzögeren Differenzialgleichungen, bei denen die Verzögerung auch in den Ableiungen der Größe enhalen is, wird neural genann [95 98]. Im Allgemeinen kann die Verzögerungszei τ auch von der Zei oder sogar vom Zusand abhängen. Hier soll jedoch τ als konsan angenommen werden, um konzepionelle Lösungsmehoden vorsellen zu können, die in den allgemeineren Fällen angepass werden müssen. Die Lösung werde im Inervall [, T ] bzw. [, ) gesuch. Wenn τ is, also keine Verzögerung vorlieg, dann is Gleichung (.4) eine gewöhnliche Differenzialgleichung. Nimm man jez an, dass τ posiiv is, so wird bei der Berachung der Gleichung (.4) sofor ersichlich, dass es zur Lösung des Problems nich genüg, einen Anfangswer anzugeben. Zwei wesenliche Möglichkeien werden unerschieden. Zum einen die Angabe einer Funkion (bzw. zwei Funkionen), die so genanne Anfangsfunkion Φ(), die die Were für bzw. ṗ() im Inervall [ τ, ) fixier. Zum anderen die Möglichkei die gesuche Funkion als auf [, T ] definiere Funkion, die die Gleichung (.4) allerdings nur im Inervall [ + τ, T ] erfüll, anzugeben. Für beide Lösungsmehoden muss ähnlich wie bei gewöhnlichen Gleichungen fesgeleg werden, welcher Klasse die jeweilige Lösung zugeordne wird (seig, inegrabel ec.) und in welcher Ar und Weise Gleichung (.4) erfüll werden soll (überall, fas überall ec.). Im Grunde genommen sind sie auch äquivalen. Der Übergang von der ersen zur zweien Mehode wird durch die Erweierung von durch die Anfangsfunkion Φ() erreich, wohingegen eine Lösung p : [, T ] R mi der Einschränkung p [ +τ,t ] im Sinne der zweien Lösungsmehode, eine Lösung im Sinne der ersen Lösungsmehode mi der Anfangsfunkion Φ() = [, +τ) is. Somi sei die Wahl, welche der beiden Mehoden angewende wird, eine Frage des Sandpunkes. Enweder die Anfangsfunkion Φ() is ein Teil der Lösung (sozusagen die zurückliegende Geschiche des Prozesses) oder ein unabhängiges Objek. Man unerscheide auch zwei Formen, in denen die neurale verzögere Differenzialgleichung angegeben werden können: Zum einen die explizie Form, d d = F [,, dp( τ) d wie sie mi Gleichung (.4) vorlieg und zum anderen die implizie Form oder auch Hale sche Form [96, 99] genann, deren allgemeine Darsellungsform d [ g(,, p( τ)] = f [,, p( τ)] d is. Auf die Deails dieser Unerscheidung wird in [89, 96, 98 ] eingegangen. Die skalaren Funkionen F, f und g haben spezielle Eigenschafen, aus denen man Exisenz- und Eindeuigkeisaussagen reffen kann. Die implizie Darsellungsform ha ihre Vorzüge in der mahemaischen und numerischen Behandlung, während im physikalischen Konex meis die explizie verwende wird [97]. Die Gleichung (.4) kann auch in der implizien Form d d [ κ p( τ)] = p () dargesell werden. Der Einfluss der Wahl der Lösungsklasse auf die Gesal der gesuchen Funkion soll mi dem folgenden Beispiel illusrier werden. Man nehme nur die Ableiungserme aus (.4), also ṗ() = κ ṗ( τ) für < mi der Anfangsfunkion p( τ) = Φ( τ) und somi ṗ( τ) = Φ( τ) für τ <. Neben den Gleichungen sei auch noch ], 39

28 .3 Verzögerungskonrolliere Reakionen Abbildung.7: Vergleich zwischen seiger Lösung (roe Kurve) und inegrabler Lösung (blaue Kurve) zu einem einfachen Beispiel einer neural verzögeren Differenzialgleichung ṗ() = ṗ( τ) für < mi der Anfangsfunkion p( τ) = Φ( τ) und einem Anfangswer p( = ) = ein Anfangswer für mi p( = ) = angegeben. Soll die Lösung dieses Problems nun eine lokal absolu seige Funkion p : [, ) R sein, die die Gleichung für fas alle erfüllen soll, so überzeug man sich schnell, dass eine solche is. Verlang man jedoch von der Lösung, dass sie eine lokal inegrable Funkion p : [, ) R, die in = von rechs seig is und für die gil, dass sie, wenn sie mi der Anfangsfunkion Φ() auf [ τ, ) erweier wird, die obige Gleichung als verallgemeine Funkion auf (, ) erfüll, so können beide Seien separa inegrier werden. Dies sieh so aus, als wenn man den Übergang von der ersen zur zweien Mehode vollziehen würde bzw. man das implizie Pendan d /d [ + κ p( τ)] = inegrieren würde, womi man mi dem Anfangswer die Differenzengleichung + κ p( τ) = zu lösen häe. Eine solche Differenzengleichung kann sukzessive in den Inervallen [jτ, (j + ) τ) mi j N berechne werden, wobei man sückweise konsane Lösungen in diesen Inervallen erhäl. Im Inervall [, τ) gil =, im darauffolgenden [τ, τ) finde man = κ, gefolg von = κ + κ für [ τ, 3 τ). Durch vollsändige Indukion kann man verifizieren, dass allgemein = ( κ)j+ + κ für [jτ, (j + ) τ) und κ < gil. Dami häng diese Lösung auch vom Parameer κ ab und es gil ( + κ) für, während die seige Lösung rivialerweise unabhängig von κ is. In Abbildung.7 sind beide verschiedenen Lösungen aufgeragen. Häufig werden Verzögerungen vernachlässig, wenn sie als klein angenommen werden. Solch eine Prakik kann auch in der Regel angewende werden, aber manchmal können kleine Verzögerungen große Effeke haben. Ein einfaches Beispiel dafür sei ṗ() + ṗ() =, in der die riviale Lösung offensichlich aympoisch sabil is, während für ṗ() + ṗ( τ) = die riviale Lösung für jegliches posiives τ insabil is, wie man [44, 96] ennehmen kann. Is 4

