Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!

Transkript

1 EUTSCHE AKTUARVEREIIGUG e.v. hemik der Peronenvericherung ( Grundwien ) Kluur vom Bie berbeien Sie jede Aufgbe uf einem neuen Bl und vergeen Sie nich, Ihren men uf jede Bl zu chreiben. ie Kluur beeh u 7 Aufgben, die mi ingem 180 Punken bewere werden. Um diee mimle Punkzhl erreichen zu können, müen lle Aufgben berbeie werden. Zum Beehen der Kluur ind mindeen 72 Punke erforderlich. Zugelene Hilfmiel: Tchenrechner, beigefüge Formelmmlung, beigefüge Serbefeln Wir wünchen Ihnen viel Erfolg! 1

2 Aufgbe 1 (30 Punke) n berche die Beirgklkulion für eine nch Ar der Lebenvericherung beriebene Krnkenvericherung ohne Überrgungwer, bei der lle Rechnunggrundlgen bi uf den Zin berei fegeleg ind. Profil ei reng monoon eigend. Beweien Sie, d für die Erwchenen jede Einriler < der (ungezillmere) eojhrebeirg de eugechäf umo höher wird, je niedriger der Rechnungzin ngeez wird. Anleiung: Zeigen Sie, d der (ungezillmere) eojhrebeirg ich l U / chreiben lä und beweien Sie zunäch, d dieer Quoien, l Funkion de ikonfkor berche, eine poiive Ableiung beiz. Aufgbe 2 (30 Punke) Eine kuell -jährige Verichere in einem Trif der ubiuiven Krnkheikoenvericherung mi Vericherungbeginn h ufgrund de durch ie gezhlen 10 %-igen geezlichen Zuchlg eine zuäzliche Alerungrückellung in Höhe von V ufgebu. ie diebezügliche Aucheideordnung de Trif ei durch die Were und ä, die prozenulen Zuchläge de Trif eien durch gegeben. ) Leien Sie her, welche monliche Beirgminderung B b Aler durch V gewähr werden knn. b) ie -jährige Verichere führ eine Umellung in einen nderen Trif der ubiuiven Krnkheikoenvericherung durch, deen Aucheideordnung durch die Were und ä und deen prozenulen Zuchläge durch gegeben eien. i welchem Fkor i B zu muliplizieren, um die monliche Beirgminderung B im neuen Trif zu erhlen? c) ie -jährige Verichere wechel zu einem nderen PKV-Unernehmen. Inwiewei wird V dorhin überrgen? 2

3 Aufgbe 3 (20 Punke) Gegeben ei eine Vericherung uf den Tode- und Erlebenfll mi der Erlebenfllumme S und der nfänglichen Todefllumme T < S, die mi dem Beginn de 6. Vericherungjhre uf den Berg T 0,5 (S - T) 0,5 ( S T ) neig. Au euerlichen Gründen oll T mindeen % der Summe der ureichenden Jhrebeiräge bergen, die Vericherungduer n imme mi der Beirgzhlungduer überein. Berechnen Sie den indeberg von T (ufgerunde uf 1000 ), wenn folgende en gegeben ind: Einriler : 30 Jhre Lufzei n: 30 Jhre Erlebenfllumme S: z α 25 der Summe der ureichenden Jhreprämien ( Beirgumme ), einmlig zu Vericherungbeginn γ α 1,0 der Beirgumme, vorchüig für jede Jhr der Vericherungduer β 3 % der ureichenden Jhreprämie, vorchüig für jede Jhr der Vericherungduer 2,0 der Beirgumme, vorchüig für jede Jhr der Vericherungduer. Verwenden Sie bie die beigefüge Serbefel AV 2008 T (Zin 1,25 %); die geezlichen Unie-Vorgben ollen keine Rolle pielen. (Hinwei zur Rechenvereinfchung: 24,626136) 30:30 Aufgbe 4 (20 Punke) Um d Riiko der Anielekion bei Unie-Trifen zu vermeiden, biee ein Vericherungunernehmen folgenden Trif n: Sofor beginnende lebenlnge Renenvericherung gegen Einmlbeirg mi Renenhöhe R (R bezeichne die jährlich vorchüige Rene), kombinier mi einer - jährigen Riikovericherung mi Todefllleiung R. Au Vereinfchunggründen wird nur die eovrine berche. er Prmeer i o zu gelen, d die eoprämien P für änner und P für Fruen gleich ind. ) Geben Sie eine llgemeine Formel zur Berechnung von n. b) Berechnen Sie konkre die jährliche vorchüige Rene für eine 70-jährige Peron (Geburjhr 1945) bei einem Einmlbeirg von (mi Rechnungzin 1,25% uf Bi der Serbefel AV 2004 R) und 10. 3

