3. Neuronale-Massen-Modelle

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1 3. Neuronale-Massen-Modelle EEG- und MEG-Signale entstehen durch die massiv synchrone Aktivität einer Vielzahl von Pyramidenzellen in der Großhirnrinde. Eine Modellierung von EEG-/MEG-Aktivität auf neuronaler Ebene ist somit sehr komplex. Um das Modell von vornherein zu vereinfachen, werden sog. Neuronale-Massen-Modelle (NMM) verwendet. Diese Modelle beschreiben die mittlere Aktivität von Millionen Neuronen durch wenige Zustandsvariablen. Umfangreiche NMMe modellieren das Zusammenspiel von anregenden und dämpfenden Neuronenpopulationen um Oszillationen entstehen zu lassen [1, 2]. Wir werden uns jedoch hier jedoch darauf beschränken, direkt Oszillationen durch physikalisch motivierte Oszillatoren zu beschreiben. 3.1 Van-der-Pol Oszillator Der Van-der-Pol (VDP) Oszillator ist ein schwingungsfähiges System mit nichtlinearer Dämpfung und Selbsterregung. Für kleine Amplituden ist die Dämpfung negativ (die Amplitude wird vergrößert). Ab einem bestimmten Schwellwert der Amplitude wird die Dämpfung positiv, das System stabilisiert sich und geht in einen Grenzzyklus über. Der VDP Oszillator ist in seiner klassischen Schreibweise durch die nichtlineare, homogene gewöhnliche Differentialgleichung ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) mit dem Dämpfungsparameter gegeben. Lösung der VDP-Gleichung mit Matlab: Matlab bietet numerische Löser für gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung an (ode*-routinen), die VDP Gleichung besitzt jedoch die Ordnung 2. Die Lösung erfolgt durch die Überführung in ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung. Hierfür definieren wir zunächst ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) Durch Differentiation erhalten wir ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ) also ein System aus zwei Gleichungen erster Ordnung. Je nach Wahl des Parameters kann es sich um eine steife Differentialgleichung handeln, was bei der Wahl des numerischen Lösers berücksichtigt werden muss (siehe praktische Übung zum getriebenen VDP Oszillator). 1

2 3.2 Getriebene Oszillatoren (van der Pol) Um das Verhalten eines neuronalen Oszillators unter Einwirkung äußerer Einflüsse zu analysieren, bietet sich als simples Modell ein getriebener Oszillator an. Hierbei wird obige Gleichung zum VDP um die treibende Kraft ( ) erweitert: ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ). Die numerische Betrachtung und die Lösung mit Matlab erfolgen analog. Abbildung 1: (a) normaler VDP Oszillator im eingeschwungenen Zustand; (b) treibende Kraft für getriebenen VDP-Oszillator; (c) Lösung des getriebenen VDP Oszillators. Praktische Übung: Auf der Vorlesungswebsite finden Sie Matlabcode (Paket_VDP.zip) für eine Simulationsoberfläche zur Parameteranpassung. Relevant sind: simulationgui.m startet die Benutzeroberfläche simulationgui.fig Benutzeroberfläche rectforce.m Rechtecksfunktion sinforce.m Sinusfunktion odeforcedvdp.m DGL des getriebenen VDP-Oszillators solvevdp.m Lösungsaufruf Ergänzen Sie in odeforcedvdp.m die Implementierung des VDP-Oszillators und in solvevdp.m den Aufruf zur Lösung der Differentialgleichung. Testen Sie anschließend verschiedene Einstellungen der Parameter und deren Auswirkung auf die Lösung. 2

