Lineare Algebra. Eine Einführung. Bearbeitet von Günter M. Gramlich

Transkript

1 Lineare Algebra Eine Einführung Bearbeitet von Günter M. Gramlich 4., aktualisierte Auflage Buch. ca. 208 S. Hardcover ISBN Format (B x L): 14,7 x 21,2 cm Gewicht: 305 g Weitere Fachgebiete > Mathematik > Algebra > Lineare und multilineare Algebra, Matrizentheorie schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.

2 Leseprobe Günter M. Gramlich Lineare Algebra Eine Einführung ISBN (Buch): ISBN (E-Book): Weitere Informationen oder Bestellungen unter sowie im Buchhandel. Carl Hanser Verlag, München

3 Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Elementare Umformungen und Zeilenstufenformen Das Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren Mehr über Matrizen Rechnen mit Matrizen Die Matrixform eines linearen Gleichungssystems Lösen quadratischer Systeme durch Matrixinvertierung Potenzen von Matrizen Weitere Bemerkungen und Hinweise Vektoren in der Ebene und im Raum Geometrische Vektoren Arithmetische Vektoren Die Länge von Vektoren Das Skalarprodukt Orthogonale Projektionsvektoren Die Komponentenform eines Vektors Das Kreuzprodukt Weitere Bemerkungen und Hinweise Geometrische Modelle in der Ebene und im Raum Darstellungen von Geraden Darstellungen von Ebenen Parameterdarstellungen als Funktionen, Bewegungen Weitere Bemerkungen und Hinweise Reelle Vektorräume und Unterräume Die Vektorraum-Definition Der Vektorraum R n Weitere Beispiele von reellen Vektorräumen Untervektorräume Der Nullraum und homogene lineare Gleichungssysteme

4 8 Inhaltsverzeichnis 4.6 Linearkombinationen, lineare Hülle Die vier Fundamentalräume einer Matrix Der Spaltenraum und lineare Gleichungssysteme Lineare Unabhängigkeit und Abhängigkeit Basis und Dimension Die Struktur der Lösungsmenge von Ax b Lineare Gleichungssysteme, Zeilen- und Spaltenbild Basen für die vier Fundamentalräume Die Dimensionen der vier Fundamentalräume Summe und direkte Summe von zwei Unterräumen Weitere Bemerkungen und Hinweise Lineare Abbildungen von R n nach R m Definition und Beispiele Darstellung von linearen Abbildungen durch Matrizen Weitere Beispiele Weitere Bemerkungen und Hinweise Der Euklidische Vektorraum R n Orthogonal- und Orthonormalbasen Summe und Orthogonalität der vier Fundamentalräume Weitere Bemerkungen und Hinweise Determinanten Die Determinante einer 2, 2 -Matrix Verallgemeinerung auf n, n -Matrizen Determinanten und lineare Gleichungssysteme Weitere Bemerkungen und Hinweise Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenräume und Basen von Eigenvektoren Diagonalisierung einer Matrix Orthogonale Matrizen Diagonalisierung mit orthogonalen Matrizen Weitere Bemerkungen und Hinweise Musterlösungen der Aufgaben 191 Literaturverzeichnis 203 Sachwortverzeichnis 204

5 Vorwort Vorlesungen zur Linearen Algebra gehören zu den Pflichtveranstaltungen der mathematischen Grundausbildung von allen Studierenden der ingenieurwissenschaftlichen, wirtschaftwissenschaftlichen, naturwissenschaftlichen sowie informations- und kommunikationstechnischen Fachrichtungen an Fachhochschulen, Hochschulen und Universitäten. Das in einem Band erscheinende Arbeits- und Übungsbuch zur Linearen Algebra in der Reihe Mathematik-Studienhilfen gibt eine knappe, konzentrierte Darstellung der wesentlichen Begriffe, Ergebnisse und Methoden und stellt das Einüben und Trainieren dieser anhand zahlreicher Beispiele mit vollständigen Lösungen in den Mittelpunkt. Das Buch eignet sich daher insbesondere zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung. Die zentralen Gleichungen der Linearen Algebra sind lineare Gleichungen Ax b und Eigenwertgleichungen Ax λx. Es ist faszinierend, wie viel man über diese beiden Gleichungstypen sagen (und lernen) kann. Viele Anwendungen sind diskret und nicht kontinuierlich, digital anstatt analog und linearisierbar anstatt unberechenbar und chaotisch. Dann aber sind Matrizen und Vektoren die geeigneten Objekte und die Lineare Algebra die richtige Sprache; an die Stelle von kontinuierlichen Funktionen treten Vektoren. Unser Buch ist so angelegt, dass es in der vorgegebenen Reihenfolge, sicher aber mit häufigem Zurückblättern, bearbeitet werden kann. Die mathematischen Sätze sind grau unterlegt, durchnummeriert und (fast) jeder Satz mit einem Namen versehen. Eine Definition erkennt man nicht daran, dass davor Definition steht, sondern daran, dass der zu definierende Begriff fett gedruckt ist. An zahlreichen Beispielen und Aufgaben können Sie die zentralen Begriffe und Methoden der Linearen Algebra trainieren. Jedes Kapitel beinhaltet Aufgaben, deren Musterlösungen am Ende des Buches abgedruckt sind. Sie finden zwei Sorten von Aufgaben. Zum einen ganz einfache Kästchenaufgaben oder Richtig- oder Falsch-Aufgaben, diese dienen zur unmittelbaren Selbstkontrolle und zum anderen die eigentlichen Aufgaben. Bei diesen habe ich mich bemüht, keine unnötigen Tricks einzubauen, sondern Ihnen Erfolgserlebnisse zu ermöglichen. Das Sachwortverzeichnis ist recht ausführlich angelegt, um das Auffinden von Definitionen und Erläuterungen beim Zurückblättern oder bei der späteren Arbeit mit dem Buch zu erleichtern. Beweise habe ich