29 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung die Verzögerungszei klein, so is die MacLaurin Approximaion, bei der die Funkion p( τ) bzw. ṗ( τ) um τ = in eine Taylorreihe enwickel wird, sicher der erse Ansazpunk der Analyse der Gleichung (.4). Die MacLaurin-Reihe laue dann dp d ( τ) = τ d + d d d! τ d3 d 3... ± ( )m τ m dm+ + O ( τ m+), m! d m+ welche, wenn man Terme bis zur zweien Ordnung beache, in Gleichung (.4) eingesez zu d + κ d + [ ] = κ (.5) d κ τ d κ τ führ. Wenn man nun als Orsvariable x() inerpreier, so kann man eine Analogie zwischen (.5) und der Newonschen Bewegungsgleichung für ein gedämpfes bzw. beschleuniges Teilchen mi der Masse m = in einem Poenzial gemäß ẍ() + γ ẋ() + x V(x) =, wobei γ = (+κ) /κ τ der Reibungskoeffizien und V(x) = /κ τ [ x / x3 /3] das (anharmonische) Poenzial seien, welches in Figur.8 für κ τ = aufgeragen is. Sowohl γ = γ(κ, τ), als auch das Poenzial V(x; κ, τ) hängen dann von der Verzögerungszei bzw. Rückkopplungssärke ab. Da das Poenzial anharmonisch is, exisier keine analyische Lösung für Gleichung (.5). Man kann jedoch die Sabiliä der Fixpunke x bzw. x, die man als Exremalsellen des Poenzials V(x) (siehe Abb..8) ablesen kann, mihilfe der um diese Fixpunke linearisieren Varianen von Gleichung (.5) besimmen. So kann man leich ermieln, dass x nach Gleichung (.5) für jede Wahl von κ insabil is, da mindesens eine der beiden Wurzeln der charakerisischen Gleichung Abbildung.8: Das Poenzial V(x) posiiv is und dami keine beschränke Lösung für exisier. Der Fixpunk x wäre dagegen im Bereich < κ < und x < sabil. Man beache jedoch, dass die MacLaurin-Approximaion, d. h. der Abbruch der Taylorreihe i. Allg. keine korreken Resulae für die Fixpunke gib und deren Sabiliä besser direk an der vollsändig verzögeren Gleichung (.4) überprüf werden solle. Fixpunke dieser sind ebenfalls p und p. Die Sabiliä der Fixpunke werde durch den Ansaz = p + ϕ() mi ϕ() in Gleichung (.4) besimm, womi man dϕ() d dϕ( τ) = ±ϕ() κ + O { ϕ () } (.6) d zu unersuchen ha und das Pluszeichen dem Fixpunk p ensprich, während das Minuszeichen den Fixpunk p repräsenier. Eine wesenliche Mehode zur Behandlung solcher linearer, diskre verzögerer Differenzialgleichungen sell die Laplace-Transformaion dar (siehe dazu A..). Führ man die Laplace-Transformaion ϕ() ˆϕ(z) = ϕ() exp{ z } d uner Verwendung der Eigenschafen aus A.. durch, so ergib sich für die Transformiere [ ] ϕ + κ Φ( τ) z e z τ Φ() e z d ˆϕ(z) = τ z ( + κ e z τ ), (.7) Colin MacLaurin, schoischer Mahemaiker, geb. Februar 698 Kilmodan, ges. 4. Juni 747 Edinburgh im deuschen Sprachraum unübliche Bezeichung für den Spezialfall der Taylorreihenenwicklung um den Enwicklungspunk Null 4

