12 Differenzierbare Funktionen

Transkript

1 Physikalisches Experiment 12 Differenzierbare Funktionen 12.1 Physikalisches Experiment Eine Person wirft zum Zeitpunkt t 0 einen Ball senkrecht in die Höhe. Die Funktion h : Ö0,T R mit hôtõ h 0 v 0 t 1 2 gt2, t 0, beschreibt näherungsweise die Höhe (in Metern) des Balls zur Zeit t 0 (in Sekunden). Dabei ist h 0 die Anfangshöhe (ca. die Körpergröße), v 0 die Anfangsgeschwindigkeit und g 9.81 mßs 2 die Fallbeschleunigung. (Weitere Einflüsse wie der Luftwiderstand werden ignoriert.) Der Differenzenquotient hôt 1 Õ hôt 0 Õ t 1 t 0 gibt die Durchschnitts-Geschwindigkeit im Zeitintervall Öt 0,t 1 an. Dies ist die konstante Geschwindigkeit, die ein Ball haben müsste, um die Weglänge hôt 1 Õ hôt 0 Õ im gleichen Zeitintervall zurückzulegen: hôt 1 Õ hôt 0 Õ SÔtÕ hôt 0 Õ Ôt t 0 Õ. ÔSekanten-GleichungÕ t 1 t 0 Der Differential-Quotient hôtõ hôt 0 Õ lim : h ½ Ôt 0 Õ ÔAbleitungÕ t t 0 t t 0 gibt die Momentan-Geschwindigkeit im Zeitpunkt t 0 an. Ein Ball mit dieser konstanten Geschwindigkeit würde zur Zeit t die Höhe T ÔtÕ erreichen. TÔtÕ hôt 0 Õ h ½ Ôt 0 ÕÔt t 0 Õ ÔTangenten-GleichungÕ Höhere Mathematik 241

2 Definition: Ableitung Festlegung wie im Abschnitt über Stetigkeit: Der Definitionsbereich D ist die endliche Vereinigung von Intervallen Definition: Ableitung Die Funktion f : D R heißt differenzierbar an der Stelle x 0 È D, wenn der Grenzwert f ÔxÕ fôx 0 Õ lim x x 0 x x 0 existiert. Dieser Grenzwert heißt die Ableitung f ½ Ôx 0 Õ oder auch der Differentialquotient df dx Ôx 0Õ von f an der Stelle x 0. f heißt differenzierbar, wenn f an jeder Stelle von D differenzierbar ist. Dann heißt die Funktion f ½ : D R, x f ½ ÔxÕ die Ableitung von f. Höhere Mathematik 242

3 Definition: Ableitung Einseitige Ableitungen: (siehe einseitige Grenzwerte 11.5) f ½ Ôx 0 Õ f ½ Ôx 0 Õ lim x x 0 f ÔxÕ fôx 0 Õ x x 0, Ôrechtsseitige AbleitungÕ f ÔxÕ fôx 0 Õ lim, Ôlinksseitige AbleitungÕ x x 0 x x 0 Im Fall D Öa,b ist f ½ ÔaÕ f ½ Ôa Õ als die rechtsseitige und f ½ ÔbÕ f ½ Ôb Õ als die linksseitige Ableitung definiert. Höhere Mathematik 243

4 Lemma 12.3 Lemma Es sei f : D R und x 0 È D. (a) Es gelte Ôx 0 δ,x 0 δõ D für ein δ 0. f ist genau dann an der Stelle x 0 differenzierbar mit f ½ Ôx 0 Õ c, wenn beide einseitigen Ableitungen an dieser Stelle existieren und denselben Wert f ½ Ôx 0 Õ f ½ Ôx 0 Õ c haben. (b) f ist genau dann an der Stelle x 0 differenzierbar mit f ½ Ôx 0 Õ c, wenn die Funktion ³ ² f ÔxÕ fôx 0 Õ für x x Ö : D R, ÔxÕ Ö 0, x x 0 ³± c für x x 0, an der Stelle x 0 stetig ist. Höhere Mathematik 244

