Informatik I. 27. Wissenschaftliches Rechnen mit numpy, scipy und matplotlib Albert-Ludwigs-Universität Freiburg.
|
|
|
- Katja Sommer
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 27. Wissenschaftliches Rechnen mit, scipy und matplotlib Albert-Ludwigs-Universität Freiburg / 28
2 2 / 28
3 Python ist eine tolle Programmiersprache, bietet aber mehr... 3 / 28
4 Python ist eine tolle Programmiersprache, bietet aber mehr... Es existieren Pakete, die wissenschaftliches Rechnen ermöglichen. 3 / 28
5 Python ist eine tolle Programmiersprache, bietet aber mehr... Es existieren Pakete, die wissenschaftliches Rechnen ermöglichen. Normalerweise benutzt man dafür die proprietären, kommerziellen Systeme MATLAB oder auch dem Opensource-System Scilab. 3 / 28
6 Python ist eine tolle Programmiersprache, bietet aber mehr... Es existieren Pakete, die wissenschaftliches Rechnen ermöglichen. Normalerweise benutzt man dafür die proprietären, kommerziellen Systeme MATLAB oder auch dem Opensource-System Scilab. Mit den Paketen, scipy und mathplotlib erhält man aber fast die gleiche Funktionalität. 3 / 28
7 Python ist eine tolle Programmiersprache, bietet aber mehr... Es existieren Pakete, die wissenschaftliches Rechnen ermöglichen. Normalerweise benutzt man dafür die proprietären, kommerziellen Systeme MATLAB oder auch dem Opensource-System Scilab. Mit den Paketen, scipy und mathplotlib erhält man aber fast die gleiche Funktionalität. Wir werden ein bisschen hinein schnuppern. 3 / 28
8 4 / 28
9 Die genannten Module gehören nicht zur Grundausstattung von Python. 5 / 28
10 Die genannten Module gehören nicht zur Grundausstattung von Python. Es werden verschiedenste Möglichkeiten unter angeboten. 5 / 28
11 Die genannten Module gehören nicht zur Grundausstattung von Python. Es werden verschiedenste Möglichkeiten unter angeboten. Die einfachsten sind, ein ganzes Paket inklusive Python-Interpreter herunter zu laden und zu installieren. 5 / 28
12 Die genannten Module gehören nicht zur Grundausstattung von Python. Es werden verschiedenste Möglichkeiten unter angeboten. Die einfachsten sind, ein ganzes Paket inklusive Python-Interpreter herunter zu laden und zu installieren. Für Windows ist ein portables Paket WinPython: kann aus jedem Ordner heraus gestartet werden. 5 / 28
13 Die genannten Module gehören nicht zur Grundausstattung von Python. Es werden verschiedenste Möglichkeiten unter angeboten. Die einfachsten sind, ein ganzes Paket inklusive Python-Interpreter herunter zu laden und zu installieren. Für Windows ist ein portables Paket WinPython: kann aus jedem Ordner heraus gestartet werden. Für Windows gibt es vorbereitete Ergänzungspakete: 5 / 28
14 6 / 28
15 Der Typ ndarray führt einen speziellen Type ndarray ein. 7 / 28
16 Der Typ ndarray führt einen speziellen Type ndarray ein. Dies sind Arrays von fixer Größe mit einheitlichem Basistyp (Ganzzahl, Fließkomma, Strings einer maximalen Länge... ). 7 / 28
17 Der Typ ndarray führt einen speziellen Type ndarray ein. Dies sind Arrays von fixer Größe mit einheitlichem Basistyp (Ganzzahl, Fließkomma, Strings einer maximalen Länge... ). Diese können u.a. mit der Funktion arange erzeugt werden. 7 / 28
18 Der Typ ndarray führt einen speziellen Type ndarray ein. Dies sind Arrays von fixer Größe mit einheitlichem Basistyp (Ganzzahl, Fließkomma, Strings einer maximalen Länge... ). Diese können u.a. mit der Funktion arange erzeugt werden. Python-Interpreter >>> import as np >>> x = np.arange(10); x 7 / 28
19 Der Typ ndarray führt einen speziellen Type ndarray ein. Dies sind Arrays von fixer Größe mit einheitlichem Basistyp (Ganzzahl, Fließkomma, Strings einer maximalen Länge... ). Diese können u.a. mit der Funktion arange erzeugt werden. Python-Interpreter >>> import as np >>> x = np.arange(10); x 7 / 28
20 Der Typ ndarray führt einen speziellen Type ndarray ein. Dies sind Arrays von fixer Größe mit einheitlichem Basistyp (Ganzzahl, Fließkomma, Strings einer maximalen Länge... ). Diese können u.a. mit der Funktion arange erzeugt werden. Python-Interpreter >>> import as np >>> x = np.arange(10); x array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) 7 / 28
21 Der Typ ndarray führt einen speziellen Type ndarray ein. Dies sind Arrays von fixer Größe mit einheitlichem Basistyp (Ganzzahl, Fließkomma, Strings einer maximalen Länge... ). Diese können u.a. mit der Funktion arange erzeugt werden. Python-Interpreter >>> import as np >>> x = np.arange(10); x array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) >>> type(x) 7 / 28
22 Der Typ ndarray führt einen speziellen Type ndarray ein. Dies sind Arrays von fixer Größe mit einheitlichem Basistyp (Ganzzahl, Fließkomma, Strings einer maximalen Länge... ). Diese können u.a. mit der Funktion arange erzeugt werden. Python-Interpreter >>> import as np >>> x = np.arange(10); x array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) >>> type(x) <class.ndarray > 7 / 28
23 Der Typ ndarray führt einen speziellen Type ndarray ein. Dies sind Arrays von fixer Größe mit einheitlichem Basistyp (Ganzzahl, Fließkomma, Strings einer maximalen Länge... ). Diese können u.a. mit der Funktion arange erzeugt werden. Python-Interpreter >>> import as np >>> x = np.arange(10); x array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) >>> type(x) <class.ndarray > >>> y = np.arange(10.0); y 7 / 28
24 Der Typ ndarray führt einen speziellen Type ndarray ein. Dies sind Arrays von fixer Größe mit einheitlichem Basistyp (Ganzzahl, Fließkomma, Strings einer maximalen Länge... ). Diese können u.a. mit der Funktion arange erzeugt werden. Python-Interpreter >>> import as np >>> x = np.arange(10); x array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) >>> type(x) <class.ndarray > >>> y = np.arange(10.0); y array([0., 1., 2., 3, 4., 5., 6., 7., 8., 9.]) 7 / 28
25 Der Typ ndarray führt einen speziellen Type ndarray ein. Dies sind Arrays von fixer Größe mit einheitlichem Basistyp (Ganzzahl, Fließkomma, Strings einer maximalen Länge... ). Diese können u.a. mit der Funktion arange erzeugt werden. Python-Interpreter >>> import as np >>> x = np.arange(10); x array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) >>> type(x) <class.ndarray > >>> y = np.arange(10.0); y array([0., 1., 2., 3, 4., 5., 6., 7., 8., 9.]) >>> z = np.array([ abc, efghij, k ]); z 7 / 28
