Lineare Ausgleichsprobleme

Transkript

1 Kapitel Lineare Ausgleichsprobleme Einführung Bemerkung Aufgabenstellung, Motivation Bei linearen Ausgleichsproblemen handeltes sichebenfalls um Bestapproximations Probleme Allerdingsist hier keine Funktion gegeben, welche optimal durch eine andere Funktion approximiert werden soll Stattdessen hat man eine Menge von Punkten, die durch eine (einfache Funktion optimal approximiert werden sollen Oft will man in Anwendungen etwa den Verlauf einer abhängigen Größe y = f(t, wobei t die Zeit ist, durch Linearkombinationen spezieller Funktionen f j (t beschreiben, also n f(t = f j (tx j, j= wobei die Funktionen f j (t vorgegeben sind Nun führt man zu gewissen Zeitpunkten t i Messungen durch und erhält die Messwerte b i, i =,,m Die m Werte könntenauchdurchwiederholungendesexperimentsgewonnenwerden,wobeiman im Allgemeinen damit rechnen muss, dass man für dieselbe Zeit t i (leicht unterschiedliche Werte erhält Aus dem Ansatz folgt b i = n f j (t i x j =: j= n a ij x j, i =,,m j= In der Praxis ist es wegen der unvermeidlichen Mess und Modellfehler sinnvoll, dass die Anzahl der Messungen m groß ist, insbesondere größer als die Anzahl der zu bestimmenden Parameter, also m > n oder sogar m n Man erhält also ein lineares Gleichungssystem der Gestalt Ax = b, A R m n, x R n, b R m, ( wobei man mehr Gleichungen als Unbekannte hat Dieses System besitzt in der Regel keine Lösung Trotzdem möchte man aus den Messungen in geeigneter Weise definierte optimale Werte für die Parameter x j, j =,,n, bestimmen Dieses VorgehennenntmanRegressionunddiedamitberechneteFunktionf(tAusgleichskurve oder Regressionskurve Zur Bestimmung der Parameter minimiert man in der Praxis die Norm des Residuums, zum Beispiel die Euklidische Norm b Aˆx := min x R n b Ax ( 9

2 Eine wichtige Frage ist, ob ˆx eindeutig bestimmt ist Allein durch die Bedingung ( ist dies nicht der Fall Falls zum Beispiel A nicht spaltenregulär ist, rg(a < n, gibt es unendlich viele Lösungen Die Methode der kleinsten Quadrate Definition Kleinste Quadrate Lösung Seien A R m n und b R m Ein Vektor ˆx R n wird Kleinste Quadrate Lösung von ( genannt, falls er ( erfülltunterdiesenvektorenwirdmitx + R n derjenigemitkleinstereuklidischer Norm bezeichnet, das heißt x + := min{ ˆx : ˆx Rn, ˆx erfüllt (} (3 Bemerkung 3 Methode der kleinsten Quadrate Bei der Kleinste Quadrate Lösung minimiert man also das Residuum (oder den Defekt in der Euklidischen Norm In der Praxis sind auch andere Normen von Bedeutung, zum Beispiel in den Wirtschaftswissenschaften oder in der Tschebyscheffschen Ausgleichsrechnung Die Minimierung in der Euklidischen Norm nennt man Methode der kleinsten Quadrate Bemerkung 4 Kern und Bild von A Jetzt müssen die Lösungen ˆx und x + genauer charakterisiert werden Bezeichne den Kern oder Nullraum von A und ker(a = {x R n : Ax = } im(a = {y R m : x R n mit y = Ax} das Bild von A Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass im(a = ker ( A T R m, wobei das orthogonale Komplement bezeichnet Des Weiteren sei P : R m im(a der sogenannte Orthogonal Projektor auf im(a Dieser hat die Eigenschaften P = P und P T = P Bemerkung 5 Formulierung als Bestapproximations Aufgabe im Sinne von Kapitel Sei x + eine Lösung von ( mit kleinster Euklidischer Norm Dann ist u = Ax + im(a R m eine Lösung von: Finde u im(a, so dass b u b v v im(a und umgekehrt Dies ist eine Bestapproximations Aufgabe im Sinne von (4 mit V = R m, U = im(a und = Da R m mit dem Euklidischen Skalarprodukt und der damit induzierten Euklidischen Norm ein Hilbert Raum ist, erhält man aus Folgerung 4 sofort die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung u der obigen Bestapproximations Aufgabe Allerdings interessiert in der Praxis nicht u R m sondern x + R n Entsprechende Aussagen für x + werden im Folgenden bewiesen