30 .3 Verzögerungskonrolliere Reakionen wobei ϕ( = ) = ϕ = p der Anfangswer und Φ() mi [ τ, ) die Anfangsfunkion is. Die Sabiliä der Fixpunke häng nun von der Lage der Lösungen der charakerisischen Gleichung in der komplexen Ebene ab. Diese wird besimm durch die Nullsellen des Nenners der Gleichung (.7) z ( + κ e z τ) =. (.8) Solche charakerisischen Gleichung der obigen Form (.8) werden ranszendale Gleichungen genann, weil die gesuchen Wurzeln z in der ranszendalen Exponenialfunkion vorkommen. Im Gegensaz zu charakerisischen Gleichungen der gewöhnlichen Differenzialgleichungen, welche Polynome in z sind, deren Grad die endliche Zahl der Lösungen z limiier, haben ranszendale Gleichungen i. Allg. unendlich viele Lösungen z, die meis auch nich analyisch gefunden werden können. Die Lage der Lösungen z in der komplexe Ebene häng auch von der Verzögerungszei τ ab. Es beseh ebenfalls die Möglichkei, dass sich die Sabiliä ändern kann, wenn τ variier wird. In [44] werden die Sabiliäseigenschafen der Gleichung d d + α dp( τ) d + β + γ p( τ) = (.9) deaillier unersuch und können somi als Grundlage zur Unersuchung von Gleichung (.4) bzw. Gleichung (.6) dienen. Vergleich man die charakerisische Gleichung (.8) mi der zu Gleichung (.9) korrespondierenden, kann man die Ergebnisse aus [44] überragen, wenn man α = κ, β = und γ = sez. Ein wesenlicher Punk, welcher ebenfalls in [44] allgemein bewiesen wurde, is, dass für κ > die riviale Lösung zu Gleichung (.6) und dami beide Fixpunke von (.4), p und p, für jedes τ > insabil sind. Gil nun κ <, dann kann sich die Sabiliä der rivialen Lösung dieser Gleichung nur ändern, wenn eine Lösung z in der komplexen Ebene auf der imaginären Achse lieg bzw. diese überschreie. Um dies zu überprüfen, sez man in die charakerissiche Gleichung z = i ω und such reelle Were für ω in Abhängigkei von τ und κ. Separier man Realeil und Imaginäreil, erhäl man ω + ω κ cos(ω τ) = und ω κ sin(ω τ) =, woraus man ablesen kann, dass es keine reellen ω gib, denn es gil ω = (κ ) < für κ <. Das heiß in anderen Woren, dass keine Lösungen die imaginäre Achse überschreien, wenn τ vergrößer wird, also die Sabiliä aus dem Grenzfall τ = abgelesen werden kann. Man seze also in (.8) τ =, womi für die Lösung der charakerisischen Gleichung für den unverzögeren Fall z(τ = ) = ± + κ gil. Da z + (τ = ) > is, is der Fixpunk p insabil, während p asympoisch sabil is, denn z (τ = ) <. Die funkionale Gesal des Spezialfalls τ = zeig eine einfache Modifikaion im Exponenialerm der Lösung der logisischen Gleichung, womi p a () = p p + ( p ) exp { (.3) } +κ folg. Diese Lösung kann als erse Näherung für kleine Verzögerungen τ angesehen werden. Für solche ha der Verlauf der Sarfunkion wenig Einfluss auf die Lösung. Als eine analyische Lösungsmehode für verzögere Differenzialgleichungen mi konsaner Verzögerung sei nun die Schrimehode anhand der obigen Gleichung (.4) beschrieben. Dabei wird die verzögere Differenzialgleichung sukzessive gelös, indem in den Inervallen 4

31 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung [k τ, (k + ) τ], (k N) gewöhnliche Differenzialgleichungen gelös werden. Zu dem Anfangswerproblem wird eine Anfangsfunkion Φ() im Inervall τ < vorgegeben und dami auch Φ(). Dies liefer eine Grundlage zur Lösung der Gleichung (.4) im Inervall [, τ], denn es gil dann d d = p () κ dp( τ) d dp [,τ]() d = p [,τ] () p [,τ]() κ dφ( τ) d. Ha man die Lösung p [,τ] () bzw. deren Ableiung im Inervall [, τ] berechne, so kann diese wieder in der Ausgangsgleichung zur Lösung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung im Inervall [τ, τ] benuz werden usw.. Ein nichlineares Modell, wie es mi (.4) vorlieg, zeig aber auch die Grenzen der Anwendbarkei dieser Mehode auf. Illusrier werden soll dies für die Wahl einer im Inervall τ konsanen Anfangsfunkion Φ() p. Die Funkion Φ() änder sich also zeilich nich ( Φ() ), deshalb gil für [, τ] die logissiche Differenzialgleichung ṗ() = p (), deren Lösung analog Gleichung (.3) mi κ = is. Aber schon den nächsen Schri d d = p () κ ( p ) p exp { ( τ} [p + ( p ) exp ( )] kann man aufgrund der Nichlineariä und dem funkionalen Verlauf der Inhomogeniä nich mehr analyisch ausführen, deshalb is diese Mehode auch meis nur für lineare Modelle prakikabel. Nichsdesoroz liefer die Schrimehode auch die Grundlage zur numerischen Behandlung diskre verzögerer Differenzialgleichungen. Für eine konsane Verzögerung sell die numerische Berechnung nur eine Erweierung der Mehoden für gewöhnliche Differenzialgleichungen dar. Allgemeine Lösungsansäze, wenn dies nich der Fall is, werden in [8, 85 89, 98, 3] und Referenzen darin vorgesell. So wird hier die Gleichung (.4) mi der Euler-Mehode unersuch. Bei der Zeidiskreisierung muss darauf geache werden, dass ganzzahlige Vielfache der Verzögerungszei τ ebenfalls Süzsellen sind, da an diesen Sellen Unseigkeien in der Funkion bzw. deren Ableiungen aufreen können [98]. Ein jedes Inervall [j τ, (j + ) τ) sei in N äquidisane Teile der Länge d zerleg, d. h. es gil N d = τ. Die Funkion berechne man dann an den Süzsellen j = j d rekursiv und hierfür gil, wenn man p( j ) = p(j d) = p j als Abkürzung verwende, p j+ = p j + d { p j ( p j ) κ ( ) } dp d j N und ( ) dp = p j+ p j d j d. (.3) Is j N, befinde man sich im Anfangsinervall und die Anfangsfunkion Φ() bzw. deren Ableiung Φ() werden an den Süzsellen j für die Funkion eingesez. In Abbildung.9 sei, welches mi der Rekursion (.3) berechne wurde, aufgeragen und verglichen mi der Lösung der analyischen Schrimehode (blaue Kurve), die im Inervall τ τ berechne werden konne. Weierhin finde man in dieser Abbildung die Approximaion p a () (s. Gl.(.3), grüne Kurve). Neben diesen beiden Figuren, wo zum einen p =, 5 < (Abb..9(a)) und zum anderen p =, 5 > (Abb..9(c)) zur Illusraion gewähl wurden, sei der Fehler E = p( = j ) p j zwischen der numerisch berechneen Lösung (.3) und der nach der Schrimehode analyisch berechneen aufgeragen (Abb..9(b) und.9(d)). Die Lösung is für beide Sarwere p =, 5 bzw. p =, 5 seig, aber nich gla, d. h. die Ableiung exisier nich in den Punken j τ mi j N. Dies lieg daran, dass 43

