Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG

Transkript

1 Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger Lennéstraße 43, 1. OG September/Oktober 2017 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

2 Überblick 1. Einführung 2. Grundlegende Definitionen 3. Graphen von Funktionen 4. Lineare Funktionen 5. Lineare Modelle 6. Quadratische Funktionen 7. Polynome 8. Potenzfunktionen 9. Exponentialfunktionen 10. Logarithmusfunktionen JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

3 Definition und Beispiel Eine Variable ist die Funktion einer anderen Variablen, wenn sie von der anderen Variablen abhängt. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

4 Definition und Beispiel Eine Variable ist die Funktion einer anderen Variablen, wenn sie von der anderen Variablen abhängt. Beispiel: Die Fläche eines Kreises ist eine Funktion des Radius. Ist der Radius r gegeben, so ist die Fläche: F = πr 2 π ist die numerische Konstante r = 1 = F = r = 2 = F = JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

5 Funktionen als Tabellen Man braucht keine mathematische Formel, um zu zeigen, dass eine Variable von einer anderen abhängt. Auch eine Tabelle kann den Zusammenhang zwischen zwei Variablen aufzeigen. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

6 Funktionen als Tabellen Man braucht keine mathematische Formel, um zu zeigen, dass eine Variable von einer anderen abhängt. Auch eine Tabelle kann den Zusammenhang zwischen zwei Variablen aufzeigen. Die folgende Tabelle zeigt die Entwicklung der gesamten Ausgaben für persönlichen Konsum (in Milliarden $) in den USA zwischen 1998 und Jahr Konsum Die Tabelle definiert Konsumausgaben als Funktion des Jahres. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

7 Definition einer Funktion durch einen Graphen Laffer-Kurve : Steuereinnahmen als Funktion des Steuersatzes Abbildung: Die Laffer-Kurve Weiteres Beispiel: Elektrokardiogramm (EKG) - Herzschlag eines Patienten als Funktion der Zeit JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

8 Funktion als Regel (Vorschrift) Funktion durch Formel, Tabellen oder Graphen Gemeinsam ist allen dreien: Es gibt eine eindeutige Vorschrift (Regel), die jedem Wert der einen Variablen einen eindeutigen Wert der anderen Variablen zuordnet. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

9 Funktion Eine Funktion einer reellen Variablen x mit Definitionsbereich (domain) D ist eine Vorschrift, die jeder Zahl x D eindeutig eine reelle Zahl zuordnet. Die Menge der Werte f (x), die man erhält, wenn x den Definitionsbereich D durchläuft, nennt man Wertebereich. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

10 Funktion Eine Funktion einer reellen Variablen x mit Definitionsbereich (domain) D ist eine Vorschrift, die jeder Zahl x D eindeutig eine reelle Zahl zuordnet. Die Menge der Werte f (x), die man erhält, wenn x den Definitionsbereich D durchläuft, nennt man Wertebereich. Funktionen werden mit Buchstaben wie f, g, F oder ϕ bezeichnet. Ist f eine Funktion, dann ist f (x) der Wert, den f der Zahl x zuordnet, auch der Funktionswert von f an der Stelle x. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

11 Funktion y = f (x) y = f (x): Wert der Funktion f an der Stelle x x: unabhängige Variable oder Argument (exogene Variable) y: abhängige Variable (endogene Variable) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

12 Funktion y = f (x) y = f (x): Wert der Funktion f an der Stelle x x: unabhängige Variable oder Argument (exogene Variable) y: abhängige Variable (endogene Variable) Definitionsbereich der Funktion: Menge der möglichen Werte der unabhängigen Variablen. Wertebereich der Funktion: Menge der möglichen Werte der abhängigen Variablen. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

13 Beispiel: Dritte Potenz Funktionsregel: Ordne jeder Zahl ihre dritte Potenz zu. f (x) = x 3 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

14 Beispiel: Dritte Potenz Funktionsregel: Ordne jeder Zahl ihre dritte Potenz zu. f (x) = x 3 Beispiele: f (0) = 0 f (3) = 27 f ( 2) = 8 f (a) = a 3 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

15 Beispiel: Dritte Potenz Funktionsregel: Ordne jeder Zahl ihre dritte Potenz zu. f (x) = x 3 Beispiele: f (0) = 0 f (3) = 27 f ( 2) = 8 f (a) = a 3 Häufiger Fehler: f (a + 1) f (a) + 1 f (a + 1) = (a + 1) 3 = a 3 + 3a 2 + 3a + 1 f (a) + 1 = a JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

16 Beispiel: Produktionskosten Gesamtkosten für Herstellung von x Einheiten eines Gutes: C(x) = 100x x Kosten für 16 Einheiten: Kosten für a Einheiten: Kosten für eine weitere Einheit: JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

17 Beispiel: Produktionskosten Gesamtkosten für Herstellung von x Einheiten eines Gutes: C(x) = 100x x Kosten für 16 Einheiten: C(16) = = = 6900 Kosten für a Einheiten: C(a) = 100a a Kosten für eine weitere Einheit: C(a + 1) C(a) = 100 (a + 1) a a a 500 [ = 100 (a + 1) a + 1 a ] a JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

18 Anmerkungen zur Notation Bisherige Bezeichnung für unabhängige Varibale: x Jedes andere Symbol auch möglich, z.b. definieren f (x) = x 4 g(t) = t 4 ϕ(ξ) = ξ 4 dieselben Funktionen, d.h. f = g = ϕ JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