3 Satz 6 Zur Existenz und Eindeutigkeit der Kleinste Quadrate Lösung Seien A R m n und b R m i Es gibt Kleinste Quadrate Lösungen ˆx von ( Die Bedingung ( ist äquivalent zur Lösung des Systems sowie zur Lösung des Systems Aˆx = Pb (4 A T Aˆx = A T b A T (Aˆx b = (5 ii Die allgemeine Kleinste Quadrate Lösung hat die Gestalt ˆx+ker(A Die Lösung x + mit der kleinsten Euklidischen Norm ist eindeutig bestimmt Es gilt x + ker(a Beweis: i Wegen Ax im(a gilt PAx = Ax für alle x R n Damit und mit P T = P folgt Ax b = Ax Pb (I Pb = ( Ax Pb (I Pb,Ax Pb (I Pb = Ax Pb (Ax Pb,(I Pb+ (I Pb = Ax Pb (P(Ax b,(i Pb+ (I Pb = Ax Pb (Ax b, P(I Pb+ (I Pb }{{} =(P P b= = Ax Pb + (I Pb Der letzte Summand hängt nicht von x ab Also bekommt man ein Minimum, wenn Ax Pb möglichst klein ist Da Pb im(a ist, gibt es eine Lösung von Ax = Pb Damit sind die Existenz einer Kleinste Quadrate Lösung sowie die Äquivalenz von ( und (4 gezeigt Äquivalenz von (4 und (5 Sei ˆx eine Lösung von (4 Einsetzen in (5 ergibt A T Aˆx = A T Pb = A T b+a T (P Ib = A T b, da (P Ib im(a = ker(a T Sei andereseits ˆx eine Lösung von (5 Dann gilt = A T (Aˆx b = A T (Aˆx Pb+A T ((P Ib = A T (Aˆx Pb, da (P Ib ker(a T Es folgt (Aˆx Pb ker(a T = im(a Wegen PAx = Ax für alle x R n folgt daraus Aˆx Pb = PAˆx Pb = P (Aˆx b im(a Nach Definition gilt aber auch P (Aˆx b im(a Aus diesen beiden Eigenschaften folgt P (Aˆx b = und damit PAˆx = Aˆx = Pb ii Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass die Lösungsmenge von (4 die Gestalt ˆx+ker(A besitzt In diesem affinen Unterraum existiert genau ein Element kleinster Norm x + Dieses ist die Projektion des Nullpunktes auf den Unterraum und es gilt x + ker(a Bemerkung 7 Einschränkung des Definitionsbereiches von A Satz 6 besagt, dass die Lösung von ( eindeutig ist, wenn man den Definitionsbereich von A auf ker(a einschränkt à : A ker(a im(a Die Abbildung à ist sogar bijektiv Damit existiert die Umkehrabbildung A+

4 Definition 8 Verallgemeinerte Inverse, Pseudo Inverse Die Abbildung A + : R m R n, b A + b := Ã Pb = x + wird verallgemeinerte Inverse oder Pseudo Inverse der Matrix A genannt Bemerkung 9 Zur Pseudo Inversen Die Pseudo Inverse existiert für jede Matrix A Sie ist eindeutig bestimmt und stimmt bei nicht-singulären quadratischen MatrizenmitA überein,sieheübungsaufgabenzurberechnungkonkreterpseudo Inversen Zur Berechnung der Kleinsten Quadrate Lösung wird die Pseudo Inverse nicht gebraucht, genauso wenig wie A für reguläre Gleichungssysteme Beispiel Lineare Regression Man soll mit der Methode der kleinsten Quadrate die Regressionsgerade durch die Punkte (,, (,3, (,4, (3,4 bestimmen Die allgemeine Form der Regressionsgeraden ist u(x = u +u x Einsetzen der Punkte liefert vier Bestimmungsgleichungen Au = 3 Jetzt wird (5 angewandt Es gilt A T A = ( 3 ( u u = = b (6 = ( Diese Matrix ist invertierbar, da det(a T A = = Man erhält (A T A = ( Aus (5 erhält man jetzt die kleinste Quadrate Lösung von (6 ( u + u = = (A T A A T b u = ( ( = ( ( 3 = ( 5 4 = ( 5 Die Ausgleichgerade lautet somit u(x = 5+x, siehe Abbildung Bemerkung Normalgleichungen Die Gleichung (5 werden auch Normalgleichungen genannt Ist rg(a = n, so ist rg(a T A = n und (5 ist ein reguläres quadratisches lineares Gleichungssystem mit symmetrischer Systemmatrix Das kann man im Prinzip mit bereits behandelten Verfahren lösen, zum Beispiel mit

