Roter Faden Physik. Gravitation und Planetenbewegung. mit Aufgaben und Lösungen. Dr. Ortwin Fromm. Evangelische Schule Frohnau, Berlin

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1 Rote Faden Physik avitation und Planetenbewegung mit Aufgaben und Lösungen von D. Otwin Fomm vangelische Schule Fohnau, Belin Copyight, Otwin Fomm.

2 A) eschichte de Weltbilde. a) Die Vostellung de de als flache Scheibe vetaten schiftlose Völke, sowie die mesopotamischen Hochkultuen. Schöpfungsmythen zufolge sei die de eine winzige Insel inmitten des Uozeans. Dieses Ubild findet sich auch im Alten estament de hebäischen Bibel wiede. b) Die giechische Antike fand schnell Agumente fü die Kugelgestalt de de. Agumente de Beobachtung: ) Bei ondfinstenis escheint de Schatten de de auf dem ond, wie auf eine Pojektionsleinwand, stets und. ) Im Süden de Nodhalbkugel stehen die Stene de kliptik höhe am Himmel als im N. 3) in ankommendes Schiff zeigt als estes die astspitze. Philosophisch-eligiöses Agument: Wie die Hebäe, so entwickelten auch die iechen einen onotheismus. Diese wa jedoch philosophische At und entspang de Vostellung de inheit von göttlichem Wesen und Natu. Chistentum und Islam beeicheten ih ottesbild z.. mit diesen edanken de Antike. Im philosophischen onotheismus gilt das Ideal von Keis, Kugel und ittelpunkt. Daaus leiteten die iechen gedanklich ab, dass alle Köpe zum ittelpunkt des All-inen und damit zum ittelpunkt de de steben müssten, weshalb die de eine Kugel sei. essung des dumfanges duch atosthenes im 3. Jahhundet v. Ch.: Assuan in Ägypten liegt etwa auf dem nödlichen Wendekeis, sodass die Sonne zu Sommesonnenwende dot senkecht α am Himmel steht und ein senkecht aufgestellte Stab keinen R Schatten wift. In Alexandia, s = 800 km nödliche, wift ein senkechte Stab zu selben Zeit jedoch einen Schatten unte ca. 7. Daaus egibt sich: π R 800 km = bzw. R 6548km, - ein hevoagende Wet Die folgende Hoizontbeechnung zeigte den iechen, wie klein de Wahnehmungsbeeich des enschen ist, so dass est Denken und Rechnen Abhilfe schafft. Die ntfenung s zum Hoizont folgt aus ( ) R + h = s + R zu s = Rh + h, bzw. s Rh. it R 6400 km ehält man die Weite s in km dahe nach de Faustfomel s = 3,6 h, wobei h in eten einzusetzen ist. Beispiele: ) Fü die Augenhöhe h =,69 m ist de Hoizont wegen,69 =,3 nu s = 3,6,3 4,7km entfent. ) Um die Küstenlinie eine Insel in 36km ntfenung übe den Hoizont schimmen zu sehen, muss ich einen Sonne Die ntfenung de/sonne emittelten die alten iechen aus de ntfenung de/ond und dem Winkel zwischen ond und Sonne zu Halbmondstellung: = / cos De Wet wa jedoch seh ungenau. S h Alexan. = (36 / 3,6) = 00m hohen um besteigen. ond c) Die Antike vetat also ein geozentisches Weltbild mit eine kugelfömigen de de im Zentum. ond, Sonne und Planeten seien an unsichtbae Kistallsphäen geheftet, welche die de konzentisch umgäben und die Himmelsköpe bei ihen Dehungen mitnähmen. Rätselhaft wa nu die zeitweilige Rückwätsbewegung, welche fü die äußeen Planeten, as, Jupite und Satun am Nachthimmel sichtba ist. Zu Zeit de Spätantike löste Ptolemäus dieses Poblem, indem e jedem Planeten eine weitee otieende Kistallsphäe, den pizyklus, zuodnete, dessen ittelpunkt jeweils auf de Hauptsphäe umläuft, siehe Übungsaufgabe 3). Diese Konstuktion beschieb die Bewegung de Planeten gut, doch wusste niemand, welche titanischen Käfte die Himmelssphäen halten und dehen. S s R α Assuan R 89 h s

