Institut für Weiterbildung der Hochschule Esslingen. Mathematisches 1x1 zu Studienbeginn

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1 Institut für Weiterbildung der Hochschule Esslingen Mathematisches 11 zu Studienbeginn

2 Institut für Weiterbildung der Hochschule Esslingen Seminare Kongresse Studiengänge IPräsenz IBerufsbegleitend IOnline Inhouse I

3 Mathematisches 11 zu Studienbeginn Formelsammlung für den Vorkurs Mathematik Joachim Gaukel Ralf Rothfuß Timm Sigg

4 Impressum Herausgeber Institut für Weiterbildung der Hochschule Esslingen e.v. Kanalstr. 778 Esslingen Institut für Weiterbildung der Hochschule Esslingen e.v. Redaktion Prof. Dr. rer. nat. Joachim Gaukel Prof. Dr. rer. nat. Jürgen Koch Prof. Dr. rer. nat. Stefani Maier Prof. Dr. rer. nat. Andreas Narr Dr. rer. nat. Maren Reimold Prof. Dr.-Ing. Ralf Rothfuß Prof. Dr. rer. nat. Timm Sigg Prof. Dr. rer. nat. Ael Stahl Prof. Dr. rer. nat. Martin Stämpfle Koordination Dipl. Verw.Wiss. Martina Fehrlen Umschlaggestaltung/Titelillustration Dipl.-Des. (FH) Doris Ebner Druck haka print und medien GmbH, Senefelderstraße 19, 7760 Ostfildern Druck auf 100% Recyclingpapier, zertifiziert mit dem blauen Umweltengel Stand Juli 015 Schutzgebühr 5,- Euro Die Erstellung der Formelsammlung wurde ermöglicht durch eine Spende des STZ Softwaretechnik Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des gesamten Dokuments oder Teilen daraus, ist vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Instituts für Weiterbildung der Hochschule Esslingen in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung mit Ausnahme der in den 5, 54 URG genannten Sonderfälle, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden.

5 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Prozentrechnung, Terme und Brüche Prozentrechnung Termumformungen Binomische Formeln Brüche Gleichungen 1.1 Gleichungen Gleichungssysteme Ungleichungen und Beträge 0.1 Ungleichungen Beträge Geraden, Parabeln und Kreise Geraden Parabeln Kreise Trigonometrie Grad- und Bogenmaß Trigonometrie Potenzen, Wurzeln und Polynome Potenzen Wurzeln Potenzfunktionen Polynome Eponentialfunktionen und Logarithmen Logarithmen Eponentialfunktionen Logarithmenfunktionen Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen Allgemeine Kosinusfunktion Trigonometrische Gleichungen Differenzialrechnung Ableitung Ableitung elementarer Funktionen Ableitungsregeln Integralrechnung Bestimmtes Integral Stammfunktionen elementarer Funktionen Flächenberechnung

6 Prozentrechnung, Terme und Brüche 1 Prozentrechnung, Terme und Brüche 1.1 Prozentrechnung Prozentrechnung Begriffe Grundwert G bzw. K 0 : Betrachtete Ausgangsgröße 1 Prozentsatz p: Anteil am Grundwert in der Einheit 100, also in % Prozentwert W : Anteil an Ausgangsgröße in der Einheit der Ausgangsgröße Wachstumsfaktor q: Konstanter Wachstums-Faktor Wachstumsfaktoren q 1, q,..., q n : Faktoren bei Wachstum mit unterschiedlichen Zuwachsraten. Mittlerer Wachstumsfaktor q: Bei Zuwächsen mit Faktoren q 1, q,..., q n gibt dieser Faktor an, welcher konstante Wachstumsfaktor q zum selben Endergebnis geführt hätte. Prozentrechnung Formeln Zusammenhang: Grundwert, Prozentsatz, Prozentwert W = G p 100 Zusammenhang: Prozentsatz und Wachstumsfaktor q = 1 + p 100 Zusammenhang: Anfangsbetrag und Endbetrag K 1 = K 0 q Bei einem Betrag von 00 e entsprechen % W = 00 e 100 = 6 e Ein Konto wird mit % verzinst. Das Guthaben vergößert sich dabei jährlich um den Faktor 1.0. Ein Konto mit 00 e Guthaben wird mit % verzinst. Nach einem Jahr stehen 06 e auf dem Konto, denn K 1 = 00 e 1.0 = 06 e. Achtung: Eine Kettensäge der Firma Stuhl kostet 00 e und ist damit 0% teurer als ein Vergleichsprodukt. Wie viel kostet das Vergleichsprodukt? Zwar ergeben 0% von 00 e einen Betrag von 60 e und damit wäre die Antwort 40 e naheliegend. Korrekt ist aber der Ansatz 1. = 00 e, woraus sich = 00 e/1. = 50 e ergibt. Man muss sich stets klar machen, auf welchen Grundwert sich ein Prozentsatz bezieht. 4

7 Prozentrechnung, Terme und Brüche Zusammenhang: Anfangsbetrag und Endbetrag nach n Jahren K n = K 0 q n Ein Konto mit 00 e Guthaben wird mit % verzinst. Nach zehn Jahren stehen auf dem Konto K 10 = 00 e (1.0) 10 = e Zusammenhang: Anfangsbetrag und Endbetrag nach n Jahren K n = K 0 q 1 q q n Zusammenhang: Wachstumsfaktoren und Durchschnittswachstum q m = n q 1 q q n Dies bedeutet, dass das Durchschnittswachstum nicht dem arithmetischen Mittel q m = q 1 + q q n n entspricht, sondern dem geometrischen Mittel. zur Verfügung. Eine Bakterienkultur wächst in der ersten Stunde um 0%, in der zweiten Stunde um 15% und in der dritten Stunde um 5%. Nach drei Stunden sind bei einem Anfangsbestand von 1000 Bakterien K = = 1449 Bakterien vorhanden. Eine Bakterienkultur wächst in der ersten Stunde um 0%, in der zweiten Stunde um 15% und in der dritten Stunde um 5%. Die durchschnittliche prozentuale Zunahme pro Stunde der Kultur beträgt q m = = Damit ist p m == 1.16%. Achtung: Die durchschnittliche prozentuale Zunahme pro Stunde ist nicht 1.%. 5

8 Prozentrechnung, Terme und Brüche 1. Termumformungen Termumformungen Formeln Klammerausdrücke mit Plus: Klammern können einfach weggelassen werden a + (b + c) = a + b + c + (5 + 7) = (y + y y) = + y + y y Klammerausdrücke mit Minus: Klammern weglassen und Vorzeichen umdrehen a (b + c) = a b c 7 (5 + ) = sin() ( e + y) = sin() + e y Klammerausdrücke mit Mal: Klammern können einfach weggelassen werden a (b c) = a b c (5 ) = 5 ( sin()) = sin() Klammerausdrücke mit Plus, Minus und Mal: Ausmultiplizieren und Vorzeichen beachten a (b + c) = a b + a c (5 + ) = 5 ( y + y ) = y + y a (b c) = a b a c (5 ) = 5 ( y y ) = y y (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd ( + ) (7 + 5) = ( + ) ( + ) = (a + b) (c d) = ac ad + bc bd ( + ) (7 5) = ( + ) ( ) = (a b) (c d) = ac ad bc + bd ( ) (7 5) = ( ) ( ) =

9 Prozentrechnung, Terme und Brüche Klammerausdrücke mit mehreren Summanden: Jeder mit jedem (a+b c) (d e f ) = ad ae af + bd be bf cd + ce + cf ( + y) (4 + y ) = 8 y y 4y y Klammerausdrücke mit mehreren Faktoren: Schrittweise ausmultiplizieren (a + b)(c d)(e f ) = (ac ad + bc bd)(e f ) = ace acf ade + adf + bce bcf bde + bdf (1 + )( )( ) = ( + )( = ( + )( ) = = Ausmultiplizieren Obige Formeln kann man anwenden zur Umformung von links nach rechts, man spricht vom Ausmultiplizieren. ( + ) = + ( + )( ) = 4 9 Faktorisieren Obige Formeln kann man anwenden zur Umformung von rechts nach links, man spricht vom Faktorisieren. 4 6y = ( y) 9 a = ( + a)( a) 7

10 Prozentrechnung, Terme und Brüche 1. Binomische Formeln Binomische Formeln Erste binomische Formel (a + b) = a + ab + b ( + ) = ( + y) = 4 + 1y + 9y Zweite binomische Formel (a b) = a ab + b ( 5) = ( y) = 4 1y + 9y Dritte binomische Formel (a + b) (a b) = a b ( + ) ( ) = 4 ( a) ( + a) = 4 9a 8

11 Prozentrechnung, Terme und Brüche 1.4 Brüche Bruch a b = Zähler Nenner Bruchrechnen Begriffe, + y y Gemischter Bruch Summe aus einer ganzen Zahl und einem Bruch Erweitern eines Bruchs Multiplikation des Zählers und des Nenners mit einer Zahl ungleich Null 4 7 = = = 4 + ( ) ( + ) = + ( ) ( + ) = 6 9 Kürzen eines Bruchs Division des Zählers und des Nenners durch eine Zahl ungleich Null 8 = = ( + ) = ( ) = + Hauptnenner Das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner Die Brüche 1 6 und haben den Hauptnenner 1. 4 Anwendung: Addition/Subtraktion ungleichnamiger Brüche = = 11 1 Kehrbruch Bruch mit vertauschtem Nenner und Zähler Der Kehrbruch von 7 lautet 7. Der Kehrbruch von 1 lautet 1 =. Doppelbruch Ein Bruch aus Brüchen 5 7,

12 Prozentrechnung, Terme und Brüche Bruchrechnung Formeln Quotienten Ein Bruch ist eine Schreibweise für eine Division a : b = a b Summe und Differenz von Brüchen Man kann zwei Brüche mit gleichem Nenner addieren bzw. subtrahieren, indem man die Zähler addiert bzw. subtrahiert: a c ± b c = a ± b c Bei verschiedenen Nennern muss man zuvor beide Brüche auf den Hauptnenner bringen. : 7 = 7 ( + 4) : ( + 1) = = = 9 + y y + y = y + y + y y = = = 1 1 y( + y) ( + y) ( + y) y y ( + y) Multiplikation von Brüchen Man multipliziert zwei Brüche miteinander, indem man jeweils die Zähler und Nenner miteinander multipliziert: a b c d = a c b d 5 7 = y + ( 1)( + ) = y + y (y + ) Potenz eines Bruchs Man potenziert einen Bruch, indem man Zähler und Nenner potenziert: ( a b ) n = an b n ( 5) = ( ) = = ( + 1) Division von Brüchen Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert: a b c d = a b d c s s + = = 7 5 = (s + ) ( + 1)(s ) 10