5 Abbildung : Ausgleichsgerade im Beispiel dem Cholesky Verfahren oder einem iterativen Verfahren (später in Numerik Ist A eine nicht-singuläre quadratische Matrix, dann gilt jedoch κ ( A T A = (κ (A ÜbungsaufgabeDieKonditionszahlvonA T AistdasQuadratderKonditionszahlvon ( A! Wenn κ (A schon groß ist, dann ist κ A T A noch sehr viel größer Daraus folgt, dass die Rundungsfehler bei direkten Verfahren unnötig groß werden oder dass die Anzahl der Iterationen bei iterativen Verfahren sehr groß sein wird 3 Die QR Zerlegung Bemerkung MotivationManbenötigtzumFindenderKleinsten Quadrate Lösung Verfahren, welche die ursprüngliche Kondition des Problems nicht erhöhen Betrachtet man insbesondere diespektralkonditionszahl, dann sollte man Verfahren mit orthogonalen (unitären Umformungen verwenden, da diese die ursprüngliche Konditionszahl nicht verändern Das bedeutet, dass man nicht wie bei der LU Zerlegung die Matrix A in ein Produkt von zwei Dreiecksmatrizen zerlegt, sondern in ein Produkt einer orthogonalen Matrix und einer Dreiecksmatrix Definition 3 QR Zerlegung Seien A R m n, Q R m m eine orthogonale Matrix und R R m n eine obere Dreiecksmatrix Die Zerlegung A = QR, mit Q T Q = I und R = r r r n r r n r nn r r m r n oder R =, r mm r mn heißt QR Zerlegung von A André Louis Cholesky (

6 Lemma 4 Überblick über Eigenschaften von Orthogonalmatrizen Sei O m (R := { Q R m m : Q T = Q } die Menge der Orthogonalmatrizen in R m m Dann gelten: i Ist Q O m (R, so ist det(q = ii Für Q,Q O m (R gilt Q Q O m (R iii Es gilt Qx = x für alle x R m Orthogonale Matrizen beschreiben Drehungen oder Spiegelungen von Vektoren iv Für jede Matrix A R m m gilt A = QA = AQ v Für jede Matrix A R m m gilt κ (A = κ (QA = κ (AQ vi Für alle Q O m (R gilt κ (Q = Beweis: Übungsaufgaben Bemerkung 5 Lösung eines linearen Gleichungssystems mit QR Zerlegung Sei eine QR Zerlegung A = QR gegeben Dann folgt Ax = b QRx = b Rx = Q T b Das heißt, die Berechnung der Lösung reduziert sich auf die Multiplikation der rechten Seite mit Q T und eine Rückwärtssubstitution (falls A nicht singulär ist Bemerkung 6 Prinzipielle Herangehensweise zur Berechnung einer QR Zerlegung Jetzt muss geklärt werden, wie man eine QR Zerlegung von A berechnet Die Berechnung erfolgt sukzessive mit geeigneten Orthogonalmatrizen Q i O m (R Mit diesen wird A von links multipliziert und schrittweise auf obere Dreiecksgestalt gebracht Man setzt Q = Q i i Zur Konstruktion der Faktoren Q i gibt es unterschiedliche Herangehensweisen Die zwei wichtigsten beruhen auf den beiden geometrischen Interpretationen von Orthogonalmatrizen, siehe Lemma 4 iii Sie sind Householder Spiegelungen, Givens 3 Drehungen Durch diese Verfahren wird die Existenz einer QR Zerlegung auch konstruktiv bewiesen, siehe Satz 37 Das aus der Algebra bekannte Gram Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ist numerisch nicht gutartig Es existiert eine Modifikation dieses Verfahrens, welche diese Schwierigkeiten überwindet In der Praxis werden aber die Verfahren von Housholder und Givens vorgezogen 3 Householder Spiegelungen Bemerkung 7 Householder Transformation, Householder Spiegelung Das Prinzip der Householder Spiegelungen besteht darin, die Spalten der Matrix A sukzessive auf ein Vielfaches des ersten Einheitsvektors zu transformieren Sei u R m mit u =, dann besitzt diese Transformation die Gestalt Alston Scott Householder ( James Wallace Givens, Jr (9 993 H = I uu T 4