3 d) s ist ein anhaltende Popagandaefolg de Aufkläungszeit gegen das finstee ittelalte, dass bis heute viele meinen, dieses hätte wiede an die flache de geglaubt (Wikipedia). Alle gebildeten Keise, wie auch die Katholische Kiche, gingen von de Kugelgestalt de de aus. homas von Aquin (5 74), de einflusseichste Kichenlehe des ittelaltes, vetat die kugelfömige dgestalt und de Kaise tug den Reichsapfel und keine Scheibe wie die Phaaonen. an hatte lediglich Zweifel an de Bewohnbakeit de dunteseite und auch de Stand de Schiffstechnik ließ eine dumseglung als hoffnungslos escheinen. st die Speung de Seewege nach Indien sowie eine fehlehafte Neubeechnung des dumfanges emunteten Columbus das Abenteue mit unzueichenden Schiffen zu wagen. e) In de fühen Neuzeit fühte Kopenikus das heliozentische Weltbild ein und ekläte die Rückwätsbewegung zum schlichten Sehpoblem. Auch wenn die de daduch ihe ittelpunktsstellung einbüßte, so entfielen doch die komplizieten pizyklen und die Planeten waen wiede an ein konzentische Sphäen geheftet. Weil die Hamonie des Himmels daduch soga gesteiget wa, wude dieses Weltbild kichenseits zumindest als Hypothese akzeptiet. Doch nun folgten dei Schitte, die das alte Weltbild auflösten und ein neues schufen. ) it goße ewissenhaftigkeit wetete Johannes Keple essegebnisse von ycho Bahe aus und koigiete die Keisbahnen zu minimal exzentischen llipsen. Diese, aus heutige Sicht geingfügige odifikation, bachte abe das geade duch Kopenikus wiedehegestellte Ideal von Kugel, Keis und ittelpunkt zum völligen instuz, denn die Sonne steht in einem de Bennpunkte, - die itte ist lee. Die leee itte eschüttete abe die antike Vostellung, welche itte und ott stets zusammen dachte. - Dies ging nun nicht meh. ) alileo alilei betachtete den ond duch das geade efundene Fenglas und sah, wie diese Himmelsköpe mit Begen, älen und aen de de ähnelt. Im Umkehschluss nahm e dann den Blick de esten ondfahe Amstong und Aldin gedanklich voweg und ekannte, dass die de auch nu ein Himmelsköpe ist, ein Köpe ohne inmaligkeit. Das Band zwischen dem einmaligen ott und de vomals einmaligen de wa zeissen. Die Kiche widespach mit dem Agument, dass Beobachtungen keine Aussagekaft hätten. So sei de Abendmahlswein faktisch Jesu Blut, auch wenn dies niemand sieht. 3) Nach dem geozentischen Weltbild ist das Pimäe de Stuz von Himmel und Planeten zum dmittelpunkt, welche duch die göttlichen Himmelsphäen vehindet wid. Das ägheitsgesetz von alilei deht den edanken vollständig um: Das Pimäe ist die tangentiale Flucht des ondes (bzw. de Planeten) aus de Keisbahn und die avitation de de (bzw. de Sonne) hält ihn (bzw. sie) duch ihe Zentipetalwikung davon ab. 4) Zusammenfassung: Die Kopenikanische Wende löste eine Revolution des Denkens aus: ötte veschwinden, die Natu eguliet sich selbst: ottesbeweise und laubenszwang lassen sich nicht aus de Natu begünden. Kopenikus Columbus alilei Newton Keple B) Newtons ondechnung und das avitationsgesetz De Legende nach sah Newton einen vom Wind waageecht abgeissenen Apfel zu Boden fliegen. wusste, dass de Apfel längs eine Paabel fliegt und dass diese Flugbahn am Scheitel- punkt so und ist wie ein Keis. Auf einem Keis fliegt abe auch de ond. Newtons eistesblitz: De ond fliegt wie de Apfel. In echanik, Fall- und Wufbewegung egab sich fü die Bahnkuve des waageechten Wufes g z( x) = x + h. vx it v x = seitliche Abwufgeschwindigkeit, h = Abwufhöhe. Keis de z h ond ond als Apfel Paabel x Die Kümmung ehält man duch zweimaliges Ableiten: / x z = g v, also K = g / v. Paabel x 3

4 Die Kümmung de Keisbahn betägt K = /, denn Kümmung und Radius sind antipopotional zueinande. Fü den Apfel gilt Keis = R, denn de Apfel umkeist den dmittelpunkt auf dem Radius R = 6400km. - Fü den ond gilt = R = km. Newton betachtete den ond als Apfel. Also setze e die Keiskümmung K = / R des ondes mit de Paabelkümmung x K = g / v des Apfels gleich: Paabel Keis / R = g / v. Die seitliche eschwindigkeit v x des ondes muss genau seine Umlaufgeschwindigkeit v sein. Aus/ R = g / v egibt sich abe 8 v g R 9,8 m / s 3,84 0 m m / s = = =. Das ist abe total falsch, denn die seitliche eschwindigkeit ist bekannt: Sie egibt sich einfach 8 aus ein Bahnumfang geteilt duch einen