4 Aufgbe 5 (20 Punke) Eine kliche gemiche Kpilvericherungen mi durchgehender Beirgzhlung und einem Grniezin von 1,25% wird mi unmielbren Abchlukoen in Höhe von z 25 Promille der Beirgumme klkulier. Bei einem Koenem von β 3% vom jährlichen Bruobeirg, γ 0,0015 der Vericherungumme, γ α 0,001 der Vericherungumme ergeben ich uner Verwendung der Tfel AV 2008 T änner (Zin: 1,25%) für d Einriler 40 und die Lufzei n 20 bei einer Vericherungumme von jährliche Bruoprämien in Höhe von P P (25) 72,16. d Proviionem wegen der Abenkung de Zillmerze uf 25 Promille der Beirgumme ohnehin umgeell werden oll, erwäg d Vericherungunernehmen ein Rückkufwerem, d ich n einer gleichmäßigen Vereilung der Abchlukoen uf die gnze Lufzei orienier. ) Wie lue die Äquivlenzgleichung zur Berechnung der zukünfigen Vericherungleiungen zu den jeweiligen Zeipunken ( 0, 1, 2,, n - 1), wenn die z Abchlukoen von 25 Promille der Bruobeirgumme gleichmäßig uf die geme Vericherungduer vereil werden, und zwr o, d ich für 0 derelbe Bruobrwer ergib wie zur Berechnung von P (25)? b) Wie hoch i die ifferenz zwichen gezillmerer eckungrückellung V :n und der eckungrückellung, die ich bei gleichmäßiger Vereilung der Abchlukoen wie bechrieben ergib? c) n berechne dieen ifferenzberg für 10, d.h. 10 Jhre nch Abchlu de Verrge für oben die ngegebenen en (Tfel AV 2008 T änner, Zin: 1,25%). Aufgbe 6 (30 Punke) ie Firm orgengrün GmbH h ihren Bechäfigen unmielbre Penionzugen ereil. Gewähr werden Renen bei Invlidiä und Erreichen der Alergrenze. ie Höhe der Invliden- und Alerrene beräg monlich 400,00. ch 5 vollendeen ienjhren erhöh ich die Renennwrchf um weiere 5,00 für jede weiere vollendee ienjhr bi uf höchen 600,00 monlich nch ingem 45 vollendeen ienjhren. Al fee Alergrenze i die Vollendung de. Lebenjhre vorgeehen. Bei Renenbezug vor der feen Alergrenze wird die Alerrene für jeden on de vorzeiigen Renenbezuge um 0,4 % ihre Berge gekürz. er Anwärer Alber Schlu, geb. m , r m in die Firm orgengrün GmbH ein und erhiel die bechriebene unmielbre Penionzuge. ) Welche Jhrerenennwrchf beeh gegenüber Alber Schlu in dem m Bewerungichg mßgebenden vericherungechnichen Aler? 4

