Über fixe Kosten und Elastizitäten von Produktionsprogrammen

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1 - -. Über fixe Kosten und Elastizitäten von Produktionsprogrammen Bei Produktionsprogrammen kommen zwei Zielfunktionen in Frage die Deckungsbeitragsfunktion (DB), die Gewinnfunktion (G), die man erhält, wenn man die fixen Kosten von der DB-Funktion abzieht. a. Zeigen Sie, daß der Abzug der Fixkosten die Lage des Optimums nicht tangieren kann, wohl aber die Höhe der Optimums: Absolute Glieder spielen bei der Ermittlung von Optima wegen der Differentialrechnung keine Rolle, beeinflussen aber sehr wohl die Höhe des Funktionswertes. DB(b i ) x > G(b i ) x = DB(b i ) x K f, G (b i ) = DB (b i ) b. In dem folgenden Koordinatensystem ist exemplarisch die Funktion des (maximalen) Deckungsbeitrags in Abhängigkeit von der Kapazität b i (die als Variable aufgefaßt wird) dargestellt: Z [GE] 00 0 DB(b i ) 50 G(b i ) 0 0 b i Begründen Sie - warum die Funktion degressiv ist: Die Kapazität wird in Reihenfolge der Gewinnträchtigkeit eingesetzt, je mehr b i, desto geringer die Zuwächse. - warum die Funktion in aller Regel proportional beginnt: Sie beginnt im Nullpunkt, da normalerweise die erste Einheit gewinnträchtig ist, zugleich ist sie stückweise linear proportional. - warum die Funktion mit einer Steigung von Null endet: Weitere Kapazitäten bringen keinen weiteren Zuwachs DB (b i )= 0. Zeichnen Sie die G(b i )-Funktion ein. Die Fixkosten betragen 80 GE! Siehe oben. c. Zeichnen Sie in das im weiteren gegebene Koordinatensystem den ungefähren Verlauf der Elastizitätsfunktionen E(DB) und E(G) in zwei verschiedenen Farben ein: Fortsetzung nächstes Blatt

2 - - E 5 E(DB) b i E(G) - Mit welcher Elastizität beginnt die Funktion E(DB)? - Welche Eigenschaft hat die E(DB)- bzw. die E(G)-Funktion, wenn die DB(bi)- bzw. die G(bi)-Funktion einen Knick hat? Einen Sprung - Wie verhält sich die E(G)-Funktion in der Umgebung der Gewinnschwelle? Sie springt von nach +.

3 - -. Über Lineare Gleichungssysteme mit dem Lösungsvektor,,... Ein Prof. will seinen Studenten in Erläuterung des Gauß schen Algorithmus ein -Gleichungssystem vorrechnen. Um zu dokumentieren, daß der Algorithmus für (nahezu) jedes beliebige Gleichungssystem funktioniert, läßt er sich die Koeffizienten bis auf einen pro Zeile zurufen. In dieser Weise bekommt er das folgende Gleichungssystem x x x RS, ,5-5 - a. Der Prof hat den Ehrgeiz, daß bei seinen Gleichungssystemen immer der Lösungsvektor,,... herauskommt. Welche Koeffizienten muß er in die Leerfelder (schattiert) einsetzen, damit der gewünschte Lösungsvektor entsteht? Tragen Sie diese Koeffizienten in das obigen Gleichungssystem ein! b. Mindestens einer der Studenten war ganz schlau, denn der Prof. erlebt sein Waterloo. Warum? Die dritte Zeile ist von den ersten beiden Zeilen linear abhängig:. Zeile. Zeile =. Zeile unterbestimmtes Gleichungssystem

4 Optimalitätsbedingungen für kombinatorische Optimierungsprobleme Probleme, die mit Methoden der vollständigen Enumeration gelöst werden, werden auch als kombinatorische Optimierungsprobleme bezeichnet. Im Gegensatz zu Differentialrechnungsverfahren kann man für kombinatorische Optimierungsprobleme keine Optimalkriterien angeben, d.h. Kriterien, mit denen man die Optimalität konstatieren kann, ohne den Rechenweg zu kennen. Andererseits kann man jedes kombinatorische Problem in die Differentialrechnung schieben, wie? Man bildet die konvexe Hülle (Polyeder= über die Alternativen (Fourier Motzkin). Danach kann man mit dem Simplex optimieren. Dann müßte es auch möglich sein, für kombinatorische Probleme ein Optimalkriterium anzugeben, wie? Man braucht nur die Restriktionen zu formulieren, die im Optimum bindend sind, dann würde insoweit Kuhn Tucker anwendbar sein.