5 Satz 12.4 Satz: Aus differenzierbar folgt stetig Ist f : D R differenzierbar an der Stelle x 0 È D, so ist f dort auch stetig. Höhere Mathematik 245

6 Rechenregeln für die Ableitung 12.5 Rechenregeln für die Ableitung f und g seien differenzierbar an der Stelle x 0, α,β seien Skalare. Dann existieren die folgenden Ableitungen und es gilt Ôαf βgõ ½ Ôx 0 Õ αf ½ Ôx 0 Õ βg ½ Ôx 0 Õ ÔfgÕ ½ Ôx 0 Õ f ½ Ôx 0 ÕgÔx 0 Õ f Ôx 0 Õg ½ Ôx 0 Õ (Produktregel) Å ½ Ôx 0 Õ g ½ Ôx 0 Õ ÔgÔx 0 ÕÕ 2 1 g f g Å ½ Ôx 0 Õ f ½ Ôx 0 ÕgÔx 0 Õ fôx 0 Õg ½ Ôx 0 Õ ÔgÔx 0 ÕÕ 2 (Quotientenregel) Bei den letzten beiden Regeln muss gôx 0 Õ 0 vorausgesetzt werden. Höhere Mathematik 246

7 Kettenregel und Ableitung der Umkehrfunktion 12.6 Kettenregel und Ableitung der Umkehrfunktion (a) I und J seien Intervalle, f : I J sei differenzierbar an der Stelle x 0 und g : J R sei differenzierbar an der Stelle y 0 f Ôx 0 Õ. Dann ist die zusammengesetzte Funktion g f : I R differenzierbar an der Stelle x 0 und es gilt Ôg fõ ½ Ôx 0 Õ g ½ Ôf Ôx 0 ÕÕ f ½ Ôx 0 Õ g ½ Ôy 0 Õ f ½ Ôx 0 Õ. ÔKettenregelÕ (b) Ableitung der Umkehrfunktion: I und J seien Intervalle, f : I J sei bijektiv und g : f 1 : J I sei die Umkehrfunktion. Wenn f an der Stelle x 0 È I differenzierbar ist und f ½ Ôx 0 Õ 0 gilt, dann ist die Umkehrfunktion g an der Stelle y 0 f Ôx 0 Õ È J ebenfalls differenzierbar und es gilt g ½ Ôy 0 Õ 1 f ½ Ôx 0 Õ 1 f ½ ÔgÔy 0 ÕÕ. Höhere Mathematik 247

8 Kettenregel und Ableitung der Umkehrfunktion y f ÔxÕ y 0 f Ôx 0Õ x 0 gôy 0Õ x gôyõ Höhere Mathematik 248

9 Beispiele 12.7 Beispiele (a) Jedes Polynom ist differenzierbar. (b) f : Ô0, Õ Ô0, Õ, f ÔxÕ x über den Differentialquotienten (c) Produktregel: f ÔxÕ x 2 sinx (d) Quotientenregel: f ÔxÕ x2 1 x 2 1 (e) Quotientenregel: tan x und cot x (f) Kettenregel: sinôx 2 1Õ, cos 5 Ô xõ (g) Umkehrfunktionen: f ÔxÕ x 2 auf Ô0, Õ, gôxõ sinx auf Ô πß2,πß2õ, hôxõ cosx auf Ö0,π. Höhere Mathematik 249

10 Definition: Landau-Symbole 12.8 Definition: Landau-Symbole Es seien f und g zwei in einer Umgebung von a È R definierte Funktionen, gôxõ 0 für alle x a. Dann bedeutet f ÔxÕ OÔgÔxÕÕ für x a, dass in einer Umgebung von a der Quotient f ÔxÕ gôxõ beschränkt ist f ÔxÕ f ÔxÕ oôgôxõõ für x a, dass lim x a gôxõ 0 ist. Eine analoge Definition gilt für Folgen und für uneigentliche Grenzwerte. Höhere Mathematik 250