26 Der Typ ndarray führt einen speziellen Type ndarray ein. Dies sind Arrays von fixer Größe mit einheitlichem Basistyp (Ganzzahl, Fließkomma, Strings einer maximalen Länge... ). Diese können u.a. mit der Funktion arange erzeugt werden. Python-Interpreter >>> import as np >>> x = np.arange(10); x array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) >>> type(x) <class.ndarray > >>> y = np.arange(10.0); y array([0., 1., 2., 3, 4., 5., 6., 7., 8., 9.]) >>> z = np.array([ abc, efghij, k ]); z array([ abc, efghij, k ], dtype= <U6 ) 7 / 28
27 Warum Arrays? arraytest.py import as np import time def trad_version(): t1 = time.process_time() x, y, z = range(10**7), range(10**7), [] for i in range(len(x)): z.append(x[i] + y[i]) return time.process_time() - t1 def _version(): t1 = time.process_time() x, y = np.arange(10**7), np.arange(10**7) z = x + y return time.process_time() - t1 print("traditionell: ", trad_version()) print("numpy-version: ", _version()) 8 / 28
28 Mehrdimensionale Arrays Arrays können mehrere Dimensionen besitzen. 9 / 28
29 Mehrdimensionale Arrays Arrays können mehrere Dimensionen besitzen. Die Anzahl der Dimensionen findet sich im Attribut ndim, shape beschreibt die Form durch ein Tupel. 9 / 28
30 Mehrdimensionale Arrays Arrays können mehrere Dimensionen besitzen. Die Anzahl der Dimensionen findet sich im Attribut ndim, shape beschreibt die Form durch ein Tupel. Python-Interpreter >>> x = np.array( ((11,12,13), (21,22,23), (31,32,33), (41,42,43) ) ) >>> print(x) [[ ] [ ] [ ] [ ]] 9 / 28
31 Mehrdimensionale Arrays Arrays können mehrere Dimensionen besitzen. Die Anzahl der Dimensionen findet sich im Attribut ndim, shape beschreibt die Form durch ein Tupel. Python-Interpreter >>> x = np.array( ((11,12,13), (21,22,23), (31,32,33), (41,42,43) ) ) >>> print(x) [[ ] [ ] [ ] [ ]] 9 / 28
32 Mehrdimensionale Arrays Arrays können mehrere Dimensionen besitzen. Die Anzahl der Dimensionen findet sich im Attribut ndim, shape beschreibt die Form durch ein Tupel. Python-Interpreter >>> x = np.array( ((11,12,13), (21,22,23), (31,32,33), (41,42,43) ) ) >>> print(x) [[ ] [ ] [ ] [ ]] >>> x.ndim 2 9 / 28
33 Mehrdimensionale Arrays Arrays können mehrere Dimensionen besitzen. Die Anzahl der Dimensionen findet sich im Attribut ndim, shape beschreibt die Form durch ein Tupel. Python-Interpreter >>> x = np.array( ((11,12,13), (21,22,23), (31,32,33), (41,42,43) ) ) >>> print(x) [[ ] [ ] [ ] [ ]] >>> x.ndim 2 >>> x.shape (4, 3) >>> print(x[3][1], x[3, 1] / 28
34 Slicing von Arrays Ähnlich wie bei Listen funktioniert auch in das slicen von Arrays. 10 / 28
35 Slicing von Arrays Ähnlich wie bei Listen funktioniert auch in das slicen von Arrays. Das funktioniert auch über mehrere Dimensionen. 10 / 28
36 Slicing von Arrays Ähnlich wie bei Listen funktioniert auch in das slicen von Arrays. Das funktioniert auch über mehrere Dimensionen. Allerdings werden keine Kopien erzeugt sondern Views auf das Originalobjekt. 10 / 28
37 Slicing von Arrays Ähnlich wie bei Listen funktioniert auch in das slicen von Arrays. Das funktioniert auch über mehrere Dimensionen. Allerdings werden keine Kopien erzeugt sondern Views auf das Originalobjekt. Python-Interpreter >>> y = x[:2,:1] >>> print(y) [[11] [21]] 10 / 28
38 Slicing von Arrays Ähnlich wie bei Listen funktioniert auch in das slicen von Arrays. Das funktioniert auch über mehrere Dimensionen. Allerdings werden keine Kopien erzeugt sondern Views auf das Originalobjekt. Python-Interpreter >>> y = x[:2,:1] >>> print(y) [[11] [21]] 10 / 28
39 Slicing von Arrays Ähnlich wie bei Listen funktioniert auch in das slicen von Arrays. Das funktioniert auch über mehrere Dimensionen. Allerdings werden keine Kopien erzeugt sondern Views auf das Originalobjekt. Python-Interpreter >>> y = x[:2,:1] >>> print(y) [[11] [21]] >>> y[0,0] = 100 >>> print(x) [[ ] [ ] [ ] [ ]] 10 / 28
40 Arrays flach klopfen Mehrdimensionale Arrays können in 1-D Arrays transformiert werden. 11 / 28
41 Arrays flach klopfen Mehrdimensionale Arrays können in 1-D Arrays transformiert werden. Dazu gibt es zwei Methoden: flatten() und ravel(). 11 / 28
42 Arrays flach klopfen Mehrdimensionale Arrays können in 1-D Arrays transformiert werden. Dazu gibt es zwei Methoden: flatten() und ravel(). flatten erstellt eine Kopie, ravel gibt einen View. 11 / 28
43 Arrays flach klopfen Mehrdimensionale Arrays können in 1-D Arrays transformiert werden. Dazu gibt es zwei Methoden: flatten() und ravel(). flatten erstellt eine Kopie, ravel gibt einen View. Python-Interpreter >>> x.ravel() array([100, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33, 41, 42, 43]) >>> x.flatten() array([100, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33, 41, 42, 43]) >>> x.ravel()[-1] = 0; x.flatten()[-2] = 0 >>> print(x) [[ ] [ ] [ ] [ ]] 11 / 28
44 Arrays umdimensionieren Arrays können mit der Methode reshape() umdimensioniert werden, wobei wieder nur ein View erzeugt wird, keine Kopie! 12 / 28
45 Arrays umdimensionieren Arrays können mit der Methode reshape() umdimensioniert werden, wobei wieder nur ein View erzeugt wird, keine Kopie! Python-Interpreter >>> x = np.array(range(24)) >>> y = x.reshape((2, 4, 3)) >>> print(y) [[[ 0 1 2] [ 3 4 5] [ 6 7 8] [ ]] [[ ] [ ] [ ] [ ]]] 12 / 28
46 Arrays konkatenieren Arrays können hintereinander gehängt werden. Dabei gibt das optionale, benannte axis-argument an, in welcher Achse aneinander gehängt werden soll (Default: 0) 13 / 28
47 Arrays konkatenieren Arrays können hintereinander gehängt werden. Dabei gibt das optionale, benannte axis-argument an, in welcher Achse aneinander gehängt werden soll (Default: 0) Python-Interpreter >>> x = np.array((11, 22)) >>> y = np.array((41, 42)) >>> np.concatenate((x,y)) array([11, 22, 41, 42]) 13 / 28
48 Arrays konkatenieren Arrays können hintereinander gehängt werden. Dabei gibt das optionale, benannte axis-argument an, in welcher Achse aneinander gehängt werden soll (Default: 0) Python-Interpreter >>> x = np.array((11, 22)) >>> y = np.array((41, 42)) >>> np.concatenate((x,y)) array([11, 22, 41, 42]) 13 / 28