32 .3 Verzögerungskonrolliere Reakionen E (a) p =, (b) Fehler E für p =, E (c) p =, (d) Fehler E für p =, 5 Abbildung.9: Numerische Berechnung von durch die Rekursionsvorschrif (.3) der koninuierlichen Gleichung (.4) mi der Euler-Mehode mi der Schriweie d = τ /N (τ =, N = verglichen mi der analyischen Schrimehode (blau) und der Approximaion p a () (.3) (grün) und der Fehler E = p( = j ) p( j ). Für die Anfangsfunkion gil Φ() p, während der Parameer κ auf, 5 fesgeleg wurde. die Bedingung Φ() = p [ p ] κ Φ( τ) nich erfüll wird. Diese Bedingung wäre nur für p = und p = gülig, wobei dafür beide Lösungen konsan wären, also p und dami rivialerweise gla. Für jegliche andere Sarwere gil für die vorgegebene Dies Bedingung wird als engl. sewing condiion bzw. splicing condiion bezeichne (siehe dazu [8, 96, 98] 44

33 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung d d.. d d (a) p =, 5 (b) p =, 5 Abbildung.: Numerisch berechnee Ableiung von, ( dp d )j = (p j+ p j ) durch die Rekursionsvorschrif (.3). Für die Parameer gil: Φ() p, κ =, 5, τ = und N = d. Sarfunkion, dass zum Zeipunk = = der linksseiige Grenzwer der Ableiung von, lim ṗ() = Φ( = ) = und der rechsseiige Grenzwer lim + = ṗ() = p [ p ] und somi keine Ableiung in = exisier. Daraus folg auch, dass für ganzzahlige Vielfache der Verzögerungszei keine Ableiung exisier, auch wenn der Absand zwischen linksseiigem und rechsseiigem Grenzwer mi zunehmender Zei immer mehr abnimm. In Abbildung. wurde der zeiliche Verlauf von ṗ() für die beiden Anfangswere aufgeragen. Die Änderung des Verlaufs von in Abhängigkei vom Parameer κ werde durch die Variaion von diesem in Abbildung. dargesell. Dabei werden sowohl posiive Were (siehe Abb..(a) bzw..(c)), als auch negaive Were (siehe Abb..(b) bzw..(d)) für κ zugelassen. Bei zunehmender Rückkopplungssärke κ erkenn man deulich die Änderung des funkionalen Verlaufs von im Vergleich zum nichrückgekoppelen Fall κ =. Die monoone Annäherung im lezeren Fall erfolg dann mehr und mehr oszillaorisch und abweichend von dem Verhalen, wie es durch die Approximaion (.3) zu folgern is. Solche nichglaen Kurven, die durch Unseigkeien der Ableiungen zu Vielfachen der Verzögerungszei τ verursach werden, beobache man im physikalischen Konex selen. Ein Grund dafür is, dass in naürlichen Prozessen, die mi einem Gedächnis behafe sind, eher eine Vereilung von Verzögerungszeien als eine diskree (schmalbandige) Verzögerungszei zu erwaren is, wie sie prinzipiell schon in Gleichung (.3) mi dem Gedächniskern K gegeben is. Dieser Typus der Rückkopplung soll anhand des nächsen Beispiels berache werden..3. Exerne Rückkopplung - Verzögerung mi Vereilung Gib es nich eine konkree, diskree Verzögerungszei, wie sie in der Populaionsdynamik durch z. B. der Reifezei von der Befruchung einer Eizelle bis zur Gebur des Jungieres oder einer Inkubaionszei einer Krankhei gegeben is, sondern ein ganzes Spekrum an Verzögerungszeien, die vergangene Zusände gewiche in die zeiliche Enwicklung der 45