11 Lineare Approximation 12.9 Lineare Approximation Das Polynom T 1 Ôx;x 0 Õ f Ôx 0 Õ f ½ Ôx 0 ÕÔx x 0 Õ vom Grad 1 heißt die lineare Approximation von f an der Stelle x 0. Der Approximationsfehler R 1 Ôx;x 0 Õ f ÔxÕ T 1 Ôx;x 0 Õ erfüllt die Beziehungen R 1 Ôx 0 ;x 0 Õ 0, R 1 Ôx;x 0 Õ lim 0, also R 1 Ôx;x 0 Õ oô x x 0 Õ für x x 0. x x0 x x 0 Die Gerade mit der Gleichung y T 1 Ôx;x 0 Õ f Ôx 0 Õ f ½ Ôx 0 ÕÔx x 0 Õ, x È R, ist die Tangente an den Graphen von f in x 0. Höhere Mathematik 251

12 Charakterisierung von Differenzierbarkeit Charakterisierung von Differenzierbarkeit f : D R ist genau dann in x 0 È D differenzierbar mit der Ableitung f ½ Ôx 0 Õ, wenn gilt f ÔxÕ f Ôx 0 Õ f ½ Ôx 0 ÕÔx x 0 Õ oô x x 0 Õ für x x 0. Höhere Mathematik 252

13 Definition: relative (oder lokale) Extrema In Satz haben wir das absolute (oder globale) Maximum bzw. Minimum einer stetigen Funktion f : I R behandelt Definition: relative (oder lokale) Extrema Sei I ein Intervall und f : I R eine Funktion. f hat an der Stelle x 0 ein relatives Maximum (bzw. ein relatives Minimum) f Ôx 0 Õ, wenn es ein Intervall Ôx 0 δ,x 0 δõ I gibt, so dass f ÔxÕ f Ôx 0 Õ (bzw. f ÔxÕ f Ôx 0 Õ ) für alle x È Ôx 0 δ,x 0 δõ. Ein relatives Maximum oder Minimum heißt auch ein relativer Extremwert von f. Beachte: An einem Endpunkt des Intervalls I Öa,b kann laut der Definition kein relativer Extremwert vorliegen. Hier kann jedoch das absolute Maximum oder Minimum von f angenommen werden (Beispiele: monotone Funktionen) Höhere Mathematik 253

14 Notwendiges Kriterium Hauptsatz zur Kurvendiskussion: Notwendiges Kriterium Sei I ein Intervall und f : I R an der Stelle x 0 È I differenzierbar. Wenn f an der Stelle x 0 einen relativen Extremwert hat, so gilt f ½ Ôx 0 Õ 0. Höhere Mathematik 254

15 Beispiele Beispiele (a) f : Ö 1,1 R, f ÔxÕ x ( es geht auch ohne Differenzierbarkeit ) (b) f : Ö 2,2 R, f ÔxÕ x 3 x mit relativem Maximum bei x und relativem Minimum bei x und absolutem Maximum bei x 2 sowie absolutem Minimum bei x 2. (c) f : Ö 1,1 R, f ÔxÕ x 3. Der einzige Kandidat für einen relativen Extremwert ist x 0 0. Wegen f Ôx 1 Õ f Ô0Õ f Ôx 2 Õ für alle x 1 0 x 2 hat f jedoch keinen relativen Extremwert an der Stelle x 0 0. Höhere Mathematik 255

16 Satz von Rolle Satz von Rolle Es sei I Öa,b ein Intervall, a b. Die Funktion f : Öa,b R sei stetig in I und differenzierbar in Ôa, bõ. Falls f ÔaÕ f ÔbÕ gilt, so gibt es ein x 0 È Ôa,bÕ mit f ½ Ôx 0 Õ 0. y y f ÔxÕ a x 0 b x Höhere Mathematik 256

17 Mittelwertsatz der Differentialrechnung Mittelwertsatz der Differentialrechnung Es sei I Öa,b ein Intervall, a b. Die Funktion f : Öa,b R sei stetig in I und differenzierbar in Ôa, bõ. Dann gibt es ein x 0 È Ôa,bÕ mit f ½ f ÔbÕ fôaõ Ôx 0 Õ. b a y a x 0 y f ÔxÕ b x Geometrisch:EsexistierteineStellex 0 È Ôa,bÕ, an der die Steigung f ½ Ôx 0 Õ der Tangente gleich der Steigung der Sekante durch Ôa,f ÔaÕÕ und Ôb,f ÔbÕÕ ist. Höhere Mathematik 257