49 Arrays konkatenieren Arrays können hintereinander gehängt werden. Dabei gibt das optionale, benannte axis-argument an, in welcher Achse aneinander gehängt werden soll (Default: 0) Python-Interpreter >>> x = np.array((11, 22)) >>> y = np.array((41, 42)) >>> np.concatenate((x,y)) array([11, 22, 41, 42]) >>> x = np.array(((11, 22),(33,44))) >>> y = np.array(((99,), (100,))) >>> np.concatenate((x,y), axis=1) array([[ 11, 22, 99], [ 33, 44, 100]]) 13 / 28
50 Matritzenarithmetik Innerhalb von NumPy kann man Matritzenarithmetik betreiben. 14 / 28
51 Matritzenarithmetik Innerhalb von NumPy kann man Matritzenarithmetik betreiben. Die arithmetischen Standardoperationen +,,, /, //, und % werden elementweise angewendet. 14 / 28
52 Matritzenarithmetik Innerhalb von NumPy kann man Matritzenarithmetik betreiben. Die arithmetischen Standardoperationen +,,, /, //, und % werden elementweise angewendet. Python-Interpreter >>> y = np.array([1, 5, 2]) >>> y = np.array([7, 4, 1]) >>> x + y array([8, 9, 3]) 14 / 28
53 Matritzenarithmetik Innerhalb von NumPy kann man Matritzenarithmetik betreiben. Die arithmetischen Standardoperationen +,,, /, //, und % werden elementweise angewendet. Python-Interpreter >>> y = np.array([1, 5, 2]) >>> y = np.array([7, 4, 1]) >>> x + y array([8, 9, 3]) 14 / 28
54 Matritzenarithmetik Innerhalb von NumPy kann man Matritzenarithmetik betreiben. Die arithmetischen Standardoperationen +,,, /, //, und % werden elementweise angewendet. Python-Interpreter >>> y = np.array([1, 5, 2]) >>> y = np.array([7, 4, 1]) >>> x + y array([8, 9, 3]) >>> x * y array([ 7, 20, 2]) 14 / 28
55 Matritzenarithmetik Innerhalb von NumPy kann man Matritzenarithmetik betreiben. Die arithmetischen Standardoperationen +,,, /, //, und % werden elementweise angewendet. Python-Interpreter >>> y = np.array([1, 5, 2]) >>> y = np.array([7, 4, 1]) >>> x + y array([8, 9, 3]) >>> x * y array([ 7, 20, 2]) >>> x / y array([0, 1, 2]) 14 / 28
56 Matritzenarithmetik Innerhalb von NumPy kann man Matritzenarithmetik betreiben. Die arithmetischen Standardoperationen +,,, /, //, und % werden elementweise angewendet. Python-Interpreter >>> y = np.array([1, 5, 2]) >>> y = np.array([7, 4, 1]) >>> x + y array([8, 9, 3]) >>> x * y array([ 7, 20, 2]) >>> x / y array([0, 1, 2]) >>> x % y array([1, 1, 0]) 14 / 28
57 Vektoraddition und -subtraktion Vektoren im euklidischen Raum (2 oder 3-elementige Arrays) kann man addieren und subtrahieren. 15 / 28
58 Vektoraddition und -subtraktion Vektoren im euklidischen Raum (2 oder 3-elementige Arrays) kann man addieren und subtrahieren. Python-Interpreter >>> x = np.array([3,2]) >>> y = np.array([5,1]) >>> z = x + y >>> z array([8, 3]) >>> z = x - y >>> z array([-2, 1]) 15 / 28
59 Skalarprodukt Das Skalarprodukt oder innere Produkt ist die Summe der Produkte der Komponenten mit gleichem Index: a b = n a i b i i=1 16 / 28
60 Skalarprodukt Das Skalarprodukt oder innere Produkt ist die Summe der Produkte der Komponenten mit gleichem Index: a b = n a i b i i=1 Der Betrag eines Vektors a ergibt sich dann a = a a. 16 / 28
61 Skalarprodukt Das Skalarprodukt oder innere Produkt ist die Summe der Produkte der Komponenten mit gleichem Index: a b = n a i b i i=1 Der Betrag eines Vektors a ergibt sich dann a = a a. Python-Interpreter >>> x = np.array([1,2,3]) >>> y = np.array([-7,8,9]) >>> np.dot(x,y) 36 >>> np.sqrt(np.dot(x,x)) / 28
62 Kreuzprodukt / Vektorprodukt Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor, der senkrecht auf den beiden Vektoren steht mit einer bestimmten Länge: a b = ( a b sin ( a, b)) n, wobei n der zu a und b senkrechte Einheitsvektor ist (Rechte-Hand-Regel). 17 / 28
63 Kreuzprodukt / Vektorprodukt Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor, der senkrecht auf den beiden Vektoren steht mit einer bestimmten Länge: a b = ( a b sin ( a, b)) n, wobei n der zu a und b senkrechte Einheitsvektor ist (Rechte-Hand-Regel). Python-Interpreter >>> x = np.array([0,0,1]) >>> y = np.array([0,1,0]) >>> np.cross(x,y) array([-1, 0, 0]) >>> np.cross(y,x) array([1, 0, 0]) 17 / 28
64 Die Matrix-Klasse Die Matrix-Klasse ist eine Unterklasse von ndarrays. 18 / 28
65 Die Matrix-Klasse Die Matrix-Klasse ist eine Unterklasse von ndarrays. Die Instanzen dieser Klasse haben alle 2 Dimensionen. 18 / 28
66 Die Matrix-Klasse Die Matrix-Klasse ist eine Unterklasse von ndarrays. Die Instanzen dieser Klasse haben alle 2 Dimensionen. Außerdem bezeichnet dann das Matrix-Produkt (inneres Produkt für Matrizen!) einer l m-matrix mit einer m n-matrix, die eine l n-matrix wie folgt ergibt: c ij = m k=1 a ik b kj 18 / 28
67 Die Matrix-Klasse Die Matrix-Klasse ist eine Unterklasse von ndarrays. Die Instanzen dieser Klasse haben alle 2 Dimensionen. Außerdem bezeichnet dann das Matrix-Produkt (inneres Produkt für Matrizen!) einer l m-matrix mit einer m n-matrix, die eine l n-matrix wie folgt ergibt: c ij = m k=1 a ik b kj Python-Interpreter >>> x = np.array( ((2,3), (3, 5)) ) >>> y = np.array( ((1,2), (5, -1)) ) >>> print(x * y) [[ 2 6] [15-5]] >>> x = np.matrix( ((2,3), (3, 5)) ) >>> y = np.matrix( ((1,2), (5, -1)) ) >>> x * y matrix([[17, 1], 18 / 28
68 Inverse Matrix Mithilfe von.linalg.inv kann man eine quadratische Matrix invertieren (wenn sie invertierbar ist) 19 / 28
69 Inverse Matrix Mithilfe von.linalg.inv kann man eine quadratische Matrix invertieren (wenn sie invertierbar ist) Dann gilt: A A 1 = E, wobei E die Einheitsmatrix ist (nur die nur Nullen besitzt außer auf der Hauptdiagonalen, wo sie Einsen hat). 19 / 28
70 Inverse Matrix Mithilfe von.linalg.inv kann man eine quadratische Matrix invertieren (wenn sie invertierbar ist) Dann gilt: A A 1 = E, wobei E die Einheitsmatrix ist (nur die nur Nullen besitzt außer auf der Hauptdiagonalen, wo sie Einsen hat). Die Einheitsmatrix erhält man mit.eye(dim). 19 / 28
71 Inverse Matrix Mithilfe von.linalg.inv kann man eine quadratische Matrix invertieren (wenn sie invertierbar ist) Dann gilt: A A 1 = E, wobei E die Einheitsmatrix ist (nur die nur Nullen besitzt außer auf der Hauptdiagonalen, wo sie Einsen hat). Die Einheitsmatrix erhält man mit.eye(dim). Python-Interpreter >>> np.eye(2) array([[ 1., 0.], [ 0., 1.]]) >>> a = np.mat(((3, 5, 1), (1, -1, 2), (2, 0, -1))) >>> a * np.linalg.inv(a) matrix([[ e+00, e-17, e+00], [ e-17, e+00, e-17], [ e-17, e-17, e+00]]) 19 / 28