13 Prozentrechnung, Terme und Brüche Division einer Zahl durch einen Bruch Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert: a c d = a d c = = 5 = 15 ( + )( 1) 5 Achtung: Vereinfachen von : + 1 Falscher Lösungsansatz: 5 = ( + 1 ) = usw. Korrekter Lösungsansatz: Zuerst Brüche im Nenner auf Hauptnenner bringen: Division eines Bruchs durch eine Zahl Man dividiert einen Bruch durch eine Zahl d 0, indem man den Nenner mit d multipliziert: a b d = a b d 5 = + 1 = 5 = 5 = 15 +y = ( + y) 5 ( + 1) ( + 1) 5( + 1) + ( + 1) = 5 + ( + 1) Dezimaldarstellung reeller Zahlen 0.a 1 = a a 1 a = a 1a a 1 a a = a 1a a = = =

14 Gleichungen Gleichungen.1 Gleichungen Gleichungen und ihre Lösungsmenge Die Lösungsmenge einer Gleichung mit unbekanntem ist die Menge aller -Werte, die die Gleichung erfüllen. Gleichungen lassen sich so schreiben, dass auf der rechten Seite eine Null steht. Lineare Gleichung Die allgemeine lineare Gleichung lautet a + b = 0, a 0. Gleichungen Begriffe Die Gleichung lässt sich auch so schreiben: + = + = 0. Sie hat die Lösungsmenge { ; 1}. Beispielgleichungen: 7 = 0 = = + 4 Quadratische Gleichung Die allgemeine quadratische Gleichung lautet a + b + c = 0, a 0. Beispielgleichungen: + 4 = 0 = 5 + = 0 Biquadratische Gleichung Die allgemeine biquadratische Gleichung lautet a 4 + b + c = 0, a 0. Durch die Substitution z = kann sie in die quadratische Gleichung az + bz + c = = 0 Durch die Substitution z = kann sie in die quadratische Gleichung überführt werden. z z + 6 = 0 überführt werden. Kubische Gleichung Die allgemeine kubische Gleichung lautet a + b + c + d = 0, a 0. Beispielgleichungen = = = 0 1

15 Gleichungen Gleichungen Formeln Äquivalenzumformungen Bei einer Gleichung ändert sich die Lösungsmenge nicht, wenn man folgende Aktionen durchführt: auf beiden Seiten eine Zahl addieren = = 6 : = auf beiden Seiten eine Zahl subtrahieren beide Seiten mit einer Zahl (ungleich Null!) multiplizieren beide Seiten durch eine Zahl (ungleich Null!) dividieren Satz vom Nullprodukt Ein Produkt aus mehreren Faktoren ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Aus der Gleichung Die Gleichung hat die Lösungen ( + )( ) = 0 1 = 0; = ; =. a b = 0 kann man schließen, dass entweder a = 0 oder b = 0 ist. Dies kann man auf mehrere Faktoren übertragen. Lösung einer linearen Gleichung Die lineare Gleichung a + b = 0 Die Gleichung hat die Lösung = 4. 4 = 0 mit a 0 hat die Lösung = b a = b a. Methode 1 zum Lösen von quadratischen Gleichungen die Mitternachtsformel Mit der Mitternachtsformel lässt sich die quadratische Gleichung a + b + c = 0 lösen. Die Mitternachtsformel lautet Die Mitternachtsformel zur quadratischen Gleichung lautet + 5 = 0 1/ = 5 ± 5 4 ( ) 4 = 5 ± 7. 4 Also lauten die Lösungen der Gleichung 1 = und = 1. 1/ = b ± b 4ac. a 1

16 Gleichungen Methode zum Lösen von quadratischen Gleichungen die p-q-formel Mit der p-q-formel lässt sich die quadratische Gleichung + p + q = 0 lösen. Die p-q-formel lautet Die p-q-formel zur quadratischen Gleichung lautet 1/ = 4 ± 4 + = 0 ( 4 ) = ± 1. Also lauten die Lösungen der Gleichung 1 = 1 und =. 1/ = p ± (p ) q. Hierbei handelt es sich um einen Sonderfall der Mitternachtsformel für a = 1. Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung die Diskriminante Der Term (b 4ac), der bei der Mitternachtsformel unter der Wurzel steht, heißt Diskriminante D. Sie gibt an, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat: Ist D > 0, so besitzt die Gleichung verschiedene Lösungen. Ist D = 0, so besitzt die Gleichung 1 Lösung (genauer gesagt: identische Lösungen). Ist D < 0, so besitzt die Gleichung keine reelle Lösung. Die Diskriminante D zur quadratischen Gleichung lautet D = 16 8p. 4 + p = 0 Ist p <, so hat die Gleichung zwei verschiedene Lösungen. Ist p =, so hat die Gleichung eine Lösung. Ist p >, so hat die Gleichung keine reelle Lösung. Linearfaktorzerlegung Hat die quadratische Gleichung a + b + c = 0 die Lösungen 1 und, so lässt sich die Gleichung wie folgt schreiben: Die quadratische Gleichung + 10 = 0 hat die Lösungen 1 =.5 und =. Die Linearfaktorzerlegung ist also ( +.5)( ) = 0. a( 1 )( ) = 0 Man nennt diesen Vorgang Linearfaktorzerlegung. 14

17 Gleichungen Quadratisches Ergänzen Die Gleichung + b + c = 0 lässt sich durch quadratisches Ergänzen in die Gleichung ( + b ) b 4 + c = 0 umwandeln. Entsprechend lässt sich die Gleichung a + b + c = 0 durch quadratisches Ergänzen in die Gleichung umwandeln. ( a + b ) b a 4a + c = 0 Lösungsverfahren bei kubischen Gleichungen ohne Absolutglied Bei einer kubischen Gleichung ohne Absolutglied a + b + c = 0 lässt sich das ausklammern: (a + b + c) = 0. Mit dem Satz vom Nullprodukt folgen die Lösungen der Gleichung: 1 = 0; / = b ± b 4ac. a Beispiele: Die Gleichung lässt sich auch so schreiben: Die Gleichung lässt sich auch so schreiben: Die kubische Gleichung lässt sich auch so schreiben: Die Lösungen lauten somit = 0 ( ) = = 0 ( + 4) = = 0 ( + + 6) = 0. 1 = 0; = ; =. 15

18 Gleichungen Lösungsverfahren bei biquadratischen Gleichungen Die biquadratische Gleichung a 4 + b + c = 0 Die biquadratische Gleichung = 0 wird mit Hilfe der Substitution u = zur Gleichung lässt sich mit Hilfe der Substitution u = in die quadratische Gleichung au + bu + c = 0 überführen. Falls nicht-negative Lösungen u 1 und u dieser Gleichung eistieren, so erhält man mit Hilfe der Rücksubstitutionen 1/ = ± u 1 und /4 = ± u die Lösungen der biquadratischen Gleichung. Lösungen bei Bruchgleichungen Brüche sind dann gleich Null, wenn der Zähler Null und der Nenner ungleich Null ist. Tauchen in einer Gleichung mehrere Brüche auf, so ist empfehlenswert, diese in einen Bruch zu verwandeln. In allen Fällen ist zu überprüfen, ob die berechnete Lösung in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden darf. u + u 6 = 0. Die Lösungen dieser Gleichung lauten u 1 = und u =. Die Rücksubstitution = führt auf 1/ = ±. u ist negativ, deshalb führt die Rücksubstitution = auf keine weitere Lösung. Zwei Beispielgleichungen: Die Lösung der Gleichung lautet =. Die Gleichung = = 0 besitzt keine Lösung, da = 1 sowohl Nullstelle des Zählers als auch des Nenners ist. Lösungsverfahren bei Wurzelgleichungen Wurzelgleichungen werden im Allgemeinen in 4 Schritten gelöst: 1. Wurzel separieren. Gleichung quadrieren. Gleichung lösen 4. Kontrolle! = 1 + = 1 = ( ) = = = 0 = oder = 5 Kontrolle für = : = 1 + ist richtig Kontrolle für = 5: = ist falsch Die Gleichung hat also die einzige Lösung =. 16

19 Gleichungen. Gleichungssysteme Gleichungssystem, linear und nichtlinear Unter einem Gleichungssystem versteht man ein System von Gleichungen, in denen (zumindest teilweise) die gleichen Unbekannten vorkommen. In einem linearen Gleichungssystem treten alle unbekannten Variablen linear auf. In einem nichtlinearen Gleichungssystem tritt zumindest in einer Gleichung eine unbekannte Variable nichtlinear auf. Gleichungssysteme Begriffe Lineares Gleichungssystem: + y = 4 + 5y = 0 Lineares Gleichungssystem: 4 + 7y + 5z = 4 + 5y z = 0 y = 0 Nichtlineares Gleichungssystem: + y = 1 sin() 4y = 8 Auch ein nichtlineares Gleichungssystem: + y = + y = 0 Lineares Gleichungssystem, homogen und inhomogen In einem homogenen linearen Gleichungssystem treten außer Null keine anderen Konstanten auf der rechten Seite auf. In einem inhomogenen linearen Gleichungssystem tritt zumindest in einer Gleichung eine von Null verschiedene Konstante auf. Homogenes lineares Gleichungssystem: + y = 0 + 5y = 0 Auch ein homogenes lineares Gleichungssystem: 4y = + y + y = y 4 Inhomogenes lineares Gleichungssystem: + y = + 5y = 17

20 Gleichungen Allgemeine Lösung eines Gleichungssystems Bei einem Gleichungssystem ist man an allen möglichen Wertekombinationen der unbekannten Variablen interessiert, die alle Gleichungen des Systems lösen. Die Gesamtheit aller möglichen Lösungen nennt man allgemeine Lösung des Gleichungssystems. Das Gleichungssystem + y = 4 = hat die Lösung (, y) = (1.5,.5). Das Gleichungssystem + y = + y = 5 hat keine Lösung. Das Gleichungssystem + y = 7 + 6y = 14 hat unendlich viele Lösungen. Äquivalenzumformungen Die Lösungsmenge eines Gleichungssystems ändert sich nicht, wenn bei einer Gleichung auf beiden Seiten eine Zahl addiert oder subtrahiert wird eine Gleichung mit einer beliebigen Zahl (ungleich Null) multipliziert oder durch eine beliebige Zahl (ungleich Null) dividiert wird zwei Gleichungen vertauscht werden zu einer Gleichung eine andere Gleichung oder ein Vielfaches davon addiert wird Die Lösung eines linearen Gleichungssystems kann mittels des Gaußschen Eliminationsverfahrens berechnet werden. Gleichungssysteme Formeln 1. Beispiel (Vertauschen zweier Gleichungen): + y + 4z = y z = + y + 5z = 7 Vertauschen der zweiten und der dritten Gleichung: + y + 4z = + y + 5z = 7 y z =. Beispiel (Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl und Addition zweier Gleichungen): + y = 5 y = Zweite Gleichung mal (-): + y = 5 + y = 6 Erste plus zweite Gleichung: 5y = 1 18

