Eine Herleitung des Kapazitätserweiterungsfaktors im Lohmann-Ruchti-Effekt

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1 Eine Herleitung des Kapazitätserweiterungsfaktors im Lohmann-Ruchti-Effekt von Prof Dr Claus-Michael Langenbahn und Prof Dr Claus Neidhardt Der Kapazitätserweiterungseffekt durch Abschreibungsgegenwerte, in der einschlägigen Literatur auch Lohmann-Ruchti-Effekt genannt, entsteht, wenn durch Abschreibungen freigesetzte Finanzmittel zum Zwecke der Ausweitung der Produktionskapazität in zusätzliche Anlagen investiert werden Die Entdeckung des Effekts, welcher der klassischen betriebswirtschaftlichen Disziplin der Investition und Finanzierung zuzuordnen ist, geht auf Hans Ruchti [14] und Martin Lohmann [10] zurück Es stellt sich heraus, dass der Kapazitätserweiterungsfaktor mit KEF = n n + 1 angegeben werden kann, wobei die Zahl n für die Nutzungsdauer einer Anlage in Jahren steht Betriebswirtschaftliche Standardwerke nennen den Erweiterungsfaktor in der Regel ohne Beweis (z B Wöhe [0], S73, Gräfer/Beike/Scheld [4], S 60-63, Jahrmann [6], S ), nur mit heuristischen Begründung (z B Thommen [18], S 750, Wöhe/Bilstein [1], S ), oder sie verweisen auf ein Werk von Kosiol [8] aus dem Jahr 1955 (z B Schierenbeck [16], S59, Däumler [], S , Olfert/Reichel [1], S ) Kosiol seinerseit verweist auf eine Dissertation von Langen [9], in der ein elementar gehaltener, sehr umfangreicher und teilweise umständlicher Beweis gegeben wird Auch ein Studium der Quelltexte inklusive der Dokumente der fünfziger Jahre (siehe Literaturverzeichnis) führt zu keinen anderen Ergebnissen Tatsächlich lässt sich ein sehr knapper und übersichtlicher Beweis der Formel für den Kapazitätserweiterungsfaktor des Lohmann-Ruchti-Effekts geben, der die Struktur des Abschreibungsmechanismus aufzeigt und auch die Bestimmung des Kapazitätserweiterungsfaktors in allgemeineren Abschreibungssituationen erlaubt Im ersten Abschnitt der vorliegenden Arbeit wird der Kapazitätserweiterungsfaktor an einem Beispiel illustriert Der darauf folgende zweite Abschnitt liefert diesen Beweis Abschreibungsbeispiel Ein Betrieb schafft fünf Maschinen an Eine Maschine kostet 4000 e Die Nutzungs- bzw Abschreibungsdauer einer Maschine beträgt vier Jahre Legt man den Betrachtungen eine lineare Abschreibung der Wirtschaftsgüter sowie die sonst üblichen Annahmen zum Lohmann-Ruchti- Effekt zugrunde, vgl etwa Schierenbeck [16], S 58 f, so ergibt sich anschließende Tabelle, anhand derer man den Kapazitätserweiterungseffekt nachverfolgen kann:

2 Tabelle 1: Beispiel Finanzierung aus Abschreibungswerten, Thommen [18], S 749 Maschinen in Betriebsjahr Jahr insg Sachwert Abschreibung Geldmittel Investition Der Kapazitätserweiterungsfaktor hat den Wert n n + 1 = = 8 5 = 1,6 Demnach lässt sich die Kapazität durch Reinvestition der verdienten Abschreibungen von fünf auf acht Maschinen um dauerhaft 60 % steigern Beweis der Formel für den Kapazitätserweiterungsfaktor Da der Abschreibungsprozess nach einem stets gleichförmigen Mechanismus über n Jahre hinweg abläuft, liegt der Versuch nahe, ihn durch eine Vektoriteration im R n zu beschreiben Die resultierende Iteration ist strukturell identisch mit dem Übergangsprozess einer Markov-Kette mit n Zuständen, so dass die Konvergenztheorie der Markov-Ketten mit endlichem Zustandsraum benutzt werden kann Die folgende Tabelle fasst die verwendeten Symbole und Abkürzungen zusammen: Tabelle : Symbole und Abkürzungen Symbol Bedeutung n Lebensdauer einer Maschine, Nutzungs- bzw Abschreibungsdauer a s Abschreibungen, Reinvestitionsbetrag in neue Maschinen zum Zeitpunkt s > 0 a 0 Wert der Startinvestition, ursprüngliche Investitionssumme