72 Lineare Gleichungssysteme (1) In dem linalg-paket gibt es eine große Menge von weiteren interessanten Funktionen. 20 / 28
73 Lineare Gleichungssysteme (1) In dem linalg-paket gibt es eine große Menge von weiteren interessanten Funktionen. Unter anderem können lineare Gleichungssysteme gelöst werden. 20 / 28
74 Lineare Gleichungssysteme (1) In dem linalg-paket gibt es eine große Menge von weiteren interessanten Funktionen. Unter anderem können lineare Gleichungssysteme gelöst werden. Beispielsystem: 4x 1 2x 2 + 7x 3 = 7 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 12 x 1 + 2x 2 + 5x 3 2x 4 = 8 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = / 28
75 Lineare Gleichungssysteme (1) In dem linalg-paket gibt es eine große Menge von weiteren interessanten Funktionen. Unter anderem können lineare Gleichungssysteme gelöst werden. Beispielsystem: 4x 1 2x 2 + 7x 3 = 7 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 12 x 1 + 2x 2 + 5x 3 2x 4 = 8 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 14 Solch ein System kann man unter Benutzung der Matrix-Vektor-Multiplikation schreiben als A x = b. 20 / 28
76 Lineare Gleichungssysteme (1) In dem linalg-paket gibt es eine große Menge von weiteren interessanten Funktionen. Unter anderem können lineare Gleichungssysteme gelöst werden. Beispielsystem: 4x 1 2x 2 + 7x 3 = 7 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 12 x 1 + 2x 2 + 5x 3 2x 4 = 8 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 14 Solch ein System kann man unter Benutzung der Matrix-Vektor-Multiplikation schreiben als A x = b. Dann können wir das System.linalg.solve() übergeben. 20 / 28
77 Lineare Gleichungssysteme (2) Unser Gleichungssystem in Matrix-Vektor-Multiplikations-Schreibweise: x 1 x 2 x 3 x 4 = / 28
78 Lineare Gleichungssysteme (2) Unser Gleichungssystem in Matrix-Vektor-Multiplikations-Schreibweise: x 1 x 2 x 3 x 4 = Python-Interpreter >>> A = np.array(((4,-2,7,0), (-1,5,3,2), (-1,2,5,-2), (1,2,3,4))) >>> b = np.array((-7,12,-8,14)) >>> np.linalg.solve(a, b) array([1., 2., -1., 3.]) 21 / 28
79 Polynome Mit NumPy lassen sich auch gut Polynome darstellen, manipulieren und man kann mit ihnen rechnen: Der Datentyp poly1d. 22 / 28
80 Polynome Mit NumPy lassen sich auch gut Polynome darstellen, manipulieren und man kann mit ihnen rechnen: Der Datentyp poly1d. Allgemeine Form: p(x) = 0 i=n = a n x n a 1 x + a 0 22 / 28
81 Polynome Mit NumPy lassen sich auch gut Polynome darstellen, manipulieren und man kann mit ihnen rechnen: Der Datentyp poly1d. Allgemeine Form: p(x) = 0 i=n = a n x n a 1 x + a 0 Wir betrachten p(x) = 3x 2 2x / 28
82 Polynome Mit NumPy lassen sich auch gut Polynome darstellen, manipulieren und man kann mit ihnen rechnen: Der Datentyp poly1d. Allgemeine Form: p(x) = 0 i=n = a n x n a 1 x + a 0 Wir betrachten p(x) = 3x 2 2x 1. Python-Interpreter >>> p = np.poly1d([3,-2,-1]) >>> p(0) 5 22 / 28
83 Polynome Mit NumPy lassen sich auch gut Polynome darstellen, manipulieren und man kann mit ihnen rechnen: Der Datentyp poly1d. Allgemeine Form: p(x) = 0 i=n = a n x n a 1 x + a 0 Wir betrachten p(x) = 3x 2 2x 1. Python-Interpreter >>> p = np.poly1d([3,-2,-1]) >>> p(0) 5 22 / 28
84 Polynome Mit NumPy lassen sich auch gut Polynome darstellen, manipulieren und man kann mit ihnen rechnen: Der Datentyp poly1d. Allgemeine Form: p(x) = 0 i=n = a n x n a 1 x + a 0 Wir betrachten p(x) = 3x 2 2x 1. Python-Interpreter >>> p = np.poly1d([3,-2,-1]) >>> p(0) 5 >>> p(4) / 28
85 Polynome Mit NumPy lassen sich auch gut Polynome darstellen, manipulieren und man kann mit ihnen rechnen: Der Datentyp poly1d. Allgemeine Form: p(x) = 0 i=n = a n x n a 1 x + a 0 Wir betrachten p(x) = 3x 2 2x 1. Python-Interpreter >>> p = np.poly1d([3,-2,-1]) >>> p(0) 5 >>> p(4) 45 >>> np.roots(p)) # Nullstellen array([ 1., ]) 22 / 28
86 Polynome Mit NumPy lassen sich auch gut Polynome darstellen, manipulieren und man kann mit ihnen rechnen: Der Datentyp poly1d. Allgemeine Form: p(x) = 0 i=n = a n x n a 1 x + a 0 Wir betrachten p(x) = 3x 2 2x 1. Python-Interpreter >>> p = np.poly1d([3,-2,-1]) >>> p(0) 5 >>> p(4) 45 >>> np.roots(p)) # Nullstellen array([ 1., ]) >>> p.deriv() # Ableitung poly1d([ 6, -2]) 22 / 28
87 Polynome Mit NumPy lassen sich auch gut Polynome darstellen, manipulieren und man kann mit ihnen rechnen: Der Datentyp poly1d. Allgemeine Form: p(x) = 0 i=n = a n x n a 1 x + a 0 Wir betrachten p(x) = 3x 2 2x 1. Python-Interpreter >>> p = np.poly1d([3,-2,-1]) >>> p(0) 5 >>> p(4) 45 >>> np.roots(p)) # Nullstellen array([ 1., ]) >>> p.deriv() # Ableitung poly1d([ 6, -2]) >>> p.integ() # unbestimmtes Integral poly1d([ 1., -1., -1., 0.]) 22 / 28
88 zeich nen) 23 / 28
89 matplotlib im Einsatz mplbeispiel.py import as np; import scipy as sp import matplotlib as mpl; import matplotlib.pyplot as plt import scipy.misc; import scipy.integrate def f(x): return x**3-10*np.sin(x) - 4 def df(x): return sp.misc.derivative(f, def F(x): return sp.integrate.quad(f, 0, x)[0] X = np.linspace(-3,3, 100) Y = f(x) Y1 = df(x) Y2 = F(X) plt.plot(x, Y, linewidth=2, label="f") plt.plot(x, Y1, linewidth=2, linestyle="dashed", label="f ") plt.plot(x, Y2, linewidth=2, linestyle="dotted", label="f") plt.legend() plt.show() 24 / 28
90 Ausgabe der Plot-Funktion 25 / 28
91 Die Funktionsdefinitionen Die Funktion f() ist nicht weiter ungewöhnlich, außer dass sie statt math.sin() die Funktion.sin() nutzt (wird gleich erklärt). 26 / 28
92 Die Funktionsdefinitionen Die Funktion f() ist nicht weiter ungewöhnlich, außer dass sie statt math.sin() die Funktion.sin() nutzt (wird gleich erklärt). Die Funktion df() berechnet die erste Ableitung von f an der Stelle x mit Hilfe der scipy-funktion scipy.misc.derivative(). 26 / 28
