4.9 Gravitation und Planetenbewegung

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1 4.9 avitation und Planetenbewegung Aus astonomischen Beobachtungen de Planetenbewegungen kann das avitationsgesetz abgeleitet weden. Pythagoäe: Planeten keisen um die Sonne Kopenikus: Heliozentistisches Weltbild Kopenikus ( ) Von sammelte Tycho Bahe mit bloßem Auge (ohne Fenoh) seh päzise Daten de Planetenbewegungen. Johannes Keple hat mit Hilfe diese Daten die Kepleschen esetze abgeleitet. Keple ekannte nicht das avitationsgesetz, das aus seen esetzen abgeleitet weden kann. Bahe (546-60) Keple (57-630) 4.9 Keplesche esetze. esetz: Die Planetenbahnen sd Ellipsen, deen eem Bennpunkt die Sonne steht.. esetz: Die Vebdungslie zwischen Sonne und Planet übesteicht gleichen Zeiten gleiche Flächen. (Flächensatz) 3. esetz: Die Quadate de Umlaufzeiten T zweie Planeten vehalten sich wie die ditten Potenzen de goßen Halbachsen a ihe Bahnen. T a T a 3 3

2 4.9 Newton und die avitation Uspünglich fand Newton 665 das avitationsgesetz aus folgende efachen Abschätzung: E Apfel, de vom Baum fällt, wid duch die avitation mit ca. 0 m s - (g) beschleunigt. Auf den Mond wikt die Zentipetalbeschleunigung E wid demnach mit Vehältnis de Radien: v a Z Mond Mondbahn v m a s Mondbahn 60 Ede Vehältnis de Beschleunigungen: a Mond Daaus zog Newton den kühnen Schluss, dass F - g. beschleunigt Isaak Newton (643 77) 4.9 avitationsgesetz Ableitung aus dem 3. Kepleschen esetz Annahme (zu Veefachung): Planetenbahnen sd Keisbahnen Zentipetalbeschleunigung T 4π a z ω T c, c 3 3. Kepleschen esetz konstant a z 4π c Kaft F m a z 4π c m Kaft fällt mit - ab und ist popotional zu Masse m des Planeten Wegen dem Reaktionspzip muss avitationsgesetz: die Kaft auch von de zweiten M Masse M (Sonne) abhängen F m

3 4.9 Messung de avitationskonstante m m An de Edobefläche wid ee Masse Ede F m mit de Kaft F angezogen ist die am wenigsten genau bekannte Natukonstante (0) 0 - m 3 kg - s - (CODATA 998) De Edadius ist diekt messba, nicht abe die Edmasse! Aus ee Messung de Kaft F kann nu das Podukt m Ede bestimmt weden! Die avitationskonstante ist also nicht aus Planetenbewegungen ableitba, da Massen de Sonne und de Planeten unbekannt ist. avitationskonstante ist nu messba, wenn beide beteiligten Massen sepaat ausgemessen weden können. 4.9 Bestimmung de Edmasse Bei kugelsymmetischen Massen daf mit Punktmasse im Mittelpunkt geechnet weden. (Mathematische Beweis wid hie nicht gezeigt.) Edadius: 6378 km (Äquato) g m m Ede Ede Ede g Ede. Edmasse: kg Mit de Edmasse, de avitationskonstante, dem Bahnadius de Ede und de Daue ees Jahes lässt sich die Sonnenmasse bestimmen

4 Zusammenfassung Punktmechanik 4. Kematik ees Massenpunktes 4. Dynamik ees Massenpunktes 4.3 Käfte 4.4 Impuls 4.5 Abeit, Enegie, Potential 4.6 Stöße 4.7 Dehimpuls und Dehmoment 4.8 Bewegung im Zentalpotential 4.9 avitation und Planetenbewegung Keplesche esetze Newton und die avitation avitationsgesetz Messung de avitationskonstante Vesuch: avitationsdehwaage avitationskonstante Päzisionsmessung von Bestimmung de Edmasse E schönes Wochenende 4.9 Messung de Fallbeschleunigung z.b. Messung de Fallzeit: (gleichmäßig beschleunigte Bewegung) a x( t) t x t a daaus Bestimmung de Fallbeschleunigung g Mittlee Wet: g 9.8 m s - Vesuch: Peiodendaue ees Fadenpendels ( Schwgungen) Päzisionsmessung mit avimete: Absolutbestimmung von g mit Fallvesuch Otsmessung x(t) mit Lasetefeomete und Atomuh Zuückfühung auf Ot- und Zeitmessung egibt hohe enauigkeit Relative Fehle: 0-9