19 Anmerkungen zur Notation Bisherige Bezeichnung für unabhängige Varibale: x Jedes andere Symbol auch möglich, z.b. definieren f (x) = x 4 g(t) = t 4 ϕ(ξ) = ξ 4 dieselben Funktionen, d.h. f = g = ϕ Andere Möglichkeit f ( ) = ( ) 4 Der Punkt kann durch jede Zahl, jeden Buchstaben oder durch eine andere Funktion ersetzt werden: f (1) = 1 4 = 1 f (k) = k 4 f (1/y) = (1/y) 4 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

20 Definitionsbereich und Wertebereich Die Definition einer Funktion ist unvollständig, wenn der Definitionsbereich nicht angegeben ist. Für Funktionen f mit f (x) = x 3 ist der natürliche Definitionsbereich: Menge aller reellen Zahlen R. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

21 Definitionsbereich und Wertebereich Die Definition einer Funktion ist unvollständig, wenn der Definitionsbereich nicht angegeben ist. Für Funktionen f mit f (x) = x 3 ist der natürliche Definitionsbereich: Menge aller reellen Zahlen R. Beispiel: C(x) = 100x x Natürlicher Definitionsbereich: {0, 1, 2,..., x 0 }, wobei x 0 die maximale Anzahl der Einheiten, die die Firma produzieren kann. Falls x eine stetige Variable ist, ist der Definitionsbereich [0, x 0 ]. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

22 Vereinbarung für den Definitionsbereich Wenn eine Funktion durch eine algebraische Formel definiert wird, besteht der Definitionsbereich aus allen Werten der unabhängigen Variablen, für die die Formel einen eindeutigen Wert liefert (wenn kein anderer Definitionsbereich explizit angegben ist). JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

23 Beispiel 4: Bestimmung des Definitionsbereiches f (x) = 1 x + 3 Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen: x 3 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

24 Beispiel 4: Bestimmung des Definitionsbereiches g(x) = 2x + 4 Definitionsbereich:? JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

25 Beispiel 4: Bestimmung des Definitionsbereiches g(x) = 2x + 4 Definitionsbereich: x [ 2, ) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

26 Wertebereich (range) einer Funktion Sei f eine Funktion mit Definitionsbereich D. Die Menge aller Werte f (x), die diese Funktion annimmt, heißt Wertebereich von f. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

27 Wertebereich (range) einer Funktion Häufige Notation: Definitionsbereich: D f Wertebereich: R f Abbildung: Definitionsbereich und Wertebereich von f JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

28 Beispiel: Bestimmung des Wertebereichs g(x) = 2x + 4 Zeigen Sie, dass die Zahl 4 zum Wertebereich R g gehört. Lösung: JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

29 Beispiel: Bestimmung des Wertebereichs g(x) = 2x + 4 Zeigen Sie, dass die Zahl 4 zum Wertebereich R g gehört. Lösung: Es ist zu zeigen, dass es ein x D g gibt, so dass g(x) = 4. Zu lösen ist also die Gleichung: 2x + 4 = 4 2x + 4 = 4 2x + 4 = 4 2 = 16 x = 6 Da g(6) = 4, ist 4 R g. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

30 Beispiel Abbildung: Graph der Funktion y = 2x + 4 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

31 Wertebereich Wertebereich von f (x) = 3x 3 2x 2 12x 3, wenn D f = [ 2, 3]??? Nicht einfach ohne Methoden der Differentialrechnung! JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

32 Monoton wachsende und fallende Funktionen Eine Funktion f heißt monoton wachsend, wenn f (x 1 ) f (x 2 ) für alle x 1, x 2 D f mit x 1 < x 2. Eine Funktion f heißt streng monoton wachsend, wenn f (x 1 ) < f (x 2 ) für alle x 1, x 2 D f mit x 1 < x 2. Die Begriffe monoton fallend und streng monoton fallend werden entsprechend definiert. Die Funktion g(x) = 2x + 4 aus dem vorherigen Beispiel ist streng monoton wachsend in [ 2, ). JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

33 Rechtwinkliges (kartesisches) Koordinatensystem: Koordinatenachsen, senkrecht aufeinander x-achse, horizontale Achse, Abzisse y-achse, vertikale Achse, Ordinate Schnittpunkt der Achsen O, Ursprung, Nullpunkt xy-ebene, 4 Quadranten JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

34 Rechtwinkliges (kartesisches) Koordinatensystem: Koordinatenachsen, senkrecht aufeinander x-achse, horizontale Achse, Abzisse y-achse, vertikale Achse, Ordinate Schnittpunkt der Achsen O, Ursprung, Nullpunkt xy-ebene, 4 Quadranten Jeder Punkt der xy-ebene wird repräsentiert durch ein Paar (a, b) reeller Zahlen Jedes Paar reeller Zahlen (a, b) repräsentiert einen eindeutigen Punkt in der xy-ebene Dieser Punkt ist der Schnittpunkt der vertikalen Geraden x = a mit der horizontalen Geraden y = b (a, b) sind Koordinaten des zugehörigen Punktes P (a, b) ist ein geordnetes Paar JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

35 Rechtwinkliges (kartesisches) Koordinatensystem Abbildung: Koordinatensystem Abbildung: Punkte (3,4) und (-5,-2) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

36 Graph einer Funktion Jede Funktion einer Variablen kann durch einen Graphen in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dargestellt werden. Hifreich zur Visualisierung der Funktion. Die Gestalt (Form) des Graphen spiegelt die Eigenschaften der Funktion wider. Der Graph einer Funktion ist die Menge aller Punkte (x, f (x)), wobei x zum Definitionsbereich der Funktion f gehört. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

37 Beispiel 1 f (x) = x 2 4x + 3 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

38 Beispiel 1 f (x) = x 2 4x + 3 x x 2 4x Der Graph der Funktion f (x) = x 2 4x + 3 ist eine Parabel. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