93 Die Funktionsdefinitionen Die Funktion f() ist nicht weiter ungewöhnlich, außer dass sie statt math.sin() die Funktion.sin() nutzt (wird gleich erklärt). Die Funktion df() berechnet die erste Ableitung von f an der Stelle x mit Hilfe der scipy-funktion scipy.misc.derivative(). Die Funktion F() berechnet den Wert des bestimmten Integrals von 0 bis x über f mit Hilfe der scipy-funktion scipy.integrate.quad(). Diese Funktion liefert ein Paar bestehend aus dem Näherungswertes des Integrals ist und einer oberen Schranke für den Approximationsfehler. 26 / 28
94 Vektorisierung X ist ein Array der Länge 100, das von -3 bis +3 läuft: array([-3., , ,..., 3.]) 27 / 28
95 Vektorisierung X ist ein Array der Länge 100, das von -3 bis +3 läuft: array([-3., , ,..., 3.]) Interessanterweise werden die für Zahlen definierten Funktionen auf dieses Array angewandt! 27 / 28
96 Vektorisierung X ist ein Array der Länge 100, das von -3 bis +3 läuft: array([-3., , ,..., 3.]) Interessanterweise werden die für Zahlen definierten Funktionen auf dieses Array angewandt! Das funktioniert, da alle arithmetischen Operationen und die von bereit gestellten Operationen und Funktionen auch Vektoren nehmen und verarbeiten können. 27 / 28
97 Vektorisierung X ist ein Array der Länge 100, das von -3 bis +3 läuft: array([-3., , ,..., 3.]) Interessanterweise werden die für Zahlen definierten Funktionen auf dieses Array angewandt! Das funktioniert, da alle arithmetischen Operationen und die von bereit gestellten Operationen und Funktionen auch Vektoren nehmen und verarbeiten können. Für die Stammfunktion F geht das nicht. Aber hier vektorisiert der Dekorator.vectorize die Funktion! 27 / 28
98 Vektorisierung X ist ein Array der Länge 100, das von -3 bis +3 läuft: array([-3., , ,..., 3.]) Interessanterweise werden die für Zahlen definierten Funktionen auf dieses Array angewandt! Das funktioniert, da alle arithmetischen Operationen und die von bereit gestellten Operationen und Funktionen auch Vektoren nehmen und verarbeiten können. Für die Stammfunktion F geht das nicht. Aber hier vektorisiert der Dekorator.vectorize die Funktion! Dies ist langsamer als die eingebaute Unterstützung. 27 / 28
99 Visualisierung Mit matplotlib.pyplot.plot kann man beliebige Daten visualisieren. 28 / 28
100 Visualisierung Mit matplotlib.pyplot.plot kann man beliebige Daten visualisieren. Übergibt man eine einfach eine Liste oder ein Array von Zahlen, so werden diese als der Indizes (0, 1,... ) aufgefasst werden. 28 / 28
101 Visualisierung Mit matplotlib.pyplot.plot kann man beliebige Daten visualisieren. Übergibt man eine einfach eine Liste oder ein Array von Zahlen, so werden diese als der Indizes (0, 1,... ) aufgefasst werden. Übergibt man zwei gleich lange Listen oder Arrays, wird die erste Liste als X-Werte interpretiert. 28 / 28
102 Visualisierung Mit matplotlib.pyplot.plot kann man beliebige Daten visualisieren. Übergibt man eine einfach eine Liste oder ein Array von Zahlen, so werden diese als der Indizes (0, 1,... ) aufgefasst werden. Übergibt man zwei gleich lange Listen oder Arrays, wird die erste Liste als X-Werte interpretiert. Mit den benannten Parametern linewidth, linestyle, label kann man die verschiedenen Kurven unterscheidbar gestalten. 28 / 28
103 Visualisierung Mit matplotlib.pyplot.plot kann man beliebige Daten visualisieren. Übergibt man eine einfach eine Liste oder ein Array von Zahlen, so werden diese als der Indizes (0, 1,... ) aufgefasst werden. Übergibt man zwei gleich lange Listen oder Arrays, wird die erste Liste als X-Werte interpretiert. Mit den benannten Parametern linewidth, linestyle, label kann man die verschiedenen Kurven unterscheidbar gestalten. matplotlib.pyplot.legend() erzeugt eine Legende. 28 / 28
104 Visualisierung Mit matplotlib.pyplot.plot kann man beliebige Daten visualisieren. Übergibt man eine einfach eine Liste oder ein Array von Zahlen, so werden diese als der Indizes (0, 1,... ) aufgefasst werden. Übergibt man zwei gleich lange Listen oder Arrays, wird die erste Liste als X-Werte interpretiert. Mit den benannten Parametern linewidth, linestyle, label kann man die verschiedenen Kurven unterscheidbar gestalten. matplotlib.pyplot.legend() erzeugt eine Legende. matplotlib.pylib.show() erzeugt dann ein Ausgabefenster mit allen Kurven, da in den verschiedensten Grafik-Formaten gespeichert werden kann. 28 / 28
105 Ausblick SciPy bietet zusammen mit allen dazugehörigen Modulen eine sehr komfortable und effiziente Umgebung für wissenschaftliches Rechnen ähnlich zu MATLAB u.ä. Systemen. Der Array-Datentyp ist extrem effizient implementiert. Arrays erlauben eine große Menge wichtiger Matrix-Operationen. Die Vektorisierung erlaubt es, schnell für große Bereiche von Werten zu erzeugen und dann mit Hilfe von matplotlib zu visualisieren. Es gibt in SciPy jede Menge von Optimierungsverfahren und Solvern, die man einsetzen kann. 29 / 28
WiMa-Praktikum 1. Woche 8
WiMa-Praktikum 1 Universität Ulm, Sommersemester 2017 Woche 8 Lernziele In diesem Praktikum sollen Sie üben und lernen: Besonderheiten der For-Schleife in Matlab Wiederholung des Umgangs mit Matrizen und
2D - Plotten / Visualisierung
Fakultät Maschinenwesen Institut für Verarbeitungsmaschinen und mobile Arbeitsmaschinen 2D - Plotten / Visualisierung mit numpy und matplotlib 06.06.2011 Sebastian Voigt Wie was wo warum? Visualisierung
3 Matrizenrechnung. 3. November
3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige
Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
Kapitel 11 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Ein lineares Gleichungssystem (lgs) mit m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x 1, x 2,..., x n hat die Gestalt: Mit a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem
Bau und Gestaltung, Mathematik, T. Borer Aufgaben /3 Aufgaben Matrizen Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem Lernziele - die Bezeichnung der Matrixelemente kennen und verstehen. - den
Zugriff auf Matrizen. Anhängen von Elementen. Punktweise Operatoren. Vektoren und Matrizen in MATLAB II
Zugriff auf Matrizen. Anhängen von Elementen. Punktweise Operatoren. Vektoren und Matrizen in MATLAB II Matrixzugriff Wir wollen nun unsere Einführung in die Arbeit mit Vektoren und Matrizen in MATLAB
Matrizen. Jörn Loviscach. Versionsstand: 12. April 2010, 19:00 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung.