onat. v = U /. U = π R = π 3,84 0 m und = onat = 7, s egibt v = 03 m / s. Newtons Apfelmond ist also = 60 mal zu schnell. Wohe kommt de iesige Fehle 60? Newton hatte alle Zahlen 03 im Kopf und so stieß e auf eine andee 60 : De ond fliegt nämlich 60 mal so hoch übe dem dmittelpunkt wie de Apfel, dessen Höhe ein dadius R = 6400 km betägt. atsächlich egibt / 6400 = 60. In de Fomel v = g R fü die eschwindigkeit v lässt sich nu de Otsfakto g manipulieen. Um v auf ein / 60 -stel zu dücken, muss de Otsfakto abe auf / stel schumpfen, denn e steht unte de Wuzel. Newtons Schlussfolgeung: De Otsfakto ist nicht konstant, e nimmt quadatisch mit dem Abstand vom dmittelpunkt ab. Als Funktion nennt man den Otsfakto und es gilt ( R ) = g. De Otsfakto nimmt quadatisch ab. Damit ( R ) = g stimmt, muss gelten : ( ) = g R Die Schwekaft geht von de asse aus. Je göße die asse, desto göße de Schwekaft. Daaus schloss Newton, dass de Popotionalitätsfakto g R seineseits zu dmasse popotional sein muss. De neue Popotionalitätsfakto heißt γ = avitationskonstante. it g R = γ folgt ( ) = γ. setzt man nun in de Fomel F = m g den Otsfakto g duch das veallgemeinete, so folgt F = m γ. In nächsten Schitt weden m und duch und esetzt. gebnis: Das Newtonsche Kaftgesetz F = γ. Anmekungen zum Newtonschen Kaftgesetz de avitation: ) Die avitationskaft von auf ist anziehend. Abstoßende avitation gibt es nicht. ) F ist symmetisch bzgl. und. Vetauscht man die Rollen von und, so zeigt sich, dass das 3. Newtonsche Axiom Actio = Reactio efüllt ist. Zusammenfassung Kapitel B) ) Quadatisches Abstandsgesetz: Wede ond, noch Apfel folgen bei ihen Bewegungen dem ägheitsgesetz. Nach Newton beuht die Abweichung von de gleichfömigen gadlinigen Bewegung beide male auf de Schwekaft de de, ausgedückt duch den Otsfakto. Damit die beobachtete Umlaufzeit des ondes ichtig heaus kommt, muss de Wet des Otsfaktos, de am dboden g betägt, quadatisch mit de ntfenung vom dmittelpunkt abnehmen. ) Kaftgesetz de avitation: Das Kaftgesetzt efüllt auch 3. Newtonsche Axiom: Rollentausch zeigt: De Apfel zieht die de genauso stak an, wie diese ihn. Die gegenseitige Anziehungskaft ist popotional zum Podukt de assen. Sind weitee assen im Spiel, so übelagen sich die paaweisen Anziehungen additiv. ine iowikung usw. ist nicht bekannt. x 4

5 C) Das avitationsfeld Newton wusste nicht, wie die Anziehungskaft die Distanzen übebückt. sah sich genötigt eine unmittelbae (unendlich schnelle) Fenwikung anzunehmen. Heute weiß man, dass Ändeungen de avitation auch nu mit Lichtgeschwindigkeit übetagen weden. Küzlich wuden soga avitationswellen entdeckt, welche avitationsändeungen übe kosmische ntfenungen duch den Weltaum übetagen. Die essung wude mit dem Nobelpeis geeht. 5 Nach heutige Vostellung ist de Zwischenaum von avitation ezeugende asse und de avitation efahende asse mit eine vemittelnden Substanz ausgefüllt, nämlich dem avitationsfeld. Wie kommt man daauf, dass die avitation, dass etwas zwischen den beiden assen existiet? emäß de Kaftfomel F / = γ ist F gleich null, wenn null ist. Abe ist die avitation tatsächlich weg, wenn keine avitation efahenden asse vohanden ist? Zu Beantwotung setzen wi nicht schlagatig null, sonden lassen es langsam kleine weden. Dann wid auch F kleine. Doch das Vehältnis von F zu bleibt stets auf dem Wet F / = γ / stehen. Das Vehältnis ist übehaupt nicht von abhängig. s behält seinen Wet selbst dann, wenn im Limes gegen null geschickt wid. Das heißt: Auch ohne die avitation efahenden asse ist de ganze Raum duch den em γ / efüllt, welche nu von de feldezeugenden asse abhängt. Den emγ / nennt man γ Feldstäke des avitationsfeldes von. De Buchstabe dafü ist. Allg. gilt =. in Vegleich zeigt, dass de von Newton emittelte Otsfakto nichts andees wa, als die Feldstäke, welche die asse de de auf ondhöhe ezeugt. Auch