6 6 geführt, wenn sie zum Verständnis der betrachteten Zusammenhänge beitragen. Oft werden mathematische Sätze jedoch nur formuliert und ihre Bedeutung wird an Beispielen aufgezeigt. Sind Sie an Beweisen interessiert, die ich nicht geführt habe, so verweise ich Sie auf die angegebene Literatur. Ich habe mich bemüht, Bezeichnungen konsistent über das ganze Buch hinweg zu verwenden. Punkte, Mengen und lineare Abbildungen werden mit großen lateinischen Buchstaben A, B, C, L, M, usw. bezeichnet. Besonders wichtige Mengen, wie zum Beispiel die reellen Zahlen werden ebenfalls mit großen lateinischen Buchstaben geschrieben, darüber hinaus sind sie aber noch besonders gedruckt, zum Beispiel R für die Menge der reellen Zahlen. Reelle Zahlen sind kleine lateinische a, b, c,... oder griechische Buchstaben α, β, γ, usw. Vektoren und Matrizen sind fett und kursiv geschrieben; Vektoren sind kleine (a, b, c usw.) und Matrizen sind große lateinische Buchstaben (A, B, C usw.). Beispiele sind mit dem ausgefüllten Quadratzeichen und Beweise mit dem nicht ausgefüllten Quadratzeichen abgeschlossen. Das vorliegende Buch habe ich vollständig in L A TEX mit der Hauptklasse scrbook des KOMA-Script Pakets erstellt. Das Literaturverzeichnis wurde mit biblatex und der Index mit MakeIndex erstellt. Alle Bilder wurden mithilfe von PSTricks erstellt. Ohne diese schönen Tools wäre dies alles viel schwieriger oder gar unmöglich gewesen. Für jede Anregung, nützlichen Hinweis oder Verbesserungsvorschlag bin ich dankbar. Sie können mich über Post oder gramlich@hs-ulm.de erreichen. Ich danke allen Kollegen, Studenten und Interessierten, die durch Hinweise auf Druck- oder Denkfehler, oder einfach durch ihr fachliches oder didaktisches Interesse an diesem Buch und seinem Inhalt, zur Verbesserung des Textes beigetragen haben. Dank an Frau Fritzsch und an Frau Wulst für Hinweise zur Gestaltung dieses Büchleins. In dieser überarbeiteten Auflage habe ich an zahlreichen Stellen Änderungen, Glättungen, Verbesserungen, Erweiterungen und Neubearbeitungen vorgenommen. So hat diese vierte Auflage ein Kapitel mehr, nun also acht, weil ich das vierte Kapitel in zwei kleinere Kapitel unterteilt habe. Darüber hinaus habe ich mehrere Abschnitte in den Kapiteln 1 und 2 überarbeitet. Weiterhin habe ich neue Beispiele und Aufgaben mit Lösungen eingearbeitet. Ulm, im Juni 2014 Günter M. Gramlich

7 1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen The simplest model in applied mathematics is a system of linear equations. It is also by far the most important. Gilbert Strang In vielen realen, aber auch innermathematischen Problemen treten lineare Gleichungssysteme auf; ihre Behandlung ist eines der wichtigsten Themen der Linearen Algebra. In der Elektrotechnik etwa führt die Anwendung der Kirchhoffschen Knotenregel für Schaltkreise auf lineare Gleichungssysteme, Bilanzaufgaben in Technik und Ökonomie werden mit linearen Systemen modelliert. Innerhalb der Mathematik werden Lösungen nichtlinearer Gleichungssysteme und Optimierungsaufgaben mit linearen Systemen gesucht (Quasi-Newton-Verfahren). Interpolationen und Approximationen von Kurven und Flächen mittels Spline- und anderer Funktionen führen auf lineare Systeme. Die Integration von Anfangswertaufgaben bei Systemen gewöhnlicher Differenzialgleichungen, die Diskretisierung von Randwertaufgaben bei gewöhnlichen und partiellen Differenzialgleichungen mittels Differenzenverfahren oder finiter Elemente oder das Lösen von Anfangs- und Randwertaufgaben bei partiellen Differenzialgleichungen führt über lineare Gleichungssysteme zur Lösung. Matrizen dienen der Erfassung, Darstellung und Bearbeitung von Daten. Zur sachgerechten Behandlung mathematischer Probleme der Technik und Wirtschaft, etwa zu Netzwerkberechnungen in der Elektrotechnik oder zur Berechnung von Fachwerken in der Statik, zur Lösung von Transportproblemen oder anderen Optimierungsaufgaben, zur qualitativen und quantitativen Diskussion mechanischer dynamischer Systeme bedient man sich der Matrizenrechnung. 1.1 Lineare Gleichungssysteme Die Gleichung 2x 5 3 ist eine lineare Gleichung, weil die Variable x linear in ihr vorkommt. Löst man die Gleichung 2x 5 3 nach der Unbekannten x auf, so erhält man die (eindeutige) Lösung x 4.