Matrizen Jörn Loviscach Versionsstand: 12. April 2010, 19:00 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. 1 Matrix Ein rechteckige Anordnung von mathematischen Objekten
Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 5 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe. Skalarprodukt und Orthogonalität.a) Bezüglich des euklidischen
1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2.
Definition Die rechteckige Anordnung von m n Elementen a ij in m Zeilen und n Spalten heißt m n- Matrix. Gewöhnlich handelt es sich bei den Elementen a ij der Matrix um reelle Zahlen. Man nennt das Paar
Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme
Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n
Wir konstruieren eine Wasserrutsche!
Wir konstruieren eine Wasserrutsche! Teilnehmer: Leo Graumann Anh Vu Ho Yiyang Huang Felix Jäger Charlotte Kappler Wilhelm Mebus Alice Wamser Gruppenleiter: René Lamour Caren Tischendorf Heinrich-Hertz-Oberschule,
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass
Einführung in numerische Simulation mit Python
Einführung in numerische Simulation mit Python Alexander Schlemmer, Jan Schumann-Bischoff, Tariq Baig Max-Planck-Institut für Dynamik und Selbstorganisation, Biomedizinische Physik Nichtlineare Dynamik
Serie 10: Inverse Matrix und Determinante
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die
Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor)
Matrizenrechnung. Matrizen Matrizen sind bereits im Kapitel Lineare Gleichungssysteme aufgetreten. Unter einer (m n) -Matrix A verstehen wir ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten. Der.
Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem
Bau und Gestaltung, Mathematik, T. Borer Aufgaben / Aufgaben Matrizen Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem Lernziele - die Bezeichnung der Matrixelemente kennen und verstehen. - den
Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.
Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen
R-Wörterbuch Ein Anfang... ein Klick auf einen Begriff führt, sofern vorhanden, zu dessen Erklärung.
R-Wörterbuch Ein Anfang... ein Klick auf einen Begriff führt, sofern vorhanden, zu dessen Erklärung. Carsten Szardenings c.sz@wwu.de 7. Mai 2015 A 2 B 3 C 4 D 5 F 6 R 16 S 17 V 18 W 19 Z 20 H 7 I 8 K 9
Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix
Inhaltsverzeichnis Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix Auf dieser Seite werden Matrizen und Vektoren fett gedruckt, um sie von Zahlen zu unterscheiden. Betrachtet wird das
Matrizen und Determinanten, Aufgaben
Matrizen und Determinanten, Aufgaben Inhaltsverzeichnis 1 Multiplikation von Matrizen 1 11 Lösungen 3 2 Determinanten 6 21 Lösungen 7 3 Inverse Matrix 8 31 Lösungen 9 4 Matrizengleichungen 11 41 Lösungen
1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat.
1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit
9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
Kapitel 1. Vektoren und Matrizen. 1.1 Vektoren
Kapitel 1 Vektoren und Matrizen In diesem Kapitel stellen wir die Hilfsmittel aus der linearen Algebra vor, die in den folgenden Kapiteln öfters benötigt werden. Dabei wird angenommen, dass Sie die elementaren
4.4. Rang und Inversion einer Matrix
44 Rang und Inversion einer Matrix Der Rang einer Matrix ist die Dimension ihres Zeilenraumes also die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen Daß der Rang sich bei elementaren Zeilenumformungen nicht ändert
Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,
Tutorium: Diskrete Mathematik. Matrizen
Tutorium: Diskrete Mathematik Matrizen Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de Definition I Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen, mit denen man in bestimmter
De Taschäräschnr Casio (Reihe: 9860G)
De Taschäräschnr Casio (Reihe: 9860G) Übersicht: 1. Nullstellen 2. Gleichungen 2. oder 3. Grades lösen 3. Gleichungen lösen 4. Schnittpunkte bestimmen 5. Extrempunkte 6. Wendepunkte 7. Steigung einer Funktion
(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)
(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:
8 Lineare Abbildungen und Matrizen
8 Lineare Abbildungen und Matrizen 8.1 Lineare Abbildungen Wir beschäftigen uns nun mit Abbildungen zwischen linearen Räumen. Von besonderem Interesse sind Abbildungen, die die Struktur der linearen Räume
Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag
Brückenkurs Mathematik Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016 Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag 10.10.2016 0 Brückenkurs
MATRIZEN. Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, als ein Schema betrachtet. a 11 a a 1n a 21. a a 2n A = a m1 a m2...
MATRIZEN Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, als ein Schema betrachtet A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn A ist eine m n Matrix, dh: A hat m Zeilen und n Spalten A besitzt
Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D.
Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 5 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe..a Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion
Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen
Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen
MLAN1 1 MATRIZEN 1 0 = A T =
MLAN1 1 MATRIZEN 1 1 Matrizen Eine m n Matrix ein rechteckiges Zahlenschema a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a m1 a m2 a m3 amn mit m Zeilen und n Spalten bestehend aus m n Zahlen Die Matrixelemente
Skript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014
Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 2. Oktober 2014 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................