ist de beühmte Otsfakto g = 9,8 m / s nichts andees, als die avitationsfeldstäke in Bodennähe.,00 Newton wude e gefagt, waum es exakt und nicht etwa heißt. konnte das nicht beantwoten, denn die kläung folgt est aus de Feldvostellung. Das Feld wid nämlich von Feldlinien duchlaufen. Die Feldstäke entspicht de Liniendichte. ine kugel- ode punktfömige asse ezeugt adial, bis ins Unendliche laufende Feldlinien. Da avitationfeldlinien nu von assen ezeugt weden und einmal vohandene nicht wiede veschwinden können, müssen sie von ihen zeugungspunkt aus imme gößee Kugelobefläche duchstoßen. Da die Kugelobefläche abe gemäß Feldlinien AO = 4π wächst, nimmt die Feldstäke gemäß / ab. Kugelobefläche = 4π Zusammenfassung Kapitel C) ) xistenz: Das Feld efüllt den ganzen Raum. ine Limesbetachtung zeigt, dass das Feld auch ohne Nachweis existiet. Die Feldstäke ist popotional zu öße de feldezeugenden asse. ) Otsfakto: De Otsfakto g in Bodennähe, bzw. a in gößee ntfenung ist die Feldstäke. 3) Abstandsgesetz: Die quadatische Abnahme de Feldstäke eine Punktmasse beuht nicht auf eine Abschwächung, sonden nu auf de Anfodeung, gößee Kugelobeflächen zu duchdingen. D) Die avitationswaage und die avitationskonstante γ. De Fakto g R in B) beuht allein auf Daten de de, weshalb e popotional zu dmasse sein muss. s gilt g R = γ, mit γ als Popfakto. γ heißt avitationskonstante. Wie goß ist γ? ine este Rechnung ging von γ = g R / aus. Abe wie schwe ist die de? Das zugängliche Obeflächengesteine hat etwas die Dichte ρ 3000 kg / m. 3 g R g R 3 g R 3 g 0 m Daduch egab sich γ = = = =, 0 V ρ 4 π R ρ 4 π R ρ kg s 3 3. AO

6 Diese Wet ist seh ungenau, denn die Beschaffenheit des dinneen wa unbekannt. s gelang dem nglände Cavendish 797 mit seinem bedeutenden Dehwaage-xpeiment den γ -Wet päzise zu emitteln ohne auf die dmasse zuückzugeifen. Duch Fomelumstellung hat e im egenteil dann soga die de im Labo gewogen. ine waageecht stehende Hantel mit zwei goßen Bleimassen lässt sich um den ittelpunkt in den Stellungen I und II aetieen. ine weitee Hantel mit zwei kleinen Bleimassen ist an einem osionsdaht beweglich aufgehängt. Je nach Stellung de goßen Kugeln vedillt sich de Daht de kleinen Ku- geln in eine gewisse Winkelstellung, denn die feststehenden goßen Kugeln ziehen die beweglichen kleinen Kugeln in ihe Richtung. Übe einen aufgeklebten Spiegel wid die Vedillung pe Lichtstahl angezeigt. Die quantitative Auswetung liefet Cavendish den Wet de avitationskonstanten γ = 6,673 0 m / kg s g R 4 = = 5,97 0 kg. γ I So hat Cavendish die de im Labo gewogen. ) Bewegung eines kleinen Köpes m auf eine Keisbahn um einen Zentalköpe. Um eine asse m von de gleichfömig gadlinigen Bewegung in eine Keisbewegung zu zwingen, ist somit eine Kaft efodelich, welche die Zentipetalbedingung F Z = m v / efüllt. Die avitation eine Punktmasse leistet dies. Diese Übelegungen weden hie angewendet auf U a) die Bewegung des ondes m um die de, b) die Bewegung eines künstlichen Satelliten m um die de, c) die Bewegung de Planeten m um die Sonne. ) In die Bahnbeechnung gehen die dei ößen (Bahnpaamete), v und ein. egeben ist jeweils eine de dei ößen, die andeen beiden lassen sich dann beechnen. Das gelingt, weil es zwei Beziehungen (Fomeln) gibt, welche die dei ößen vebinden. m mv I) Die avitationskaft F = γ fungiet als Zentipetalkaft F Z =. Aus 3 it diesem genaueen Wet egab sich aus de Fomel g R = γ die dmasse mv / = γ m / folgt dann v = γ Fomel (I) II) Fü die Bahngeschwindigkeit gilt v = U / = π / v = π / Fomel (II) Beispielaufgaben mit: R a) egeben.: esucht: v und. 6 II II I ausfallende Stahl I einfallende Stahl Senkechte osionsdaht mit Spiegel 3 = 6,37 0 m, γ = 6,673 0 m / kg s, ausfallende Stahl II ausfallende Stahl in Nullstellung Nullstellung Zusammenfassung Kapitel D) ) essung de avitationskonstante: Ih Wet wude duch Anziehiehungskaft zweie assen im Labo emittelt. Die geinge Kaft efodete die este Päzisionsmessung de Physikgeschichte. ) Wet: De Wet von γ ist winzig. Zwei kg assen in m Abstand ziehen sich nu mit 67 pn an. 3) dmasse: Die essung von γ im Labo emöglichte die exakte Beechnung de dmasse. = 5,97 0 Lösung: v = γ nach v umstellen: v = γ /. Dann... ziehen. Nun und v in v = π / einsetzen und nach umstellen. Beispiel: dsatellit in h = 00km Höhe. g.: = 6570 km; v = 7787 m / s ; = 5300 s 4 I II v I kg II m F = F Z 6