21 Gleichungen Einsetzungsverfahren für Gleichungssysteme aus zwei Gleichungen und zwei Unbekannten Ein Gleichungssystem aus Gleichungen und Variablen lässt sich mit dem Einsetzungsverfahren lösen. Dabei wird eine der beiden Gleichungen nach einer der beiden Variablen aufgelöst und in die andere Gleichung eingesetzt. Aus Gleichungen mit Unbekannten hat man somit 1 Gleichung mit 1 Unbekannten generiert. y = 1 y + y = 8 Löst man die erste Gleichung nach auf, so erhält man: = y 1 Setzt man diese Gleichung in die zweite Gleichung des Systems ein, so erhält man: (y 1)y + y = 8 y = 8 y 1/ = ± Setzt man nun die y-werte in die erste Gleichung ein, so erhält man die beiden Lösungen des Gleichungssystems: Lösung 1: 1 = 5; y 1 = Lösung : = ; y = Allgemeingültiges Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme aus beliebig vielen Gleichungen mit beliebig + y + 4z = vielen Unbekannten das Gaußsche + y + 5z = 7 Eliminationsverfahren y z = Ein lineares Gleichungssystem lässt sich mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens iterativ lösen. Dazu werden die Erste Gleichung mal : Gleichungen wie in nebenstehendem Beispiel skizziert mit Hilfe von Äquivalenz- + y + 5z = 7 + 4y + 8z = 6 umformungen auf eine Dreiecksform gebracht. y z = Zweite Gleichung minus erste Gleichung ergibt die neue zweite Gleichung: + 4y + 8z = 6 y z = 1 y z = Zweite Gleichung plus dritte Gleichung ergibt die neue dritte Gleichung: + 4y + 8z = 6 y z = 1 4z = 4 Aus der dritten Gleichung folgt, dass z = 1 ist. Setzt man diesen Wert in die zweite Gleichung ein, folgt y =. Setzt man diese beiden Werte in die erste Gleichung ein, erhält man =. 19

22 Ungleichungen und Beträge Ungleichungen und Beträge.1 Ungleichungen Ungleichungen Begriffe Ungleichung Ungleichungen erkennt man daran, dass sie eines der vier Zeichen enthalten: <... kleiner... kleiner gleich >... größer > größer gleich Abgeschlossene, halboffene und offene Intervalle Intervallgrenzen werden mit eckigen Klammern ( [ und ] ) versehen, wenn die Grenzen zum Intervall dazugehören. Ansonsten werden sie mit runden Klammern ( ( und ) ) versehen. Man unterscheidet: Abgeschlossenes Intervall: [a; b] a b Halboffene Intervalle: (a; b] a < b [a; b) a < b Offenes Intervall: (a; b) a < < b Dabei sind a und b reelle Zahlen und es ist a < b. Das Intervall [; 5] ist ein abgeschlossenes Intervall. Zu ihm gehören alle reellen Zahlen, die zwischen (einschließlich) und 5 (einschließlich) liegen. [; 5] Das Intervall [ ; 0) ist ein halboffenes Intervall. Zu ihm gehören alle reellen Zahlen, die zwischen - (einschließlich) und 0 (ausschließlich) liegen. Die Null gehört also nicht zu diesem Intervall. [ ; 0) Das Intervall ( ; ) ist ein offenes Intervall. Zu ihm gehören alle reellen Zahlen, die zwischen (ausschließlich) und (ausschließlich) liegen. Die Zahlen und gehören also nicht zu diesem Intervall. ( ; )

23 Ungleichungen und Beträge Unendlich große Intervalle Als Intervallgrenzen sind auch oder möglich. Hier gibt es vier mögliche Intervalle: [a; ) a (a; ) > a ( ; b] b ( ; b) < b Das Intervall ( ; ) entspricht der kompletten reellen Achse (Gerade). Schnittmenge und Vereinigungsmenge Sind M 1 und M Mengen (beispielsweise Intervalle), so steht M 1 M für die Schnittmenge (logisches und) der beiden Mengen. M 1 M steht für die Vereinigung (logisches oder) der beiden Mengen. Grafische Darstellung im Mengendiagramm: Zur Schnittmenge M 1 M gehören nur die Elemente, die zu beiden Mengen gleichzeitig gehören: Die Halbgerade ( ; 5] enthält alle reelle Zahlen, die kleiner gleich 5 sind Die Halbgerade ( ; ) enthält alle reelle Zahlen, die echt größer als sind Die Schnittmenge aus der Halbgeraden [; ) und dem Intervall ( 4; 4) ist [; ) ( 4; 4) = [; 4). Die Schnittmenge aus dem Intervall ( ; 0) und dem Intervall [0; 10] ist die leere Menge, da es keine Zahl gibt, die zu beiden Intervallen gehört: ( ; 0) [0; 10] =. Die Vereinigungsmenge [ ; 1) (; ) beinhaltet alle reellen Zahlen, die zwischen - (einschließlich) und 1 (ausschließlich) liegen, sowie alle Zahlen, die echt größer als sind. M 1 M Zur Vereinigungsmenge M 1 M gehören sowohl die Elemente der Menge M 1 als auch die der Menge M : M 1 M 1

24 Ungleichungen und Beträge Rechenregeln bei Ungleichungen Für Ungleichungen gelten die gleichen erlaubten Aktionen wie bei den Gleichungen, mit einer Ausnahme: Multipliziert man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl, so dreht sich das Verhältniszeichen (<,, > oder ) um. Das Gleiche gilt auch für die Division durch eine negative Zahl. Achtung: Wird eine Ungleichung mit einer Unbekannten multipliziert (bzw. durch sie dividiert), so erfordert dies eine Fallunterscheidung, da die Unbekannte positiv oder negativ sein kann. Ungleichungen Formeln Beispiele ohne Fallunterscheidung: 6 : ( ) Beispiel mit Fallunterscheidung: 1. Fall ( 1 > 0, also > 1): > ( 1) 1 > ( 1) > 1 > Im Fall 1 wird unter der Voraussetzung > 1 das Ergebnis < erzielt. Da beides erfüllt sein muss, folgt als Lösungsmenge für Fall 1: L 1 = (1; ). Fall ( 1 < 0, also < 1): > ( 1) 1 < ( 1) < Im Fall wird unter der Voraussetzung < 1 das Ergebnis > erzielt. Da beides erfüllt sein muss, folgt als Lösungsmenge für Fall : L = Die Lösung der Ungleichung ist gleich der Vereinigung der beiden Lösungsmengen: L = L 1 L = (1; ) = (1; ).

25 Ungleichungen und Beträge Lösungsverfahren bei quadratischen Ungleichungen Eine quadratische Ungleichung a + b + c < 0 bzw. a + b + c 0 bzw. a + b + c > 0 bzw. a + b + c 0 lässt sich am einfachsten nach folgendem Schema lösen: 1. Lösungen der entsprechenden quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel berechnen. Öffnungsverhalten der Parabel berücksichtigen (für a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet; für a < 0 nach unten). Anhand der Nullstellen und des Öffnungsverhaltens Parabel skizzieren (bei fehlenden Nullstellen kann die Skizze entfallen) 4. Anhand der Skizze die Werte für ablesen, für die die Funktionswerte der Parabel die Ungleichung erfüllen 1. Beispiel: < 0 1. Die Lösungen der Gleichung = 0 lauten 1 = 1, = Die Parabel ist nach unten geöffnet, da a = < 0.. Skizze der Parabel y y = ( 1) ( ) 4. Die Funktionswerte der Parabel sind für 1, 1 + positiv. Also lautet die Lösungsmenge { } L = R < 1 oder > Beispiel: Die Gleichung +4 6 = 0 hat keine Lösung; somit besitzt die Parabel auch keine Nullstellen.. Die Parabel ist nach unten geöffnet, da a = 1 < 0.. Die Skizze der Parabel kann entfallen. Die komplette Parabel liegt unterhalb der -Achse. 4. Die Funktionswerte der Parabel sind für alle R negativ. Also lautet die Lösungsmenge L = R.

26 Ungleichungen und Beträge. Beträge Beträge Begriffe Betrag Unter dem Betrag einer Zahl versteht man ihren (positiven) Abstand zur Zahl Null. Formal lässt sich das so schreiben: = = = { für 0 für < 0 = { für 0, also für ( ) für < 0, also für < Beträge Formeln Betrag einer reellen Zahl Es gilt: = = = Verkürzte Schreibweise für Intervalle symmetrisch zum Ursprung Es gelten die folgenden Identitäten: a < < a < a a a a { < a} { > a} > a { a} { a} a Die Lösungsmenge L 1 der Ungleichung 1 < 0 lautet L 1 = ( 1; 1) Dies lässt sich auch so schreiben: < 1 Die Lösungsmenge L der Ungleichung 1 0 lautet Dies lässt sich auch so schreiben: L = ( ; 1] [1; ) 1 Potenzen von Beträgen Es gilt: = a b = a b, b Z = 1 4

27 Ungleichungen und Beträge Addition und Subtraktion von Beträgen Es gelten die Dreiecksungleichungen: a + b a + b a b a b Die betragsfreie Darstellung von Termen mit Beträgen Terme, in denen Beträge auftreten, können mit Hilfe der folgenden Fallunterscheidung betragsfrei dargestellt werden: 1. Fall: Ist der Term zwischen den Betragsstrichen größer gleich Null, so werden die Betragsstriche weggelassen.. Fall: Ist der Term zwischen den Betragsstrichen negativ, so wird der Term mit einem Minuszeichen versehen; die Betragsstriche werden weggelassen. 1. Beispiel: Für den Term 1 gilt die folgende Fallunterscheidung: 1. Fall ( 1 0, also 1):. Fall ( 1 < 0, also < 1): 1 = 1 1 = ( 1) = + 1 Die betragsfreie Darstellung von 1 lautet daher: 1 = { 1 für für < 1. Beispiel: Für den Term 4 gilt die folgende Fallunterscheidung: 1. Fall (4 0, also [ ; ]): 4 = 4. Fall (4 < 0, also ( ; ) (; )): 4 = (4 ) = 4 Die betragsfreie Darstellung von 4 lautet daher: 4 = { 4 für [ ; ] 4 sonst 5