7 Diese Transformation wird Householder Transformation genannt Das Produkt u u u u m uu T = u m u u m u m nennt man dyadisches Produkt Lemma 8 Eigenschaften der Householder Transformation Seien u R m mit u = und H = I uu T R m m Dann gelten i H = H T, ii H = I, iii H T H = I, iv Hy = y, y R m, ist äquivalent zu y T u =, v Hu = u Beweis: Übungsaufgabe Bemerkung 9 Geometrische Deutung Es gilt y = Hx = x u ( u T x = x ( u T x u }{{} R Das heißt, von x wird ein Vektor in Richtung u subtrahiert Abbildung : Geometrische Deutung einer Householder Spiegelung In Abbildung kann man erkennen, dass das Ergebnis y die Spiegelung von x an u ist Bemerkung Erster Schritt einer Householder Transformation Für den ersten Schritt ist ein Spiegelvektor u so zu bestimmen, dass die erste Spalte von A auf den Einheitsvektor e gespiegelt wird, damit die erste Spalte von R die Form (r,,, T erhält Die Aufgabenstellung ist also, u R m so zu finden, dass Zunächst gilt, Lemma 4, iii, Hx = x ( u T x u = βe Hx = βe = x = β e = β = β = ± x 5

8 Aus dem Ansatz folgt ( u T x u = x βe, das heißt u ist ein Vielfaches von x βe Da u = sein soll, folgt u = x βe x βe = x βe x β x Bei der Differenz x βe wird nur die erste Komponente x von x verändert Um dabei Auslöschung zu vermeiden, wählt man das Vorzeichen von β so, dass eine Addition der Beträge stattfindet Sei σ {,} das Vorzeichen von x Dann wählt man β = σ x und es folgt x m x β = σ x +σ x = σ( x + x Für den Nenner gilt nun [ ] x βe = ( x + x +x ++x m [ ] = x + x x + x = x ( x + x Damit wurde Lemma bewiesen Lemma Erster Schritt der Householder Transformation Sei x R m, x, mit x = σ x Dann wird x durch die Matrix H = I auf σ x e abgebildet uu T x ( x + x, u = x+σ x e Beispiel Erster Schritt der Householder Transformation Sei x = x = 3 R 3 = x = = u = +3 = σ = Damit kann man gemäß Lemma sofort das Ergebnis angeben 3 x σ x e = 5 Man hat gesehen, dass man die Matrix H nicht explizit braucht Zur Kontrolle wird in diesem Beispiel die Matrix H berechnet Es gilt 5 5 H = I 4 = 5 6( Damit folgt Hx = = 3 = σ x e 6

9 Bemerkung 3 Fortsetzung der QR Zerlegung Die Elimination in den folgenden Spalten kann analog ausgeführt werden Dabei dürfen aber die bereits behandelten Spalten nicht wieder verändert werden Sei A (k = r r,k r k,k a (k kk a (k mk a (k =: kn a mn (k ( R (k B (k mit R (k R (k (k, B (k R (m k+ (n k+ Mit der Wahl ( H (k Ik :=, H(k R (m k+ (n k+, H(k u (k := (,,,,, }{{}}{{} k m k+ T für die k te Transformation bleiben beim Produkt H (k A (k =: A (k+ die ersten (k Zeilen und Spalten von A (k unverändert Nun wird Lemma auf den Teilvektor a (k kk β H (k = a (k mk angewandt Inl := min{m,n}schrittenerhältmanaufdieseartundweisediezerlegung A (l+ = R (l+ =: R = H (l H (l H ( A A = H ( H ( H (l R =: QR mit der orthogonalen Matrix Q und der oberen Dreiecksmatrix R Man hat r r m r n R =, m n,l = m, r mm r mn R = r r n r nn, m > n,l = n Beispiel 4 Householder Transformation Sei A = 7