3 Abbildung 2: Grafische Benutzeroberfläche für die praktische Übung mit Möglichkeiten, die Parameter des Modells entsprechend anzupassen Experimente zum Entrainment (Photic Driving) und Auswertung Bei einem photic driving Experiment wird der Proband einem periodischen optischen Reiz (Flickerlicht) ausgesetzt. Anhand der Reaktion des Gehirns lassen sich Rückschlüsse auf den Gesundheitszustand ableiten sowie Krankheiten wie Epilepsie genau untersuchen. Des Weiteren ermöglicht ein solch isolierter Reiz die Untersuchung des Zusammenspiels verschiedener neuronaler Oszillatoren bei der Verarbeitung visueller Stimulationen. Der Aufbau eines Flickerexperiments ist in Abbildung 3 zu sehen. Der optische Reiz wird in form von LEDs verabreicht und dessen Verarbeitung im Gehirn mit EEG-Elektroden und MEG-Sensoren aufgezeichnet. Abbildung 3: Versuchsaufbau des Flickerexperiments. Proband wird optischem Reiz (Flickerlicht) ausgesetzt. 3

4 Abbildung 4: Wiederholung der Reizgabe um ein Multitrialsignal zu generieren. Reizpakete a 40 Lichtblitze werden im Abstand von 4 Sekunden wiederholt. Abbildung 5: EEG und MEG Signal werden aufgezeichnet und entsprechend der Reizgabe ausgeschnitten. Durch die wiederholte Anwendung des Reizes (hier 20 Blöcke, siehe Abbildung 4) kann ein Multitrialsignal gewonnen werden, welches verschiedene Ausprägungen des zugrunde liegenden Prozesses darstellt. Betrachtet man den Mittelwert über alle Trials, so lässt sich ein starker Amplitudenzuwachs des Mittels nach dem Reizeinsatz feststellen (siehe Abbildung 6). Da die einzelnen Trials jedoch kaum an Amplitude gewinnen, ist der Anstieg des Mittels auf eine Phasensynchronisation zurückzuführen. Abbildung 6: MEG (Bandpass 6-16 Hz) bei Photic Driving. Reiz setzt bei 0 ein. Einzelne Trials synchronisieren sich und führen zu einer erhöhten Amplitude des Mittels. 4

5 Modellierung von Entrainment Das beobachtete Verhalten der MEG- bzw. EEG-Aktivität während photic driving wird nun mittels getriebener VDP-Oszillatoren nachgebildet. Hierzu wird die DGL für randomisierte Startwerte (randomisierte Nullphase einer sinusförmigen Oszillation) wiederholt gelöst. Als treibende Kraft wird ein Rechtecksingal eingesetzt, welches immer zum Zeitpunkt t=0 einsetzt. Der Amplitudeneffekt im Mittel, hervorgerufen durch Phasensynchronisation und durch die verstärkende Kraft, wird sichtbar. Praktische Übung: Im Softwarepaket (Paket_VDP.zip) der Website finden Sie Matlabcode zu dieser Simulation: simulatephoticdriving.m - Simulation Abbildung 7: 30 Trials mit zufälliger Startphase. Als treibende Kraft setzt der Rechtecksimpuls bei 0s ein. Die Mittelung ist in rot dargestellt. 5

6 3.3 Gekoppelte Oszillatoren Zur Modellierung des Zusammenspiels verschiedener neuronaler Oszillatoren werden gekoppelte Oszillatoren betrachtet. Um eventuelle Kopplungseffekte untersuchen zu können, wird zunächst kurz auf die Analyse von Phasenkopplungen eingegangen Phasenkopplungseffekte und deren Analyse Wiederholung: Phasenextraktion durch Hilberttransformation Die Hilberttransformation ist ein geeignetes Mittel um die Phase eines mono-komponenten Signals zu extrahieren. Eine gängige Methode, um ein mono-komponenten Signal zu erhalten, ist das Anwenden eines (schmalbandigen) Bandpassfilters. Das analytische Signal ergibt sich dann zu ( ) ( ) ( ( )) mit der Hilberttransformierten ( ( )) Das Phasensignal erhält man somit durch ( ( )) ( ( ( ))( ) ( ( ))) ( ) ( ). n:m Phasensynchronisation Zwei Signale ( ) ( ) heißen n:m phasensynchron auf [ ], wenn für ihre Phasen gilt: ( ) ( ) [ ] Hierbei müssen n und m natürliche Zahlen (Ganzzahlen) sein, um die Invarianz der Phasendifferenz bei 2 Sprüngen der einzelnen Phasen zu erhalten. Zur Verdeutlichung wird folgendes Beispiel betrachtet: In Abbildung 8 schwingen zwei Oszillationen mit unterschiedlichen Momentanfrequenzen. Außerhalb des mittleren Bereichs verändert die zweite Oszillation ihre Frequenz. Betrachtet man nun die n:m-phasendifferenz, wobei n und m das Verhältnis der konstanten Frequenzen widerspiegelt, so ist dort ein konstanter Verlauf erkennbar im mittleren Abschnitt (untere Grafik) zu sehen. 6