39 Beispiel 2 g(x) = 2x 1 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

40 Beispiel 2 g(x) = 2x 1 g( 1) = 2 ( 1) 1 = 3 g(0) = = 1 g(1) = = 1 g(2) = = 3 Der Graph der Funktion g(x) = 2x 1 ist eine Gerade. (Siehe Abbildung und auch Kapitel 4.4) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

41 Einige wichtige Graphen JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

42 Definition y = ax + b (a und b Konstanten) Der Graph dieser Gleichung ist eine Gerade. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

43 Definition y = ax + b (a und b Konstanten) Der Graph dieser Gleichung ist eine Gerade. Sei f die Funktion, die x den Funktionswert y zuordnet: f : x y f (x) = ax + b f heißt eine lineare Funktion. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

44 Steigung f (x + 1) f (x) = a(x + 1) + b ax b = a Die Konstante a misst die Änderung des Funktionswertes, wenn x um eine Einheit zunimmt. Daher heißt a die Steigung der Geraden und Steigung der Funktion. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

45 Steigung f (x + 1) f (x) = a(x + 1) + b ax b = a Die Konstante a misst die Änderung des Funktionswertes, wenn x um eine Einheit zunimmt. Daher heißt a die Steigung der Geraden und Steigung der Funktion. Ist die Steigung a positiv, steigt die Gerade mit wachsendem x. Ist die Steigung a negativ, fällt die Gerade mit wachsendem x. Der Absolutbetrag von a misst die Steilheit der Geraden. Wenn a = 0, so ist die Gerade parallel zur x-achse. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

46 y-achsenabschnitt Ist x = 0, so ist y = ax + b = b Daher heißt b der y-achsenabschnitt. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

47 Bestimmung der Steigung Wie finden wir die Steigung einer Geraden in der Ebene? 1. Wählen Sie zwei verschiedene Punkte auf der Geraden: P = (x 1, y 1 ) und Q = (x 2, y 2 ) 2. Berechnen Sie den Quotienten (y 2 y 1 )/(x 2 x 1 ) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

48 Bestimmung der Steigung Wie finden wir die Steigung einer Geraden in der Ebene? 1. Wählen Sie zwei verschiedene Punkte auf der Geraden: P = (x 1, y 1 ) und Q = (x 2, y 2 ) 2. Berechnen Sie den Quotienten (y 2 y 1 )/(x 2 x 1 ) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

49 Bestimmung der Steigung Die Steigung einer Gerade G ist a = y 2 y 1 x 2 x 1, x 1 x 2 wenn (x 1, y 1 ) und (x 2, y 2 ) zwei beliebige verschiedene Punkte auf der Geraden G sind. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

50 Bestimmung der Steigung Die Steigung einer Gerade G ist a = y 2 y 1 x 2 x 1, x 1 x 2 wenn (x 1, y 1 ) und (x 2, y 2 ) zwei beliebige verschiedene Punkte auf der Geraden G sind. Der Wert der Steigung bleibt unverändert, wenn man die Punkte P und Q vertauscht. Der Wert der Steigung ist unabhängig von der Wahl der beiden Punkte. a ist die Änderung des Wertes von y, wenn x um eine Einheit steigt. (Pingo 4.4a) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

51 Gleichung einer Geraden: Punkt-Steigungs-Formel Gesucht ist die Gleichung einer Geraden mit Steigung a durch den Punkt (x 1, y 1 ). Sei (x, y) ein weiterer beliebiger Punkt auf der Geraden. Die Steigung ist dann: y y 1 x x 1 = a y y 1 = a(x x 1 ) Die Gleichung einer Geraden mit der Steigung a durch den Punkt (x 1, y 1 ) ist: y y 1 = a(x x 1 ) (Tafelbeispiel) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

52 Zwei-Punkte-Formel Die Gleichung einer Geraden durch (x 1, y 1 ) und (x 2, y 2 ), wobei x 1 x 2, erhält man so: 1. Berechnung der Steigung der Geraden: a = y 2 y 1 x 2 x 1 2. Den Ausdruck für a in die Punkt-Steigungsformel y y 1 = a(x x 1 ) einsetzen: y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) (Pingo 4.4b) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

53 Graphische Lösung von linearen Gleichungen System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten (Kap. 2.4) ax + by = c dx + ey = f Gleichungen sind linear, daher sind die Graphen Geraden. Die Koordinaten der Punkte auf einer Geraden erfüllen die Geradengleichung. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

54 Graphische Lösung von linearen Gleichungen System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten (Kap. 2.4) ax + by = c dx + ey = f Gleichungen sind linear, daher sind die Graphen Geraden. Die Koordinaten der Punkte auf einer Geraden erfüllen die Geradengleichung. Die Koordinaten eines Schnittpunktes zweier Geraden erfüllen beide Geradengleichungen, d.h. sind Lösungen des Gleichungssystems. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

55 Beispiel 1 Lösung eines Gleichungssystems auf graphische Weise: x + y = 5 x y = 1 Abbildung: Schnittpunkt: (2, 3) = Lösung ist: x = 2 und y = 3 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

56 Beispiel 2 Lösung eines Gleichungssystems auf graphische Weise: 3x + 4y = 2 6x + 8y = 24 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

57 Beispiel 2 Lösung eines Gleichungssystems auf graphische Weise: 3x + 4y = 2 6x + 8y = 24 Abbildung: Parallele Geraden ohne Schnittpunkt, d.h. keine Lösung. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

58 Geometrische Darstellung linearer Ungleichung, Beispiel Skizzieren Sie in der (x, y)-ebene alle Zahlenpaare (x, y), die die Ungleichung 2x + y 4 erfüllen. In Mengennotationen: {(x, y) : 2x + y 4} JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