10 Nach Lemma gilt u ( = a, +σ a, e = Für die Transformationsmatrix gilt woraus H ( = I u( u (T u ( = I 3 H ( A = folgt Für u ( erhält man u ( = /3 /3 Nach Lemma gilt H ( /3 / e = 3 /3 /3 /3 8 3 e = = /3 = 3 (+ /3 /3 = R 4, Insgesamt folgt H ( H ( A = 3 /3 /3 Bemerkung 5 Praktische Durchführung Die MatrixQwird inder Praxis nicht explizit berechnet Stattdessen speichert man die Vektoren u (k (ohne die oberen Nulleinträge im unteren Dreieck der Matrix bis einschließlich zur Hauptdiagonalen Im oberen Dreieck speichert man die Matrix R, ohne die Hauptdiagonaleinträge Für diese braucht man noch einen zusätzlichen Vektor Im Beispiel 4 wird das Ergebnis in der Form 4 /3 (+ /3 /3, ( 3 /3 abgespeichert Bemerkung 6 Kosten Der aufwändigste Schritt bei der Berechnung der QR Zerlegung mit Householder Spiegelungen ist H (k A (k = A (k u(k u (kt u (k ( A (k = A (k u(k u (k u (kt A (k (7 Alle anderen Kosten sind für große m und n vernachlässigbar Nutzt man alle Informationen, die bekannt sind, so muss man (n k + Skalarprodukte der Länge (m k + für u (kt A (k berechnen, da u (k (m k + 8

11 Nichtnulleinträge hat und A (k noch (n k + Zeilen bzw Spalten besitzt, die transformiert werden müssen Man benötigt also für die Skalarprodukte (m k +(n k + Multiplikationen DannmussdasdyadischeProduktdesErgebnissvektorsderSkalarproduktemitu (k gebildet werden Bevor man dies tut, muss man den kürzeren der beiden Vektoren mit / u (k skalieren Diese Kosten werden vernachlässigt Die Berechnung des dyadischen Produkts bedeutet, dass jede Komponente des einen Vektors mit jeder Komponente des anderen Vektors multipliziert werden muss Dafür benötigt man prinzipiell ebenfalls (m k +(n k + Multiplikationen Im konkreten Fall braucht man sogar die erste Spalte des dyadischen Produkts nicht zu berechnen, da dass Ergebnis der ersten Spalte von A (k+ = H (k A (k klar ist Diese Einsparung ändert jedoch nichts an den asymptotischen Kosten Summiert man im Fall m > n die Kosten aller Schritte von k =,,n, dann benötigt man zur Berechnung von (7 n (m k +(n k + Multiplikationen k= Eine ähnliche Aussage erhält man für m n Damit ergibt sich, dass der Rechenaufwand für die QR Zerlegung im Wesentlichen (nur Terme dritten Grades min{m,n}mn 3 min{ n 3,m 3} Multiplikationen/Divisionen ist Bemerkung 7 Reguläre Systeme Man kann die QR Zerlegung natürlich auch zur Lösung regulärer linearer Gleichungssysteme mit quadratischer Matrix verwenden Eine Pivotisierung ist dabei nicht erforderlich Der Vorteil gegenüber der LU Zerlegung besteht darin, dass sich die Spektralkonditionszahl von A bei der QR Zerlegung nicht vergrößert Der Nachteil ist, dass die QR Zerlegung ungefähr doppelt so teuer ist Bemerkung 8 Berechnung der Kleinste Quadrate Lösung x + HabeA R m n Vollrang, das heißt rg(a = n für m > n und seien ( R A = QR, R =, R R n n Dann ist R regulär Mit Hilfe von Q T wird die rechte Seite zerlegt ( Q T b =, b R b b n Das Produkt Q T b lässt sich aus den gespeicherten Informationen von Q berechnen Wegen der Invarianz der Spektralnorm gegenüber orthogonalen Transformationen erhält man Ax b = QRx b = ( Q Rx Q T b = Rx Q T b ( = R x b = R x b b b + 9

12 Der zweite Summand ist von x unabhängig Also erhält man das Minimum von Ax b mit der Lösung von R x = b = x + = ( R b Auch für den Fall rg(a < n kann man x + mit Hilfe der QR Zerlegung von A berechnen 3 Givens Drehungen Bemerkung 9 Prinzipielle Idee Das Prinzip von Givens Drehungen besteht darin, die Spalten von A durch ebene Drehungen sukzessive in Achsenrichtung zu bringen Im Gegensatz zur Householder Transformation werden nicht alle Elemente einer Spalte, die unterhalb der Diagonalen sind, auf einmal auf Null abgebildet, sondern jedes Element wird einzeln abgebildet Bemerkung 3 Ebene Drehungen Sei x = (x,x T = (rcos(φ,rsin(phi T R gegeben Gesucht ist eine Matrix, die diesen Vektor in Richtung von e dreht Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass der geeignete Ansatz zur Lösung dieser Aufgabe die folgende Gestalt besitzt (Drehungsmatrix ( c s s c ( x x = ( c s s c ( rcos(φ rsin(φ = ( r mit r = x und φ = arg(x [,π Als Lösung erhält man (zwei Gleichungen für zwei Unbekannte Man rechnet leicht nach, dass ( cos(φ sin(φ sin(φ cos(φ c = cos(φ = x r, s = sin(φ = x r = ( x x x x x eine orthogonale Matrix ist Damit besitzt sie alle Eigenschaften aus Lemma 4 Insbesondere folgt aus Eigenschaft i, dass c +s = Bemerkung 3 Vermeidung von Rundungsfehlern Um Rundungsfehler infolge der Multiplikation und Division großer Zahlen zu vermeiden, implementiert man die Berechnung von c und s wie folgt: if x == and x == c=; s=; % Einheitsmatrix end if abs(x >= abs(x t = x/x; s = /sqrt(+t*t; % s ist positiv c = s*t; else t = x/x; c = /sqrt(+t*t; s = c*t; end % c ist positiv 3