3 3 Man stellt fest, dass für den Reinvestitionsbetrag die folgende Rekursionsvorschrift gilt: a s+1 = a s n+1 + a s n+ + + a s 1 + a s, n wobei Investitionsvolumen a s k vor Beginn des Prozesses auf 0 gesetzt werden Fasst man die Investitionen der vergangenen n Jahre im Vektor v s = (a s n+1, a s n+,, a s 1, a s ) T R n zusammen, so kann man den Prozess durch die folgende Vektoriteration darstellen: v s+1 = Av s, A = n n 1 1 n n R n n Iteration der Vorschrift v s+1 = Av s führt zu v s+k = A k v s Daher untersuchen wir nun die Potenzen der Matrix A Für eine relle Matrix M verwenden wir dabei die Notation M > 0, falls alle Komponenten von M nicht-negativ sind, und M 0, falls alle Komponenten positiv sind Offensichtlich gilt A > 0; überdies ist A eine Matrix mit konstanter Zeilensumme 1 Der folgende Hilfssatz fasst einige weitere elementare Eigenschaften der Matrix A zusammen: Hilfssatz 1 1 Für jedes m N ist A m eine Matrix mit konstanter Zeilensumme 1 A n 0 3 A hat den Eigenwert 1 Ein zugehöriger Rechts-Eigenvektor ist w = (1,1,, 1) T (d h Aw = w), ein zugehöriger Links-Eigenvektor ist z = (1,,3,, n) (d h za = z) 4 Sämtliche Eigenwerte λ 1 von A sind betragsmäßig kleiner als 1 Begründung 1 Seien P, Q zwei beliebige n n-matrizen mit Zeilensumme 1 und sei R = P Q Dann gilt für i {1,, n} r i j = j=1 p ik q k j = j=1 p ik q k j = j=1 p ik = 1 Da A eine Matrix mit Zeilensumme 1 ist, gilt dies auch für A = A A, dann aber auch für A 3 = A A und induktiv folgt die Behauptung

4 4 Sei B = A n Für i, j {1,, n} ergibt sich die Komponente b i j von B als Summe von Produkten der Form a i,k1 a k1,k a kn,k n 1 a kn 1, j, (k 1,, k n 1 ) {1,, n} n 1 Da alle Komponenten von A nicht-negativ sind, ist b i j sicherlich bereits dann positiv, wenn eines dieser Produkte positiv ist Dies erfüllt jedoch zb für i < n das Produkt a i,i+1 a i+1,i+ a n 1,n a i 1 nn, und für i = n das Produkt a n nn 3 Dies ergibt sich durch elementare Berechnung 4 Sei I die n n-einheitsmatrix Für λ > 1 ist die Matrix A λi strikt diagonaldominant, also invertierbar Für λ = 1, λ 1 ist A irreduzibel diagonaldominant, also ebenfalls invertierbar Daher kann ein λ 1 mit λ 1 kein Eigenwert von A sein Satz lim k Ak =: P = n(n + 1) Begründung Aus dem vorangegangenen Hilfssatz folgt, dass A die Voraussetzungen von Karlin/Taylor [7], Appendix, Theorem 3 mit λ 0 = 1, x = 1 n w = 1 n (1,,, 1)T und f = n+1 z = n+1 (1,,, n) erfüllt Daher konvergiert A k für k gegen die Matrix P = x f = n(n + 1) 1 1 (1,,, n) = n(n + 1) Satz 3 a 0 Die Folge (a s ) s N ist konvergent mit Grenzwert lim a s = s n(n + 1)