7 Abbildung 8: Künstliches n:m-synchroniebeispiel. Oben ist eine gleichmäßige Schwingung sichtbar. In der Mitte sieht man eine zweite Oszillation, bei der die Frequenz zu Beginn und gegen Ende zunimmt. Die untere Grafik zeigt die resultierende 1:2 Phasendifferenz der zugehörigen Phasensignale. Das Synchrogramm Zur Analyse der n:m Synchronität bei bivariaten Daten bietet sich das sog. Synchrogramm [3] an. Hierbei handelt es sich um eine spezielle Darstellungsform der Phasenbeziehung zwischen zwei Signalen. Das eine Phasensignal dient dabei als Abtasttaktgeber für das zweite Phasensignal. Abbildung 9: Konzept des Synchrogramms: immer wenn phi_1(t) die graue Linie (beliebig gesetzt) überschreitet, wird die Phase phi_2(t) abgelesen und in das Synchrogramm eingetragen. Wann immer die erste Phase einen bestimmten Wert passiert (z.b. die 0) wird die zweite Phase abgelesen und in ein Diagramm eingetragen. Hierbei ist zu beachten, dass die Phasen nicht auf das Intervall [ ], sondern auf die Intervalle [ ] bzw. [ ] normiert werden. Liegt eine Synchronität vor, so ergeben sich auf dem entsprechenden zeitlichen Teilstück des Diagramms eine oder mehrere horizontale Linien bzw. geballte diskrete Werte. Für obiges Beispiel ist das Synchrogramm in Abbildung 10 dargestellt. 7

8 Abbildung 10: Synchrogramm für das Beispiel in Abbildung 8. Zwischen 3000 und 6000 ist die horizontale Linie klar erkennbar. Vorteil des Synchrongramms ist, dass lediglich n oder m vorgegeben werden muss und bei vorhandener Synchronität der zweite Wert aus dem Diagramm abgelesen werden kann. Dies funktioniert jedoch nur, wenn die Synchronität über einige Oszillationen erhalten bleibt, was den Nachteil der Methode darstellt. Des Weiteren gehören Synchrongramme zu den schwer interpretierbaren Grafiken. Quantitative Analyse Da eine grafische Analysemethode wie das Synchrogramm für die Auswertung großer Datenmengen schlecht geeignet ist, wir hier noch eine quantitative Größe vorgestellt [3]. Hierzu wird die n:m Phasendifferenz über die Euler sche Formel für jeden Zeitpunkt auf den Einheitskreis übertragen. Mittelt man anschließend die entstandenen Vektoren und berechnet die Länge des Vektors, so ist diese 1 wenn die n:m Differenz konstant ist und der Erwartungswert tendiert gegen 0 bei zufälliger n:m Phasendifferenz. ( ( ( ) ( ))) Abbildung 11: Mittelung der Phasendifferenzen auf dem Einheitskreis In obiger Formulierung lassen sich lediglich stationäre Synchronitäten erfassen, da der berechnete Index Zeitunabhängig ist (es wird über die gesamt Zeitspanne summiert). Durch den Einsatz eines gleitenden Fensters lässt sich das Konzept jedoch trotzdem verwenden. Für ein Fenster der Breite T ergibt sich der zeitvariante Index ps t durch ( ) ( ( ( ) ( ))) 8