18 Satz von der konstanten Funktion, Monotonie Direkte Folgerungen aus dem Mittelwertsatz: Satz von der konstanten Funktion, Monotonie Es sei I Öa,b ein Intervall, a b. Die Funktion f : Öa,b R sei stetig in I und differenzierbar in Ôa, bõ. (a) Wenn f ½ ÔxÕ 0 für alle x È Ôa,bÕ gilt, so ist f konstant. (b) Wenn f ½ ÔxÕ 0 (bzw. f ½ ÔxÕ 0 ) für alle x È Ôa,bÕ gilt, so ist f streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend). Höhere Mathematik 258

19 Definition: höhere Ableitungen Wir betrachten nun Funktionen f : D R, die (auf ganz D) differenzierbar sind. In 12.2 wurde dann die Ableitung, also die Funktion f ½ : D R, x f ½ ÔxÕ definiert Definition: höhere Ableitungen Die Funktion f : D R sei differenzierbar. Falls f ½ differenzierbar ist, nennen wir f ¾ : Ôf ½ Õ ½ die 2. Ableitung von f, und f heißt zweimal differenzierbar. (Andere Schreibweisen: f Ô2Õ oder d2 f dx 2 ) Analog erhält man die höheren Ableitungen f f Ô3Õ, f Ô4Õ,..., und allgemein für ein n È N die n-te Ableitung f ÔnÕ dn f dx n, falls f Ôn 1Õ weiterhin differenzierbar ist. Die Funktion f heißt dann n-mal differenzierbar. Höhere Mathematik 259

20 Definition: höhere Ableitungen Zusatz: Falls die Ableitung f ½ stetig ist, heißt f stetig differenzierbar. Falls f n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung f ÔnÕ stetig ist, so heißt f n-mal stetig differenzierbar. (Siehe hierzu Satz 12.4) Die Menge aller n-mal stetig differenzierbaren Funktionen f : D R ist ein Vektorraum, den wir mit C n ÔDÕ bezeichnen. Zur Vollständigkeit setzen wir C 0 ÔDÕ : CÔDÕ. Höhere Mathematik 260

21 Definition: Taylor-Polynom n-mal differenzierbare Funktionen erlauben eine bessere Approximation als durch lineare Polynome in 12.9: Definition: Taylor-Polynom Es sei n È N, I Ôa,bÕ ein Intervall, a x 0 b und f È C n ÔI Õ. Dann heißt das Polynom nô f ÔkÕ Ôx 0 Õ T n Ôx;x 0 Õ Ôx x 0 Õ k k! k 0 das n-te Taylor-Polynom von f im Entwicklungspunkt x 0. T n ist durch T ÔkÕ n Ôx 0 ;x 0 Õ f ÔkÕ Ôx 0 Õ für k 0,...,n charakterisiert. Beispiele: T 0 Ôx;x 0 Õ f Ôx 0 Õ, T 1 Ôx;x 0 Õ f Ôx 0 Õ f ½ Ôx 0 ÕÔx x 0 Õ, T 2 Ôx;x 0 Õ f Ôx 0 Õ f ½ Ôx 0 ÕÔx x 0 Õ T 3 Ôx;x 0 Õ f Ôx 0 Õ f ½ Ôx 0 ÕÔx x 0 Õ f ¾ Ôx 0 Õ 2 f ¾ Ôx 0 Õ 2 Ôx x 0 Õ 2, Ôx x 0 Õ 2 f Ôx 0 Õ 6 Ôx x 0 Õ 3,etc. Höhere Mathematik 261

22 Satz: Taylorsche Formel Die Abweichung f ÔxÕ T n Ôx;x 0 Õ lässt sich folgendermaßen ausdrücken: Satz: Taylorsche Formel Es sei n È N, I Ôa,bÕ ein Intervall, a x 0 b und f È C n 1 ÔI Õ. Dann gilt für alle x È I f ÔxÕ T n Ôx;x 0 Õ f Ôn 1Õ ÔξÕ Ôn 1Õ! Ôx x 0 Õ n 1 mit einer Stelle ξ x 0 αôx x 0 Õ und 0 α 1. (Restglied von Lagrange) Höhere Mathematik 262