13 Dabei nutzt man zum Beispiel die Darstellungen, falls x >, s = x r = x = x +x x /x +, s t = x x = x r x r = c Man beachte, dass im obigen Algorithmus je nach Schleife s oder c positiv ist, obwohl x oder x auch negativ sein können Damit erhält man gegebenenfalls eine Drehung in die Richtung e Das ist aber für praktische Rechnungen nicht von Belang, da man an den Nullen in den anderen Richtungen interessiert ist Bemerkung 3 Erweiterung auf höhere Dimensionen, Givens MatrixEineGivens Matrix ist eine Orthogonalmatrix, die durch c s i G ik = R n n s c k gegeben ist Sie bewirkt eine Rotation in der durch e i und e k aufgespannten Ebene Sei x R n, dann folgt mit r = x i +x k, c = x i r, s = x k r, dass G ik x = G ik x x n = x x x i x i cx i +sx k r x i+ (x i +x k x i+ = = x k x k sx i +cx k r x k+ ( x ix k +x i x k x k+ x n Beispiel 33 Givens Drehung eines Vektors Aufgabe sei es, den Vektor 4 x = 3 x n x x i r x i+ x k x k+ x n 3

14 in e Richtung mittels Givens Drehungen zu drehen Man erhält im ersten Schritt 4/5 3/5 5 G = 3/5 4/5 = G x = Im zweiten Schritt ergibt sich 5/ 6 / 6 G 3 = / 6 5/ = G 3 G x = 6 6 Bemerkung 34 QR Zerlegung mit Givens Drehungen Zur Reduktion von A auf obere Dreiecksgestalt geht man folgendermaßen vor Man wendet nacheinander Givens Drehungen an, um die Einträge unterhalb der Diagonalen zu Null zu machen Bei diesem Vorgehen braucht man an den Einträgen unterhalb der Diagonalen nichts zu tun, die bereits Null sind Man erhält G in,k N G i,k A = R = A = G T i,k G T i N,k N R =: QR, R R m n Je nach Verhältnis von m und n und dem Rang von A kann die Dreiecksmatrix unterschiedlich aussehen, vergleiche Bemerkung 3 Beispiel 35 Givens Drehung einer Matrix Betrachte (nachrechnen: Übungsaufgabe A = G4 G Man beachte, dass die Anwendung von G ik die gesamte i te und k te Zeile von A verändert Bemerkung 36 Zur QR Zerlegung und Givens Drehungen Bei der QR Zerlegung mittels Givens Drehungen überschreibt man auch die Einträge der Originalmatrix in geeigneter Art und Weise Man merkt sich natürlich nicht die Givens Matrizen, sondern nur die jeweiligen Zahlen c und s Die QR Zerlegung mit Givens Drehungen ist sehr stabil Eine Pivotsuche ist nicht erforderlich Bei vollbesetzter Matrix A R n n sind die Kosten der QR Zerlegung mit Givens Drehungen O(4n 3 /3 Multiplikationen/Divisionen und O( n Wurzelberechnungen Das ist doppelt so teuer wie mit Householder Spiegelungen Bei Givens Drehungen kann man jedoch bereits vorhandene Nulleinträge in der Matrix gezielt ausnutzen Mit jedem Nulleintrag sinken die Kosten Deshalb verwendetmangivens Drehungenvorallemdort,wonurwenigeMatrixeinträge zu Null gemacht werden müssen Satz 37 Existenz einer QR Zerlegung Sei A R m n Dann gibt es eine orthogonale Matrix Q R m m und eine Dreiecksmatrix R R m n mit A = QR Beweis: Das wurde in diesem Abschnitt durch Konstruktion, mittels Householder Spiegelungen oder Givens Drehungen, bewiesen 3