34 .3 Verzögerungskonrolliere Reakionen (a) p =, 5,κ = ;, 5;, 5;, 75 (in Pfeilrichung) (b) p =, 5,κ =, 75;, 5;, 5; (in Pfeilrichung) (c) p =, 5,κ = ;, 5;, 5;, 75 (in Pfeilrichung) (d) p =, 5,κ =, 75;, 5;, 5; (in Pfeilrichung) Abbildung.: Variaion der Gedächnissärke κ bei fesem τ = und fesem N = für verschiedene Sarwere p und der Anfangsfunkion Φ() p. Die grünen Linien sellen die Näherungslösung (.3) dar. zu berachenden Größe einfließen lassen, so sind die beschreibenden Evoluionsgleichungen Inegro-Differenzialgleichungen. Als Beispiel berache man hier das so genanne verblassende Gedächnis, bei dem die koninuierliche Vereilung der Verzögerungszeien als exponeniell angenommen wird, also K() = exp [ λ ], (λ > ) in Gleichung (.3). Dieser Kern ha einige Eigenschafen wie Posiiviä und Beschränkhei, die auch Grundlage zu allgemeinen Aussagen sein können. Bemerk sei, dass solche Modelle mi Kernen auch in der Beschreibung des Spannungsabbaus in viskoelasischen Maerialien [, 4], sowie zur Berechnung der elasischen Beanspruchung von gesrecken Polymerfaser [] verwende werden. Subsiuier man 46 engl. fading memory

35 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung diesen exponeniellen Kern in Gleichung (.3), so verifizier man leich d d = p () κ ˆ [ ] dp( exp λ ( ) ) d p() = p d, (.3) wobei in dieser Gleichung erneu dimensionslose Größen aufauchen, die man nach dem Übergang p p r /u, /r erlang. Auch die freien Parameer κ = µ /r und λ = λ /r haben dann dimensionslosen Charaker. Da der Kern unabhängig von der relevanen Variable is, kann die obige Inegro-Differenzialgleichung. Ordnung durch Differenzieren und Einsezen dieser auf eine gewöhnliche Differenzialgleichung. Ordnung gebrach werden d [ + + κ + d λ ] d + d λ [ ] =, (.33) wobei der Sarwer p() = p ergänz werden muss durch den Sarwer der Ableiung ṗ() = p [ p ], welchen man direk aus Gleichung (.3) für = erhäl. Aus beiden Gleichungen kann geschlussfolger werden, dass man die Fixpunke mi p s = und p s = gegeben ha, wobei diese unabhängig von der Gedächnissärke κ und der Zeiskala des Abfalls des Gedächnisses K() d = λ sind. Die Sabiliä unersuchend wende man den Ansaz = p s + ϕ() an und analysier dami das Verhalen in der Umgebung der Fixpunke in linearer Näherung ˆ ϕ() = ±ϕ() κ [ ] exp λ ( ) ϕ( ) d, wobei das posiive Vorzeichen für p s = und das negaive für p s = seh. Auch diese Gleichung kann in eine gewöhnliche Differenzialgleichung. Ordnung umgewandel werden. Es is aber gleichermaßen möglich, die Laplace-Transformaion zu benuzen, resulierend in z + ˆϕ(z) = ϕ λ + κ ( (z ) z + λ ). + κ z Der Nenner der Laplace-Transformieren ˆϕ(z) kann dann als charakerisische Gleichung idenifizier werden, deren Nullsellen z ± über die Sabiliä enscheiden. Diskuier man zunächs p s =, so finde man z ± = / [ ) ( λ + κ ± ] A mi A = ( λ + κ ) + 4 λ mi der Diskriminane A, die mi der Annahme λ > ebenfalls posiiv is (A > ). Weierhin gil A > λ + κ, woraus folg, dass z + posiiv is, dagegen z negaiv. Da die Lösung die folgende Srukur ϕ() = ϕ [C exp (z + ) + C exp (z )] ha, gil, dass ϕ() für unbeschränk is. Der Fixpunk p s = is also insabil. Analog berache man nun den Fixpunk p s = und berechne die Nullsellen des charakerisischen Polynoms. Die Diskriminane A für diesen Fall ha kein fixieres Vorzeichen, denn es gil A = ( + λ + κ) 4 λ. Je nach Vorzeichen der Diskriminane A in Abhängigkei der beiden Parameern κ und λ erhäl man für die Sörung um den Fixpunk [ϕ()] gedämpf exponeniellen Charaker (A > ), den anharmonischen Grenzfall (A = ) bzw. ein gedämpf oszillaorisches Verhalen (A < ) 47