5 Reduktion von Emissionen Die Schadstoffemissionen eines Stahlunternehmens sollen um folgende Mengen pro Jahr reduziert werden: Schadstoffart zu reduzierende Jahresmenge in t Staub Schwefeloxide Kohlenwasserstoffe Schadstoffverursacher sind zwei Hochöfen. In Ofen wird das Roheisen erschmolzen, in Ofen wird das Roheisen zu Stahl weiterverarbeitet. Für beide Öfen gibt es drei Verfahren zur Schadstoffreduktion Erhöhung der Schornsteine, Einbau von Filtern, Verwendung sauberer Brennstoffe. Die Schadstoffmenge der Öfen kann durch die einzelnen Reduktionsarten maximal um folgende Jahresmenge reduziert werden: Schadstoffart Schornstein Filter Brennstoff Ofen Ofen Ofen Ofen Ofen Ofen Staub (St) Schwefel (Sw) Kohlenwasserstoffe (Kw) Bei maximaler Ausnutzung des jeweiligen Verfahrens ergeben sich folgende Kosten in GE pro Jahr Ofen Ofen Schornstein Filter Brennstoff Im übrigen ist die Reduktion der Kosten proportional zur Schadstoffminderung. Formulieren Sie den zugehörigen Simplexansatz.

6 - 7-0 Kohlenwasserstoff Schwefel Staub Z min Schornstein Filter Brennstoff Ofen Ofen Ofen Ofen Ofen Ofen RS St Sw Kw St Sw Kw St Sw Kw St Sw Kw St Sw Kw St Sw Kw = = = = 0 Rel

7 Zum Cutting Plane-Verfahren zur Lösung eines Ganzzahligen LP s Das folgende LP ist gegeben, das ganzzahlig optimiert werden soll: x x +6x 5 6x +5x 7 5 x Die nichtganzzahlige Optimallösung liegt im Schnittpunkt der beiden Restriktionen bei: x = 57/6 =,9... x = 6/ =,76... Ermitteln Sie aus den beiden bindenden Restriktionen (mit Intelligenz) diejenige Restriktion, bei der der Polyeder der zulässigen Lösungen durch Weglassen des nicht ganzzahligen Anteils des absoluten Glieds am meisten reduziert wird: x + 6x multipliziert mit α =... 6x + 5x 7 multipliziert mit α =... und aufaddiert zu:... 6 x + 6 x...,9 Dividiert durch:... 6 neue Restriktion:... x + x...,96 (mit nicht ganzz. abs. Glied) neue Restriktion:... x + x... (mit ganzz. abs. Glied)

8 Zur Produktion von Zellstoff (Gadow, Bredenkamp, 99) Ein Zellstoffwerk kann drei verschiedene Arten von Zellstoff produzieren:. Zellstoff aus Laubholz (LH). Zellstoff aus Nadelholz (NH). sog. Kraftzellstoff (KR). Folgende Daten sind gegeben: Zellstoff Art Verkaufspreis in GE pro Tonne Rundholzbedarf in Tonnen pro produzierter Tonne Zellstoff LH 50, NH 0,0 KR 5 0,8 Laubholz und 0,8 Nadelholz Der Kraftzellstoff wird nicht etwa aus LH und NH gemischt sondern in einem eigenen Produktionsgang hergestellt. Nur die Ausgangsstoffe werden gemischt. Eine Tonne Laubrundholz kostet 50 GE, eine Tonne Nadelrundholz kostet 5 GE, jeweils frei Werk. Das Zellstoffwerk rechnet damit, daß im folgenden Jahr nicht mehr als Tonnen Laubrundholz und Tonnen Nadelrundholz eingekauft werden können. Zur Produktion wird ein sogenannter Boiler benötigt. Der läuft rund um die Uhr, 50 Tage pro Jahr, Stunden täglich, also 8.00 Stunden im Jahr. Die Produkte haben im Boiler unterschiedliche Fertigungszeiten. Zur Produktion von je 000 Tonnen werden folgende Boilerzeiten benötigt: Zellstoff Art LH NH KR Fertigungszeit für 000 Tonnen,9 Stunden,9 Stunden 0, Stunden Das Unternehmen rechnet für das folgende Jahr mit fixen Kosten in Höhe von GE. Geben Sie das zugehörige Anfangstableau an: Z max LH NH KR Rel. rechte Seite, 0, , ,09 0,09 0, = 0