59 Geometrische Darstellung linearer Ungleichung, Beispiel Skizzieren Sie in der (x, y)-ebene alle Zahlenpaare (x, y), die die Ungleichung 2x + y 4 erfüllen. In Mengennotationen: {(x, y) : 2x + y 4} Lösung: 2x + y 4 y 2x + 4 Die Menge aller Punkte (x, y), die die Gleichung y = 2x + 4 erfüllen, ist eine Gerade. Die Menge aller Punkte (x, y), die die Ungleichung y 2x + 4 erfüllen, liegt auf oder unterhalb dieser Geraden. (Tafelbeispiel) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

60 Beispiel für lineare Zusammenhänge (a) Temperatur in Grad Fahrenheit und Grad Celsius: F = 9 5 C + 32 (b) Geschätzte Kostenfunktion für die U.S. Steel Corp. im Zeitraum : C = 55.73x (c) Geschätzte jährliche Nachfrage nach Reis in Indien im Zeitraum : q = 0.15p JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

61 Beispiel: Konsumfunktion Keynesianische makroökonomische Theorie: C: Gesamtausgaben für Güter und Dienstleistungen Y : Volkseinkommen C ist Funktion von Y : C = f (Y ) In vielen Modellen f eine lineare Funktion: C = a + by Steigung b: Grenzneigung zum Konsum JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

62 Beispiel: Konsumfunktion, Grenzneigung zum Konsum C: Gesamtausgaben für Güter und Dienstleistungen Y : Volkseinkommen C = a + by Wenn C und Y in Millionen Euro gemessen werden, sagt uns die Zahl b, um wie viele Millionen Euro der Konsum steigt, wenn das Volkseinkommen um 1 Mio. ansteigt. Üblicherweise: 0 < b < 1 Haavelmo fand für die USA im Zeitraum die Konsumfunktion: C = Y Grenzneigung zum Konsum: Basiskonsum: JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

63 Beispiel: Angebot und Nachfrage Nachfrage nach einem Gut ist eine Funktion des Preises, meist fallend mit wachsendem Preis. Angebot der Produzenten ist ebenfalls eine Funktion des Preises, den sie erzielen können, meist steigend mit wachsendem Preis. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

64 Beispiel: Angebot und Nachfrage Nachfrage nach einem Gut ist eine Funktion des Preises, meist fallend mit wachsendem Preis. Angebot der Produzenten ist ebenfalls eine Funktion des Preises, den sie erzielen können, meist steigend mit wachsendem Preis. Abbildung: Q = Menge, P = Preis, E = Gleichgewicht JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

65 Beispiel: Gleichgewicht zwischen Angebot und Nachfrage Schnittpunkt beider Kurven (E): Preis P : Menge Q : Gleichgewicht Gleichgewichtspreis Gleichgewichtsmenge JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

66 Beispiel: Gleichgewicht zwischen Angebot und Nachfrage Schnittpunkt beider Kurven (E): Preis P : Menge Q : Gleichgewicht Gleichgewichtspreis Gleichgewichtsmenge Der Gleichgewichtspreis ist derjenige Preis, bei dem die Konsumenten dieselbe Menge kaufen wie die Produzenten bei diesem Preis anbieten. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

67 Beispiel: Gleichgewicht bei linearer Angebots- und Nachfragefunktion D: Demand, Nachfrage S: Supply, Angebot D = 100 P S = P D = S 100 P = P 3P = 90 P = 30 Gleichgewichtspreis: P = 30 Gleichgewichtsmenge: Q = 70 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

68 Beispiel: Lineare Angebots- und Nachfragefunktion D = a bp S = α + βp a und b sind positive Parameter der Nachfragefunktion α und β sind positive Parameter der Angebotsfunktion Der Gleichgewichtspreis P : a bp = α + βp a α = βp + bp P = a α β + b = Q = a bp = a b a α β + b = aβ αb β + b P = a α β + b Q = aβ + αb β + b JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

69 Definition: Quadratische Funktion f (x) = ax 2 + bx + c (a, b und c Konstanten, a 0) f ist die allgemeine quadratische Funktion. Der Graph von f heißt Parabel und ist symmetrisch. Gestalt: wenn a < 0 und wenn a > 0 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

70 Eigenschaften Wichtige Fragen zur Untersuchung quadratischer Funktionen: 1. Nullstellen: Für welche Werte von x (falls es welche gibt) ist ax 2 + bx + c = 0 2. Scheitelpunkt: Welches sind die Koordinaten des Maximumoder Minimumpunktes P? JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

71 Frage 1: Nullstellen der quadratischen Funktion f (x) = ax 2 + bx + c (a, b und c Konstanten, a 0) Aus Kapitel 2.3: Lösungen der quadratischen Gleichung: Wenn b 2 4ac 0 und a 0 gilt: ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

72 Frage 1: Nullstellen der quadratischen Funktion f (x) = ax 2 + bx + c (a, b und c Konstanten, a 0) Aus Kapitel 2.3: Lösungen der quadratischen Gleichung: Wenn b 2 4ac 0 und a 0 gilt: ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a x 1 und x 2 sind die Lösungen der quadratischen Gleichung und die Nullstellen der quadratischen Funktion. Es gilt: ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

73 Frage 2: Bestimmung des Scheitelpunktes für a > 0 f (x) = ax 2 + bx + c = a ( x + b ) 2 b2 4ac 2a } 4a {{} konstant JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

74 Frage 2: Bestimmung des Scheitelpunktes für a > 0 Nur a ( a a f (x) = ax 2 + bx + c = a ( x + b 2a ) 2 hängt von x ab ) 2 = 0 nur für x = b x + b 2a ( x + b ) 2 0 wenn a > 0 2a ( x + b ) 2 b2 4ac 2a } 4a {{} konstant 2a Daher hat f (x) für a > 0 ein Minimum, wenn x = b 2a f ( b 2a ) = (b2 4ac) 4a = c b2 4a JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