36 .3 Verzögerungskonrolliere Reakionen in Analogie zu den aus der Mechanik bekannen Fällen des gedämpfen harmonischen Oszillaors, der prinzipiell durch eine ähnliche Bewegungsgleichung wie das linearisiere Äquivalen zu Gl. (.33) beschrieben wird. Die Fallunerscheidung führ auf ϕ e (+ λ+κ) ) λ ϕ() = ϕ e { + ( λ ϕ e (+ λ+κ) { ( A ) cosh + λ+κ A } ( A )} sinh für A > für A = { ( A ) ( A ) } cos + λ+κ sin für A <. A Dami die Sörung um den Fixpunk ϕ() für verschwinde, muss λ + κ gelen. Aus dem Grenzfall A = kann man ablesen, dass, wenn λ < gil, ϕ() nach einer endlichen Zei das Vorzeichen wechsel. Es kann eine Analogie zwischen dem Rückkopplungsmodell (.3) und der Gleichung (.33), die als eine den gedämpfen harmonischen Oszillaor beschreibende Evoluionsgleichung inerpreier werden kann, hergesell werden. Wenn man p als Orsvariable annimm, so beweg sich ein Teilchen (o.b.d.a. sei die Masse m = ) in einem Poenzial V(p) = p / + p3 /3. Der Fakor vor der ersen Zeiableiung ha die Bedeuung einer Dämpfungskonsane. Durch die Nichlineariä der zugrundeliegenden Evoluionsgleichung in Kombinaion mi der Rückopplung is der Dämpfungsfakor γ(p) = + λ + κ zusandsabhängig. Die Parameer κ, λ und p lassen Variaionsmöglichkeien offen, die verschiedene Trajekorien bieen. Eine Auswahl soll mi folgenden Grafiken.,.3,.4 gegeben werden. Der Parameer κ gib die Särke der Rückkopplung an. Je größer dieser is, deso größer is der Einfluss des Gedächnisses und die Änderung der Trajekorie im Vergleich zum nichrückgekoppelen Fall (κ = ). Mi λ is eine inverse Zeiskala gegeben, die aus dem Zeiinegral über den Gedächniskern ˆ K() d = λ exrahier werden kann und welche somi die zurückliegenden Zusände kumulaiv erfass. Je größer λ is, deso kleiner is der Einfluss weier zurückliegender Zusände. Die Wahl der Sarwere p häl aufgrund der Nichlinariä zwei Szenarien berei. Zum einen p, wo anfänglich seig ( p() = p ( p ) > ), zum anderen p >, wo das Gegeneil der Fall is. Die Abbildung.(a) zeig genau diese Abhängigkei vom Sarwer für fese Were der anderen Parameer ( λ = und κ =, 5). In dieser Abbildung wie auch in den folgenden Figuren wurden beide äquivalene Gleichungen (.3) und (.33) numerisch unersuch. Unerschieden werden dabei die beiden verschiedenen Lösungsmöglichkeien durch Kurven besehend aus Kreisen (Rückkopplungsmechanismus) und durchgezogenen Kurven als Lösung der korrespondierenden Bewegungsgleichung. Ordnung. Zur Berechnung der Lösung für beide Ansäze wurde das Euler-Verfahren mi einer Schriweie von =, 5 verwende. Die Variaion von λ sei bei fesem p =, 5 und κ =, 5 in Abbildung.(b) bzw. bei p =, 5 und κ =, 5 in Abbildung.(c) dargesell. In diesen Abbildungen sind neben den Trajekorien für verschiedene Were von λ auch die Grenzfälle κ = (logisische Gleichung, schwarze Kurve) und λ = (gelbe Kurve) aufgeragen. Der lezere Spezialfall λ = is analog der Wahl eines konsanen Kerns K(, ; p) in 48

37 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung (a) p =, ;, 5;, 5;, 75;, 9; ;, 5;, 5; mi fesem κ =, 5 und λ = 5 5 (b) λ =;, ;, 5; ; mi fesem κ =, 5 und p =, (c) λ =;, ;, 5; ; mi fesem κ =, 5 und p =, (d) κ =, ;, 5; ;, 5 mi fesem λ = und p =, 5 Abbildung.: Numerische Berechnung von bei Variaion der Sysemparameer p und λ. Die Kreise markieren die numerisch berechneen Kurven durch direke Diskreisierung von Gleichung (.3), während die durchgezogenen Kurven die ebenfalls numerisch berechneen Kurven der korrespondierenden Differenzialgleichung (.33) sind. Die Schriweie beräg für beide Varianen =, 5. Gleichung (.3), womi man d d = ( κ) p () + κ p schlussfolgern kann. Diese Gleichung kann exak behandel werden. Die zeiliche Enwicklung 49

38 .3 Verzögerungskonrolliere Reakionen (a) κ =;, ;, 5; ;, 5 mi fesem p =, 5 und λ = 5 5 (b) p =, ;, 5;, 8;, 9;, mi fesem κ =, 8 und λ =, Abbildung.3: Numerische Berechnung von bei Variaion der Sysemparameer p und λ. Die Kreise markieren die numerisch berechneen Kurven durch direke Diskreisierung von Gleichung (.3), während die durchgezogenen Kurven die ebenfalls numerisch berechneen Kurven der korrespondierenden Differenzialgleichung (.33) sind. Die Schriweie beräg für beide Varianen =, 5. der Konzenraion häng direk vom Sarwer p ab. Weierhin is die Wachsumsrae leich modifizier, denn es wurde κ ersez. Die allgemeine Lösung deduzier man zu [ ] κ +  anh  + ˆp für κ = [ p ( p anh + ln )] + p p für κ = mi  = ] [ ( κ) + 4 κ p und ˆp = + ln p + κ  p κ +. Eine charakerisische Breie der Kurve in diesem Fall is τ = Â, welche sowohl durch die Gedächnissärke als auch durch den Sarwer besimm is. Die saionären Were ( ) sind im Gegensaz zu den schon behandelen anderen Beispielen des Gedächniskerns K nich mehr p s = bzw. p s =, sondern p λ= s (κ, p ) = [ ] κ ± Â(κ, p ) (.34) wobei der negaive Zweig vernachlässig wird, denn p s muss posiiv sein. Die Analyse kann für einen beliebigen Kern K verallgemeiner werden. Dann bleiben die Fixpunke p s unveränder, wenn für den Laplace-ransformieren Kern ˆK(z) = K() e z d folgende Relaion erfüll is: lim z ˆK(z) =. (.35) z 5