9 Einbeziehung eines synergetischen Effekts in ein Lineares Produktionsprogramm Der folgende Ansatz für ein Lineares Produktionsprogramm ist bekannt: Z max x x y y y RS Dieser Ansatz soll um den folgenden synergetischen Effekt erweitert werden: Immer wenn beide Produkte zusammen angeboten werden können, erhöht sich der Deckungsbeitrag um GE pro Paar. Erweitern Sie das obige Lineare Programm um diesen Effekt, ohne die Linearität des Modells zu stören: 6 Z max x x x y y y RS

10 Über die Eigenschaft einer Variablen, im Laufe des Simplexverfahrens Basis- oder Nichtbasisvariable zu sein Empirische Untersuchungen haben gezeigt, daß die Anzahl der zu erwartenden Iterationen für die klassische Simplexmethode mit folgender Formel beschrieben werden kann m n I = + c m a n + m Dabei bezeichnet der erste Summand die Anzahl der notwendigen Iterationen und der zweite Summand die Anzahl derjenigen Iterationen, die letztendlich der Ineffizienz des Verfahrens zuzuschreiben ist.. Geben Sie an, wie es zu der Formel für die Anzahl der notwendigen Iterationen kommt: Folgende Basislösung liegt vor: x x n, y y m. Anzahl der Variablen: n+m. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Basisvariable in den Bereich n der Strukturvariablen fällt, ist. Da aber insgesamt m n+ m n Basisvariablen vorliegen, gilt: m. q.e.d. n + m. Bei Anwendung des steepest ascent Kriteriums haben die beiden verfahrensspezifischen Koeffizienten folgende Werte: c = 0,0778 a =,890 Wir betrachten im weiteren einen Simplexansatz mit Strukturvariablen und Restriktionen. Dann sind 7 notwendige Iterationen und 576 verfahrensspezifische (letztendlich unnötige) Iterationen, also insgesamt 68 Iterationen zu erwarten. Unnötige Iterationen bedeuten, daß eine Variable, die zur Basisvariablen wird, im weiteren Verfahren wieder zur Nichtbasisvariablen wird, dann wieder zur Basisvariablen usw. Geben Sie die durchschnittliche zu erwartende Anzahl an, mit der eine Strukturvariable im Verlauf des Verfahrens ihre Eigenschaft von Nichtbasisvariable in Basisvariable wechselt: 576 Zeichnen Sie bitte in Anwendung dieses Ergebnisses in das folgende Koordinatensystem ein, wie sich der Variablenwert einer Strukturvariablen der Tendenz nach im Laufe des Verfahrens ändert, wenn sie schlußendlich in der Optimallösung Basisvariable ist: Wert der betr. Strukturvariablen 68 Anzahl der Iterationen

11 Über die Rechenungenauigkeit und deren Bekämpfung Zeichnen Sie in das folgende Koordinatensystem den ungefähren Verlauf der Funktion der (wie auch immer gemessenen) Rechenungenauigkeit bei einer PC-gestützten Lösung eines Linearen Programms mit der Simplexmethode ein: Rechenungenauigkeit notw. Anzahl tatsächl. Anzahl Anzahl der Iterationen Die Rechenungenauigkeit, die sich bis zur Anzahl der notwendigen Iterationen einstellt, ist mehr oder weniger unvermeidlich. Wie könnte man die Rechenungenauigkeit insgesamt auf die zuvor genannte Rechenungenauigkeit reduzieren, wenn das rechenungenaue Optimum ermittelt ist oder rechenbegleitend nach jeweils einer bestimmten Anzahl von Iterationen? (Hinweis zur Lösung: Gauß scher Algorithmus). Wenn das rechenungenaue Optimum erreicht ist, weiß man ja, welche Variablen NBV sind. Diese setzt man im Anfangstableau auf 0 und rechnet das lineare Gleichungssystem aus.

12 Ermittlung der zweitbesten Lösung bei Degeneration - ein diffiziles Problem Die folgende degenerierte Optimallösung ist gegeben: max Z x x x y y = KdR / -/ -5/ 0 -/ / / / 6 5/ 0 8 Geben Sie alle nicht identischen Tableaus an: - ¾ -5/ 0 -/ / / 5/ 0 / -/ 6 / -/ 8 -/5 /5 -/5 0 /5 /5 /5 6 /5 /5 /5 8 Geben Sie die Variablenwerte der zweitbesten Lösung (= zweitbeste Ecke) an: x = 6 y = 0 6 x = 6 y = 0 x = 0 Z =

13 . Dualisierung eines Simplextableaus Bilden Sie für das folgende Primaltableau Z min x x x f.v. - - y y y RS f.v. = freie Variable das zugehörige Dualtableau: 8 Z max λ λ λ λ π π RS Geben Sie an, welche Dualvariable als freie Variable zu behandeln sind: λ