5 b) Wie lue die Formel für den euerlichen Teilwer nch 6 Ab. 3 ESG zum für den Anwärer Alber Schlu? Bei der Teilwerberechnung oll d Penionler 63 in Anz gebrch werden. c) Schäzen Sie den prozenulen Zuwch de euerlichen Teilwer zum uner der Annhme, d Herr Schlu zu dieem Zeipunk kiv i und die Penionzuge im Lufe de m endenden Wirchfjhre um 10 % erhöh wird. d) Schäzen Sie den Wer der Verorgungzuge, wenn die zugege Leiung bi zum Verorgungfll in ew der Gehlenwicklung folg und d derzeiige Gehl monlich beräg. Bechen Sie, d vom Wer einer Zuge uf Aler-, Invliden- und 60 %-Wiwenrene ew 25 % uf die Anwrchf uf Wiwenrene enfllen. Aufgbe 7 (30 Punke) Im Repeiorium wurde der Zummenhng zwichen Brwer, Leiung, Prämie und Reerve einer Verpflichung behndel. ) Geben Sie die efiniion der propekiven Reerve m V pro, m 0, in Abhängigkei von mk ˆP und mk ˆL,k 0 n und erläuern Sie die Bedeuung der in der Formel vorkommenden Audrücke. b) Sei m 0. ie efiniion der reropekive Reerve lue beknnlich: r V V v p P - L m rero m 0 mp m-1 rero k ˆ ˆ k k k k0 Zeigen Sie mi Hilfe dieer efiniion, d gil: rero rero m m m m m1 V Pˆ Lˆ vp V (1) Hinwei: Führen Sie V über. rero m m1 rero v m1p m1v in eine rellung in Abhängigkei von n knn zeigen, d (1) uch für die propekive Reerve gil. E gil lo generell: Sei nun V Pˆ Lˆ v p V m m m m m1 m P ˆ, m 0, jährlich vorchüig zhlbr. Wie im Repeiorium behndel lä ich die Gemprämie m ˆP in eine Sprprämie PS und in eine Rikoprämie m m P R zerlegen. c) Geben Sie die efiniion der Sprprämie m P S n und ellen Sie die Reerve m V l Funkion von 0 V und der k P S, 0 k m1, dr. 5

6 d) Zeigen Sie, d gil: P Lˆ - vq V R m m m m1 e) er Verrg ehe l Prämie die ogennne nürliche Prämie vor, d.h. für jede Jhr enpreche die Prämie dem Brwer der in dieem Jhr verurchen Leiungen, lo m ˆP m ˆL, m 0,..., n - 1 mi n : Lufzei de Verrge. Berechnen Sie uner der Bedingung 0 V 0 die Reerven m V, m 0,..., n, und hieru m P S und m P R, m 0,..., n

7 EUTSCHE AKTUARVEREIIGUG e.v. hemik der Peronenvericherung ( Grundwien ) Kluur vom Löunghinweie Aufgbe 1 (30 Punke) er eojhrebeirg de eugechäf i ie Ableiung diee Term nch dem ikonfkor v i ein Quoien mi enner 2. dieer enner poiiv i, wird d Vorzeichen lo durch d Vorzeichen de Zähler beimm. er Zähler i <ω i, i in der zulez ngegebenen Summe die enge der Indize, über die ummier wird, nich leer. Jeder Summnd i poiiv, d jeweil > und omi wegen de reng monoon eigenden Profil uch K > K. Somi i die Summe poiiv, o d die Ableiung von P poiiv i. mi i die Behupung der Anleiung bewieen. 1

8 Verringer mn den Rechnungzin i, o erhöh ich wegen der Beziehung v 1/(1i) der ikonfkor v, o d ich wegen der poiiven Ableiung der eojhrebeirg erhöh. Aufgbe 2 (30 Punke) zu ) (10 Punke) urch V mu die jährliche Zhlung eine Berge in Höhe von 0 vom. bi zum. Lebenjhr und in Höhe von B (jährliche eobeirgminderung) b dem. Lebenjhre finnzier werden. Folglich gil die Äquivlenzgleichung V B 64 ω 0 ω B ä B. woru ich ergib B V. ä Wegen B 12 (1 - ) B erhäl mn chließlich B V. 12 (1 Δ) ä zu b) (10 Punke) Anlog zu ) gil B V ( 1 Δ ). 12 ä urch Umformung erhäl mn B V 12 (1 Δ) ä 1 Δ 1 Δ ä ä B Fkor 2