75 Frage 2: Bestimmung des Scheitelpunktes für a < 0 Nur a a a f (x) = ax 2 + bx + c = a ( x + b 2a ) 2 hängt von x ab ( x + b ) 2 = 0 nur für x = b 2a 2a ( x + b ) 2 0 wenn a < 0 2a ( x + b ) 2 b2 4ac 2a } 4a {{} konstant Daher hat f (x) für a < 0 ein Maximum, wenn x = b 2a f ( b 2a ) = (b2 4ac) 4a = c b2 4a JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

76 Maximum und Minimum quadratischer Funktionen Wenn a > 0, hat f (x) = ax 2 + bx + c den minimalen Wert c b2 4a an der Stelle x = b 2a (1) Wenn a < 0, hat f (x) = ax 2 + bx + c den maximalen Wert c b2 4a an der Stelle x = b 2a (2) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

77 Symmetrieeigenschaft Symmetrieachse einer Parabel ist die senkrechte Gerade durch ihren Scheitelpunkt P, d.h. die Gerade x = b 2a JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

78 Beispiel: Maximierung einer quadratischen Gewinnfunktion Kosten für Herstellung und Verkauf von Q Einheiten: C = 2Q Q2 Erzielter Preis pro Einheit: P = 102 2Q Gewinn: π(q) = PQ C = (102 2Q)Q (2Q + 12 ) Q2 = 100Q 5 2 Q2 = 5 Q 2 + }{{} 2 }{{} 100 Q b a Welcher Wert Q von Q maximiert den Gewinn und wie hoch ist der maximale Gewinn? JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

79 Beispiel: Maximierung einer quadratischen Gewinnfunktion Kosten für Herstellung und Verkauf von Q Einheiten: C = 2Q Q2 Erzielter Preis pro Einheit: P = 102 2Q Gewinn: π(q) = PQ C = (102 2Q)Q (2Q + 12 ) Q2 = 100Q 5 2 Q2 = 5 Q 2 + }{{} 2 }{{} 100 Q b a Welcher Wert Q von Q maximiert den Gewinn und wie hoch ist der maximale Gewinn? Lösung: Nach (2) gilt: Q = b 2a = 100 2( 5 2 ) = 20, also π(q ) = b2 4a = ( 5 2 ) = 1000 (Tafelbeispiel) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

80 Kubische Funktionen f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a, b, c, d Konstanten; a 0) Die Gestalt des Graphen kann sich drastisch ändern, wenn die Konstanten variieren! JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

81 Beispiel: Kubische Kostenfunktion C(Q) = aq 3 + bq 2 + cq + d C(0) positiv, fixe Anfangskosten Steigende Kosten mit steigender Produktion Anfangs hohe Steigung Steigung verlangsamt sich bei guter Auslastung Steigung verstärkt sich wieder bei Erreichen von z.b. Kapazitätsgrenzen JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

82 Allgemeine Polynome Allgemeines Polynom vom Grad n: P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 a n 0 a 0, a 1,..., a n (konstante) Koeffizienten a n führender Koeffizient JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

83 Allgemeine Polynome Allgemeines Polynom vom Grad n: P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 a n 0 a 0, a 1,..., a n (konstante) Koeffizienten a n führender Koeffizient Beispiel: Allgemeines Polynom vom Grad 4: P(x) = a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Führender Koeffizient a 4 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

84 Nullstellen eines Polynoms und Fundamentalsatz der Algebra Gesucht sind die Werte x, für die P(x) = 0. Allgemeine Gleichung n-ter Ordnung: a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n reelle Nullstellen Es muss keine Nullstellen geben Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom kann als Produkt von Polynomen erster und zweiter Ordnung (d.h. als Produkt von lineraren und quadratischen Funktionen) geschrieben werden. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

85 Faktorzerlegung von Polynomen P(x) und Q(x) seien Polynome, wobei der Grad von P(x) größer oder gleich dem Grad von Q(x) sei. Dann gib es eindeutig bestimmte Polynome q(x) und r(x), so dass: P(x) = q(x)q(x) + r(x) Dabei ist der Grad von r(x) kleiner als der von Q(x). Man nennt r(x) den Rest. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

86 Faktorzerlegung von Polynomen P(x) und Q(x) seien Polynome, wobei der Grad von P(x) größer oder gleich dem Grad von Q(x) sei. Dann gib es eindeutig bestimmte Polynome q(x) und r(x), so dass: P(x) = q(x)q(x) + r(x) Dabei ist der Grad von r(x) kleiner als der von Q(x). Man nennt r(x) den Rest. Wenn Q(x) 0, gilt: P(x) Q(x) = q(x) + r(x) Q(x) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

87 Faktorzerlegung, Teilbarkeit ohne Rest P(x) Q(x) = q(x) + r(x) Q(x) (Q(x) 0) Wenn r(x) = 0, sagt man, dass Q(x) ein Faktor von P(x) ist. Oder: P(x) ist teilbar durch Q(x). Dann gilt: P(x) = q(x)q(x) bzw. P(x) Q(x) = q(x) (Q(x) 0) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

88 Teilbarkeit durch (x a) Wichtiger Spezialfall: Q(x) = x a Q(x) hat Grad 1 und r(x) den Grad 0, ist also eine Konstante. P(x) = q(x)(x a) + r Für x = a ist P(a) = r, d.h. x a teilt das Polynom P(x) genau dann, wenn P(a) = 0. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