8 10 1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Allgemein ist eine lineare Gleichung in einer Variablen x von der Form ax b, wobei a, b reelle Konstanten sind. Für a 0 ist x b a die Lösung. Eine lineare Gleichung in n Variablen x 1, x 2,..., x n hat die Gestalt a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n b, wobei a 1, a 2,..., a n und b gegebene reelle Konstanten sind. Die reellen Zahlen a i nennt man die Koeffizienten der Gleichung und b R ist die rechte Seite der Gleichung (Zur Schreibweise sei bemerkt, dass wir für die Variablen x 1, x 2, x 3 einer Gleichung auch x, y oder z schreiben. Kommen mehr als drei Unbekannte vor, so schreiben wir x mit Index, also x 1, x 2 usw.). Eine Lösung der linearen Gleichung a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n b ist eine endliche Folge (n-tupel) von n Zahlen x 1, x 2,..., x n mit der Eigenschaft, dass die Gleichung durch die Substitution x 1 x 1, x 2 x 2,..., x n x n erfüllt wird. Die Gesamtheit aller Lösungen heißt allgemeine Lösung (Lösungsmenge) der Gleichung. Beispiel 1.1 (Allgemeine Lösung) Finden Sie die allgemeine Lösung der linearen Gleichung 4x 2y 1. Lösung: Um Lösungen dieser Gleichung zu finden, können wir für x einen beliebigen Wert aus R wählen und nach y auflösen; alternativ können wir auch irgendeinen Wert für y wählen und nach x auflösen. Der erste Ansatz liefert für x t, wobei t R beliebig ist, y 2t 1 2. Die derart bestimmte parameterabhängige Lösung x t, y 2t 1 2 ist die allgemeine Lösung, jede spezielle Wahl des reellen Parameters t ergibt eine spezielle Lösung (Teillösung). Einzelne Lösungen erhalten wir durch Einsetzen entsprechender Zahlen für t. Beispielsweise liefert t 3 die Lösung x 3, y Schlagen wir die zweite Lösungsstrategie ein, so erhalten wir für s R x 1 2s 1 4, y s. Obwohl sich diese Formeln von den ersten unterscheiden, beschreiben sie dieselbe allgemeine Lösung. Zum Beispiel liefert hier s 11 2 genau die Lösung x 3, y 11 2, die wir oben für t 3 erhalten haben.

9 1.1 Lineare Gleichungssysteme 11 Üblicherweise treten lineare Gleichungen mit mehreren Variablen nicht einzeln auf. Kommen endlich viele Gleichungen mit den Variablen x 1, x 2,..., x n vor, so spricht man von einem linearen Gleichungssystem. Die m linearen Gleichungen a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2n x n b 2 a m1 x 1 a m2 x 2 a mn x n b m. ergeben ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen; es ist m, n beiden Gleichungen N. Die x 1 2x 2 1 3x 1 2x 2 11 bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, das heißt, es ist m 2 und n 2. Eine Lösung des linearen Gleichungssystems ist eine endliche Folge von n Zahlen (n-tupel) x 1, x 2,..., x n mit der Eigenschaft, dass jede Gleichung erfüllt ist, wenn man x 1 x 1, x 2 x 2,..., x n x n in das Gleichungssystem einsetzt. Besitzt ein lineares System keine Lösung, so sagt man, es ist unlösbar (inkonsistent); hat es eine Lösung, so ist es lösbar (konsistent). Sind die rechten Seiten des Gleichungssystems Null, das heißt b 1 b 2 b m 0, so heißt das System homogen. Beachten Sie, dass ein homogenes Gleichungssystem stets die Lösung x 1 x 2 x n 0 hat; man nennt sie die triviale Lösung. Zwei Gleichungssysteme sind äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben. Das lineare System x 1 3x 2 7 2x 1 x 2 7 hat die Lösung x 1 2 und x 2 3. Das lineare System 8x 1 3x 2 7 3x 1 2x x 1 2x 2 14 hat ebenfalls die Lösung x 1 2 und x 2 3. Daher sind die beiden Systeme äquivalent.

10 12 1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 1.2 Matrizen Das rechteckige Zahlenschema a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n.... a i1 a i2 a in.... a m1 a m2 a mn mit a ij R, i 1, 2,..., m, j 1, 2,..., n heißt reelle Matrix mit m Zeilen und n Spalten oder m, n -Matrix. Die reellen Zahlen a ij sind die Elemente der Matrix (Matrixelemente). Statt a ij schreibt man auch a i, j oder A i, j. Zum Beispiel ist π eine Matrix mit 2 Zeilen, 3 Spalten und insgesamt Elementen. Es ist a 11 1, a 12 2, a 13 2, a 21 7, a 22 3 und a 23 π. Die Matrixelemente a ij sind in diesem Buch fast immer reelle Zahlen, also a ij R. Gelegentlich ist es jedoch erforderlich, für die Matrixelemente auch Funktionsterme oder andere mathematische Objekte zuzulassen. Eine Matrix muss nicht mithilfe des undefinierten Begriffes des rechteckigen Schemas eingeführt werden. Man kann sie vielmehr wie folgt auf bekannte Objekte zurückführen: Eine reelle Matrix A a ij ist eine Abbildung von 1, 2,..., m 1, 2,..., n nach R. Jedem Paar i, j mit i 1, 2,..., m und j 1, 2,..., n wird die reelle Zahl a ij zugeordnet. Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten können wir als Matrix in der Form a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a i1 a i2 a in b i..... a m1 a m2 a mn b m oder a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a i1 a i2 a in b i..... a m1 a m2 a mn b m