5 4.9 Relatives avimete kapazitive Abstandsmessung supaleitende Kugel supaleitende Spule Supaleitende Kugel schwebt übe supaleitende Spule Abstoßendes Magnetfeld (Meißne-Ochsenfeld-Effekt) Elektische Stöme seh konstant (änden sich unmeklich 0 5 Jahen) Abstoßende Kaft viel konstante als Edanziehungskaft Kaftändeungen änden die Position de schwebenden Kugel um wenige nm Relative Empfdlichkeit fü g: Anwendungen de avimetie eophysikalische Eflüsse auf die Fallbeschleunigung: Peiode 0.s 0 s m h 4h 8h 8 h - m-a 365 d 436 d Effekt Seismik Oszillationen de Ede Slichte Moden Tidenhub Edkenschwgungen Diunal Fee Wobble (NDFW) Luftduckschwankungen undwasseschwankungen Jahestide Polbewegung öße [nm s - ] < 0000 < 0 0. < < hpa < 80 eofoschungszentum Potsdam

6 4.0 avitationsfeld Es wid die Kaft auf ee klee Masse m de Nähe de Masse M gemessen. De Betag de Kaft ist Die Richtung de Kaft zeigt auf Masse M, d.h. Richtung von -. F m M F m M m M e M F Um das Feld unabhängig von de Masse m des Pobeköpes zu machen, füht man die Feldstäke g e. F( ) M g( ) e. m 4.0 Dastellung de Feldstäke duch Feldlien Jede Feldlie begnt im Unendlichen und endet an ee Masse. Die Richtung de Feldlie stimmt an jedem Punkt mit de Richtung de Kaft auf ee Pobemasse übee. Die Dichte de Feldlien po Flächeneheit (bei senkechtem Duchstoßen) ist popotional zum Betag de Kaft. Feldlie Äquipotentiallie

7 4.0 avitationspotential avitationsfeld ist e Zentalkaftfeld Feld lässt sich als adient ees Potentials dastellen ( ) ( ) ( ) F Φ Φ gad ( ) ( ) 3 3 M m z y x z y x M m z y x z y x M m M m Φ ( ) M m Φ Zu zeigen, dass das avitationspotential ist: 4.0 Potential ee Punktmasse ( ) M m Φ

8 Zusammenfassung Punktmechanik 4. Kematik ees Massenpunktes 4. Dynamik ees Massenpunktes 4.3 Käfte 4.4 Impuls 4.5 Abeit, Enegie, Potential 4.6 Stöße 4.7 Dehimpuls und Dehmoment 4.8 Bewegung im Zentalpotential 4.9 avitation und Planetenbewegung Keplesche esetze avitationsgesetz Messung de Fallbeschleunigung, avimetie 4.0 Himmelsmechanik avitationsfeld avitationsfeldstäke ee Punktmasse Feldstäke von zwei Punktmassen Zelegung de Feldstäke Komponenten Dei Punktmassen Zwei unteschiedliche Massen Dastellung de Feldstäke duch Feldlien avitationspotential 4.0 Bewegungsgleichung ( t 0) 0 v t 0 v Ausgehend vom Statpunkt mit Statgeschwdigkeit ( ) 0 wid jedem Moment folgendes beechnet: aus de Kaft die Beschleunigung Ändeung de eschwdigkeit, & F( ) F( ) v& a. m m daaus die neue eschwdigkeit Ändeung des Otsvektos, v v ( t + t) v( t) ( t + t) F M daaus de neue Ot: ( ( t) ) ( t) t M m () t () t t + v() t 3 () t t + t t + t ( ) ( t) v( t) t ( ) v() t t + () t 3 t