23 Satz: Taylorsche Formel y y sinx 1 y x y x x3 3! 1 2 x y x x3 x 5 3! 5! y x x3 x 5 x7 3! 5! 7! Höhere Mathematik 263

24 Verallgemeinerter Mittelwertsatz Wir benötigen noch: Verallgemeinerter Mittelwertsatz Es sei I Öa,b ein Intervall, a b, und die Funktionen f,g : I R seien stetig und in Ôa,bÕ differenzierbar; weiter sei g ½ ÔxÕ 0 für alle x È Ôa,bÕ. Dann gibt es ein ξ È Ôa,bÕ mit f ÔbÕ fôaõ gôbõ gôaõ f ½ ÔξÕ g ½ ÔξÕ. Höhere Mathematik 264

25 Anwendungen der Differentialrechnung 13: Anwendungen der Differentialrechnung 1. Grenzwert-Berechnung mit den Regeln von de l Hospital 2. Kurvendiskussion: Monotonie, Konvexität und Konkavität, Charakterisierung relativer Extremwerte durch höhere Ableitungen 3. Extremwert-Aufgaben 4. Die Ungleichung zwischen dem gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel 5. Polynom-Interpolation: Der Interpolations-Fehler 6. Berechnung von Nullstellen: Das Newton-Verfahren Höhere Mathematik 265

26 Anwendungen der Differentialrechnung Satz: Regeln von de l Hospital Grenzwertberechnung mit den Regeln von de l Hospital 13.1 Satz: Regeln von de l Hospital Die Funktionen f,g : Ôa,bÕ R seien differenzierbar und es gelte g ½ ÔxÕ 0 für alle x È Ôa,bÕ. Falls eine der Voraussetzungen (V 0 ) lim x a (V ) lim x a f ÔxÕ lim x a f ÔxÕ lim x a gôxõ 0 oder gôxõ erfüllt ist UND falls (K) lim x a so gilt auch f ½ ÔxÕ g ½ c existiert (auch als uneigentlicher Grenzwert), ÔxÕ lim x a f ÔxÕ gôxõ c. Mit den entsprechenden Modifikationen ist die Aussage für x b, x im Fall D Ôa, Õ, x im Fall D Ô,bÕ sowie für den beidseitigen Grenzwert x x 0 im Fall D Ôa,bÕÞØx 0 Ù) gültig. Höhere Mathematik 266

27 Anwendungen der Differentialrechnung Satz: Regeln von de l Hospital Beispiele x sinx lim x 0 cos 2 x lim x sin 1 x x lim x e x e x e x e x Höhere Mathematik 267

28 Anwendungen der Differentialrechnung Kriterien für Extrema Kurvendiskussion 13.2 Kriterien für Extrema Die Funktion f : Ôa,bÕ R sei n-mal stetig differenzierbar, und für ein x 0 È Ôa,bÕ gelte f ½ Ôx 0 Õ f ¾ Ôx 0 Õ... f Ôn 1Õ Ôx 0 Õ 0, f ÔnÕ Ôx 0 Õ 0. Dann folgt: Ist n gerade, so hat f in x 0 ein relatives Extremum. Im Fall f ÔnÕ Ôx 0 Õ 0 handelt es sich dabei um ein relatives Minimum, und im Fall f ÔnÕ Ôx 0 Õ 0 handelt es sich um ein relatives Maximum. Ist n ungerade, so hat f in x 0 kein relatives Extremum, sondern einen sog. Sattelpunkt. Dann ändert sich das Monotonieverhalten von f an der Stelle x 0 nicht. Höhere Mathematik 268