9 mi Fkor (1 Δ) ä. (1 Δ ) ä zu c) (10 Punke) ie Zuzrückellung V wird gemäß 13 Ab. 1 r. 1 der Klkulionverordnung in voller Höhe n d ndere PKV-Unernehmen überrgen, d für den Verrg gil, d er b dem 1. Jnur 2009 bgechloen wurde. Aufgbe 3 (20 Punke) Bezeichne mn die ureichende Prämie mi P und die indeodefllumme mi T, o berechne ich P nch dem Äquivlenzprinzip u der Gleichung: P && S E T A 0,5 (S T) A 5 :n n 5 n z α n P ( α γ) n P && β P && γ :n S T 0,5 (S T) n 5 5 n z γ α n P ( α γ) np && β P &&, :n :n lo γ z P [(1β n ( α γ)) α n] :n && S T 0,5 (S T) n 5 5 n :n Sez mn nun die vorgegebenen Were ein, o ergib ich: P [(1-0, ,003) 24, ,025] (0, ,,0647) T (0, ,,0647) und dmi P 20, ,75 T 0, Beche mn nun noch, d T 0,5 30 P geez werden knn, o erhäl mn chließlich 3

10 4.886,748 P 3.235,39. 20, ie geuche Todefllumme T ergib ich dmi u T 0,5 30 P , Aufgbe 4 (20 Punke) Zu ) (10 Punke) E gil: Y P R R R R P ) ( ) ( ) ( ) ( Zu b) (10 Punke) urch Einezen mi 70 und 10 erhäl mn uf Bi der Serbefel AV 2004 R mi Alerverchiebung 4: 47, ,42 ( ) ( ) P P R (Hinwei: die Serbefel, die in der Kluur vereil wurde, einen kleinen Fehler enhiel, weichen die numerichen Ergebnie in den bgegebenen Löungen ggf. geringfügig b.) Aufgbe 5 (20 Punke) Zu ) (5 Punke)

11 ie Äquivlenzgleichung zur Berechnung der ureichenden Prämie Z α lue für bei der Vericherungumme S Z P ä S A α n P ( α ) Sä P ä : n : n γ γ β : n : n P für den Zillmerz Bei gleichmäßiger Vereilung uf die Lufzei lue die enprechende Äquivlenzgleichung: Brwer der zukünfigen Leiungen S A für 0, 1, 2,, n - 1. α n P Z ä ( α S ä P : n : n γ γ ) β : n ä: n ä : n Zu b) (5 Punke) ie gezillmere eckungrückellung berechne ich nch der Formel && α z :n- V V α n P && :n Bei einer gleichmäßigen Vereilung der Abchlukoen ergib ich dher bei der Rückellungberechnung gemäß der Vorchrif Brwer der zukünfigen Leiungen - Brwer der zukünfigen Bruoprämien, d ich ämliche Koen ufheben, o d hier nur die eodeckungrückellung verbleib. ie frgliche ifferenz i lo zum Zeipunk nch Verrgbchlu && z :n- α n P. && :n Zu c) (10 Punke) Für 10 benöig mn die Leibrenenbrwere ä owie ä :1 0 40:20, und diee ind: 60 9,24701 bzw ,357. ewegen berechne ich && && z :n- α n P für 10 zu :n ä Z :1 0 α n P 13,45, ä 40:20 d.h. für dieen Rückkufwer mu d Unernehmen 13,45 mehr ufwenden l bei herkömmlicher Vorgehenweie. Aufgbe 6 (30 Punke) 5