7 b) egeben: v esucht: und. Lösung: v = γ nach umstellen: = γ / v Nun und v in v = π / einsetzen und nach umstellen. Beispiel: dsatellit mit v = 7000 m / s. g.: = 830 km; h = 77 km; = 798s c) egeben: esucht: v und. γ π 3 π γ Lösung: = in v = einsetzen egibt v =. Dann 3... ziehen. v Nun und v in v = π / einsetzen und nach umstellen. Beispiel: dsatellit mit = 5500 s. g.: v = 769 m / s; = 6733 km; h = 363, km d) Anmekung: liminieen von v aus Fomel (I) v 4π Quadieen von (II) egibt v =. insetzen in (I): 4π 4π 3 = γ. Umstellen: =. γ = γ und Fomel (II) v = π / : 4π = γ egibt Hat man zwei Planeten P und P, welche dasselbe Zentalgestin de asse auf unteschiedlichen Bahnen umlaufen, so gilt Division diese leichungen egibt 4π = und γ 3 = bzw = 4π =. γ Keple-esetz Das 3. Keple-esetz besagt fü zwei Planeten, welche dasselbe Zentalgestin auf Keisbahnen umlaufen, dass das Quadat des Vehältnisses de Umlaufzeiten gleich de 3. Potenz des Vehältnisses de Bahnadien ist. Diese esetzmäßigkeit hat Keple duch Beobachtung fü elliptische Bahnen gefunden. Fü elliptische Bahnen sind die Radien dann duch die goßen Halbachsen zu esetzen. ) Keisfömige Satellitenbahnen Satelliten umlaufen stets den dmittelpunkt in Höhen obehalb de Atmosphäe. Je kleine de Radius, desto kleine die Umlaufzeit. Ohne Bege und Atmosphäe könnte ein Satellit die dkugel in ca. 3 null ete Höhe umkeisen. Die Umlaufzeit betüge dann = 4 π R / γ = 5067s 84 min. Alle 84 inuten flöge de Satellit voübe. in Köpe, welche die de in einem fiktiven Bohloch duchschwingt, benötigt inteessanteweise die gleiche Zeit als Schwingungsdaue. Niedigen Pakbahnen, die auch fü die Katogaphie genutzt weden, velaufen in ca. 00 km Höhe. Die Umlaufzeiten betägt dann wenige als 90 inuten. Die ISS hat ca. 350 km Höhe und läuft in 9 inuten um. Kommunikationssatelliten laufen in einigen tausend Kilometen Höhe um. Satelliten sieht man nu füh mogens und am fühen Abend. Waum? Zusammenfassung Kapitel ) ) Keisbahn: Die Keisbahn wid zwa gleichfömig, abe nicht gadlinig duchlaufen. Deshalb ist eine Kaft efodelich, die Zentipetalkaft. Die avitaton eine Punktmasse efüllt die Bedingung. ) Paamete: s gibt die dei Bahnpaamete: Radius, Umlaufgeschwindigkeit und Umlaufdaue. 3) Beziehungen: Zwischen den dei Bahnpaameten bestehen zwei Beziehungen, sodass nu ein Paamete bekannt sein muss. Die andeen beiden lassen sich dann beechnen. 7

8 F) Abeit und negie eine asse m im avitationsfeld de asse. ) Hubabeit W Im Roten Faden Physik, echanik haben wi gelent, dass zum Heben eine asse m um die Hubhöhe h (in dbodennähe) die Abeit W = g m h zu veichten ist. Jetzt soll die asse m abe nicht nu um wenige ete, sonden um viele hundet ode ga tausend Kilomete senkecht empo geschossen bzw. gehoben weden. Damit geät m aus dem Beeich des (nahezu) konstanten Otsfaktos g,de in Bodennähe gilt, heaus. D.h., die Hubabeit ist gegen den vaiablen Otsfakto a( ) = γ / zu veichten. Im Abstand F ä vom dmittelpunkt ist dahe die äußee Kaft Fä = γ m / aufzubingen, um die asse m käftefei zu bewegen. Die Hubabeit gewinnen wi wiede als Flächeninhalt des zugehöigen Abeitsdiagammes. Im. KHJ lent man, dass ein Flächeninhalt duch Integation beechnet wid. Die Integalechnunug ist die Umkehung de Diffeentialechnung. Wi zeigen as Integieen zunächst am Beispiel de Funktion f ( x) = / x = x : Zum Integieen von f ( x ) muss eine sogenannte Stammfunktion F( x ) gefunden weden, sodass F ( x) = f ( x) gilt. Da Ableiten den xponenten um eniedigt, muss F( x ) die Fom F( x) = k x mit noch unbekanntem k. Ableiten des Ansatzes egibt F ( x) = k x. Damit muss k = gelten und das gebnis de Integation lautet Flächeninhalt unte de Kuve f ( x) / = x zwischen den Weten dann duch die Fomel A = F( x ) F( x ) = / x ( / x ) = / x / x. Übetagen auf das Abeitsdiagamm heißt das: γ W = m F( x) x / x = =. De x und x egibt sich Beispiel ) Um eine Rakete de asse m = 000 kg von de dobefläche mit = R = 6370 km auf die Höhe h = 00km, also auf den ittelpunktsabstand R = 6570km zu heben, muss man W =,9 0 J =,9 J Abeit veichten. Beispiel ) Um die asse m = 000 kg von de dobefläche mit = R = m auf die Höhe h = m, also auf den ittelpunktsabstand R = m zu heben, muss man W = 9,8kJ Abeit veichten. Das egibt sich auch mit W = g m h. ) Potentielle negie W pot eine asse m im avitationsfeld de asse. Allgemein gilt: Veichtete Abeit wid zu potentielle negie. Abe wo fängt die Veichtung an? Wenn ein Buch auf dem dboden liegt, so wüde man ihm die potentielle negie W = 0 zuscheiben, weil es ja noch nicht angehoben wude. Abe vielleicht wude es am pot Votag aus dem Kellemagazin empo getagen. Kuzum, eine allgemeine Fomel fü die potentielle negie eines Köpes efodet eine Bezugshöhe, fü welche W pot = 0 gelten soll. Wede de dboden noch das Kelleniveau ist sinnvoll, beide sind elativ. ibt es ü- behaupt etwas Absolutes? Fü ein homogenes Feld, welches sich mit konstantem Otsfakto g übe den gesamten Raum esteckt, gibt es das nicht, wohl abe fü ein Schweefeld, dessen Otsfakto gemäß a( ) = γ / mit zunehmendem abnimmt und im Unendlichen veschwindet. Diesen Nullwet im Unendlichen nutzt man zu Festlegung des Bezugsniveaus. Um z.b. die potentielle negie de asse m auf dem dboden zu emitteln, übefühen wi m gedanklich von = nach = R. Die zu veichtende Abeit ist 9 W Abeitsdiagamm 8

9 9 γ m dann negativ, es gilt W R = γ m 0 = γ m =. R R R Fü m = kg gilt dann auf dem dboden W,0 = γ m / R = ,4 J pot und in ein ete Höhe W, = γ m / ( R + m) = ,306 J. pot Die Diffeenz W, W,0 = 9,8J ist dann wiede die übliche Hubabeit. pot pot Allgemein haben wi somit die enealfomel fü die potentielle negie eine asse m im γ m avitationsfeld de punktfömigen asse : Wpot =. Bemekung zum inuszeichen : Solange m eine endliche ntfenung zu hat, kann m die Zentalmasse umkeisen und ist insofen an gebunden. m sitzt also im Kelle von. Das inuszeichen seine potentiellen negie ist somit anschaulich veständlich 3) Kinetische negie eine asse m auf eine Keisbahn um die asse. Fü die etische negie gilt allgemein Daduch, dass die avitationskaft = / auf de Keisbahn jedoch als Zentipe- v = / gilt, sind v und nicht meh unabhängig. talkaft Setzt man F Z m v / v / = fungiet, also = γ in W W F γ m = ½ mv. Fomel, die scheinba ganicht meh von v abhängt: γ = ½ mv ein, so ehält man fü die etische negie eine W γ m =. Sowohl W pot, als auch W enthalten den em γ m /. Damit gilt Wpot = W 4) esamtenegie eine asse m auf eine Keisbahn um die asse. Fü die esamtenegie gilt bekanntlich Wes = W + Wpot. Wegen W = W folgt Wes = Wpot. Also pot Bemekung: Die Beziehungen zwischen W es γ m =. W pot, W und W es heißen Viialsatz 5) Anmekungen: a) W ist zwa positiv (muss es wegen v sein). Da abe W pot exakt doppelt so goß und negativ ist, ist auch die esamtenegie W es auf allen Keisbahnen negativ. b) Auf de Keisbahn sind W und W es dem Betage nach gleich goß. Abe wähend W > 0 gilt, ist W es < 0. c) Kann W es übehaupt positiv sein? Antwot: Ja. W es ist dann positiv, wenn die asse m beeits aus dem Unendlichen mit eine eschwindigkeit hebei fliegt. Fü manche Kometen ist das de Fall. Doch diese Kometen duchlaufen eine Hypebelbahn und keine Keisbahn. negien W ges < 0 W pot < 0 W > 0 Zusammenfassung Kapitel F) ) Hubabeit: Die Hubabeit gewinnt man aus dem Abeitsdiagamm mit abnehmende Otsfakto. ) Potentielle negie: Bezugsniveau. Fü die Bewegung im Feld eine Punktmasse bietet sich auf natüliche Weise de Abstand = als Bezugsniveau an. Damit wid W pot fü alle < negativ. 