89 Teilbarkeit durch (x a) Wichtiger Spezialfall: Q(x) = x a Q(x) hat Grad 1 und r(x) den Grad 0, ist also eine Konstante. P(x) = q(x)(x a) + r Für x = a ist P(a) = r, d.h. x a teilt das Polynom P(x) genau dann, wenn P(a) = 0. Das Polynom P(x) hat den Faktor x a genau dann, wenn a eine Nullstelle des Polynoms ist. Ein Polynom vom Grade n kann höchstens n Nullstellen haben. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

90 Beispiel: Zeigen Sie: x 5 ist Faktor von P(x) = x 3 3x JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

91 Beispiel: Zeigen Sie: x 5 ist Faktor von P(x) = x 3 3x Lösung: P(5) = = = 0 Damit ist x 5 ein Faktor von P(x). P(x) = (x 5)(x 2 + 2x + 10) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

92 Anmerkung: Ganzzahlige Lösungen x 3 + 4x 2 x 6 = 0 Wenn m eine ganzzahlige Lösung ist, so muss gelten: m( m 2 + 4m 1) = 6, d.h. m ist ein Faktor von 6, d.h. die einzige möglichen Lösungen sind: ±1, ±2, ±3, ±6 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

93 Anmerkung: Ganzzahlige Lösungen x 3 + 4x 2 x 6 = 0 Wenn m eine ganzzahlige Lösung ist, so muss gelten: m( m 2 + 4m 1) = 6, d.h. m ist ein Faktor von 6, d.h. die einzige möglichen Lösungen sind: ±1, ±2, ±3, ±6 Durch Probieren findet man die Lösungen 1, 2 und 3. Es gibt höchstens drei Lösungen, daher sind dies alle Lösungen. Es gilt die Faktorenzerlegung: x 3 + 4x 2 x 6 = (x + 1)(x 2)(x 3) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

94 Allgemeines Resultat für ganzzahlige Lösungen Seien a n, a n 1,..., a 1, a 0 ganze Zahlen. Dann muss jede ganzzahlige Lösung der Gleichung a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 Faktor von a 0 sein. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

95 Beispiel: Bestimmen Sie alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung: 1 2 x3 x x 1 = 0 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

96 Beispiel: Bestimmen Sie alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung: 1 2 x3 x x 1 = 0 Lösung: Multiplikation der Gleichung mit 2 ergibt: x 3 2x 2 + x 2 = 0 Alle ganzzahligen Lösungen müssen Faktor von 2 sein, d.h. in Frage kommen: ±1, ±2 Probieren zeigt: x = 2 ist die einzige ganzzahlige Lösung. Es gibt nur eine reelle Lösung, da x 3 2x 2 + x 2 = (x 2)(x 2 + 1) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

97 Polynom-Division Division von Zahlen: = Rest = 547 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

98 Polynom-Division Division von Zahlen: = Rest = 547 Division von Polynomen: ( x 3 + 4x 2 x 6) (x 2) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

99 Polynom-Divison Lösung ( ( x 3 + 4x 2 x 6) (x 2) ) ( ) x 3 + 4x 2 x 6 x 2 = x 2 + 2x + 3 x 3 2x 2 2x 2 x 2x 2 + 4x 3x 6 3x JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

100 Polynom-Divison Lösung ( ( x 3 + 4x 2 x 6) (x 2) ) ( ) x 3 + 4x 2 x 6 x 2 = x 2 + 2x + 3 x 3 2x 2 2x 2 x 2x 2 + 4x 3x 6 3x ( x 3 + 4x 2 x 6) (x 2) = x 2 + 2x + 3 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

101 Beispiel: Zeigen Sie, dass das Polynom P(x) = 2x 3 + 2x x + 6 die Nullstelle x = 3 hat und zerlegen Sie das Polynom in Faktoren. (Tafel) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

102 Beispiel: Zeigen Sie, dass das Polynom P(x) = 2x 3 + 2x x + 6 die Nullstelle x = 3 hat und zerlegen Sie das Polynom in Faktoren. (Tafel) Lösung: Da P(3) = 0, hat P(x) den Faktor x 3. ( 2x 3 + 2x x + 6) (x 3) = 2(x 2 + 2x + 1x) Faktorenzerlegung: = 2(x + 1) 2 2x 3 + 2x x + 6 = 2(x 3)(x + 1) 2 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

103 Beispiel: Polynomdivision mit einem Rest (x 4 + 3x 2 4) (x 2 + 2x) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

104 Beispiel: Polynomdivision mit einem Rest (x 4 + 3x 2 4) (x 2 + 2x) Lösung: ( x 4 + 3x 2 4 ) ( x 2 + 2x ) = x 2 2x x 4 x 2 + 2x x 4 2x 3 2x 3 + 3x 2 2x 3 + 4x 2 7x 2 7x 2 14x 14x (x 4 + 3x 2 4) = (x 2 2x + 7)(x 2 + 2x) + ( 14x 4) (x 4 + 3x 2 4) (x 2 + 2x) = (x 2 2x + 7) (14x + 4) (x 2 + 2x) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

105 Rationale Funktionen Eine rationale Funktion ist eine Funktion R(x) = P(x)/Q(x), die als Quotient zweier Polynome P(x) und Q(x) darstellbar ist. Diese Funktion ist definiert für alle x mit Q(x) 0. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

106 Rationale Funktionen Eine rationale Funktion ist eine Funktion R(x) = P(x)/Q(x), die als Quotient zweier Polynome P(x) und Q(x) darstellbar ist. Diese Funktion ist definiert für alle x mit Q(x) 0. R(x) heißt eine echte rationale Funktion, wenn der Grad des Zählerpolynoms P(x) kleiner als der des Nennerpoynoms Q(x) ist. R(x) heißt eine unechte rationale Funktion, wenn der Grad des Zählerpolynoms P(x) größer oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms Q(x) ist. Jede unechte rationale Funktion ist Summe eines Polynoms und einer echten rationalen Funktion. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