28 Ungleichungen und Beträge Lösungsverfahren von Betragsgleichungen Betragsgleichungen werden mit Hilfe einer Fallunterscheidung gelöst: 1. Fall: Ist der Term zwischen den Betragsstrichen größer gleich Null, so werden die Betragsstriche weggelassen.. Fall: Ist der Term zwischen den Betragsstrichen negativ, so wird der Term mit einem Minuszeichen versehen; die Betragsstriche werden weggelassen. 1. Fall ( 0, also ): = = = Im Fall 1 wird unter der Voraussetzung das Ergebnis = erzielt. Da nicht beides zugleich erfüllt sein kann, folgt als Lösungsmenge für Fall 1: L 1 =.. Fall ( < 0, also < ): ( ) = + = = 1 Im Fall wird unter der Voraussetzung < das Ergebnis = 1 erzielt. Da beides zugleich erfüllt sein muss, folgt als Lösungsmenge für Fall : L = {1}. Die Lösung der Betragsgleichung ist gleich der Vereinigung der beiden Lösungsmengen: L = L 1 L = {1} = {1}. 6

29 Ungleichungen und Beträge Lösungsverfahren von Betragsungleichungen Betragsungleichungen werden ebenfalls mit Hilfe der Fallunterscheidung gelöst: 1. Fall: Ist der Term zwischen den Betragsstrichen größer gleich Null, so werden die Betragsstriche weggelassen.. Fall: Ist der Term zwischen den Betragsstrichen negativ, so wird der Term mit einem Minuszeichen versehen; die Betragsstriche werden weggelassen. 1. Fall (4 0, also ): Im Fall 1 wird unter der Voraussetzung das Ergebnis 4 erzielt. Da beides zugleich erfüllt sein muss, folgt als Lösungsmenge für Fall 1: L 1 =. Fall (4 < 0, also > ): (4 ) [ 4 ; ]. Im Fall wird unter der Voraussetzung > das Ergebnis 4 erzielt. Da beides zugleich erfüllt sein muss, folgt als Lösungsmenge für Fall : L = (; 4] Die Lösung der Betragsungleichung ist gleich der Vereinigung der beiden Lösungsmengen: L = L 1 L = [ ] [ ] 4 4 ; (; 4] = ; 4. 7

30 Geraden, Parabeln und Kreise 4 Geraden, Parabeln und Kreise 4.1 Geraden Geraden Begriffe Koordinaten eines Punktes Ein Punkt P lässt sich in einem - dimensionalen Koordinatensystem durch seine - und seine y-koordinate lokalisieren. Hat ein Punkt die -Koordinate 0 und die y-koordinate y 0 so schreibt man P( 0 y 0 ). B( ) y 1 C(0 ) A( 1) Gerade als Funktion Eine Gerade ist das Schaubild einer linearen Funktion. Sie lässt sich wie folgt schreiben: y = m + b Dabei ist m die Steigung der Geraden und b der so genannte y-achsenabschnitt. 4 y y = y = 1 1 8

31 Geraden, Parabeln und Kreise Punkt-Steigungsform der Geraden Eine Gerade, die durch den Punkt P( 0 y 0 ) geht und die Steigung m hat, lässt sich durch die so genannte Punkt- Steigungsform aufstellen: y y 0 0 = m Nach y aufgelöst erhält man y = y 0 + m( 0 ) Geraden Formeln Die Gerade, die durch den Punkt P 1 (1 1) geht und die Steigung m = hat, lässt sich so schreiben: y ( 1) 1 = y = y + 1 = ( 1) y = + Zweipunkteform der Geraden Eine Gerade, die durch die beiden Punkte P 1 ( 1 y 1 ) und P ( y ) geht, lässt sich durch die so genannte Zweipunkteform aufstellen: y y 1 1 = y y 1 1 Die Gerade, die durch die beiden Punkte P 1 ( ) und P (4 5) geht, lässt sich so schreiben: y = 5 4 y = y = ( ) y = 7 Achsenabschnittsform der Geraden Eine Gerade, die mit den beiden Koordinatenachsen die Schnittpunkte S 1 ( 0 0) und S (0 y 0 ) hat, lässt sich durch die so genannte Achsenabschnittsform aufstellen: y = y y 0 Die Gerade, die durch die beiden Punkte S 1 ( 0) und S (0 1) geht, lässt sich so schreiben: y = Untersuchung, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt Gegeben sind eine Gerade (in einer der obigen Darstellungen) und die - und y- Koordinate eines Punktes P. Setzt man die Koordinaten des Punktes in die Geradengleichung ein, so ergibt sich entweder eine wahre oder eine falsche Gleichung. Ist die Gleichung wahr, so liegt der Punkt P auf der Geraden. Ist sie falsch, so liegt er nicht darauf. Anmerkung: Diese Punktprobe funktioniert nicht nur bei Geraden, sondern bei Funktionen allgemein. Gegeben sind die Gerade y = + und der Punkt P(1 ). Setzt man die Koordinaten des Punktes in die Geradengleichung ein, so erhält man: = 1 + Diese Gleichung ist offensichtlich falsch. Folglich liegt der Punkt nicht auf der Geraden. 9

32 Geraden, Parabeln und Kreise 4. Parabeln Nullstellen einer Parabel Die Nullstellen einer Parabel lassen sich mit Hilfe der Mitternachtsformel 1/ = b ± b 4 a c a (bzw. der p-q-formel) berechnen. Man erhält je nach Diskriminante keine, eine oder zwei Nullstellen. Scheitelpunktform einer Parabel Durch quadratisches Ergänzen lässt sich eine Parabel, die in der Form y = a + b + c gegeben ist, in die so genannte Scheitelpunktform y = a( 0 ) + y 0 bringen. Der Vorteil dieser Darstellung ist, dass man den Scheitelpunkt direkt ablesen kann. Er lautet S( 0 y 0 ). Parabeln Formeln Die Nullstellen der Parabel y = berechnen sich mit der Mitternachtsformel zu 1 = 1 und =. Die Parabel 1/ = ± ( ) 4 ( ) y = + 1 kann durch quadratisches Ergänzen in die Form ( y = ) = ± 5 4 gebracht ( ) werden. Der Scheitel der Parabel ist somit der Punkt S

33 Geraden, Parabeln und Kreise Parabel von der Funktionsgleichung zum Schaubild Zunächst sollte die Gleichung auf die Scheitelpunktform gebracht werden: y = a( 0 ) + y 0 Daraus lassen sich die Koordinaten des Scheitels 0, y 0 direkt ablesen. Das Vorzeichen des Parameters a gibt das Öffnungsverhalten an: Für a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet Für a < 0 nach unten. Die Größe des Parameters a gibt an, wie steil bzw. flach die Parabel verläuft. Erhöht man vom Scheitel der Parabel aus gesehen den -Wert um 1, so entspricht die dadurch verursachte Änderung des y-wertes dem Wert von a. Das Schaubild der Parabel y = ( 1) + 1 hat den Scheitel in S(1 1). Die Parabel ist nach unten geöffnet, da < 0 ist. Zudem ist sie steiler als die Normalparabel. Die Änderung der y-werte ist doppelt so groß wie bei der Normalparabel. y y = ( 1) Parabel vom Schaubild zur Funktionsgleichung Hat der Scheitel der Parabel die Koordinaten 0, y 0, so lautet die Funktionsgleichung y = a( 0 ) + y 0 Den Koeffizienten a kann man dabei wie folgt ablesen: Erhöht man vom Scheitel der Parabel aus gesehen den -Wert um 1, so entspricht die dadurch verursachte Änderung des y- Wertes gerade dem Wert von a. Der Scheitel hat die Koordinaten S( 1). Außerdem ist a = 1.5. Also lautet die Funktionsgleichung 1 y = 1.5( ) 1 4 y a y = 1.5( ) 1 1

34 Geraden, Parabeln und Kreise 4. Kreise Kreise Begriffe Kreis, Mittelpunkt, Radius Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die zu einem vorgegebenen Punkt (Mittelpunkt) den gleichen Abstand (Radius) haben. Die Zahl π Die Zahl π ist die so genannte Kreiszahl. Für jeden Kreis gilt, dass der Quotient aus dem Umfang U und dem Durchmesser d des Kreises gleich ist: π = U d. π ist eine reelle Zahl, deren Dezimaldarstellung nicht abbricht und nicht periodisch ist (irrationale Zahl): π = Mittelpunktsform des Kreises Ein Kreis um den Mittelpunkt M( 0 y 0 ) mit dem Radius r lässt sich mit der so genannten Mittelpunktsform wie folgt schreiben: Kreise Formeln Die Gleichung ( ) + (y + ) = 4 beschreibt einen Kreis um den Mittelpunkt M( ) mit Radius r =. ( 0 ) + (y y 0 ) = r. Die Formel des Einheitskreises um den Ursprung M(0 0) lautet: + y = 1. ( ) + (y + ) =

35 Geraden, Parabeln und Kreise Von der quadratischen Form zur Mittelpunktsform Die Gleichung a + b + ay + cy + d = 0 stellt einen Kreis dar, da die Vorfaktoren vor und y gleich sind. Die Gleichung lässt sich mit Hilfe der quadratischen Ergänzung auf die Mittelpunktsform ( 0 ) + (y y 0 ) = r bringen. Der Vorteil dieser Darstellung ist, dass man Mittelpunkt M( 0 y 0 ) und Radius r direkt ablesen kann. Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises Für den Flächeninhalt A eines Kreises mit Radius r gilt die Formel A = πr. Die Gleichung + y + 6y 6 = 0 kann durch quadratisches Ergänzen in die Gleichung und damit in die Gleichung ( 1) 1 + (y + ) 9 6 = 0 ( 1) + (y + ) = 16 umgewandelt werden. Es handelt sich also um einen Kreis mit Mittelpunkt M(1 ) und Radius r = 4. Ein Kreis mit Radius r = 15 m hat den Flächeninhalt A = π 15 m = 5π m m. r = 15 r

36 Geraden, Parabeln und Kreise Berechnung des Flächeninhalts eines Kreissektors 1 Wird aus einem Kreis mit Radius r ein Kreissektor mit Winkel α (in Gradmaß) ausgeschnitten, so hat dieser Kreissektor den Flächeninhalt A = πr α 60. Wird aus einem Kreis mit Radius r = m ein Kreissektor mit Winkel α = 60 ausgeschnitten, so hat dieser Kreissektor den Flächeninhalt A = π m = π m.0944 m. r = r = r r α = π α In Bogenmaß formuliert lautet der Winkel = π. Die Rechnung ergibt dann: Wird aus einem Kreis mit Radius r ein Kreissektor mit Winkel (in Bogenmaß) ausgeschnitten, so hat dieser Kreissektor den Flächeninhalt A = πr π = 1 r. A = 1 π m = π m.0944 m. r r 1 Das in diesem Abschnitt verwendete Bogenmaß wird auf Seite 6 eingeführt. 4

37 Geraden, Parabeln und Kreise Berechnung des Umfangs eines Kreises Für den Umfang U eines Kreises mit Radius r gilt die Formel Ein Kreis mit Radius r = 10 cm hat den Umfang U = π 10 cm = 0π cm cm. U = πr. U U r = 10 r Berechnung des Umfangs eines Kreissektors Wird aus einem Kreis mit Radius r ein Kreissektor mit Winkel α (in Gradmaß) ausgeschnitten, so hat der Kreisbogen dieses Kreissektors die Länge L = πr L α 60. Wird aus einem Kreis mit Radius r = cm ein Kreissektor mit Winkel α = 10 ausgeschnitten, so hat der Kreisbogen dieses Kreissektors die Länge L = π 10 cm = π cm 6.8 cm. 60 Der Umfang U des Kreissektors lautet somit U = (π + ) cm 1.8 cm. In Bogenmaß formuliert lautet der Winkel = π. Die Rechnung ergibt dann für die Länge des Kreisbogens: r r L = π cm = π cm 6.8 cm. α Entsprechend folgt für den Umfang des Kreissektors U = (π + ) cm 1.8 cm. Wird aus einem Kreis mit Radius r ein Kreissektor mit Winkel (in Bogenmaß) ausgeschnitten, so hat der Kreisbogen dieses Kreissektors die Länge L = πr π = r 5

38 Trigonometrie 5 Trigonometrie 5.1 Grad- und Bogenmaß Trigonometrie Begriffe Gradmaß, Bogenmaß Winkel lassen sich im Gradmaß mit der Einheit Grad ( ) und im Bogenmaß (ohne Einheit bzw. mit rad ) angeben. Im Gradmaß hat ein Vollwinkel 60 ; somit hat ein rechter Winkel 90. Im Bogenmaß hat ein Vollwinkel π; somit hat ein rechter Winkel das Bogenmaß π. Umrechnung Gradmaß Bogenmaß Die Umrechnungsformel zwischen einem in Gradmaß gegebenen Winkel α und demselben Winkel (in Bogenmaß) lautet: α 180 = π. Folglich gilt für die Umrechnung von Bogenmaß in Gradmaß α = π 180 Für die Umrechnung von Gradmaß in Bogenmaß gilt entsprechend = α 180 π. Trigonometrie Formeln Der im Bogenmaß gegebene Winkel = π α = π π 180 = 10. lautet im Gradmaß Der im Gradmaß gegebene Winkel α = 45 lautet im Bogenmaß = π = π 4. 6

39 Trigonometrie 5. Trigonometrie Hypotenuse, Katheten In einem rechtwinkligen Dreieck stehen zwei Seiten senkrecht aufeinander. Diese nennt man Katheten. Die dritte Seite nennt man Hypotenuse. Von einem nicht-rechten Winkel des rechtwinkligen Dreiecks aus gesehen nennt man die an ihn anschließende Kathete Ankathete, die gegenüberliegende hingegen Gegenkathete. Der Sinus im rechtwinkligen Dreieck Der Sinus eines Winkels 0 < α < 90 im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als der Quotient aus der Länge der Gegenkathete und der Länge der Hypotenuse, kurz: sin(α) = Gegenkathete Hypotenuse Trigonometrie Begriffe C.... b a α A c B a Kathete, b Kathete, c Hypotenuse Die Seite b ist die Ankathete zum Winkel α, die Seite a die Gegenkathete zu α. C.... b = a = 4 α A c = 5 B sin(α) = a c = 4 5 Der Cosinus im rechtwinkligen Dreieck Der Cosinus eines Winkels 0 < α < 90 im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als der Quotient aus der Länge der Ankathete und der Länge der Hypotenuse, kurz: cos(α) = Ankathete Hypotenuse C.... b = a = 4 α A c = 5 B cos(α) = b c = 5 Der Tangens im rechtwinkligen Dreieck Der Tangens eines Winkels 0 < α < 90 im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als der Quotient aus der Länge der Gegenkathete und der Länge der Ankathete, kurz: tan(α) = Gegenkathete Ankathete Der Tangens lässt sich auch als Quotient aus Sinus und Cosinus formulieren: tan(α) = sin(α) cos(α) C.... b = a = 4 α A c B tan(α) = a b = 4 7

40 Trigonometrie Satz des Pythagoras In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras. Er besagt: Die Summe der Quadrate der Längen der beiden Katheten entspricht dem Quadrat der Länge der Hypotenuse, kurz: a + b = c (a, b Katheten, c Hypotenuse) In einem rechtwinkligen Dreieck ist bekannt, dass eine Kathete die Länge a = m und die Hypotenuse die Länge c = 4m hat. Nach dem Satz des Pythagoras folgt damit für die Länge der zweiten Kathete: b = c a = 4 m = 7m Trigonometrie Formeln Werte von Sinus, Cosinus und Tangens für spezielle Winkel Die folgende Tabelle gibt Werte von Sinus, Cosinus und Tangens für spezielle Winkel (in Grad- und Bogenmaß) an: 0 π 6 π 4 π π π π 4 5π 7π 6 π 6 5π 4 4π π 5π 7π 4 11π 6 π α sin() 0 1 cos() 1 tan() Hinweis: Der Wert des Tangens ist für = π + k π, k Z nicht definiert. Vorzeichen in den Quadranten: Weitere Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen: Quadrant I II III IV sin() + + cos() + + tan() + + sin( ) = sin() sin ( π ) = cos() sin() = + sin(π ) cos( ) = + cos() cos ( π + ) = sin() cos() = cos(π ) tan( ) = tan() tan() = tan(π ) 8

41 Potenzen, Wurzeln und Polynome 6 Potenzen, Wurzeln und Polynome 6.1 Potenzen Potenzen Begriffe Potenzen mit natürlichen Hochzahlen Für natürliche Zahlen n bezeichnet man die n-te Potenz einer reellen Zahl a mit = ( + 1) = ( + 1) ( + 1) ( + 1) a n = a a a... a }{{} n Faktoren Dabei ist a die Basis oder Grundzahl und n der Eponent oder Hochzahl Potenzen mit ganzen Hochzahlen Negative Hochzahlen und die Hochzahl Null dienen als Schreibweise für a n = 1 a n a 0 = 1 (Vereinbarung). Wurzel Als Wurzel bezeichnet man die positive reelle Zahl y, die die Potenzgleichung (für R und n N) ( + ) 0 a 1 = a 5 = 1 5 = 1 5 ( ) 1 = ( ) = 1 ( ) ( ) y = = y = y n = = y = n = 1 n löst. Dabei ist n der Wurzeleponent, die Größe heißt Radikant Potenzen mit rationalen Hochzahlen Wurzeln sind Potenzen mit rationalen Hochzahlen und es gilt = 5 (a + ) 4 = (a + ) 4 5 n m = ( m) 1 n = m n 9

42 Potenzen, Wurzeln und Polynome Gesetze für Potenzen mit reellen Hochzahlen Die Potenzgesetze lassen sich anschaulich für positive reelle Basen und y und natürliche Hochzahlen herleiten. Sie behalten ihre Gültigkeit für positive reelle Basen und y und reelle Hochzahlen a und b: Potenzen Formeln 1. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis a b = a+b 4 = 7 ( + ) ( + ) = ( + ) 5. Division von Potenzen mit gleicher Basis a b = a b ( + a) 5 = ( + a) ( + a). Potenz einer Potenz ( a ) b = a b = ( b ) a ( ) a = a = ( a ) ( 4 ) 1 = 4 1 = 4. Multiplikation von Potenzen mit gleichem Eponent ( + a) (y a) = (( + a)(y a)) a y a = ( y) a 5. Division von Potenzen mit gleichem Eponent ( + a) 5 ( + a a ( ) a y a = (y + a) 5 = y + a y ) 5 40

43 Potenzen, Wurzeln und Polynome 6. Wurzeln Wurzeln Formeln Rechenregeln für Wurzeln Für positive reelle Zahlen und y und ganze Hochzahlen n und m gilt: 1. Multiplikation von Wurzeln mit gleichem Wurzeleponent + a a = ( + a)( a) n n y = n y. Division von Wurzeln mit gleichem Wurzeleponent n n = n y y 5 + a + a 5 = 5 + a + a. Wurzel aus einer Wurzel n m = n m a 1 = a 1 = 6 a 1 Quadratwurzeln Bei Wurzeln mit geradem Wurzeleponenten muss man beachten: 5 = 5, ( ) = = Teilweises Wurzelziehen y = y 18 = 9 = 41

44 Potenzen, Wurzeln und Polynome Nenner rational machen Enthält ein Term eine Wurzel im Nenner, so kann man den Nenner folgendermaßen rational (d. h. wurzelfrei) machen y = y a + = y y = y (a ) (a + ) (a ) = y (a ) a = y = y (a ) a = = + 7 = ( 7) ( + 7) ( 7) = ( 7) 9 7 = 7 4

45 Potenzen, Wurzeln und Polynome 6. Potenzfunktionen Potenzfunktionen Begriffe Die Funktion f, die sich in der Form f () = n, n Z, R darstellen lässt, bezeichnet man als Potenzfunktion. Unterschiedliches Verhalten abhängig davon, ob n positiv oder negativ Die Ausdrücke n, n N nennt man Monome Definitionsbereich: n > 0: D = R, keine Definitionslücken n < 0: D = R\{0} Verhalten für betragsmäßig große : n > 0 gerade: n für bzw. n + für n > 0 ungerade: n für bzw. n für n < 0: n 0 für bzw. n 0 für Wertebereich: abhängig davon, ob n gerade oder ungerade und vom Vorzeichen von n Potenzfunktionen mit ganzzahligen Eponenten Formeln Potenz mit gerader positiver Hochzahl f () = n, n N gerade Definitionsbereich: D = R, keine Definitionslücken Wertebereich: W = R + 0 Verhalten für betragsmäßig große : f () = + lim ± Monotonie: streng monoton wachsend auf dem Intervall [0, ) bzw. streng monoton fallend auf dem Intervall (, 0] Schaubild ist symmetrisch zur y- Achse f 1 () =, f () = 4 4 y

46 Potenzen, Wurzeln und Polynome Potenz mit gerader negativer Hochzahl f () = n, n N gerade Definitionsbereich: D = R\{0} = 0 heißt Pol ohne Vorzeichenwechsel Wertebereich: W = R + Verhalten für betragsmäßig große : lim ± f () = 0 Monotonie: streng monoton fallend auf dem Intervall (0, ) bzw. streng monoton wachsend auf dem Intervall (, 0) Schaubild ist symmetrisch zur y- Achse f 1 () = = 1, f () = 4 = y Potenz mit ungerader positiver Hochzahl f () = n, n N ungerade Definitionsbereich: D = R Wertebereich: W = R Verhalten für betragsmäßig große : lim f () =, lim f () = Monotonie: monoton wachsend auf R Schaubild ist symmetrisch zum Ursprung f 1 () =, f () = 5 4 y

47 Potenzen, Wurzeln und Polynome Potenz mit ungerader negativer Hochzahl f () = n, n N ungerade Definitionsbereich: D = R\{0} = 0 heißt Pol mit Vorzeichenwechsel Wertebereich: W = R\{0} Verhalten für betragsmäßig große : lim ± f () = 0 Monotonie: streng monoton fallend auf dem Intervall (0, ) bzw. streng monoton fallend auf dem Intervall (, 0) Schaubild ist symmetrisch zum Ursprung f 1 () = = 1, f () = 5 = y

48 Potenzen, Wurzeln und Polynome 6.4 Polynome Polynome Begriffe und Eigenschaften Seien n N und a 0, a 1,.... a n R, a n 0. Die Funktion P n : R R, f () mit f () = a n n a 1 + a 0 = heißt Polynom(funktion) bzw. ganzrationale Funktion vom Grad n. Definitionsbereich D = R n a k k Wertebereich kann ganz R sein, abhängig von n und den Koeffizienten a k auch eine Teilmenge (Beispiel: Wertebereich von f () = + 1 ist W = (, 1]). Man kann Polynome addieren, voneinander subtrahieren und miteinander multiplizieren und es entstehen dabei wieder Polynome. Zwei Polynome f () = a n n a 1 + a 0, g() = b n n b 1 + b 0 sind genau dann identisch, wenn alle ihre entsprechenden Koeffizienten identisch sind: k=0 a 0 = b 0, a 1 = b 1,..., a n = b n. Die Multiplikation eines Polynoms vom Grad n mit einem Polynom vom Grad m ergibt ein Polynom vom Grad n + m Jedes Polynom vom Grad n hat in R höchstens n Nullstellen. Ist 0 eine Nullstelle des Polynoms P n, so kann man den Linearfaktor ( 0 ) abspalten, d. h. es gilt P n () = ( 0 ) P n 1 () mit einem geeigneten Polynom P n 1 vom Grad n 1. 46

49 Potenzen, Wurzeln und Polynome Polynome Formeln Polynomdivision Ein Polynom P n () kann bei bekannter Nullstelle 0 zerlegt werden in P n () = P n 1 ()( 0 ) Dabei ist P n 1 () ein Polynom vom Grad n 1. Beispiel: ( ) : ( 5) ( ) : ( 5) = + 4 ( 5 ) +14 ( +10) +4 0 (4 0) 0 Als Lösung erhält man ( ) : ( 5) = + 4 und damit = ( 5)( + 4) 47

50 Eponentialfunktionen und Logarithmen 7 Eponentialfunktionen und Logarithmen 7.1 Logarithmen Logarithmus Begriffe Logarithmus Als Logarithmus einer Zahl zur Basis a, a > 0 und a 1 bezeichnet man die Zahl y, die die Gleichung = a y löst. Man schreibt y = log a, log 8 = lg = 4 ln e = 1 d.h. log a ist die Antwort auf die Frage a? =. Anstelle von log 10 () für den Zehnerlogarithmus von schreibt man lg() = log 10 () Als natürlichen Logarithmus von bezeichnet man ln() = log e () In der Prais ist meist a = e, a = 10 oder a =. Das Argument des Logarithmus muss positiv sein Die Werte log a b bzw. ln b eistieren nur, wenn b > 0 ist. Logarithmusgesetz zum Produkt Der Logarithmus aus dem Produkt ist gleich der Summe der Logarithmen log a ( z) = log a + log a z für, z > 0. ln( z) = ln + ln z Logarithmus Formeln Die Werte log ( ) und ln 0 eistieren nicht. log ( 8) = log + log 8 ln(( + y)) = ln + ln( + y) Achtung: Vereinfachung von ln( + y) ln(): Falscher Lösungsansatz: ln( + y) ln() = ln() + ln(y) ln() = ln(y) Korrekter Lösungsansatz: Der Term ln( + y) lässt sich nicht umformen, deshalb ist keine Vereinfachung möglich. 48

51 Eponentialfunktionen und Logarithmen Logarithmusgesetz zu Potenzen Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Eponent mal dem Logarithmus des Radikanten log (8 ) = log 8 ln( +k ) = ( + k) ln log a ( z ) = z log a ln( z ) = z ln Achtung: ln(( ) ) ln( ) Logarithmusgesetz zum Quotienten Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich dem Logarithmus des Dividenten weniger dem Logarithmus des Divisors. ( ) log a = log z a log a z ( ) ln = ln ln z z Achtung: ( ) 8 log = log 8 log ( ) ln = ln ln( + y) + y ln ( ) 4 ln( 4) ln( ) Spezielle Logarithmus-Werte log 1 = 0 log a 1 = 0 ln 1 = 0 ln e = 1 ( ) 1 ln = 1 e log a a = 1 Kombinationen von Formeln ( ) 1 log a = log a ( ) 1 ln = ln ( ) 1 log a z = z log a ( ) 1 ln = z ln z ln ( e ) = e ln() = ( ) 1 log = log 8 8 ( ) 1 ln = ln( + y) + y ( ) 1 log 5 = 5 log ( ) 1 ln +y = ( + y) ln 49

52 Eponentialfunktionen und Logarithmen Ersetzung einer Basis durch eine andere Ersetzt man eine Bais durch eine andere, so ist der entsprechende Quotient zu bilden. log a = log b log b a = ln ln a = lg lg a log = ln ln ln( + ) log ( + ) = ln 50

53 Eponentialfunktionen und Logarithmen 7. Eponentialfunktionen Eponentialfunktion Begriffe Eponentialfunktion Für eine positive Zahl a > 0 nennt man die Funktion f () = a Eponentialfunktion zur Basis a. 4 y 1 f() = g() = 4 h() = Die natürliche Eponentialfunktion Für die Eulersche Zahl e = nennt man die Funktion natürliche Eponentialfunktion bzw. e-funktion. f () = e 4 y f() = e Werte, die Eponentialfunktionen annehmen können Die Eponentialfunktion f () = a mit positivem a kann nur positive Werte annehmen: a ist also für alle Werte von positiv. Zusammenhang zwischen a und a Eponentialfunktion Formeln Die Gleichung e = 1 hat keine Lösung. Die Gleichung = 0 hat auch keine Lösung. e 5 = 1 e 5 a = 1 a e = 1 e a = 1 a e = 1 e e 5+ = 1 e (5+) 51

54 Eponentialfunktionen und Logarithmen Produkte von Eponentialfunktionen a a y = a +y, e e y = e +y e5 e = e 8 e e +1 = e +1 Quotienten von Eponentialfunktionen a a y = a y, e e y = e 5 e y e e e = e = e Potenzierte Eponentialfunktionen ( a )y = a y, ( e )y = e y (e ) 5 = e 15 ( e ) +1 = e (+1) Spezielle Potenzen der Eponentialfunktionen a 0 = 1 a 1 = a a 1 = 1 a 5

55 Eponentialfunktionen und Logarithmen 7. Logarithmenfunktionen Logarithmusfunktionen Begriffe Eponential- und Logarithmusfunktion Eponential- und Logarithmusfunktion zur gleichen Basis sind Umkehrfunktionen zueinander: a log a = log a (a ) = e ln = ln(e ) = log 5 = 5 log ( ) = e ln 7 = 7 ln(e b ) = b Der natürliche Logarithmus Den Logarithmus einer Zahl zur Basis e = nennt man den natürlichen Logarithmus. Man schreibt anstatt log e ln. ln e = 1 ln 1 e = 1 f () = ln Die entsprechende Funktion nennt man die natürliche Logarithmusfunktion f () = ln, bzw. die ln-funktion. 4 y f() = e f() = ln() Verkettung des Logarithmus mit der Eponentialfunktion Aufgabe: Vereinfachen Sie den Term e ln, wenn möglich! Falscher Lösungsansatz: Korrekter Lösungsansatz: e ln = e ln = 1 e ln = 1 5

56 Trigonometrische Funktionen 8 Trigonometrische Funktionen 8.1 Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen Begriffe Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis Der Punkt P liegt auf dem Einheitskreis und auf der Ursprungsgeraden, die um den Winkel gegen die positive -Achse gedreht ist. Die Koordinaten von P lauten (cos(), sin()). Die Sinusfunktion und die Cosinusfunktion ordnen jedem Winkel R im Bogenmaß den entsprechenden Sinus- bzw. Kosinuswert zu. Dies kann sinnvoll auch auf Werte π/ und < 0 erweitert werden. Die Tangensfunktion ist für alle R außer = π + k π, k Z definiert. Sie ordnet in ihrem Definitionsbereich jedem Winkel im Bogenmaß das Verhältnis von Sinus und Cosinus zu. 1 P sin() cos() 1 tan() 54

57 Trigonometrische Funktionen Eigenschaften der Sinusfunktion Trigonometrische Funktionen Formeln f () = sin() Bereiche: D = R, W = [ 1, 1] Periode: T = π Schaubild ist symmetrisch zum Ursprung Nullstellen: = kπ, k Z Etremstellen: Hochpunkte ( π + kπ + 1) ( ) Tiefpunkte π + kπ 1 Periodizität: Verschiebung: sin( + π) = sin(), sin( ± π) = sin() Additionstheorem und doppeltes Argument sin( ± y) = sin() cos(y) ± cos() sin(y) sin() = sin() cos() Pythagoras: sin () + cos () = 1 1 y y = sin() π π π 0 π π π π π 1 55

58 Trigonometrische Funktionen Eigenschaften der Cosinusfunktion f () = cos() Bereiche: D = R, W = [ 1, 1] Periode: T = π Schaubild ist symmetrisch zur y- Achse Nullstellen: = π + kπ, k Z Etremstellen: Hochpunkte (kπ + 1) Tiefpunkte (π + kπ 1) Periodizität: Verschiebung: cos( + π) = cos(), cos( ± π) = cos() Additionstheorem und doppeltes Argument cos( ± y) = cos() cos(y) sin() sin(y) cos() = cos () sin () Zusammenhang zwischen Sinus- und Cosinusfunktion ( cos π ) = sin() ( sin π ) = cos() 1 y y = cos() π π π 0 π π π π π 1 56

59 Trigonometrische Funktionen Eigenschaften der Tangensfunktion f () = tan() = sin() cos() 5 y Definitionsbereich D = R\{ = + kπ}, Wertebereich: W = R π Schaubild ist symmetrisch zum Ursprung Monotonie: streng monoton wachsend zwischen benachbarten Definitionslücken Nullstellen: = kπ, k Z Periodizität: tan( + π) = tan() π π π 0 π 1 4 y = tan() 1 π π

60 Trigonometrische Funktionen 8. Allgemeine Kosinusfunktion Allgemeine Kosinusfunktion Formeln Allgemeine Kosinusfunktion Eine allgemeine Kosinusfunktion wird durch f (t) = A cos(ωt + ϕ) y A y = A cos(ω + ϕ) beschrieben. Dabei bezeichnet A > 0 die Amplitude, ω > 0 die Kreisfrequenz und ϕ den Phasenwinkel oder die Phasenverschiebung. Periode: T = π ω A ϕ ω Beispiel: f (t) = cos ( t + π ) ϕ+π ω T ϕ+π ω Ablesen des Phasenwinkels aus der Darstellung: ( ( f (t) = A cos ω t + ϕ )) ω Amplitude A = Kreisfrequenz ω = T = π ω = π Bestimmen der Nullstellen durch Substitution z = ωt + ϕ und Lösen der Gleichung cos(z) = 0. y = cos ( t + π ) ( = cos (t + π )) A 1 0 π 1 π π π 5π π 7π 4π 9π t A T 58

61 Trigonometrische Funktionen 8. Trigonometrische Gleichungen Arkusfunktionen Begriffe Arkusfunktionen [ Die Umkehrfunktion der Sinusfunktion auf dem Intervall π, π ] nennt man Arkussinusfunktion f () = sin() f 1 () = arcsin() Die Umkehrfunktion der Cosinusfunktion auf dem Intervall [0, π] nennt man Arkuscosinusfunktion f () = cos() f 1 () = arccos() ( Die Umkehrfunktion der Tangensfunktion auf dem Intervall π, π ) nennt man Arkustangensfunktion f () = tan() f 1 () = arctan() Eigenschaften des Arkussinus Arkusfunktionen Formeln f () = arcsin() Definitionsbereich: D = [ 1, 1] Wertebereich: W = [ π, π ] π y y = arcsin() Das Schaubild der Funktion ist symmetrisch zum Ursprung Nullstelle: = 0 y = sin() π 0 π 1 1 π 59

62 Trigonometrische Funktionen Eigenschaften des Arkuscosinus f () = arccos() Definitionsbereich: D = [ 1, 1] Wertebereich: W = [0, π] π y y = arccos() Das Schaubild der Funktion ist symmetrisch zum Punkt (0 π ) π Nullstelle: = 1 0 π 1 1 y = cos() π Eigenschaften der Arkustangensfunktion f () = arctan() Definitionsbereich: D = R Wertebereich: W = ( π, π ) π π y Das Schaubild der Funktion ist symmetrisch zum Ursprung Nullstelle: = 0 π π π 0 π y = arctan() π π π y = tan() π 60

63 Trigonometrische Funktionen Um alle Lösungen der Gleichung Beispiel: sin() = y zu bestimmen, geht man in drei Schritten vor: 1. Man berechnet die erste Lösung direkt mit dem Arkussinus 1 = arcsin(y). Die zweite Lösung erhält man aufgrund der Symmetrie = π 1 sin() = 1 1. Man berechnet die erste Lösung direkt mit dem Arkussinus. Zweite Lösung: ( 1 1 = arcsin = ) π 6 = π π 6 = 5π 6. Alle weiteren Lösungen ergeben sich ebenfalls aufgrund der Periodizität aus 1 und = π 6 + πk, = 5π 6 + πk, k Z. Alle weiteren Lösungen ergeben sich aufgrund der Periodizität aus 1 und = 1 + πk, = + πk, k Z Die Lösungen der Gleichung tan() = y ergeben sich aufgrund der Periode π zu k = arctan(y) + k π, k Z. Beispiel: Löst man die Gleichung nach auf, so erhält man tan() = = arctan( ) + k π = π + k π, k Z. 61

64 Differenzialrechnung 9 Differenzialrechnung 9.1 Ableitung Differenzialrechnung Begriffe Sekante Eine Sekante an einen Funktionsgraphen f ist eine Gerade durch zwei Punkte des Schaubildes von f. Das Verhältnis der Differenzen der Funktionswerte und der zugehörigen -Werte m = tan α = y = f ( 1) f ( 0 ) 1 0 beschreibt die Steigung der Sekante f( 1 ) f( 0 ) y P g() f() y g() = f ( 0 ) + m( 0 ) und wird als Differenzenquotient bezeichnet. 0 1 Tangente Die Tangente an eine Funktionskurve ist eine Gerade, die das Schaubild der Funktion in einem Punkt P berührt. Der Grenzwert des Differenzenquotienten f y ( 0 ) = lim 0 = df d 0 beschreibt die Steigung der Tangente t() = f ( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) und wird als Differenzialquotient bezeichnet. y = f () Graph der Funktion, y = g() Graph der Sekante f( 1 ) f( 0 ) y P t() Tangente in P g() 0 1 f() y y = f () Graph der Funktion, y = t() Graph der Tangente 6

65 Differenzialrechnung Differenzierbarkeit Eine Funktion f : R I R heißt differenzierbar an einer Stelle 0, falls ihr Schaubild im Punkt P 0 ( 0 f ( 0 )) eine eindeutige Tangente mit endlicher Steigung besitzt. Ableitungsfunktion Sei f eine Funktion für D. Die Ableitungsfunktion f () ordnet jedem D die Steigung der Tangente an die Funktionskurve y = f () im Punkt P(, f ()) zu. Zusammenhänge in der Physik Wenn der Grenzwert m = f ( 0 + ) f ( 0 ) lim 0 eistiert, so heißt er Ableitung der Funktion f an der Stelle 0. Man nennt die Funktion f dann differenzierbar an der Stelle 0. Es sind verschiedene Schreibweisen gebräuchlich: f ( 0 ) = df d Anmerkung: In der Physik wird die Ableitung von Zeitfunktionen meist mit einem Punkt dargestellt: anstelle von s (t) schreibt man meist ṡ(t). Die Ableitungsfunktion zu f () = ist f () = Beispiel: 0 Geschwindigkeit v(t) und Weg s(t): v(t) = ṡ(t) Beschleunigung a(t) und Geschwindigkeit v(t): a(t) = v(t) = s(t) Ein Fahrzeug startet zum Zeitpunkt t 0 = 0s an der Wegmarke s 0 = 0m aus der Ruhe heraus und beschleunigt konstant. Das Fahrzeug passiert die Wegmarke s 1 = 100m nach t = 5s Weg-Zeit-Diagramm: s = 1 a t 100 s[m] Leistung P(t) und Arbeit W (t): P(t) = Ẇ (t) 50 Stromstärke I(t) und Ladung Q(t): I(t) = Q(t) t[s] Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht der Steigung der Sekante Die Momentangeschwindigkeit zu einem Zeitpunkt t (z. B. t = s) entspricht der Steigung der Tangente im Kurvenpunkt ( s()): v(t) = ṡ(t) = a t 6

66 Differenzialrechnung 9. Ableitung elementarer Funktionen Differenzialrechnung Elementare Ableitungsregeln Funktion: Ableitung: Funktion: Ableitung: f () = c, c R f () = 0 f () = a, a R f () = a a 1 f () = n, n N f () = n n 1 f () = f () = 1 f () = e f () = e f () = ln() f () = 1 f () = sin() f () = cos() f () = cos() f () = sin() f () = tan() f () = 1 cos () 64

67 Differenzialrechnung 9. Ableitungsregeln Höhere Ableitungen Ist die Funktion f differenzierbar und f ihre Ableitungsfunktion, so bezeichnet man die Ableitungsfunktion von f als zweite Ableitung f von f, etc. Schreibweise: f, f, f, f, f (4),... Differenzialrechnung Formeln Beispiel: f () = sin() f () = cos() f () = d f () d f () = d f () d = sin() = cos() f, df d d f d, d f d, d 4 f d 4,... Faktor- und Summenregel Sind f, g zwei differenzierbare Funktionen und c R eine Konstante, so gilt (c f ()) = cf () (f () ± g()) = f () ± g () f () = 5 sin() + 4e f () = 5 cos() + 4e g() = dg() d = Produkt-und Quotientenregel Sind u, v zwei differenzierbare Funktionen, so gilt Produktregel (u() v()) = u () v() + u() v () Quotientenregel (v() 0) ( ) u() = u () v() u() v () v() v. () f () = sin() cos() f () = cos() cos() sin() sin() = cos () sin () g() = sin() cos() g 1 () = cos () (cos() cos() + sin() sin()) = 1 cos () Kettenregel Seien die Funktionen f und u differenzierbar. Dann gilt für die Funktion f () := h(u()) f () := df d = h (u) u () = dh du du d. Dabei wird die Funktion h nach u und u nach differenziert. Funktion: innere Funktion äußere Funktion f () = sin( ) u() := h(u) := sin(u) u () = h (u) = cos(u) Kettenregel f () := h (u) u () = cos(u) = cos( ). 65

68 Integralrechnung 10 Integralrechnung 10.1 Bestimmtes Integral Flächenberechnung Für eine stetige Funktion f () kann die Fläche zwischen dem Schaubild der Funktion und der -Achse für [a, b] approimiert werden: Annäherung durch Rechteckflächen: Konstante Breite: Höhe: f ( k ) n A f ( k ) k=1 Die Schreibweise mit dem Summenzeichen Σ symbolisiert die Summe aller Rechteckflächen, die von 1 bis n durchnummeriert werden. Die Approimation wird durch Verkleinern von verbessert Um den eakten Flächeninhalt zu erhalten, muss man im Prinzip unendlich viele unendlich schmale Rechteckflächen aufsummieren. Mathematisch ergibt sich dabei ein Grenzwert, den man wie folgt schreibt: A = b a f () d (anstelle des Summenzeichens Σ schreibt man ein und anstelle von das Symbol d.) Diesen Ausdruck nennt man bestimmtes Integral der Funktion f in den Grenzen von a bis b. Darin heißen f () der Integrand a die untere/linke Integrationsgrenze b die obere/rechte Integrationsgrenze Integralrechnung Begriffe Approimation der Fläche durch Aufsummieren: A [f ( 1 ) + f ( ) f ( n )] y Für eine eakte Definition des Integralbegriffs sei auf die Vorlesung Mathematik verwiesen. 66

69 Integralrechnung Zusammenhänge in der Physik Geschwindigkeit v(t) Weg s(t): s(t ) = T 0 v(t)d t Beschleunigung a(t) Geschwindigkeit v(t): v(t ) = T 0 a(t)d t Leistung P(t) Arbeit W (t): W (T ) = T 0 P(t)d t Stromstärke I(t) Ladung Q(t): Q(T ) = T 0 I(t)d t Ein Fahrzeug fährt mit der konstanten Geschwindigkeit v 0. v(t) Weg s 1 = v 0 T v(t) = v 0 t T Der bis zu t = T zurückgelegte Weg kann als Fläche unter dem Schaubild von v(t) interpretiert werden. Beschleunigt das Fahrzeug aus der Ruhe mit der konstanten Geschwindigkeit a, so erhält man v(t) = a t. v(t) v(t) = a t Weg s(t ) = 1 a T t T Der Weg s 1 kann aus der Dreiecksfläche (Grundseite der Länge T und Höhe a T ) berechnet werden: s 1 = 1 (a T ) t 0 = 1 a T Auch in diesem Beispiel kann der bis t = T zurückgelegte Weg als Fläche unter dem Schaubild von v(t) interpretiert werden. Man schreibt: s(t ) = T 0 v(t)d t = 1 a T Diese Betrachtungen gelten auch für kompliziertere Geschwindigkeitsverläufe v(t). 67

70 Integralrechnung Stammfunktion Eine differenzierbare Funktion F mit F () = f () für alle D Betrachtet man das Beispiel des gleichmäßig beschleunigten Fahrzeugs, das für t = 0 aus der Ruhe heraus startet, so ist der bis zu einem Zeitpunkt t zurückgelegte Weg heißt Stammfunktion von f. Die Stammfunktion ist bis auf eine additive Konstante bestimmt. Unbestimmtes Integral von f : Menge aller Stammfunktionen f () d = F() + C s(t) = 1 a t Beginnt die Bewegung für t = 0 an der Stelle s 0, so erhält man s(t) = 1 a t + s 0 Man erkennt, dass die Ableitung der Wegfunktion s(t) ṡ(t) = a t gleich der Geschwindigkeitsfunktion v(t) = a t ist (unabhängig vom Anfangswert s 0 ). Die Integralrechnung kann damit als Umkehroperation zur Differenzialrechnung betrachtet werden. Man kann die Stammfunktion aus den Regeln für die Differenziation bestimmen, wie das folgende Beispiel zeigt: Die Stammfunktion zu f () = cos() lautet F() = sin() + C, C R beliebig, denn es gilt (vgl. Tabelle auf S. 64): F () = cos() 68

71 Integralrechnung Zusammenhang zwischen Stammfunktion (unbestimmtem Integral) und orientiertem Flächeninhalt (bestimmtem Integral) Das bestimmte Integral b a f () d Berechnung der Fläche unter der Kurve f () = zwischen = 0 und = 1: Eine spezielle Stammfunktion ist : Berechnung der Fläche: F() = 1 kann mit Hilfe der Stammfunktion berechnet werden: b a f ()d = [ ] b F() = F(b) F(a) a Die Berechnung des bestimmten Integrals erfolgt in zwei Schritten: Bestimmen einer Stammfunktion F() zu f () Einsetzen der oberen und unteren Integrationsgrenze in F() mit Differenzbildung A = F(1) F(0) = = 1 Verwendet man eine andere Stammfunktion, z. B.: so erhält man F() = 1 + 5, A = F (1) F(0) = (0 + 5) = 1 dasselbe Ergebnis. Die Integrationskonstante im unbestimmten Integral hebt sich also bei der Flächenberechnung aufgrund der Differenzbildung weg. 69

72 Integralrechnung 10. Stammfunktionen elementarer Funktionen Elementare Integrationsregeln Seien f, g stetige Funktionen, d. h. Funktionen, für die eine Stammfunktion eistiert, und c R. Dann gilt: Summenregel: ( f () + g()) d = f ()d + g()d Integralrechnung Formeln Beispiel: Polynome = a ( a + b + c) d d + b d + c = a + b + c + C d Faktorregel: ( c f ()) d = c f ()d Intervallzerlegung Seien f : [a, b] R integrierbar und c [a, b]. Dann gilt: y b a f ()d = c Für b < a definiert man b a a b f ()d + a f ()d = b c f ()d f ()d a c b 70

73 Integralrechnung Integralrechnung Stammfunktionen elementarer Funktionen f () = a, a 1 F() = a+1 a C f () = 1 F() = ln + C f () = e F() = e + C f () = ln() F() = ln() + C f () = sin() F() = cos() + C f () = cos() F() = sin() + C f () = 1 cos () F() = tan() + C 71

74 Integralrechnung 10. Flächenberechnung Orientierter Flächeninhalt Die Überlegungen der letzten Seite zeigen, dass Flächenanteile unterhalb der -Achse (f < 0) beim Summieren negativ gezählt werden: Das Integral liefert den sogenannten orientierten Flächeninhalt. In Sonderfällen kann es passieren, dass der orientierte Flächeninhalt Null ist (siehe nebenstehendes Bild). Das bestimmte Integral gibt also den orientierten Flächeninhalt an. Integralrechnung Formeln Beispiel: Fläche zwischen dem Schaubild von f () = cos() und der -Achse im Intervall I = [0, π]: 1 y + y = cos() 0 π π 1 Das bestimmte Integral liefert den orientierten Flächeninhalt. Flächenteile unterhalb der -Achse (f () < 0) negativ gerechnet. Flächenteile oberhalb der -Achse (f () > 0) positiv gerechnet. 7

75 Brückenbauer und Netzwerker Verein der Freunde der Hochschule Esslingen (VDF) Der Verein der Freunde der Hochschule Esslingen (VDF) fördert die Hochschule seit 1949 ideell und vor allem auch finanziell. In den vergangenen Jahren hat der Verein unter anderem studentische Projekte wie den Rennstall oder das Hochschulorchester unterstützt, aber auch Stipendien vermittelt und das Hochschulfundraising aufgebaut. Heute versteht sich der VDF mehr denn je als Brückenbauer und Netzwerker zwischen Wissenschaft, Wirtschaft und Gesellschaft für die Hochschule Esslingen in der Region und an den Standorten Esslingen Stadtmitte, Esslingen Flandernstraße und Göppingen nicht nur durch seine ideelle Unterstützung, sondern vor allem durch finanzielle Mittel aus der Vereinstätigkeit. Dadurch schafft der VDF der Hochschule Freiräume, die sie sonst nicht hätte. So konnten in den vergangen Jahren zum Beispiel folgende Aufgaben und Vorhaben unterstützt werden: Förderung von studentischen Projekten, wie E-Stall und Rennstall sowie der Flugtechnischen Arbeitsgemeinschaft (FTAG), Unterstützung des Hochschulorchesters, Vergabe von Preisen für gute Leistungen beim Studium, Vermittlung von Stipendien, Mitfinanzierung fakultätsbezogener Einzelprojekte, Förderung von Veranstaltungen für die Alumni und Aufbau eines Hochschulfundraisings. Als der Verein der Freunde der Hochschule Esslingen (VDF) sich als gemeinnütziger Verein im Juli 1949 im Vereinsregister registrieren ließ, waren die Antworten auf die damals maschinenbau- und fachschulrelevanten Fragestellungen andere als heute. Man könnte vereinfacht sagen, damals lag der Schwerpunkt auf der Angebotsseite der wissenschaftlichen Ausbildung. Heute sind Lehre, Forschung und Weiterbildung eher nachfrageorientiert, also vom Markt her, geprägt. Zunehmender Wettbewerb der Hochschulen untereinander und die sich ändernden öffentlich-rechtlichen Rahmenbedingungen, vor allem bei vermutlich sinkenden Bildungsetats, haben die Arbeit des VDF bei der Förderung der Hochschule Esslingen verändert. Foto: Elke von Seggern Die Zahl der dringend benötigten Hochschulabsolventen wird in Zukunft steigen. Ohne den Faktor Bildung finanziell gut in unserer Gesellschaft zu verankern, werden wir es im weltweiten Wettbewerb in Deutschland schwer haben. Die Hochschule Esslingen ist bereits seit vielen Jahren das zeigen die vorderen Plätze im sogenannten Ranking engagiert und erfolgreich. Um diesen guten wissenschaftlichen Weg weiter gehen zu können, sind Netzwerke zu den regionalen Firmen und die Unterstützungen durch private Förderer und Stifter wichtig. Dietmar Ness, Ehrensenator Dipl.-Ing. (FH), Dipl.-Wirt.- Ing (FH), Vorsitzender Verein der Freunde der Hochschule Esslingen (VDF)

76 n Kompetente Betreuung durch Spezialisten n Kostenloses Girokonto inklusive Kreditkarte n Studium finanzieren mit dem KfW-Studienkredit Hannah Ny ch und Conny Grimme Finanzberater für Studentinnen und Studenten Top-Beratung auf Augenhöhe: die Studentenbetreuung der Kreissparkasse Damit Sie sich ganz aufs Studieren konzentrieren können, sollte mit Ihren Finanzen alles geregelt sein. Unsere spezialisierten Berater helfen Ihnen gerne dabei. Denn sie wissen, worauf es vor, während und nach dem Studium ankommt. Gleich anrufen unter Telefon und Termin vereinbaren! Mehr Informationen gibt s auch unter