9 4.0 Äquivalentes edimensionales Potential M m + L m äquivalente potentielle Enegie Rotationsenegie L m M m potentielle Enegie 4.0 Bahnkuven im avitationspotential Zentalkaftpotential somit gelten: Enegieehaltung Dehimpulsehaltung Ek + E pot konst m v konst Lösungen des Zweiköpepoblems liegen Ebene Zyldekoodaten E Mm ( & ρ + ρ & ϕ ), E, L L m ρ & ϕ k mv m pot Enegieehaltung: Elimieen von t dϕ L dϕ L d ρ d ρ dϕ d ρ L ρ dt m dt ρ m dt dϕ dt dϕ ρ m L d ρ 4 ρ m dϕ + ρ L M m m & ρ + mρ ρ L M m m ρ ρ E tot E tot

10 4.0 Kegelschnitte L d ρ 4 ρ m dϕ + L M m m ρ ρ Lösung de Diffeentialgleichung liefet: L ρ, mit M m ε E tot + E 3 ( + ε cos( ϕ )) M m tot L ε E tot > < 0 >0 0 <0 M m L 3 Hypebel Paabel Ellipse Keis 4.0 Waum heißen die Bahnen Kegelschnitte? Keis Ellipse Paabel Wkel de Schnittebene zu Senkechten ist göße als de halbe Öffnungswkel des Kegels Wkel de Schnittebene zu Senkechten ist gleich dem halben Öffnungswkel des Kegels Hypebel Wkel de Schnittebene zu Senkechten ist klee als de halbe Öffnungswkel des Kegels Kegelschnitte Ruthefodsteuung

11 4.0 Reduziete Masse Bei bisheige Behandlung de Dynamik von zwei Massenpunkten wude die Impulsehaltung veletzt da otsfeste Masse M angenommen wude E k m m m & R m + m Schwepunkt R m + m + m & & ( m + m ) R + m m m µ & & ( R + & ) + m ( R + & ) & m + m 443 eduziete Masse 4.0 Potential mehee Punktmassen Bei meheen Massen weden die Potentiale addiet Supepositionspzip ϕ y x

12 Zusammenfassung Punktmechanik 4. Kematik ees Massenpunktes 4. Dynamik ees Massenpunktes 4.3 Käfte 4.4 Impuls 4.5 Abeit, Enegie, Potential 4.6 Stöße 4.7 Dehimpuls und Dehmoment 4.8 Bewegung im Zentalpotential 4.9 avitation und Planetenbewegung 4.0 Himmelsmechanik avitationsfeld, avitationspotential Bewegungsgleichung Äquivalentes edimensionales Potential Bahnkuven im avitationspotential, Kegelschnitte Satelliten ezeiten Fluchtgeschwdigkeit Deiköpepoblem 4. Wechselwikungen und Käfte Kaft Wechselwikung Reichweite (m) Relative Stäke avitationskaft zwischen Massen avitationsladung (Anziehend) 0 - Schwache Kaft Wechselwikung beim β-zefall schwache Ladung Coulombkaft zwischen elektischen Ladungen (Anziehend und Abstoßend) 0 - Stake Kaft zwischen den Kenbausteen stake Ladung (Fabladung) 0-5

13 4. Elektomagnetische Kaft Kaft zwischen elektisch geladenen Objekten Elektische Ladung leiche Fom wie avitationskaft q, [ q] As C F C 4π ε 0 q q Kaft kann entspechend de Ladungen Vozeichen wechseln! q q > 0 Abstoßung zwischen gleichatig geladenen Objekten q q < 0 Anziehung zwischen gegengesetzt geladenen Objekten Waum ziehen sich neutale Objekte an? 4. Van de Waals Kaft In elektisch neutalen Köpen können elektische Käfte duch wechselseitige Ladungsveschiebung (Polaisation) aufteten Diese Dipol-Dipol-Wechselwikung folgen de van de Waals- Beziehung A B E pot 6 A B 6 Bei seh kleen Abständen < R 0 : abstoßend Küzee Reichweite als die Coulombkaft

14 4. Bezugssysteme und Schekäfte Physikalische Vogänge kann man von veschiedenen Standpunkten aus beobachten. Koodatensysteme mit gegeneande veschobenem Uspung sd gleichbeechtigt. Inetialsysteme adlig-gleichfömig gegeneande bewegte Koodatensysteme sd auch gleichbeechtigt. Inetialsysteme Physikalische Vogänge beschleunigten Koodatensystemen vehalten sich andes. Inetialsysteme Beobachtungen aus Inetialsystemen fühen imme auf die gleichen physikalischen esetze. Aus physikalischen Messungen nehalb ees Inetialsystems kann man nicht feststellen, wo es sich befdet und wie schnell es sich bewegt. 4. alileitansfomation Fü die eschwdigkeit bedeutet das Fü die Beschleunigung bedeutet das d v v v dt a 0 dv dv dv dt dt dt 0 a Das Koodatensystem mit Stich bewege sich mit de eschwdigkeit v 0 gegen das andee, dann tansfomieen sich die Koodaten wie: x x v0t y y z z t t In beiden Systemen teten die gleichen Beschleunigungen und damit auch Käfte auf