Computergrafik 2: Übung 1. Eclipse, PyDev, NumPy, Matplotlib
Computergrafik 2: Übung 1 Eclipse, PyDev, NumPy, Matplotlib Überblick 1. Einrichten der Entwicklungsumgebung 2. Python-Techniken 3. Bildverarbeitung Numpy und Matplotlib Übung Computergrafik 2 SS2012 2
Analytische Geometrie mit dem Voyage 1
Analytische Geometrie mit dem Voyage. Vektoren Vektoren lassen sich definieren in eckigen Klammern. Setzt man ein Semikolon zwischen die einzelnen Komponenten, so ergibt sich ein Spaltenvektor. Ein Spaltenvektor
Einführung in MATLAB Blockkurs DLR:
Einführung in MATLAB Blockkurs DLR: 19.4-22.4.24 Tag 1, 2.Teil Vektoren und Matrizen 19.4.24 Dr. Gerd Rapin grapin@math.uni-goettingen.de Gerd Rapin Einführung in MATLAB p.1/2 Matrizen und Vektoren Erzeugen
Matrizen spielen bei der Formulierung ökonometrischer Modelle eine zentrale Rolle: kompakte, stringente Darstellung der Modelle
2. Matrixalgebra Warum Beschäftigung mit Matrixalgebra? Matrizen spielen bei der Formulierung ökonometrischer Modelle eine zentrale Rolle: kompakte, stringente Darstellung der Modelle bequeme mathematische
a b Q = b a 0 ) existiert ein Element p Q, so dass gilt: q 1 q 2 = 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a b p = 1 det(q) C 2 2,
Aufgabe I Es sei Q die folgende Teilmenge von C 2 2 : { ( ) a b Q a, b C b a Hier bezeichnet der Querstrich die komplexe Konjugation Zeigen Sie: (a) Mit den üblichen Verknüpfungen + und für Matrizen ist
Software und Visualisierungen. Erich Schubert, Dr. Arthur Zimek. 2013-0X-XX KDD Übung
Software und Visualisierungen Erich Schubert, Dr. Arthur Zimek Ludwig-Maximilians-Universität München 2013-0X-XX KDD Übung Ein recht einfacher Datensatz, online unter: http://aima.cs.berkeley.edu/data/iris.csv
5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform
Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n
Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth
Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter
Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte
: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b
Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante
4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer
Physik auf dem Computer Wiederholung: Python, NumPy und C
Physik auf dem Computer Wiederholung: Python, NumPy und C Axel Arnold Olaf Lenz Institut für Computerphysik Universität Stuttgart Sommersemester 2012 Python Wiederholung der wichtigsten Eckpunkte interpretierte
Kapitel 16. Invertierbare Matrizen
Kapitel 16. Invertierbare Matrizen Die drei Schritte des Gauß-Algorithmus Bringe erweiterte Matrix [A b] des Gleichungssystems A x auf Zeilenstufenform [A b ]. Das System A x = b ist genau dann lösbar,
Grundsätzliches Rechnen mit Matrizen Anwendungen. Matrizenrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015
Matrizenrechnung Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Übersicht Grundsätzliches 1 Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen 2 Matrizenrechnung Determinanten
4.1. Vektorräume und lineare Abbildungen
4.1. Vektorräume und lineare Abbildungen Mengen von Abbildungen Für beliebige Mengen X und Y bezeichnet Y X die Menge aller Abbildungen von X nach Y (Reihenfolge beachten!) Die Bezeichnungsweise erklärt
Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:
Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben
44 Orthogonale Matrizen
44 Orthogonale Matrizen 44.1 Motivation Im euklidischen Raum IR n haben wir gesehen, dass Orthonormalbasen zu besonders einfachen und schönen Beschreibungen führen. Wir wollen das Konzept der Orthonormalität
Beispiele 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix (A
133 e 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 2. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 Schritte des
Matrizen. Spezialfälle. Eine m nmatrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit. m Zeilen und n Spalten der Form. A = (a ij ) =
Matrizen Eine m nmatrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten der Form a 11 a 12 a 1n A = a ij = a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Dabei sind m und n natürliche und die Koezienten a
Einführung in Matlab Was ist MATLAB? Hilfe Variablen
Einführung in Matlab Was ist MATLAB? MATLAB (Matrix Laboratory) ist eine interaktive Interpreter-Sprache, die einen einfachen Zugang zu grundlegenden numerischen Verfahren - wie beispielsweise der Lösung
MC-Serie 11: Eigenwerte
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 14 Dr. Ana Cannas MC-Serie 11: Eigenwerte Einsendeschluss: 12. Dezember 2014 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung
1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema
1 Lineare Algebra 1.1 Matrizen und Vektoren Slide 3 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und
2 Die Algebra der Matrizen
Die Algebra der Matrizen Ein Hauptziel der Vorlesung zur Linearen Algebra besteht darin, Aussagen über die Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme zu machen Etwa ob das Gleichungssystem x y + z 1 x + y
Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen
Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:
Matrizen und Drehungen
Matrizen und Drehungen 20. Noember 2003 Diese Ausführungen sind im wesentlichen dem Skript zur Vorlesung Einführung in die Theoretische Physik I und II on PD Dr. Horst Fichtner entnommen. Dieses entstand
Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme
Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren
Einführung in die Java- Programmierung
Einführung in die Java- Programmierung Dr. Volker Riediger Tassilo Horn riediger horn@uni-koblenz.de WiSe 2012/13 1 Rückblick Schleifen while do-while for Methoden Verfahren: Intervallschachtelung 2 Wo
Computergestützte Datenauswertung
Vorlesung: Computergestützte Datenauswertung Programmierung mit Python Günter Quast Fakultät für Physik Institut für Experimentelle Kernphysik KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales
SciPy Tuebix 2015. June 18, 2015
SciPy Tuebix 2015 June 18, 2015 1 Einführung in SciPy und SymPy Peter Hrenka, TÜBIX 2015 Repository auf github 1.1 1. IPython Grundlagen IPython ist eine interaktive Shell für Python. Startet man IPython
Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.1 Reelle Matrizen
Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 81 Reelle Matrizen Prof Dr Erich Walter Farkas http://wwwmathethzch/ farkas 1 / 31 1 2 3 4 2 / 31 Transponierte einer Matrix 1 Transponierte
Arbeitsblatt 1 Einführung in die Vektorrechnung
Arbeitsblatt Einführung in die Vektorrechnung Allgemein Vektoren sind physikalische Größen und durch ihre Richtung und ihren Betrag festgelegt. Geometrisch wird ein Vektor durch einen Pfeil dargestellt,
Lineare Algebra. Gymnasium Immensee SPF PAM. Bettina Bieri
Lineare Algebra Gymnasium Immensee SPF PAM Bettina Bieri 6. Oktober 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Matrizen 1 1.1 Einleitung............................. 1 1.2 Der Begriff Matrix........................ 1 1.2.1
i) ii) iii) iv) i) ii) iii) iv) v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung): Winkel zwischen zwei Vektoren : - Für schreibt man auch.