3) Kinetische negie: W >0. Auf de Keisbahn wid v duch esetzt. W ist deshalb imme halb so goß wie W pot, alledings mit umgekehtem Vozeichen. 4) esamtenegie: Die Bedingung fü W übetägt sich auf W es : W es = - W. 5) Viialsatz: Die Beziehungen zwischen W pot, W und W es auf de Keisbahn heißen Viialsatz 6) Vozeichen von W es: Fü W es < 0 befindet sich m in einem an gebunden Zustand und duchläuft eine Keis- ode llipsenbahn. W ges () W pot ()

10 ) Statgeschwindigkeit von Raketen von de dobefläche aus. Wi denken uns die de als ideale Kugel ohne Bege und Lufthülle. ine senkecht ode schäg abgeschossene ewehkugel fällt auf die dobefläche zuück. ine militäische Rakete übefliegt einen gewissen Keisbogen de dkugel und schlägt dann wiede auf. Welche Statgeschwindigkeit baucht eine Rakete, um in eine Keisbahn zu gelangen? Im uhenden Zustand auf dem Boden gilt de Viialsatz fü die Rakete nicht. Hie muss Wes = W + Wpot neu emittelt weden: Ohne dotation gilt W = 0. Fü Wpot gilt am dboden W = γ m / R, sodass die esamtenegie vo dem Stat W0 = γ m / R betägt. pot Auf de Keisbahn mit Radius benötigt m abe die esamtenegie W = ½ γ m /. γ m γ m Beim Abschuss muss dahe die Diffeenz W = + = γ m R R beeitgestellt weden. W wid duch die etische negie ½ mv beim Stat geliefet. Aus de Fodeung mvstat = γ m folgt dann vstat = γ. R R Spezialfälle: Kosmische eschwindigkeiten ) ste kosmische eschwindigkeit heißt diejenige Statgeschwindigkeit, welche fü die niedigst mögliche Umlaufbahn in gedachten null eten Höhe notwendig ist. it = R folgt v. K = γ = γ. Also v. R R R Fü die de gilt v km / h. K Stat ges γ K =. R ) Zweite kosmische eschwindigkeit heißt diejenige Statgeschwindigkeit, welche die Rakete ins Unendliche befödet. it = folgt v. K = γ. Also v. R Fü die de gilt v km / h K K γ = an sieht: v. K = v. R Zusammenfassung Kapitel ) ) dboden: Steht eine Rakete am dboden, so ist W gleich null und es gilt W pot = - γ m /. De Viialsatz zwischen W pot, W und W es gilt am Boden also nicht. ) ste kosmische eschwindugkeit: Sie bingt die Rakete vom Boden auf die niedigst mögliche Keisbahn in null eten Höhe. Auf jede Keisbahn muss de Viialsatz zwischen W pot, W und W es gelten. Dahe muss W vom Wet null auf den Wet W = - ½ W pot gebacht weden. Diese negie wid duch einen Statschuss mit de. kosmischen eschwindigkeit aufgebacht. 3) Zweite kosmische eschwindigkeit: Sie bingt die Rakete vom Boden in das Unendliche. Dazu muss genau doppelt soviel Statenegie beeitgestellt weden, wie fü die gedachte Keisbahn auf Bodenhöhe efodelich ist. v.k muss dahe um den Fakto göße sein als v.k. 4) Ändeung des Bahnadius: Die Diffeenz de jeweiligen esamtenegieen liefet die efodelich Statgeschwindigkeit zu Bahnändeung. K H) eostationäe Bahn de de Fodeung: Umlaufzeit = s = s. Aus 3 geost γ = folgt 4π Flughöhe übe de de γ 4π 3 6 geost = = 4, 4 0 m = 4 4 km = = =. 6 hgeost geost R 35,87 0 m k m 0

11 Die echte geostationäe Bahn umläuft die de übe dem Äquato. Relativ zu einem Ot auf dem Äquato steht de Satellit dann tatsächlich still. Umkeist de Satellit den dmittelpunkt in geostationäe Höhe auf eine nichtäquatoialen Keisbahn, so schwingt e, elativ zu otieenden de, in Fom eine Acht zwischen Nod und Süd hin und he. I) Bewegung Lihuu eines Planeten ode Satelliten auf eine elliptischen Bahn. ) Die elliptische Bahn im Potentialtopf. Wift man eine ünze schäg in einen eldspendetichte, so wüde sie bei Reibungsfeiheit von oben gesehen auf eine llipsenbahn umlaufen. Das ichteloch umläuft sie mit hohe eschwindigkeit. Am Rand wi sie langsam. Bei