15 4. Tansfomation von Enegie und Impuls Ist das System abgeschlossen wid aus jedem Inetialsystem die gleiche potentielle Enegie beobachtet (potentielle Enegie hängt nu von Relativkoodaten ab) Die ketische Enegie hängt von Wahl des Inetialsystems ab (Eneung: Enegieübetag beim Stoß) E k m v( t) u De Impuls hängt von Wahl des Inetialsystems ab p m( v u) Enegie und Impuls bleibt nicht ehalten beim Übegang von eem Inetialsystem zum Andeen. Innehalb von jedem Inetialsystem gelten die Ehaltungssätze 4. Fei fallende Bezugssysteme Im avitationsfeld fei fallende Systeme sd Inetialsysteme. eadlig beschleunigte Systeme sd nicht zu untescheiden von Systemen, die im avitationsfeld uhen. (leichheit von täge und schwee Masse) ( g 0) Fei fallende Systeme sd zwa beschleunigt, abe avitation und Beschleunigung kompensieen sich geade. Schweelosigkeit a

16 4. Schekäfte Inetialsysteme: Kee Schekäfte Beschleunigte Bezugssysteme: E Expeimentato im fenstelosen Labo beobachtet unekläliche Käfte. Äußee Käfte ode Käfte duch Beschleunigung des Koodatensystems geadlig beschleunigte Systeme: otieende Systeme: Tägheitskaft Zentifugalkaft, Coioliskaft 4. Zentifugalkaft Beobachtung aus uhendem System: Keisbewegung de Kugel Es wikt ee Zentipetalkaft Im otieenden Bezugsystem ist Kugel Ruhe! Im otieenden Bezugsystem wikt ee Schekaft, die Zentipetalkaft genau kompensiet Schekaft, die unabhängig von de eschwdigkeit des Objektes im otieenden Bezugssystem ist.

17 4. Beobachtung im otieenden Bezugssystem Bescheibung ees otieenden Massenpunktes uhendem Inetialsystem x-y-z eschwdigkeit des Massenpunktes v ω Bescheibung des Massenpunktes im mitotieenden System x*-y*-z* (gleiche Uspung, zz*) Im System x*-y*-z* ist de Massenpunkt Ruhe: Es gilt allgeme die Tansfomation: v ot v Ändeung des Otsvektos bezogen auf statisches Koodatensystem v ot ω 0 v t ot ω ω ot Ändeung des Otsvektos aufgund de Vaiation de Basisvektoen im otieenden Bezugssystem 4. Schekäfte otieendem Bezugssystem Fü Beschleunigung gilt die gleiche Beziehung Umfomen liefet a ot vot aot ω vot t a ω v ω ω ( ) ( ) ot ot F ot ma F m ω ot ( ω v ) mω ( ) ot ot Coioliskaft eschwdigkeitsabhängig Senkecht zu eschwdigkeit Zentifugalkaft Otsabhängig Paallel zum Otsvekto

18 Zusammenfassung Punktmechanik 4. Kematik ees Massenpunktes E schönes Wochenende 4. Dynamik ees Massenpunktes 4.3 Käfte 4.4 Impuls 4.5 Abeit, Enegie, Potential 4.6 Stöße 4.7 Dehimpuls und Dehmoment 4.8 Bewegung im Zentalpotential 4.9 avitation und Planetenbewegung 4.0 Himmelsmechanik 4. Wechselwikungen und Käfte Elektomagnetische Kaft, Van de Waals Kaft Stake Kaft, Schwache Kaft 4. Bezugssysteme und Schekäfte alileitansfomation Tansfomation von Enegie und Impuls Realisieung von Inetialsystemen Schekäfte Vesuch: Ttenpendel, Rotieende Kamea Beobachtung im otieenden Bezugssystem Schekäfte otieendem Bezugssystem Zentifugalkaft und Coioliskaft