29 Anwendungen der Differentialrechnung Konvexität, Konkavität, Wendepunkt 13.3 Konvexität, Konkavität, Wendepunkt Gegeben sei eine stetige Funktion f : Ôa,bÕ R und ein Teilintervall J Ôa,bÕ. (a) f heißt konvex in J, wenn für je zwei Punkte c,d È J, c d, die Sekante SÔx;c,dÕ f ÔcÕ f ÔdÕ fôcõ d c oberhalb des Graphen von f liegt, also Ôx cõ, x È Öc,d f ÔxÕ SÔx;c,dÕ für x È Öc,d gilt. (b) f heißt konkav auf dem Intervall J, wenn für je zwei Punkte c,d È J, c d, die Sekante SÔx;c,dÕ unterhalb des Graphen von f liegt, also f ÔxÕ SÔx;c,dÕ für x È Öc,d gilt. (c) f hat an der Stelle x 1 È Ôa,bÕ einen Wendepunkt, wenn f in x 1 stetig ist und hier ein Konvexitäts- und ein Konkavitätsintervall von f aneinanderstoßen. f konvex f konkav. Höhere Mathematik 269

30 Anwendungen der Differentialrechnung Kriterium für Konvexität y SÔx 0;a,bÕ f Ôx 0Õ y f ÔxÕ a x 0 b x 13.4 Kriterium für Konvexität Die Funktion f : Ôa,bÕ R sei 2-mal stetig differenzierbar, J Ôa,bÕ sei ein Intervall. Dann gilt: f ist konvex (linksgekrümmt) in J f ¾ ÔxÕ 0 für alle x È J f ist konkav (rechtsgekrümmt) in J f ¾ ÔxÕ 0 für alle x È J f hat einen Wendepunkt an der Stelle x 1 f ¾ Ôx 1 Õ 0. Insbesondere ist eine differenzierbare Funktion genau dann konvex, wenn f ½ monoton wachsend ist. Höhere Mathematik 270

31 Anwendungen der Differentialrechnung Kriterium für Konvexität Die Differentialrechnung ermöglicht eine genaue Beschreibung der Graphen von Funktionen. Meist ist nur die Abbildungsvorschrift y f ÔxÕ gegeben. Dann gehört zur Kurvendiskussion: Definitionsbereich bestimmen (d.h. alle x È R, für die f ÔxÕ erklärt ist, z.b. bei Brüchen auf Nullstellen des Nenners achten, bei Wurzeln und Logarithmen aufpassen) einseitige Grenzwerte am Rand und in den Lücken des Definitionsbereichs (auch uneigentliche Grenzwerte, Polstellen ); Grenzwerte für x ( horizontale Asymptoten ) Nullstellen von f (d.h. die Schnittpunkte mit der x-achse) und evtl. den Schnittpunkt Ô0,f Ô0ÕÕ mit der y-achse Berechnen der 1. und 2. Ableitungen, dabei auf Ausnahmestellen achten, an denen die Ableitung nicht existiert (z.b. bei f ÔxÕ 3 x bei x0 0). Falls f dort einen endlichen Grenzwert besitzt, sind die einseitigen Grenzwerte von f ½ wichtig (welche Steigung, incl., hat der Graph hier?). Höhere Mathematik 271

32 Anwendungen der Differentialrechnung Kriterium für Konvexität relative Extremwerte und Monotoniebereiche: Zuerst berechnet man alle Nullstellen von f ½ als mögliche Kandidaten für die relativen Extremwerte von f. Die Monotoniebereiche sind dann die Intervalle zwischen den Nullstellen von f ½ und den evtl. vorhandenen Lücken im Definitionsbereich von f ½. Durch Einsetzen je eines x-werts aus jedem Monotonie-Intervall in die 1. Ableitung kann man das Vorzeichen von f ½ im gesamten Monotonie-Intervall (und damit die Art der Monotonie, also f ½ 0 für monoton wachsendes f und f ½ 0 für monoton fallendes f) bestimmen. Wechselt das Monotonie-Verhalten an der Nullstelle x ½ von f ½, so hat f dort einen relativen Extremwert (relatives Maximum oder Minimum). Manchmal ist auch Satz 13.2 nützlich zur Bestimmung, ob es sich bei x ½ um ein relatives Minimum, relatives Maximum oder gar kein relatives Extremum (sondern einen Sattelpunkt) handelt. Dann folgt für die gesamten Monotonie-Intervalle links und rechts von x ½ das entsprechende Monotonieverhalten. Höhere Mathematik 272