39 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung Abbildung.4: Vergleich verschiedener numerischer Mehoden und Schriweien zur Berechnung von. Die durchgezogenen Kurven sind Lösungen der Gleichung (.33) für =, 5, wobei die roe Kurve die Berechnung mi der klassischen Vorwärs-Euler-Mehode darsell, während die blaue Kurve eine mi einer koninuierlichen Runge-Kua-Mehode Ordnung berechnee Lösung repräsenier. Die durch die Kreise abgebildeen Kurven sind Diskreisierung der Gleichung (.3) für verschiedene Schriweien =, 5;, ;, 5 (von rechs nach links) Für einen konsanen Kern gil dies offensichlich nich und somi sind die Fixpunke modifizier, wie man Gleichung (.34) ennehmen kann. Eine solche Siuaion der Änderung der Fixpunke kann in Analogie zu der Berachungweise bei sochasischen Prozessen gesez werden. Dor werden addiives und muliplikaives Rauschen unerschieden. Während bei addiivem Rauschen die Fixpunke des deerminisischen Aneils einer Langevin-Gleichung nich verschoben werden, gil dies bei muliplikaivem Rauschen nich mehr. Die Kurven bei variablen λ in den Abbildungen.(b) und.(c) liegen genau zwischen den beiden Grenzkurven κ = (schwarze Kurve) und λ = (gelbe Kurve). Sie sind dami einhüllende Kurven. Is κ > (Abb..(b)), sind die Kurven sreng monoon und durch die Rückkopplung erfolg eine Dämpfung, während bei κ < (Abb..(c)) eine Versärkung aufri. In lezerem Fall wird ein Maximum durchlaufen, von welchem aus der Abfall auf p s = erfolg. Dieser is i. Allg. aber nich sreng monoon, sondern oszillaorisch. Die Oszillaion, die man in Abbildung.(c) nur ansazweise erkennen kann, werden ausgepräger, wenn κ größer wird (siehe dazu Abb..3). In Abbildung.(d) variier man den Parameer κ >, während der Res der Parameer konsan gehalen wird. Auch hier verursach die Rückkopplung eine Dämpfung, d. h. der Übergang vom Sarwer p =, 5 zum Fixpunk p s = erfolg mi einer größeren Relaxaionszei, je größer κ(> ) is. Die schon erwähnen Oszillaionen um p s = beobache man bei negaivem κ (s. Abb..3). Je größer beragsmäßig dieser Parameer is, deso größer is die Ampliude dieser Oszillaion (s. Abb..3(a)). Dieses oszillaorisches Verhalen geh bei weierer Erhöhung in ein singuläres Verhalen über, d. h. verschwinde zu einer endlichen Zei. Dieser Übergang kann auch unersuch werden, wenn man κ(=, 8) konsan häl und den Sarwer änder. So sind in Abbildung.3(b) mehrere Kurven für verschiedene p aufgeragen. Der Übergang finde 5

40 .3 Verzögerungskonrolliere Reakionen bei Verkleinerung von p sa. Die Sensiiviä der numerischen Verfahren bzw. bezüglich der gewählen Schriweien auf diesen Übergang des Verhalen werde in Abbildung.4 näher berache. Während bei =, 5 noch oszillaorisches Verhalen aufri, is dies bei =, schon nich mehr der Fall. Hier beobache man das Verschwinden von. Erniedrig man die Schriweie weier ( =, 5), so verschieb sich der Zeipunk zu früheren Zeien. Auch wenn man verschiedene Verfahren mi gleicher Schriweie verwende, unerscheiden sich die Zeien des Verschwindens. Dies zeig, dass das Wechselspiel aus Nichlineariä und Rückkopplung auch spezielle numerische Verfahren verlang, die solche Übergänge korrek erfassen..3.3 Inerne Rückkopplung - Zusandsabhängige Verzögerung In diesem Abschni werde ein zusandsabhängiger Kern unersuch, der selbsorganisiere Verzögerungseffeke modellieren soll, d. h. K(, ; ) K [p( )]. Die Größe p( ) sei die Konzenraion in dem Inervall, welche angekoppel is an die Änderungsrae p( ) zu einem früheren Zeipunk, wie man Gleichung (.3) ennehmen kann. Der Gedächniskern charakerisier die Ar und Weise wie eine Anfangskonzenraion akkumulier wurde. Innerhalb des Zeiinervalls τ = reicher sich die Konzenraion immer weier an oder in anderen Woren gesag zur Zei is die Reakion unvollsändig. Während des Zeiinervalls τ bewegen sich die übrig gebliebenen Teilchen zur Reakionszone. Als eine einfache Realisierung der Zusandsabhängigkei von K wähle man die lineare Abhängigkei von der Konzenraion, weil für diese Wahl enweder eine Webewerbssiuaion zwischen dem konvenionellen quadraischen Term und dem Rückkopplungserm vorlieg, wenn κ < is oder eine Versärkung des quadraischen Verluserms durch die Rückkopplung, wenn κ > gil. Mi der obigen Annahme von K werde die Evoluionsgleichung d d = p () κ ˆ p( ) dp( ) d d (.36) in dimensionsloser Form analysier. Der leze Term mi dem Kopplungsparameer κ modelliere die Rückkopplung, die den Einfluss der Umgebung nachbilden soll. Bemerk sei, dass der Gedächniskern eine Kopplung von Zeiskalen produzier. So gil für den Gedächniskern in der Nähe der oberen Grenze des Inegrals (also Zeien in der Nähe der akuellen Messzei), dass die momenane Änderungsrae an den Sarwer gekoppel is (p() ). Somi gib es eine Kopplung zwischen der weien Vergangenhei und dem momenanen Wer von. Im umgekehren Fall, an der uneren Grenze, exisier eine direke Kopplung zwischen der Änderungsrae zum Sarzeipunk p( = ) und dem momenanen Wer. Also sell ein solcher Gedächniskern eine gewichee Kopplung des Verhalens zur Anfangszei und zur Beobachungszei dar. Diese Kopplung führ zu einem anderen Langzeiverhalen, aber auch die Relaxaion in die Fixpunke wird dadurch veränder. Das generelle Verhalen, welches nun diskuier werden soll, änder sich auch nich, wenn man andere Terme mi verschiedenen Poenzen von der Diche in der Abhängigkei des Gedächniskerns K in Gleichung (.36) verwende. 5