107 Beispiel Einfachster Typ einer rationalen Funktion: R(x) = ax + b cx + d, c 0 Abbildung: R(X) = 3x 5, Graph ist eine Hyperbel. x 2 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

108 Beispiel Noch einfachere rationale Funktion: R(x) = a x, a > 0 Abbildung: Graph im ersten Quadranten Schattierte Fläche A = x 0 a/x 0 = a, d.h. egal welchen Punkt P wir auf dem Graphen wählen, die Fläche ist immer a. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

109 Definition der allgemeinen Potenzfunktion f (x) = Ax r (x 0, r und A Konstanten) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

110 Definition der allgemeinen Potenzfunktion f (x) = Ax r (x 0, r und A Konstanten) Beispiel für ihre Notwendigkeit: 1. S 4.84 V 2/3 ist die ungefähre Oberfläche eines Balles, wobei V = (4/3)πr 3 = Volumen und r = Radius; alternativ S = 4πr Blutstrom (in Litern pro Sekunde) durch das Herz eines Menschen ist annähernd proportional zu x 0.7, wenn x das Körpergewicht ist. 3. Y = K L (1.02) t, wobei Y das Nettosozialprodukt, K Kapital, L Arbeit und t die Zeit ist. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

111 Definition der Potenz für irrationale Exponenten Wie ist x r für irrationale Zahlen r definiert? Wie ist z.b. 5 π definiert für π = ? 5 π = 5 31/10 = JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

112 Definition der Potenz für irrationale Exponenten Wie ist x r für irrationale Zahlen r definiert? Wie ist z.b. 5 π definiert für π = ? Oder besser: 5 π = 5 31/10 = π = 5 314/100 = 5 157/50 = Man könnte weiter fortfahren und noch mehr Dezimalstellen von π = verwenden! JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

113 Graphen von Potenzfunktionen f (x) = x r x > 0; r R f (1) = 1 r = 1, d.h. alle Graphen gehen durch den Punkt (1, 1). JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

114 Graphen von Potenzfunktionen Die Gestalt des Graphen hängt entscheidend von r ab. 0 < r < 1: Ähnelt dem Graphen von f (x) = x 0.5. (Abb. 1) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

115 Graphen von Potenzfunktionen Die Gestalt des Graphen hängt entscheidend von r ab. 0 < r < 1: Ähnelt dem Graphen von f (x) = x 0.5. (Abb. 1) r > 1: Ähnelt f (x) = x 2 (Hälfte einer Parabel). (Abb. 2) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

116 Graphen von Potenzfunktionen Die Gestalt des Graphen hängt entscheidend von r ab. 0 < r < 1: Ähnelt dem Graphen von f (x) = x 0.5. (Abb. 1) r > 1: Ähnelt f (x) = x 2 (Hälfte einer Parabel). (Abb. 2) r < 0: Ähnelt f (x) = x 1 = 1/x (Hälfte einer Hyperbel). (Abb. 3) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

117 Graphen von Potenzfunktionen in Abhängigkeit von Exponenten JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

118 Definition Eine Größe, die pro Zeiteinheit um einen festen Faktor a wächst (fällt), wird exponentiell wachsend (fallend) genannt. f (t) = Aa t (a und A positive Konstanten) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

119 Definition Eine Größe, die pro Zeiteinheit um einen festen Faktor a wächst (fällt), wird exponentiell wachsend (fallend) genannt. f (t) = Aa t (a und A positive Konstanten) f (t + 1) = Aa t+1 = Aa t a 1 = af (t) f (0) = Aa 0 = A d.h f (t) = f (0)a t JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

120 Graphen von Exponentialfunktionen Abbildung: (a > 1) Falls a > 1, ist f wachsend (Abbildung 1) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

121 Graphen von Exponentialfunktionen Abbildung: (a > 1) Abbildung: (0 < a < 1) Falls a > 1, ist f wachsend (Abbildung 1) Falls 0 < a < 1, ist f fallend (Abbildung 2) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

122 Anwendung von Exponentialfunktionen Exponentialfunktionen finden Anwendung in Modellen der Wirtschaftsund Sozialwissenschaften, Physik, Chemie,... ; z.b. Wirtschaftliches Wachstum Bevölkerungswachstum Stetig angehäufter Zins Radioaktiver Zerfall (Abnehmendes) Analphabetentum Statistik (Normalverteilung, Exponentialverteilung) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

123 Unterschied zwischen Potenz- und Exponentialfunktion 1. Exponentialfunktion: f (x) = a x Exponent variiert Basis konstant 2. Potenzfunktion: g(x) = x a Exponent konstant Basis variiert JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

124 Bevölkerungswachstum in Zimbabwe 70er und 80er Jahre: Wachstum in Zimbabwe 3.5% jährlich. Bevölkerung P = 5.1 Millionen in 1969 (t = 0). Nach t Jahren: P(t) = t P(20) 10 P(40) 20 P(60) 40 Verdopplungszeit der Bevölkerung ist ungefähr 20 Jahre. Modell des exponentiellen Wachstums ist nur begrenzt gültig, sonst in 2296 etwa 1 Einwohner je m 2 von Zimbabwe. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

125 Verdopplungszeit Falls a > 1 (und A > 0), ist die Exponentialfunktion f (t) = Aa t monoton wachsend. Die Verdopplungszeit t ist die Zeit bis zur Verdopplung des Funktionswertes: f (0) = A f (t ) = Aa t = 2A a t = 2 Die Verdopplungszeit t ist der Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um 2 zu erhalten (d.h. der Logarithmus von 2 zur Basis a) oder (siehe Kap. 4.10): t = ln2/lna JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