5 5 Begründung a s ist die n-te Komponente des Vektors v s in der Vektoriteration v s = A s 1 v 1 mit Startvektor v 1 = (0,, 0, a 0 ) T Daher gilt lim a ( ) ( s = lim A s 1 v 1 = lim s s n s As 1 v 1 )n = (Pv 1 ) n = n(n + 1) na 0 = a 0 n + 1 ein Zu- Bei einer Nutzungsdauer von n Jahren ergibt sich aus dem jährlichen Betrag von a 0 n+1 wachs von KEF = n n + 1, wodurch die Formel für den Kapazitätserweiterungsfaktor bewiesen ist Unter Verwendung von Satz kann der Kapazitätserweiterungsfaktor auch für den Fall bestimmt werden, in dem die Anfangsinvestition über mehrere Jahre verteilt wurde Nehmen wir an, dass a 1,, a n die Investitionen in den Jahren 1 bis n bezeichnen und dass zukünftige Investitionen sich auf die Abschreibungsbeträge beschränken Der langfristig jährlich zur Verfügung stehende Investitionsbetrag a = lim s a s ergibt sich dann aus der Vektoriteration mit Startvektor v 1 = (a 1,, a n ) T Hierfür erhalten wir analog zum Beweis von Satz 3: a = (Pv 1 ) n = n(n + 1) (a 1 + a + 3a na n ) = n(n + 1) ka k Bei n-jähriger Nutzungsdauer ergibt sich daher ein langfristiges Gesamtvolumen von GV = n + 1 ka k Literaturverzeichnis [1] Buchner: Das Problem der Kapazitätsausweitung durch laufende Reinvestition in Höhe des Abschreibungsaufwandes, Diss Frankfurt a M 1960 [] Däumler: Betriebliche Finanzwirtschaft, 8 Aufl, Berlin 00, S [3] Engels/Marx: Der Briefwechsel zwischen Friedrich Engels und Karl Marx , hrsg v Bebel/Bernstein, Bd 3, Stuttgart 1913, S394 ff, auch in: ZfhF 1958, S ff [4] Gräfer/Beike/Scheld: Finanzierung, 5 Aufl, Berlin 001, S [5] Hax: Langfristige Finanz- und Investitionsentscheidungen, in: Handbuch der Wirtschaftswissenschaften, Bd 1, Betriebswirtschaft, hrsg von Hax/Wessels, Aufl, Köln/Opladen 1966, S 455 f

6 6 [6] Jahrmann: Finanzierung, 5 Aufl, Berlin 003, S [7] Karlin/Taylor: A first course in stochastic processes, nd Edition, Academic Press 1975 [8] Kosiol: Anlagenrechnung, Aufl, Wiesbaden 1955 [9] Langen: Die Kapazitätsausweitung durch Reinvestition liquider Mittel aus Abschreibungen, Diss FU Berlin 195 [10] Lohmann: Abschreibungen - Was sie sind und was sie nicht sind, in: Der Wirtschaftsprüfer 1949, S 56 ff [11] Lohmann: Einführung in die Betriebswirtschaftslehre, 4 Aufl, Tübingen 1964, S 187 ff [1] Olfert/Reichel: Finanzierung, 13 Aufl, Ludwigshafen 005, S [13] Perridon/Steiner: Finanzwirtschaft, 13 Aufl, München 004, S [14] Ruchti: Die Bedeutung der Abschreibung für den Betrieb, Berlin 194 [15] Ruchti: Die Abschreibung Ihre grundsätzliche Bedeutung als Aufwands-, Ertrags-, Finanzierungsfaktor, Stuttgart 1953, S 91 ff [16] Schierenbeck/Wöhle: Grundzüge der Betriebswirtschaftslehre, 17 Aufl, München 008 [17] Schneider: Investition, Finanzierung, Besteuerung, 7 Aufl, Wiesbaden 199, S 161 ff [18] Thommen: Betriebswirtschaftslehre, 6 Aufl, Zürich 004, S [19] Walterspiel: Betriebswachstum aus Abschreibungen?, Wiesbaden 1977 [0] Wöhe: Einführung in die Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, Aufl, München 005 [1] Wöhe/Bilstein: Unternehmensfinanzierung, 9 Aufl, München 00, S