Abbildungen Rechnen Matrizen Rechnen Vektoren Äquivalenzrelation Addition: Skalarmultiplikation: Skalarprodukt: Länge eines Vektors: Vektorprodukt (im ): i ii i ii v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung):
5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt
5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt Der Begriff der linearen Abhängigkeit ermöglicht die Definition, wann zwei Vektoren parallel sind und wann drei Vektoren in einer Ebene liegen. Daß aber reale
Matrizen und Determinanten
Matrizen und Determinanten 1 Matrizen und Determinanten 1 Einführung in den Matrizenbegriff Zur Beschreibung und Lösung vieler physikalischer Probleme ist die Vektorrechnung vonnöten Durch Verwendung von
Python. und statistische Methoden der Datenanalyse
Python und statistische Methoden der Datenanalyse Python-Grundlagen moderne Hochsprache unterstützt Skripting (Prozeduren u. Funktionen) objektorientiet (Klassen) Funktionale Programmierung (z.b. List-Comprehension)
Zusammenfassung zum Thema Vektor- und Matrizenrechnung
Zusammenfassung zum Thema Vektor- und Matrizenrechnung Mathematischer Vorkurs für Physiker und Naturwissenschaftler WS 2014/2015 Grundbegriffe der Linearen Algebra Viele physikalische Größen (Geschwindigkeit,
y x x y ( 2x 3y + z x + z
Matrizen Aufgabe Sei f R R 3 definiert durch ( ) x 3y x f = x + y y x Berechnen Sie die Matrix Darstellung von f Aufgabe Eine lineare Funktion f hat die Matrix Darstellung A = 0 4 0 0 0 0 0 Berechnen Sie
Lineare Algebra I 8. Übungsblatt - Weihnachtszettel - Lösungen
Prof. Dr. Duco van Straten Blatt 8 - Lösungen Oliver Labs 8. Dezember 2003 Konrad Möhring Lineare Algebra I 8. Übungsblatt - Weihnachtszettel - Lösungen. Skizzieren Sie die folgenden Teilmengen der GAUSSschen
Vektorgeometrie. 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt. 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren. , v. und. gegeben.
Vektorgeometrie 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren u 14, 5 11 10 v 2 und w 5 gegeben. 10 10 a) Zeigen Sie, dass die Vektoren einen Würfel
3. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Mirjam Dür Dipl. Math. Stefan Bundfuss. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker WS 5/6 6. Dezember 5 Gruppenübung Aufgabe G (Basis und Erzeugendensystem) Betrachte
10:Exkurs MATLAB / Octave
10:Exkurs MATLAB / Octave MATLAB (bzw. Octave als freie Version) ist eine numerische Berechnungsumgebung wurde vorrangig zum Rechnen mit Vektoren und Matrizen entworfen ist interaktiv benutzbar, vergleichbar
Wirtschaftsmathematik Formelsammlung
Wirtschaftsmathematik Formelsammlung Binomische Formeln Stand März 2015 (a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) (a b) =a 2 b 2 Fakultät (Faktorielle) n! =1 2 3 4 (n 1) n Intervalle Notation
4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen
4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,
Chr.Nelius : Lineare Algebra II (SS 2005) 1. Wir wollen hier eine Beschreibung des Gauß-Algorithmus mit Hilfe der sog. Elementarmatrizen vornehmen.
ChrNelius : Lineare Algebra II (SS 2005) 1 Einschub A) Elementarmatrizen Wir wollen hier eine Beschreibung des Gauß-Algorithmus mit Hilfe der sog Elementarmatrizen vornehmen (A1) DEF: Seien r, s IN mit
Kapitel 2: Matrizen. 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung
Kapitel 2: Matrizen 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung 2.1 Matrizen M = n = 3 m = 3 n = m quadratisch M ij : Eintrag von M in i-ter
Vektoren. 2.1 Darstellung. Kapitel Subtraktion und Addition
Kapitel 2 Vektoren In diesem Kapitel werden wir im wesentlichen die verschiedenen Formen der Darstellung von Vektoren in MatLab sowie Verknüpfungen zwischen Vektoren betrachten. In letzterem Punkt ist
De Taschäräschnr Casio (Reihe: 9750, 9850,...)
De Taschäräschnr Casio (Reihe: 9750, 9850,...) Übersicht: 1. Nullstellen 2. Gleichungen 2. oder 3. Grades lösen 3. Gleichungen lösen 4. Schnittpunkte bestimmen 5. Extrempunkte 6. Wendepunkte 7. Steigung
Programmierung I Einführung in Python, Beyond the Basics
Höhere Datenstrukturen Programmierung I Einführung in Python, Beyond the Basics G. Zachmann Clausthal University, Germany zach@in.tu-clausthal.de Eines der Features, das Python so mächtig macht (VHLL)
Lineare Gleichungssysteme
Christian Serpé Universität Münster 14. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) 14. September 2011 1 / 56 Gliederung 1 Motivation Beispiele Allgemeines Vorgehen 2 Der Vektorraum R n 3 Lineare
1 ALLGEMEINE HINWEISE Das Fach Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Bisheriger Aufbau der Klausur...
Grundlagen Mathe V Inhaltsverzeichnis 1 ALLGEMEINE HINWEISE... 1-1 1.1 Das Fach Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler... 1-1 1.2 Bisheriger Aufbau der Klausur... 1-1 1.3 Zugelassene Hilfsmittel und
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Wintersemester 2014/15 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax
Überbestimmte Gleichungssysteme
Siebente Vorlesung, 8. Mai 2008, Inhalt Überbestimmte Gleichungssysteme Kleinste Quadrate: einfaches Beispiel, elementare Herleitung Normalengleichungen Transformation mit QR-Zerlegung und SVD Nichtlineare
Brückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt
Elemente der Analysis II
Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel
Lineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 205/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2
Mathematik für Chemische Technologie 2
Mathematik für Chemische Technologie 2 Themenüberblick: Funktionen mehrerer unabhängigen Veränderlichen Vektoralgebra Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Fehlerrechnung Schwerpunkt des Sommersemesters
Ingenieurmathematik mit MATLAB
Dieter Schott Ingenieurmathematik mit MATLAB Algebra und Analysis für Ingenieure Mit 179 Abbildungen, zahlreichen Beispielen, Übungsaufgaben und Lernkontrollen Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag
1 Linearkombinationen
Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 14/15 A 1 Linearkombinationen Unter einer Linearkombination versteht man in der linearen Algebra einen Vektor, der sich durch
Tutorium Mathematik II, M Lösungen
Tutorium Mathematik II, M Lösungen März 03 *Aufgabe Bestimmen Sie durch Hauptachsentransformation Lage und Typ der Kegelschnitte (a) 3x + 4x x + 3x 4x = 0, (b) 3x + 4x x + 3x 4x 6 = 0, (c) 3x + 4x x +
Matrizenoperationen mit FORTRAN
Kapitel 2 Matrizenoperationen mit FORTRAN 21 Grundlagen Bei vielen Anwendungen müssen große zusammenhängende Datenmengen gespeichert und verarbeitet werden Deshalb ist es sinnvoll, diese Daten nicht als
4 Lineare Abbildungen und Matrizen
4.1 Lineare Abbildungen Definition 4.1. Es seien V, W K-Vektorräume. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, wenn für alle u, v V und λ K gilt Beispiel 4.2. L1 f(u + v) = f(u) + f(v),
Vektorräume und Lineare Abbildungen
Vektorräume und Lineare Abbildungen Patricia Doll, Selmar Binder, Lukas Bischoff, Claude Denier ETHZ D-MATL SS 07 11.04.2007 1 Vektorräume 1.1 Definition des Vektorraumes (VR) 1.1.1 Grundoperationen Um
FACHHOCHSCHULE ESSLINGEN - HOCHSCHULE FÜR TECHNIK
FACHHOCHSCHULE ESSLINGEN - HOCHSCHULE FÜR TECHNIK Sommersemester 006 Zahl der Blätter: 5 Blatt 1 s. unten Hilfsmittel: Literatur, Manuskript, keine Taschenrechner und sonstige elektronische Rechner Zeit: