Q 1 F Q. Q 2 r 2. = k Q Mechanik 1! 6 L. k N m Kräfte! Coulombkraft!

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1 1. Mechanik 1! 6 L Life Science als Natuwissenschaft bedient sich de Spache de Physik, benutzt somit viele Begiffe aus de Mechanik. In den folgenden Abschnitten wid eine Auswahl mechanische Gössen und Gesetzmässigkeiten vogestellt. 1. Käfte! Käfte sogen fü Stabilität und Festigkeit, können abe auch beschleunigen und defomieen. Die Newtonschen Bewegungsgesetze, abe auch Begiffe wie Abeit und Enegie, basieen auf Käften. Einige fü die Natu und Technik wichtige Käfte sind im folgenden aufgefüht. Coulombkaft! Die Coulombkaft wikt zwischen elektischen Ladungen und ist dafü veantwotlich, dass Mateie nicht nu aus lose heumfliegenden Atomkenen und Elektonen besteht, sonden Stuktu, Festigkeit und Gestalt hat. Sowohl die Atome in sich, als auch die Moleküle als Atomvebände, als auch Flüssigkeiten und Festköpe (als Ansammlung von Molekülen) weden duch die Coulombkaft zusammengehalten. Auf de Coulombkaft beuhen auch Reibkäfte, Festigkeit, Viskosität etc. Das Kaftgesetz: Zwei elektische Punktladungen Q1 und Q2 üben eine anziehende ode abstossende Kaftwikung FC aufeinande aus. Je nähe die Ladungen beieinande sind, desto gösse ist die Kaft. Q 1 F Q C F C 2 F C = k Q 1 Q 2 2 k N m 2 C 2 Wichtig ist, dass das Gesetz in de ewähnten Fom nu fü zwei Punktladungen gilt. Bei allgemeineen Ladungsveteilungen müssen die Käfte vektoiell addiet weden. Ladungen Q kommen imme nu in ganzzahligen Vielfachen de Elementaladung e vo: e C Beispiele Q Poton = 1e. Q Elekton = 1e.! S. 1

2 Aufgabe: Zwei elektostatisch gleich stak negativ aufgeladene Kügelchen stossen sich im Abstand von 20 cm mit eine Kaft von N ab. Wie viele Zusatzelektonen befinden sich auf jedem Kügelchen? Coulombkaft: F C = 1 4πε 0 Q 2 2, somit: Q = F C 4πε 0 = C e Loentzkaft! Eine weitee elektomagnetische Kaft ist die Loentzkaft. Sie wikt bei Anwesenheit eines Magnetfeldes ausschliesslich auf bewegte Ladungen (zb elektische Stom). Sie ist veantwotlich fü viele technische Anwendungen de Elektizität, zb fü Dynamos, Elektomotoen, Fensehöhen, Massenspektomete. Das Kaftgesetz: Eine Ladung Q, die sich mit de Geschwindigkeit v in einem Magnetfeld B bewegt, efäht eine seitliche Ablenkungskaft (Loentzkaft FL) de Stäke: F L = Q( v B) Loentzkaft. B-Feld Vektoen, in die Zeichenebene geichtet F L v Q Bahnkuve Wichtig ist, dass die Loentzkaft seitlich zu Bewegungsichtung wikt und somit nu zu Ablenkung und nicht zu Geschwindigkeitsvegösseung benutzt weden kann. Die Loentzkaft alleine kann also die kinetische Enegie eine Ladung nicht veänden. Ladungen weden imme elektisch beschleunigt, und danach elektisch ode magnetisch abgelenkt. Aufgabe: Elektonen teten unte einem Winkel von 90 in ein homogenes Magnetfeld ein. Die Loentzkaft F L wikt auf sie und zwingt sie auf eine Keisbahn mit dem Radius R. Wie änden sich de Betag de Loentzkaft und de Radius R, wenn die Elektonen mit eine höheen Geschwindigkeit in das Feld einteten? Lösung: Im homogenen Magnetfeld ist die Zentipetalkaft gleich de Loentzkaft : m! v 2 R = Q! v! B, die Loentzkaft vegösset sich also. und fü den Bahnadius R egibt dies: R = m! v senk Q! B, e wid also auch gösse.! S. 2

3 Gavitation Massen ziehen sich gegenseitig an. Je nähe die Massen beieinande sind, desto gösse ist die Kaft. Die Kaft ist - veglichen etwa mit de Coulombkaft - in Labodimensionen seh schwach. Sie bescheibt abe zb die Anziehung zwischen de Sonne und den Planeten ode zwischen Ede und Mond. Das Kaftgesetz: Zwei (kugelfömige) Massen m1 und m2 im Abstand ziehen sich mit de Gavitationskaft FG an: m 1 F G F G m 2 F G = γ m 1 m 2 2 γ N m kg 2 Aufgabe (schwe): Welchen Duchmesse müssen zwei sich beühende identische Bleikugeln (Dichte ρ = 11.3 g/cm 3 ) haben, wenn sie sich mit eine Kaft von N gegenseitig anziehen sollen? Gavitationskaft im Schwepunktsabstand S : F G = γ m m S 2 = γ 4π ( 3 3 ρ) 2 ( ) 2 4 2π = γ ( 2) 2 3 ρ Aufgelöst nach dem Duchmesse D = 2 = 2 4 F G ( ) 2 γ 2π 3 ρ 0.01N D = m N m 2 kg 2 2π kgm 3 ( ) 2 Wichtig: Wie beim Coulombgesetz gilt das Gesetz nu fü die angegebene Geometie. Bei allgemeineen Massenveteilungen müssen die Gavitationskäfte vektoiell addiet weden, man nennt dies das "Supepositionspinzip". Auch eine Masse m auf de Ede wid mit de Gavitationskaft Richtung Edzentum angezogen, wegen de speziellen Geometie kann das Gavitationsgesetz dot ins Schwekaftgesetz umgeschieben weden:! S. 3

4 F G = γ m E m E 2 = m g m E F G m g = γ m E E 2 = m s 2 E Käfteübelageung! Das schon mehfach ewähnte Supepositionspinzip füht dazu, dass Käfte sich in ihe Wikung vestäken ode abschwächen können, wenn sie gleichzeitig auf einen Köpe wiken. Diese Übelageung geschieht nach dem Regeln de Vektoaddition (Paallelogamm-Konstuktion). Vektosumme =0! Wenn alle auf einen Köpe wikenden Käfte sich zu Null addieen, de esultieende Kaftvekto also de Null-Vekto ist, dann besagt de Tägheitssatz von Newton, dass de Köpe seinen Geschwindigkeitsvekto nicht ändet. E bleibt also in Ruhe ode in gleichfömige Bewegung. Beispiel: Bei de Elektophoese weden geladene Moleküle in einem Tägemateial nach ihe Gösse aufgetennt. Dabei sind die vowätsteibende elektische Kaft und die bemsende Reibkaft geade im Gleichgewicht, deshalb wanden die Ionen unbeschleunigt mit eine Geschwindigkeit, die von de Teilchengösse abhängt. F R = 6π η v Ion F E = Q E Stokes-Reibung Elektische Kaft! S. 4

5 Aufgabe: Wie goss ist die Auflagekaft eines Steines von 8.00 kg Masse, de auf dem Boden liegt? Lösung: Die Gewichtskaft des Steins betägt 78.5 N. Da de Stein uhig liegt, muss die Auflagekaft, die ihn von unten he untestützt, die Gewichtskaft geade kompensieen. Diese Auflagekaft betägt somit 78.5 N und ist nach oben geichtet. Vektosumme 0! Wenn die Übelageung de Kaftvektoen nicht Null egibt, dann beschleunigt de esultieende Kaftvekto den Köpe de Masse m nach dem Aktionspinzip von Newton: Kaft = Masse mal Beschleunigung, ode in Vektofom:! F es = m! a m a F Beispiel: Ein Stein de Masse m wid aus de Ruhe fallengelassen. De Vekto de Schwekaft zieht ihn nach unten. Eventuell wikt noch Lufteibung und Auftieb nach oben, wi wollen diese abe venachlässigen. Das Aktionspinzip sagt fü diesen Fall: m g = m a a = g Die Beschleunigung (=die Geschwindigkeitsändeung po Zeit) ist also unabhängig von de Masse des Köpes. Ein Köpe mit meh Masse efäht zwa meh Schwekaft, e besitzt abe auch meh Tägheit und diese beiden Effekte heben sich fü die Bewegung geade auf: "Alle Köpe fallen (im Vakuum) gleich schnell." 2. Dehmoment! Definition! Wenn Dehungen eingeleitet ode abgebemst weden sollen, dann ist dafü imme ein Dehmoment ("Moment", "Dehkaft") nötig.! S. 5

6 Die Dehachse A muss bekannt sein, dann nennt man den Abstand de Kaftwikungslinie zu Dehachse "Hebelam" l. Nun gilt: Dehmoment = Kaft mal Hebelam M = F l M = # F F " O l Wikung! Wenn das Dehmoment seine Wikung entfalten kann, dann entsteht eine Dehbeschleunigung ähnlich dem Newtonschen Aktionspinzip: Dehmoment = Tägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung. A M = I A ω Das Tägheitsmoment IA ist ein Mass fü die Tägheit des Köpes gegenübe Rotationsändeungen und hängt von de Massenveteilung um die Rotationsachse ab. Mit de Rotation besitzt ein dehende Köpe auch Rotationsenegie, die zb bei einem Schwungad genutzt wid. Beispiele: De Elektomoto, de eine Zentifuge anteibt, ezeugt ein Dehmoment, welches die Beschleunigung auf die Endfequenz emöglicht. Aufgabe: Mit welchem Dehmoment muss ein Keisel vom Tägheitsmoment I A = kg. m 2 angetieben weden, damit e innehalb von 15.0 s eine Dehzahl von n = 4000 U/min eeicht?! S. 6

7 Lösung: Δω = π / 60s = ad / s Aus M A Δt = I A Δω wid nun: M A = I Δω A = 0.04kg m ad / s = Nm Δt 15s 3. Statik! Statikbedingung! Statik (Stillstand) eines Objekts ist ein spezielle Fall von Gleichgewicht, Eigengeschwindigkeit und Rotation ist fü alle Zeiten Null. Das bedeutet nach dem vohe gesagten, dass die esultieende Kaft und das esultieende Dehmoment auf den Köpe Null sein müssen: Hoizontale Käfte Vetikale Käfte Dehmomente F = F = F F F l (+) = F l ( ) heben sich auf Diese Bedingungen emöglichen es, Auflagekäfte ode Haltekäfte fü befestigte Objekte zu beechnen. Aufgabe: Wie goss ist die hoizontale Kaft FA auf das Ringlage A in de Abbildung? Lösung:! S. 7

8 Käftegleichgewicht: F = F : F B sinα = 50 kn Dehmomente: F = F : F A = F B cosα F l > = F l : < F A 2m = 35kN 3m + 15kN 1m Aus Dehmomentgleichung: F A = 60 kn Division de beiden Kaftgleichungen:... α = und somit: F B = 78.1 kn Ob das Gleichgewicht stabil, labil ode indiffeent ist, hängt von de Reaktion des Köpes auf Stöungen (Stösse etc) ab. Ein stabiles Gleichgewicht eagiet mit ückteibenden Käften und besitzt im Stabilitätspunkt ein Minimum de potentiellen Enegie. 4. Abeit! Definition! Eine Kaft F veichtet an einem Köpe mechanische Abeit W, wenn de Köpe dabei in Richtung de Kaft um die Stecke s veschoben wid: Abeit ist Kaft mal Weg (in Richtung de Kaft): W = F s Die Einheit de Abeit ist das Joule: 1 J = 1 N. m. Beispiel: Beim Hochheben eines Köpes um die Stecke h leistet die Haltekaft (die gleich goss abe entgegengesetzt de Gewichtskaft ist) Hubabeit: W Hub = F s = m g h m g h! S. 8

9 Falls sich die Kaft wähend de Bewegung ändet, muss de Weg in kleine Abschnitte mit konstante Kaft aufgeteilt weden und die dabei esultieenden Abeitsbeitäge müssen dann übe den ganzen Weg aufaddiet weden. Die Abeit kann auch negative Wete annehmen, wenn Kaft und Bewegungsichtung entgegengesetzt zueinande stehen. Beispiel Tennabeit! Poton und Elekton im Wassestoffatom ziehen sich an. Wenn das Elekton vom Poton entfent weden soll (wenn also das Wassestoffatom ionisiet wid), dann leistet die tennende Kaft Abeit. Sie kann beechnet weden und betägt fü das Wassestoffatom 13.6 ev. Diese Abeit wid zb übe Einstahlung mit ultaviolettem Licht auf das Atom übetagen. UV-Stahlung Poton Elekton a 0 Die Abeitseinheit ev ist in de Atomphysik und Chemie üblich, sie lässt sich einfach in Joule umechnen:! 1 ev = J Aufgabe: Das menschliche Hez pumpt in de Minute ca. 5 Lite Blut (Masse = 5.0 kg) duch den Köpe. Das Hez muss dabei dieselbe Abeit vollbingen, wie wenn das Blut 1.0 Mete hoch gepumpt weden müsste. Welche Abeit veichtet das Hez also im Laufe eines Tages? Lösung: W Hub = m tot g h = 5kg m s 2 1m = 70.6kJ! S. 9

10 5. Enegie! Definition! Abeit, die an einem Köpe geleistet wude, ist danach im Köpe igendwie gespeichet: entwede ist de Köpe in schnellee Bewegung, ode es wude eine Fede gespannt, ode eine Schwingung ezeugt etc. Man sagt, die Enegie des Köpes ist gösse gewoden.! Enegie ist gespeichete Abeit. Umgekeht kann de Köpe dank diese Enegie auch wiede Abeit veichten:! Enegie ist Abeitsvemögen. Die Enegie eines Köpes zeigt sich also auf unteschiedliche At: Geleistete Hubabeit bedeutet Lageenegie: E pot = m g h Geleistete Spannabeit bedeutet Defomationsenegie: E def = 1 2 k x2 Geleistete Tennung bei Coulombkaft bedeutet Ionisationsenegie: E ion = ± k Q 1 Q 2 Geleistete Beschleunigungsabeit bedeutet kinetische Enegie: E kin = 1 2 m v2 Geleistete Reibabeit bedeutet Wämeenegie. Wenn Enegien nicht in Fom von Bewegung ode Wäme voliegen, spicht man auch von potentielle Enegie. De Begiff Potential gehöt auch in diesen Zusammenhang, zum Beispiel das Coulombpotential in de Umgebung eine Ladung Q ist die Ionisationsenegie wie oben eingefüht, dividiet duch die Ladung, die bei de Tennung bewegt wid: E ion = k Q Jede Abeitsleistung ist mit einem Enegietansfe vebunden. Bsp: Hochheben eines Buches: Lageenegie nimmt zu Muskelenegie nimmt ab Hubabeit h! S. 10

11 Aufgabe: Ein Hundet-Mete Läufe habe eine Geschwindigkeit von 10 m/s. Angenommen e könnte seine kinetische Enegie velustlos nach oben lenken und damit einen Hochspung duchfühen. Um wieviel Mete könnte e damit seinen Schwepunkt ehöhen? Enegieehaltung: h = v2 2g = 5.1m Aufgabe (schwe): Mit welche Geschwindigkeit muss ein ballistisches Geschoss von de Ede abgefeuet weden, damit es das Anziehungsfeld de Ede vollständig velässt? Hinweise: Ohne Lufteibung und tägliche Edotation echnen Vewenden Sie fü den Edadius: m und fü die Edmasse: kg. Lösung: E pot ( ) = W( ) = die Abeit, die man benötigt um den Köpe ins Unendliche zu bingen. Falls de Köpe beim Abschuss geade soviel kinetische Enegie ehält, dann kann e sie zum Übewinden de Anziehungskaft vewenden. Also: m v2 2 = γ m m E E. Aufgelöst: v = 2 γ m E = Nm 2 kg kg 11.19km s E m Das ist seh viel! Duch Raketenantieb wid diese Abschuss zeitlich gesteckt und die notwendige Fluchtgeschwindigkeit in gösseen Edabständen ist wenige goss. 6. Leistung! Die Qualität eine Abeitsveichtung wid mit de Leistung beschieben. Etwa ein Kanmoto, de eine Last in küzee Zeit hochheben kann, besitzt eine gössee Leistung (meh "PS"), kann also in deselben Zeit meh Abeit veichten. Leistung ist Abeit duch Zeit: P = W t = F s t = F v Aufgabe: Ein Kan hat einen Elektomoto mit eine Leistung von 20 kw. Mit welche konstanten Geschwindigkeit kann e ein Objekt de Masse 500 kg hochziehen? Lösung: P = F! v = m! g! v, also: v = P m! g = 20'000W = m s " 4.1 m s 2 500kg! 9.81m s! S. 11

12 7. Impuls! Eine Masse, die sich mit de Geschwindigkeit v bewegt, besitzt eine At "Wucht", die sie übe Stösse auch weitegeben kann. Diese Wucht wid in de Physik mit dem Begiff Impuls p ausgedückt.! p = m! v! Impuls De Impuls ist eine geichtete Gösse und wid duch einen Kaftstoss! F t geändet. Im Gegensatz dazu ist die kinetische Enegie ein Skala und wid duch Beschleunigungsabeit! F! s aufgebaut. Beachten Sie die Filme zum Thema Impuls. Lösung: Reynoldszahl: Re = ρ v l, bei eine Röhe ist l de Röhenduchmesse. η Wasse: v max = η Re kit ρ l = m s = 9.13cm s Öl: v max = η Re kit ρ l = m s = 10.15m s! S. 12