41 Zeiabhängige Prozesse mi Rückkopplung Saionäre Lösungen Wie für die vorangegangenen Beispiele such man auch für die obige Evoluionsgleichung (.36) saionäre Lösungen, die das Langzeiverhalen der Größe charakerisieren und deren Sabiliä, welche von den Sysemparameern abhängen. Auch hier is der rückkopplungsfreie Fall κ = ein wichiger Spezialfall, der in folgender Lösung = p [e + p ( e )] mi p( = ) = p resulier. Für große Zeien erhäl man einen nichrivialen saionären und sabilen Wer p s (κ = ) = und die insabile riviale Lösung p s =. Durch die Hinzunahme des Gedächnisses wird dieses Verhalen drasisch geänder. So exisier neben der rivialen Lösung p s = auch eine nichriviale, rückkopplungskonrolliere Lösung der Form p s (κ, p ) = + κ p + κ (κ ). Diese Änderung des Fixpunkes durch die Rückkopplung, die in der Abhängigkei p s p s (κ, p ) und somi i. Allg. p s abzulesen is, seh in voller Übereinsimmung mi der Bedingung (.35) an den Gedächniskern. Da wir hier als Konzenraion annehmen, muss diese posiive sein. Dies gil dami naürlich auch für den Sarwer p und der saionären Lösung p s, womi eine zusäzliche Resrikion gegeben is, die den Parameerraum einschränk. Die Änderung des saionären Weres durch die Rückkopplung in Abhängigkei von 3.5 p δp s κ (a) δp s (κ, p ) p 3 κ (b) sign(δp s (κ, p )) Abbildung.5: Der Unerschied δp s (κ, p ) p s (κ, p ) p s (κ = ) in Abhängigkei von der Kopplungssärke κ und dem Sarwer p. δp s (κ, p ) > sei durch die blauen Bereiche gekennzeichne, während roe Bereiche negaiven Weren von δp s (κ, p ) zugeordne werden. der Kopplungssärke κ und dem Sarwer p sei durch δp s (κ, p ) p s (κ, p ) p s (κ = ) = p s (κ, p ) = κ (+κ) p gegeben. Das Vorzeichen der Größe δp s (κ, p ) besimm also die Relaion der saionären Were für den rückgekoppelen Fall mi einer nichverschwindenden Kopplungssärke κ und den Fall κ =. In Abbildung.5 sei diese Größe aufgeragen. Während in Abbildung.5(a) die Abhängigkei von κ und p der Größe δp s skizzier is, 53

42 .3 Verzögerungskonrolliere Reakionen werde durch die farbig unerschiedenen Gebiee in Figur.5(b) die Projekion des Vorzeichens sign [δp s ] auf die κ p -Ebene dargesell. So seien roe Gebiee, Bereiche in denen δp s < gil, somi also p s (κ, p ) < is, während für die blau verzeichneen Gebiee das umgekehre der Fall is (p s (κ, p ) > ). Es exisieren verschiedene Linien, bei deren Überschreien sich das Vorzeichen änder. Neben der Linie κ = sind das die Linien p bzw. κ, wie man Abbildung.5(b) ennehmen kann. Der Spezialfall p = bedeue, dass cons= gil. Gil p >, fäll die Funkion zunächs, denn es gil für, dass p ( p ) < (für p < is das Umgekehre der Fall). Lieg der Fall κ = vor, so is ein kriischer Spezialfall angenommen, bei dem der Zerfallsprozess, der durch den quadraischen Term in der Evoluionsgleichung (.36) repräsenier wird und der Rückkopplungsprozess in Konkurrenz sehen und von der gleichen Größenordnung sind. Phasendiagramm In diesem Abschni sei das Phasendiagramm zum obigen Problem uner Verwendung einer linearen Sabiliäsanalyse vorgesell, bei der eine kleine Sörung ϕ() um den Fixpunk p s (κ, p ) unersuch wird. In linearer Näherung gil für den funkionalen Verlauf der Sörung ϕ() exp ( Λ ), wobei Λ der Sabiliäsexponen is, für welchen man, wenn p s = Λ = Λ (κ, p ) = p κ + p κ+ +κ, wenn p s und κ erhäl. Das Phasendiagramm definier man in der κ p -Ebene uner Ausschluss des rivialen Abbildung.6: Sabiliä der durch ein zusandsabhängiges Gedächnis modifizieren saionären Lösung in der p κ-ebene; Parameerpaare (κ, p ) in dem blauen Gebie führen zu sabile Fixpunke (Λ > ), während in den roen Regionen Insabiliä vorlieg (Λ < ). Im violeen Bereich lieg zwar Sabiliä vor, der Fixpunk kann aber nich erreich werden. Falls p =. In der sabilen Region muss sowohl die Bedingung p s >, als auch Λ > erfüll häufig auch Bifurkaionsdiagramm bzw. Sabiliäsdiagramm genann 54