11 1.3 Elementare Umformungen und Zeilenstufenformen 13 schreiben, wenn wir uns merken, dass die Matrixelemente in der j-ten Spalte mit der Variablen x j zu multiplizieren sind, zwischen zwei Spalten ein Pluszeichen und zwischen der vorletzten und letzten Spalte ein Gleichheitszeichen steht. Wir nennen diese Matrix die erweiterte Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems. Erweitert deshalb, weil die rechte Seite des Gleichungssystems mit in die Matrix aufgenommen wird. Ist dies nicht der Fall, so spricht man nur von der Koeffizientenmatrix des linearen Systems. Zum Beispiel hat das lineare Gleichungssystem x 1 x 2 2x 3 9 2x 1 4x 2 3x 3 1 3x 1 6x 2 5x 3 0 die erweiterte Koeffizientenmatrix oder Mithilfe von Matrizen können wir lineare Gleichungssysteme übersichtlich und kompakt schreiben und behandeln. 1.3 Elementare Umformungen und Zeilenstufenformen Wir entwickeln nun ein Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme. Die grundlegende Idee dieses Verfahrens besteht darin, das gegebene System in ein äquivalentes System zu bringen, das einfacher gelöst werden kann. Systeme, die einfach zu lösen sind, sind zum Beispiel Systeme in Diagonalform, Dreiecksform oder Orthogonalform. Unter einer elementaren Gleichungsumformung versteht man eine der folgenden drei grundlegenden Operationen: Vertauschen von zwei Gleichungen, Multiplikation einer Gleichung mit einer von Null verschiedenen Konstanten, Addition eines Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen Gleichung. Die elementaren Gleichungsumformungen gestatten uns den folgenden Satz.

12 6 Der Euklidische Vektorraum R n In einem Vektorraum V sind Länge, Winkel und Orthogonalität von Vektoren (zunächst) nicht definiert. Dies gilt insbesondere auch für den Vektorraum V R n. Wir betrachten in diesem Kapitel nur den Vektorraum R n und definieren auf diesem eine zusätzliche Struktur, nämlich das natürliche Skalarprodukt. Dadurch ist es möglich, die Länge eines Vektors, den Winkel zwischen zwei Vektoren und den Begriff Orthogonalität für Vektoren in R n zu erklären. Damit können wir vielfach vereinfachend rechnen, weil wir zum Beispiel orthogonale und orthonormale Basisvektoren zur Verfügung haben. Es sind u u 1, u 2,..., u n und v v 1, v 2,..., v n Vektoren im R n. Das natürliche (gewöhnliche, übliche, kanonische) Skalarprodukt u v im R n ist definiert durch u v u 1 v 1 u 2 v 2 u n v n. Für n 2 und n 3 kennen wir dies schon aus Kapitel 2. Das natürliche Skalarprodukt wird auch Standardskalarprodukt genannt (Das Wort natürlich lassen wir im Folgenden auch weg). Beispiel 6.1 Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren u 1, 2, 3, 7 und v 5, 4, 7, 0 im Vektorraum R 4. Lösung: Nach Definition ist u v Im folgenden Satz sind die vier wichtigsten Rechenregeln des Skalarproduktes zusammengefasst, siehe Satz Satz 6.1 (Rechenregeln des Skalarproduktes im R n ) Es sind u, v und w Vektoren im R n und c ein Skalar. Dann gilt: (a) Kommutativität, Symmetrie: u v v u. (b) Distributivität: u v w u v u w. (c) Assoziativität: c u v cu v u cv. (d) Positive Definitheit: v v 0 für v o und v v 0 für v o.

13 143 Schreiben wir die Vektoren u und v aus R n als Spaltenmatrizen und lassen (wie üblich) die Klammern der 1, 1 -Matrizen (Skalare) weg, so ist nach der Definition der Matrizenmultiplikation u T v u 1 u 2 u n v 1 v 2. v n u 1 v 1 u 2 v 2 u n v n u v, womit wir bewiesen haben, dass für das Skalarprodukt zweier Vektoren u und v im R n gilt u T v u v. In Worten: Das Skalarprodukt in R n kann als Matrizenmultiplikation aufgefasst werden; Zeilenmatrix mal Spaltenmatrix. Ein Euklidischer Vektorraum ist ein reeller Vektorraum, auf dem ein Skalarprodukt definiert ist. Es gibt viele Euklidische Vektorräume (siehe zum Beispiel [9]), der R n mit dem natürlichen Skalarprodukt ist der wichtigste. Wir betrachten nur den Euklidischen Vektorraum R n mit dem natürlichen Skalarpordukt. Auch wenn sich die Vektoren für n 4 nicht mehr zeichnen lassen, so können wir dann dennoch von Länge und Orthogonalität sprechen, nachdem wir die entsprechenden Konzepte von n 2, 3 auf beliebiges n N übertragen haben. Wir definieren die Euklidische Länge (Euklidische Norm, Betrag) eines Vektors v im R n durch v v v v 2 1 v 2 2 v 2 n. Beispiel 6.2 Berechnen Sie die Länge des Vektors v 1, 2, 0, 1. Lösung: Es ist v v 2 1 v 2 2 v 2 3 v die Länge von v. Zwei Vektoren u und v im Euklidischen Vektorraum R n heißen orthogonal (senkrecht), wenn u v 0 ist. Man schreibt dann u v. Beispiel 6.3 Zeigen Sie, dass die beiden Vektoren u 2, 3, 1, 4 und v 1, 2, 0, 1 im Raum R 4 orthogonal sind (senkrecht aufeinander stehen).