33 Anwendungen der Differentialrechnung Kriterium für Konvexität Wendepunkte und Konvexität bzw. Konkavität (siehe Definition 13.3): Berechne alle Nullstellen von f ¾ als mögliche Kandidaten für die Wendepunkte von f (siehe Satz 13.4). Die Bereiche von Konvexität (Linkskrümmung) und Konkavität (Rechtskrümmung) sind dann die Intervalle zwischen den Nullstellen von f ¾ und den evtl. vorhandenen Lücken im Definitionsbereich von f ¾. Das Vorzeichen von f ¾ in diesen Intervallen kann wieder durch Einsetzen je eines x-wertes in f ¾ festgestellt werden. Die Konvexität bzw. Konkavität folgt daraus mit Satz 13.4 schräge Asymptoten: insbesondere bei rationalen Funktionen hilft die Polynomdivision, auch Asymptoten der Form gôxõ ax b für x zu bestimmen. Höhere Mathematik 273

34 Anwendungen der Differentialrechnung Kriterium für Konvexität Extremwertaufgaben Die Suche nach dem absoluten Maximum oder Minimum einer Funktion f : D R erfordert die Bestimmung aller relativen Extremwerte sowie der Grenzwerte (bzw. Funktionswerte) von f am Rand und in den Lücken des Definitionsbereichs D. (Meistens ist D ein kompaktes Intervall D Öa,b.) Höhere Mathematik 274

35 Anwendungen der Differentialrechnung Beispiel: Leistungsanpassung am Widerstand 13.5 Beispiel: Leistungsanpassung am Widerstand Eine elektrische Reihenschaltung bestehe aus einer Spannungsquelle U 0 mit dem Innenwiderstand R i sowie einem regelbaren Außenwiderstand R a. Wie groß muss R a gewählt werden, damit bei vorgegebenem U 0 und R i die Leistung P a des Außenwiderstandes maximal wird? Rechnung: Zielfunktion ist die Leistung P a R a I 2 R i U i U 0 Ua Ra Variable ist x R a Die Stromstärke I ergibt sich aus I U 0 R a U 0 R i x R i Wir müssen also das absolute Maximum der Zielfunktion Å 2 U0 xu0 2 P aôxõ x x R i Ôx R i Õ2, x 0, bestimmen. Mit P ½ aôxõ ÔR i xõu 2 0 Ôx R i Õ 3 finden wir die einzige Nullstelle von P ½ a bei x 0 R i. Monotonie-Untersuchung ergibt, dass hier ein relatives und sogar absolutes Maximum vorliegt. Also wird die Leistung am Widerstand R a genau für R a R i maximal. Höhere Mathematik 275

36 Anwendungen der Differentialrechnung Ungleichung zwischen gewichteten Mitteln Wichtige Ungleichungen der Analysis Die Konkavität einiger Funktionen führt zu schönen Ungleichungen Ungleichung zwischen gewichteten Mitteln Für alle Zahlen λ 1,...,λ n 0 mit Summe n k 1 λ k 1 und alle Zahlen a 1,...,a n 0 gilt die Ungleichung zwischen dem gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel a λ1 1 a λ2 2 aλn n λ 1a 1 λ 2 a 2 λ n a n. Beispiel: λ 1 λ 2 1ß2 ergibt die übliche Ungleichung ab a b 2 für alle a,b 0. Höhere Mathematik 276

37 Anwendungen der Differentialrechnung Hilfssatz Polynom-Interpolation: Der Interpolations-Fehler Vorbereitung: Der Satz von Rolle (12.14) hat als wichtige Konsequenz: 13.7 Hilfssatz Gegeben sei eine differenzierbare Funktion f : I R, I ein Intervall. Wenn x 1 x 2 x r Nullstellen von f sind, so hat f ½ mindestens r 1 Nullstellen ξ 1 ξ 2 ξ r 1, und diese trennen die Nullstellen von f, d.h. x 1 ξ 1 x 2 ξ 2 x r 1 ξ r 1 x r. Im Abschnitt über Vektorräume werden zu den Knoten x 0 x 1 x n die Lagrange-Grundpolynome des Grades n L j ÔxÕ nõ k 0 k j x x k x j x k, j 0,1,...,n, definiert. Höhere Mathematik 277