9 berechnen. Für obiges Beispiel und T=2000 ergibt sich dann die Abbildung 12 Abbildung 12: Zeitvarianter Phasensynchronisationsindex Vorteil des Synchronisationsindexes ist, dass auch kurze Synchronitäten erfasst werden können (wenn das Zeitfenster T klein genug ist). Allerdings muss der Parameter T geeignet festgelegt werden, was einen Nachteil darstellt. Bei der Wahl des Parameters gilt: je größer T, desto Aussagekräftiger ist der Index, gleichzeitig geht jedoch die zeitliche Auflösung verloren Modellierung durch gekoppelte Duffing-Oszillatoren Der Duffing-Oszillator ist ein nichtlinearer Oszillator. Er kann als Erweiterung des 2 harmonischen Oszillators ( x t x t 0 ) um eine kubische Rückstellkraft betrachtet werden. Sein Verhalten wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Analog zur Vorgehensweise beim VDP-Oszillator kann auch diese Gleichung zweiter Ordnung als ein System von Gleichungen erster Ordnung geschrieben werden. Als Beispiel finden Sie auf der Website das Paket Paket_Duff.zip mit den Dateien odeforcedduff.m die DGL als System erster Ordnung solveduff.m der Lösungsaufruf rectforce.m Rechteckssignal (ab der 0) als treibende Kraft sinforce.m Sinussignal (ab der 0) als treibende Kraft simulatesingleduffing.m - Simulationsaufruf Um das Zusammenspiel verschiedener neuronaler Oszillatoren zu simulieren kann man zwei Oszillatoren mit einer Kopplung versehen: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Die Lösung dieses Systems wird in der Vorlesung erarbeitet und in Matlab implementiert. Hierzu finden Sie im Paket Paket_Duff.zip die Dateien odecoupledduff.m System der DGLs (vervollständigen) solvecoupledduff.m Lösungsaufruf nmsynchrogram.m Erzeugung eines Synchrogramms getphasefromanalyticsignal.m Phasenextraktion aus einem analytischen Signal simulatecoupledduff.m Simulationsaufruf 9

10 Die Abbildung 13 zeigt eine Simulation gekoppelter Duffing-Oszillatoren. Die Kopplung setzt erst zum Zeitpunkt t=0 ein, und hat dann einen konstanten Verlauf. (a) zeigt den verlauf der beiden Oszillationen: zunächst zwei eigenständige Schwingungen, später wechseln sich visuell synchrone und unsynchrone Abschnitte ab. Die Phasensignale in (b) verlaufen entsprechend in fast konstantem Abstand, wenn die Verläufe in (a) synchron erscheinen. Das Synchrogramm in (c) wirkt eher chaotisch und lässt keine Synchronität erkennen dies liegt an den sehr kurzen Synchronisationsphasen der Oszillatoren und wird durch die grobe Abtastung der Methode nicht erkannt (siehe Nachteile des Synchrogramms). Der Phasensynchronisationsindex (d) hingegen zeigt die kurzen Synchronisationsphasen, die von Desychronisationsphasen abgelöst werden. Abbildung 13: Gekoppelte Duffing Oszillatoren. Die Kopplung setzt erst zum Zeitpunkt 0 ein. Die Bilder zeigen (von oben nach unten: a,b,c,d): a - die zwei Oszillationen; b - deren Phasensignale; c - das Synchrogramm; d - den Phasensynchronisationsindex Literatur [1] O. David, K.J. Friston, A neural mass model for MEG/EEG: coupling and neuronal dynamics, Neuroimage 20 (2003) [2] B.H. Jansen, V.G. Rit, Electroencephalogram and Visual-Evoked Potential Generation in a Mathematical-Model of Coupled Cortical Columns, Biological Cybernetics 73 (1995) [3] M. Rosenblum, A. Pikovsky, J. Kurths, C. Schäfer, P.A. Tass, Phase synchronization: from theory to data analysis, Neuro-informatics 4 (2001)