14 144 6 Der Euklidische Vektorraum R n Lösung: Es ist u v 2, 3, 1, 4 1, 2, 0, , also sind die beiden Vektoren orthogonal; es ist also u v. Sind u und v zwei zueinander orthogonale Vektoren im R n, so gilt wegen u v 2 u v u v u 2 2u v v 2 u 2 v 2 der Satz des Pythagoras auch im R n. Satz 6.2 (Satz des Pythagoras im R n ) Zwei Vektoren u, v aus R n sind genau dann zueinander orthogonal, wenn gilt u v 2 u 2 v 2. Zwei orthogonale Vektoren u und v im Raum R n heißen orthonormal, wenn sie beide die Länge 1 haben. Orthonormale Vektoren stehen also senkrecht aufeinander und sind Einheitsvektoren. Im Raum R n sind die natürlichen Basisvektoren e 1, e 2,..., e n orthonormale Vektoren. Gegeben ist ein Vektor u R n. Dieser soll orthogonal auf die eindimensionale lineare Hülle Lin a projiziert werden (o a R n ). Dieses Problem haben wir bereits in Kapitel 2 für Vektoren aus R 2 und R 3 gelöst, siehe Satz 2.11 und Bild Wie lautet der orthogonale Projektionsvektor P roj Lin a u? Der gesuchte Vektor muss ein Vielfaches von a sein, also ist P roj Lin a u ka für eine reelle Zahl k. Nun sind die Vektoren u P roj Lin a u u ka und a orthogonal, also gilt a u ka 0 und mit den Rechenregeln aus Satz 6.1 k a u a a. Somit ist P roj Lin a u a u a a a a u a 2 a der orthogonale Projektionsvektor von u auf Lin a oder auf a in R n. Beispiel 6.4 Berechnen Sie im Raum R 4 den orthogonalen Projektionsvektor von u 2, 3, 3, 1 auf Lin e 1 mit e 1 1, 0, 0, 0 und auf Lin e 2 mit e 2 0, 1, 0, 0. Lösung: Es ist P roj Lin e1 u e 1 u 2 e 1 1, 0, 0, 0 2, 0, 0, 0. e 1 e 1 1 Analog ist P roj Lin e2 u 0, 3, 0, 0.

15 6.1 Orthogonal- und Orthonormalbasen Orthogonal- und Orthonormalbasen Gewöhnlich kann man zur Lösung eines Problems der Vektorrechnung irgendeine Basis des zugrunde liegenden Vektorraumes wählen, die der Aufgabe angemessen erscheint. Basen, deren Vektoren zueinander orthogonal (oder sogar orthonormal) sind, erleichtern die Rechnungen oft erheblich. Außerdem tragen orthonormale Basen zur Stabilisierung bei numerischen Algorithmen bei. Eine Menge von Vektoren im Vektorraum R n heißt orthogonale Menge (Orthogonalsystem), wenn ihre Elemente paarweise orthogonal sind (Die Menge darf nicht leer sein und der Nullvektor darf nicht dazu gehören). Haben sie außerdem die Länge 1, so heißt die Menge orthonormal (Orthonormalsystem). Beispiel 6.5 Zeigen Sie, dass die Menge der Vektoren v 1 0, 1, 0, 0, v 2 1, 0, 1, 0, v 3 1, 0, 1, 0 und v 4 0, 0, 0, 1 im Vektorraum R 4 orthogonal ist. Lösung: Vektoren sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt Null ist: v 1 v 2 v 1 v 3 v 1 v 4 v 2 v 3 v 2 v 4 v 3 v 4 0. Für jeden vom Nullvektor verschiedenen Vektor v gilt v v 1 v v 1 v v 1 v v 1, also hat der Vektor v v die Länge (Norm) 1. Wir haben so den Vektor v normalisiert (normiert), indem wir ihn mit dem Kehrwert seiner Länge multipliziert haben. Auf diese Art erhalten wir aus einer orthogonalen Menge eine orthonormale Menge. Beispiel 6.6 Normalisieren Sie die vier Vektoren v 1 0, 1, 0, 0, v 2 1, 0, 1, 0, v 3 1, 0, 1, 0, v 4 0, 0, 0, 1 aus Beispiel 6.5. Lösung: Für die Vektoren gilt: v 1 1, v 2 2, v 3 2, v 4 1. Also ergeben sich die normalisierten Vektoren zu und q 1 1 v 1 v 1 0, 1, 0, 0, q 2 1 v 2 v 2 1 2, 0, 1 2, 0 q 3 1 v 3 v 3 1 2, 0, 1 2, 0, q 4 1 v 4 v 4 0, 0, 0, 1 Die Menge q 1, q 2, q 3, q 4 ist eine orthonormale Menge in R 4.

16 146 6 Der Euklidische Vektorraum R n Eine Basis aus R n, die aus orthonormalen Vektoren besteht, heißt Orthonormalbasis (orthonormale Basis). Sind die Basisvektoren nur orthogonal, so spricht man von einer Orthogonalbasis (orthogonalen Basis). Beispiel 6.7 Bilden die Vektoren e 1 1, 0, 0, 0, e 2 0, 1, 0, 0, e 3 0, 0, 1, 0 und e 4 0, 0, 0, 1 eine orthonormale Basis? Lösung: Ja! Die Vektoren bilden eine Basis von R 4, stehen paarweise senkrecht aufeinander und haben alle die Länge 1. Allgemein bilden die Vektoren e 1 1, 0,..., 0, e 2 0, 1,..., 0 usw. e n 0, 0,..., 1 eine Orthonormalbasis im Vektorraum R n. In Worten: Die natürliche Basis des Raumes R n ist eine Orthonormalbasis. Satz 6.3 Eine Menge von orthogonalen Vektoren in R n ist stets auch linear unabhängig. Beweis: Wir nehmen an, U u 1, u 2,..., u r ist eine orthogonale Menge in R n. Wir zeigen, dass aus der Gleichung c 1 u 1 c 2 u 2 c r u r o c 1 c 2... c r 0 folgt. Zunächst gilt für jeden Vektor u i U: c 1 u 1 c 2 u 2 c r u r u i o u i 0 oder c 1 u 1 u i c 2 u 2 u i c r u r u i 0. Da U eine orthogonale Menge ist, gilt u j u i 0 für i j, also bleibt von allen Summanden nur noch einer übrig. Also ist c i u i u i 0. Nach Voraussetzung ist u i o und damit u i u i 0, woraus wir c i 0 für alle i 1, 2,..., r erhalten. Somit ist die orthogonale Menge U linear unabhängig. Die Koordinaten eines Vektors in einer Orthonormalbasis Liegt eine orthonormale Basis in R n vor, so lässt sich jeder Vektor besonders einfach als Linearkombination dieser orthonormalen Basisvektoren darstellen. eine Orthonor- Satz 6.4 (Fourier-Entwicklung) Es ist q 1, q 2,..., q n malbasis von R n. Dann gilt für jeden Vektor v aus R n v c 1 q 1 c 2 q 2 c n q n wobei die Koeffizienten c i der Linearkombination auf folgende Weise leicht berechnet werden können: c i v T q i für i 1, 2,..., n.

17 Sachwortverzeichnis Alle fett gedruckten Seitenzahlen sind Referenzen auf die Definition des jeweiligen Begriffs. Demgegenüber geben normal gedruckte Seitenzahlen die Seiten der Verwendung des jeweiligen Begriffs wieder. Abbildung identische, 138 lineare, 132, 133 Addition von Vektoren, 50, 53 äquivalente Gleichungssysteme, 11 äußeres Produkt, 72 allgemeine Lösung eines Gleichungssystems, 10, 114 Analytische Geometrie, 80, 91 Arbeit, 63 arithmetische Vektoren, 53, 55 arithmetischer Mittelwert, 135 Aufvektor, 80 Basis, 110, 110, 112, 114, 145, 147, 166, 183, 186, 201 natürliche, 111, 111 orthogonale, 146 orthonormale, 146 Basiswechsel, 188 Berechnung spaltenweise, 35 zeilenweise, 35 Betrag, 59, 143 eines Vektors, 59, 143 Euklidischer, 143 Bildraum, 128 Blockmatrix, 31 charakteristische Gleichung, 172 charakteristisches Polynom, 172 Cramersche Regel, 166 darstellende Matrix, 136 Darstellungsmatrix, 136 natürliche, 136 Determinante, , 162, 163, 166, 168, 172, 188 einer 2, 2 -Matrix, 158 einer 3, 3 -Matrix, 160 einer n, n -Matrix, 162 diagonalisierbare Matrix, 178 Diagonalmatrix, 24, 25, 174, 180, 185 Diagonalmatrizen, 174 Differenzengleichung, 102 Differenzialgleichung, 102 Differenzialoperatoren, 189 Dimension, 97, 112 direkte orthogonale Summe, 152 direkte Summe, 127, 127 diskretes Signal, 140 Drehung, 135, 139 Dreiecksmatrix, 25, 174 Dreiecksmatrizen, 174 Dreiecksungleichung, 134 Dupel, 53 dyadisches Produkt, 31, 77, 187 Ebenengleichung in Parameterform, 85 Eigenfunktion, 189 Eigenpaar, 170 Eigenraum, 175 Eigensysteme, 119 Eigenvektoren, 22, 119, 170, , 186, 189 Eigenvektorenmatrix, 178, 180, 181, 186, 187 Eigenwert, 22, 119, 170, 170, , 180 Eigenwertaufgabe, 173, 174, 188 Eigenwertmatrix, 180 Einheitsmatrix, 25, 182 Einheitsvektor, 61 kanonischer, 61 natürlicher, 61 elementare Gleichungsumformung, 13 elementare Zeilenumformung, 14, 118 endlich dimensionaler Vektorraum, 112

18 Sachwortverzeichnis 205 endliche Folge, 10, 11 Erzeugendensystem, 105 Euklidische Länge, 143 Euklidische Norm, 143 Euklidischer Vektorraum, 143 Falksches Schema, 28 Filter, 96 linearer, 139 Folge endliche, 10, 11 Fourier-Entwicklung, 147 Fourier-Koeffizient, 147 freie Variablen, 16, 124 führende Eins, 14, 124 führende Variablen, 16, 124 Fundamentalräume, 106 Fundamentalsatz der Algebra, 172 Funktion lineare, 132, 133 reelle, 132 Gauß-Jordan-Verfahren, 16 Gauß-Verfahren, 17 Gegenvektor, 50, 94 Geometrie, 72, 77, 91 geometrischer Vektor, 49, 97 geordnete Paare, 53 Geradengleichung in Parameterform, 81 gerichtete Strecke, 48 Gestaltgleichheit, 58 gewöhnliches Skalarprodukt, 142 gleiche Vektoren, 50 Gleichheit strukturelle, 56 Gleichung charakteristische, 172 lineare, 10 Gleichungssystem bestimmtes, 22 homogenes, 11 inhomogenes, 11 inkonsistentes, 11 konsistentes, 11 lösbares, 11 lineares, 11 quadratisches, 22 überbestimmtes, 22 unlösbares, 11 unterbestimmtes, 22 Gleichungssysteme äquivalente, 11 Gleichungsumformung elementare, 13 Größe gerichtete, 48 skalare, 48, 63 vektorielle, 48 Hauptachsentransformation, 188 Hauptdiagonale, 24 Hauptdiagonalelemente, 164, 174 Hilbert-Schmidt-Probleme, 189 Hintereinanderausführung, 50, 50 Homomorphismus, 133 idempotente Matrix, 44 identische Abbildung, 138 inkonsistentes Gleichungssystem, 11 Integraloperatoren, 189 Inverse, 40 inverse Matrix, 40 invertierbare Matrix, 40 Isomorphismus, 58, 133 kanonische Basis, 111 kanonische Darstellungsmatrix, 136 kanonischer Einheitsvektor, 61 kartesische Koordinaten, 71, 147 kartesisches Produkt, 53, 54 Kehrmatrix, 40 Kern, 128 Koeffizienten einer linearen Gleichung, 10 einer Linearkombination, 103 Koeffizientenmatrix, 13, 101 eines linearen Systems, 13 erweiterte, 13 Kombination lineare, 102 komplexe Zahlen, 94 komplexer Vektorraum, 94 Komponenten, 72 eines Vektors, 72 Komponentenform, 71 konsistentes Gleichungssystem, 11 Koordinaten, 53 eines Vektors, 71, 72 kartesische, 71

19 206 Sachwortverzeichnis Koordinatendarstellung einer Ebene, 86 einer Geraden, 82 Koordinatenform einer Ebene, 86 einer Geraden, 82 Koordinatengleichung, 87 Koordinatenursprung, 104, 115 Koordinatenvektor, 147, 148 Kosinussatz, 64 Kreuzmenge, 53, 54 Kreuzprodukt, 72, 73 75, 77 Länge, 49, 59 eines Vektors, 143 Euklidische, 143 linear abhängig, 109 linear unabhängig, 109 lineare Abbildung, 132, 133 lineare Filter, 139 lineare Funktion, 132, 133 lineare Gleichungen, 10 lineare Hülle, 103, 104 lineare Kombination, 102 lineare Transformation, 133, 138 linearer Operator, 133 linearer reeller Raum, 22, 93 lineares Gleichungssystem, 11, 39, 86 Linearkombination von Matrizen, 28 von Vektoren, 102 lösbares Gleichungssystem, 11 Lösung allgemeine, 114 eines linearen Gleichungssystems, 11, 114 linearer Gleichungen, 10, 114 Lösungsraum, 115, 119, 121 Massenpunkt, 63 Matlab, 78 Matrix, 12 Diagonal-, 24 diagonalisierbare, 178 Einheits-, 25 idempotente, 44 inverse, 40 invertierbare, 40 Null-, 24 obere Dreiecks-, 25 orthogonale, 182 quadratische, 24 reguläre, 40 symmetrische, 25, 175, 185 transponierte, 23 untere Dreiecks-, 25 Matrixelemente, 12 Matrixfaktorisierung, 188 Matrixprodukt skalares, 27 Matrizen gleiche, 26 ungleiche, 26 Matrizenaddition, 26 Matrizengleichung, 36, 178 Matrizenprodukt, 66 Matrizensubtraktion, 27 Menge von Vektoren, 145 orthogonale, 145 orthonormale, 145 Mengenprodukt, 54 Merkregel von Sarrus, 161 Mittelwert arithmetischer, 135 Modalmatrix, 178 Multiplikation skalare, 94 Multiplikation mit Skalaren, 52 Multiplikation Skalar mit Vektor, 54 Multiplikation von Matrizen, 28 natürliche Basis, 111, 111 natürliche Darstellungsmatrix, 136 natürlicher Einheitsvektor, 61 natürliches Skalarprodukt, 142 negativer Vektor, 50, 94 Norm, 59 eines Vektors, 59, 143 Euklidische, 143 Normalenform einer Ebenengleichung, 87 einer Geradengleichung, 84 Normalenvektor, 89 Normalenvektor der Ebene, 87 Normalenvektor der Geraden, 84 normalisierter Vektor, 145 Normieren eines Vektors, 61 normierter Vektor, 61, 145 Nullabbildung, 137 Nullmatrix, 24, 36