de Planetenbahn ist es entspechend: Die Sonne steht in einem de llipsenbennpunkte, im ichteloch. Den Aphel duchläuft de Planet schnell, den Peihel langsam. ) Die esetze de llipsenbahn. Keple deutete die hoch päzisen Planetendaten von ycho Bahe und fand das... Keple-esetz: Jede Planet duchläuft eine (minimale) llipse, in deen einem Bennpunkt die Sonne steht.. Keple-esetz: De von de Sonne zum Planeten gezogene Leitstahl übesteicht in eine aumfesten bene in gleichen Zeiten gleich goße Flächen. (Keplesche Flächensatz) 3 3. Keple-esetz: Fü zwei Planeten gilt ( / ) ( a / a ) Halbachsen de llipsen.(siehe Abb.). De Flächensatz beuht auf dem Dehimpulsehaltungssatz, den Keple noch nicht kannte. De Betag des Dehimpulses ist das Podukt von Hebelam, eschwindigkeit v und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels: L = v sinα. Da abe v sinα = h die Höhe des nebenstehenden Paallelogamms mit de undseite ist, entspicht de Flächeninhalt des Paallelogamms dem Betag des Dehimpulses L. 3) Übeblick: ögliche Bahnen, Kegelschnitte Die möglichen Bahnen eine asse m um die asse sind ) de Keis ) die llipse 3) die ins Unendlich gehende Paabel und 4) die asymptotisch aus dem Unendlich kommende und dothin gehende Hypebel. Inteessanteweise ehält man alle diese Kuven duch geeignetes Schneiden eines Kegels mit eine bene. Im esten und zweiten Fall ist die esamtenegie de asse m negativ. Im ditten Fall ist sie null. Im vieten Fall ist sie positiv. =. a, sind dabei die goßen Peihel Diese Kegelschnitt liefet eine llipse. J) Sonnensystem, Deiköpepoblem Bewegen sich z.b. dei Köpe unte dem influss de avitation, so entstehen im Allgemeinen chaotische Vehältnisse. Kleinste Bahnändeungen bewiken mitunte völlig unteschiedliche zukünftige Veläufe (Schmettelingseffekt). In unseem Sonnensystem beinhaltet die Sonne jedoch 99,86% de esamtmasse. Dahe sind die Planeten vegleichsweise masselos und beeinflussen sich kaum. Sobald die Umlaufzeiten jedoch in einem niedigen ationalen Vehältnis stehen, kommt es zu Resonanzen. Bahnstöungen schaukeln sich auf und Planeten stüzen in die Sonne ode weden aus dem System geschleudet. Auf diese Weise wude in de Fühgeschichte des Sonnensystems mächtig aufgeäumt. b a a Aphel α h v

12 Inteessant fü die Raumfaht ist, wie sich ein kleine ditte Köpe (Satellit) im Beeich zweie sich umkeisenden Köpen (z.b. de und Sonne) benimmt. De fanzosische athematike Lagange hat fünf Punkte im otieenden System eechnet, an welchen sich die Kaftsumme fü den Satelliten zu null addiet. Die Punkte heißen Lagange-Punkte bzw. Libationspunkte, sie otieen synchon mit de de um die Sonne. igentlich wüde man nu einen käftefeien Punkt zwischen de und Sonne (bei L ) vemuten, an welchem sich die Anziehungskäfte von Sonne und de diekt aufheben. Abe ähnlich de ezeitenwelle auf de mondabgewandten Seite de de im System de-ond, gibt es noch L und L 3, an deen aufgund de Zentifugalkaft ebenfalls Käftefeiheit hescht. Alle dei Punkte L, L und L 3 otieen auf de Vebindungsgeade duch de und Sonne. De Aufenthalt an diesen dei Punkte ist jeweils instabil. Weltaumaumschott diftet langsam aus ihnen heaus. in Satellit hingegen Sonne L de L L kann hie, mit minimalem Koektuaufwand, seine Position stabilisieen. In L sind Foschungssatelliten zu Sonnenbeobachtung positioniet. In L hat man Abschattung, so dass L 5 von dot aus die vom Uknall heühende kosmische Hintegundstahlung beobachtet L weden kann. In L 3 hat die Science-Fiction-Liteatu eine egenede vemutet, die fü uns stets hinte de Sonne vebleibt, was abe mit de Instabilität nicht vetäglich wäe. Die Punkte L 4 und L 5 sind hingegen stabil. Sonne-de- L 4 bzw. Sonne-de- L 5 bilden ein gleichseitiges Deieck. L 4 und L 5 weden umkeist von Weltaumstaub und Kleinasteoiden. Diese nennt man ojane, weil sie wie Hekto und Achilles oja umlaufen. L 3 L 4