38 Anwendungen der Differentialrechnung Polynom-Interpolation 13.8 Polynom-Interpolation Gegeben seien n 1 Punkte x 0 x 1... x n im Intervall Öa,b und eine Funktion f : Öa,b R. Dann heißt das Polynom P vom Grad n, PÔxÕ nô k 0 f Ôx k ÕL k ÔxÕ das Interpolationspolynom von f, weil PÔx j Õ f Ôx j Õ für j 0,1,...,n erfüllt ist. Wie gut ist die Näherung von PÔxÕ an f ÔxÕ für x x j? Satz: Interpolationsfehler Die Funktion f sei n 1-mal differenzierbar. Dann gibt es für jedes x È Öa,b mit x x j für alle j 0,1,...,n ein ξ È Öa,b mit f ÔxÕ PÔxÕ f Ôn 1Õ ÔξÕ Ôn 1Õ! Ôx x 0 ÕÔx x 1 Õ Ôx x n Õ. Hierbei ist P das Interpolationspolynom von f und ξ kann im Intervall J x : ÖminÔx,x 0 Õ,maxÔx,x n Õ gewählt werden. Höhere Mathematik 278

39 Anwendungen der Differentialrechnung Nullstellenbestimmung Verfahren zur Nullstellen-Berechnung Gegeben: f Öa,b R stetig und f ÔaÕf ÔbÕ 0 (es liegt ein Vorzeichenwechsel vor) gesucht: Folge Ôx k Õ kèn0 mit lim k x k z, z Nullstelle von f (siehe Zwischenwertsatz 11.12) 13.9 Nullstellenbestimmung Wahl von zwei Startwerten x 0 und x 1 mit f Ôx 0 Õf Ôx 1 Õ 0 Berechne für k 1,2,... x k 1 x k x k 1 2 x k x k 1 x k 1 x k f Ôx k Õ fôx k 1 Õ f Ôx kõ Bisektionsverfahren Regula Falsi und verwerfe entweder x k 1 oder x k je nach dem Vorzeichen von f Ôx k 1 Õ Höhere Mathematik 279

40 Anwendungen der Differentialrechnung Sekanten-Verfahren x k1 x k 1 x k x k 1 x k x k 1 x k x k 1 Bisektionsverfahren Sekantenverfahren und Regula falsi Newtonverfahren Sekanten-Verfahren Wahl von zwei Startwerten x 0 und x 1 Berechne für k 1,2,... die Nullstelle der Sekante zu x k 1 und x k, also x k 1 x k x k x k 1 f Ôx k Õ fôx k 1 Õ f Ôx kõ Höhere Mathematik 280

41 Anwendungen der Differentialrechnung Newton-Verfahren Newton-Verfahren Voraussetzung: f : Öa,b R ist differenzierbar, f ½ ÔxÕ 0 für alle x È Ôa,bÕ Wahl eines Startwerts x 0 Berechne für k 0,1,... die Nullstelle der Tangente zu x k, also x k 1 x k f Ôx kõ f ½ Ôx k Õ. Konvergenzbetrachtungen: z sei die einzige Nullstelle von f in Öa, b Bisektionsverfahren: x k 1 z 2 k x 1 x 0 Newton-Verfahren: x k 1 z C x k z 2, falls f : Öa,b R zweimal stetig differenzierbar ist, f ½ ÔxÕ 0 in Ôa,bÕ gilt, der Startwert x 0 nahe genug bei z gewählt wird. Das Quadrat in x k z 2 bewirkt, dass sich die Anzahl der exakten Dezimalstellen ungefähr in jedem Schritt verdoppelt. Man sagt, dass das Newton-Verfahren für hinreichend gut gewählte Startwerte x 0 quadratisch gegen die Nullstelle konvergiert. Höhere Mathematik 281