12 Zu ) (8 Punke) vericherungechniche Aler m beräg 54 Jhre, Bi zur Alergrenze 63 werden 31 volle ienjhre erreich, d Beginnler für die Beimmung de Leiungvekor beräg omi Jhre. Im Aler 54 i eine Anwrchf von 400 zzgl. 5 für jede ienjhr b Aler 37 erreich, d.h Zu b) (10 Punke) Einriler (vericherungechniche Aler m ) beräg 32 Jhre. ie im Aler 63 erreichbre Alerrene beräg und wird wegen de vorzeiigen Bezug der Alerrene um 24 0,4 % gekürz. mi ergib ich uner Berückichigung von ) folgende Formel für den Teilwer zum : A A mi , ,63-32 (12) < ia (12) ia A ( ,4% und (12) < ia (12) ia A ( ,4% (12) (12) ia 63 ia 63 ) ) Zu c) (6 Punke) ie bgelufene uer m berug m Jhre. ch der äherungformel m 1 m 1V mv 1,03 ergib ich ein Schäzwer zum von m % 1,031,10 118,4%. er Schäzwer für den Zuwch beräg 18,4 %. 22 Zu d) (6 Punke) ie bi zum Aler erreichbre Leiung von 540 wird in 33 ienjhren erworben. Pro ienjhr beräg die Rene dmi 540 / 33 / ,33 % de Gehle. ch der äherungformel für die Koen einer Verorgungzuge können dmi die Koen uf 1,3 0,33/0,1 4,3 % bgechäz werden. Wegen der fehlenden Anwrchf uf Wiwenrene ergib ich ein Schäzwer von 0,75 4,3 % 3,2 %. Aufgbe 7 (30 Punke) Zu ) (8 Punke) 6

13 E gil für m 0 : ( ) mv pro v k k p m mk ˆL mk ˆP mi k 0 v: ikonierungfkor v 1 1 i p : Whrcheinlichkei eine m-jährigen de bercheen Bende, d Aler mk k m im Bend zu erleben mk ˆP : Erwrungwer der Prämienleiungen de Jhre ]mk, mk1], die durch Erreichen de Aler mk verurch werden, dikonier uf den Beginn diee Jhre ˆL : mk Erwrungwer der gemen Leiung, die durch Erreichen de Alerinervll [mk, mk1[ ugelö werden knn, dikonier uf den Beginn diee Jhre Zu b) (10 Punke) ( ) r m1 m v m1 m1 p m1 V rero v m1 m1 p 0V rero v k k p k ˆP k ˆL m1 p k0 m1 0 V rero v k k p k ˆP k ˆL v m m p m ˆP m ˆL Somi gil: v m1 p V rero m1 m1 vv m k0 ( ) ( ) v m m p m V rero v m m p m ˆP m ˆL Und dmi: vp m m1 V rero m V rero ( m ˆP m ˆL ) Alo: m V rero m ˆP m ˆL vp m m1 V rero ( ) p m m p m1 V rero v m p V rero m m v m p m ( ˆP m m ˆL ) Zu c) (4 Punke) ie Sprprämie i wie folg definier: m P S v m1 V m V 7

14 Somi gil für m 0,1,...: S m1v r ( mv m P ) und dmi folg: m V r m 0 V m1 r mk k0 P S k Zu d) (5 Punke) E gil: mv m ˆP m ˆL vp m m1 V i m ˆP m P S m P R folg omi: mp R S m ˆL vp m m1 V m V m P m ˆL vp m m1 V m V v m1 V m V m ˆL vp m m1 V v m1 V m ˆL vq m m1 V Zu e) (3 Punke) Wegen m ˆP m ˆL gil: vp m m1 V m V m ˆP m ˆL m V Somi folg wegen 0 V 0: m V 0 m Und dmi m P S v m1 V m V 0 owie mp R m ˆP m P S m ˆL 8