126 Die allgemeine Exponentialfunktion Die allgemeine Exponentialfunktion mit Basis a > 0 ist f (x) = Aa x Dabei ist f (0) = A und a ist der Faktor, um den sich f (x) ändert, wenn x um 1 steigt. Wenn a = 1 + p/100 mit p > 0 und A > 0, dann steigt f (x) um p%, wenn x um eine Einheit wächst. Wenn a = 1 p/100 mit p > 0 und A > 0, dann fällt f (x) um p%, wenn x um eine Einheit wächst. (Pingo 4.9) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

127 Die natürliche Exponentialfunktion f (x) = Aa x Jede Basis a ergibt eine andere Exponentialfunktion. Welche Werte von a sind wichtig? Oft relevant a = 2 oder a = 10 Extrem wichtige Basis ist: e = Die Exponentialfunktion zur Basis e heißt die natürliche Exponentialfunktion. f (x) = e x JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

128 Rechenregeln für die e-funktion Alle Regeln für Potenzen gelten auch für die natürliche Exponentialfunktion. e s e t = e s+t e s e t = es t Exponenten addieren Exponenten subtrahieren (e s ) t = e st Exponenten multiplizieren Man schreibt auch exp(u) statt e u. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

129 Graphen der Exponentialfunktionen e x und e x JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

130 Natürlicher Logarithmus Falls e u = b, heißt u der natürliche Logarithmus von b. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

131 Natürlicher Logarithmus Falls e u = b, heißt u der natürliche Logarithmus von b. Wir schreiben u = ln b, d.h. ln b ist definiert durch: e ln b = b (b ist eine beliebige positive Zahl) ln b ist der Exponent, mit dem man e potenzieren muss, um b zu erhalten. Da e u streng monoton steigend ist, ist ln b eindeutig bestimmt. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

132 Rechenregeln für den natürlichen Logarithmus (a) ln(xy) = ln x + ln y Logarithmen addieren (Tafelbeispiel) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

133 Rechenregeln für den natürlichen Logarithmus (a) ln(xy) = ln x + ln y Logarithmen addieren (b) ln x y = ln x ln y Logarithmen subtrahieren (Tafelbeispiel) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

134 Rechenregeln für den natürlichen Logarithmus (a) ln(xy) = ln x + ln y Logarithmen addieren (b) ln x y = ln x ln y Logarithmen subtrahieren (c) ln x p = p ln x (Tafelbeispiel) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

135 Rechenregeln für den natürlichen Logarithmus (a) ln(xy) = ln x + ln y Logarithmen addieren (b) ln x y = ln x ln y Logarithmen subtrahieren (c) ln x p = p ln x (d) ln 1 = 0 Logarithmus von Eins ist Null ln e = 1 Logarithmus von e ist Eins (Tafelbeispiel) x = e ln x, x > 0 ln e x = x JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

136 Warnung Häufiger Fehler: ln(x+y)!!! ln x+ ln y ln x+ ln y = ln(xy) Es gibt keine einfachen Formeln für ln(x + y) und ln(x y). JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

137 Die natürliche Logarithmusfunktion g(x) = ln(x) (x > 0) Abbildung: Illustration der Definition von g(x) = ln x JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

138 Spiegelung an der Winkelhalbierenden Man erhält den Graphen der ln-funktion, indem man den Graphen der e-funktion an der Winkelhalbierenden spiegelt. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

139 Eigenschaften der natürlichen Logarithmusfunktion g(1) = 0 g(x) < 0 falls 0 < x < 1 g(x) > 0 falls x > 1 g(x) falls x 0 g(x) falls x Abbildung: Graph der natürlichen Logarithmusfunktion JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

140 Eigenschaften der natürlichen Logarithmusfunktion Es gilt: ln e x = x für alle x (1) e ln y = y für y > 0 (2) D.h. (1) wendet man auf x die e-funktion und anschließend die ln-funktion an, so ergibt sich x (2) wendet man auf y die ln-funktion und anschließend die e-funktion an, so ergibt sich y (Pingo 4.10 und Tafelbeispiel) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

141 Logarithmen mit anderen Basen als e Sei a eine feste positive Zahl (meist > 1). Wenn a u = x, dann heißt u der Logarithmus von x zur Basis a. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

142 Logarithmen mit anderen Basen als e Sei a eine feste positive Zahl (meist > 1). Wenn a u = x, dann heißt u der Logarithmus von x zur Basis a. Wir schreiben: u = log a x Das Symbol log a x ist dann für alle positiven Zahlen x definiert durch: a log ax = x JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

143 Logarithmen mit anderen Basen als e, einige Beispiele log 2 32 = 5, da 2 5 = 32 log 10 (1/100) = 2, da 10 2 = 1/100 Beachten Sie: ln x = log e x JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

144 Rechenregeln für Logarithmen zur Basis a (a) log a (xy) = log a x + log a y Logarithmen addieren JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

145 Rechenregeln für Logarithmen zur Basis a (a) log a (xy) = log a x + log a y Logarithmen addieren (b) ( ) log x a = log y a x log a y Logarithmen subtrahieren JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

146 Rechenregeln für Logarithmen zur Basis a (a) log a (xy) = log a x + log a y Logarithmen addieren (b) ( ) log x a = log y a x log a y Logarithmen subtrahieren (c) log a x p = p log a x JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94

147 Rechenregeln für Logarithmen zur Basis a (a) log a (xy) = log a x + log a y Logarithmen addieren (b) ( ) log x a = log y a x log a y Logarithmen subtrahieren (c) log a x p = p log a x (d) log a 1 = 0 Logarithmus von Eins ist Null log a a = 1 Logarithmus von a zur Basis a ist Eins JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 94