20 Sachwortverzeichnis 207 Nullraum, 101, 102, 106, , 121, , 128, 166, 175 Nullraumbasis, 119, 121 Nullunterraum, 101 Nullvektor, 50, 94 der Translationen, 50 der Verschiebungen, 50 Nullvektorraum, 100 numerisch stabil, 184 obere Dreiecksmatrix, 25 Operator linearer, 133 Orthogonalbasis, 146, 147, 149 orthogonale Basis, 146 orthogonale direkte Summe, 152 orthogonale Matrix, 182 orthogonale Menge, 145 orthogonale Projektion, 135, 138, 139, 190 orthogonale Projektionsmatrix, 44 orthogonale Teilmenge, 151 orthogonaler Projektionsvektor, 68, 144 orthogonales Komplement, 153 Orthogonalisierungsverfahren, 149 nach Gram-Schmidt, 149 Orthogonalprojektion, 68 Orthogonalraum, 151, 151, 152, 153 Orthogonalsystem, 145 Orthonormalbasis, 146, 186, 199 orthonormale Basis, 146 orthonormale Menge, 145 orthonormale Vektoren, 144 Orthonormalisierungsverfahren, 150 nach Gram-Schmidt, 150 Orthonormalsystem, 145 Parallelogramm, 51, 73, 164 Parallelogrammregel, 51 Parallelotop, 164 parameterfreie Ebenengleichung, 88 parameterfreie Geradengleichung, 84 Parametergleichung, 82, 86, 87 einer Ebene, 85 einer Geraden, 81 Pfeile, 48 Polynom charakteristisches, 172 Produkt dyadisches, 31, 77 kartesisches, 53, 54 Skalar mit Vektor, 54 skalares Matrix-, 27 Produkt von Matrizen, 28 Produktmenge, 53, 54 Projektionsmatrix orthogonale, 44 Projektionsvektor orthogonaler, 68, 144 Punkt-Normalenform einer Ebenengleichung, 87 quadratische Matrix der Ordnung n, 24 Randwertaufgaben, 189 Rang, 124 Rechenregeln, 48 rechte Seite einer linearen Gleichung, 10 Rechtssystem, 74, 75 reduzierte Staffelform, 45 reduzierte Treppenform, 45 reduzierte Zeilenstufenform, 15, 22 reelle Funktion, 132 reelle Matrix, 12 reeller linearer Raum, 93 reeller Vektorraum, 22, 93 reguläre Matrix, 40 Repräsentant, 49 eines Vektors, 49 Richtungsvektor, 80, 82, 193 Rückwärtssubstitution, 17, 19 Sarrussche Merkregel, 161 Satz des Pythagoras im R n, 144 Schema nach Falk, 28 Signal, 96 diskretes, 140 Signalverarbeitung, 96 Skalare, 23, 94 skalare Multiplikation, 52, 54, 55, 94 skalares Matrixprodukt, 27 skalares Produkt, 54 skalares Vektorenprodukt, 62, 64 skalares Vielfaches, 51 Skalarmultiplikation, 52, 94 Skalarprodukt, 62, 71 73, 77, 142, 184 gewöhnliches, 142 natürliches, 142 Spaltenbild, 117

21 208 Sachwortverzeichnis Spaltenmatrix, 23 Spaltenraum, 105, 105, , 117, 118, , 128 spaltenweise Berechnung, 35 Spannvektoren, 85 Spat, 164 Spektraldarstellung, 187 Spektraltheorie, 189 Spiegelungen, 138 Stützvektor der Ebene, 85 Stützvektor der Geraden, 80 Staffelform, 45 Standardbasis, 111, 111 Standarddarstellungsmatrix, 136 Standardmatrix, 136 Standardskalarprodukt, 142 strukturelle Gleichheit, 56 Strukturgleichheit, 56, 58, 59, 133 Sturm-Liouville-Probleme, 189 Summe, 53, 126 direkte, 127 einer Matrix, 26 orthogonale, 152 von Vektoren, 55 symmetrische Matrix, 25, 175, 185 Teilmenge orthogonale, 151 Tensorprodukt, 31 Transformation, 138 lineare, 133, 138 Translationen, 48 transponierte Matrix, 23 Treppenform, 45 triviale Lösung, 11 universell lösbar, 108 unlösbares Gleichungssystem, 11 untere Dreiecksmatrix, 25 Untermatrizen, 31 Unterraum, 98, , 115, 175, 187 aufgespannter, 105 erzeugter, 105 Untervektorraum, 98 geometrischer, 49, 97 negativer, 50, 94 normalisierter, 145 normierter, 59, 145 Vektoren, 48, 93 gleiche, 50 orthogonale, 67, 143 orthonormale, 144 senkrechte, 67, 143 Vektorenaddition, 50, 51, 53, 94 Vektorenprodukt, 63 65, 72 äußeres, 72 skalares, 62 vektorielles, 72 Vektorgeometrie, 80 Vektorgleichung, 82, 109, 172, 173, 193 vektorielles Vektorenprodukt, 72 Vektorraum, 22, 45, 132, 143, 170 endlich dimensionaler, 112 Euklidischer, 143 reeller, 22, 93 Vektorraumhomomorphismus, 133 Vektorsubtraktion, 51, 54 Verfahren nach Gauß, 17 nach Gauß-Jordan, 16 Verschiebungen, 48 vier Fundamentalräume, 106 Winkel, 61 zwischen Vektoren, 61 Zahlentripel, 54 Zeilenbild, 117 Zeilenmatrix, 23, 66 Zeilenraum, 105, 105, 106, 118, 119, Zeilenraumbasis, 119, 121, 122 Zeilenstufenform, 14, 14, 15 22, 45, 46, 123 normierte, 15 reduzierte, 15 Zeilenstufenmatrix, 122 zeilenweise Berechnung, 35 Variablen führende, 16 freie, 16 Vektor arithmetischer, 53, 55